Prisfastsættelse af optioner på VIX og S&P500

MSc. in Finance Vejleder: Thomas Kokholm Prisfastsættelse af optioner på VIX og S&P500 En praktisk analyse af Hestonmodellen Thomas E. Asmussen Ebbe Matthiesen Aarhus School of Business, Aarhus University Juli 2010

EXECUTIVE SUMMARY The main objective of this thesis is to conduct a thorough analysis of the Heston model (1993) s ability to price options on the S&P500 index and the VIX index. When using the Heston model to price options on the VIX index some inconsistencies occur, which are described and analysed in depth. The analysis gives rise to a discussion and possible solutions to the problems with inconsistency. The main conclusion of the thesis is that the Heston model is capable of pricing options on the S&P500 and other similar stock indices. Furthermore the thesis concludes that the Heston model also is capable of pricing options on the VIX index, despite the inconsistencies connected with using this approach. The thesis then analyses these inconsistencies and suggests alternative methods and expansions for model specification. One of the expansions is to include jumps in the price process of the underlying asset, this expansion is then carried out in the last part of the thesis. The conclusion for including jumps is that it enhances the overall performance of the Heston model. The motivation for this thesis is based on the need for a model that is capable of pricing options on the VIX index. The colloquial term for the VIX index is the investors fear gauge which is an understandable name, since the VIX index measures the 30 day expected market volatility on the S&P500. The VIX index has existed since 1993, and since 2006 it has been possible to buy options on the VIX index. Due to the construction of the VIX index, it has the very interesting characteristic that it is negatively correlated with the S&P500 index. For financial market participants, this feature facilitates the use of options on the VIX for risk management of their portfolios. The large amount of derivatives that are traded with the VIX as underlying verifies this. In the section describing the data both the S&P500 and the VIX index is introduced and analyzed thoroughly. It is shown that the returns for both indices do not follow a normal distribution, and that the two are also negatively correlated. Since derivatives on the VIX are being traded, a model that can be used to price these derivatives is needed. The classical model that is referred to in options pricing is the Black-Scholes model from 1973. This model is very useful as a starting point, but the model is oversimplifying reality due to the assumptions that are being made. The two most crucial assumptions in the Black-Scholes model are that returns are assumed to be lognormally distributed, and that the volatility is assumed to be constant for all strike prices and maturities. If one wishes to model these two assumptions more realistically, a different model specification is needed. After working out a general framework for a stochastic volatility model, the Heston model is chosen for incorporating these two assumptions.

After having picked the model of choice, the semi-closed solution to the Heston model is presented. It is then shown that the solution can be made both by numerical integration, and by the use of the Fast Fourier Transform. The methods section describes the simulation and calibration procedure that is used on the data in the thesis. The calibration uses a non-linear optimization algorithm, to minimize the difference between the known market prices and the model prices. The simulation algorithm uses a combination of Glasserman (2004) and Andersen (2007) to simulate the price process and the process for the variance. The simulation of prices is carried out in order to ensure, that the prices calculated using numerical integration and fast Fourier are correct. The analysis of the Heston model s ability to price S&P500 options shows that the model is capable of pricing the options. This is validated by a relative pricing error around 5 % and a total percentage of options inside the spread of 70 %. The analysis also shows good results for out of sample data, indicating that the model can be used in a real life scenario. Hence, the relative pricing error for out of sample data is around 11 % and the total percentage of options inside the spread is 59 %. These results are on the same level as the in sample results, which is a sign of a good and stable model. Furthermore the analysis of the volatility surface shows that the S&P index has a volatility smile, or skew, which also was the expected shape. The reason why the volatility is shaped like this is because of the negative correlation between the S&P500 index and its volatility. The last part of the section is a discussion of the parameters that are calibrated to fit the model to the S&P500 index. This discussion shows that the calibrated parameters look sensible, and that they are in line with what could be anticipated. Although the model performs satisfactory there still are a few culprits that need to be taken into account. The main drawback of the model is that it has problems with fitting the volatility smile for short maturities. This can be solved by simply discarding the short maturity data, or by adding jumps to the price process of the underlying. Finally the model calibration applied in the thesis is not a global optimizer. This gives rise to the possibility that the parameters that are found are not the global ones. However the model performs well for the S&P500 so this problem seems to be negligible. All in all, the conclusion is that the Heston model performs well when it is used for pricing options on the S&P500. The VIX options analysis confirms that the Heston model can also be used for pricing options on the VIX index. The relative pricing error in the VIX case is around 5 % and the total percentage of options inside the

spread is above 80 %. This indicates that the Heston model in this particular case actually performs marginally better in pricing VIX options than S&P500 options. The analysis of the volatility surface for the VIX index shows that the VIX has a frown instead of a smile. This shape is due to the positive correlation between the VIX index and its volatility. The reasoning behind why the VIX index shows a frown instead of a smile is described thoroughly in the thesis. In terms of out of sample performance the Heston model produces good results for the VIX index. The relative pricing error is almost unchanged around 5 % and the total percentage of options inside the spread is above 70 %. This indicates that the model is capable of pricing VIX options, and it also shows the flexibility of the model. The flexibility is evident, because the Heston model gives good results both for the pricing of options based on the S&P500 which is an index based on stocks, and options based on the VIX which is an index based on an index. The discussion of the parameters that are calibrated to the VIX model shows that the parameters are much more unstable. Furthermore they have a clear tendency to be more extreme when the model is calibrated to the VIX index. Two of the reasons for this are, that the index itself is more extreme in its distribution of returns than the S&P500 is, and that the use of the Heston model for calibration to the VIX index is inconsistent. This inconsistency means that it becomes much harder to give any economic interpretation to the calibrated parameters. Combining the findings for the analysis leads to the final conclusion that the Heston model is good at pricing options based on the VIX index, but that it is inconsistent to do this. However if one is willing to accept this inconsistency the model can still be used. The last section of the thesis is focusing on the inconsistencies that are present when the Heston model is used for pricing options on the VIX index. The section is divided into three. The first part discusses why there is inconsistency and how to resolve the problem. The reason why the Heston model works despite the inconsistency is because of the flexibility that is automatically present in the framework that is used in the model. The possibility of making a different specification of the model in order to make it consistent is also discussed. A suggestion of a double Heston specification is elaborated, this specification will have a price process similar to a geometric Brownian motion with stochastic volatility, the volatility and the volatility on volatility will both be specified as CIR processes. If this specification is modeled correctly is should be able to solve the inconsistency problem. The second part discusses the possibility of defining the price process for the VIX as being independent. A possible specification of a process more optimal than the Heston is suggested. This specification is a CIR process for both the underlying VIX index and the volatility. The reason why the CIR specification is

attractive for describing the price process of the VIX index is that it has mean reversion incorporated. This is ideal because one of the traits that are distinctive for the VIX is that it displays mean reversion. The final part of the last section discusses the incorporation of jumps in the price process for the Heston model. The incorporation of jumps in the model is expected to resolve the problems that the model has with pricing options with a short maturity. The reason for this is that the imminent effect of adding jumps to the price process will be greater flexibility. However when calibrating the model with jumps, it turns out that the optimization algorithm that is chosen in the thesis seems to be inadequate for calibration of the model. Still when predefined jumps are added the overall performance of the model is improved, this is shown because the relative pricing error falls from 12.2 % to 9.5 % for the S&P500 options. The overall conclusion is that adding jumps is not a panacea for the problems in the model. However a further study of the specification of the model, and improvement of the calibration algorithm should further enhance the performance of the model.

Indholdsfortegnelse 1. INDLEDNING... 1 1.1 PROBLEMFORMULERING... 2 1.2 AFGRÆNSNING... 3 1.3 STRUKTUR... 3 2. DATAGRUNDLAG... 5 2.1 VOLATILTITY CLUSTERING... 7 3. TEORIAFSNIT... 9 3.1 VIX INDEKSET... 9 3.2 DERIVATER... 15 3.3. GRUNDLÆGGENDE OPTIONSTEORI... 17 3.4 INTRODUKTION TIL STOKASTISKE VOLATILITETSMODELLER... 27 3.5 HESTONMODELLEN... 35 4. METODE...43 4.1 KALIBRERING AF MODELLEN... 43 4.2 SIMULATION AF MODELLEN... 50 5. ANALYSE...57 5.1 PRISFASTSÆTTELSE AF OPTIONER PÅ S&P500... 57 5.2 PRISFASTSÆTTELSE AF OPTIONER PÅ VIX INDEKSET... 80 6. PERSPEKTIVERENDE ANALYSEAFSNIT...93 6.1 INKONSISTENS I MODELLEN... 94 6.2 NY SELVSTÆNDIG VIX SPECIFIKATION... 95 6.3 GENEREL UDVIDELSE TIL HESTONMODELLEN... 97 7. KONKLUSION... 103 LITTERATURLISTE... 105 BILAG... 109

Figuroversigt Figur 1 Strukturoversigt... 3 Figur 2 Histogram over daglige afkast på S&P500 siden 1990... 5 Figur 3 - Histogram over daglige afkast på VIX siden 1990... 6 Figur 4 Daglige afkast på S&P500 fra 1985 til 2010... 7 Figur 5 Udvikling i niveauet for S&P500 og VIX siden 1990... 14 Figur 6 Options payoff og Put-call Paritet... 16 Figur 7 Simulerede sti for en GBM, diffusion, samt driftled... 21 Figur 8 Implicit volatilitet for S&P500 optioner den 28. maj 2010... 27 Figur 9 Implicit volatilitet på S&P500 fra 20. august 2008, T=0,08... 58 Figur 10 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0,58... 59 Figur 11 Volatilitetssmilet for t=0,025 år den 12. maj 2010.... 60 Figur 12 - Volatilitetssmilet for t=0,18 år den 12. maj 2010.... 61 Figur 13 - Implicit volatilitet for markedet og modellen for T =8 dage... 68 Figur 14 - Markedspris og modelpris for T = 64 dage... 69 Figur 15 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0,0767... 81 Figur 16 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0,33... 82 Figur 17 Sammenhæng mellem VIX indekset og 20 dags volatilitet på afkastet... 83 Figur 18 Sammenhæng mellem S&P500 indekset og 20 dages volatilitet på afkastet... 84 Figur 19 Markedets implicitte volatilitet ved forskellige løbetider og udnyttelseskurser... 85 Figur 20 - Implicit volatilitet for markedet og modellen løbetid = 34 dage... 89 Figur 21 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0,11... 115 Figur 22 - Implicit volatilitet S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0,16... 115 Figur 23 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0,26... 116 Figur 24 Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0,33... 116 Figur 25 Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0,83... 117 Figur 26 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=0,1... 118 Figur 27 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=0,13... 118 Figur 28- Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=0,27... 119 Figur 29 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=0,35... 119 Figur 30 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=0,6... 120 Figur 31 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=1,6... 120 Figur 32 Estimeret modelpris I forhold til markedspris for Out of sample... 122 Figur 33 Implicit volatilitet for Out of sample... 122 Figur 34 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0,173... 123 Figur 35 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0,249... 123 Figur 36 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0,42... 124 Figur 37 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 12. maj. 2010 for T=0,1... 125 Figur 38- Implicit volatilitet på VIX indekset den 12. maj. 2010 for T=0,19... 125 Figur 39 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 12. maj. 2010 for T=0,27... 126 Figur 40 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 12. maj. 2010 for T=0,35... 126 Figur 41 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 12. maj. 2010 for T=0,44... 127

Tabeloversigt Tabel 1 Beskrivende statistik af de daglige afkast på S&P500 og VIX siden 1990... 6 Tabel 2 AR(1) model af afkastet på S&P500... 8 Tabel 3 Test for ARCH effekter... 9 Tabel 4 Parametre i konstruktionen af VIX indekset... 12 Tabel 5 Korrelation mellem daglig afkast på S&P500 og VIX siden 1990... 14 Tabel 6 - Oversigt over forskellige modeller til at prisfastsætte derivater... 34 Tabel 7 - Parametre til brug i test af simulering... 55 Tabel 8 Resultater ved simulering af Hestonmodellen... 56 Tabel 9 - Parametersæt for S&P500 kalibreret ud fra de givne datoer... 57 Tabel 10 Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 20. august 2008 ved forskellige løbetider... 62 Tabel 11 Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 20. august 2008 ved forskellig moneyness... 63 Tabel 12 - Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 12. maj 2010 ved forskellige løbetider... 64 Tabel 13 - Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 12. maj 2010 ved forskellige moneyness... 65 Tabel 14 Fejlmål for out for sample for den 13. maj... 66 Tabel 15 Out of sample fejlmål for den korteste løbetid... 67 Tabel 16 - Out of sample fejlmål for en mellemlang løbetid... 68 Tabel 17 - Resultater af alternativ kalibrering... 72 Tabel 18 Påvirkning på optionspris ved forskellige ændringer i parameterværdierne... 75 Tabel 19 Oversigt over parametre i Hestonmodellen i forskellige artikler for S&P500... 76 Tabel 20 VIX indekset og de kalibrerede volatiliteter... 78 Tabel 21 - Parametersæt for VIX kalibreret ud fra de givne datoer... 81 Tabel 22 - Fejlmål for kalibrering ud fra VIX data fra den 20. august for forskellige løbetider... 86 Tabel 23 - Fejlmål for kalibrering af VIX ud fra data fra den 12. maj 2010 ved forskellige løbetider... 87 Tabel 24 - Fejlmål for kalibrering af VIX ud fra data den 12. maj 2010 ved forskellige løbetider... 88 Tabel 25 - Fejlmål for out of sample den 13. maj for VIX indekset... 89 Tabel 26 Oversigt over VIX parametre ved forskellige kalibreringer... 90 Tabel 27 Studier af parametrene i Hestonmodellen med jumps... 98 Tabel 28 Fejlmål for Hestonmodellen med jumps fra den 20. august 2008... 100

1. Indledning I de senere år har de finansielle markeder været igennem en turbulent periode. Finanskrisen har medført, at det største amerikanske indeks, S&P500, er faldet fra over $1550 til omkring $850 inden for meget kort tid. Aktier er dermed kendetegnet ved, at de er meget volatile, især de senere år. Dette ses ved, at S&P500 er faldet mere end 5 % på én enkelt dag 13 gange siden 2008. Chicago Board of Option Exchange introducerede i 1993 første version af et volailitetsindeks, som målte risikoen på S&P100 indekset. Dette indeks er siden blevet modificeret til det, der i dag kendes som VIX indekset, som måler risikoen på S&P500 indekset. Siden 2006 har det været muligt at handle optioner på VIX indekset. Et interessant aspekt ved VIX indekset er dets negative korrelation med S&P500. Denne korrelation er stigende, når S&P500 har mere ekstreme ændringer. Dermed er VIX indekset yderst interessant, da værdien er steget de 13 gange, hvor S&P500 har oplevet ekstreme fald. Finansielle institutioner kan derfor anvende VIX optioner til risikostyring ved at hedge deres positioner i S&P500. Det faktum, at derivater på VIX indekset anvendes til risikostyring, underbygges af, at der handles en stor mængde kontrakter, hvor VIX indekset er det underliggende aktiv. Derfor er det nødvendigt at finde en metode til prisfastsættelse af optioner på VIX indekset. En metode til at prisfastsætte optioner er den klassiske Black-Scholes model. Denne populære optionsmodel fra 1973 bygger på mange kritiske forudsætninger, hvilket oversimplificerer modellen. To af de vigtigste antagelser omhandler konstant volatilitet samt normalfordelte logaritmiske aktieafkast. I denne afhandling vil det blive vist, at disse to antagelser ikke holder empirisk set. Forudsætningsbruddet omkring konstant volatilitet har medført udvikling af bedre modeller, der tager højde for dette. En af de mest populære modeller, som har inkorporeret stokastisk volatilitet, er Heston (1993). Denne afhandling vil udlede en generel stokastisk volatilitetsmodel, som vil danne grundlag for den semi-lukkede løsningsformel fra Heston (1993). Hestonmodellen vil herefter blive brugt til at prisfastsætte optioner på S&P500 og VIX indekset. Hovedformålet i afhandlingen er dermed at teste Hestonmodellens evne til at prisfastsætte optioner på de to indeks. Analysen har fokus på de praktiske aspekter i forbindelse med anvendelsen af modellen. Endvidere vil der i forlængelse af analysen være en diskussion af, hvorvidt det er meningsfyldt at anvende Hestonmodellen på et volatilitetsindeks. Dette leder frem til den sidste del af analysen, hvor den eventuelle inkonsistens samt udvidelser til Hestonmodellen vil blive diskuteret. 1

1.1 Problemformulering Det er empirisk bevist, at Black-Scholes modellen ikke holder i praksis på grund af kritiske forudsætningsbrud. Her kan blandt andet nævnes volatilitetssmilet. Derfor er det interessant at kigge på, hvilke modeller, der tager højde for disse forudsætningsbrud. I denne afhandling vil der blive udledt et generelt udtryk for en stokastisk volatilitetsmodel. Dette vil lede frem til Hestonmodellen, som vil blive anvendt som primær model i afhandlingen. Afhandlingns hovedmål er at prisfastsætte optioner baseret på volatilitet, det såkaldte VIX indeks, ved hjælp af Hestonmodellen. Inden dette kan gøres, skal Hestonmodellen testes på optioner baseret på et standard aktieindeks. Derfor er følgende undersøgelsesspørgsmål formuleret: Kan Hestonmodellen anvendes til at prisfastsætte optioner på S&P500 indekset? Når dette er besvaret, kan Hestonmodellen afprøves på optioner med volatilitet som underliggende, hvilket leder til næste undersøgelsesspørgsmål: Kan Hestonmodellen anvendes til at prisfastsætte optioner på VIX indekset? Ved hjælp af en eksakt løsning, kalibrering og Monte Carlo simulation vil Heston parametrene samt en modelpris blive estimeret. Dermed fremkommer næste undersøgelsesspørgsmål: Hvordan er Hestonmodellens performance til prisfastsættelse af optioner, når de to indeks sammenlignes? Endvidere vil det blive analyseret, hvordan Hestonmodellen beskriver volatilitetssmilet for det pågældende indeks. Antagelsen om en Heston udvikling for både det underliggende aktiv og VIX indekset er inkonsistent. Dette leder frem til det sidste perspektiverende undersøgelsesspørgsmål: Uafhængigt af resultaterne af modellens performance vil vi diskutere forskellige forhold omkring modellens inkonsistens, når både det underliggende aktiv og VIX indekset er beskrevet ved Hestonmodellen. Herunder vil denne afhandling give forslag til, hvordan modellen kan modificeres til at tage højde denne inkonsistens. 2

1.2 Afgrænsning Denne afhandling fokuserer primært på anvendelsen af Hestonmodellen samt kvaliteten af modellen. Der vil igennem teoriafsnittet være fokus på at skabe en forståelse med henblik på den praktiske anvendelse. Derfor afgrænses der fra at lave matematiske udledninger, som ikke er relevante i forhold til den praktiske anvendelse. Det antages ligeledes, at læseren har et grundlæggende kendskab til finansiel teori, hvilket betyder, at Black-Scholes eksempelvis ikke bliver udledt. Afhandlingens formål er at prisfastsætte europæiske optioner, hvorved mere eksotiske optioner ikke vil blive inddraget. Specifikke emner vil endvidere blive afgrænset løbende i afhandlingen, når dette findes nødvendigt. 1.3 Struktur Strukturen i afhandlingen er bedst illustreret ved nedenstående figur. Figur 1 Strukturoversigt 2. Datagrundlag + 3. Teoriafsnit 5. Analyseafsnit 4. Metode 6. Perspektiverende analyse 7. Konklusion Kilde: Egen tilvirkning I afhandlingen bliver der taget udgangspunkt i en gennemgående beskrivelse og analyse af datagrundlaget i hovedafsnit 2. Her vil der være en analyse af fordelingerne for de to indeks samt en analyse af volatility clustering. Hovedafsnit 3 indeholder en grundig gennemgang af den anvendte teori. Der vil blandt andet være en beskrivelse af leverage effekten, VIX indeksets konstruktion samt udledning af løsningen til Hestonmodellen. Hovedafsnit 2 og 3 danner dermed grundlag for den videre analyse. Hovedafsnit 4 beskriver de anvendte metoder til kalibrering og simulering, der senere bliver brugt i analysen. I hovedafsnit 5 analyseres Hestonmodellens evne til at prisfastsætte optioner på S&P500 og VIX indekset. Dette hovedafsnit indeholder en analyse af den implicitte volatilitet, beregning af fejlmål og Hestonmodellens anvendelse i praksis. Afsnittet vil yderligere indeholde en analyse og diskussion af de 3

kalibrerede parametre. Konklusionerne fra analysen leder frem til hovedafsnit 6, hvor de opnåede resultater bliver perspektiveret. Hovedafsnit 6 vil primært omhandle den inkonsistens, der er i forbindelse med at prisfastsætte optioner på VIX indekset med Hestonmodellen, samt mere generelle udvidelser til Hestonmodellen. Hovedafsnit 2, 3 og 4 vil dermed danne grundlaget for en tilbundsgående analyse i hovedafsnit 5 og 6, der leder frem til afhandlingens samlede konklusion i hovedafsnit 7. 4

2. Datagrundlag I dette afsnit er forskellige forhold omkring fordelingen af afkast på S&P500 og VIX beskrevet. Dette er interessant, da det kan afgøre, hvorvidt forudsætningen om Gaussian afkast er opfyldt i forhold til Black- Scholes formlen. Ydermere er det muligt, at fordelingen af de daglige data kan have indflydelse på, hvordan Hestonmodellen prisfastsætter optioner på de to indeks, hvilket gøres senere i afhandlingen. Det skal for den resterende del af afhandlingen bemærkes, at der er taget logaritmen til alle daglige afkast. Figur 2 Histogram over daglige afkast på S&P500 siden 1990 1200 Frekvens 1000 800 600 400 200 0-0,09-0,07-0,04-0,01 0,02 0,05 0,08 0,10 Logafkast Kilde: Egen tilvirkning Som det ses af ovenstående figur, er det daglige afkast på S&P500 tilnærmelsesvis normalfordelt. Der er dog ekstreme afkast på mindre end -9 % og over 10 % på én enkelt dag, hvilket ligger langt fra de øvrige afkast. Skævheden ligger relativt tæt på en standardnormalfordeling med en værdi på -0,2. Der kan dog ikke antages normalitet, da Jarque-Bera testen, der er en test af, om data er normalfordelte, giver en teststatistik, der er langt over det kritiske niveau. H0 hypotesen for Jarque-Bera testen er, at data er normalfordelte, denne holder ikke, da P-værdien for testen er lig nul, hvilket kan ses i tabel 1. Dette skyldes ikke alene skævheden, men også, at kurtosis ligger tæt på 10, hvilket er langt over kurtosis på 3, som ses ved en standardnormalfordeling. Dermed kan det konstateres, at afkastet på S&P500 har excess kurtosis, eller, mere populært sagt, fede haler. Dette betyder, at ekstreme udfald er langt mere sandsynlige, end hvad der kunne forventes i en normalfordeling. 5

Figur 3 - Histogram over daglige afkast på VIX siden 1990 Frekvens 700 600 500 400 300 200 100 0-0,30-0,19-0,08 0,03 0,14 0,25 0,36 0,47 Logafkast Kilde: Egen tilvirkning Som det ses af ovenstående figur, er de daglige afkast på VIX indekset med en skævhed på 0,64 væsentlig mere skævt fordelt end afkastet på S&P500. VIX indekset har i perioden haft mere ekstreme afkast, idet udfaldsrummet er væsentligt større. Omvendt har de ekstreme udfald ikke samme hyppighed, idet kurtosis er 4,46. Der kan ikke antages normalitet, da Jarque-Bera testen giver en værdi på 4791 svarende til en p- værdi på nul. Tabel 1 Beskrivende statistik af de daglige afkast på S&P500 og VIX siden 1990 S&P500 VIX Middelværdi 0,000209 5,27*10 Median 0,000176-0,00057 Standard afvigelse 1,15 % 5,79% Minimum -9,47 % -29,99 % Maksimum 10,95 % 49,6 % Skævhed -0,2018 0,6473 Kurtosis 9,5578 4,4575 Jarque-Bera 19972 4791 P-værdi 0 0 Kilde: Egen tilvirkning -5 Det er interessant at sammenligne de to forskellige fordelinger. Både S&P500 og VIX har fede haler. Standardafvigelsen for VIX indekset er en del større end for S&P500, hvilket skyldes det større udfaldsrum. 6

Som nævnt er udfaldsrummet meget forskelligt, da VIX indekset svinger fra -29,99 % til 49,6 % - dette bør der tages højde for i modelleringen. En interessant observation er, at middelværdien for VIX indekset praktisk talt er lig nul, hvilket kan have indflydelse på modelleringen senere i afhandlingen. 2.1 Volatiltity clustering Som det ses på nedenstående figur, er afkastet på S&P500 præget af volatility clustering. Dette fænomen er først beskrevet af Mandelbrot (1963) som store udsving er efterfulgt af store udsving og små udsving er efterfulgt af små udsving. Figur 4 Daglige afkast på S&P500 fra 1985 til 2010 0,15 0,1 Afkast 0,05 0-0,05-0,1-0,15-0,2-0,25 Kilde: Datastream samt egen tilvirkning Som det ses i figuren, er der tegn på volatility clustering i afkast på S&P500 de seneste 25 år. Afkastet har numerisk set været stort de seneste par år. Dette er konsistent med den større usikkerhed skabt på baggrund af finanskrisen, som startede i USA i sommeren 2007, da de risikofyldte subprime lån begyndte at blive misligholdt. Dette betyder, at variansen er afhængig af tiden, hvilket medfører, at tidsserien ikke kan modelleres hensigtsmæssigt ud fra normalfordelingen jf. Heij et al. (2004). Dette skal der endvidere tages højde for ved konstrueringen af en model. 7

I nedenstående tabel er der lavet en regression af den første laggede værdi af S&P500, en såkaldt AR(1) model jf. Heij et al. (2004). Tabel 2 AR(1) model af afkastet på S&P500 Variabel Koefficient Std. Afvigelse P-værdi Konstant 0,000221 0,000159 0,1638 SPX R t 1-0,057676 0,013784 0 Kilde: Egen tilvirkning Note: Regressionen er udført som en almindelig least squares regression. Regressionen er foretaget på baggrund af 5248 daglige afkast. Forklaringsgraden for regressionen er på 3 %. R er lig det daglige afkast på S&P500 Som det ses i ovenstående tabel, er afkastet i denne periode afhængig af afkastet i sidste periode med en p-værdi på nul. Dermed er der signifikant belæg for, at der optræder seriel korrelation i S&P500 afkast for daglige data 1. 2 Endvidere kan der laves en test for ARCH effects, for at se, hvorvidt der reelt er volatility clustering i datasættet, som figur 4 giver indtryk af. Finansielle data har følgende tre egenskaber jf. Heij et al. (2004): (1) white noise, hvilket betyder, at der ikke er nogen autokorrelation i priserne (2) volatility clustering og (3) excess kurtosis. De to sidste er de mest relevante, idet der i denne afhandling fokuseres på afkastet. Derfor er white noise egenskaben ikke analyseret nærmere her. Som det kan ses ovenfor i tabel 1, er der signifikant belæg for excess kurtosis jf. afvigelsen fra normalitet. Nedenfor er test af volatility clustering lavet, ved hjælp af test for ARCH effekter. Helt basalt kan det konstateres, at når volatilitetsklynger er til stede, er volatiliteten ikke konstant for hele tidsserien, hvilket tidligere figurer også påviste. Dette fænomen er også kaldet heteroskedasticitet. Testen for ARCH effekter kan kort beskrives som en test af, hvorvidt nul hypotesen omkring uafhængige fejlled kan fastholdes. Der anvendes derefter en såkaldt Lagrange Multiplier (LM) test for at se, hvorvidt de kvadrerede fejlled er uafhængige eller ej. 1 Det skal kort bemærkes, at denne konklusion i princippet strider mod Efficient Market Hypothesis (EMH) i svag form om, at det i et efficient marked ikke er muligt at forudsige kurser. EMH i svag form er antaget opfyldt i den øvrige del af afhandlingen. Det skal blot bemærkes, at holdbarheden af EMH til stadighed er et emne, der diskuteres i litteraturen, se blandt andet Campell et al. (1997). Derudover er EMH et speciale-emne i sig selv, og der er derfor ikke gjort mere ud af at diskutere holdbarheden af EMH her. 2 Autoregressive conditional heteroskedasticity 8

Resultatet af testen kan ses i nedenstående tabel. Tabel 3 Test for ARCH effekter Variabel Koefficient Std. Afv. t-statistik P-værdi -6 Konstant 0,0001 6,33*10 16,80 2 Laggede Fejlled 0,209 0,014 14,46 0 F statistik 209,05 0 2 Obs*R 201,11 Kilde: Egen tilvirkning Note: Den afhængige variabel er det kvadrerede fejlled, antallet af observationer er lig 5247, forklaringsgraden er lig 3,82 %. Som det ses i tabel 3, er testen for ARCH effekter signifikant, da Obs*R 2 har en p-værdi på nul. Dette betyder, at afkastet på S&P500 er påvirket af volatility clustering. Analogt kan samme test udføres for afkastet på VIX indekset. Dette bør give samme konklusioner, nemlig at AR(1) modellen er signifikant, samt at ARCH effekter er til stede. ARCH og GARCH 3 modeller kan også bruges til at forudsige den fremtidige volatilitet. Dette kunne være interessant at inkorporere i en stokastisk volatilitetsmodel. I denne afhandling afgrænses der dog fra at anvende disse modeller til at forudsige volatiliteten, idet dette emne i sig selv kunne udgøre en hel afhandling 4. 0 0 3. Teoriafsnit Dette afsnit gennemgår den relevante teori, der anvendes i denne afhandling. Det første afsnit omhandler volatilitet og volatilitetsindekset, VIX. Dernæst vil der være en kort beskrivelse af optionsteori samt en beskrivelse af den klassiske Black-Scholes model. Yderligere vil der være en fyldestgørende beskrivelse af stokastiske volatilitetsmodeller, og denne vil danne grundlag for en redegørelse af Hestonmodellen. 3.1 VIX indekset Volatilitet er i den finansielle verden et udtryk for standardafvigelsen for afkastet på et finansielt aktiv. Standardafvigelsen beskriver variationen omkring gennemsnittet i en statistisk fordeling. Dermed er volatilitet usikkerheden på det realiserede afkast. Volatiliteten anvendes som en vigtig parameter, når prisen på optioner skal fastsættes. I Black-Scholes modellen er niveauet for volatiliteten en afgørende parameter i forhold til optionsprisen. Før 1987 var det en generel opfattelse, at volatiliteten for optioner 3 Generalized ARCH 4 Det forudsættes her, at læseren er bekendt med grundlæggende økonometri, da det falder udenfor afhandlingens rammer at forklare de anvendte test nærmere. Alternativt kan der læse mere i Hejl et al. (2004). 9

var flad jf. Hull (2008). Efter Black Monday i 1987 ændrede opfattelsen af den flade volatilitet sig. Herefter blev den såkaldte implied volatility i større grad anvendt i praksis. 5 Der er forskellige definitioner af volatilitet. Først og fremmest er der historisk volatilitet, hvilket, som navnet antyder, beskriver størrelsen på volatilitet målt over en historisk periode. Et sådant mål kan være interessant at analysere, men er reelt ikke retvisende for den fremtidige volatilitet, fordi den netop tager udgangspunkt i historiske data. Et andet udtryk er realiseret volatilitet, som oftest bruges i volatilitets swap kontrakter. Den realiserede volatilitet er, som navnet indikerer, et mål for den konkrete volatilitet over en specifik periode. I den finansielle verden og i denne afhandling er historiske værdier ikke optimale. Den historiske kurs har ingen indflydelse på den fremtidige, da kursen afspejler forventningen til fremtiden og ikke er påvirket af fortiden. Dette kaldes indenfor finansiel matematik en Markov Property. Hvis et afkast eller volatilitet er Markov, er den historiske udvikling irrelevant i forhold til den fremtidige udvikling, hvilket betyder, at information om niveauet i dag er det eneste relevante jf. Hull (2008). Historisk information kan ikke bruges til forudsigelse af den fremtidige udvikling, og det medfører, at eksempelvis teknisk analyse ikke er anvendelig. Dette er i overensstemmelse med Efficient Market Hypothesis (EMH) i den svage form. Denne teori opstillet af Fama (1970) beskriver et marked i tre forskellige former; svag, semi-stærk og stærk. Den svage form for markedsefficiens indebærer, at der ikke kan anvendes historiske data til at skabe et overnormalt afkast. Den svage form for markedsefficiens antages at holde i denne afhandling. Dermed kan historiske kurser ikke anvendes til at forudsige fremtidige kurser. Dette er helt på linje med den tidligere definerede Markov Property. Endvidere kan no arbitrage argumentet også anvendes til underbygning af, at Markov egenskaben er opfyldt. Ingen arbitrage er en af de stærkeste forudsætninger i den finansielle teori. Dette argument siger, at der ikke kan laves et overnormalt afkast, uden at der påtages ekstra risiko. Ét af argumenterne for, at arbitrage ikke er mulig, er antallet af aktører i markedet samt den store informationsmængde. Der er mange forskellige aktører på de finansielle markeder. Når der opstår en potentiel arbitragemulighed, bliver den udnyttet med det samme. Det betyder, at priserne i markedet øjeblikkeligt konvergerer, hvilket medfører, at arbitrage ikke er mulig. På baggrund af ovenstående kan den historiske volatilitet ikke anvendes, da denne ikke kan antages at være konstant i fremtiden og må betragtes som stokastisk. Derfor skal der tages højde for den stokastiske volatilitet i modeludviklingen, når optioner skal prisfastsættes. 5 Mere herom senere i afsnittet om Black-Scholes modellen 10

3.1.1 Leverage effekten En vigtig egenskab ved aktier er den såkaldte leverage effekt. Dette fænomen er baseret på corporate finance-teori på baggrund af det banebrydende arbejde med finansielle teorier af Modigiani og Miller, jf. Black (1976). En virksomhed er overordnet finansieret af gæld og egenkapital. Den nominelle værdi af gælden er på kort sigt konstant, hvilket gør, at egenkapitalen er den eneste variable parameter. Værdien af den totale markedsværdi af egenkapitalen ændres hele tiden ud fra markedets forventning til virksomheden. Dermed opstår leverage effekten, når gælden er konstant og værdien af egenkapitalen falder, da størrelsen på gælden bliver relativt større. Dette betyder, at virksomheden bliver mere risikofyldt, idet en højere gældsandel medfører større risiko for aktionærerne. Volatiliteten er et udtryk for risikoen på en aktie, hvilket er det samme som risikoen på egenkapitalen. Derfor må volatiliteten stige, når aktien falder i værdi, idet risikoen stiger på grund af en relativt større gæld. Dette er en teoretisk motivation for en negativ korrelation mellem volatiliteten og afkastet. Figlewski & Wang (2000) mener at leverage effekten kun er til stede, når aktiemarkedet falder, en såkaldt down market effect. Endvidere skriver de også, at leverage effekten ikke kan forklare hele den negative korrelation mellem volatiliteten og afkastet. Generelt er leverage effekten bland andet yderst relevant i forhold til volatilitetssmilet, som bliver beskrevet senere i afhandlingen. 3.1.3 Introduktionen af et volatilitetsindeks Allerede i 1993 introducerede Chicago Board of Option Exchange (CBOE) et indeks, som målte risikoen i markedet ved hjælpe af volatiliteten på S&P100 indekset. Dette fungerede indtil 2003 under navnet VIX, hvor S&P 100 blev udskiftet med S&P500 indekset i stedet. Det gamle indeks skiftede navn til VXO. Det nye VIX indeks er baseret på et større datagrundlag, da det anvender de 500 største virksomheder i USA. Dette er en bedre approksimation af markedets samlede risiko, end når der kun anvendes de 100 største virksomheder. Derfor vil kun det nye VIX blive taget i betragtning i denne afhandling, da dette nødvendigvis må give et bedre estimat for risikoen på de største amerikanske aktier. VXO indekset er beregnet på baggrund af near-the-money Black-Scholes implied volatilities 6 jf. Carr & Wu (2006), hvor VIX derimod er baseret på markedspriser. Dette giver dermed et mere retvisende billede af risikoen i markedet. CBOE introducerede det nye VIX indeks, fordi dette har en bedre økonomisk fortolkning jf. Carr & Wu (2006). Hvis VIX indekset kvadreres, kan det ses som prisen på en portefølje af optioner (1) eller som en approksimation på en volatilitets swap (2): 6 Near-the-money er optioner, som har en udnyttelsesværdi tæt på aktiens nuværende kurs. 11

(1) Carr & Wu (2006) dekomponerer den realiserede varians i forskellige led. Herefter anvender de det risiko-neutrale mål samt tager forventningen. Dette resulterer i et udtryk, der ligner den generelle formel for VIX 2 (denne kan ses senere i afsnittet), hvilket betyder, at VIX 2 kan betragtes som en portefølje af optioner. (2) VIX 2 er den risiko neutrale forventning til den annualiserede volatilitet de næste 30 dage, og derfor må det netop være en approksimation af swap renten over de næste 30 dage 7. 3.1.4 Konstruktion af VIX indekset Den generelle formel for beregning af VIX ser således ud, CBOE Whitepaper (2009): σ 2 = 2 (ΔK i ) T i K 2 E rt Q(K i ) 1 F 1 2 (1) i T K 0 Tabel 4 Parametre i konstruktionen af VIX indekset Parameter input T Beskrivelse Tid til udløb for den enkelte option F Forwardindeks niveau udledt fra put-call pariteten (Se bilag 1) K 0 K i ΔK i r Q(K i ) Første udnyttelseskurs under forwardindeks niveau, F, hvor spreadet mellem Call og Put prisen er numerisk lavest. Udnyttelseskurs af out-of-the-money option i. Call option, hvis K i > K 0. Put, hvis K i < K 0. Hvis K i = K 0 er det både en put og en call. Intervallet mellem udnyttelseskurser ΔK i = K i+1 K i=1. For den mindste og højeste udnyttelseskurs er 2 det forskellen mellem denne og den nærmeste udnyttelseskurs. Risikofri rente indtil udløb (varierer over længden på optionen, da rentekurven ikke er flad) Median mellem bid-ask spreadet Kilde: CBOE Whitepaper (2009), samt egen tilvirkning VIX indekset er beregnet ud fra priser på to sæt af optioner med kortest og næst kortest tid til udløb, dog skal løbetiden være over én uge for at undgå anomalier. Optionerne, der er anvendt, er alle out-of-themoney (OTM) optioner med en positiv bid pris. Derfor varierer antallet af optioner, der indgår i beregningen af VIX, hele tiden, da bid prisen hele tiden ændres i forhold til, hvad køberne er villige til at betale. 7 Se mere i Carr & Wu (2006) 12

De anvendte call og put priser svarer til den udnyttelseskurs, hvor forskellen mellem de to er numerisk mindst. Herefter kan forward prisen udregnes ved hjælp af nedenstående formel: F = K + e rt (C P) (2) For alle OTM optionspriser med bid pris større end nul beregnes medianen mellem bid-ask spreadet, Q(K i ). Dermed er der redegjort for alle input variable i variansen for hvert af de to sæt optioner. Herefter kan værdien af VIX indekset beregnes som nedenstående, hvor N er en tidsfaktor og t er udløbstid: VIX = 100 t 1 σ 1 2 N t2 N 30 N t 2 N t1 + t 2 σ 2 2 N t30 N 1 N 365 (3) N t 2 N N t1 30 Ovenstående formel er kvadratroden af den 30 dages gennemsnitlige varians for de to korteste udløbsdatoer på mere end én uge, ganget med 100. VIX indekset er dermed baseret på investorernes forventninger til volatiliteten i nær fremtid. Som der kan læses i nedenstående afsnit er VIX indekset negativt korreleret med aktiemarkedet. Når aktierne er i en turbulent periode, stiger værdien af VIX indekset. Derfor har VIX indekset fået tilnavnet investors fear gauge 8. Frygt er et negativt ladet ord, derfor er dette ikke helt retvisende. Grunden til dette tilnavn er, at VIX måler usikkerheden i markedet usikkerhed kan her blandt andet forstås som markedets gennemsigtighed eller usikkerhed omkring fremtidige forventninger. Dette betyder også, at værdien af VIX indekset godt kan falde, selvom investorerne tror, at aktiemarkederne falder. Forudsætningen for dette specialtilfælde vil være, at gennemsigtigheden i markedet er stigende jf. CBOE Research Note (2009). 3.1.5 Historisk udvikling CBOE har beregnet VIX indekset tilbage til 1990, selvom det reelt først blev introduceret senere. I nedenstående figur 5 kan udviklingen i niveauet for både S&P500 og VIX indekset aflæses. I figuren ses det, at S&P500 har haft to højdepunkter siden 1990, og begge er efterfulgt af store fald. Denne udvikling skyldes IT-boblen omkring årtusindskiftet samt ejendomsboblen, som medførte finanskrisen i sommeren 2007 og frem. Ligeledes ses det, at VIX indekset som udgangspunkt ligger på et meget stabilt niveau og ser ud til at have en mean reverting tendens. Dog er der store stigninger i perioden. Disse stigninger kommer i forbindelser med store ændringer i S&P500. 8 På dansk: Investorernes frygtmåler. 13

Figur 5 Udvikling i niveauet for S&P500 og VIX siden 1990 Pris SPX VIX 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 Pris 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 01-02-1990 14-8-1990 26-3-1991 11-05-1991 16-6-1992 26-1-1993 09-07-1993 19-4-1994 29-11-1994 07-11-1995 20-2-1996 10-01-1996 13-5-1997 23-12-1997 08-04-1998 16-3-1999 26-10-1999 06-06-2000 16-1-2001 28-8-2001 04-09-2002 19-11-2002 07-01-2003 02-10-2004 21-9-2004 05-03-2005 13-12-2005 25-7-2006 03-06-2007 16-10-2007 27-5-2008 01-06-2009 18-8-2009 Kilde: Datastream Note: Den blå kurve er S&P500 og måles på venstre aksen. Den røde kurve VIX bliver målt på højre aksen. Ovenstående figur viser, at korrelation mellem S&P500 og VIX synes at være negativ. Det giver ud fra et teoretisk perspektiv god mening, da volatiliteten netop stiger, når værdien af aktierne falder, hvilket blandt andet skyldes leverage effekten. Korrelationen mellem S&P500 og VIX er beregnet i nedenstående tabel. Tabel 5 Korrelation mellem daglig afkast på S&P500 og VIX siden 1990 Numerisk afkast Korrelation Observationer Alle afkast -0,69 5249 >0,5 % -0,75 2673 >1 % -0,78 1346 >2,5 % -0,84 208 >5 % -0,92 28 Kilde: Egen tilvirkning Note: Alle korrelationer er statistisk signifikant forskellige fra 0 ved et signifikansniveau på 5 %. Tabellen er opdelt efter den numeriske størrelse på afkast den pågældende dag. Dataperioden løber fra 1. januar 1990 til 15. februar 2010. Tabel 5 viser, at der er en negativ korrelation mellem S&P500 og VIX på -0,69, hvilket figur 5 også indikerede. Denne korrelation stiger i takt med, at det numeriske afkast stiger. Når S&P500 f.eks. falder eller stiger mere end 5 %, er korrelationen meget tæt på -1, nemlig -0,92. Dermed er VIX et aktiv, der i ekstreme situationer kan minimere risikoen på en portefølje, da det næsten er en perfekt hedge i forhold til 14

S&P500. Dette kræver dog, at investoren rebalancerer porteføljen kontinuerligt, hvilket er vanskeligt i praksis. Endvidere kan VIX betragtes ud fra fundamental porteføljeteori jf. Markowitz (1952). Markowitz redegør for, at når korrelationen går fra 1 mod -1 mellem to aktiver, bliver gevinsten ved diversifikation større. Når korrelationen går mod -1, bliver variansen på porteføljen lavere givet et bestemt afkast. Såfremt det var muligt at købe VIX direkte, ville det være fordelagtigt at inkludere VIX i en portefølje af aktiver med henblik på at minimere risikoen. Dette er dog en hypotetisk situation, da det vil være meget omkostningsfyldt at replikere en position i VIX indekset, da det er konstrueret ved hjælp af mange forskellige optioner. Siden 1990 har S&P500 oplevet stigninger eller fald på mere end 5 % på én dag 28 gange. Ud af disse 28 dage, hvor S&P500 har haft store ændringer, var 17 negative. Dette underbygger, at S&P500 har en negativ skævhed, da der er flest store negative fald. Siden 2008 har der 22 gange været en ændring S&P500 på mere end 5 %, hvor 13 af disse var negative. Dermed er størstedelen af de ekstreme udfald sket under finanskrisen. En lang position i VIX kunne derfor have mindsket tabene for en investor i S&P500 under finanskrisen. 3.1.6 Handlede aktiver med volatilitet som underliggende I 2004 kom de første finansielle derivater baseret på VIX indekset kaldet VIX futures. To år senere, i 2006, blev VIX optioner indført. Siden introduktionen er handlen med derivater baseret på VIX indekset steget kraftigt til mere end 100.000 kontrakter per dag, hvilket gør det til CBOE s mest succesfulde indeks jf. CBOE Whitepaper (2009). I denne afhandling vil der som nævnt blive fokuseret på VIX indekset. Der findes dog andre volatilitetsindeks, som er baseret på andre indeks, eksempelvis VXN (Nasdaq 100), VXD (Dow Jones Industrial Average), OVX (Crude Olie), GVZ (guld), Vdax (DAX) 9 og forskellige andre europæiske volatilitetsindeks 10. 3.2 Derivater I dette afsnit bliver generelle derivater og optionsteori gennemgået. Der vil specielt blive lagt vægt på anvendelsen i forbindelse med volatilitetsderivater. En option kan defineres som en mulighed for at foretage en given handling, f.eks. sælge (put option) eller købe (call option) et underliggende aktiv, S, til en fast udnyttelseskurs K, på et givet tidspunkt i fremtiden, T. 9 www.deutsche-boerse.com 10 Blandet baseret på FTSE100 og CAC40. www.euronext.com 15

Payoff på en call og put option kan derfor skrives op som: c = max(s T K, 0) (4) p = max (K S T, 0) (5) Payoff strukturen for en option illustreres bedst grafisk. Figur 6 Options payoff og Put-call Paritet Long Put Long Call Short put Short Call P+S C+e -rt *K P + S = C + e rt K Kilde: Egen tilvirkning Sammenhængen mellem put og call optioner kan beskrives ved hjælp af put-call pariteten: P + S = C + e rt K (6) Hvor r er den risikofrie rente. Ud fra put-call pariteten kan prisen på en call eller put option nemt udledes under forudsætning af, at de andre input i formlen er kendte. Put-call pariteten bygger ikke på nogen modelantagelser og kan derfor udledes ud fra markedsprisen. Det gør den til et stærkt værktøj. 3.2.1 Forwards og futures En forward kontrakt kan defineres som en forpligtigelse til at købe eller sælge et givet underliggende aktiv, S, til en given pris, K, på et givet tidspunkt i fremtiden, T. Ligeledes kan en futures kontrakt beskrives på næsten samme måde; forskellen er, at værdien af en future bliver opgjort dagligt marked to market, og at en future er en standardiseret kontrakttype, der kan handles på børsen, hvorimod en forward typisk er specielt designet til kunden. 16

Forward prisen på et aktiv, der ikke giver noget direkte afkast, kan skrives som: F 0 = S 0 e rt (7) Forward prisen er lig den nuværende pris fremdiskonteret med den risikofrie rente. Grunden til denne sammenhæng er, at det ellers ville være muligt at opnå arbitrage. Dette gøres ved at lave en portefølje, hvor det instrument, der er overvurderet, sælges, og det instrument, der er undervurderet, købes. For en forward kontrakt, der er indgået på et tidligere tidspunkt, kan den nuværende pris på kontrakten, f, udregnes ved hjælp af følgende formel: f = (F 0 K)e rt f = S 0 Ke rt (8) Forwardprisen og futureprisen er identiske, når renten er konstant jf. Hull (2008). Det er blandt andet disse formler for futurepriser, der anvendes i Blacks (1976) udvidelse til Black-Scholes formlen. 3.3. Grundlæggende optionsteori Dette afsnit vil først gennemgå den generelle teori, der er nødvendig for at kunne opstille en model til at prisfastsætte optioner. Derefter vil den gennemgåede teori blive anvendt på den simple Black-Scholes model. Formålet med dette afsnit er dermed at introducere de fundamentale ting, der skal anvendes, når mere komplekse optionsmodeller tages i brug. 3.3.1 Stokastiske processer generelt En optionsmodel skal grundlæggende kunne modellere udviklingen i det underliggende aktiv. Dette gøres ved hjælp af en stokastisk proces, som er en proces, der ændrer sig tilfældigt over tid. Denne proces er nødvendig, da den fremtidige udvikling i det underliggende aktiv er ukendt. To vigtige egenskaber for en stokastisk proces med aktier som underliggende er Markov og Martingale egenskaberne. 3.3.2 Markov egenskaben Processer med Markov egenskaben er populært sagt processer, der ikke har nogen hukommelse, eller med andre ord processer, hvor al tidligere information om priser er inkorporeret i prisen i dag. Dermed er det kun den nuværende værdi, der er relevant for at kunne estimere fremtidige værdier. 17

Markov egenskaben kan skrives som: E(S i+1 S 1,, S i ) = E(S i+1 S i ) (9) Det forudsættes typisk for aktiepriser, at de er Markov processer 11. Hvis et afkast antages at være Markov, er den historiske udvikling irrelevant i forhold til den fremtidige udvikling, og det betyder, at information om niveauet i dag er det eneste relevante jf. Hull (2008). 3.3.3 Martingale Martingale egenskaben er en anden vigtig egenskab, som en stokastiske proces kan besidde. Hvis en proces er en Martingale, kan den skrives som: E(S i+1 S 1,, S i ) = S i (10) Dette betyder med ord, at det bedste estimat på forventningen til prisen i morgen, givet al tidligere information, er lig med prisen i dag. Dermed vil en proces, der er en Martingale, ikke have nogen drift. Et eksempel på en Martingale kunne for eksempel være en random walk. 3.3.4 Itô processer og Itô s Lemma En Itô proces er et generelt udtryk for den proces, som en givet stokastisk variabel følger: dx i = a(x, t) i dt + b(x, t) i dz i (11) Her er funktionerne a(s,t) og b(s,t) afhængige af tiden og det underliggende aktiv. Dermed fortæller driftleddet, hvor stor den gennemsnitlige ændring er for processen i den næste periode dt. Diffusionsleddet fortæller, hvor stor variationen vil være omkring den forventede værdi af processen. Denne generelle stokastiske differential-ligning (SDE) vil senere i afhandlingen blive anvendt til at udlede en generel prisformel for stokastiske modeller. Ud fra ovenstående proces kan Itô s lemma udledes - en formel, der ofte anvendes indenfor stokastisk calculus. Ved hjælp af Itô s lemma kan der bestemmes en stokastisk proces for en funktion af en variabel. Det bekvemmelige ved Itô s lemma er, at dette udelukkende gøres ved hjælp af den stokastiske proces for variablen selv. 11 Det antages i afhandlingen at S&P500 er Markov 18

Set i en finansiel kontekst er dette meget belejligt, da den stokastiske proces for en option kan ses som en funktion af det underliggende aktiv og tiden. Derved kan den stokastiske proces findes, som en option på et underliggende aktiv følger, så længe den stokastiske proces blot kendes for det underliggende aktiv. Itô s lemma skal i denne afhandling bruges til at udlede den stokastiske proces for en funktion, der afhænger af to variable, det underliggende aktivs pris og senere volatiliteten, derudover afhænger Itô s lemma også af tid. I afhandlingen anvendes en generalisering af Itô s lemma, der ser ud som følger: df = n f i=1 x i dx i dt + 1 n n 2 f t 2 i=1 j=1 b x i x i b j ρ ij dt (12) j + f Hvis i og j sættes lig 1 i formel (12) fås Itô s lemma for en proces, der følger en funktion af en enkelt stokastisk variabel, som er formlen, der anvendes i for eksempel Black-Scholes til at udlede differentialligningen for Black-Scholes model. 3.3.5 Brownian Motion og Geometric Brownian Motion Brownian Motion er en kontinuert stokastisk proces, der starter i nul, og som både er en Martingale og besidder Markov egenskaben. En Brownian motion er dermed en stokastisk proces, der følger en standardnormalfordeling, hvor gennemsnittet er lig nul og variansen er lig en. Den blev første gang anvendt indenfor fysikken af botanikeren Robert Brown til at beskrive, hvordan pollen bevæger sig i vand. Senere er den også blevet anvendt til at beskrive stokastiske processer blandt andet af Norbert Wiener, deraf navnet Wiener Proces. En generel Wiener Proces ser således ud: ds = adt + bdz Hvor a og b er konstanter for henholdsvis driftleddet og diffusionsleddet. En given proces Z kaldes for en Brownian motion, hvis den er karakteriseret ved følgende tre egenskaber: 1. Ændringen ΔZ for en lille tidsperiode Δt er lig: Z = ε t ; ε~φ(0,1) 2. Værdien af ΔZ 1 og ΔZ 2 er uafhængige, hvis de to tidsintervaller Δt 1 og Δt 2 er uafhængige og ikke overlapper hinanden. 3. Startværdien er 0: 19

Z(0) = 0 Ud fra dette ses det, at den forventede værdi til Z(t) er lig 0, fordi: Samtidig er variansen på Z(t) lig t, fordi: E Z(t) = E ε t E Z(t) = 0 Var Z(t) = Var ε t Var ε t = E ε t 2 Var Z(t) = t Og dermed vil standardafvigelsen være lig kvadratroden af tiden: σ = t Brownian motion kan ligeledes skrives som grænseværdien for processen Z, når tidsintervallet Δt for processen går mod nul: dz = ε dt t 0 Dermed beskriver en Brownian motion tilfældige bevægelser eller støj i en proces, og således anvendes den i forbindelse med finansiel teori. Brownian motion kan udvides til at indeholde et driftled og kan ligeledes skaleres med værdien af det underliggende aktiv. Hvis dette gøres, fås den meget anvendte Geometric Brownian Motion (GBM), som Black-Scholes anvender til at beskrive prisudviklingen i det underliggende aktiv, S: ds = μsdt + σsdz, S(0) = s (13) GBM er dermed en specificering af den tidligere gennemgåede Itô proces, hvor μ er en konstant, der beskriver det forventede afkast på aktien, og σ er en konstant, der beskriver volatiliteten på aktiens pris. 20

Figur 7 Simulerede sti for en GBM, diffusion, samt driftled 350 300 Aktieværdi 250 200 150 100 50 0 GBM dz drift 0,0 0,8 1,7 2,5 3,3 4,2 5,0 5,8 Tid Kilde: Egen tilvirkning Hvis Itô s lemma anvendes til at finde den proces, som den lognormalfordelte proces G følger, hvis aktieprisen, S følger en GBM, fås: dg = μ σ2 dt + σdz (14) 2 I figur 7 kan der ses en simuleret sti for udviklingen i værdien S ud fra formel (14). μ og σ er konstanter, og det betyder, at G=lnS følger en generel Wiener Proces. Dette skyldes, at afkastet i princippet kan variere fra minus uendelig til uendelig. Derimod kan aktiekursen aldrig blive negativ, da en virksomhed højst kan gå konkurs, hvilket giver en aktiekurs lig nul. Dermed følger aktiekursen en logaritmisk normalfordeling i en GBM. GBM er som nævnt en meget anvendt proces til at beskrive udviklingen i et underliggende aktivs prisudvikling. 3.3.6 Den risiko neutrale verden og risikoneutralitet Risikoneutralitet er et begreb, som anvendes til at beskrive præferencerne for en risikoneutral investor. Dermed vil en risikoneutral investor kun forlange det risikofrie afkast r f af sin investering. Dette er et meget anvendeligt resultat i forbindelse med optionsteori, da det er svært at fastlægge afkastkravet for den enkelte investor. Risikoneutralitet gør det muligt at prisfastsætte optioner og derefter tilbagediskontere denne pris med den risikofrie rente for at finde prisen i den virkelige verden. 21

Et eksempel på dette kan gives ved BSM-differential-ligningen: f t f + rs + 1 S 2 σ2 S 2 2 f S2 = rf (15) Som det ses, er der ikke noget i ligningen, der afhænger af risikopræferencer, da μ ikke er til stede i ligningen. Hvis ligningen havde været afhængig μ af, ville den være afhængig af investorernes risikovillighed, fordi μ vil være højere for en given aktie, der har højere risiko. Det mest oplagte er derfor at anvende risikoneutralitet, så alle investorer forlanger den risikofrie rente af deres investering. Dermed kan en option prisfastsættes i den risikoneutrale verden ved at antage, at det forventede afkast fra det underliggende aktiv er lig den risikofrie rente, altså sættes μ=r. Dernæst beregnes det forventede afkast af optionen ved udløb, og denne værdi tilbagediskonteres med den risikofrie rente, så opnås (den rigtige) værdi af optionen i dag. Det eneste, der sker, når der skiftes fra den risikoneutrale verden til den risikoaverse verden er, at det forventede afkast på det underliggende aktiv ændres til μ, og at tilbagediskonteringsfaktoren for værdien af optionen ændres. Det er dette princip, Black-Scholes blandt andet anvender i deres model. Det er vigtigt at understrege, at den risikoneutrale verden blot er et værktøj, som er belejligt at anvende i forbindelse med prisfastsættelse af optioner og derivater. Risikoneutralitet er ofte benævnt som Q-målet i den finansielle litteratur, hvilket også vil gøres i denne afhandling. 3.3.7 Grundlæggende Black-Scholes De ovenfor beskrevne elementer er alle vigtige i forhold til Black-Scholes modellen, som vil blive beskrevet i dette afsnit. Black-Scholes modellen introduceres i dette afsnit, og der er dermed ikke lagt vægt på udledning af f.eks. den risikofrie portefølje, da dette gøres i en mere generel kontekst i afsnittet om stokastiske volatilitetsmodeller. Derimod gennemgås Black-Scholes modellens forudsætninger grundigt, herunder en gennemgang af forudsætningsbrudene for Black-Scholes og især antagelsen om, at volatiliteten er konstant. Grunden til dette er, at det netop er disse forudsætningsbrud, der skaber motivationen for mere avancerede modeller. 3.3.7.1 Black-Scholes Model Black & Scholes (1973) udledte deres model på et tidspunkt, hvor optioner var meget mindre anvendt, end de er i dag. Black-Scholes formlen anvendes til at prisfastsætte europæiske optioner. En af grundende til, at Black-Scholes formel er populær, er, at den giver et lukket udtryk for prisen på en europæisk option, og den er dermed meget hurtig og bekvem at arbejde med. 22

Optioner kan prisfastsættes ud fra Black-Scholes ved hjælp af flere forskellige tilgange jf. Andreasen, Jensen & Poulsen (1998). Den tilgang, der ganske kort vil blive beskrevet her, er ud fra no arbitrage argumentet. Ud fra SDE en for en GBM for det underliggende aktiv, S, kan Black-Scholes udledes. Dette gøres ved først at anvende Itô s lemma til at finde dynamikken for det afledte aktiv. Derefter konstrueres en portefølje bestående af en position i en option og en modsatrettet position i det underliggende aktiv med mængden delta. Størrelsen på delta vælges således, at porteføljen er risikofri. Denne portefølje er risikofri og dens afkast er lig det risikofrie afkast - ellers er der mulighed for arbitrage. Ud fra denne portefølje kan Black- Scholes differential-ligningen findes som: f t f + rs + 1 S 2 σ2 S 2 2 f S2 = rf (16) Denne differential-ligning kan anvendes på alle de derivater, der har S som underliggende aktiv. Ved at løse differential-ligningen for givne grænseværdier for S og t for en option, kan Black-Scholes formlen udledes jf. Hull (2008) 12. Grænseværdierne vil være givet enten i form af en put eller som her en call option. Grænseværdien for call optionen tilsvarer payoff, der som nævnt tidligere kan beskrives som: f T = max(s T K, 0) (17) Dermed fås Black-Scholes formlen til prisfastsættelse af call optionen c: c = S 0 N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) (18) Hvor: ln S 0 K + r + σ2 2 T d 1 = σ T d 2 = d 1 σ T Formlen for put optioner kan blandt andet udledes ved at anvende put-call pariteten. Alternativt er modellen også udledt specifikt til put optioner - det vil dog ikke blive fremstillet her. 12 Udledningen af Black-Scholes formlen kan også gøres på mange andre måder, f.eks. ved hjælp af risikoneutral prisfastsættelse. 23

3.3.7.2 Black s model for futures En af udvidelserne til Black-Scholes modellen er Black s udvidelse til modellen i 1976. Den grundlæggende antagelse bag Black s udvidelse er, at futures priser har samme lognormale egenskaber som prisen på det underliggende aktiv. Den primære forskel mellem denne udvidelse og Black-Scholes modellen er, at spot prisen på det underliggende aktiv er erstattet med futures prisen. Futures prisen kan ses analogt til prisen på en aktie, der udbetaler dividende lig den risikofrie rente r. Grunden til dette er, at der ikke er nogen omkostninger forbundet med at lave en futures aftale, hvis der ses bort fra marginomkostninger. Da der teoretisk set ikke er nogen omkostninger forbundet med at lave en futures kontrakt, må merafkastet over den risikofrie rente i den risikofrie verden være lig nul. Dette skyldes, at en investering på nul vil give forventningen om at kunne opnå en profit på nul, derfor skal det forventede afkast af at holde en futures kontrakt være lig nul, ellers kunne der laves arbitrage. Formlen for optionspriser ved Black s udvidelse ser således ud: c = e rt (F 0 N(d 1 ) KN(d 2 ) (19) p = e rt KN( d 2 ) F 0 N( d 1 ) (20) Hvor ln F 0 K + r r + σ2 2 T d 1 = σ T d 2 = d 1 σ T Det bemærkes, at den risikofrie rente går ud med sig selv i udtrykket for d 1. Dette skyldes som sagt, at futures prisen svarer til prisen på et aktiv, der udbetaler r i dividende. Selvom Black-Scholes formlen ikke er hovedemnet for denne afhandling, er den alligevel vigtig. Efterfølgende modeller, heriblandt Heston (1993), anvender samme tankegang og de samme teknikker f.eks. med hensyn til at konstruere en risikofri portefølje samt løsningsforslag. Derudover bygger Black-Scholes på forudsætninger, der ikke er realistiske jf. empirien. Disse forudsætningsbrud vil blive gennemgået i nedenstående afsnit. Dette gøres for at motivere konstruktionen af en model, der afspejler virkeligheden bedre. 24

3.3.7.3 Black-Scholes modellens forudsætninger og forudsætningsbrud Black-Scholes formlen er opstillet på baggrund af følgende forudsætninger: Det forudsættes, at prisprocessen på det underliggende aktiv følger en GBM med driften μ og volatiliteten σ. ds = μs t dt + σs t dz t (21) Der kan drages tvivl om, hvorvidt denne forudsætning er opfyldt. Som det fremgik af datagrundlaget, kan det ikke antages, at de daglige logafkast på S&P500 er normalfordelte. Ingen transaktionsomkostninger, bid-ask spreads eller skatter. Denne antagelse er naturligvis ikke realistisk, da disse ting altid vil være til stede i et vist omfang. Hvis disse poster er meget store, kan det medføre, at det bliver omkostningsfuldt at hedge sin position. Da hedging ikke er det primære emne for denne afhandling, vil dette dog ikke blive diskuteret nærmere. Der kan lånes og udlånes ubegrænset til den risikofrie rente r, som er konstant. Denne forudsætning holder ikke, da den risikofrie rente ikke er konstant. Der er i senere modificeringer af Black-Scholes modellen taget højde for forudsætningen om en konstant rente, og det er ligeledes ikke en forudsætning, der vil blive diskuteret yderligere i denne afhandling. Det vil for Hestonmodellen blive antaget, at renten er deterministisk. Ingen arbitragemuligheder. Denne forudsætning er en af grundideerne bag opstillingen af en risikofri portefølje. I en større sammenhæng kan markedsefficiens i forbindelse med arbitrage diskuteres. Der er i praksis eksempler på, at der kan tjenes et overnormalt afkast. Dog er det tvivlsomt, hvorvidt dette reelt er ren arbitrage, hvis alle risici indregnes 13. Her vil forudsætningen dog ikke blive diskuteret yderligere - det antages, at forudsætningen holder. Alle handler foregår i kontinuert tid. I den virkelige verden foregår alle handler ikke i kontinuert tid, da markederne for de fleste aktivers vedkommende er lukkede på givne tidspunkter af døgnet. Der er ubegrænsede muligheder for at short sælge. Denne forudsætning er reelt ikke opfyldt, som det nylige forbud mod at short sælge bankaktier i forbindelse med finanskrisen er et eksempel på. Der udbetales ikke dividende. 13 Med ren arbitrage menes her et overnormalt afkast, der er 100 % risikofrit. Ofte er likviditetspræmien eksempelvis ikke medregnet, når arbitragemuligheder undersøges. 25

For de fleste aktiers vedkommende betales der dividende, og denne forudsætning kan der relativt nemt tages højde for ved at indsætte en ekstra parameter i formlen. Volatiliteten σ er konstant over tid. En af de kritiske forudsætninger for Black-Scholes er forudsætningen om konstant volatilitet. Det er empirisk bevist, at denne forudsætning ikke holder, og dette er en af de væsentligste grunde til videreudviklingen af stokastiske volatilitetsmodeller såsom Heston. Generelt kan samtlige forudsætninger kritiseres, dog kan de fleste antages at være opfyldt uden betydelige problemer. To af forudsætningerne er mere kritiske, nemlig konstant volatilitet og forudsætningen om lognormale afkast. Disse to forudsætningsbrud er skyld i, at Black-Scholes modellen som udgangspunkt ikke kan anvendes til at matche markedspriserne. Forudsætningsbrudene har endvidere medført, at modellen er blevet udvidet med stokastisk volatilitet og jumps. Forudsætningsbruddet om konstant volatilitet er hovedemnet for denne afhandling. Dette forudsætningsbrud vil blive behandlet grundigt i de efterfølgende afsnit. 3.3.8 Implicit Volatilitet Implicit volatilitet er den volatilitet, som markedet forventer en givet aktie vil have jf. Hull (2008). Implicit volatilitet er beregnet ud fra Black-Scholes formlen ved at indsætte markedsprisen på optionen. Dermed er den eneste ukendte parameter volatiliteten, som kan findes ved hjælp af en iterativ proces. Da markedsprisen er en anvendt parameter i modellen, giver implicit volatilitet en indikation på, hvad markedet forventer, volatiliteten skal være. Dermed er det et fremadrettet estimat for volatiliteten på en aktie i modsætning til den historiske volatilitet, hvilket gør implicit volatilitet utrolig populært i praksis. Implicit volatilitet er et øjebliksbillede, der afhænger af de andre parametre i modellen, hvilket tydeligt viser, at volatiliteten ikke er konstant i praksis. Et eksempel på dette kan ses i figur 8. 3.3.9 Volatilitetssmilet Inden Black Monday i 1987 var den gængse opfattelse, at volatiliteten var konstant som i Black-Scholes modellen jf. Hull (2008). Denne fejlagtige opfattelse blev efterfølgende ændret, da markedet indså, at meget store fald kunne ske over en meget kort tidsperiode. Dette fænomen blev kendt som Crashofobia, hvilket medførte volatilitetssmilet. Volatilitetssmilet opstår primært på baggrund af to ting; at afkastene ikke er normalfordelte - og leverage effekten. Den negative skævhed samt de fede haler i fordelingen for afkastene gør, at sandsynligheden for store fald er større end i normalfordelingen. Derfor skal udstederen af en OTM put option kompenseres for den større risiko, der er for, at optionen ender ITM. Dette betyder, at optionen vil have en større implicit volatilitet. Argumentet for, at leverage effekten medvirker til volatilitessmilet, er, at volatiliteten, alt andet 26

lige, er en faldende funktion af prisen på aktien. Derudover er volatilitetetssmilet ved korte løbetider mere markant end ved længere løbetider, hvilket også kan forklares med Crashofobia. Den forventede volatilitet er ikke konstant ved forskellige udnyttelseskurser og løbetider, som det kan ses i nedenstående figur. Figur 8 Implicit volatilitet for S&P500 optioner den 28. maj 2010 Kilde. Egen tilvirkning Note: Volatilitetsoverfladen er beregnet ud fra udvalgte optionspriser på S&P500 ved forskellige løbetider fra den 28. maj 2010. Der er i alt anvendt 9 forskellige løbetider med 9 forskellige udnyttelseskurser. Selve figuren er lavet i Matlab. Moneyness er defineret som K/S, hvilket går igen gennem afhandlingen. Data anvendt i figuren kan findes på vedlagte CD rom. Navnet volatilitetssmilet er en smule misvisende, da optioner baseret på aktier oftest er kendetegnet ved skævhed (skew) i stedet for et smil. Volatilitetssmilet varierer afhængig af, hvilket underliggende aktiv, der behandles. I figuren er den implicitte volatilitet for S&P500 optioner opstillet. Alternativt kunne optioner baseret på VIX eller et andet indeks anvendes. Hovedpointen er uændret; det er empirisk bevist, at den implicitte volatilitet ikke er konstant, men afhænger af udnyttelseskurs og tid til udløb. Dermed er der motivation for at lave modeller til prisfastsættelse af optioner, som har inkorporeret stokastisk volatilitet. 3.4 Introduktion til stokastiske volatilitetsmodeller For at prisfastsætte optioner i praksis skal der anvendes en model, der tager højde for den ukendte og stokastiske volatilitet. De såkaldte stokastiske volatilitets(sv) modeller er udviklet til at tage højde for dette. Helt generelt er disse modeller populære, fordi de kan replikere volatilitetssmilet. Som vist tidligere er 27

volatiliteten på S&P500 ikke konstant, og samtidig er den præget af volatility clustering. En SV model giver mulighed for, at modellere dette empiriske faktum. I det følgende afsnit vil der blive opstillet en generel SV model, der kan tage højde for den stokastiske volatilitet. SV modeller bruges ofte i praksis til at prisfastsætte og hedge optioner eller andre finansielle derivater, eller som led i finansiel risikostyring jf. Boswijk (2001). 3.4.1 Generel SV model I en generel SV model skal processen for både aktivet og volatiliteten specificeres. Ændring i aktivets værdi antages at følge en Geometric Brownian Motion med stokastisk volatilitet. Dette gøres, fordi det er en belejlig måde at beskrive ændringer i aktivets værdi på. Med udgangspunkt i Wilmott (2006) og Gatheral (2006) kan ændringen i aktivets værdi derfor skrives på følgende måde: ds t = μs t dt + σ t S t dz 1 (22) Det antages endvidere, at dynamikken for volatiliteten opfylder: dσ t = a(s t, σ t, t)dt + b(s t, σ t, t)dz 2 (23) De to led dz 1 og dz 2 er Wiener processer, hvor korrelationen er lig (dz 1 dz 2 )=ρdt. Funktionerne i volatilitetsdynamikken a(s t,σ t,t) og b(s t,σ t,t) skal indtil videre blot ses som et drift- og diffusionsled på volatiliteten. Volatiliteten kan ses som en mean reverting proces, da volatiliteten netop ser ud til at have denne egenskab. Når optioner skal prisfastsættes, kan det gøres ud fra forskellige tilgange. En af de mest anvendte tilgange er no arbitrage, hvor ideen er at opstille en risikofri portefølje. Der er to kilder til usikkerhed i ovenstående model, markedsrisiko og volatilitetsrisiko. Markedsrisiko kan hedges væk ved at inkludere en andel af det underliggende aktiv, S, svarende til Δ, samt værdien af optionen V. Volatilitetsrisiko er ændringen i volatiliteten, dσ t, som netop er stokastisk i denne model. Generelt kan volatilitet ikke handles direkte, da der f.eks. ikke kan købes positioner direkte i VIX indekset. Derfor skal der inkluderes en yderligere andel, Δ 1, af en option, V 1, for at hedge denne volatilitetsrisiko. Dette giver følgende portefølje Π: Π = V ΔS Δ 1 V 1 (24) 28

Ved at anvende den generaliserede udgave af Itôs lemma findes ændringerne for optionen V(S t,σ t,t) 14 : dv = V t V V dt + ds + dσ + 1 S σ 2 σ2 S 2 2 V dt + 1 S 2 2 b2 2 V dt + σsbρ 2 V dt σ 2 S σ dv = V t + 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + 1 2 b2 2 V σ 2 + σsbρ 2 V S σ dt + V S V ds + dσ (25) σ Tilsvarende kan ændringerne for Δ 1 V 1 (S t,σ t,t) findes, hvilket giver ændringen i porteføljens værdi: dπ= V + 1 t 2 σ2 S 2 2 V + 1 S 2 2 b2 2 V +σsbρ 2 V σ 2 S σ dt+ V S ds+ V σ dσ- Δds-Δ 1 V 1 t + 1 2 σ2 S 2 2 V 1 S 2 + 1 2 b2 2 V 1 σ 2 +σsbρ 2 V 1 S σ dt+ V 1 S ds+ V 1 σ dσ dπ = V t + 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + 1 2 b2 2 V σ 2 + σsbρ 2 V S σ dt Δ 1 V 1 t + 1 2 σ2 S 2 2 V 1 S 2 + 1 2 b2 2 V 1 σ 2 + σsbρ 2 V 1 S σ dt + V S Δ Δ 1 V 1 ds + V Δ S σ 1 V 1 dσ (26) σ Den bagvedliggende idé er som nævnt, at porteføljen ikke skal have nogen risiko i forhold til aktivets og volatilitetens ændring. Derfor må nedenstående nødvendigvis holde: V σ Δ V 1 1 σ = 0 V Δ 1 = σ V 1 σ Størrelsen på Δ 1 vælges således, at risikoen på porteføljen med hensyn til volatilitetsrisiko er lig nul. Dernæst vælges Δ til at være: V S Δ Δ V 1 1 S = 0 Δ = V S Δ V 1 1 S Δ = V S V σ V 1 V 1 S σ 14 For enkelhedens skyld er fodtegnene for tiden undladt. Variablene er dermed stadig tidsafhængige. 29

Hvilket eliminerer risikoen på porteføljen i forhold til ændringer i det underliggende aktiv. Dette giver følgende: dπ = V t + 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + 1 2 b2 2 V σ 2 + σsbρ 2 V S σ dt Δ 1 V 1 t + 1 2 σ2 S 2 2 V 1 S 2 + 1 2 b2 2 V 1 σ 2 + σsbρ 2 V 1 S σ dt Porteføljen er nu risikofri, da værdien ikke er afhængig af ændringen i det underliggende aktiv eller volatiliteten. Ved at bruge no arbitrage argumentet, samt de nødvendige forudsætninger der blev gennemgået under Black-Scholes afsnittet 15, bliver værdien af porteføljen nødt til at være lig den risikofri rente, ellers ville det netop være muligt at genere et overnormalt afkast uden nogen risiko. Derfor må nedenstående nødvendigvis holde: dπ = rπdt = r(v ΔS Δ 1 V 1 )dt Dermed fås der én ligning med to ubekendte faktorer, V og V 1. Ved at samle leddene fra hver option på hver sin side fås følgende: V t + 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + 1 2 b2 2 V σ 2 + σsbρ 2 V S σ dt Δ 1 V 1 t + 1 2 σ2 S 2 2 V 1 S 2 + 1 2 b2 2 V 1 σ 2 + σsbρ 2 V 1 S σ dt = r(v ΔS Δ 1 V 1 )dt V t + 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + 1 2 b2 2 V σ 2 + σsbρ 2 V rv r V V σ V 1 S V1 σ S σ V σ V S r σ V S 1 V + 1 t 2 σ2 S 2 2 V + 1 S 2 2 b2 2 V + σsbρ 2 V V rv + r S = σ 2 S σ S V σ V1 σ V1 σ V 1 + 1 t 2 σ2 S 2 2 V 1 + 1 S 2 2 b2 2 V 1 + σsbρ 2 V V 1 + r σ σ 2 S σ V1 σ V 1 t + 1 2 σ2 S 2 2 V 1 S 2 + 1 2 b2 2 V 1 σ 2 + σsbρ 2 V 1 S σ = V1 σ V 1 V S r σ V S 1 V1 σ 15 Forudsætningerne er her de samme som ved Black-Scholes dog med undtagelse af konstant volatilitet og at prisprocessen følger en Geometrisk Brownian Motion. 30

Herefter divideres der med V, hvilket giver følgende: σ V t +1 2 σ2 S 2 2 V S 2+1 2 b2 2 V σ 2+σSbρ 2 V V rv+r S σ S S V σ = V1 t +1 2 σ2 S 2 2 V1 S 2 +1 2 b2 2 V1 σ 2 +σsbρ 2 V1 S σ +r V 1 S S rv 1 V1 σ Ligningen viser at udtrykkene på begge sider af lighedstegnet er identiske, forstået på den måde, at venstre side kun afhænger af V og højre side kun afhænger af V 1. Værdien af de to optioner er derfor lig en funktion af de uafhængige variable S, σ og t, for hver af optionerne. Generelt afhænger værdien af en option af de tre uafhængige variable S, σ og t, eller rettere at værdien af en option, er lig en given funktion af tre variable f(s, σ, t). Denne funktion f, kan skrives som (a λb). Gøres dette giver det nedenstående ligning jf. Gatheral (2006): V + 1 t 2 σ2 S 2 2 V + 1 S 2 2 b2 2 V + σsbρ 2 V σ 2 S σ V V rv + r S = (a λb) S σ (27) Hvor a og b er henholdsvis drift- og diffusionsleddene fra volatilitetsprocessen som funktion af f. Funktionen λ(s t,σ t,t) betegnes ofte som markedsprisen af volatilitetsrisiko. Overstående ligning kan skrives som følgende: V + 1 t 2 σ2 S 2 2 V V S2 + r S rv + σsbρ 2 V S + 1 S σ 2 b2 2 V σ V 2 + (a λb) = 0 (28) σ Black-Scholes Korrelation Volatilitet Volatilitets Præmie Dette er en PDE for en generel SV model, der kan specificeres på mange forskellige måder. Senere vil forskellige SV modeller med forskellige forudsætninger blive gennemgået. Black-Scholes modellen kan eksempelvis også specificeres ud fra den generelle model. Som nævnt antager Black-Scholes en konstant volatilitet, hvilket medfører, at volatilitetsprocessen udgår. Dermed fås: V t + 1 2 σ2 S 2 2 V V + r S2 S S rv = 0 Hvilket netop er den partielle differentialligning i Black-Scholes. 31

3.4.2 Markedsprisen af volatilitetsrisiko Generelt er markedsprisen af volatilitetsrisiko, λ, den præmie, som investorerne kræver for at påtage sig volatilitetsrisiko. Volatilitet er ikke et direkte handlet aktiv, og denne risiko kan derfor ikke hedges på samme måde som risikoen ved ændring af aktivets værdi. Derfor kan en risikofri portefølje reelt ikke genereres. Volatilitet indgår i modellen som usikkerhedsmoment, derfor må det nødvendigvis kunne prisfastsættes tilsvarende til markedsrisiko. Tankegangen bag dette stammer fra en af de mest fundamentale teorier i den finansielle verden, Capital Asset Pricing Model (CAPM). I denne model er det kun systematisk risiko, der bliver belønnet. Dette betyder, at det kun er markedsrisiko (systematisk risiko), der er relevant. Det er empirisk bevist, at denne model ikke holder for aktiemarkedet, da markedsrisiko ikke er tilstrækkeligt til at forklare afkastet på en aktie. 16 I dette perspektiv er det netop interessant at diskutere volatilitetsrisiko. Denne risiko må nødvendigvis være til stede, da investorer skal belønnes i forhold til den ekstra risiko jf. Boswijk (2001). I modsætning til dette finder Duarte og Jones (2007) ikke belæg for, at volatilitetsrisikoen generelt har en markedspris. I forhold til CAPM teorien kan der argumenteres for, at volatilitetsrisiko er inkluderet under idiosynkratisk risiko, da volatilitetsrisiko kan diversificeres væk. Den store handel med derivater baseret på VIX indekset er dog et tegn på, at den systematiske volatilitetsrisiko er aktuel, idet mange finansielle institutioner anvender indekset til at hedge volatiliteten. Derfor må der netop være en markedspris på volatilitetsrisiko, da kun den idiosynkratiske risiko kan diversificeres væk. 3.4.3 SV modeller med jumps (SVJ) SV modeller er generelt set gode til at beskrive volatilitetssmilet jf. Gatheral (2006). Der opstår dog problemer med SV modeller for optioner, der har korte løbetider. Dette skyldes, at SV modellerne er kontinuerte og derfor ikke er i stand til at modellere de pludselige jump, der kan forekomme i det underliggende aktivs pris på kort sigt. Det er vist empirisk, at SV modellerne ikke er optimale til at modellere det kortsigtede volatilitetssmil jf. Gatheral (2006). Derfor kan der argumenteres for, at der skal inkorporeres jumps i SV modellen. Endvidere giver det mening at inkorporere jumps, da normalfordelingen ikke kan modellere ekstreme udsving. Som det kan læses i datagrundlaget har S&P500 eksempelvis udvist store udsving på enkelte dage. Et eksempel på anvendeligheden af jumps er, at prisen på optioner med kort løbetid, der er dybt OTM, er højere i markedet end den er modelleret i en SV model. Den højere pris i markedet kan retfærdiggøres, da 16 Her kan blandet nævnes Fama og French 4 faktor model. Et generelt problem ved test af holdbarheden af CAPM er dog, at dette reelt set ikke er praktisk muligt. CAPM skal i princippet anvendes på alle aktiver i hele økonomien, men tests af CAPM bliver som regel kun foretaget på aktier. Derfor er diskussionen omkring den teoretiske holdbarhed af CAPM et spørgsmål om definitioner, som det også var tilfældet med den efficiente markeds hypotese. 32

der er en sandsynlighed for, at optionen kan ende ITM i tilfælde af et jump i det underliggende aktivs værdi. Et jump kan eksempelvis opstå ved en stor ændring i informationerne der er tilgængelige for markedsdeltagerne om den pågældende aktie. Jumps kan ikke modelleres i almindelige SV modeller, da de er kontinuerte i tid. Yderligere kan jumps ikke hedges, da de forekommer pludseligt. F.eks. er delta hedging baseret på små ændringer i aktivets værdi, hvilket betyder, at store udsving ikke kan hedges fuldstændigt. Jumps er per se store udsving, hvilket yderligere medfører, at de reelt ikke kan hedges. Ud fra empirisk materiale er det berettiget at inkludere jumps i modellen. Som det tidligere i afhandlingen er gennemgået, har der siden 1990 været 28 dage, hvor afkastet på S&P500 har været numerisk større end 5 %. I ovenstående diskussion er det kun kombinerede modeller, hvor stokastisk volatilitet er sat sammen med en jump diffusion model, der er taget i betragtning. Dette skyldes, at selvstændige jump modeller som f.eks. Merton (1976) uden stokastisk volatilitet, empirisk set ikke giver så gode resultater som kombinerede modeller jf. Gatheral (2006). En generel SV model med jump i det underliggende aktiv kan specificeres som følger: ds t = μs t dt + σ t S t dz 1 + e α+δε 1 Sdq (29) dσ t = a(s t, σ t, t)dt + b(s t, σ t, t)dz 2 (30) Hvor volatiliteten er lig en standard SV model, imens jump processen er modelleret ud fra Merton (1976). Dq følger en Poisson proces, med intensiteten λ(t), og ser således ud: dq = 0 1 med sandsynlighed 1 λ(t)dt med sandsynlighed λ(t)dt (31) Hvor dq=1, hvis jump i det underliggende sker, og omvendt, hvis dq=0 omvendt. I ovenstående model er der kun modelleret jump i det underliggende aktiv. Såfremt der ønskes en mere fleksibel og teknisk model, kan der også inkorporeres jump i volatiliteten. Dette er de såkaldte SVJJ modeller. Jf. Gatheral (2006) er SVJ den bedste model, når der sammenlignes mellem SV, SVJ og SVJJ. Som udgangspunkt kunne det tænkes, at den mere fleksible SVJJ var bedre, men resultater viser, at SVJ modellerer den implicitte volatilitet bedst. 33

3.4.3 Introduktion af forskellige modeller Gennem årene har der været mange forskellige ideer til, hvordan processerne ds og dσ skal specificeres. Endvidere har der især været en stor diskussion af, hvordan processen for volatilitet ser ud, samt hvordan denne er korreleret med processen for aktivets værdi. I nedenstående tabel er der en oversigt over nogle af de vigtigste modeller, der er blevet udledt, og som kan anvendes til at prisfastsætte derivater. Tabel 6 - Oversigt over forskellige modeller til at prisfastsætte derivater Klasse Proces Aktiv, ds Proces varians, dσ 2 Korrelation, ρ Black-Scholes (1973) Standard μsdt+σsdz - - Merton (1976) JD (α-λκ)dt+ σsdz+sdp - ρ=0 Hull & White (1987) SV μsdt+σsdz dσ 2 =a σ 2 dt+b σ 2 dz ρ=0 Stein & Stein (1991) SV μsdt+σsdz dσ=-κ[σ -θ]dt+bσdz ρ=0 Heston (1993) SV μsdt+σsdz dσ 2 =κ[θ-σ]dt+bσdz ρ 0 Sepp (2008) SVJJ (r-d-γm j )Sdt+ σsdz+(e J -1)dN dσ =κ[θ-σ 2 ]dt+ε σdz+jdn ρ 0 Kilde: Egen tilvirkning Note: Parametrene er ikke identiske med de anvendte i originalartiklerne. Dette er gjort for at skabe et bedre overblik. Z og N refererer til henholdsvis standardnormal og Poissonfordelingerne. Jump diffusion er forkortet JD. Parametrene er ikke forklaret fuldt ud, da tabellen er lavet for at givet et overblik over de forskellige processer. Af samme grund er fodtegn udeladt. For fulde specificeringer af processerne henvises til originalartiklerne. Som det ses i tabel 6, har der været flere forskellige bud på, hvordan modeller til prisfastsættelse af optioner kan specificeres. Ses der bort fra Black-Scholes modellen er der to grundlæggende modeller, nemlig jump diffusion (JD) og stochastic volatility. Merton introducerede i 1976 en JD model, som tog højde for jump i det underliggende aktiv. Det var blandt andet begrundet i den motivation, som er beskrevet i afsnittet om jumps. Senere introducerede Hull & White en SV model, som skulle tage højde for den stokastiske volatilitet, som ikke var beskrevet i Black-Scholes. Hull & White specificerede ikke nogen videre sofistikeret proces for variansen, da den følger en standard GBM. Endvidere antog de, at korrelationen mellem det underliggende aktiv og variansen var lig nul, hvilket heller ikke er realistisk. Med baggrund i Hull & White (1987) byggede Stein & Stein (1991) videre ved at antage, at volatiliteten følger en Ornstein-Uhlenbeck(OU) proces. OU processen har den belejlige egenskab, at volatiliteten er mean reverting. Denne egenskab er som nævnt vigtig, da volatilitet netop har udvist mean reversion empirisk jf. tidligere afsnit om volatilitet. Heston (1993) modellen er en udvidelse til Stein & Stein (1991) og er meget anvendt i praksis jf. Sepp (2008a). Heston antog, at der er korrelation mellem det underliggende aktiv og variansen. Endvidere 34

specificerede Heston variansen til at følge en CIR proces 17. Denne proces ligger tæt op af en OU specificering, dog med modellering af varians i stedet for standardafvigelse. En af de nyeste modeller indenfor SV verdenen er foreslået af Sepp (2008a), som tager udgangspunkt i Heston. Sepp udbygger Hestonmodellen med et jump i både det underliggende aktiv samt i variansen, hvor disse jumps følger en Poissonfordeling. Endvidere er der udviklet mere sofistikerede modeller, hvor varians swaps er anvendt til at udlede dynamikken mellem det underliggende og den implicitte volatilitet. Disse modeller vil ikke blive beskrevet nærmere i denne afhandling der henvises i stedet til Bergomi (2007) og Cont & Kokholm (2009). Hestonmodellen er en af de mest anvendte, og der vil blive taget udgangspunkt i denne model i den videre afhandling. Det skal endvidere tilføjes, at ovenstående gennemgang af prisfastsættelsesmodeller på optioner på ingen måde er udtømmende. Blandt andet kan volatiliteten f.eks. også specificeres som en GARCH(1,1) model, se Wilmott (2006). 3.5 Hestonmodellen Hestonmodellen er en af de mest populære SV modeller og er meget anvendt i praksis. Dette har flere forskellige årsager. Én af de mest centrale grunde er, at modellen frembringer en semi-lukket løsning, der kan løses ved hjælp af numerisk integration og Fast Fourier. Endvidere følger variansen en CIR proces, hvilket stemmer overens med de empiriske iagttagelser af volatiliteten. Derudover tillader modellen korrelation mellem volatiliteten og det underliggende aktiv, hvilket igen stemmer overens med de empiriske iagttagelser. Dette medfører blandt andet, at leverage effekten bliver modelleret. Yderligere tillader Hestonprocessen, at sandsynlighederne for afkastene ikke behøver modelleres som standardnormalfordelte, hvilket står i modsætning til Black-Scholes modellen, jf. Mikhailov & Nögel (2003). Af misspecifikationer i Hestonmodellen kan blandt andet nævnes, at modellen er baseret på, at aktieprisen følger en Geometrisk Brownian Motion med stokastisk volatilitet. Dette betyder, at der stadig vil være ekstreme hændelser på aktiemarkedet, som Hestonmodellen vil have svært ved at modellere. Dette ses blandt andet ved, at Heston ikke er i stand til at prisfastsætte optioner med meget kort tid til udløb. Derudover er modellen meget følsom overfor, hvilke parametre, der anvendes i den. Derfor er estimationen af inputparametrene utrolig vigtig for, at modellen giver resultater, der er brugbare jf. Hamida & Cont (2005). 17 CIR processen stammer fra Cox, Ingersoll & Ross (1985) der først anvendte denne proces til modellering af renten. 35

3.5.1 Processen Hestonmodellen er som nævnt en speciel form for SV model, hvor processerne er specificerede som følgende jf. Gatheral (2006) og Jondeau (2007): ds t = μs t dt + σ 2 ts t dz 1 (32) dσ 2 t = κ(θ σ 2 t)dt + ησ t dz 2 (33) Det underliggende aktiv følger en Brownian Motion, og variansen er specificeret som en CIR proces. κ er mean revertsion speed, hvilket betyder hastigheden, hvormed variansen returnerer til den langsigtede varians. θ er den langsigtede varians og η er volatiliteten å volatili p teten. σ 2 er variansen på det underliggende aktiv. Endvidere har Hestonmodellen den egenskab, at korrelationen mellem de to processer ikke er nul. Korrelationen mellem de to processer er specificeret som en Gaussian Copula jf. blandt andet Andersen (2007), hvilket vil sige: Z 2 = ρz 1 + 1 ρ 2 W (34) Hvor Z 1 og W begge er Wienerprocesser, der følger en standard normalfordeling med et gennemsnit på 0 og en varians på 1. Dette er en meget bekvem måde at beskrive den. Hvis korrelationen er lig 1 eller -1 vil det resultere i, at Z 2 direkte er bestemt af Z 1. Er korrelationen derimod lig nul, er Z 2 bestemt af den uafhængige Wienerproces W. Variansen vil altid være positiv, hvis Feller betingelsen er opfyldt, såfremt θκ2 -η 2 >0 jf. Andersen(2007). Korrelationen er -1<ρ<1, dog er den typisk negativ for aktier jf. den tidligere diskussion om leverage effekten. 3.5.2 PDE for Hestonmodellen Ved at tage udgangspunkt PDE en i formel (28) for den generelle model, som er udledt i forrige afsnit, kan der opstilles en PDE for Hestonmodellen. Udtrykket a(s t,σ t,t) i den generelle model skal udskiftes med Hestons mean reverting driftproces κ(θ-v t ), og for udtrykket b(s t,σ t,t) indsættes η v t. Dette giver følgende PDE for Hestonmodellen: V + 1 t 2 σ2 S 2 2 V V S2 + r S rv + vsηρ 2 V + 1 S S σ 2 2 σ2 η 2 2 V + (κ(θ 2 σ 2 σ2 ) λησ) V = 0 (35) σ 2 I ovenstående PDE for Hestonmodellen er V lig med værdien af optionen. Optioner bliver prisfastsat ud fra betragtningen om, at prisfastsættelse sker i den risikoneutrale verden, og derfor må prisen på 36

volatilitetsrisikoen λ nødvendigvis være nul, fordi ris ikoen ikke er relevant for den risikoneutrale investor. Derfor kan λησ i det sidste led i ovenstående model udelades. Værdien V kan specificeres yderligere til f.eks. at være en call option med værdien C. Endvidere er S værdien af det underliggende aktiv. Såfremt det underliggende aktiv er en aktie eller et aktieindeks kan S ikke blive negativ. Hvis S er et aktieindeks, viser det sig jf. Jondeau (2007), at det er hensigtsmæssigt at definere x til at være x=ln(s). Heston (1993) foreslår i sin oprindelige artikel en løsningen på formel (35), der ligner Black-Scholes formelen for en call option: C(S, v, t) = S P 1 e r(t t) K P 2 (36) Dette kan omskrives til følgende: C(x, v, t) = e x P 1 e r(t t) K P 2 ; S = e x (37) I formelen for prisen på en call option er P 1 og P 2 henholdsvis sandsynligheden for, at optionen ender ITM og sandsynligheden for, at den bliver udnyttet. Disse to sandsynligheder svarer i princippet til tæthedsfunktionerne i den klassiske Black-Scholes formel. Ved at indsætte løsningen for prisen på en call option i Heston PDE en, skal de to sandsynligheder P 1 og P 2 opfylde følgende PDE 18 : P j t + r + u jσ 2 P j x + 1 2 σ2 2 P j x 2 +σ2 ηρ 2 P j σ 2 x + [a bσ2 ] P j σ 2 + 1 2 σ2 η 2 2 P j 2 σ 2 = 0 (38) Hvor j=1, 2, og nedenstående parametre er lig: u 2 = 1 2, u 2 = 1 2, a = κθ, b 1 = κ + λ ηρ, b 2 = κ + λ hvor λ = 0 Prisfastsættelsen foregår i den risikoneutrale verden, og derfor kan λ sættes til nul. Udtrykkene er dermed risikoneutrale for a og b j. Ovenstående sandsynligheder kan ikke sammenlignes med Black-Scholes. I Black- Scholes er sandsynlighederne som nævnt tæthedsfunktion for en normalfordeling. Dette er ikke tilfældet i Hestonmodellen. Ud fra formel (38) kan en semi-lukket løsning til prisfastsættelse af optioner findes, hvilket vil blive beskrevet i følgende afsnit. 18 Den fulde udledning kan ses i bilag 2 37

3.5.3 Fourier transformation og karakteristisk funktion For at kunne lave en prisfastsættelse skal der anvendes forskellige værktøjer, der nu vil blive beskrevet nærmere. En karakteristisk funktion er en alternativ metode til at beskrive en sandsynlighedsfordeling for en stokastisk variabel 19. Enhver funktion har sin egen karakteristiske funktion, hvorfra tæthedsfunktionen kan udledes. Den generelle karakteristiske funktion kan jf. Jondeau (2007) defineres som: φ X (u) = E e iux = e iux f(x)dx (39) Hvor f(x) er punktsandsynligheden for den pågældende fordeling. i er et imaginært tal ( ( 1)), og u er et reelt tal. Alternativt kan den kumulative sandsynlighedsfunktion indsættes i stedet for punktsandsynligheden. Den karakteristiske funktion for en normalfordeling kan eksempelvis skrives som: φ X (u) = e iuμ 1 2 σ2 u 2 (40) Det bekvemme ved at arbejde med den karakteristiske funktion er, at tæthedsfunktionen kan udledes ved hjælp af den karakteristiske funktion. Sammenhængen mellem den karakteristiske funktion og tæthedsfunktionen kan beskrives ved hjælp af Fourier transformation 20 : f X (x) = 1 2π e iux φ x (u)du (41) Som det ses i ovenstående formel kan tæthedsfunktion beskrives ved integralet, hvori den karakteristiske funktion er indeholdt. I forhold til eksemplet med den karakteristiske funktion for en normalfordeling kan tæthedsfunktion for normalfordelingen ved hjælp af en Fourier transformation udledes til at være følgende: f X (x) = 1 2π e iux e iuμ 1 2 σ2 u 2 du (42) Formel (42) fremkommer ved indsætte den karakteristiske funktion for en normalfordeling fra formel (40) i formel (41) 19 Den teoretiske baggrund for karakteristiske funktioner ligger udenfor rammen af denne afhandling, og vil derfor ikke blive beskrevet yderligere. 20 En Fourier transformation bruges til omskrive en funktion af en given variabel til en anden funktion af variablen. 38

Ovenstående funktion er identisk med den kendte tæthedsfunktion for en normalfordeling jf. Jondeau (2007): f X (x) = 1 1 2π e 2 x μ σ 2 (43) I forhold til normalfordelingen er tæthedsfunktionen kendt, hvilket betyder, at en Fourier transformation i princippet ikke er nødvendig. I Hestonmodellen er tæthedsfunktionen for P j derimod ikke direkte observerbar jf. Jondeau(2007). Derfor anvendes en Fourier transformation af fordelingen for den karakteristiske funktion, da tæthedsfunktionen kan udledes herfra. 3.5.4 Semi-lukket løsning Som beskrevet i forrige afsnit kan en Fourier transformation bruges til at finde tæthedsfunktionen ud fra den karakteristiske funktion. Dermed kan teknikken anvendes til at finde den semi-lukkede løsning på Hestonmodellen, når den karakteristiske funktion f j (x, σ 2, t; φ) 21 opfylder samme PDE som sandsynlighederne, P j, jf. Heston (1993). Den karakteristiske funktion, der opfylder PDE en for Hestonmodellen, kan udledes til at være: f j (x, σ 2, t; φ) = e A j(τ;φ)+b j (τ;φ)σ 2 +iφx (44) u 1 = 1 2, u 2 = 1 2, a = κθ, b 1 = κ + λ ρη, b 2 = κ + λ d j = ρηφi b j 2 η 2 (2uφi φ 2 ) g j = b j ρηφi d j b j ρηφi + d j A j (τ; φ) = rφiτ + a η 2 b j ρηφi d j τ 2ln 1 g je dτ 1 g j B j (τ; φ) = b j ρηφi d j η 2 1 e djτ 1 g j e d jτ Hvor parametrene κ, θ, λ, ρ, η og σ 2 stammer fra pris- og volatilitetsprocessen i Hestonmodellen. 21 Det skal her bemærkes, at φ her ikke er den karakteristiske funktion som det var tilfældet i afsnittet omkring Fourier transformation. Grunden til at φ er anvendt, skyldes at den er anvendt af Heston (1993). 39

Denne karakteristiske funktion f j (x, σ 2, t; φ)kan dermed indsættes i nedenstående formel, og dermed kan sandsynlighederne P j udregnes: P j (x, σ 2, t; ln (K)) = 1 2 + 1 π 0 Re e iφ ln(k) f j (x,v,t;φ) iφ dφ (45) Hvor Re angiver at det kun er den reelle værdi af udtrykket der beregnes. Når ovenstående formel anvendes, kan den eksplicitte løsning for Hestonmodellens pris på en option beregnes ud fra (37). Det skal bemærkes, at ovenstående løsning ikke er identisk med den oprindelige løsning fra Heston (1993). Forskellen i forhold til Hestons version er blot et skifte i fortegn, hvilket ikke ændrer løsningen, men medfører en større stabilitet jf. Albrecher et al. (2006) - blandt andet, når Feller betingelsen ikke er opfyldt, samt når løbetiden er lang. 3.5.5 Fast Fourier Transformation Den karakteristiske funktion for fordelingen af log prisen på det underliggende aktiv med Hestondynamikken kan ligeledes udtrykkes som følgende: f(x, σ 2, t; φ) = e A(τ;φ)+B(τ;φ)σ2 +iφx = e rφiτ+ a η 2 (κ ρηφi d 2 )τ 2ln 1 g2e d2τ 1 g2 1 e d2τ κ ρηφi d2 η e 2 1 g2e d 2τ e iφx (46) Denne karakteristiske funktion ligger til grund for de karakteristiske funktioner i den semi-lukkede løsning i formel (44). Hvor notationen er identisk med den anvendte i formel (44), den er ligeledes konsistent med opbygningen fra Albrecher et al. (2006). Den karakteristiske funktion fra formel (46), er nødvendig for at kunne beregne optionsprisen ved anvendelse af Fast Fourier Transformation (FFT). Med udgangspunkt i Carr & Madan (1999) kan FFT anvendes til at finde en pris for optioner ud fra Hestonmodellen. FFT metoden giver flere fordele i forhold til en standard numerisk integration. Én af fordelene er f.eks., at udregning bliver væsentlig hurtigere, da der kun skal anvendes N*Ln(N) udregninger i forhold til N 2 udregninger for almindelig Fourier transformation. 3.5.5.1 Udledning af FFT Med baggrund i Carr & Madan (1999) kommer her en beskrivelse af fremgangsmåden bag FFT. Som nævnt kan relationen mellem den risikoneutrale tæthedsfunktion for log prisen og den karakteristiske funktion udledes ved hjælp af en Fourier transformation. Derfor kan formel (46) for den karakteristiske funktion skrives på samme måde som formel (39) hvor f(x) vil være den risikoneutrale tæthedsfunktion for 40

log prisen x på aktiekursen S. Dermed kan prisen for en call option med strike K skrives på følgende måde jf. Carr & Madan (1999): C T (k) = k e rt e x e k f T (x)dx (47) Hvor f T er den risikoneutrale tæthedsfunktion for x, og k er log af strikeprisen. For at komme frem til et brugbart udtryk er det nødvendigt at omskrive formel (47)til følgende: c T (k) = e αk C T (k) (48) Dette skyldes, at C T (k) går mod S 0, når logaritmen til strikeprisen går mod (altså når strikeprisen K går mod 0). Grunden til dette er, at hvis strikeprisen, der skal betales for at købe aktien på et givet tidspunkt, er meget tæt på nul, vil værdien af optionen være meget tæt på den aktuelle aktiekurs. Dette svarer i princippet til, at optionen er deep ITM. α er en udjævningsfaktor 22. Fourier transformationen af c T (k) kan skrives som følgende: ψ T (v) = e ivk c T (k)dk ψ T (v) = e αk e rt e x e k q T (x)dxdk k e ivk ψ T (v) = e rt φ T (v (α+1)i) α 2 +α v 2 +i(2α+1)v (49) Den første linje formel i (49) kommer fra en standard Fourier transformation. Den anden linje i formlen er en indsættelse af formel (47) og (48) i udtrykket. Derefter omskrives udtrykket, så det afhænger af den karakteristiske funktion φ T fra formel (46). 23 Dernæst indsættes ψ T (v) i det omskrevne udtryk fra formel (48), hvilket leder frem til: C T (k) = e αk π e ivk ψ(v)dv 0 (50) Grunden til, at denne formel er anvendt i stedet for Hestons version er, at den er mere praktisk anvendelig, når FFT skal benyttes. Formel (50) er en standard Fourier transformation, men er dog modificeret, så det er 22 I litteraturen er det engelske udtryk for α dampening factor. 23 Omskrivning kan ses i Carr & Madan (1999). Endvidere skal det her bemærkes, at funktionen φ T er benævnt som f(x, σ 2, t; φ) i formel (46) 41

muligt at anvende FFT til udregningen. Fordelen ved FFT er som nævnt, at antallet af udregninger bliver reduceret til N*Ln(N) i stedet for N 2, som ville være tilfældet for standard Fourier transformation. FFT er en algoritme udviklet af Cooley og Tukey. Algoritmen kan blandt andet findes i Matlab og beregner følgende udtryk for FFT: X k = N n=1 x n e i2π(k 1)(n 1)/N for k = 1,2, N (51) For at kunne anvende FFT algoritmen til løsningen af optionsprisen skal formel (50) approksimeres. Denne approksimering kan jf. Carr & Madan (1999) gøres ved hjælp af trapezreglen og ved omskrivning fås: C T (k u ) = e αk N π e iλη(j+1)(u 1) e ibv j j=1 ψ T v j ϱ hvor b = NΩ 2 (52) Ω er afstanden mellem de logaritmiske strikepriser og ρ er en parameter, der afgør afstanden mellem punkterne i integration. Resultat af FFT algoritmen er relativt ufølsomt overfor valg af ρ værdier jf. Borak et al. (2005). N er antallet af punkter i integration. N vælges typisk som 2 Z, hvor Z f.eks. kan være 10, hvilket giver N=1024. Grunden til dette er konstruktionen af Cooley-Tukey FFT algoritmen. Uddybningen af selve algoritmen falder udenfor denne afhandlings område og der henvises i stedet til Morrison (1994). Ved hjælp af Simpsons regel kan formel (52) yderligere omskrives. Dette giver en mere effektiv approksimering. Dermed fås følgende formel for call prisen: C T (k u ) = e αk N π e i2π N (j+1)(u 1) e ibv j j=1 ψ T v j ϱ 3 3 + ( 1)j δ j 1 (53) Modificering FFT Karakteristisk funktion Simpson regel Ovenstående formel (53) viser dermed, hvordan FFT kan bruges til at finde ITM og ATM optionspriser for en serie af strikepriser. Når tiden til udløb går mod nul, går tidsværdien ligeledes mod nul. Dermed udgør den indre værdi af optionen en meget stor andel af prisen. For OTM optioner er den indre værdi lig nul, hvilket betyder, at integralet i formel (50) bliver ustabilt. Derfor anvender Carr & Madan (1999) en tilgang, der kun arbejder med tidsværdier for OTM optioner. 42

Det giver følgende formel for call prisen: C T (k u ) = 1 N πsinh (αk) e i2π N (j+1)(u 1) j=1 eibvj γ T v j ϱ 3 + 3 ( 1)j δ j 1 (54) hvor γ T (v) = ς T (v ia) ς T (v+ia) 2 og ς T (v) = e rt 1 1+iv ert iv φ T (v i) v 2 iv Når call prisen skal beregnes, skal niveauer α for og ρ bestemmes. I litteraturen har der været stor diskussion om, hvordan den optimale værdi af α vælges. Lee (2004) har undersøgt dette problem nærmere og finder frem til, at den optimale α 24 afhænger af blandt andet strikeprisen. FFT giver væsentlige fordele, når der skal beregnes flere optionspriser simultant. Der kan argumenteres for, at Carr & Madan metoden ikke er den mest optimale version af FFT, da det er nødvendigt at fastsætte en værdi for α. En alternativ metode fra Cont & Tankov (2004) kunne være anvendt, da denne ikke anvender α parameteren. Problemet er dog, at der i denne metode i stedet for α er behov for et estimat for Black- Scholes volatiliteten. Dermed er denne metode heller ikke problemfri, og derfor er den ikke medtaget. Teoriafsnittet har hermed redegjort for de teorier, der er nødvendige for at prisfastsætte optioner ved hjælp af Hestonmodellen. Det efterfølgende afsnit vil omhandle, hvordan disse teorier kan anvendes i praksis. 4. Metode Dette afsnit vil gennemgå den metode, der er anvendt til kalibrering og simulation i afhandlingen. Afsnittet vil først gennemgå, hvordan kalibreringen er udført, og dernæst simulationen. 4.1 Kalibrering af modellen Dette afsnit omhandler teorien bag kalibreringen af modellen samt de praktiske problemer, det var nødvendigt at løse i forbindelse med kalibreringen. Kalibreringsproblemet består overordnet set i at justere parametrene i Hestonmodellen således, at modellen beskriver markedspriserne med mindst mulig fejlmargin. I forbindelse med valg af metode til kalibrering skal det nævnes, at der er mange forskellige metoder til at kalibrere modeller generelt. I denne afhandling er formålet ikke at vurdere effektiviteten af forskellige optimeringsalgoritmer. Derfor er dette afsnit afgrænset til kun at omhandle den ene metode, der er valgt, 24 Jf. Lee (2004) har denne afhandling valgt at fastsætte α til at være lig 1,5. Alternativt kunne der være anvendt langt mere sofistikerede metoder til fastsættelsen. 43

og der vil således ikke være sammenligninger af metoder eller dybdegående beskrivelser af, hvordan algoritmerne virker. 4.1.1 Parametervektoren Parametervektoren, der kalibreres er defineret ved (55)og (56) for hhv. kalibrering til S&P 500 og VIX indeks optionspriser: P S&P500 = (σ 2, κ, θ, η, ρ, λ) (55) P VIX = (σ 2, κ, θ, η, ρ, μ, λ) (56) Som det ses, består parametervektoren af seks standardparametre for kalibreringen til S&P500, imens vektoren for VIX også indeholder μ. For kalibreringen af S&P500 er det ikke nødvendigt at estimere μ, da det antages, at aktieprisen er en Martingale under Q-målet. Derfor anvendes den risikofrie rente r i stedet for μ. Denne antagelse gælder ikke for kalibrering af VIX. Grunden til, at μ skal indgå som parameter i kalibreringen ved VIX indekset er, at det ikke umiddelbart kan antages, at processen for VIX indekset er en Martingale i den risikoneutrale verden. Hvis VIX dermed ikke er en Martingale, vil det ikke være korrekt at anvende r i stedet for μ, da driften for processen dermed ikke er korrekt specificeret jf. Jourdain (2004). Derfor vil μ blive estimeret i forbindelse med kalibreringen af VIX 25. 4.1.2 Minimeringsalgoritmen Den minimering, der skal foretages af objektivfunktionen, kan skrives på følgende måde: N min p SSE(P) = min p w i C p i (K i, T i ) C M i (K i, T i ) 2 i=1 (57) Hvor C M er markedsprisen på optionen udregnet som medianen mellem bid og ask prisen. C P er modelprisen beregnet ud fra parametervektoren P. w i er en givet vægtning, der kan anvendes. Dette minimeringsproblem er et ikke-lineært problem, og derfor anvendes Matlab funktionen least squares nonlinear (lsqnonlin) til at løse det. Denne funktion anvender en Levenberg-Marquardt algoritme, som er en lokal optimeringsalgoritme 26. Alternativt kunne en global optimeringsalgoritme vælges, da en global algoritme giver de globale parametre. Kalibrering ved hjælp af en global optimeringsalgoritme kræver dog væsentlig længere beregningstid. Forskellen i parameterværdier ud fra valg af optimeringsalgoritme 25 Det skal dog bemærkes, at prisen på VIX optioner, der findes med de kalibrerede parametre, stadig tilbagediskonteres med den risikofrie rente som den skal. 26 Algoritmen vil ikke blive beskrevet nærmere her, der henvises i stedet til Matlab. 44

minimeres dog, hvis det initiale startgæt er fornuftigt valgt for den lokale kalibrering jf. Mikhailov & Nögel (2003). For at funktionen lsqnonlin kan anvendes, er det nødvendigt at opgive et initialt startgæt, som algoritmen tager udgangspunkt i. Derudover skal grænseværdierne for det område, hvor algoritmen skal søge efter en løsning, angives. Når parametrene skal kalibreres for at finde den bedste parametervektor, anvendes derfor mange forskellige startværdier, for at afgøre, hvor godt det fundne minimum er. I samtlige kalibreringer konvergerer de endelige parametre mod de samme værdier. Startværdierne er udvalgt på baggrund af erfaringer gjort i forbindelse med kalibreringen; som udgangspunkt er de baseret på tidligere akademiske artikler, f.eks. Andersen (2007) og Mikhailov & Nögel (2003) for S&P500 parametre. 4.1.3 Objektivfunktionen Objektivfunktionen, som er valgt i formel (57), minimerer fejlen målt i dollar-priser. Denne specificering vil give en tungere vægtning til dyrere optioner. Dette betyder, at funktionen bør vægte optioner, der er ITM og har lang tid til udløb, tungere, end optioner, der er OTM og har kort tid til udløb. Det kunne alternativt vælges at minimere den relative fejl mellem markedsprisen og modelprisen 27. Dette ville dog blot give den modsatte effekt og derved lægge større vægt på OTM optioner og optioner med kort tid til udløb. En tredje mulighed ville være at minimere forskellen mellem de implicitte volatiliteter for model og markedsprisen 28. Den implicitte volatilitet for de to optionspriser skulle således udledes ud fra de givne markedsdata og de udregnede modelpriser. Fordelen ved denne metode er, at de forskellige priser vægtes ens, da den implicitte volatilitet for markeds- og modelpriserne bør være den samme for det samme interval af strikepriser jf. Bakshi et al. (1997). Det primære mål for kalibreringen er at minimere sum of squared errors. Derudover er kvaliteten af kalibreringen bedømt på, hvor mange af optionspriserne i kalibreringen, der befinder sig indenfor bid-ask spreadet. Formel (57) giver gode resultater for kalibrering, og metoden er ofte anvendt i tidligere studier med gode resultater. Det er derfor af hensyn til tidsbegrænsning og relevans for afhandlingen valgt ikke at undersøge de alternative objektivfunktioner nærmere. 4.1.4 Vægtning Der er mange alternative måder at vægte optionerne på i kalibreringen. Der er dog ikke umiddelbart nogen enighed om en foretrukken eller optimal vægtning i litteraturen 29. Derfor er nedenstående vægtning valgt ud fra en intuitiv tilgang. 27 Specifikationen af objektivfunktionen kan ses i bilag 3 28 Specifikationen af objektivfunktionen kan ses i bilag 3 29 Alternativer til den valgte den valgte vægtning i denne afhandling ses i bilag 4. 45

Vægtningen w i af de forskellige optioner gøres ved brug af det numerisk inverse bid-ask spread som vægtning: w i = 1 bid i ask i (58) Vægtningen er blandt andet valgt ud fra en likviditetsbetragtning. Jo mindre bid-ask spread, jo større likviditet burde der, alt andet lige, være for optionen. Dermed tillægges størst vægt i kalibreringen til de mest likvide optioner. Et stort bid-ask spread vil ligeledes give et større interval, hvor modelprisen stadig vil være korrekt; derfor behøver optioner med stort spread relativt mindre vægt i kalibreringen. En yderligere grund til at vælge denne vægtning er, at den har en modsatrettet effekt af objektivfunktionen. Dette skyldes, at optioner med en høj pris, alt andet lige, vil have en mindre vægtning pga. større spread. Dermed vil ITM optioner have en mindre vægtning end ATM og OTM optioner. 4.1.5 Fejlmål Når kvaliteten af kalibreringen skal vurderes, kan forskellige fejlmål anvendes. Dette er en vigtig del af den samlede analyse af Hestonmodellens præstation. Først og fremmest er det vigtigt, da denne afhandling har anvendt en lokal optimeringsprocedure. Dette medfører, at de endelige parametre ikke nødvendigvis er de globale, da kalibreringen er stoppet ved et lokalt minimum i stedet for det globale minimum. Endvidere kan disse fejlmål også anvendes til at sammenligne forskellige modellers præstationer. I litteraturen generelt er denne metode meget udbredt til at vurdere kvaliteten af forskellige modeller. Cont & Kokholm (2009) anvender et relativt fejlmål, der også tager højde for bid-ask spreadet. Alternativt kan et absolut mål også anvendes. Nedenfor ses fire forskellige fejlmål, hvor bid-ask spreadet er inkorporeret ved to af disse, da det er brugt som vægtning i selve kalibreringen: N Relativ Fejlled (1) = 1 N i=1 markedpris modelpris (59) N markedspris Absolut Fejlled (2) = 1 ( markedpris modelpris ) N i=1 (60) N Relativ Fejlled (3) = 1 N i=1 maks[ modelpris bid, ask modelpris ] (61) N markedspris Absolut Fejlled (4) = 1 (maks[ modelpris bid, ask modelpris ]) N i=1 (62) Disse fire fejlmål samt antal optioner indenfor spreadet, er anvendt som kvalitetsmål for kalibreringen i afhandlingen. Forskellen på at inkorporere bid-ask spreadet i forhold til markedsprisen er, at kravene til modellen er større. Såfremt bid-ask spreadet er stort, er der en større absolut forskel mellem midterprisen 46

og enten bid eller ask prisen. Dette medvirker til, at fejlmålet dermed bliver større, når optionen er mere illikvid. Omvendt vil et stort spread medvirke til, at modellen får nemmere ved at modellere en pris indenfor spreadet. Dermed giver en kombination af bid-ask spreadet og mål for andelen af optioner indenfor spreadet et mere fyldestgørende billede af modellens kvalitet. Dette ses ved, at disse to fejlmål modsvarer hinanden, da fejlmålet med bid-ask spreadet bliver lavere, når spreadet bliver lavere. Derimod vil sandsynligheden for, at modelprisen ligger indenfor spreadet, være lavere for et mindre spread. 4.1.6 Udregning af modelprisen Når modelprisen C P skal beregnes, kan der anvendes flere forskellige metoder. I det teoretiske afsnit blev der gennemgået en metode, hvorpå optionsprisen kan beregnes ud fra en Fast Fourier Transformation (FFT). FFT metoden er baseret på Carr & Madan (1999). Denne funktion medvirker til, at hastigheden på beregning af en vektor af optionspriser bliver væsentlig nedsat i forhold til, hvis der blot var anvendt numerisk integration - dog med en anelse mindre præcision med den værdi α, der af anvendes i afhandlingen Alternativt kan optionsprisen beregnes ud fra en numerisk integration, hvilket giver det eksakte resultat. Integralet, der skal løses i integrationen, skal i princippet evalueres fra 0 til uendelig, hvilket i praksis ikke er muligt. Derfor er den øvre grænse for integralet begrænset til 1000, hvilket vurderes at være meget tilfredsstillende, efter at flere forskellige niveauer er blevet sammenlignet. Til selve beregningen af en modelpris er FFT koden dog ikke brugt, selvom den som udgangspunkt er væsentlig hurtigere end den numeriske integration til beregning af mange optionspriser på én gang. Grunden til, at den ikke er brugt, er, at der i kalibreringen både skal anvendes en dynamisk udnyttelseskurs, rente samt udløbstid. I FFT tilgangen påvirker disse parametre værdien af den karakteristiske funktion. Derfor skal den beregnes igen og igen for hver udnyttelseskurs. Endvidere indgår der en HVIS-funktion i koden for FFT, da der skal laves to forskellige beregninger, når optionen går fra at være ITM og ATM til OTM. Det giver en væsentlig længere beregningstid, hvilket ikke er at foretrække. Derfor anvendes den numeriske integration i kalibreringen. 4.1.7 Anvendelse af future eller spot priser Overordnet kan der vælges mellem to forskellige beregningsmetoder til udregning af C P. Den nemmeste måde at beskrive de to metoder er ved at illustrere dem ved hjælp af Black-Scholes. De to metoder vises som henholdsvis Standard Black-Scholes samt Black s formel. Som beskrevet tidligere anvender Black s formel sammenhængen mellem future prisen og spot prisen: F 0 = S 0 e (r q) T (63) 47

Ud fra denne sammenhæng kan den klassiske Black-Scholes løsning omskrives til Black s formel: Call = e r T (F 0 N(d 1 ) K N(d 2 )) (64) Hvor d 1,2 er specificeret som den normale Black-Scholes, dog uden at r eller q indgår. I den oprindelige Black-Scholes formel er der ikke taget højde for dividenderenten, denne kan dog, som nævnt, nemt inkorporeres. Heston (1993) anvender i den originale artikel blot en tilgang lig den der anvendes i Black-Scholes, når optionsprisen med stokastisk volatilitet skal beregnes. Alternativt kan Blacks formel anvendes til at beregne optionsprisen ud fra ovenstående sammenhænge, hvilket er en fordel jf. Hull (2008), da dividenden ikke indgår eksplicit i formlen. Ved at kode det korrekt kan begge metoder bruges til kalibrering af parametre. Futuresprisen er her anvendt for at undgå brugen af dividenderenten direkte i kalibreringen, da estimatet for dividenderenten vil være en approksimation. 4.1.8 Tid til udløb Generelt har S&P500 optioner udløb den 3. fredag i hver måned. Ud fra denne dato er tiden til udløb opgjort til at være det totale antal dage indtil udløb. For specielle serier af optioner for S&P500 er der dog en undtagelse, de såkaldte Quarterlys, som er optioner, der løber på kvartalsbasis, hvor sidste handelsdag er den sidste bankdag i måneden. Disse optioner er medtaget for at skabe et bedre billede af optioner tilgængelige i markedet. Weeklys optioner er udeladt i kalibreringen, da disse optioner kun har en meget kort løbetid (en uge). For VIX optioner er udløbsdatoen den 3. onsdag i hver måned. Dermed er der en forskel på to dage i forhold til den risikofrie rente, er der taget højde for. Datasættene er ligeledes renset for optioner, der enten ikke har nogen bid pris, volumen eller open interest 30, da disse optioner er illikvide. Udover dette er alle optioner medtaget for at få så stort et datagrundlag som muligt. 4.1.9 Risikofri rente I den risikoneutrale verden skal den risikofrie rente anvendes, når optioner prisfastsættes. Som approksimation for den risikofrie rente er der flere muligheder. Som udgangspunkt kan den amerikanske 30 Open interest er antallet af åbne kontrakter i markedet. Ved dette menes handlede optioner, der ikke er udløbet eller effektivt lukket ved hjælp af matching. 48

statsobligation, T-Bill, anvendes med passende løbetid. Løbetiderne for T-Bills er henholdsvis 1, 3 og 6 måneder, samt 1 til 30 år for T-bonds. Dog er T-Bill renterne ikke anvendt her, da de jf. Hull (2006) normalt ikke anvendes direkte i markedet. En alternativ tilgang kunne være at anvende London Interbank Offer Rate, (LIBOR), som er den rente multinationale banker bruger, når de låner mellem hinanden. LIBOR renten kunne ligeledes være anvendt, men nedenstående metode er foretrukket i afhandlingen. En mere interessant tilgang er at anvende den rente, som markedet forventer, den såkaldt implicitte rentekurve. Det er netop relevant, idet optionerne i markedet er prisfastsat ud fra denne i stedet for en af de førnævnte approksimationer. Den implicitte rentekurve er beregnet ud fra sammenhængen mellem future prisen og spot prisen: r = 1 ln T F 0 + q (65) S 0 Alternativt kunne renten have været udledt ud fra put-call pariteten, hvor den i så fald skulle være lig: r = 1 ln t S 0 e qt call+put (66) K Den øverste formel er anvendt i afhandlingen til at udregne den implicitte rentekurve, da der er afvigelser fra put-call pariteten i praksis. Denne afvigelse kan være opstået på grund af anvendelsen af dividende renten, bid-ask spreadet samt transaktionsomkostninger for optionspriserne. I de tilfælde, hvor der har været behov for at interpolere, er der anvendt simpel lineær interpolering til at finde den ønskede rente. 4.1.10 Dividenderenten Til beregningen af den implicitte rentekurve og optionsprisen skal den dividende, som aktien forventes at udbetale, anvendes. Når optioner er baseret på et indeks i stedet for en enkelt aktie, kan det antages, at dividendeudbetalingen er kontinuerlig Hull (2008). Dette er yderst bekvemt i forhold til en semi-lukket løsning på Hestonmodellen, da udbetalingerne af dividende blot skal modregnes i den risikofri rente samt i indeksets kurs. I Blacks formel indgår dividenderenten som nævnt ikke. Derfor er dividenderenten kun anvendt til at beregne rentekurven ud fra sammenhængen mellem spot prisen og future prisen. Den anvendte dividendrente for S&P500 er fundet i Datastream. Ud fra ovenstående teori og gennemgang af praktiske problemer er det dermed muligt at kalibrere parametrene i Hestonmodellen. Resultaterne af kalibreringen for S&P500 og VIX indekset bliver gennemgået i analyseafsnittet. 49

4.2 Simulation af modellen Dette afsnit vil først beskrive det generelle princip bag Monte Carlo simulation (MC simulation) og hvilke anvendelsesmuligheder, simulation giver mulighed for. Derefter vil de metoder, der er blevet brugt til at simulere i afhandlingen, blive beskrevet. Resultaterne for simulation vil ligeledes blive beskrevet og analyseret, og der vil blive argumenteret for valget af simuleringsmetode til videre brug i afhandlingen. Grunden til, at simulation bliver foretaget i afhandlingen, er for at kontrollere priserne fra den semi-lukkede løsning fra FFT og numerisk integration. Disse to løsningsmetoder bygger på det samme løsningsprincip, hvilket gør, at simulation er en oplagt metode til at kontrollere resultaterne. Simulation er et stærkt værktøj, da det eneste, der kræves for at finde en optionspris, er, at prisen i tidspunkt T kan simuleres. Endvidere vil simulation kunne bruges til prisfastsættelse af optioner med en mere eksotisk karakter. Monte Carlo simulering blev udviklet og anvendt i 1930 erne i forbindelse med kvantefysik og undersøgelse af radioaktiv stråling. Metoden har efterfølgende fundet anvendelse i mange andre områder, herunder også finansiering og prisfastsættelse af derivater. 4.2.1 Simulation af derivatpriser Når simulation anvendes til at finde derivatpriser, bruges det faktum, at prisen på et derivat er lig det forventede afkast tilbagediskonteret med en given rente. Under antagelse af risikoneutralitet kan optionsprisen derfor findes ved at tilbagediskontere det simulerede afkast med den risikofrie rente: Optionspris = e r(t t) E[Payoff] (67) Den risikoneutrale proces for det underliggende aktiv S for Hestonmodellen følger en GBM, og volatiliteten følger en CIR proces: ds t = μs t dt + σ 2 ts t dz 1 (68) dσ 2 t = κ(θ σ 2 t)dt + ησ t Z 2 (69) Ved hjælp af Monte Carlo kan der simuleres en sti for både aktivet og volatiliteten. Hvis stien for Hestonmodellens simuleres et stort antal gange, opnås et stort antal payoffs. Middelværdien af disse payoffs vil konvergere mod det forventede payoff. Grunden til dette er store tals lov, der dybest set betyder, at jo flere gange et ukorreleret forsøg gennemføres, jo mere vil middelværdien for forsøget nærme sig den forventede værdi. Samtidig sikrer den centrale grænseværdisætning, at standardafvigelsen på estimatet for prisen bliver mindre, når antallet af simulationer øges med en konvergensrate på O(n -½ ) jf. Glasserman (2004). 50

Ud fra ovenstående kan følgende algoritme derfor bruges til at finde prisen på en option ved hjælp af Monte Carlo simulering: 1. Simuler den risikoneutrale sti for det underliggende aktiv fra i dag til udløb på optionen. Dermed kan et payoff på optionen udregnes 2. Gentag simuleringen et meget stort antal gange 3. Udregn middelværdien for payoff ud fra alle simuleringer, der er foretaget 4. Tilbagediskonter middelværdien til i dag med den risikofrie rente. Dette resultat vil være prisen på optionen 4.2.1.1 Fordele og ulemper Der er naturligvis både fordele og ulemper forbundet med brugen af Monte Carlo simulering. Ulemper, der kan nævnes, er, at selve simuleringen er meget tidskrævende. Dette er naturligvis en ulempe, hvis optionsprisen skal anvendes inden for meget kort tid. Grunden til, at simulering er meget tidskrævende, er, at der er behov for et stort antal simulationer for at opnå en god konvergens. Den lave konvergensrate ses bedst ved forholdet mellem antal simulationer og standardafvigelsen, som kan udtrykkes ved Glasserman (2004): σ f n Dette forhold betyder, at en halvering af standardafvigelsen kræver, at der gennemføres fire gange så mange simulationer. Simulering kræver ligeledes stor regnekraft fra ens computer. En anden ulempe er, at den metode, der anvendes til at simulere stien for det underliggende, kan indeholde en bias, der vil påvirke resultatet. Dette vil blive eksemplificeret senere ved Euler diskretiseringen, der har en bias i Hestonmodellen, som betyder, at den giver optionspriser, der er for høje. Fordelene ved simulering er, at det er en meget intuitiv måde at prisfastsætte på. Det er ligeledes en rigtig god måde at kontrollere, om ens resultater fra en anden model er rigtige. En anden ting, som Monte Carlo er i stand til, er at prisfastsætte derivater, som er afhængige af stien for det underliggende aktiv. Her kan blandt andet nævnes asiatiske optioner. Derudover kan det være relativt nemmere at inkorporere Monte Carlo, i forhold til andre modeller, i et program som Matlab. 4.2.1.3 Simulering af stien Der er anvendt to forskellige metoder til at simulere stierne for underliggende aktiv og volatiliteten. De to metoder er Euler diskretisering og en alternativ metode. Euler diskretisering er en relativ simpel metode, 51

som nemt kan implementeres. Den alternative metode er derimod mere kompleks og retter sig specifikt mod Hestonmodellen. Grunden til, at der som udgangspunkt er anvendt to metoder, er, at det dermed er muligt at sammenligne de to resultater og se, hvordan de har klaret sig i forhold til hinanden. 4.2.2 Euler diskretisering En Euler diskretisering kan bedst beskrives ved de to følgende ligninger for det underliggende aktiv og volatiliteten samt sammenhængen mellem Z 1 og Z 2 : X t+δ = X t + r 1 2 σ2 t Δ + σ t ΔZ 1 (70) σ 2 t+δ = σ 2 t + κ(θ σ 2 t)δ + ησ t ΔZ 2 (71) Z 2 = ρz 1 + 1 ρ 2 W (72) Hvor Z n er uafhængige tal trukket fra en standard normalfordeling. Euler diskretisering opdeler dermed den kontinuerte proces i et antal tidsskridt, der gør det muligt at beregne stien, som processen følger, over tid ved at indsætte de tal, der er udtrukket fra standard normalfordelingen. En umiddelbar svaghed ved Euler formuleringen er, at variansen har mulighed for at blive negativ, hvilket ikke bør være muligt. Denne situation kan blandt andet opstå, hvis værdien for Z 2 bliver meget mindre end nul. For at tage højde for denne svaghed foreslår Lord et al. (2006), at de negative varianser fra forrige periode erstattes med værdien nul, da dette giver den mindste diskretiseringsbias: σ 2 t = max(σ t 2, 0) v (73) Hvis dette sker, vil processen få en deterministisk positiv drift med værdien κθ, indtil variansen igen er større end nul. Denne bias gør, at resultatet for simuleringen vil være biased. I litteraturen foreslås også at den numeriske varians, σ 2 t = σ t 2 anvendes, når variansen bliver negativ jf. Gatheral (2006). Der kan argumenteres for, at metoden fra formel (71) overvurderer variansen, da venstre side af fordelingen, der anvendes til at trække tilfældige tal fra, ikke bliver brugt. Dette betyder, at Euler overvurderer prisen, da variansen er nul selvom den burde være negativ. En negativ varians giver dog ikke nogen mening i praksis, derfor vil Euler diskretisering ikke blive anvendt til kontrol af resultater i denne afhandling. 52

4.2.3 Alternativ metode til diskretisering af processen Euler diskretiseringen er ikke en optimal metode at anvende til simulering, da der opstår en bias på grund af, at variansen kan blive negativ. Selvom der kan korrigeres for dette, er metoden stadig ikke optimal. Derfor er det relevant at undersøge andre metoder til at foretage simuleringen. Med udgangspunkt i udledningen, der er foretaget i Andersen (2007) kombineret med udledningen i Glasserman (2004), gennemgås derfor en alternativ metode, der giver mere konsistente resultater end Euler diskretisering. 4.2.3.1 Egenskaber for variansprocessen i Hestonmodellen For at få indsigt i, hvordan metoden fungerer, er det nødvendigt først at se på, hvordan variansprocessen i Hestonmodellen kan beskrives: dσ 2 t = κ(θ σ 2 t)dt + ησ t Z 2 (74) Variansen i Hestonmodellen følger en CIR proces. Yderligere viser Cox et al. (1985), at fordelingen for v t givet v t-1 er bestemt ud fra en ikke-central χ 2 fordeling her benævnt χ 2. Det kan dermed vises, at den akkumulerede sandsynlighedsfordeling for en CIR proces kan beskrives ved en χ 2 fordeling jf. Cox et al. (1985): F χ 2(z; d, λ) = e λ 2 λ 2 j j! z d y 2 +j 1 e z j=0 2dy, for z > 0 (75) 2 d 2 +j +Γ( d 2 +j) 0 Det, at fordelingsfunktionen for processen er kendt gør, at processen kan simuleres ud fra følgende formel jf. Glasserman (2004): σ 2 t = η2 (1 e κ(δ) ) 4κ χ d 2 ( 4κe κ(δ) σ η 2 1 e κ(δ) t 1 2 ) (76) Ovenstående formel viser, at v t v t-1 er fordelt ud fra udtrykket η2 (1 e κ(δ) ) 4κ ganget med en χ 2 fordelt stokastisk variabel. d er antallet af frihedsgrader, og λ er ikke-centralitets parameteren, de to er defineret ved følgende: d = 4κθ η 2 (77) λ = 4κe κ(δ) η 2 1 e κ(δ) σ2 t 1 (78) 53

Dette betyder, at variansprocessen kan simuleres eksakt over en periode med konstante tidsintervaller, såfremt det er muligt at trække tal fra en χ 2 Et alternativ til ovenstående metode er derfor simulation af variansen som i Andersen (2007), hvor der kun trækkes ét tilfældigt tal, hvilket mindsker beregningstiden. fordeling. Dette er muligt i Matlab, og derfor bliver det en forholdsvis simpel afhandlingen at simulere variansprocessen. Der er dog ulemper ved at anvende indbyggede funktioner i Matlab, da de har væsentlig længere beregningstid. Grunden til dette er blandt andet, at det er nødvendigt at trække tal fra forskellige fordelinger, hvilket øger beregningstiden. 4.2.3.1 Prisprocessen i Hestonmodellen Euler diskretiseringen er ikke tilstrækkelig, og derfor tages i stedet udgangspunkt i den bias fri formel til simulering af prisprocessen, hvor X=lnS. Grunden til, at denne anvendes er, at den ikke udviser bias, som det er tilfældet for Euler diskretiseringen. Denne formulering kan skrives som foreslået i Andersen (2007): X t = X t 1 + ρ η (σ2 t σ2 t 1 κθδ) + κρ 1 η 2 t+δ σ2 (u)du + t (1 ρ2 ) t+δ t σ(u)dz(u) (79) Til simulation af prisprocessen er der brug for en diskretiseret udgave af ovenstående. Denne diskretisering sker ved, at formlen omskrives som i Andersen (2007). Dermed diskretiseres integralerne, og de led i formlen, som er uafhængige af tiden, samles i fem konstante led. Dermed kommer formlen til simulation af prisen på det underliggende til at se ud som følger: X t = X t 1 + K 0 + K 1 σ 2 t 1 + K 2 σ 2 t + K 3 σ 2 t 1 + K 4 σ 2 t Z (80) Hvor Z~N(0,1); K 0 = ρκθ η Δ; K 1 = γ 1 Δ κρ η 1 2 ρ η ; K 2 = γ 2 Δ κρ η 1 2 + ρ η ; K 3 = γ 1 Δ(1 ρ 2 ); K 4 = γ 2 Δ(1 ρ 2 ); γ 1 = γ 2 = 1 2 Hvor v er værdien for variansen udregnet ved hjælp af modelapparatet i forrige afsnit. Værdien for konstanterne til vægtning γ 1 og γ 2 er valgt til den samme som i Andersen (2007). Alternativt kunne de være valgt som henholdsvis 1 og 0, eller mere sofistikerede metoder kunne være anvendt. Idet formlen giver pæne resultater er dette dog undladt. Dermed er både processen for variansen og for underliggende blevet bestemt, og det er derfor muligt at simulere den samlede sti. 54

4.2.3.1 Simuleringsalgoritmen Algoritmen til simulering af Hestonmodellen: For hver enkelt sti fra tidspunkt t til tidspunkt T med Δ tidsskridt gøres følgende 1. Udregn λ ved at indsætte σ 2 t 1 i formel (78) 2. Indsæt λ i fordelingsfunktionen for χ 2 i formel (76) 3. Indsæt σ 2 t ; σ 2 t 1 og X t 1 i formel (80) for at beregne X t for at beregne v t Punkt 1 til 3 gentages for hele længden af stien, frem til tidspunkt T 4. Udregn payoff for hver værdi af S i tidspunkt T ved hjælp af max (S ; 0) Gentag punkt 1 til 4 N antal gange Udregn den gennemsnitlige pris ved at dividere samlet payoff med N Tilbagediskonter den gennemsnitlige pris med r f for at finde prisen på optionen i dag. Dermed bør denne algoritme være bedre end Euler diskretiseringen både i kraft af højere konsistens og ingen bias. Resultaterne af simuleringen vil blive vist i næste afsnit. 4.2.4 Vurdering af algoritmernes effektivitet og resultater For at vurdere de to algoritmer i forhold til hinanden er det nødvendigt først at have et parametersæt at vurdere ud fra. Det valgte parametersæt stammer fra datasættet for S&P500 fra den 20. august 2008. Tabel 7 - Parametre til brug i test af simulering 31 σ 2 κ θ η ρ S 0 K τ (år) 0,039 4,322 0,058 0,563-0,796 1274,54 1275 0,58 Kilde: Egen tilvirkning For at sammenholde resultaterne af simuleringen med et analytisk resultat, er Hestons løsningsmetode ligeledes anvendt, dette giver en eksakt pris på 82,5381. 31 Alternativt kunne et datasæt med parametre i stedet simuleres, da simulationen dog primært blot skal validere priserne, er dette ikke gjort. 55

Resultaterne fra simulationen kan ses i nedenstående tabel. Tabel 8 Resultater ved simulering af Hestonmodellen Antal simulationer Euler Alternativ formulering Pris Standard Pris Standard afvigelse afvigelse 1.000 86,3261 3,5131 81,9976 3,3339 10.000 82,92 1,0883 82,9954 1,0858 100.000 82,7736 0,3426 82,2975 0,3418 200.000 82,6050 0,2422 82,3981 0,2418 Kilde: Egen tilvirkning Note: Antallet af tidsskridt for hver simulation er lig 100 for samtlige simulationer. Værdien for renten og dividendeudbetalingen er sat til 0, for overskuelighedens skyld Som det ses i tabellen konvergerer den simulerede pris mod den eksakte pris, når antallet af simulationer øges. Dette gælder for begge simulationsmetoder, hvilket også var det forventede resultat. Dette underbygger at den eksakte pris der er udregnet er korrekt. Ligeledes ses det i tabellen, at standardafvigelsen falder når antallet af simulationer øges. Faldet i standardafvigelsen er forventet, på grund af den tidligere nævnte sammenhæng mellem standardafvigelsen og antallet af simulationer. Ved anvendelse af Euler metoden til simulering ses det, at priserne lader til konsekvent at være højere end den eksakte pris. Denne bias stemmer overens med, hvad der var forventet, da den positive pris-bias skyldes at variansen er for høj i Euler diskretiseringen. Derudover skal det dog bemærkes, at beregningstiden for Euler diskretiseringen var væsentligt lavere, end for den alternative metode til simulering. Den lange beregningstid gør, at forbedringer af den alternative metode til simulering ville være oplagte at inkorporere, hvis den skulle anvendes i praksis. I forbindelse med Monte Carlo simulering findes der en meget stor mængde litteratur der beskriver forskellige teknikker, til optimering af hastigheden og præcisionen på simuleringsalgoritmen. Her kan blandt andet nævnes algoritmer til udtrækning af tilfældige tal, der er hurtigere end indbyggede funktioner, variansreduktion ved anvendelse af antitetiske variable etc. Disse teknikker ville kunne reducere beregningstiden for den alternative metode til simulering. Disse områder er dog blevet nedprioriteret, og der henvises i stedet til Glasserman (2004) samt Andersen (2007) for metoder til optimering af simulationen. Grunden til dette er at Monte Carlo simulering som nævnt primært anvendes til kontrol af resultater i denne afhandling. 56

5. Analyse Dette afsnit består af to dele, hvor første del er en analyse af Hestonmodellens evne til at prisfastsætte S&P500 optioner. Anden del omhandler Hestonmodellens evne til at prisfastsætte optioner på VIX indekset. 5.1 Prisfastsættelse af optioner på S&P500 I dette afsnit analyseres, hvor god Hestonmodellen er til at prisfastsætte optioner med S&P500 som det underliggende aktiv. Analysen tager udgangspunkt i følgende kalibrerede parametersæt. Tabel 9 - Parametersæt for S&P500 kalibreret ud fra de givne datoer Parameter σ 2 κ θ η ρ 20. august 2008 0,0386 4,5689 0,0576 0,5769-0,8006 12. maj 2010 0,0598 7,4003 0,0703 1,6951-0,7778 13. maj 2010 0,0642 11,3615 0,0685 1,9137-0,7708 Kilde: Egen tilvirkning I den første del af dette afsnit vil analysen blive lavet ud fra, hvordan Hestonmodellen er til at beskrive den implicitte volatilitet som markedet forventer. Derefter vil der blive lavet en gennemgang af forskellige fejlmål. Disse vil derefter blive brugt til at analysere, hvor god modellen er til at prisfastsætte optioner. Udover de forskellige fejlmål vil analysen også indeholde en out of sample analyse, hvor modellens evner til at prisfastsætte optioner i praksis, vil blive analyseret. Afslutningsvis vil parametrene for de forskellige datoer blive diskuteret og gennemgået. De forskellige parametervektorer vil derefter blive sammenlignet ved forskellige kalibreringstidspunkter. Dette vil blive gjort for at analysere parametrenes stabilitet over tid, samt for at sammenligne resultaterne med andre studier. 5.1.1 Implicit volatilitet En metode der kan anvendes, når det skal vurderes, hvorvidt en specifik model kan anvendes til at prisfastsætte optioner, er implicit volatilitet. Som før nævnt kan markedets forventning til volatiliteten på den pågældende option beregnes ud fra Black-Scholes formlen, hvor den konstante volatilitet er den eneste ukendte parameter. For at være konsistent er den implicitte volatilitet for både markedsprisen og modelprisen beregnet ud fra Black s formel, hvor futureprisen er det underliggende aktiv, i stedet for standard Black-Scholes, hvor spotprisen og dividenden indgår. 57

Figur 9 Implicit volatilitet på S&P500 fra 20. august 2008, T=0,08 volatilitet 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Mkt IV BF Model IV BF 0 0,90 0,97 1,01 1,05 1,09 1,13 moneyness Kilde: Egen tilvirkning Det kan ses i figuren, at Hestonmodellen er forholdsvis god til at prisfastsætte optioner på S&P500 for T=0,08. Den får dog visse problemer, når optionerne bliver deep OTM. Som nævnt i teoriafsnittet er forventningen til Hestonmodellens performance, at optioner med kortere løbetid vil blive underprisfastsat, idet Hestonmodellen ikke har inkorporeret jumps. Hestonmodellen er generelt ikke god til at beskrive markedets forventning til volatiliteten, når optioner er deep OTM 32, som det ses i figur 9. Dette faktum kan skyldes, at prisen på OTM optionen ene og alene er baseret på tidsværdien. Tidsværdien er helt central for udregning af optionsprisen, idet den indre værdi kan beregnes uden problemer, da den er forskellen mellem udnyttelseskurs og spotprisen eller nul. Derfor kan der argumenteres for, at Hestonmodellen ikke er en optimal model, idet der er visse problemer, når tidsværdien får en større betydning for optionsprisen. Dette ses tydeligt i figur 9, da forskellen mellem markedets og modellens implicitte volatilitet er stor, når optionen er OTM. Problemet er dog kun væsentligt for optioner med helt kort løbetid, der som pointeret allerede skyldes, at Hestonmodellen ikke har inkorporeret jumps. Det kan blandt andet ses ud fra figur 10, hvor modellen virker bedre for OTM optioner. En yderligere grund til, at modelleringen af tidsværdien er kritisk, kan skyldes metoden, der er anvendt ved kalibreringen samt til beregning af den implicitte volatilitet. Her er hele sættet af call optioner nemlig anvendt. I litteraturen generelt er der anvendt forskellige metoder til kalibreringen af parametre og udvælgelse af de bagvedliggende optioner 33. Som det blev nævnt tidligere, prioriterer objektivfunktionen ITM optioner højst, hvilket kan have medført, at modellen ikke prisfastsætter deep OTM tilstrækkeligt. 32 Skalaen på x-aksen i figuren er K/S0. Helt til højre er dermed optioner, hvor K er væsentlig større end S0. 33 Se kalibreringsafsnit for yderligere uddybning. Albrecher et al. (2006) kigger på ATM optioner og Mikhailov & Nögel (2003) kigger på både ITM og OTM optioner. 58

Senere i dette afsnit vil det blive analyseret, hvorvidt en kalibrering samt beregning af volatilitetssmilet kan forbedres, såfremt kalibreringen baseres på både put og call optioner, der er OTM. Denne metode er interessant, fordi disse optioner ene og alene afhænger af tidsværdien, da den indre værdi er lig nul. Figur 10 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0,58 0,25 0,2 0,15 0,1 Mkt IV BF Model IV BF 0,05 0 1,00 1,02 1,06 1,08 1,10 1,15 1,17 1,25 Kilde: Egen tilvirkning Det ses i figur 10, at Hestonmodellen ser ud til at være god til at beskrive volatilitetssmilet. I bilag 5 er den implicitte volatilitet beregnet for optioner for de resterende løbetider, hvor konklusion er den samme som for løbetid T=0,58. Grunden til, at Hestonmodellen er bedst ved optioner med en længere løbetid, kunne skyldes vægtningen i forbindelse med kalibreringen. Dette er dog ikke tilfældet, da det i datasættet er de helt korte optioner, der er mest likvide og dermed har det mindste spread. Dette betyder, at korte optioner har den højeste vægtning i kalibreringen, men på trods af dette giver modellen de bedste resultater for længere løbetider. Når der ses bort fra de helt korte løbetider og deep OTM optioner, ser det ud til, at Hestonmodellen er relativ god til at beskrive volatilitetssmilet. Derfor kan det konkluderes, at Hestonmodellen ser ud til at være tilstrækkelig til at beskrive volatilitetssmilet. En måde, hvorpå de implicitte volatiliteter, der er beregnet, kan valideres, er at sammenligne dem med niveauet for VIX indekset. Niveauet for VIX indekset var den 20. august 2008 på $20,42, hvilket svarer til, at volatiliteten på S&P500 de næste 30 dage forventes at være 20,42 %. Et interessant aspekt i denne kontekst er, at de implicitte volatiliteter beregnet for den 20. august 2008 ligger ret tæt på værdien for VIX indekset. I bilag 5 ses det, at den implicitte volatilitet typisk ligger i intervallet fra 15 % til 21 % for de forskellige løbetider. Ovenstående sammenhæng er en naturlig konsekvens af måden, hvorpå CBOE beregner VIX indekset. 59

Ovenstående analyse er baseret på optioner fra den 20. august 2008. Det er interessant at analysere, hvorvidt samme konklusioner kan drages for optionsdata fra et andet tidspunkt, den 12. maj 2010. For denne kalibrering kan volatilitetssmilet for den korteste løbetid ses i nedenstående figur. Figur 11 Volatilitetssmilet for t=0,025 år den 12. maj 2010. volatilitet 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Mkt IV BF Model IV BF 0,2 0,1 0 0,88 0,96 1,01 1,05 1,09 moneyness Kilde: Egen tilvirkning I ovenstående figur må det siges, at Hestonmodellen ikke er i stand til at beskrive den implicitte volatilitet tilstrækkeligt. Dette skyldes, at løbetiden kun er 9 dage, hvilket betyder, at Hestonmodellen undervurderer prisen på disse optioner, da modellen ikke har inkorporeret jumps. Dette betyder, at den ikke kan modellere mere pludselige, ekstreme udfald. Dette er især relevant for deep OTM og ITM optioner, som det ses i ovenstående figur. I den forrige kalibrering var der dog ikke et problem for deep ITM optioner, som det ses i figur 9, grunden til dette kunne være at løbetiden er længere for volatilitetsmilet i figur 9. Markedets implicitte volatilitet er særdeles høj for deep ITM optioner med meget kort løbetid. Ovenstående figur belyser, at Hestonmodellen ser ud til at være utilstrækkelig for optioner med meget kort løbetid. Når optioner med en længere løbetid analyseres, må konklusionen siges at være en anden. Det ses ud fra nedenstående figur, som viser den implicitte volatilitet for optioner med en løbetid på 0,18 år svarende til lidt over to måneder. Her ser det ud til, at Hestonmodellen er væsentlig bedre til at beskrive volatilitetssmilet. 60

Figur 12 - Volatilitetssmilet for t=0,18 år den 12. maj 2010. Volatilitet 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 Mkt IV BF Model IV BF 0,1 0,05 0 Kilde: Egen tilvirkning 0,77 0,94 0,99 1,00 1,01 1,02 1,04 1,05 1,07 1,08 1,10 1,11 1,13 Moneyness Ovenstående figur viser, at Hestonmodellen er god til at beskrive markedets implicitte volatilitet, når løbetiden ikke er for kort. Dette understøtter derfor den konklusion, som også blevet draget for data baseret på den 20. august 2008. VIX indekset lukkede den 12. maj 2010 i kurs $25,52, hvilket viser, at markedet på denne dato forventer den volatilitet på 25,52 % i de næste 30 dage. I ovenstående figur kan det ses, at den beregnede, implicitte volatilitet for S&P500 ligger mellem 20 % og 40 %. Dette validerer de beregnede volatiliteter, idet disse ligger på samme niveau som VIX indekset. 5.1.1.1 Opsummering Hestonmodellen ser ud til at være tilstrækkelig til at beskrive den implicitte volatilitet i markedet. Der er dog visse problemer, når løbetiden er meget kort, hvilket blandt andet skyldes, at Hestonmodellen ikke har inkorporeret jumps. Endvidere kan der argumenteres for, at Hestonmodellen har visse problemer, når optioner er deep OTM, hvilket igen kan skyldes de manglende jumps. Endvidere skal det nævnes, at objektivfunktionen prioriterer ITM optioner i kalibreringen, hvilket også kan have indflydelse på Hestonmodellens utiltrækkelighed for OTM optionernes implicitte volatilitet. 5.1.2 Kvantitative mål for kalibreringen Dette afsnit anvendes sammen med out of sample tilgangen til at konkludere på, hvorvidt Hestonmodellen reelt kan anvendes til at prisfastsætte optioner i praksis. 61

Tabel 10 Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 20. august 2008 ved forskellige løbetider Løbetid N Relativ (u. spread) Absolut (u. spread) Relativ (m. spread) Absolut (m. spread) % indenfor spread Alle 133 0,1227 0,7137 0,2471 1,4036 55 % 0,08 54 0,1791 0,5123 0,3532 1,0735 54 % 0,11 5 0,1229 0,3471 0,3516 0,7521 66 % 0,16 30 0,0824 0,4237 0,1913 1,0529 93 % 0,26 10 0,1144 0,8263 0,2038 1,4913 10 % 0,33 13 0,1328 0,9699 0,2224 1,6161 0 % 0,58 8 0,0172 0,5433 0,0657 1,3808 75 % 0,83 7 0,0347 0,9768 0,0567 1,9482 43 % Over 1 6 0,0518 3,4598 0,0737 5,4598 50 % Kilde: Egen tilvirkning Som det ses i ovenstående tabel, giver de forskellige fejlmål forskellige resultater. Når bid-ask spreadet ikke er inkorporeret, er den gennemsnitlige fejl, når alle optioner medtages, 12,27 %. Dette betyder, at den estimerede pris ligger 12,27 % fra midterprisen. Endvidere er der kun 55 % af modelpriserne, der faktisk ligger indenfor bid-ask spreadet. Dette viser, at de kalibrerede parametre ikke er optimale til at prisfastsætte alle call optioner ved forskellige strikepriser og forskellige løbetider. Der kan være flere grunde til, at næsten halvdelen af modelpriserne ligger udenfor spreadet. Den første kan være, at de anvendte parametre kommer fra et lokalt minimum. En anden grund kan være kalibreringsmetoden, der er anvendt. Der er taget udgangspunkt i alle call optioner. Som før nævnt kan anvendelsen af OTM put og call optioner måske forbedre parametrene og derigennem det endelige resultat. Yderligere kan vægtningen indirekte medvirke til, at parametrene ikke fungerer optimalt til alle løbetider. En sidste grund er, at parametrene kalibreres simultant til samtlige løbetider; modellen ville fungere bedre, hvis kalibreringen foregik separat for de enkelte løbetider. Det ville dog være inkonsistent, da det ville medføre, at flere forskellige parametervektorer ville beskrive det samme underliggende. Fejlene er relativt store for alle løbetider, når der sammenlignes med andre artikler. Blandt andet har Mikhailov & Nögel (2003) et mål om, at fejlen maksimalt må være 0,15 % for ATM call optioner, hvilket ikke er tilfældet i ovenstående tabel. Dette sammenligningsgrundlag er dog ikke retfærdigt for denne kalibrering, da Mikhailov & Nögel (2003) kun kigger på ATM optioner, hvor denne kalibrering anvender hele optionssættet. ATM optioner vil generelt have en lavere fejlmargen end optionssættet som helhed, da f.eks. OTM optioner er sværere at modellere. 62

I Mikhailov & Nögel (2003) er løbetiden også væsentlig længere, hvilket medvirker til en nemmere modellering af optionspriserne i deres artikel. De relative mål er mest interessante, da de kan bruges som sammenligningsgrundlag ved forskellige løbetider og moneyness. De absolutte mål afhænger af, hvilket niveau optionsprisen ligger på. Derfor vil der blive fokuseret på de relative mål i afhandlingen. Hvis bid-ask spreadet ikke er medtaget, er de laveste gennemsnitlige fejl omkring 2 % til 5 % i forhold til midterprisen, hvilket er acceptabelt. Det er dog stadig væsentligt større end niveauet for Mikhailov & Nögels (2003) fejlprocent. Fejlen er lavest for de lange løbetider, hvilket også er forventeligt ud fra den tidligere diskussion om jumps. Når der er taget højde for forskellen mellem bid og ask priserne er fejlen også mindst for de lange optioner, hvilket også var forventeligt. Hvis der tages udgangspunkt i de relative fejlmål, må konklusion være, at Hestonmodellen er acceptabel til at prisfastsætte optioner, når der ses bort fra helt korte løbetider. På baggrund af andelen af modelpriser indenfor spreadet er konklusionen mere tvetydig, og det er svært at generalisere ud fra kalibrerede priser. Når alle løbetider er medtaget, ligger kun 55 % af modelpriserne indenfor spreadet, hvilket må siges at være uacceptabelt. Dog er der for enkelte løbetider, f.eks. T=0,16, et acceptabelt niveau på 93 % af modelpriserne, der ligger indenfor bid-ask spreadet. Antallet af modelpriser, der ligger indenfor bid-ask spreadet, kan anvendes til at afgøre, hvorvidt denne model kan bruges i praksis. En analyse på baggrund af bid-ask spreadet for in sample data beror på en ex post tilgang. En sådan analyse bliver lavet på baggrund af begivenheder der allerede er sket. Omvendt vil out of sample analysen være ex ante, da gårsdagens parametre vil blive brugt til at beregne prisen i dag, inden den reelt er kendt. Derfor kan analysen af in sample data ikke stå alene i den samlede konklusion for modellens præstation. Hvis der fokuseres på moneyness i stedet for løbetid i analysen af modellens brugbarhed, ses det ud fra nedenståenden tabel tydeligt, at ITM optioner har en mindre gennemsnitlig fejl end OTM. Tabel 11 Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 20. august 2008 ved forskellig moneyness Moneyness N Relativ (u. spread) Absolut (u. spread) Relativ (m. spread) Absolut (m. spread) % indenfor spread ITM 25 0,0130 0,7952 0,0296 1,8292 88 % OTM 108 0,1481 0,6191 0,2975 1,3051 47 % Kilde. Egen tilvirkning 63

Den relative fejl er 1,3 %, hvis der ikke tages højde for bid-ask spreadet, hvor 88 % af modelpriserne ligger indenfor dette spread for ITM optioner. Det fremgår endvidere af tabellen, at Hestonmodellen prisfastsætter OTM optioner væsentlig dårligere end ITM. Kombineres resultaterne fra tabel 10 og tabel 11 må det derfor konkluderes, at Hestonmodellen i særdeleshed er dårlig til at prisfastsætte korte OTM optioner. Dette stemmer overens med de mangler, som blev diskuteret tidligere i teoriafsnittet, nemlig Hestonmodellens manglende evne til at beskrive ekstreme udfald. Ovenstående analyse er baseret på data fra den 20. august 2008. Der vil nu blive lavet en tilsvarende analyse af optioner fra den 12. maj 2010. Denne udvidelse af analysen skal gerne validere konklusionerne, som det var tilfældet med analysen af volatilitetssmilet. Tabel 12 - Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 12. maj 2010 ved forskellige løbetider Løbetid N Relativ (u. spread) Absolut (u. spread) Relativ (m. spread) Absolut (m. spread) % indenfor Spread Alle 196 0,1328 1,1632 0,2540 2,4993 65 % 0,025 46 0,2678 0,6378 0,3940 1,5041 44 % 0,1 60 0,1059 0,4645 0,2816 1,5012 92 % 0,17 5 0,0685 0,4077 0,1992 1,2077 100 % 0,18 25 0,0717 0,5187 0,1992 1,7677 100 % 0,27 13 0,0610 1,2785 0,1324 2,6631 46 % 0,35 14 0,0859 1,9884 0,1489 3,5062 27 % 0,6 10 0,0931 2,8305 0,1739 4,3755 10 % 0,85 4 0,0414 2,5675 0,0742 4,4550 25 % 1,1 2 0,0239 2,8189 0,0578 6,7189 100 % 1,6 12 0,0604 2,7242 0,0930 6,0451 75 % Over 2 5 0,2729 6,8812 0,3435 9,8212 20 % Kilde: Egen tilvirkning Kalibreringen fra den 12. maj 2010 giver resultater, der er konsistente med resultaterne fra forrige kalibrering. Den relative fejl, når der ikke er taget højde for spreadet, ligger på samme niveau, nemlig på 13,28 %, hvor fejlen tidligere var 12,3 %. Andelen af modelpriser indenfor spreadet er 66 % mod 55 % for den tidligere kalibrering. Endvidere ses det i tabel 12, at optionerne med en længere løbetid generelt har en lavere fejl, hvilket var ventet; dette gælder dog ikke løbetider større end to år. Andelen af optioner indeholdt i bid-ask spreadet svinger meget, og det er svært at generalisere omkring dette. For løbetider 64

mellem 0,1 og 0,2, hvilket svarer til løbetider mellem en til to måneder, er andelen af modelpriser indenfor spreadet over 95 %, hvilket er godt. Den overordnede konklusion på baggrund af ovenstående tabel er derfor, at Hestonmodellen har visse problemer, når løbetiden bliver for kort. Den gennemsnitlige fejl er generelt større end f.eks. Mikhailov & Nögel får. Denne konklusion er helt i tråd med, hvad der blev konkluderet tidligere. Tabel 13 - Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 12. maj 2010 ved forskellige moneyness Moneyness N Relativ Absolut Relativ Absolut % indenfor (u. spread) (u. spread) (m. spread) (m. spread) spread ITM 85 0,0233 1,2024 0,0546 3,0530 78 % OTM 111 0,2167 1,1331 0,4067 2,0753 55 % Kilde: Egen tilvirkning Som det kan ses i ovenstående tabel, er Hestonmodellen bedre til at prisfastsætte optioner, der er ITM, idet den relative fejl er lavere. Yderligere er der en større andel af modelpriserne indeholdt i bid-ask spreadet. Derfor er den overordnede konklusion den samme som tidligere. Hestonmodellen må generelt siges at have problemer med at prisfastsætte OTM optioner med kort tid til udløb. Denne konklusion er understøttet af to uafhængige tidspunkter for dataindsamlingen. Endvidere må det siges, at den relative fejl er forholdsvis stor, når der sammenlignes med andre studier. Der er i afsnittet redegjort for, hvorfor fejlen i denne afhandling er større end hos eksempelvis Mikhailov & Nögel (2003). 5.1.3 Out of sample For at teste, hvor godt det estimerede parametersæt er til anvendelse i praksis, foretages i dette afsnit en out of sample test. Testen foretages ved brug af parametervektoren, der er estimeret ud fra datasættet af call optionspriser fra den 12. maj 2010 for S&P500 optioner. Formålet med testen er at se, om modellen rent faktisk kan bruges til at prisfastsætte optioner. Metoden for out of sample testen er derfor at prisfastsætte S&P500 optioner den 13. maj 2010 ud fra de givne futurepriser, udløbstider og renten og derefter sammenligne de estimerede priser med de faktiske markedspriser. Derudover er implicitte volatiliteter også sammenlignet for at give et mere komplet billede. 65

Tabel 14 Fejlmål for out for sample for den 13. maj Løbetid N Relativ (u. spread) Absolut (u. spread) Relativ (m. spread) Absolut (m. spread) % indenfor Spread Alle 133 0,1108 1,2753 0,2126 2,5758 59 % 0,022 33 0,1656 0,5075 0,2690 1,4742 79 % 0,099 21 0,1090 0,4153 0,2507 1,3534 81 % 0,132 2 0,0439 1,4098 0,0903 2,9598 50 % 0,175 11 0,0634 1,7017 0,1667 2,9358 19 % 0,271 3 0,0709 3,1749 0,1018 4,7749 0 % 0,348 8 0,1035 2,7651 0,2158 4,0963 13 % 0,597 7 0,0803 3,3107 0,1694 4,7572 29 % 0,847 2 0,0456 4,1000 0,0662 5,9500 0 % Over 1 6 0,0120 1,4284 0,0440 5,3284 100 % Kilde: Egen tilvirkning Hvis der ses på samtlige optioner, er billedet en anelse broget. For den 12. maj er modellen i stand til at prisfastsætte 65 % af optionerne indenfor spreadet, hvorimod der for out of sample data er et marginalt lavere antal, nemlig 59 % af optionerne, der er indenfor spreadet på den 13. maj. Denne forskel virker dog relativt lille og giver ikke umiddelbart anledning til, at modellen ikke kan anvendes i praksis. Dette underbygges af, at den relative fejl falder fra 13,3 % til 11,1 % fra den 12. til den 13. maj, når bid-ask spreadet ikke er medtaget. Generelt er den relative fejl lavere, jo længere løbetiden er. Der er dog et par undtagelser for de mellemlange løbetider. Hvis der kigges på andelen af modelpriser indenfor spreadet, svinger dette også mellem de forskellige løbetider. Det skal dog bemærkes, at Hestonmodellen prisfastsætter samtlige optioner med løbetider over ét år indenfor spreadet. Dermed er der ikke en umiddelbar og klar indikation af, hvordan modellens performance er out of sample. Dette skyldes, at det er svært at generalisere ud fra samtlige løbetider. Derfor er det nyttigt at kigge nærmere på de forskellige løbetider og optionernes moneyness for at få en bedre bedømmelse af Hestonmodellens præstationer i praksis. 5.1.3.1 Resultater for korte løbetider En interessant løbetid at analysere nærmere er den korteste løbetid på 8 dage. Det interessante ved denne løbetid er, at teorien og de empiriske resultater fra denne afhandling viser, at Hestonmodellen ikke burde kunne prisfastsætte disse optioner tilstrækkeligt. Hvis der kigges nærmere i tabel 15, kan resultatet for løbetiden på 8 dage ses. Antallet af handlede optioner er lig 33, hvilket er en anelse lavere end de 46, der 66

blev handlet dagen forinden. Dette skyldes formodentligt, at mange kontrakter er blevet lukket, og open interest er dermed lig nul, hvilket betyder, at optionen ikke indgår i datasættet. Hvis resultaterne for de to dage sammenlignes ses det, at de kalibrerede parametre faktisk er bedre til at prisfastsætte de optioner, der er out of sample. På samtlige fejlmål for både den gennemsnitlige fejl og den implicitte volatilitet klarer modellen sig bedre. Derudover ses det også, at en klart højere procentdel af optionerne er indenfor spreadet i out of sample data. Tabel 15 Out of sample fejlmål for den korteste løbetid Dato Løbe N Relativ Absolut Relativ Absolut IV IV % indenfor tid (u. spread) (u. spread) (m. spread) (m. spread) Relativ Absolut Spread 12. maj 0,025 46 0,2677 0,6373 0,3939 1,5036 0,1233 0,0382 43% 13. maj 0,022 33 0,1656 0,5075 0,2690 1,4742 0,1027 0,0389 79% Kilde: Egen tilvirkning Det er naturligvis overraskende, at modellen i dette tilfælde fungerer bedre for out of sample data, end for de data, den er kalibreret ud fra. Ligesom tidligere er der en tendens til, at modellen er bedre til at prisfastsætte ITM optioner end OTM optioner. Dette underbygges specielt ved, at 6 ud af de 7 optioner fra den 13. maj, hvor prisen ikke ligger indenfor spreadet, er deep OTM optioner. Det ser generelt ud til, at modellen prisfastsætter at the money 34 optioner godt, da disse alle er indenfor spreadet, og ligeledes er den relative fejl for ATM optioner ikke særlig stor. Den gennemsnitlige, relative fejl for de 6 optioner, der er i nærheden af ATM, er på omkring 3,6 %, hvilket er lavt sammenlignet med 16,55 % for hele spreadet af optionspriser 35. Med hensyn til den implicitte volatilitet ses det igen, at modellen har svært ved at beskrive volatiliteten for deep ITM og OTM optioner, som konstateret tidligere. 34 Her er ATM defineret som +/- 5 % fra spotprisen. 35 Dette kan ses på vedlagte cd-rom, i filen out of sample S&P500 67

Figur 13 - Implicit volatilitet for markedet og modellen for T =8 dage volatilitet 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,78 0,89 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,02 1,03 1,05 1,06 1,08 1,11 Moneyness MktIV ModelIV Kilde: Egen tilvirkning Hvis der tages forbehold for de nævnte problemer med modellen, vurderes det, at Hestonmodellen bør kunne anvendes til at prisfastsætte plain vanilla optioner på S&P500, der ligger omkring ATM i praksis. Dette er en kvalitativ vurdering; den er primært baseret på, at for samtlige optioner, der ligger indenfor et interval på 5 % fra ATM, har modellen priser, der ligger indenfor spreadet i markedet, samt et relativt fejlmål på ca. 3,6%. Dette ligger på et tilfredsstillende niveau. 5.1.3.2 Resultater for længere løbetider For out of sample data med en længere løbetid er det valgt at gå i dybden med de optioner, der har en tilbageværende løbetid på 64 dage. Dette er naturligvis ikke en lang løbetid set i forhold til optioner med løbetider på et eller to år, men da der ikke er særlig mange optioner tilgængelige med en så lang løbetid (mellem to og fire optioner for løbetider over et halvt år er handlet den 13. maj), er løbetiden på 64 dage valgt i stedet; dette for at få et større datagrundlag at bedømme modellens præstationer ud fra. Ligesom for de kortere løbetider er antallet af optioner, der er handlet i markedet, en anelse lavere den 13. maj for løbetiden på 64 dage. Antallet af optioner, der var handlet den 12. maj, var således 25 i forhold til 11 handlede optioner den 13. maj. Tabel 16 - Out of sample fejlmål for en mellemlang løbetid Dato Løbe N Relativ Absolut Relativ Absolut IV IV % indenfor tid (u. spread) (u. spread) (m. spread) (m. spread) Relativ Absolut spread 12. maj 0,178 25 0,0725 0,5394 0,1999 1,7884 0,0235 0,0046 96 % 13. maj 0,175 11 0,0634 1,7017 0,1667 2,9358 0,0444 0,0096 19 % Kilde: Egen tilvirkning 68

Når en længere løbetid på 64 dage analyseres, er antallet af optioner indenfor spreadet væsentligt lavere end for den kortere løbetid på 8 dage. Den relative fejl for både prisen samt den implicitte volatilitet giver dermed en anden konklusion, når der sammenlignes med en løbetid på 8 dage. Det ses at den relative fejl for 64 dage væsentlig lavere end for en løbetid på 8 dage. Endvidere er den relative fejl lavere den 13. maj end i den oprindelige kalibrering den 12. maj. En interessant observation for denne løbetid er, at de to modelpriser, der ligger indenfor spreadet, er de to, der er mest ITM og OTM. Dette står umiddelbart i kontrast til de tidligere konklusioner, der har vist, at Hestonmodellens svaghed netop var at prisfastsætte deep ITM og især OTM. Denne konklusion på out of sample analysen kan dog være baseret på en tilfældighed. En mulig grund til dette kan dog være, at kalibreringen fra den 12. maj er baseret på alle løbetider. Dette betyder, at modellen har svært ved at beskrive samtlige løbetider optimalt, hvilket også er pointeret af Mikhailov & Nögel (2003). Figur 14 - Markedspris og modelpris for T = 64 dage Pris 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0,95 0,98 0,99 1,00 1,00 1,01 1,02 1,02 1,04 1,08 1,14 Moneyness Marketprice Modelprice Kilde: Egen tilvirkning Som det ses i figuren, sammenlignes markeds- og modelpriser på tværs af moneyness. Som det fremgår, ligger modelprisen meget tæt på markedsprisen, men dog stadig udenfor spreadet, hvilket ikke er optimalt. Det skal dog bemærkes, at samtlige priser bortset fra en enkelt af de 11 priser, der er estimeret, ligger under markedsprisen. Denne nedadgående bias lader til at gå igen for andre optioner, der har længere tid til udløb, ligesom den også er til stede for data fra den 12. maj. Denne bias bør dog som nævnt kunne mindskes ved at ændre kalibreringen som nævnt ovenfor eller ved at specificere modellen anderledes. Hvis der ses på løbetider, der er væsentligt længere end de to foregående, giver modellen pæne resultater. For samtlige optioner, der har en løbetid på over ét år, ligger den estimerede pris indenfor spreadet i 69

markedet. En af grundene til, at modellen er god til at prisfastsætte indenfor spreadet for lange løbetider er, at spreadet for optioner med lang løbetid er større, da der er større usikkerhed forbundet med disse optioner. 5.1.3.3 Konklusion Set ud fra en helhedsbetragtning fungerer Hestonmodellen umiddelbart lige så godt for out of sample data som for in sample data. Modellen er god til at prisfastsætte for korte løbetider, dog ikke for deep ITM og OTM optioner, hvilket var som forventet. Til lange løbetider præsterer modellen godt. Alt i alt vurderes det, at modellen vil kunne anvendes i praksis, hvis der tages forbehold for de faktorer, der er nævnt i afsnittet. 5.1.4 Alternativ kalibrering Resultaterne fra de tidligere afsnit har vist, at det er interessant at undersøge, om der er forbedringsmuligheder i forbindelse med kalibreringen af Hestonmodellens parametre. Derfor vil der i dette afsnit blive undersøgt to muligheder for en alternativ kalibrering. De data, der testes på, er optionspriserne fra markedet fra den 20. august 2008. Det første alternativ er at udelade de optioner, der har kort tid til udløb, i kalibreringen, og det andet vil være at basere kalibreringen udelukkende på OTM optioner. Formålet med disse alternativer er at se, hvor meget de forbedrer fejlmålene for prisfastsættelsen af optionerne. Derudover at se, hvor stabile parametrene er, når de kalibreres ud fra forskellige data. Til det første alternativ er det valgt at udelade samtlige optioner med under 30 dage til udløb i kalibreringen. Dette reducerer antallet af optioner fra 133 til 108. Grunden til, at netop 30 dage er valgt, er ganske enkelt, at den korteste løbetid er 30 dage i datasættet. Til det andet alternativ er datasættet reduceret yderligere fra 108 til 72 optioner; dermed er der både fjernet ITM optioner og korte udløbstider. Grunden til at foretage en kalibrering udelukkende ud fra OTM optioner er, at det dermed udelukkende er tidsværdien af optionen, der modelleres. Ved at inddrage både OTM put og call optioner bør kalibreringen blive forbedret. Endvidere vil volatilitetssmilet kunne genereres ud fra både put og call optioner modsat de allerede genererede volatilitetssmil i denne afhandling, som kun anvender call optioner. Det giver dog visse praktiske problemer, når begge optionstyper anvendes til kalibrering af parametrene. Det første væsentlige problem er, at Hestonmodellen kun er lavet til call optioner. Værdien af put optionen kan så beregnes ud fra put-call pariteten, hvor der enten tages udgangspunkt i spotprisen eller futureprisen. Konsekvensen af dette er, at der reelt kalibreres en pris for ITM call optionen, som anvendes som input i put-call pariteten, hvis put optionen er OTM. Dermed sker kalibreringen reelt som hidtil i denne afhandling, nemlig ud fra hele sættet af call optioner. 70

Et andet væsentligt problem er, at put-call pariteten ikke medtager nogle væsentlige, praktiske informationer. Den antager, at hele markedet anvender den samme risikofrie rentekurve, samme dividenderente (såfremt der tages udgangspunkt i spotprisen), likviditet og ingen transaktionsomkostninger. Essentielt set kan disse antagelser koges ned til den centrale no arbitrage antagelse, hvilket har store implikationer. Den første implikation er, at alle illikvide optioner og optioner med open interest lig nul skal fjernes fordi de ikke er handlede i markedet. Når dette gøres for både put og calls, reduceres antallet af anvendelige optioner væsentligt, da der bør være en put og en call option, når pariteten anvendes. Den anden implikation er, at deep ITM call optioner ikke kan bruges til at beregne deep OTM put prisen, når likviditeten er lav. Dette skyldes at fejlen ved at anvende put-call pariteten bliver for stor, hvilket kan ses i bilag 7. Når kalibrering udføres ved hjælp af put-call pariteten, bliver parametrene nogenlunde som de allerede fundne i denne afhandling. Det centrale problem er, at put-call pariteten ikke kan bruges på ITM call optioner til at få OTM put optioner. Derfor bliver de estimerede modelpriser ikke retvisende. Dette medvirker til, at denne metode ikke bruges her til kalibrering af parametrene i Hestonmodellen. Yderligere er antallet af OTM call optioner langt højere end antallet af call ITM optioner. For eksempel er over 90 % af optionerne med en løbetid på over 30 dage, der er handlet den 20. august 2008, OTM. Derfor er det valgt kun at anvende OTM call optioner i denne kalibrering. 71

5.1.4.1 Resultater af alternative kalibreringer Resultatet af kalibrering med de forskellige parametre kan ses i tabellen. Tabel 17 - Resultater af alternativ kalibrering Optioner anvendt N Parametervektor Relativ σ 2 κ θ η ρ (u. spread) % indenfor spread Alle 133 0,0386 4,5689 0,0577 0,5769-0,8006 0,1227 55 % OTM Call 108 0,0491 12,7829 0,0547 1,6004-0,7060 0,0783 57 % OTM Call over 30 dage 72 0,0468 5,0715 0,0583 0,8278-0,7480 0,0547 74 % Alle over 30 dage 79 0,0468 5,0715 0,0583 0,8278-0,7480 0,0511 70 % Kilde: Egen tilvirkning Note: Tabellen viser parametrene for OTM call kalibreringen og OTM call optioner uden korte løbetider. Parametersættet for alle optioner er medtaget som sammenligningsgrundlag. Det skal yderligere bemærkes, at parametervektoren for de to nederste linjer er den, der er opnået ved kalibrering til OTM call optioner uden korte løbetider. Dermed er de anvendte optioner i den sidste udregning både ITM og OTM, men med en løbetid større end 30 dage. I alt er der 25 ITM optioner, hvoraf 18 af disse har en løbetid på 30 dage Som det ses i tabellen, forbedres både den relative fejl og antallet af optioner indenfor spreadet, når kalibreringen ændres. Dermed ser det umiddelbart ud til, at kalibreringen forbedres ved at undlade ITM optioner og optioner med kort tid til udløb, hvilket er som forventet. Der er dog en enkelt faktor, som der ikke er taget højde for i denne sammenligning. Antallet af optioner, der skal beskrives i modellen, er mindre for de to alternative modeller det lader til at det er nemmere at få en model til at beskrive data for færre optioner. Dette forhold skal naturligvis tages med i betragtningen, når fejlmålene sammenlignes. Konklusionen fra tabel 17 er, at den bedste kalibreringsmetode er at anvende OTM optioner uden korte løbetider. Den fundne parametervektor skal herefter anvendes på hele optionssættet uden korte løbetider. 5.1.4.2 Kalibrering uden ITM optioner Motivationen for at fjerne ITM optioner er, at OTM optioner udelukkende er baseret på tidsværdi. Som nævnt tidligere i afhandlingen er tidsværdien det centrale i modelleringen af optionsværdien, da indre værdi er nem at kvantificere. Hvis kalibreringen foretages udelukkende for OTM optioner ses det, at både den relative fejl og antallet af optioner indenfor spreadet forbedres fra henholdsvis 12,3 % til 7,8 % og 55 % til 57 %. Derimod er stabiliteten af parametrene ikke særlig god, specielt κ og η bliver omkring tre gange ørre, st når kalibreringen kun foretages for OTM optioner. Denne usikkerhed kan skyldes, at parametrene i modellen generelt er mere ustabile, når optioner med kort tid til udløb er medtaget i kalibreringen jf. Gatheral 72

(2008). Dette underbygges af, at parametrene for kalibreringen uden optioner med kort tid til udløb er tæt på de oprindelige parametre. 5.1.4.3 Kalibrering af OTM optioner uden den korteste løbetid Optioner med kort tid til udløb har mindre spreads end optioner med længere tid til udløb. Dette betyder, at optioner med kortere løbetid får højere vægt i kalibreringen. Kalibreringen af modellen er konstrueret til at minimere fejlen mellem markedsprisen og modelprisen. Optionerne med kort løbetid er derfor som udgangspunkt inddraget, og dette kan betyde, at kalibreringsalgoritmen prisfastsætter optioner med kort løbetid bedre på bekostning af en større fejl ved prisfastsættelse af optioner med længere løbetid. Der kan tages højde for dette ved enten at inkorporere jumps i modellen, eller simpelthen ved at undlade at kalibrere modellen til løbetider under et givet niveau til udløb, f.eks. 30 dage, som gjort her. Effekten af at undlade korte løbetider i kalibreringen er tydelig, da den relative fejl bliver mere end halveret, og antallet af optioner, der ligger indenfor spreadet, stiger markant fra 55 % til 74 %. Derudover er stabiliteten af parametrene høj i forhold til kalibreringen med samtlige optioner. De kalibrerede parametre ligger dermed tæt på de parametre, der er blevet fundet for kalibreringen af hele sættet af optioner. Som et helt andet alternativ kunne kalibreringen opdeles i forskellige løbetider hver for sig, så der kalibreres et parametersæt for hver løbetid. Denne sidste mulighed vil dog ikke umiddelbart være konsistent, da det ville betyde, at der vil være forskellige parametersæt for det samme underliggende aktiv. Disse overvejelser i forbindelse med kalibreringen af modellen er naturligvis en faktor, det er nødvendigt at tage højde for, såfremt Hestonmodellen anvendes i praksis. 5.1.4.4 Konklusion Det kan konkluderes, at modellens præstation forbedres, når korte optioner udelades i kalibreringen. Derimod er det mere tvivlsomt, om udeladelsen af ITM optioner forbedrer parametrene, når de korte options ikke også fjernes. Det ses i ovenstående, at fejlmålene forbedres, hvilket naturligvis indikerer en forbedring. En af grundene til, at denne forbedring kan være opstået er, at det er et mindre datasæt, der anvendes til kalibreringen. 5.1.5 Parametre i Hestonmodellen Afsnittet indeholder en redegørelse for parametrene i Hestonmodellen. Derfor vil afsnittet forklare egenskaberne for de enkelte parametre, samt deres påvirkning på optionsprisen. 5.1.5.1 Varians, initial og langsigtet (σ 2 og θ) Den initiale varians beskriver, hvad den konkrete varians er i udgangspunktet. Niveauet for denne er interessant i forhold til det langsigtede niveau, da det over tid konvergerer mod dette. Den langsigtede 73

varians beskriver det niveau, som den nuværende varians forventes at konvergere imod. Begge disse parametre er i denne afhandling kalibreret ud fra markedsdata. Alternativt kan begge parametre fastsættes ud fra historiske data. F.eks. kunne den langsigtede varians være beregnet ud fra den historiske varians på S&P500, og den initiale kunne være beregnet ud fra en modificering af VIX indekset. Det er dog i denne afhandling valgt at anvende kalibrering som metode til at finde værdierne for variansen. Dette skyldes, at historiske værdier ikke er retvisende for de fremtidige værdier. Forskellen mellem de to variansniveauer er også interessant, idet den kan bruges til at beskrive, hvor den nuværende varians er på vej hen. Hvis den initiale varians er lavere end den langsigtede, er det bedste bud på variansens udvikling, at den vil konvergere mod det langsigtede niveau over tid. 5.1.5.2 Returneringshastighed (κ) Denne parameter er på engelsk kaldt reversion speed og beskriver, hvor hurtigt den nuværende varians konvergerer til den langsigtede stabile varians. Ved et højere niveau for denne hastighed opnås hurtigere konvergens i forhold til den langsigtede varians og vice versa. 5.1.5.3 Volatilitet på volatilitet (η) Denne parameter har afgørende indflydelse på, hvordan den overordnede varians på det underliggende aktiv bevæger sig. Volatiliteten på volatiliteten er den usikre faktor i volatilitetsprocessen. Såfremt denne parameter er lig nul, vil der ikke være nogen form for stokastisk volatilitet i modellen. Derfor er størrelsen på denne parameter særdeles interessant, idet netop usikkerheden i volatiliteten ligger her. I den klassiske Black-Scholes model vil en større volatilitet medføre en højere optionspris. Dette er naturligvis også tilfældet i den stokastiske volatilitetsmodel. 5.1.5.4 Korrelation (ρ) Korrelationen mellem de to Wienerprocesser for henholdsvis prisen og volatiliteten er også en vigtig parameter i Hestonmodellen. Dette er én af de væsentlige forskelle, der medførte den store praktiske anvendelse af Hestonmodellen. Jf. tidligere afsnit om Leverage effekten kan det antages, at korrelationen er negativ mellem det underliggende aktiv og volatiliteten for optioner på S&P500. Korrelationen i modellen er den primære faktor for hældningen og dermed retningen på den implicitte volatilitet. 74

Tabel 18 Påvirkning på optionspris ved forskellige ændringer i parameterværdierne Udgangspunkt Ændring Påvirkning σ t 2 < θ Større κ Større værdi σ t 2 < θ Mindre ρ Større værdi σ t 2 < θ Større η Større værdi σ t 2 = θ Større κ Lavere værdi σ t 2 = θ Mindre ρ Større værdi σ t 2 = θ Større η Større værdi σ t 2 > θ Større κ Lavere værdi σ t 2 > θ Mindre ρ Større værdi σ t 2 > θ Større η Større værdi Kilde: Egen tilvirkning Note: Optionspriserne er beregnet i Matlab ved S0=150, K=100, Tau=1, samt Mikhailov & Nögel (2003) parametrene. I ovenstående tabel 18 ses det, hvordan en ændring i en af de forskellige værdier i Hestonmodellen kommer til at påvirke værdien af optionen. Når korrelationen går mod -1 og volatiliteten af volatiliteten bliver større, medfører det en stigning i størrelsen af de stokastiske innovationer i modellen. Model volatiliteten medvirker til, at optionen får en større værdi for køber, da sandsynligheden for at få et større afkast stiger. Ligeledes betyder det, at sælgeren har større risici, hvilket han skal kompenseres for ved en større optionspris. En interessant observation er, at en større κ påvirker værdien af optionen forskelligt alt efter, om den initiale varians er større eller mindre end den langsigtede. Den af σ 2 og θ betingede optionsværdi afhænger dermed af, hvordan volatiliteten kommer til at udvikle sig frem mod udløb. Såfremt den initiale varians er lavere end den langsigtede og konvergensen sker hurtigere, vil volatiliteten også stige hurtigere, hvilket medfører en større optionsværdi. Omvendt vil værdien af optionen være faldende, hvis den initiale varians er større eller lig den langsigtede ved stigende returneringshastighed. Dette skyldes, at volatiliteten i dette tilfælde vil falde hurtigere, hvilket giver en lavere optionsværdi. 5.1.6 Diskussion af kalibreringstidspunkter og parametre Dette afsnit indeholder en diskussion af kalibreringstidspunkterne, i forhold til den økonomiske situation. Derudover vil der være en diskussion af de kalibrerede parametre, samt en sammenligning med de parametre der er anvendt i litteraturen. Endvidere vil niveauet for de forskellige parametre blive analyseret ud fra kalibreringstidspunktet. Diskussionen af parametrene tager udgangspunkt i nedenstående tabel. En interessant observation i tabellen er, at Feller betingelsen ikke altid er opfyldt for, hverken de kalibrerede 75

parametre eller de anvendte fra litteraturen. Dette er konsistent med observationerne jf. Gatheral (2006) og Andersen (2007) 36. Tabel 19 Oversigt over parametre i Hestonmodellen i forskellige artikler for S&P500 Parameter σ 2 κ θ η ρ Feller opfyldt? Kalibrering 20. august 2008 0,0386 4,5689 0,0576 0,5769-0,8 Ja Kalibrering 12. maj 2010 0,0598 7,4003 0,0703 1,6951-0,7778 Nej Kalibrering 13. maj 2010 0,0642 11,3615 0,0685 1,9137-0,7708 Nej Heston (1993) 0,01 2 0,01 0,1 0 Ja Mikhailov &Nögel (2003) 0,1 1, 2 og 4 0,1 0,2-0,3 Ja Andersen (2007) 0,09 1 0,09 1-0,3 Nej Kilde: Egen tilvirkning, Heston (1993), Mikhailov & Nögel (2003) og Andersen(2007). Note: Feller betingelsen er opfyldt, såfremt 2θκ η 2 > 0. 5.1.6.1 Kalibreringstidspunkter Tidligere studier har anvendt forskellige niveauer for parametrene i Hestonmodellen. I denne afhandling er der som udgangspunkt lavet tre forskellige kalibreringer for datoerne: 20. august 2008, 12. maj 2010 og 13. maj 2010. Dette er gjort, da stabiliteten i parametrene på både kort og langt sigt dermed kan analyseres. Endvidere vil disse forskellige kalibreringer blive sammenholdt med den konkrete økonomiske situation på kalibreringstidspunktet. Den konkrete økonomiske situation er inddraget for at give et mere fyldestgørende billede. Visse parametre i Hestonmodellen er påvirket af, hvordan S&P500 virksomhederne klarer sig. Eksempelvis er den initiale varians influeret af, om aktiemarkedet er stigende eller faldende. Tidligere i afhandlingen er korrelationen mellem S&P500 og VIX indekset beregnet. Konklusionen var, at VIX indekset stiger, når S&P500 indekset falder. Dette betyder generelt, at volatiliteten i markedet stiger, når S&P500 indekset falder. Derfor bør den initiale varians være afhængig af, hvorvidt markedet er stigende eller faldende. Den første kalibrering er fra den 20. august 2008, hvor subprime-krisen havde været i gang et års tid jf. Soros (2009). Niveauet for S&P500 indekset var $1274,74, hvilket er lavere end højdepunktet den 9. oktober 2007 på $1565,15. Det kan siges, at finanskrisen var i sin begyndelse. Krisen var dermed reelt ikke begyndt at eskalere, hvilket kan ses ud fra, at hverken S&P500 havde haft sit lavpunkt eller VIX indekset sit højdepunkt. VIX indekset lå i $20,42 den 20. august 2008. Derfor kan dette tidspunkt kategoriseres som førkrise tidspunkt. Det skal samtidig bemærkes, at et par måneder efter denne dato var værdien for S&P500 36 I denne forbindelse skal det nævnes at integralet er mere stabilt, når opbygningen fra Albrecher et al.(2006) anvendes, når Feller betingelsen ikke er opfyldt. 76

cirka $850, og VIX indekset var lige oppe over $80. Dette skyldes nedsmeltningen på de finansielle markeder efter Lehman Brothers kollaps. De andre datoer, der er anvendt i denne afhandlingen er fra medio maj 2010. S&P500 lå i $1171,67 og VIX indekset i $25,52. Dette tidspunkt ligger efter første del af den finansielle krise, hvor den amerikanske økonomi også havde været igennem en reel recession. Hvorvidt krisen er overstået, kan ikke afgøres, men i medio maj var frygten for et græsk kollaps på sit højeste. S&P500 har igennem marts, april og maj 2010 svinget meget mellem $1000 og $1200. Endvidere har VIX indekset fluktueret en del i denne periode og er steget væsentligt. Eksempelvis var VIX indekset nede i $18,75 ultimo april for at stige til næsten $33 omkring den 7. maj, for igen at falde til $25,52 og $26,17 den 12. og 13. maj. Derfor kan det konkluderes, at perioden medio maj er meget mere volatil end den tidligere kalibrering. Som nævnt var usikkerheden omkring hele eurosamarbejdet og Grækenlands store økonomiske problem en af grundene. Efterfølgende har VIX indekset være endnu højere, over kurs $45. Det skal naturligvis bemærkes, at volatiliteten i månederne omkring medio maj ikke var nær så stor som under den værste del af finanskrisen, hvor VIX indekset var i kurs $80, hvilket er væsentligt højere end niveauerne i maj 2010. Dog er niveauerne i maj højere end de historiske niveauer for VIX indekset, som kan ses i første del af denne afhandling. 5.1.6.2 Diskussion af parametrene σ 2 og θ Den initiale og langsigtede varians var større den 12. maj 2010 end den 20. august 2008. Dette er helt i tråd med den observerede markedssituation. De initiale varianser er dog forholdsvis lave, omkring 4 % og 6 %, de langsigtede varianser er omkring 6 % og 7 %. Disse niveauer er forholdsvis lave i forhold til tidligere studier. Der kan endvidere argumenteres for, ud fra den konkrete markedssituation, at de initiale varianser burde være højere end den langsigtede. Denne tankegang stammer fra den observation, at markedet er meget volatilt omkring den 12. maj, og derfor burde den initiale varians være høj og herefter konvergere mod et lavere langsigtet niveau. De lavere variansniveauer bliver dog udlignet af den relativt højere volatilitet på volatilitet, som diskuteres i efterfølgende afsnit. En interessant observation er, at de initiale varianser ligger meget tæt på niveauet for VIX indekset på de pågældende datoer. 77

Tabel 20 VIX indekset og de kalibrerede volatiliteter Dato Initial volatilitet VIX Langsigtede volatilitet 20. august 2008 0,1965 $20,42 0,24 12. maj 2010 0,2445 $25,52 0,2651 13. maj 2010 0,2534 $26,17 0,2618 Kilde: Egen tilvirkning Ovenstående tabel viser, at kvaliteten af de kalibrerede parametre er god. Værdierne for den initiale og langsigtede volatilitet ligger tæt på værdien for VIX indekset på den pågældende dato. VIX indekset er den forventede volatilitet de næste 30 dage. Derimod er den initiale og langsigtede volatilitet parametre, der anvendes i modellen for at beregne den stokastiske volatilitet. Dette forhold skal tages i betragtning, når værdierne sammenlignes. De to parametre σ 2 og θ må siges at være forholdsvis stabile, da de ligger tæt på hinanden over tid. Dette faktum er identisk med tidligere observationer, se blandt andet Buehler (2004). De kalibrede parametre svinger ikke meget på kort sigt, da både σ 2 og θ for den 12. og 13. maj 2010 ligger ret tæt på hinanden. Især er den langsigtede varians ret stabil på kort sigt. 5.1.6.3 Diskussion af κ Hastigheden, hvormed den nuværende varians konvergerer mod den langsigtede varians, ligger for begge resultater væsentligt højere end de anvendte i litteraturen. Kalibreringerne giver 4,6 og 7,4 i forhold til intervallet 1 til 4, som ofte er anvendt i litteraturen. Værdierne for κ ligger ikke meget højere end den gennemsnitlige κ beregnet af Buehler (2004). κ er steget meget mellem de to tidspunkter forkalibreringer, hvilket kan betyde, at κ generelt ikke er lige så stabil over en længere per iode som eksempelvis θ og σ 2. 37 Det kan blot bemærkes, at Buehler (2004) i første del af sin analyse har en meget volatil κ, og at dette stemmer overens med værdierne for κ i denne afhandling. Derudover ligger κ i denne afhandling på niveau med Buehler (2004). 38 Det er svært at konkludere, hvordan κ bliver påvirket af den konkrete markedssituation ved de forskellige kalibreringer. Som udgangspunkt kan det se ud, som om κ stiger, når markederne er mere volatile. Denne konklusion kan dog ikke laves, da κ ikke ser ud til at være stabil, hverken på kort eller langt sigt. På kort sigt ser det ikke ud til, at κ er stabil, da den fra den 12. maj til den 13. maj stiger fra 7,4 til 11,4. ølge If Buehler (2004) forekommer der visse chok eller jump i κ, hvilket kunne væ re tilfældet her. En alternativ forklaring kan være, at parametrene er baseret på en lokal minimeringsprocedure, hvorved parametrene i princippet 37 Der kan dog ikke konkluderes noget entydigt, da dette ville kræve en dybere analyse med flere kalibreringer. 38 Buehler (2004) har beregnet κ/2 til at ligge omkring 2,5. 78

kan være forkerte. På lang sigt fra 2008 til 2010 stiger κ parameteren også meget, fra 4,6 til 7,4, hvilket understreger ustabiliteten. 5.1.6.4 Diskussion af η Volatiliteten på volatiliteten er en meget vigtig parameter i Hestonmodellen. Denne parameter afgør, hvor meget usikkerhed, der ligger i variansprocessen. Heston (1993) og Mikhailov & Nögel (2003) anvender en forholdsvis lav η, mens Andersen (2007) og Buehler (2004) har væsentligt større værdier af η, henholdsvis 1 og mellem 0,8 og 1,2. De kalibrerede værdier for η i denne afhandling er på niveau med Andersen (2007) og Buehler (2004), hvilket må siges at være tilfredsstillende. Dette skyldes, at parametervektoren i Andersen (2007) er opstillet ud fra, at den skal passe til situationer, hvor det underliggende er baseret på aktier. De højere værdier af η i denne afhandling til en vis grad kompenserer for de lavere værdier af den initiale og langsigtede varians i kalibreringen, fordi η modellerer de stokastiske innovationer i volatilitetsprocessen. η er steget fra den 20. august 2008 til den 12. maj 2010 fra 0,58 til 1,7. Den stigende volatilitet å p volatiliteten kan skyldes, at markedet som nævnt var mere volatilt medio maj 2010 end i august 2008. Over en lang periode er η forholdsvis ustabil, idet den stiger fra 0,58 til 1,7 fra den ørste f kalibrering til den anden. Denne ustabilitet ses også i Buehler (2004). På kort sigt svinger η også, idet den ligger på 1,7 den 12. maj og stiger til 1,9 den 13. maj. Som det kan ses i Buehler (2004), svinger η både på kort og langt sigt. Dog er den mere stabil over en kort periode end over en længere periode, hvilket også er konklusionen fra denne afhandling. 5.1.6.5 Diskussion af ρ Som nævnt medvirker leverage effekten til, at korrelation er negativ, når modellen er kalibreret til S&P500. Den førnævnte litteratur anvender en korrelation på -0,3, hvilket er en del højere end resultaterne på kalibreringen i denne afhandling. I denne kalibrering er korrelation fundet til at være omkring -0,8. Dette virker meget fornuftig, idet korrelationen mellem VIX indekset og S&P500 indekset igennem VIX indeksets levetid er beregnet til -0,67 tidligere i afhandlingen. Hestonmodellens konstruktion medvirker til, at korrelationen mellem VIX og S&P500 burde ligge i nærheden af korrelationen i Hestonmodellen. Den langsigtede stabilitet for korrelationen er stor, idet forskellen på ρ mellem de to kalibreringstidspunkter ikke er så stor. Dette gør sig også gældende på kort sigt, hvilket er konsistent med Buehler (2004). 5.1.6.6 Konklusion Diskussionen omkring stabiliteten af parametrene i kalibreringen er lavet ud fra tre forskellige tidspunkter fordelt over en tidshorisont på et år og ni måneder. Fordelingen af tidspunkterne gør, at der er blevet taget udgangspunkt i udviklingen i parametrene, både på kort og lang sigt. Dette har givet et billede af, at parametrene for den initiale varians (σ 2 ), den langsigtede varians (θ) samt korrelationen (ρ) er stabile både 79

på kort og langt sigt. Derimod er parameteren for returneringshastigheden (κ) ustabil både på kort og langt sigt. Den sidste parameter for volatiliteten af volatiliteten (η) lader til at være mere stabil på kort sigt end på langt sigt. Disse resultater er konsistente med tidligere undersøgelser af parametrene for S&P500 indekset lavet for andre datasæt. Det skal i forbindelse med analysen og diskussionen, der er foretaget, nævnes, at en fuldstændig analyse af parametrene ville kræve flere datapunkter samt statistiske tests af parametrene etc. Formålet med denne analyse og diskussion er primært at opnå forståelse for, om de kalibrerede parametre i afhandling en ligger indenfor, hvad der kan forventes. Diskussionen af de kalibrerede parametre har vist sig at være konsistente med tidligere litteratur, og derfor er der ikke foretaget analyse af yderligere data. Dermed kan det konkluderes, at de kalibrerede parametre ser fornuftige ud. 5.1.7 Samlet konklusion på analysen af S&P500 Den samlede konklusion for analysen af Hestonmodellen til prisfastsættelse af optioner på S&P500 indekset kan sammenfattes til følgende. Modellen er i stand til at beskrive markedets implicitte volatilitet, dog med problemer, når løbetiden bliver meget kort, samt når optionerne er deep OTM, hvilket kan skyldes, at modellen ikke har inkorporeret jumps. Når den gennemsnitlige fejl for prisfastsætningen, der er opnået i kalibreringen, sammenlignes med den i andre studier, ses det, at den generelt er større i denne afhandling. Dette kan skyldes, at andre studier som f.eks. Mikhailov & Nögel baserer deres studie på simulerede data med længere løbetider, som vil være nemmere at tilpasse til modellen. Derudover kan prisfastsætningen være påvirket af, at kalibreringen af parametrene er foretaget for et lokalt minimum. Når modellen anvendes out of sample, er resultaterne lige så gode som for in sample data. Dermed bør modellen kunne anvendes i praksis. Det kan i forlængelse heraf konkluderes, at modellens præstation forbedres, hvis optioner med kort løbetid udelades i kalibreringen. Modellen forbedres, når ITM optioner udelades; denne konklusion er dog mindre sikker. Dette skyldes, at forbedringen er marginal, og en af grundene til, at forbedringen kan være opstået er, at det er et mindre datasæt, der er anvendt til kalibreringen. Sluttelig blev det i afsnittets diskussion af parametrene konstateret, at de kalibrerede parametre er som forventet. Derudover, at deres stabilitet er som forventet. Konklusionen er dermed, at Hestonmodellen kan bruges til at prisfastsætte optioner på et aktieindeks. 5.2 Prisfastsættelse af optioner på VIX indekset I det kommende afsnit vil Hestonmodellens evne til at prisfastsætte optioner på VIX indekset blive analyseret. Selve strukturen i afsnittet vil være den samme som i analysen af optioner på S&P500. Først vil den implicitte volatilitet blive analyseret, dernæst vil fejlmålene blive udregnet, og der vil blive lavet en out 80

of sample test. Som afslutning på afsnittet vil de kalibrerede parametre blive diskuteret, og stabiliteten på kort og langt sigt vil blive analyseret. Analysen i dette afsnit er foretaget med udgangspunkt i følgende parametersæt. Det skal i forhold til parametrene for S&P500 kort bemærkes, at μ er inkluderet i kalibreringen 39. Tabel 21 - Parametersæt for VIX kalibreret ud fra de givne datoer Parameter σ 2 Κ θ Η ρ μ Feller opfyldt? Kalibrering 20. august 2008 2,4053 68,799 0,2239 4,5930 0,9213-0,482 Ja Kalibrering 12. maj 2010 3,9654 37,069 0,2058 7,1615 0,8373 0,0002 Nej Kalibrering 13. maj 2010 5,1997 44,489 0,1853 9,2269 0,8175 0,0004 Nej Kilde: Egen tilvirkning I analysen af S&P500 optioner blev det konkluderet, at modellen ikke prisfastsætter optioner med en kort løbetid tilstrækkeligt. Endvidere blev der også konkluderet, at de kalibrerede parametre passer bedre til markedsdata, når de korte løbetider ikke er medtaget. Derfor er de kalibrerede parametre for VIX indekset baseret på data uden korte løbetider. Helt præcist er løbetiderne på 6 og 7 dage fjernet fra datasættet for maj kalibreringerne. 5.2.1 Implicit volatilitet I dette afsnit laves en analyse af den implicitte volatilitet på VIX indekset. I og med, at VIX indekset er et indeks på et indeks, kan konklusionerne være vidt forskellige fra S&P500. Der vil igen blive analyseret på to forskellige datoer. I nedenstående figur ses den implicitte volatilitet for optioner på VIX indekset med en løbetid på 28 dage ud fra den første kalibrering den 20. august 2008. Figur 15 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0,0767 Volatilitet 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Mkt IV Model IV 0,2 0 0,67 0,71 0,74 0,78 0,88 0,98 1,08 1,18 1,27 1,37 1,47 1,57 Moneyness Kilde: Egen tilvirkning 39 Grunden til dette er beskrevet i senere afsnit 81

Som det ses i ovenstående figur, kan Hestonmodellen umiddelbart bruges til at beskrive den markedsbestemte implicitte volatilitet. Der er dog nogle få udsving, når optionerne er deep ITM. Løbetiden for ovenstående implicitte volatilitet er den korteste, der er medtaget i datasættet. Ligeledes er det interessant at kigge på optioner med længere tid til udløb. Dette kan gøres ved at kigge i bilag 9 eller i nedenstående figur, hvor løbetiden er lig 119 dage. Figur 16 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0,33 Volatilitet 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,71 0,78 0,88 0,98 1,08 1,18 1,27 1,57 Mkt IV Model IV Moneyness Kilde: Egen tilvirkning I ovenstående figur 16 ses det, at Hestonmodellen er tilstrækkelig til at beskrive den implicitte volatilitet bestemt af markedet. Niveauet for den implicitte volatilitet er meget forskellig over løbetider. For optioner med en løbetid på 28 dage er den laveste implicitte volatilitet omkring 60 %, og den stiger sammen med moneyness til 100 %. For den længere løbetid er dette interval meget lavere, da den starter omkring 40 % og stiger til 60 %. Generelt kan det siges, at niveauet svinger meget over de forskellige løbetider, og der kan ikke konkluderes noget entydigt. Det kan dog siges, at det generelle niveau i de fleste tilfælde ligger mellem 40 % og 80 %, hvilket er væsentligt højere end de implicitte volatiliteter på S&P500. I forrige analyseafsnit lå den implicitte volatilitet på S&P500 mellem 20 % og 30 %. Dette skyldes, at VIX indekset fundamentalt set er mere volatilt end S&P500. Dette faktum underbygges af, at de logaritmiske afkast på VIX indekset har væsentligt større standardafvigelse end S&P500 som tidligere nævnt i afsnittet om datagrundlag. 5.2.1.1Forskellen på volatilitetssmilet for VIX og S&P500 En meget interessant observation i ovenstående figur 15 er naturligvis, at volatilitetssmilet for VIX er væsentligt anderledes end det for S&P500. Som nævnt tidligere i denne afhandling er der en negativ sammenhæng mellem S&P500 og dens implicitte volatilitet. Én af grundene til denne negative 82

sammenhæng er den såkaldte leverage effect. Dette kan også ses ud fra korrelationsparameteren i Hestonmodellen, som netop var negativ for S&P500. Denne negative skævhed optræder imidlertid ikke for VIX optioner og deres volatilitet 40. Grundene til, at forskellen i volatilitetssmilet mellem VIX og S&P500 opstår, illustreres nemmest grafisk. I det følgende er forskellen derfor forklaret på baggrund af to figurer, der viser de relevante forskelle i korrelationen mellem det givne indeks og dets volatilitet. Det interessante i denne kontekst er naturligvis, hvorfor volatilitetssmilet for VIX optioner står i diametral modsætning til volatilitetssmilet for S&P500 optioner? Et svar kunne være, at forskellen mellem de to er baseret på, at der er positiv korrelation mellem VIX indekset og dets volatilitet. Denne positive korrelation kan forklares ud fra, at volatiliteten på VIX indekset stiger, når VIX indekset i sig selv stiger. Dette er i princippet det samme som, at volatiliteten på volatiliteten på S&P500 indekset stiger, når volatiliteten på S&P500 stiger. Som det kan ses i nedenstående figur, kan denne positive sammenhæng mellem volatiliteten for VIX indekset, og niveauet for VIX indekset aflæses grafisk. Figur 17 Sammenhæng mellem VIX indekset og 20 dags volatilitet på afkastet VIX 90 80 0,16 0,14 Volatilitet 70 60 50 40 30 20 10 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 VIX Volatilitet 0 01-01-2008 20-5-2008 10-07-2008 24-2-2009 14-7-2009 12-01-2009 Tid 0 Kilde: Egen tilvirkning Note: I ovenstående figur kan niveauet for VIX indekset aflæses på venstreaksen. På højre akse er standard afvigelsen på det logaritmiske afkast på VIX indekset beregnet som den glidende standardafvigelse over 20 dage. 40 Den form på volatilitetssmilet, som der er i Figur 2figur 15 kan findes andre steder i litteraturen, se blandt andet Cont & Kokholm (2009) og Sepp (2008b). 83

Som det ses i figur 17, er der er en positiv sammenhæng mellem niveauet for VIX indekset og volatiliteten. Dermed understøtter figuren, at den positive skævhed på volatilitetssmilet skyldes denne positive sammenhæng, hvilket ligeledes ses ud fra den positive korrelationsparameter, som i ovenstående figur er beregnet til at være 0,66. Hvis der i stedet fokuseres på forholdet mellem S&P500 og volatiliteten, ses det, at korrelationen er negativ. Dette er blevet vist tidligere, blandt andet ved forholdet mellem VIX og S&P500, men kan også illustreres ved hjælp af nedenstående figur, hvor korrelationen er beregnet til at være -0,51. Figur 18 Sammenhæng mellem S&P500 indekset og 20 dages volatilitet på afkastet SPX 1600 0,06 Volatilitet 1400 1200 1000 0,05 0,04 800 0,03 600 400 200 0,02 0,01 SPX Volatilitet 0 01-01-2008 20-5-2008 10-07-2008 24-2-2009 Tid 14-7-2009 12-01-2009 0 Kilde: Egen tilvirkning Note: I ovenstående figur kan niveauet for S&P500 indekset aflæses på venstreaksen. På højre akse er standard afvigelsen på det logaritmiske afkast på S&P500 indekset beregnet som den glidende standardafvigelse over 20 dage. I ovenstående figur ses leverage effekten, da der er en negativ sammenhæng mellem indekset og volatiliteten. Yderligere skal det bemærkes, at der er en sammenhæng mellem den beregnede volatilitet på S&P500 og VIX indekset. Dette skyldes, at VIX indekset er forventningen til volatilitet i de næste 30 dage, hvilket har en naturlig sammenhæng med den realiserede volatilitet for de seneste 20 dage. Ud fra de ovenstående sammenhænge er der redegjort for, hvorfor den implicitte volatilitet på VIX indekset udviser et såkaldt frown,da et frown vil opstå ved positiv korrelation, se blandt andet Willmott (2006). Billedligt kan et frown bedst beskrives som et surt smil. VIX indekset har dermed jf. figur 15 et skewed frown, som går fra en lav implicit volatilitet ved OTM puts (eller ITM calls) til en høj implicit volatilitet ved OTM calls. 84

Et normalt frown har, i modsætning til et smil, lavere implicit volatilitet omkring OTM calls og puts (eller tilsvarende ITM calls) og høj implicit volatilitet omkring ATM optioner. Dette fænomen kan, udover for VIX indekset, også observeres for aktier omkring fusioner, opkøb etc., hvilket generelt er sværere at modellere end et smil jf. Wu (2007). Den implicitte volatilitet beregnet på baggrund af data fra den 12. maj 2010 giver samme konklusioner som ovenstående. Alle figurerne kan ses i bilag 10.. Figur 19 Markedets implicitte volatilitet ved forskellige løbetider og udnyttelseskurser Volatilitet 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,10 0,19 0,27 0,35 0,44 Løbetid Mkt IV - Strike 35 Mkt IV - Strike 25 Mkt IV - Strike 20 Kilde: Egen tilvirkning Note: Den implicitte volatilitet er beregnet ud fra markedsdata den 12. maj 2010. Værdien af VIX indekset var $25,52, hvilket betyder at figuren viser OTM, ATM og ITM optioner Endvidere er der en tydelig tendens til, at en længere løbetid giver lavere implicit volatilitet. Dette er en meget interessant observation, som også var tilfældet for optioner på S&P500. En forklaring på dette fænomen kunne være, at optionssælgeren skal kompenseres for risikoen for store udsving, crashophobia fænomenet, på kort sigt. 5.2.1.2 Konklusion I ovenstående afsnit blev den implicitte volatilitet på VIX indekset analyseret ud fra datoerne den 20. august 2008 og den 12. maj 2010. Ud fra figurerne kan det konkluderes, at Hestonmodellen er tilstrækkelig til at beskrive den markedsbestemte implicitte volatilitet. Eksempelvis beskrives den implicitte volatilitet for løbetiden på 119 dage fra den 20. august 2008 rigtig godt. Hestonmodellen ser dog som forventet ud til at have visse problemer, når optioner bliver deep ITM eller deep OTM. I afsnittet blev det yderligere konkluderet, at en længere løbetid giver en lavere implicit volatilitet. En grund til dette kan være, at korte optioner sælges med en ekstra præmie, der skal kompensere for store udsving 85

på kort sigt, hvilket medfører højere implicit volatilitet. Generelt kan det siges, at VIX indekset udviser væsentlig større implicit volatilitet end S&P500 indekset. Dette skyldes det faktum, at VIX indekset generelt har større volatilitet. Der blev endvidere konkluderet, at den implicitte volatilitet for VIX indekset har en anden struktur end det klassiske volatilitetssmil. VIX indekset udviser et frown, hvilket blandt andet skyldes den positive korrelation mellem VIX indekset og dets volatilitet. 5.2.2 Kvaliteten af kalibreringen Dette afsnit vil analysere kvaliteten af kalibreringen for VIX indekset for at afgøre, hvor god Hestonmodellen er til at beskrive VIX indekset. Analysen for VIX indekset er opbygget på samme måde som S&P500 for at øge sammenligneligheden. Derfor anvendes samme fejlmål og analysedato. Det første datasæt, der analyseres, er fra den 20. august 2008. Prisfastsættelsen af optionerne ud fra de kalibrerede parametre giver følgende resultater for de forskellige løbetider. Tabel 22 - Fejlmål for kalibrering ud fra VIX data fra den 20. august for forskellige løbetider Løbetid N Relativ Fejl (uden bid-ask) Absolut Fejl (uden bid-ask) Relativ Fejl (med bid-ask) Absolut Fejl (med bid-ask) % indenfor spread Alle 49 0,0416 0,0317 0,1451 0,1149 88 % 0,08 13 0,0281 0,0189 0,1414 0,0939 92 % 0,17 9 0,0293 0,0282 0,1284 0,0949 78 % 0,25 14 0,0503 0,0275 0,1554 0,1060 93 % 0,33 8 0,0265 0,0338 0,1124 0,1338 100 % 0,42 5 0,0989 0,0798 0,2086 0,1998 60 % Kilde: Egen tilvirkning Generelt ligger både den relative fejl og andelen af optioner indenfor spreadet på et fornuftigt niveau set ud fra samtlige løbetider. Den eneste løbetid, der ikke ligger på niveau, er den længste for t=0,42. Her giver modellen en markant større relativ fejl, der dog stadig vurderes at være indenfor det acceptable. Sammenlignes tallene i ovenstående tabel med S&P500-tallene, ses det, at modellen generelt er god til at beskrive VIX indekset. Sammenlignes antallet af optioner indenfor spreadet eksempelvis, er 88 % indenfor ved VIX indekset, mens 74 % af optionerne er indenfor spreadet for S&P500 41. Samtidig er det relative fejlmål en anelse lavere for VIX indekset med 4,16 % i forhold til 5,47 % for S&P500. 41 Denne sammenligning er foretaget ud fra de parametre, der ikke indeholder korte optioner for S&P500. 86

Resultaterne viser, at modellen ikke er dårlig til at beskrive S&P500, selvom fejlen er 1,3 procentpoint højere, da dette kan tilskrives tilfældigheder. Derimod viser data, at Hestonmodellen er en god model til både at beskrive VIX og S&P500, såfremt der justeres for korte løbetider. Hvis Hestonmodellen anvendes til prisfastsættelse af VIX optioner, er der dog inkonsistens i modellen, som vil blive analyseret mere i dybden i næste afsnit. Her skal det kun kort nævnes, at inkonsistensen opstår ved, at VIX indekset anvendes som underliggende i Hestonmodellen. Hvis det kan accepteres, at denne inkonsistens er til stede, kan det dermed konstateres, at Hestonmodellen kan anvendes til prisfastsættelse af VIX optioner i praksis. For det andet datasæt, der analyseres, er antallet af løbetider, der handles, væsentligt lavere end for S&P500. Der er fem handlede løbetider for VIX optioner i forhold til over ti for S&P500 for den 12. maj. Derudover er det de lange løbetider, der ikke bliver handlet på VIX indekset. Løbetiderne for optionerne på VIX er således væsentligt kortere, hvor den længste handlede løbetid er lige under et halvt år i forhold til løbetider på over to år for S&P500 optioner. Denne tendens til, at løbetiderne ikke er længere end cirka et halvt år, går igen for data fra den 20. august 2008. Tabel 23 - Fejlmål for kalibrering af VIX ud fra data fra den 12. maj 2010 ved forskellige løbetider Løbetid N Relativ fejl (uden bid-ask) Absolut fejl (uden bid-ask) Relativ fejl (med bid-ask) Absolut fejl (med bid-ask) indenfor spread Alle 76 0,0561 0,0613 0,1370 0,2034 80 % 0,10 21 0,0667 0,0617 0,1782 0,1629 67 % 0,19 17 0,0360 0,0568 0,1033 0,1715 88 % 0,27 15 0,0825 0,0541 0,1749 0,1941 80 % 0,35 13 0,0434 0,0626 0,0993 0,2550 85 % 0,44 10 0,0448 0,0774 0,1002 0,2899 90 % Kilde: Egen tilvirkning I tabel 23 ses det umiddelbart, at tallene for fejlmålene for forskellige løbetider ser fornuftige ud. Over 80 % af optionerne ligger indenfor spreadet, hvilket er ganske godt. Det ser ud til, at optioner med længere løbetid har en større andel indenfor spreadet, dog ligger løbetiden t=0,19 over niveau, når der kun ses på andelen, der ligger indenfor spreadet. Sammenlignes antallet af optioner indenfor spreadet med antallet for S&P500 analysen, ligger disse tal væsentligt højere, 80 % i forhold til 65 %, samtidig med, at tallene for de enkelte løbetider her er mere stabile end for S&P500. Med hensyn til den relative fejl for bid-ask spreadet ser tallene også fornuftige ud. Den relative fejl uden spread ligger på 5,6 %, hvilket er godt. Hvis der ses på den relative fejl, hvor bid-ask spreadet er inkluderet, er fejlen naturligvis en anelse højere - på 13,7 %. Hvis der ses på de forskellige løbetider, er der ikke 87

umiddelbart nogen klare tendenser i forhold til eksempelvis S&P500, hvor der var en tendens til mindre fejl for længere løbetider. Derudover er den relative fejl for VIX indekset generelt lavere, end den er for S&P500. Dette indikerer, at modellen er god til at beskrive VIX indekset. Den manglende tendens over løbetider kan skyldes, at denne kalibrering er foretaget uden optioner med kort løbetid i modsætning til S&P500 analysen, der har inkluderet kortere løbetider. Dette gør, at modellen ikke overkompenserer ved at forsøge at tilpasse volatilitetssmilet for korte løbetider. Ud fra de ovenstående betragtninger er det værd at bemærke, at modellen beskriver data tilfredsstillende. Modellen beskriver ligeledes data tilfredsstillende, hvis der ses på ITM og OTM resultater. Tabel 24 - Fejlmål for kalibrering af VIX ud fra data den 12. maj 2010 ved forskellige løbetider Moneyness N Relativ fejl Absolut fejl Relativ fejl Absolut fejl Indenfor (uden bid-ask) (uden bid-ask) (med bid-ask) (med bid-ask) spread ITM 26 0,0101 0,0704 0,0364 0,2935 85 % OTM 50 0,0800 0,0566 0,1893 0,1566 78 % Kilde: Egen tilvirkning Som forventet ud fra tidligere resultater værdiansætter modellen ITM optioner bedst. Dette gælder både, hvis der ses på den relative fejl, der er meget lav på 1 %, og hvis der ses på antallet af optioner indenfor spreadet. For OTM optioner gør modellen også et fint arbejde. Fejlene er stadig større end for ITM optioner, men det vurderes, at resultaterne for OTM optioner er tilfredsstillende. Konklusionen for kvaliteten af Hestonmodellen er dermed, at modellen kan anvendes til prisfastsættelse af VIX optioner, såfremt korte løbetider fjernes. Ved anvendelse af Hestonmodellen til VIX optioner er der dog inkonsistens i modellen som gør, at parametrene i modellen ikke altid kan fortolkes på en måde, der giver mening økonomisk 42. 5.2.3 Out of sample Dette afsnit afprøver, hvor godt Hestonmodellen prisfastsætter optioner out of sample. De data, der anvendes, er ligesom ved analysen af S&P500 optioner for den 12. og 13. maj 2010. Modellen er dermed kalibreret ud fra VIX optioner den 12. maj, og derefter er disse parametre anvendt til at prisfastsætte optioner den 13. maj. Derefter er modelpriserne sammenlignet med markedspriserne. Formålet er at afgøre modellens anvendelighed i praksis til prisfastsættelse af optioner på VIX indekset. 42 Denne inkonsistens vil yderligere blive diskuteret i det perspektiverende analyseafsnit 88

Nedenfor viser tabellen, hvor godt modellen er tilpasset de forskellige løbetider. Tabel 25 - Fejlmål for out of sample den 13. maj for VIX indekset Løbetid N Relativ (u. spread) Absolut (u. spread) Relativ (m. spread) Absolut (m. spread) % indenfor spread Alle 74 0,0529 0,0903 0,1116 0,2542 70 % 0,09 20 0,1127 0,1330 0,1937 0,2480 45 % 0,19 17 0,0522 0,0819 0,1040 0,2333 59 % 0,27 13 0,0188 0,0721 0,0720 0,2356 85 % 0,34 11 0,0168 0,0524 0,0677 0,2751 100 % 0,44 13 0,0263 0,0860 0,0717 0,2918 85 % Kilde: Egen tilvirkning Som det ses i det samlede sæt af optioner, er der 70 % indenfor spreadet, hvilket skal sammenholdes med 80 % for de data, modellen er kalibreret til. Dermed ligger modellen noget lavere for out of sample data, men dog stadig på et meget fornuftigt niveau. Det ses, at antallet af optioner indenfor spreadet stiger, når løbetiden stiger, dog med undtagelse af sidste løbetid. Dette er konsistent med resultaterne fra forrige afsnit, hvor tendensen var den samme for de data, modellen er kalibreret til. Den relative fejl er marginalt bedre end den for data fra den 12. maj. Den relative fejl for samtlige optioner ligger på 5,2 %, og dette må siges at være tilfredsstillende. For andelen af optionerne, der ligger indenfor spreadet ses det, at der er en tendens til at fejlen falder, når løbetiden bliver længere, dog med undtagelse af den sidste og længste løbetid. Den implicitte volatilitet for modellen og markedet for den korteste løbe for VIX indekset ses i nedenstående figur Figur 20 - Implicit volatilitet for markedet og modellen løbetid = 34 dage volatilitet 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,6 0,7 0,8 0,8 0,9 1,0 1,1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,1 2,3 2,5 moneyness Market IV Model IV Kilde: Egen tilvirkning 89

Som det ses i ovenstående figur 20, udviser out of sample data også et frown. Derudover ses det i figuren, at modellen ikke fungerer helt tilstrækkeligt for den korteste løbetid. Dette understøtter konklusionen fra tabel 25, hvor denne løbetid havde de største fejlmål. Dette er dog ikke så kritisk, at det er nødvendigt at fjerne den korteste løbetid, da modellen trods alt prisfastsætter med en relativ fejl på 11,3 %. Ud fra resultaterne for out of sample kan det dermed konkluderes, at modellen kan bruges i praksis til prisfastsættelse af VIX optioner, især for længere løbetider. 5.2.4 Diskussion af VIX parametrene Dette afsnit omhandler en diskussion af de forskellige parametre, der er kalibrede i denne afhandling. I nedenstående tabel kan de forskellige parameterværdier aflæses. Tabel 26 Oversigt over VIX parametre ved forskellige kalibreringer Kalibrering σ 2 κ θ η ρ μ Kalibrering 20. august 2008 2,405 68,799 0,224 4,593 0,921-0,482 Kalibrering 12. maj 2010 3,965 37,069 0,206 7,162 0,837 0,0002 Kalibrering 13. maj 2010 5,2 44,489 0,185 9,227 0,818 0,0004 Kilde: Egen tilvirkning Det har ikke været muligt at finde parameterværdier fra tidligere studier - derfor vil diskussionen ikke inddrage andre studier. Generelt må det også siges, at det er væsentligt sværere at lave en økonomisk fortolkning af parametrene på VIX indekset, da dette er et indeks på et indeks. VIX indekset er ikke en Martingale, hvilket betyder, at driftparameteren ligeledes er kalibreret for VIX data 43. Der vil kun i begrænset grad blive sammenlignet med S&P500 parametrene, da VIX er et indeks på et indeks, hvilket gør, at parametrene ikke er direkte sammenlignelige. Derfor kommer den følgende diskussion primært til at omhandle stabiliteten på kort og langt sigt samt en diskussion af, hvorvidt niveau og retningen på parametrene giver økonomisk mening. 5.2.4.1 Diskussion af parametre σ 2 og θ Den initiale varians for VIX indekset er 2,41 for kalibreringen den 20. august, hvilket er meget højt. Dette betyder, at variansen på starttidspunktet for VIX indekset er 241 %, som derefter vil konvergere mod det langsigtede niveau på 22,4 %. VIX indekset er meget volatilt, hvilket betyder, at den initiale varians nemt kan ligge langt fra den langsigtede - dog virker forskellen mellem de to niveauer meget stor. Dette kan muligvis tilskrives modelkalibreringen. 43 Jf. Jourdain (2004) er modeller med en positiv korrelation mellem prisprocessen og volatilitetsprocessen ikke Martingales. 90

Den initiale varians ser ikke ud til at være særlig stabil over tid. Den stiger fra den 20. august 2008 til den 12. maj 2010 fra 2,41 til 3,97. Yderligere ser den heller ikke ud til at være særlig stabil på kort sigt, da den på en enkelt dag stiger med 1,23 til 5,2. Stigningen på denne ene dag er næsten lige som stor som stigningen fra august 2008 til maj 2010. Derfor må det konkluderes, at den initiale varians ikke er stabil. Denne konklusion er ikke konsistent med konklusionerne fra S&P500 diskussionen. Her blev det konkluderet, at den initiale varians var forholdsvis stabil. Forskellene i niveauerne er dog konsistent med den tidligere diskussion, da perioden omkring medio maj var meget risikofyldt grundet den græske gældskrise, hvilket har medført en stigning i den initiale varians. Den langsigtede varians må omvendt siges at være forholdsvis stabil på langt sigt, hvor den falder fra 22,4 % til 20,6 %. Fra den 12. maj til den 13. maj falder den yderligere med 2,1 procentpoint til 18,5 %. Dette er et relativt stort fald, da det sker på én dag. Derfor er det mere uvist, hvorvidt langsigtede varians er stabil på kort sigt. 5.2.4.2 Diskussion af κ κ er meget høj for samtlige kalibreringer. Derudover er den ikke særlig stabil, idet den falder fra 68,8 til 37,1 fra den 20. august 2008 til den 12. maj 2010. Herefter stiger den igen fra den 12. maj til den 13. maj med 7,4 til 44,5. Dermed må det konkluderes, at κ ikke er stabil, hverken på kort eller langt sigt. κ er dermed både ustabil ved kalibreringen af S&P500 og VIX optioner. κ parameteren er meget høj i kalibreringerne, hvilket ikke giver så meget økonomisk mening. En κ på f.eks. 68,8 som for august 2008 vil medføre voldsomme fluktuationer i variansprocessen, såfremt der er stor forskel mellem σ 2 og θ 44. Dette understreger at modellen ikke giver nogen økonomisk mening for VIX parametrene, dog er den så fleksibel at den stadig kan anvendes. 5.2.4.3 Diskussion af η Som det ses i tabel 26 er η ligesom κ utrolig ustabil. Den stiger fra 4,59 til 7,16, og herefter stiger den yderligere til 9,23. Dermed kan det igen konkluderes, at volatiliteten på volatiliteten er en meget ustabil parameter, hvilket er konsistent med konklusionen baseret på S&P500 indekset. Niveauet for denne parameter er særdeles højt, hvilket medfører, at der er et stort usikkerhedsmoment i variansprocessen for VIX optioner. 5.2.4.4 Diskussion af ρ Korrelationen i Hestonmodellen ved en kalibrering på VIX indekset er positiv, hvilket modsvarer leverage effekten som prægede S&P500 parametrene. Dette skyldes, at volatiliteten på VIX indekset stiger, når indekset i sig selv er stigende som vist tidligere. Denne parameter må siges at være stabil både på kort og 44 Den første stokastiske innovation i variansprocessen vil se således ud: σ 2 t = 68,8 (0,22 2,41) + 4,6 2,41Z 2, hvilket bør give et stort udsving. 91

langt sigt, da korrelationen den 20. august var 0,92 og den 12. og 13. maj var henholdsvis 0,84 og 0,81. Dermed er denne korrelation forholdsvis stabil, især på kort sigt. Denne konklusion er også konsistent med, hvad denne afhandling fandt for S&P500. 5.2.4.5 Diskussion af μ μ er generelt et udtryk for, hvordan prisen på indekset bevæger sig over tid. Normalt er μ på eksempelvis aktier positiv, da forventningen er, at de stiger over tid. Aktier modelleres dog altid uden μ, da den risikoneutrale proces er en Martingale, hvorved afkastet på det risikofrie aktiv skal være lig den risikofrie rente. Der er ikke noget, der nødvendigvis siger, at den risikoneutrale proces af VIX indekset er en Martingale. Når VIX indekset bliver kalibreret ud fra Hestonmodellen med en μ, antages det implicit, at processen for indekset ligner en geometrisk Brownian Motion, hvor volatiliteten vil være specificeret ud fra en CIR proces. Dette er ikke optimalt, da μ kan have vidt forskellige værdier, hvilket vil blive diskuteret senere i denne afhandling. Driften for VIX indekset var den 20. august 2008-0,48, hvilket afviger fra de andre kalibreringer af VIX. For det første er en negativ drift meget mærkværdigt. En ting, der muligvis kunne forklare dette, ville være, hvis niveauet for VIX indekset allerede lå højt og forventeligt ville falde. Dette er dog ikke tilfældet, da VIX indekset den 20. august var på 20,42, hvilket historisk set ikke er specielt højt. Dernæst er niveauet for driften meget højt. Sammenlignes værdierne for μ med den 12. og 13. maj 2010, giver disse væsentlig mere mening, da de stort set ligger på nul. Det at driften i maj ligger omkring nul betyder, at den risikoneutrale proces på VIX indekset ikke har nogen drift som f.eks. aktier har. Når μ ligger på nul, er prisprocessen beskrevet af en CIR lignende proces i Hestonmodellen 45. Dette betyder, at selve processen for prisudviklingen i VIX indekset vil have en tendens til at være mean reverting. Denne specifikation af prisprocessen for VIX stemmer sandsynligvis bedre overens med den empiriske udvikling i volatiliteten, end når driften er kalibreret til at være forskellig fra nul. Den kalibrerede parameter for august 2008 virker derfor som nævnt meget mærkværdig, hvilket hovedsageligt kan skyldes to ting. Den første er, at parametersættet er kalibreret ved en lokal minimeringsprocedure. En anden grund kan være den førnævnte inkonsistens. For at teste robustheden af parametrene er der blevet lavet flere forskellige kalibreringer i denne afhandling, med mange forskellige initiale værdier, dog uden at resultaterne har ændret sig. 45 Når driften er lig nul vil prisprocessen se således ud:ds t = (κ(θ σ t 2 )dt + η σ t 2 dz 2 )S t dz 1 92

Afslutningsvis skal det nævnes, at den kalibrerede parameter for μ er den risikoneutrale. Dette er ogs å gældende for de andre parametre i kalibreringen. Derfor giver værdien af μ ikke nødvendigvis økonomisk mening, da den kalibrerede parameter ikke er lig den sande drift. 5.2.4.6 Konklusion I ovenstående afsnit er hver af parametrene i Hestonmodellen blevet diskuteret for kalibreringen på VIX indekset. Generelt må det siges, at parametrene virker væsentligt mere ekstreme end de kalibrerede parametre for S&P500 kalibreringen. Grunden til, at parametrene virker mere ekstreme, er, at VIX indekset er et indeks på et indeks med højere volatilitet. Endvidere er der en inkonsistens i modelleringen, hvilket medvirker til, at parameterværdierne ikke nødvendigvis giver økonomisk mening. 5.2.5 Samlet konklusion for VIX indekset Ud fra den samlede analyse af Hestonmodellen til prisfastsættelse af optioner på VIX indekset kan følgende konkluderes. Analysen af modellen viser, at modellen er tilstrækkelig til at beskrive den implicitte volatilitet. Der er dog problemer for deep ITM og OTM optioner, ligesom det var tilfældet for S&P500 optioner. Derudover blev det konkluderet, at volatilitetssmilet for VIX indekset har form som et frown, hvilket skyldes den positive korrelation mellem VIX indekset og dets volatilitet. Yderligere blev det klarlagt, at de optioner, der har en længere løbetid, har en lavere implicit volatilitet. Ud fra fejlmålene for Hestonmodellen kan det konkluderes, at modellen fungerer tilfredsstillende til prisfastsættelse af VIX optioner. Der er dog inkonsistens i modellen, hvis den anvendes til prisfastsættelse af VIX optioner. Out of sample resultaterne bekræftede ligeledes denne konklusion. Diskussionen af parametrene viste, at kalibreringen til VIX optioner giver parametre, der er mere ekstreme end for S&P500. Derudover at det er svært at lave en praktisk tolkning, der giver mening økonomisk, på parametrene, fordi modellen er inkonsistent, når den anvendes på VIX indekset. Den samlede konklusion bliver dermed, at Hestonmodellen kan anvendes til prisfastsættelse på VIX optioner. Der er dog det forbehold, at modellen er inkonsistent, når VIX indekset er anvendt som underliggende. Denne inkonsistens vil blive undersøgt og analyseret nærmere i næste afsnit. 6. Perspektiverende analyseafsnit Dette afsnit omhandler de områder, hvor der er inkonsistens i modelapparatet for Hestonmodellen. Inkonsistensen opstår, når Hestonmodellen anvendes til at prisfastsætte optioner på VIX indekset. Afsnittet er opdelt i tre primære dele. Den første del fokuserer på anvendelsen af én model til prisfastsættelse i modsætning til at anvende flere forskellige parametersæt til forskellige indeks. 93

Anden del fokuserer på prisprocessen, som anvendes i Hestonmodellen til at beskrive det underliggende aktiv. Her vil den mest hensigtsmæssige måde til at specificere processerne for VIX blive diskuteret. Afslutningsvis vil sidste del analysere en generel udvidelse til Hestonmodellen. I forrige afsnit viste det sig, at Hestonmodellen fungerer til prisfastsættelse af optioner på VIX, når parametrene kalibreres til indekset. Dermed vil modellen kunne anvendes i praksis, selvom der er inkonsistens forbundet med at anvende den. 6.1 Inkonsistens i modellen Inkonsistensen består i, at Hestonmodellen anvendes til prisfastsættelse på både S&P500 optioner og VIX optioner. Når Hestonmodellen anvendes til prisfastsættelse på S&P500 optioner, vil processen for volatiliteten blive specificeret som en mean reverting CIR proces. Denne specifikation er naturlig, da der er empirisk belæg for, at volatiliteten har de egenskaber, der beskrives i en CIR proces. Eftersom VIX indekset beskriver den implicitte volatilitet for S&P500 må den, alt andet lige, forventes at følge samme proces. Inkonsistensen i modelapparatet opstår derfor, når Hestonmodellen ligeledes anvendes til at prisfastsætte optioner på VIX indekset. Grunden til dette er, at VIX indekset som underliggende aktiv specificeres som en Heston prisproces, hvilket ikke stemmer overens med empirien. 6.1.1 Hestonmodellens fleksibilitet Selvom Hestonmodellen er inkonsistent, fungerer den alligevel til prisfastsættelse af VIX optioner. Grunden til dette er, at Hestonmodellen er så fleksibel, at fejlen på grund af inkonsistens bliver negligerbar. Derudover er modellen så fleksibel at den kan beskrive data uden at give økonomisk mening. Dette blev blandt andet illustreret i forrige afsnit, hvor parametrene i modellen blev kalibreret. Her blev μ i to tilfælde kalibreret til en værdi meget tæt på nul, hvilket resulterer i, at prisprocessen for VIX bliver meget lig en mean reverting proces. Derudover ses modellens fleksibilitet også ved, at den kan anvendes til andre aktiver end aktier. Der er for eksempel ikke nogen problemer med at anvende modellen, hvis underliggende aktiv er valuta eller obligationer jf. Heston (1993). Denne store fleksibilitet er dermed på mange punkter en fordel. Det skal ligeledes pointeres, at selvom modellen kan prisfastsætte VIX optioner, er parametrene, der kalibreres til modellen, mere ekstreme og svære at fortolke på. Ligeledes lader det til, at parametrene er mere ustabile for VIX indekset i forhold til S&P500. 6.1.2 Alternative model muligheder For at tage højde for inkonsistensen i model opbygningen kan andre modeltilgange anvendes. Optimalt skal en model kunne prisfastsætte både optioner på S&P500 og VIX. Som en udvidelse til Hestonmodellen kan 94

der anvendes multi-faktor volatilitetsmodeller, som blandt andet en dobbelt Heston, se blandt andet Buehler (2004) og Gatheral (2007): ds t = μs t dt + σ 2 t S t dz 1 (81) dσ 2 t = κ 1 (Θ 1 σ 2 t )dt + v t σ t dz 2 (82) dv t = κ 2 (Θ 2 v t )dt + η v t dz 3 (83) Ovenstående er en dobbelt Heston med drift, hvor prisprocessen følger en GBM med stokastisk varians, variansen af prisprocessen er specificeret som en CIR proces og variansen på variansen er også specificeret som en CIR proces. Såfremt denne model bliver anvendt til prisfastsættelse af optioner på både S&P500 og VIX optioner vil den være konsistent, hvis en modificeret variansproces bliver brugt som underliggende til VIX optioner. Denne modificering skal tage højde for, at VIX indekset er forventningen til volatiliteten de næste 30 dage, hvorimod det er den øjeblikkelige varians, der indgår i (82). Denne modelopbygning burde løse det konsistensproblem, der opstår, når Hestonmodellen anvendes til prisfastsættelse af VIX. 6.2 Ny selvstændig VIX specifikation Hvis optionspriserne på VIX indekset ikke skal udledes direkte fra en alternativ specificering af Hestonmodellen, kommer her en analyse af, hvordan priserne alternativt kan udledes. VIX indekset er i sig selv indirekte afhængig af udviklingen på S&P500 indekset. Dette skyldes den måde, hvorpå CBOE beregner VIX indekset ved hjælp af den implicitte volatilitet. Hvis antagelsen derimod er, at VIX indekset har en selvstændig udvikling, blot påvirket af S&P500, ligesom renter, valutakurser og råvarer har selvstændige udviklinger, skal der udvikles en ny proces for det underliggende. Dette ville betyde, at prisprocessen for VIX indekset skal modelleres i en uafhængig model. Af selvstændige modeller kan der blandt andet nævnes Psychoyios et al. (2009). Denne artikel kigger på forskellige modeller såsom CIR med og uden jumps for prisprocessen for VIX. En væsentlig pointe er dog, at ingen af modellerne i Psychoyios et al. (2009) har inkorporeret stokastisk volatilitet i VIX indeksets udvikling. Jf. Sepp (2008b) kan selvstændige modeller, der ikke afhænger af udviklingen i S&P500, misspecificere forskellige risici. Den førnævnte inkonsistens samt den mulige misspecifikation kan være de primære grunde til, at udvalget af selvstændige modeller er meget begrænset. 95

En selvstændig model for VIX indekset som underliggende kunne specificeres som en modificeret dobbelt Heston: dvix t 2 = κ 1 (Θ 1 VIX t 2 )dt + v t VIX t dz 1 (84) dv t = κ 2 (Θ 2 v t )dt + η v t dz 2 (85) Ovenstående model kan dermed bruges til at modellerer det underliggende VIX indeks, hvor prisprocessen er specificeret som en CIR proces med stokastisk volatilitet og variansprocessen ligeledes er specificeret som en CIR proces. For at teste, hvorvidt denne modelspecifikation er korrekt, kan der anvendes forskellige metoder. En oplagt metode ville være at anvende simulering. Derudover kunne der testes på, hvorvidt modelspecifikationen giver den samme fordeling som de empiriske data. Som nævnt i afsnittet om datagrundlaget er fordelingen for afkastet mere positivt skæv for VIX end S&P500, men med mindre haler, når der er tale om afkast pr. dag. Endvidere kunne der anvendes Maximum Likelihood eller Ordinary Least Squares til at teste parametrene på de historiske data, og herefter sammenligne fejlene i de forskellige modeller. Denne metode anvender Dotsis et al. (2007) og Psychoyios et al. (2009) eksempelvis til at teste forskellige modeller på VIX indekset 46. Den korrekte model skal afspejle den empiriske fordeling, som kan ses i afsnittet om datagrundlaget. Jf. Psychoyios et al. (2009) er der visse krav, der skal være opfyldt til den selvstændige VIX model - blandt andet skal diffusionsleddet medvirke til hurtige stigninger efterfulgt af en hurtig mean revertsion ved høje niveauer. Dernæst skal den have inkorporeret jumps, så den kan beskrive de store stigninger i VIX indekset i turbulente perioder. Disse jumps er jf. Dotsis et al. (2007) én af grundene til, at hypotesen om normalitet bliver afvist for VIX indeksets logaritmiske afkast. Det skal dog nævnes, at jumps ikke indgår i en dobbelt Heston. Hvis jumps ikke skal inkorporeres, kan den ovenstående modificering af dobbelt Heston anvendes, hvilket muligvis kunne beskrive udviklingen i VIX indekset bedre end standard Hestonmodellen. Dobbelt Heston er baseret på en bedre økonomisk forståelse end standard Heston. Grunden til dette er, at VIX indekset i modellen antages at være mean reverting. Derfor giver det bedre mening at modellere prisprocessen for VIX indekset ud fra, at driftleddet er mean reverting. Dernæst er det et empirisk faktum, at volatiliteten er stokastisk, hvilket er argumentet for, at variansprocessen også er specificeret som en CIR. 46 Ved test af forskellige modeller på baggrund af historiske data er det ikke længere de risikoneutrale parametre under Q-målet der skal anvendes, men i stedet parametrene under det fysiske P-mål. 96

I det følgende afsnit er der lavet en uddybning af en af forbedringsmulighederne til Hestonmodellen, nemlig at inkorporere jumps. Grunden til, at denne forbedringsmulighed er valgt frem for f.eks. en dobbelt Hestonmodel er, at jumps flere gange i løbet af afhandlingen er blevet nævnt som forbedringsmulighed. Derfor er der af pladshensyn valgt at fokusere på denne udvidelse. 6.3 Generel udvidelse til Hestonmodellen Et væsentligt problem for en standard Hestonmodel er dens utilstrækkelighed til at modellere optionspriser med kort løbetid. Dette skyldes, at modellen ikke tager højde for jumps, hvilket den burde ud fra empirien. Som nævnt i teoriafsnittet pointerer Gatheral (2006), at stokastiske volatilitetsmodeller med jump i prisprocessen er bedre end modeller med jump i både prisprocessen og volatilitetsprocessen. Derfor vil denne afhandling kun anvende udvidelsesmodellen med jump i prisprocessen. Omvendt argumenterer Mikhailov & Nögel (2003) for, at inkorporering af jumps ikke forbedrer modellen yderligere. Der er valgt at fokusere på denne udvidelse, da resultaterne i denne afhandling formodes at blive forbedret med en inkorporering af jumps. Hestonmodellen med jump i prisprocessen ser således ud: ds t = μs t dt + σ t 2 S t dz 1 + e α+δε 1 Sdq (86) dσ t 2 = κ(θ σ t 2 )dt + ησ t dz 2 (87) Hvor ε er en standardnormalfordeling og dq følger en Possionproces, med intensiteten λ, defineret som: dq = 0 1 med sandsynlighed 1 λ(t)dt med sandsynlighed λ(t)dt (88) Når optionsprisen skal beregnes, kan det eksisterende metodeapparat anvendes med få justeringer. Den karakteristiske funktion ligner den normale udgave fra Heston, hvor jump parametrene blot er inkorporeret som følgende: f j (x; v; t; ) = e A+Bv0+iφx e ψ(u)t (89) Hvor ψ(u) = λ(t)iφ e α+δ2 2 1 + λ(t) e iφα φ2 δ 2 2 1. De øvrige parametre er uforandrede fra en standard Hestonmodel. At jump komponenten kan inkorporeres relativt nemt, skyldes forudsætningen om uafhængighed mellem jump og de øvrige parametre. Denne 97

forudsætning er dog ikke særlig realistisk jf. Gatheral (2006). Hvis optionsprisen ændrer sig meget, vil volatiliteten også ændre sig meget. Dette skyldes selve definitionen på volatilitet samt leverage effekten. Tabel 27 Studier af parametrene i Hestonmodellen med jumps Parameter κ η ρ Θ λ(t) Intensitet α Gennemsnitlig jump δ Standardafvigelse SV parametre 4,32 0,56-0,8 0,06 - - - Ja SVJ Fuld kalibrering 3,88 0,63-0,73 0,07 0,004 2,09 0,91 Ja SVJ Faste jumps 4,86 0,68-0,78 0,06 0,12-0,13 0,1 Ja Feller opfyldt? Matytsin et al. (1999) 1 0,8-0,7 0,04 0,5-0,15 0 Nej Duffie et al. (2000) 3,99 0,27-0,79 0,01 0,11-0,12 0,15 Ja Gatheral (2006) 0,54 0,3-0,7 0,04 0,13-0,12 0,1 Nej Kilde: Gatheral (2006), egen tilvirkning Note: Feller betingelsen er opfyldt såfremt 2λθ -η^2>0, hvilket skal sikre at volatiliteten ikke bliver negativ, men som sjældent er opfyldt i praksis jf. Andersen (2007). Ovenstående tabel er en oversigt over forskellige kalibreringer af parametrene i Hestonmodellen med jump i prisprocessen for denne afhandling samt andres parametre. En interessant observation er, at det gennemsnitlige jump er negativt. Dette harmonerer godt med det empiriske faktum, at jump i et indeks ofte er negative. Dette kan blandt andet også ses ud fra, at skævheden på fordelingen af afkastene på S&P500 er negativ. Endvidere skal det bemærkes, at Feller betingelsen ikke altid er opfyldt, hvilket er inkonsistent i forhold til teorien, da variansen dermed kan blive negativ jf. Andersen (2007). 6.3.1 Kalibreringen Når den udvidede model skal testes, følges metoden analogt til tidligere i denne afhandling. Der vil i det efterfølgende kun blive kommenteret på de væsentlige observationer i forbindelse med at inkorporere uafhængige jumps i Hestonmodellen. Kalibreringen tager udgangspunkt i hele datasættet fra den 20. august 2008 for S&P500, da Heston med jumps også burde være i stand til at prisfastsætte korte løbetider. Grunden til at S&P500 er valgt skyldes, at jump parametrene er nemmere at fortolke 47 økonomisk set. Der er to primære, interessante observationer ved denne kalibrering. Først og fremmest er det interessant at sammenligne de kalibrerede parametre både i forhold til den oprindelige kalibrering uden jumps, men især i forhold til andre studier. Endvidere er det også interessant at analysere, hvorvidt en inkorporering af jumps forbedrer den overordnede præstation for modellen. 47 Det skal i denne forbindelse pointeres, at de kalibrerede parametre er risikoneutrale. 98

Ved en kalibrering af parametrene ud fra data den 20. august 2008 på S&P500 er der to centrale ting, der er væsentlige at bemærke. Den første observation knytter sig til de oprindelige Hestonparametre, som er forholdsvise stabile. Den eneste parameter, der ændres markant, er κ, som falder til 3,9 fra 4,3. Derudover stiger volatiliteten på volatiliteten og den langsigtede varians marginalt. Den anden interessante observation knytter sig til jump parametrene. Intensiteten er væsentlig lavere end tidligere studier, det gennemsnitlige jump er positivt og standardafvigelsen er forholdsvis stor. Alle tre ting afviger fra tidligere studier af parametrene i Hestonmodellen med jumps. Empirisk set burde intensiteten være lav, da jumps i aktiekurserne ikke sker ofte. Derfor er det svært at konkludere, hvorvidt 0,38 % er for lavt i forhold til Gatheral (2006), som fandt denne parameter til at være 13 %. Hyppigheden af jumps bør afhænge af, hvor stort det egentlige jump er. Empirisk set burde det gennemsnitlige jump være negativt, da skævheden på afkastene på S&P500 er negativt på -0,2018. Dette empiriske faktum betyder, at aktier typisk har mange små stigninger, men få store fald. Den sidste observation er, at standardafvigelsen er meget stor i forhold til tidligere studier. Derfor ser det ud til, at kalibreringen af jump parametrene ikke er optimal, hvilket kan skyldes den lokale minimeringsprocedure. I forbindelse med kalibreringen med jumps kan det konstateres, at den anvendte minimeringsalgoritme er væsentligt mere ustabil end tidligere. Det lader dermed til, at minimeringsalgoritmen ikke er i stand til at kalibrere jump parametrene tilstrækkeligt. Derfor er der anvendt en alternativ kalibrering, hvor jump parametrene er prædefinerede. De anvendte parametre kommer fra Gatheral (2006), hvor jump intensiteten er lig 13 %, det gennemsnitlige jump er lig -12 % og standard afvigelsen er lig 10 %. 99

I nedenstående tabel kan kvaliteten af de kalibrerede parametre i Hestonmodellen med jumps ses. Tabel 28 Fejlmål for Hestonmodellen med jumps fra den 20. august 2008 Model N Relativ (u. spread) Absolut (u. spread) Alle Relativ (m. spread) Absolut (m. spread) Indenfor spread SV 133 0,1227 0,7137 0,2471 1,4036 73 55 % SVJ - Fuld kalibrering 133 0,1145 0,7968 0,2389 1,4867 68 51 % SVJ Faste jump. 133 0,0958 0,8413 0,2202 1,5370 74 56 % SVJ Naiv 133 0,7113 2,9241 0,8357 3,614 25 19 % T=0,08 SV 54 0,1791 0,5123 0,3532 1,0735 29 54 % SVJ(FK) 54 0,1673 0,43 0,3414 0,4024 33 61 % SVJ(JP) 54 0,1414 0,4758 0,3155 1,0369 33 61 % T=0,16 SV 30 0,0824 0,4237 0,1913 1,0529 28 93 % SVJ(FK) 30 0,0614 0,5977 0,1703 1,2269 14 47 % SVJ(JP) 30 0,0469 0,5484 0,1558 1,1775 21 70 % T=0,58 SV 8 0,0172 0,5433 0,0657 1,3808 6 75 % SVJ(FK) 8 0,0652 0,9294 0,1137 1,7667 5 38 % SVJ(JP) 8 0,0882 1,1541 0,1367 1,9916 3 38 % % indenfor spread Kilde: Egen tilvirkning Note: SV er betegnelsen for Hestonmodellen uden jumps. SVJ er modellen, hvor jump er inkorporeret. FK er betegnelsen for den fulde kalibrering og JP er modellen, hvor jump parametrene er prædefineret. Den sidste SVJ model kommer fra et naivt valg af parametervektoren baseret på Gatheral (2006) Ved kalibreringen med prædefinerede jump parametre forbedres fejlmållene i forhold til SV modellen, dog ikke for de absolutte fejlmål, som er mindre vigtige. Dette viser, at en inkorporering af jump forbedrer Hestonmodellens evne til at prisfastsætte optioner på S&P500. Når jumps bliver inkorporeret ved fuld kalibrering af modellen, bliver præstationen marginalt bedre, når der kigges på de relative fejlmål. De absolutte fejlmål samt antallet af optioner indenfor spreadet er derimod henholdsvis større og lavere, hvilket i begge tilfælde er negativt. For den korteste løbetid T=0,08 forbedrer en inkorporering af jumps alle fejlmål, dette gælder både den fulde og den delvise kalibrering. Især bliver antallet af optioner indenfor spreadet øget, hvilket afhjælper Hestonmodellens problemer for optioner med korte løbetider. 100

Ved løbetiden T=0,16 giver inkorporering af jumps med de kalibrerede jump parametre kun et bedre relativt fejlmål, når spreadet ikke er medtaget. Derimod viser alle andre fejlmål, at modellen bliver forringet. Dette virker som udgangspunkt underligt, da det var forventeligt, at jumps ville forbedre modellen. Dette skyldes dog, at jump parametrene ikke giver økonomisk mening, hvorved resultaterne bliver forringet. Derimod ses det for løbetiden T=0,16, at modellen med de prædefinerede parametre forbedrer fejlmålene med undtagelse af optioner indenfor spreadet. De lavere relative fejlmål viser dermed, at inkorporering af jumps giver bedre resultater. En grund til, at modellen ikke prisfastsætter optioner indenfor spreadet i tilstrækkelig grad kan skyldes, at jump parametrene er prædefinerede og dermed ikke er kalibrerede til datasættet. Den sidste løbetid, hvor T=0,58, er medtaget for at vise, at det relative fejlmål faktisk kan stige, når de kalibrerede jumps er inkorporeret. Dette indikerer, at der kan være problemer forbundet med at inkorporere jumps. Denne indikation er dog tvetydig på grund af, at de anvendte parametre fra kalibreringen ikke giver økonomisk mening. 6.3.2 Opsummering Generelt har en inkorporering af fuldt kalibrerede jumps i Hestonmodellen ikke givet den forventede forbedring af modellens evne til at prisfastsætte optioner. Det var forventet, at modellen med fuldt kalibrerede jump var bedre til at beskrive de helt korte løbetider, hvilket også er tilfældet. Denne marginale forbedring har dog medvirket til, at andre optionsløbetider er blevet forringet, hvilket ikke er optimalt. Resultaterne afspejler ikke den generelle tendens i litteraturen, da de fleste studier fremviser forbedringer, når fuldt kalibrerede jumps inkorporeres, se blandt andet Gatheral (2006). Der kan være mange grunde til, at den væsentlige forbedring udebliver. En væsentlig grund kan være baseret på, at de kalibrerede parametre ikke harmonerer med andre studier. Især må det siges, at størrelsen på det gennemsnitlige jump burde være negativ for at afspejle empirien mest muligt. Denne konklusion indikerer, at den anvendte minimeringsalgoritme ikke fungerer optimalt til kalibrering af jumps. Yderligere er der lavet en naiv fejlmålsberegning, hvor alle parametre er prædefineret ud fra Gatheral (2006). Disse parametre fra tidligere studier viser, at fejlmålene bliver forringet væsentligt. Derfor skal Hestonparametrene som minimum kalibreres for at få en fornuftig model. Derimod viser den alternative kalibrering, hvor jump parametrene er prædefinerede, pæne resultater, hvilket er positivt. Dette ses ved at den relative fejl falder, samt at antallet af optioner indenfor spreadet stiger. Dermed er denne metode bedre til at beskrive markedspriser end Hestonmodellen uden jumps. Dette sker på trods af, at jump parametrene er prædefinerede. 101

6.4 Konklusion Det perspektiverende analyseafsnit omhandler den inkonsistens, der opstår, når VIX optioner bliver prisfastsat med en standard Hestonmodel. Der blev foreslået en dobbelt Heston som alternativ modelspecifikation, som burde være i stand til at løse problemet omkring konsistens, såfremt en modificeret udgave af volatilitetsprocessen anvendes. Dernæst blev det diskuteret, hvorvidt specifikationen af Hestonmodellen er den optimale måde at specificere processerne for VIX optioner. Dette skyldes som nævnt, at VIX indekset er mean reverting, hvilket bør inkorporeres i prisprocessen. Igen blev der forslået en modelspecifikation, der kunne være interessant at arbejde videre med. Afslutningsvis blev der lavet en udvidelse af Hestonmodellen, hvor jumps blev inkorporeret i prisprocessen. Her er konklusionen, at en inkorporering af jumps vil forbedre den generelle evne til at prisfastsætte optioner, hvilket modellen med prædefinerede jumps viste. Analysen af VIX indekset viser, at Hestonmodellen kan bruges til at prisfastsætte optioner på volatilitet. Det perspektiverende analyseafsnit uddyber dog den inkonsistens, der er forbundet med at anvende Hestonmodellen til prisfastsættelse af et indeks, der er baseret på et indeks. Hvis den samme struktur i modelopbygningen skal anvendes til yderligere undersøgelser, kunne det være interessant at se på mere avancerede processer. Dette kunne for eksempel være en dobbelt Heston specifikation med jumps inkorporeret i modellen. En sådan specifikation vil dog medføre, at modellen kompliceres væsentligt, hvilket står i modsætning til den oprindelige Heston specifikation. 102

7. Konklusion Det blev i afhandlingen vist, at Black-Scholes formlen har visse kritiske forudsætningsbrud. Først og fremmest kan det ikke antages, at volatiliteten er konstant, hvilket volatilitetssmilet er et bevis på. Endvidere kan det ikke antages, at de logaritmiske afkast for S&P500 og VIX indekset er normalfordelte, hvilket Jarque-Bera testen viste. Yderligere blev der lavet en test for ARCH effekter, som påviste, at der optræder volatility clustering i det logaritmiske afkast for S&P500. Disse empiriske forhold tager den stokastiske volatilitetsmodel højde for. Denne afhandling tager udgangspunkt i den stokastiske volatilitetsmodel, som derfor er udledt. I afhandlingen blev Hestonmodellen anvendt til prisfastsættelse af optioner gennem numerisk integration, Fast Fourier Transformation og simulering. Hestonmodellens evne til at prisfastsætte optioner blev først testet på aktieindekset S&P500 og herefter på volatilitetsindekset VIX. Dette blev gjort for to forskellige tidspunkter, henholdsvis den 20. august 2008 og 12. maj 2010. Resultaterne af analysen af Hestonmodellens evne til at prisfastsætte optioner på S&P500 er, at modellen er i stand til at beskrive markedets implicitte volatilitet. Der er dog visse problemer, når løbetiden er meget kort og for optioner, der er deep OTM. En grund til dette er, at Hestonmodellen ikke har inkorporeret jumps. Der blev endvidere lavet en out of sample test som viste, at Hestonmodellen kan bruges i praksis til at prisfastsætte optioner på S&P500. De kalibrerede parametre i afhandlingen ligger indenfor det forventede niveau. Endvidere er der lavet en analyse af parametrenes stabilitet på kort og langt sigt, hvor resultaterne også stemmer overens med tidligere studier. Den alternative kalibrering viste, at den bedste kalibreringsmetode er at anvende OTM optioner og undlade de korte optioner. Hovedpointen er dermed, at Hestonmodellen fungerer godt til at prisfastsætte optioner på et aktieindeks. Analysen på VIX indekset viste, at Hestonmodellen også prisfastsætter disse optioner godt. Modellen havde dog de samme problemer, som det var tilfældet for S&P500 optioner. Denne konklusion er baseret på den samme analysetilgang som for S&P500 indekset. Analysen af den implicitte volatilitet viste, at VIX indekset udviser et frown i modsætning til et volatilitetssmil. Grunden til, at VIX indekset udviser et frown, skyldes den positive korrelation mellem indekset og dets volatilitet. Parametrene i Hestonmodellen baseret på VIX indekset er også analyseret. Resultatet viser, at parametrene er mere ekstreme end for S&P500, samt at det er svært at konkludere noget endeligt omkring den økonomiske fortolkning. Hovedpointen for analysen af VIX indekset er, at Hestonmodellen er god til prisfastsætte optioner på indekset, hvilket sker på trods af, at dette er forbundet med inkonsistens. Denne inkonsistens opstår fordi det burde være muligt at anvende én model til både S&P500 og VIX indekset. Grunden til dette er, at VIX indekset er afledt af S&P500, hvorved det implicit bliver specificeret i Hestonmodellen for S&P500. 103

Endvidere er der en inkonsistens forbundet med specifikation af Hestonmodellen i forhold til VIX indekset ved den selvstændige kalibrering. Empirisk set er volatiliteten mean reverting, hvorved Hestonmodellens specifikation ikke er passende, da den ikke er mean reverting i prisprocessen. Der blev forslået en alternativ dobbelt Hestonmodel, som bør være i stand til at løse inkonsistensproblemet. Afslutningsvis er der lavet en udvidelse til Hestonmodellen, som inkorporerer jumps. Dette skyldes, at inkorporering af jumps burde kunne løse Hestonmodelles problemer ved korte løbetider. Det viste sig, at kalibreringen af jump parametrene voldte visse problemer for den valgte minimeringsalgoritme. Konklusionen af denne udvidelse er dog samlet set, at en inkorporering af jumps forbedrer modellens evne til at prisfastsætte optioner. 104

Litteraturliste Primær Litteratur Bøger og videnskablige artikler Albrecher, H., Mayer, P., Schoutens, W. & Tistaert, J. (2006), The Little Heston Trap, Wilmott Magazine, January Issue, 83-92 Andersen, L. (2007), "Efficient Simulation of the Heston Stochastic Volatility Model", Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=946405 Andreasen, Jensen & Poulsen (1998), Eight Valuation Methods in Financial Mathematics: The Black- Scholes Formula as an Example, Mathematical Scientist, vol. 23(1), pp 18-40. Bakshi, G., Cao, C. & Chen, Z. (1997), "Empirical Performance of Alternative Option Pricing Models", Journal of Finance, vol. 52, no. 5, pp. 2003-2049. Bergomi, L. (2007), "Dynamic properties of smile models", Frontiers in Quantitative Finance: Volatility and Credit Risk Modeling,. Black, F. & Scholes, M. (1973), "The pricing of options and corporate liabilities, The Journal of Political Economy, vol. 81, no. 3, pp. 637-637. Black, F. (1976), "The pricing of commodity contracts", Journal of Financial Economics, vol. 3, no. 1-2, pp. 167-179. Black, F. (1976), Studies of Stock Price Volatility Changes, Proceedings of the 1976 Annual Meeting of the American Statistical Association, Business and Economic Statistics Section, 177-181, Borak, S., Detlefsen, K., and Härdle, W. (2004), FFT based option pricing, in Cízek, P.,Härdle, W., Weron, R. (eds.) Statistical Tools for Finance and Insurance, Springer, Berlin. Boswijk, H. P. (2001), Volatility Mean Reversion and the Market Price of Volatility Risk, Working paper Buehler, H. (2004), Stochastic Volatility Models and Products, Presentation Risk Training Course, Hong Kong, July 7/8 2004 Campbell, J. Y., Lo, A. W. & Mackinlay, A. C. (1997), The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press Carr, P. & Madan, D., B. (1999), "Option Valuation the using fast fourier transform", Journal of Computational Finance, vol. 2 (4), pp. 61-73. Carr, P. & Wu, L. (2006), "A Tale of Two Indices", Journal of Derivatives, vol. 13, no. 3, pp. 13-29,9. CBOE (2009), VIX: CBOE Volatility Index, Whitepaper. CBOE (2009), VIX: Fact & Fiction Research note, 1. May 09, Issue 2. 105

Cont, R. & Kokholm, T. (2009), "A Consistent Pricing Model for Index Options and Volatility Derivatives", Working Paper Cont, R. & Tankov, P. (2004), Financial modeling with jump processes, Chapmann & Hall Cont, R. 2001, "Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues", Quantitative Finance, vol. 1, no. 2, pp. 223-236. Cont, R. 2005, "Volatility Clustering in Financial Markets: Empirical Facts and Agent-Based Models.", SSRN elibrary,. Cox, J.C., Ingersoll, J.E. & Ross, S.A. (1985), "A Theory of the Term Structure of Interest Rates", Econometrica: Journal of the Econometric Society, vol. 53, no. 2, pp. 385-407. Dotsis, G., Psychoyios, D. & Skiadopoulos, G. (2007), An empirical comparison of continuous-timemodels of implied volatility indices, Journal of Banking & Finance, Vol. 31, pp. 3584-3603 Duarte, J. & Jones, C. S. (2007), The price of market volatility risk, Working Paper Duffie, D., Pan, J. & Singleton, K. (2000), "Transform Analysis and Asset Pricing for Affine Jump-Diffusions", Econometrica, vol. 68, no. 6, pp. 1343-1376. Fama, E.F. (1970), "Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work", The Journal of Finance, vol. 25, no. 2, Papers and Proceedings of the Twenty-Eighth Annual Meeting of the American Finance Association New York, N.Y. December, 28-30, 1969, pp. 383-417. Figlewski, S. & Wang, X. (2000), Is the Leverage Effect a Leverage Effect?, Working paper, Stern School of Business, New York University Gatheral, J. (2006), The Volatility Surface: A Pracitioner s Guide, John Wiley & Sons Gatheral, J. (2007), Developments in Volatility Derivatives Pricing, Presentation Global Derivatives 2007, Paris, May23, 2007 Gatheral, J. (2008), Consistent Modeling of SPX and VIX options, Presentation: The Fifth World Congress of the Bachelier Finance Society, London, July 18, 2008 Glasser,am, P. (2004), Monte Carlo Method in Financial Engineering, Springer-Verlag Hamida, S. B. & Cont, R. (2005), "Recovering Volatility from Option Prices by Evolutionary Optimization", Journal of Computational Finance, Vol.8, No.4, Heij, C., Boar, P. de, Franses, P. H., Kloek, T. & Dijk, H. K. van (2004), Econometric Methods with Applications in Business and Economics, Oxford University Press, Heston, S.L. (1993), "A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options", Review of Financial Studies, vol. 6, no. 2, pp. 327-343. 106

Hull, J. & White, A. (1987), "The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities", The Journal of Finance, vol. 42, no. 2, pp. 281-301. Hull, J. (2008), Options, Futures, and other Derivatives, 7th edn., Pearson Prentice Hall Jondeau, E. Poon, S. & Rockingerm M. (2007), Financial modeling under non-gaussian distributions, Springer Jourdain, B. (2004), Loss of martingality in asset price models with lognormal stochastic Volatility, Preprint CERMICS, 2004 267, http://cermics.enpc.fr/reports/cermics-2004/cermics-2004-267.pdf Lee, R. (2004), Option Pricing by Transform Methods: Extensions, Unification, anderror Control, Journal of Computational Finance, vol 7, issue 3, pp. 51-86 Lee, R.W. 2001, "Implied and Local Volatilities Under Stochastic Volatility", International Journal of Theoretical & Applied Finance, vol. 4, no. 1, pp. 45-90. Lord, R., Remmert, K. & Dijk, D.V. (2010), "A comparison of biased simulation schemes for stochastic volatility models", Quantitative Finance, vol. 10, no. 2, pp. 177-194. Mandelbrot, B. (1963), The variation of certain speculative prices, The Journal of Business, 36, 394-419 Markowitz, H. (1952), Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1, pp. 77-91 Matytsin, A. (1999), Modelling Volatility and Volatility Derivatives, Presentation New York, 25 September 1999 Merton, R. C. (1976), Option pricing when underlying stock returns are discontinuous, Journal of Financial Economics, 3, 125-144 Mikhailov, S. & Nögel, U. (2003), Heston s stochastic volatility model, calibration and some extensions, Wilmott Magazine, 74-79 Morrison, N (1994), Introdution to Fourier Analysis, John Wiley & Sons Psychoyios, D., Dotsis, G. & Markellos, R. N. (2009), A jump diffusion model for VIX volatility options and futures, Springer Science+Business Media, LLC 2009 Sepp, A. (2008a), "Pricing Options on Realized Variance in the Heston Model with Jumps in Returns and Volatility", Journal of Computational Finance, Vol.11, No.4, pp.33-70, Sepp, A. (2008b), "VIX Option Pricing in a Jump-Diffusion Model", Risk Magazine, April 2008, pp.84-89 Soros, G. (2009), Title The Crash of 2008 and What It Means: The New Paradigm for Financial Markets, Scribe Publications, Edn. revised Stein, E.M. & Stein, J.C. (1991), "Stock Price Distributions with Stochastic Volatility: An Analytic Approach", Review of Financial Studies, vol. 4, no. 4, pp. 727-752. 107

Tankov, P. & Voltchkova, E. (2009), Jump-diffusion models: a practitioner s guide, Working Paper Wilmott, P. (2006) Paul Wilmott on Quantitative Finance, John Wiley & Sons, 2nd. edn., Wu, L. (2007), Implied Volatility Surface, Presentation Fall 2007, Zicklin School of Business, Baruch College Internet sider: www.deutsche-boerse.com www.euronext.com www.cboe.com Databaser: Datastream Supplende Litteratur: Bates, D. (1996), "Jumps and stochastic volatility: exchange rate processes implicit in deutsche mark options", Rev.Financ.Stud., vol. 9, no. 1, pp. 69-107. Carr, P., Geman, H., Madan, D, B. & Yor, M. (2005), "Pricing options on realized variance", Finance and Stochastics, vol. 9, no. 4, pp. 453-475. Cont, R. & Fonseca J. da (2002), "Dynamics of implied volatility surfaces", Quantitative Finance, vol. 2, no. 1, pp. 45-60 Cont, R., Fonseca, J. da & Durrleman, V. 2002, "Stochastic Models of Implied Volatility Surfaces", Economic Notes, vol. 31, no. 2, pp. 361-377. Kahl, C. & Jäckel, P. (2005), Not-so-complex logarithms in the Heston model, Wilmott Magazine, pp. 94-103 Sepp, A. (2003), Fourier transform for option pricing under affine jump-diffusions: An overview, Unpublished Manuscript, available at www.hot.ee/seppar, Schönbucher, P.J. (1999), "A Market Model For Stochastic Implied Volatility", Philosophical Transactions of the Royal Society, series A 357, pp. 2071-2092 108