Kapitel Indledning Problemformulering Struktur & metode Afgrænsning...6. Kapitel 2...7

Transkript

1 Indhold Kapitel Indledning Problemformulering Struktur & metode Afgrænsning...6 Kapitel Black-Scholes introduktion Optioner Black-Scholes modellen Forudsætninger Delta-hedging Black-Scholes & delta-hedging Udledning af Black-Scholes Markov Proces Wiener Proces Generaliseret Wiener proces Itô Proces Geometric Brownian Motion Itô s Lemma Black-Scholes differentialligning Risk-neutral valuation Volatilitet Historisk volatilitet

2 2.4.2 Implicit volatilitet Kapitel Databeskrivelse Forudsætningsbrud Konstant volatilitet Kontinuert handel Analysedel 1 Konstant volatilitet Opsætning af Excel ark Forklaring af analysen S&P OMX Helsinki Nordea Analysedel 2 Kontinuert handel Monte Carlo Simulation: Totale omkostninger Profit S&P 500, Nordea, OMX Helsinki Kapitel Konklusion Kritik af opgave/analyse Litteraturliste Bilagsoversigt Bilag

3 Kapitel Indledning En option er en kontrakt mellem to parter, hvor den ene part har retten, men ikke forpligtelsen til at købe eller sælge et underliggende aktiv. Indtil 1973 havde optioner været handlet som over the counter kontrakter, men i 1973 åbnede Chicago Board Options Exchange (CBOE) (Hull, 2005), hvor man kunne handle aktieoptioner. Samme år udkom Fischer Black, Myron Scholes og Robert C. Merton med Black-Scholes & Merton modellen, som viste sig at være meget præcis til at prisfastsætte optioner. Siden da har optioner haft stigende popularitet blandt investorerne, og antallet af kontrakter er steget fra kontrakter i 1974 til over 200 mio. kontrakter i Populariteten skyldtes både åbningen af CBOE, men også muligheden for at prisfastsætte optionerne mere præcist ved hjælp af Black-Scholes modellen. Dette gjorde det nemmere at hedge risiko, hvilket er blevet mere aktuelt i de seneste år pga. af store udsving på de finansielle markeder. En anden fordel ved Black-Scholes modellen og den mere præcise prisfastsættelse var, at flere folk blev villige til at handle optioner. Black-Scholes modellen er den dag i dag stadig den mest brugte optionsprisfastsættelsesmodel. Modellen tager højde for de faktorer, der har indflydelse på prisen på en option. Disse faktorer er; prisen på det underliggende aktiv, den risikofri rente, tiden til optionens udløb, strikeprisen samt volatiliteten i markedet. Dog gælder det for Black-Scholes modellen, at den er stillet op omkring nogle forudsætninger, som skal være opfyldt, for at prisfastsættelsen er korrekt. Disse forudsætninger som bl.a. omhandler; konstant volatilitet, ingen transaktionsomkostninger og kontinuert handel, er sjældent opfyldt i praksis. Black-Scholes modellen bruges i vid udstrækning af investorer til at prisfastsætte optioner og derigennem styre deres risiko. Dette skyldes, at især optionsudstederen bærer en risiko for at det underliggende aktiv stiger i værdi. Denne risiko kan minimeres ved hjælp af forskellige hedging strategier, men hvor en delta-hedging strategi er specielt egnet til optionsudstedelse. Denne strategi går ud på, at hedger kan opstille en lånebaseret portefølje bestående af aktier, hvilken ved kontinuer rebalancering vil have samme værdi som den udstedte option og derved kan skabe en risikofri portefølje. Ud fra Black-Scholes teori omkring delta-hedging vil hedger derfor kunne udstede optioner uden at udsætte sig selv for risiko. I den sammenhæng er det vigtigt, at forudsætningerne for modellen er opfyldt. I den virkelige verden er dette dog sjældent tilfældet og dette skaber problemstillingen. 3

4 1.2 Problemformulering Formålet med denne opgave er at se hvor god Black-Scholes modellen er til delta-hedging. I den virkelige verden er det sjældent, at forudsætningerne som ligger bag Black-Scholes modellen er opfyldt, og vi vil derfor undersøge: - Hvilken betydning har estimatet for volatilitet i forbindelse med delta-hedging - Hvilken betydning har intervallet mellem rebalancering i forbindelse med delta-hedging. I Black-scholes modellen er volatiliteten den eneste ubekendte faktor. Det er derfor interessant, at se nærmere på hvilket estimat for volatilitet der giver en samlet hedgingomkostning nærmest Black-Scholes modellens teoretiske optionspris. Endvidere vil vi se på, hvilken betydning intervallet mellem rebalancering har i en deltahedging strategi. 4

5 1.3 Struktur & metode Denne opgave om Black-Scholes modellen og forudsætningsbrud på denne, vil basere sig på en analytisk deduktiv tilgang (Arbnor 1994) se figur 1.1. På den måde vil opgaven tage udgangspunkt i teorien omkring optionsprisfastsættelse og undersøge enkelte dele af denne, for at belyse om teorien passer. Opgaven vil i hovedtræk bestå af fire dele: Kapitel 1 som indeholder indledning, problemformulering metodevalg samt opgavens afgrænsning. Kapitel 2 vil omhandle en introduktion til Black-Scholes modellen samt til begrebet delta-hedging. Kapitlet vil ydermere omhandle to teoretiske afsnit omkring udledningen af Black-Scholes formlen samt volatilitet. Kapitel 3 vil bestå af en databeskrivelse, et afsnit omkring forudsætningsbrud samt de to analysedele som henholdsvis omhandler forudsætningsbrud på volatiliteten samt på kontinuert handel. Kapitel 4 vil være et afrundende kapitel indeholdende en konklusion på analysen samt perspektivering og kritik af opgaven. Figur 1.1 Undersøgelsesdesign 5

6 1.4 Afgrænsning I denne opgave vil vi bruge aktier som det underliggende aktiv i forbindelse med simuleringen af en deltahedging strategi. Opgaven afgrænser sig derfor fra at bruge andre former som underliggende aktiver, såsom råvarer, renter, valuta, futures osv. I opgaven vil vi benytte europæiske optioner, hvilke kun kan exercises på udløbsdatoen, og vi afgrænser os derfor også fra at benytte os af optioner, som kan exercises på andre tidspunkter end udløbsdatoen, så som amerikanske optioner. Desuden antager vi i vores analyse, at de benyttede aktier/indeks ikke udbetaler udbytte. Dette tillader vi os, da vi ikke mener, det får den helt store betydning for opgaven. Aktierne/indeksene som benyttes antages at kunne handles i alle ønskelige størrelser. I opgaven er der valgt at belyse effekten af forudsætningsbrud i Black-Scholes modellen omkring konstant volatilitet og kontinuert handel i en dynamisk delta-hedging strategi. Herved afgrænser vi os fra at belyse effekten af forudsætningsbrud på de resterende forudsætninger som ligger bag Black-Scholes, hvilke omhandler; transaktionsomkostninger, short selling, skat, udbytte på aktier, arbitrage samt kendt og konstant risikofri rente. Disse forudsætninger antages derfor at være opfyldte. I vores delta-hedging strategier holder vi os til at se det fra synspunktet, hvor vi sælger én call-option. Vi ser derfor ikke analysen fra andre synspunkter, såsom ved køb af en call-option, salg eller køb af put-optioner samt strangles og straddles. Desuden afgrænser vi os fra at belyse put-call pariteten. Opgaven vil ikke omhandle prisfastsættelse af optioner ved brug af binomialmodellen. I vores afsnit omkring udledningen af Black-Scholes formlen undlader vi at lave beviserne for ITÔ s LEMMA og Black-Scholes-Merton formlen, men holder os til på simpel vis at forklare udledningen af Black-Scholes formlen. I vores analyse udfører vi delta-hedging strategier i perioder som løber over henholdsvis 30 og 60 dage. Analysen er opstillet således, at dagen hvor optionen købes er inkluderet i de 30 eller 60 dage, hvilket betyder at der på dag 0 er 29 eller 59 dage til udløb. 6

7 Kapitel Black-Scholes introduktion I 1973 udkom artiklen The Pricing of Options and Corporate Liabilities skrevet af Fischer Black og Myron Scholes. Artiklen var en opsamling af det arbejde som Fischer Black, Myron Scholes og Robert C. Merton havde lavet indenfor optionsprisfastsættelse i starten 1970 erne. Denne artikel skulle senere vise sig at skabe det helt store gennembrud indenfor prisfastsættelse af optioner. Black-Scholes modellen fremkom udfra følgende grundtanke: If options are correctly priced in the market, it should not be possible to make sure profits by creating portfolios of long and short positions in options and their underlying stocks. Using this principle, a theoretical valuation formula for options is derived. (Fischer Black; Myron Scholes, 1973) Optioner Køb og salg af optioner har været med til at revolutionere finansmarkederne de seneste år. Ved køb eller salg af en option kan man ændre hele risikoen på det underliggende aktiv, og derfor bliver optioner i vid udstrækning benyttet til risikostyring. Til risikostyring benytter man sig ofte af et hedge af en portefølje eller et finansielt instrument. Man kan ved betaling af en risikopræmie forsikre sig mod tab på sine aktiver. En option er retten, men ikke pligten til at købe eller sælge et underliggende aktiv på et tidspunkt ud i fremtiden. Der er to forskellige typer af optioner, call og put. En call-option er en option, der giver ejeren af optionen mulighed for at købe et aktiv på et bestemt tidspunkt til en bestemt pris. En put-option giver ejeren mulighed for at sælge et aktiv på et bestemt tidspunkt til en bestemt pris. Optioner benævnes enten som amerikanske eller europæiske. Ved amerikanske optioner har man mulighed for at exercise på hvilket som helst tidspunkt inden for varigheden af optioner. Ved europæiske optioner har man derimod kun mulighed for at exercise på udløbsdagen for optionen. Når man ser på optioner, skal man se det fra to sider køberens og sælgerens. På den ene side er køberen, der har long position og på den anden side sælgeren, der har short position. Sælgeren af optionen modtager en optionspræmie fra starten, men er nu også forpligtet til at handle aktivet til den aftalte kurs, hvis køber ønsker det. I opgaven vil der kun blive brugt europæiske call-optioner, hvorfor der i det følgende vil være fokus på europæiske call-optioner. 7

8 En call-option kan være at-the-money, hvilket svarer til, at strikekursen er den samme som spotkursen. Den kan også være in-the-money, hvilket er når aftalekursen er mindre end spotkursen. Hvis optionen ender in-themoney på udløbsdagen, vil man exercise den og ved fratrækning af omkostningerne til optionspræmien, opnår man ens profit. Optionen kan også ende out-of-the-money, hvilket er når spotkursen er lavere end aftalekursen, her vil man ikke exercise, og man vil kun have optionspræmien i tab. Figur 2.1 Payoff fra call-optioner Kilde: Hull 2009 Figur 2.1 viser payoffs fra henholdsvis en long position (køber) og short position (sælger) i europæiske optioner. Det er hensigtsmæssigt at vise dem som payoff til investoren ved udløbstidspunktet. Herved er omkostningen ved købet af optionen ikke inkluderet. C er værdien af call-optionen, K er strikeprisen og S T er prisen ved udløb på aktien. Payoff fra en long position i en europæisk call-option vil derfor være: ( S K ) max,0 T, (1) da optionen vil blive exercised hvis S T > K. Derimod hvis S T < K, vil der ikke exercises og call-optionen er værdiløs, C=0. Kursen i markedet er lavere end strikeprisen, og den betalte optionspræmie vil gå tabt. Payoff for en short position i en europæisk call-option vil være: ( S K ) ( K S ) max,0 = min,0. (2) T T 8

9 2.1.2 Black-Scholes modellen Black-Scholes modellen bestemmer prisen for en europæisk call-option ved tidspunkt 0 med hensyntagen til en række forsætninger. Formlen er: hvor : 1 rt ( ) ( ) c= S N d Ke N d d ( 0 ) + ( + σ ) ln S / K r /2 T = σ T 2 ( 0 ) + ( + σ ) ln S / K r /2 T d2 = = d1 σ T σ T (3) (4) Prisen på call-optionen, c, er således bestemt ud fra variablene: Aktiekursen til tidspunkt 0, S 0, strikeprisen K, den løbende risiko fri rente, r, volatiliteten, σ og tiden til udløb for optionen, T. S 0 findes som den nuværende spotkurs. Den risikofri rente kan bestemmes ud fra markedet. K og T er givet ud fra, hvordan optionen er lavet. Den eneste ubekendte faktor er altså volatiliteten. Volatiliteten er ikke sådan lige observerbar, og der skal derfor laves et estimat for den, hvilket uddybes i afsnit 2.4. De to størrelser N(d 1 ) og N(d 2 ) viser normalfordelingsfunktionen af d 1 og d 2. N(d 1 ) er vores delta aktier, der giver den andel af aktier, som vores portefølje skal indeholde. N(d 2 ) siger noget om hvor stor sandsynligheden er for, at optionen ender in-themoney og dermed sandsynligheden for, at den vil blive exercised. 9

10 2.1.3 Forudsætninger Black-Scholes modellen er afhængig af en række forudsætninger omkring markedet (Hull 2009). Disse forudsætninger vil i det følgende blive gennemgået, og der vil ses nærmere på hvilke konsekvenser, der fremkommer, hvis de ikke er opfyldt. 1. Aktiekursen følger en stokastisk proces som er normalfordelt, med µ og σ konstant. Afkastet er lognormalfordelt. Aktiekursen følger en Geometrisk Brownian Motion proces med konstant afkast og volatilitet, se afsnit 2.3.5, hvilket betyder, at der ikke er store spring op og ned i aktiekursens udvikling. Afkastet antages at være lognormalfordelt, hvilket vil sige at logaritmen til afkastet følger en normalfordeling. Dette skyldes at man ikke kan beregne middelværdi og varians for en aktiekurs udvikling. Man løber hurtigt ind i problemer med at beregne både udfaldsrum og sandsynligheder herfor. Dette løses i Black-Scholes ved at antage afkastet som værende log-normalfordelt, herved har vi en middelværdi µ på nul og en volatilitet σ på aktiekursen, der giver et udtryk for hvordan udfaldsrummet ser ud. Så Black-Scholes forudsætter at volatiliteten er kendt og konstant gennem optionens løbetid. 2. Der skal være mulighed for at tage korte positioner Der skal være mulighed for at tage en kort position i markedet, da dette er essentielt i forbindelse med hedging. Ved at en kort position forstås, at man sælger noget, som man ikke ejer. Man sælger typisk short i forventning om, at aktierne senere kan købes til lavere kurs ( 3. Der er ingen transaktionskomkostninger eller skatter Kapitalmarkedet skal være perfekt. Der må ikke være transaktionsomkostninger ved handler. Handelsstrategien ved hedgingprincippet om fastholdelse af en risikofri portefølje og Black-Scholes modellen bygger på kontinuer rebalancering af porteføljen, hvilket vil have haft store omkostninger hvis transaktionsomkostninger var til stede. Der må heller ikke være skatter eller afgifter, da disse vil være med til at påvirke investorernes beslutninger i forhold til deres investering. Alle i markedet skal have samme viden om markedsforholdene. 10

11 4. Der må ikke være udbytte betalinger på det underliggende aktiv Black-Scholes modellen forudsætter, at der ikke foretages nogen udbyttebetalinger eller lignende over løbetiden. Disse udbyttebetalinger ville nemlig påvirke aktiekursen og ville alt andet lige gøre, at aktiekursen falder på den pågældende dag. Denne forudsætning er dog primært med til at forenkle processen med at finde frem til Black-Scholes formlen. Det viser sig nemlig, at man forholdsvis let kan tage forbehold for udbyttebetalingerne (Hull, 2009 s. 298). Man fratrækker de tilbagediskonterede udbyttebetalinger i options løbetid fra spotkursen på tidspunkt Der må ikke være mulighed for risikofri arbitrage Der må ikke være mulighed for at kunne duplikere en call-option ved dens underliggende aktiv risikofrit til en billigere pris, end hvad den kan sælges til og herved opnå arbitrage mulighed. Denne forudsætning siger, at værdien af call-optionen og den duplikerede portefølje til en hver tid skal være ens. 6. Det er muligt at handle kontinuert Black-Scholes modellen forudsætter også, at handlen samt prisfastsættelsen af aktier sker kontinuert over optionens løbetid. Investorerne skal have mulighed for at rebalancere deres portefølje på alle mulige tidspunkter. 7. Den risikofri rente r er kendt og konstant, samt være den samme til udløbstiden Black-Scholes modellen forudsætter, at r skal være kendt og konstant til udløbstiden, samt være den samme for forskellige løbetider. Den risikofri rente, r, gælder også som ind- og udlånsrente for alle investorer. I opgaven vil der benyttes kontinuerlig rentetilskrivning, og renten er fastsat til 5 %. 1 Disse forudsætninger bevirker, at der i Black-Scholes modellen antages, at markedet er komplet og arbitragefrit. Black-Scholes modellen tager udgangspunkt i en handelsstrategi med en portefølje bestående af en position i et underliggende aktiv, i dette tilfælde en aktie, samt en position i et risikofrit aktiv. Modellen bygger på et selvfinansierende koncept, hvilket vil sige, at lige meget hvilken udvikling vores aktie tager, vil porteføljens endelige afkast være lig med afkastet fra optionen ved udløb. Dette kan lade sig gøre, da begge

12 aktiver er påvirket af usikkerheden fra aktiens bevægelse (Hull, 2009 s. 285). I det følgende vil begrebet deltahedging blive uddybet, hvilket er en metode til at skabe en risikofri og selvfinansierende portefølje. 2.2 Delta-hedging Hedging er et velkendt begreb i den finansielle verden. Begrebet hedging dækker over en handelsstrategi hvorved man reducerer eller helt fjerner uønsket risiko, der er forbundet med en investering i et aktiv. Mere præcist bruges hedging til at reducere den usikkerhed, der kan være i forbindelse med udsving i prisen på et aktiv. Dette kan fx være en investor, som ønsker at reducere den risiko, der er forbundet med at holde en portefølje af aktieoptioner og derfor ønsker at sikre sig mod udsving i kurserne på de underliggende aktier. Hedging er et meget bredt begreb, og der er forskellige måder, hvorpå risiko kan reduceres. Derfor findes der også forskellige former for hedging strategier. Blandt dem findes positioner i futures og forward kontrakter, swaps, stop-loss strategier samt positioner i optioner. Den sidstnævnte vil denne opgave fokusere på. Hedging handler i sin enkelhed om at skabe en portefølje af et aktiv samt et afledt produkt for på den måde at afdække risikoen, der er forbundet med at holde disse. Man kan ud fra Black-Scholes formel udregne forskellige græske symboler for en option, også kaldet the Greeks. Et af disse symboler er delta ( ), hvilket er den vigtigste risikoparameter blandt de græske risikoparametre. Delta defineres som: Ændringen i optionsprisen i forhold til en lille ændring i det underliggende aktiv. I denne opgave vil det underliggende aktiv være en aktie, og ændringen i prisen vil derfor være det samme som ændringen i aktiekursen på den pågældende aktie. Delta kan også skrives som: = C S (5) 12

13 I det simple tilfælde hvor man sælger én call-option og holder et underliggende aktiv, kan delta ( ) udregnes som følgende. Hvor C er prisen på call-optionen og S er prisen på det underliggende aktiv i form af en aktie, er delta ( ) ændringen i C ( C) i forhold til ændringen i S ( S). Ved udregningen af delta ser man på en relativ lille værdi af ( S), hvilket betyder, at ændringen som regel sker over en meget kort tidsperiode. Hvis det underliggende aktiv falder med 1 %, og værdien af optionen stiger med 0,5 %, betyder det at optionens delta er 0,5. Dette betyder, at optionens værdi vil ændre sig med 50 % af ændringen på det underliggende aktiv. Når man ved hvordan delta udregnes, kan man gå et skridt videre og lave en risikoneutral portefølje. Hvis man i det simple tilfælde forestiller sig, at man sælger én call-option på en underliggende aktie, kan man ved hjælp af Black-Scholes formlen udregne delta for optionen, da delta siger, hvor stor en del af det underliggende aktiv, der skal til for at gøre porteføljen delta-neutral, kan man ved at købe *aktier minimere den samlede risiko og gøre porteføljen delta-neutral. Når porteføljen er delta-neutral vil en ændring i aktieprisen blive udlignet af en modsatrettet og tilsvarende ændring i optionsværdien. Dette er tilfældet, fordi aktien og optionen bliver påvirket af den samme usikkerhed, nemlig udviklingen i aktieprisen. Prisen på optionen og prisen på aktien vil dog kun være perfekt korreleret i et meget lille tidsinterval, da delta vil ændre sig, og porteføljen derfor skal justeres igen (Hull, 2009). Dette kan ses ved et lille eksempel: Hvis man forestiller sig en option med en pris og deltaværdi på henholdsvis 100 og 0,5 samt en underliggende aktie med en pris på 1000 og en investor med de informationer vælger at sælge 5 kontrakter svarende til muligheden for at købe 500 aktier (100 aktier per kontrakt), så skal investoren samtidig købe 0,5*500=250 aktier til en værdi af for at gøre porteføljen delta-neutral. Nu vil porteføljen være delta-neutral i en meget kort periode. Hvis prisen på aktien derefter stiger, vil tabet i optionspositionen blive udlignet af positionen i de underliggende aktier. Dvs. hvis aktieprisen stiger med én til 1001, vil værdien af aktierne i alt stige med 1*250=250, mens værdien af optionspositionen vil falde med 0,5*500=250, da optionen giver mulighed for at købe 500 aktier. Herefter vil delta være ændret, og positionen i det underliggende skal igen justeres for at bibeholde den delta-neutrale position. Dette er princippet ved en dynamisk delta-hedging strategi. Ved løbende at justere antallet af aktier som det underliggende aktiv til en portefølje af korte call-optioner, kan man holde den samlede portefølje delta-neutral og på den måde fjerne eller kraftigt reducere risikoen ved udsving i aktieprisen. Når man udfører en delta-hedging strategi købes og sælges aktier som det underliggende aktiv. Disse aktier finansieres af et lån som har den risikofri rente som omkostning. I Black-Scholes modellen antages det, at 13

14 investoren er risikoneutral og at det forventede afkast på en aktie derfor er lig med den risikofri rente. Dette er den samme risikofri rente der lånes til, når der skal købes aktier i en delta-hedging sammenhæng. Det forventede afkast af en portefølje, som er lånefinansieret, vil derfor være lig med nul. Delta-hedging kan bruges på forskellige porteføljer, men strategien er ikke altid den samme. For lineære produkter såsom forwards, futures og swaps kan en hedge and forget strategi benyttes, men fordi optioner er ikke-lineære produkter, vil det være nødvendigt konstant at justere positionen i det underliggende aktiv. Dette kaldes en dynamisk hedging strategi, og metoden er som nævnt, at rebalancere aktiebeholdningen i porteføljen. Generelt kan man sige, at desto oftere der rebalanceres i en delta-hedging strategi desto mere risiko, kan der hedges. For at få det perfekte hedge skal man derfor rebalancere kontinuert, hvilket også er en forudsætning i Black-Scholes modellen. Dette illustreres også i figur 2.2 hvor det ses, at delta ( ) er den første afledte af porteføljen i forhold til aktieprisen. Som man ser, vil ændre sig løbende med at aktieprisen ændrer sig, og porteføljen vil derfor ikke forblive delta-neutral og derfor heller ikke risikofri. Hvis man ikke rebalancerer ofte nok, vil der opstå en større eller mindre betydende hedging fejl, hvilket gør, at positionen i det underliggende ikke dækker positionen i optionerne, og porteføljens risiko derfor ikke vil være fuldstændig afdækket. Figur 2.2 Udregning af delta Kilde: Hull

15 Det er derfor svært i praksis at lave det perfekte hedge, da det ikke er muligt at hedge kontinuert, men ved at holde intervallerne mellem rebalancering små skulle det være muligt at lave et hedge, som er nær det perfekte Black-Scholes & delta-hedging Delta-hedging er et vigtigt begreb i forbindelse med forståelsen af Black-Scholes modellen. Grundtanken bag Black-Scholes modellen er nemlig, at man gennem en delta-hedging strategi kan duplikere optionsværdien. Dette kræver dog, at der rebalanceres kontinuert, samt at de omtalte forudsætninger omkring Black-Scholes modellen er opfyldt. I en delta-hedging strategi består omkostningerne af set-up omkostninger samt vedligeholdelsesomkostninger. Set-up omkostningerne består af de omkostninger der er forbundet med at købe aktier, når porteføljen af en kort option og delta*aktier skal laves. Dette inkluderer prisen på aktierne samt de renteudgifter der er forbundet med et lån til køb af aktierne. Vedligeholdelsesomkostningerne er de omkostninger der opstår, når porteføljen skal rebalanceres og der enten skal købes eller sælges aktier, samt de tilhørende renteudgifter. Forudsætningen om, at der ikke må være nogle arbitragemuligheder gør, at de samlede omkostninger, tilbagediskonteret til tid 0, ved en delta-hedging strategi skal være lig med prisen på optionen, da det ellers ville være muligt at skabe profit på en risikoneutral portefølje. Derfor bygger Black-Scholes modellen på, at de samlede omkostninger ved delta-hedging strategien udgør værdien af optionen i tidspunkt 0. I det følgende afsnit vil vi se nærmere på, hvordan delta hedging bruges i forbindelse med Black-Scholes modellen, og hvordan Black-Scholes formlen fremkommer. 2.3 Udledning af Black-Scholes I dette afsnit ses der nærmere på hvordan Black-Scholes differentialligningen er fremkommet. Afsnittet vil hovedsageligt tage udgangspunkt i kapitlerne 12 og 13 i Hull For at forstå differentialligningen og optionsprisfastsættelse generelt, er det vigtigt at forstå hvordan aktiver, herunder aktier udvikler sig over tid. En aktie er en variabel, hvis værdi er usikker for fremtiden. Disse variable kan siges at følge en stokastisk proces. For aktier gælder det, at de ikke kan antage kontinuerte værdier, da værdien af en aktie er opgjort i hele kroner eller ører. Aktier følger derfor en diskret stokastisk proces. 15

16 Den diskrete model for ændringen i værdien af en aktie kan skrives som: S = µ S t+ σsє t (6) Modellen er kendt som en Geometric Brownian Motion model og for at forstå denne, er det nødvendigt at forstå visse andre ting omkring aktieprocesser. I det følgende vil forskellige antagelser for aktieprocesser blive gennemgået Markov Proces Aktier antages at følge en Markov Proces, hvilken er en helt speciel stokastisk proces. Værdien af en aktie som følger en Markov proces kan ikke spås om. Dette betyder, at den fremtidige værdi af en aktie ikke kan estimeres ud fra historiske priser. Dermed er sandsynlighedsfordelingen for udviklingen i aktieprisen ikke afhængig af historiske prisudviklinger, men kun den nutidige værdi er relevant Wiener Proces Jf. afsnit omkring Markov Processen så gælder det, at en akties fremtidige værdi er uafhængig af den historiske udvikling. Fordi afkastet fra aktier er uafhængigt af hinanden i to forskellige perioder, er det muligt at addere varianserne fra deres sandsynlighedsfordelinger. Hvis man derfor forestiller sig to sandsynlighedsfordelinger som begge er normalfordelt med en middelværdi på 0 og en varians på 1, så vil den samlede sandsynlighedsfordeling være en normalfordeling med en middelværdi på 0 og en varians på 2. Dette lader sig kun gøre, fordi de to perioder er uafhængige af hinanden. Denne proces kaldes en Wiener proces, hvilket er en Markov proces, hvor den gennemsnitlige ændring i aktieprisen er 0 og variansen på ændringen er 1 per år. Kendetegnet ved en Wiener proces er, at den gennemsnitlige drift i aktieprisen over tiden er nul Generaliseret Wiener proces Wiener processen kan udvides til det, man kalder den generaliserede Wiener proces. I den generaliserede Wiener proces har man inkluderet en driftsrate (a) og en variansrate (b). Disse er begge konstanter, hvor driftsraten beskriver den konstante gennemsnitsændring per tidsenhed for en stokastisk Wienerproces og 16

17 variansraten beskriver udsvinget i den stokastiske Wienerproces. Den generaliserede Wienerproces kan skrives som: dx = a dt + b dz (7) I formlen udtrykker dx - leddet ændringen i værdien af aktien. Dt og dz udtrykker henholdsvis ændringen i tiden og i Wienerprocessen. Leddet, a dt, er den gennemsnitlige ændring over en tidsperiode. Leddet, b dz, udgør den samlede variation, bestående af Wienerprocessen, dz, og konstanten b Itô Proces Den generaliserede Wienerproces (7) kan udvides til en stokastisk proces hvor konstanterne (a) og (b) er en funktion af aktieprisen og tiden. Denne proces kaldes en Itô proces og kan ved en lille ændring i tiden skrives som: x= axt (,) t+ bxt (,)є t (8) Geometric Brownian Motion I modellen for en stokastisk Itô proces (8) blev det antaget at (a) var en konstant som udgjorde den forventede driftsrate. Denne antagelse kan dog ikke bruges, når modellen skal bruges til udviklingen i aktiepriser. For en aktie gælder det nemlig, at det forventede afkast er uafhængigt af prisen på aktien. En bedre antagelse vil derfor være, at det forventede aktieafkast er konstant over perioden. Modellen vil derfor se ud som følgende: ds S = µ dt + σ dz (9) hvor venstresiden er den relative ændring i aktieprisen, eller skrevet som afkastet fra aktien: ds = µ S dt + σs dz (10) 17

18 Den diskrete version af denne model, som afsnittet indledte med kan derfor skrives som: S = µ S t+ σsє t (11),hvor µ t (12) er den forventede værdi af afkastet og σ є t (13) er det stokastiske komponent af afkastet (Hull 2009 s. 266). Det kan ses, at usikkerheden i aktieprisen påvirkes af det forventede afkast, tiden, volatiliteten samt wienerprocessen dz Itô s Lemma For afledte produkter såsom optioner vides det, at prisen er afhængig af det underliggende aktiv samt tiden. Der kan for afledte produkter derfor også opstilles en stokastisk proces, hvor det underliggende aktiv følger en Itô proces (8). Den stokoastiske proces for eksempelvis prisen på en option kan skrives som: 2 G G G 2 G dg = a + + ½ b dt + b dz 2 x t x x (14) Udtrykket viser ændringen i en funktion G som er afhængig af to faktorer, i vores tilfælde aktiepris og tid. Ligningen består af partielle afledninger af G i forhold til henholdsvis x og t, samt en korrektion fra Itôprocessen i x som er fremkommet ved at udvide udtrykket med en Taylorserie. 18

19 Dette er Itô s Lemma (14). En stokastisk proces for et afledt produkt med et underliggende aktiv som følger en Itô proces (8). Itô s Lemma vil ikke blive gennemgået videre i detaljer, men vi vil blot fastslå, at det kan bruges på et afledt produkt og derfor kan bruges til udledningen af Black-Scholes differentialligning. Tidligere blev det konkluderet, at en aktie kan antages at følge en Itô proces (8), men hvor µs var den forventede driftsrate. Indsættes denne proces i Itô s Lemma (14) har man en stokastisk proces for et afledt produkt med en aktie som underliggende aktiv fx en option. Modellen vil se ud som følgende: 2 G G G 2 2 G dg = µ S + + ½ σ S dt + σs dz 2 S t S S (15) Denne model er en vigtig del i udledningen af differentialligningen Black-Scholes differentialligning Udledningen af differentialligningen tager udgangspunkt i, at den underliggende aktie følger den tidligere fundne proces (10), og at en option følger processen beskrevet i afsnittet om Itô s Lemma (14). Med udgangspunkt i disse processer, kan den diskrete proces for udviklingen i en call-option, f, med en aktie S, som underliggende aktiv opstilles: 2 f f f 2 2 f f = µ S + + ½ σ S t+ σs z 2 S t S S (16) Her skal det bemærkes at processen for prisen på optionen indeholder den samme usikkerhed som processen for aktien, nemlig Wienerprocessen z. Det er derfor muligt at opstille en portefølje, som kan udligne denne usikkerhed, bestående af: -1 : call-option + f/ S : aktier 19

20 Værdien af porteføljen vil således være: f = f + S S (17) Og ændringen i værdien af denne portefølje vil således være: f = f + S S (18) Hvis ligningerne for henholdsvis ændringen callprocessen (16) samt aktieprocessen (11) indsættes i denne ligning fås: 2 f f f 2 2 f f = µ S ½ σ S t σ S z+ µ S t+ σs z 2 S t S S S ( ) 2 f f f 2 2 f f f = µ S ½ σ S t σ S z+ µ S t+ σs z 2 S t S S S S 2 f f 2 2 = ½ σ S t 2 t S (19) Det ses nu at Wienerprocessen, dz, er forsvundet. Ændringen i værdien af porteføljen er derfor ikke påvirket af denne proces og må derfor være risikofri over tid. Dette skyldes, at usikkerheden omkring udsving i aktieprisen er væk. Endvidere kan det konkluderes, at afkastet på denne portefølje over tid må være den risikofri rente, da der ellers vil være mulighed for arbitrage, hvilket der ifølge forudsætningerne omkring Black-Scholes differentialligning ikke må være. Ændringen i porteføljen kan derfor skrives som: = r t (20) 20

21 Denne ligning viser tydeligt, at ændringen i porteføljen over tid er den risikofri rente. Indsættes ligningerne for henholdsvis ændringen i porteføljen, Π (19), samt værdien af porteføljen, Π (17), fås: 2 f f 2 2 f + ½ σ S t = r f S t 2 t S S 2 f f 2 2 f + ½ σ S t = rf rs t 2 t S S 2 f f 2 2 f + ½ σ S = rf rs 2 t S S 2 f f f rs + ½ σ S = rf 2 t S S (21) Dette er den kendte Black-Scholes-Merton differentialligning. Det gælder for differentialligningen, at den kan benyttes på alle finansielle produkter, som har S som underliggende aktiv. Løsningen på ligningen afhænger derfor af, hvilke grænseværdier det finansielle produkt har. Denne opgave koncentrerer sig primært om calloptioner og vil derfor kun belyse disse. Som beskrevet i det indledende afsnit, giver en call-option muligheden for at købe det underliggende aktiv til en forudbestemt pris,k. Hvis prisen ved optionens udløb er mindre end K, vil optionen ikke blive exercised og værdien af optionen vil være nul, men hvis prisen på det underliggende ved optionens udløb er højere end K, vil værdien af optionen være S-K. Der kan derfor opstilles følgende grænser: ( ) f = max S K,0, når t = T (22) Risk-neutral valuation For at lave formlen for prisen på en option bruges det der kaldes risk-neutral valuation. Her antages det, at alle investorer er risikoneutrale og derfor kun forventer den risikofri rente i afkast på deres portefølje. Denne antagelse kan bruges fordi det forventede afkast ikke indgår i differentialligningen (21) og derfor må gælde for 21

22 alle risikoprofiler. I en risikoneutral verden vil investorerne nemlig ikke påtage sig mere risiko for at opnå et højere forventet afkast. Risk-neutral valuation antager derfor, at det forventede afkast er lig med den risikofri rente. I en risikoneutral verden er værdien af en option derfor: ( S K ) Ê max T,0 (23) hvor E-hat er den forventede værdi af en call-option i en risikoneutral verden. Ved igen at bruge antagelsen om at alle investorer er risikoneutrale, kan det igen antages, at det forventede afkast på optionen er den risikofri rente. Udtrykket kan derfor omskrives til at udtrykke den forventede værdi i en risikoneutral verden tilbagediskonteret med den risikofri rente. Udtrykket for prisen på en call-option bliver derfor: ( ) rt c= e Ê max ST K,0 (24) Det kan vises, at denne ligning leder til Black-Scholes formel for prisen på en option. Denne opgave vil ikke bevise, hvordan formlen er fremkommet, men istedet henvise til appendikset i Hull 2009 side 307. Den endelige formel for prisen ser ud som følgende: rt ( ) ( ) c= S N d Ke N d (25) hvor, d 1 2 ( 0 ) + ( + σ ) ln S / K r /2 T = σ T 2 ( 0 ) + ( + σ ) ln S / K r /2 T d2 = = d1 σ T σ T (26) N(d1) udtrykker delta ( ), som er den andel aktier der skal købes for at lave en portefølje bestående af optioner og aktier risikofri. N(d2) udtrykker sandsynligheden for, at optionen vil blive exercised i en 22

23 risikoneutral verden. Det vil dermed sige, at N(d2) er sandsynligheden for, at en call-option ved udløb vil være in-the-money. 2.4 Volatilitet Volatilitet er et udtryk for usikkerheden i afkastet fra et aktiv og defineres som: Standardafvigelsen i afkastet på en aktie over 1 år hvor der bruges kontinuer tilskrivning (Hull, 2009 s. 282). I Black-Scholes modellen bruges volatilitet som en parameter, der er med til at bestemme prisen på en option. Blandt de parametre der spiller ind ved prisfastsættelsen af en option, er volatiliteten den eneste som ikke er observerbar. Den risikofri rente, spotprisen, exerciseprisen og tiden til udløb, er alle størrelser som er kendte eller som kan findes uden stort besvær, men volatiliteten er ikke kendt og skal derfor estimeres for at kunne udlede en optionspris fra Black-Scholes modellen. Til at estimere volatiliteten i et marked eller på en aktie er der overordnet to metoder: Historisk volatilitet Implicit volatilitet Historisk volatilitet Historisk volatilitet er kendetegnet ved, at man bruger historiske data på aktiekurser til at estimere volatiliteten. Normalt vil man argumentere for, at flere observationer giver et mere præcist resultat, men for estimering af volatilitet har det vist sig, at et sted mellem 90 og 180 observationer giver det bedste resultat (Hull, 2009 s.283). Dette skyldes, at gamle data ikke altid længere vil være relevante, og det derfor kan være mere præcist at bruge nyere data. 2 Alternativt vil en datamængde svarende til optionens løbetid ofte være passende. 2 Hull 2009 side

24 Der findes forskellige metoder, hvorved den historiske volatilitet, kan anvendes. Blandt de mere avancerede metoder findes bl.a. ARCH, GARCH og EWMA modeller. Disse modeller vil opgaven ikke koncentrere sig om, og en gennemgang af disse vil derfor blive udeladt. I vores senere analyse vil vi benytte den historiske volatilitet og til beregning af denne bruger vi fremgangsmåden beskrevet i Hull 2009 afsnit Udviklingen i aktieprisen observeres med faste tidsintervaller. Dette kan være intervaller af en dag, en uge, en måned osv. Vi vælger at benytte os af intervaller på èn dag, da dette er meget almindeligt for aktier. Hvor S i er aktieprisen i slutningen af interval i, udregnes det relative afkast, U i som: S i ui = ln Si 1 (27) Herefter kan standardafvigelsen for afkastet udregnes, hvor n er antallet af observationer: n n i i 1 i= 1 nn ( 1) i= 1 s= u u n (28) Dette er den daglige volatilitet. For aktier siges der normalt at være 252 dage på et år, da ikke alle dage er handelsdage. Hvor τ er længden af tidsintervallet målt i år, kan den årlige volatilitet derfor udregnes som: ˆ σ = s τ (29) Denne metode vil vi bruge til at beregne den historiske volatilitet i forbindelse med analysen Implicit volatilitet Den implicitte volatilitet er den markedsbestemte volatilitet, dvs. den volatilitet som markedsaktørerne indirekte vurderer, at der er i markedet. Ved at observere optionspriserne i markedet, kan man på den måde udlede den tilhørende volatilitet. Den implicitte volatilitet er derfor den volatilitet, som indsat i Black-Scholes modellen giver den i markedet udbudte optionspris. 24

25 I Black-Scholes modellen kan man ikke udregne volatiliteten direkte, selvom man kender de resterende parametre. Det er derfor nødvendigt at bruge funktionen målsøgning i Excel eller lignende metoder til at udlede den implicitte volatilitet. Vores datagrundlag består primært af implicit volatilitet på de udvalgte aktier, hvorfor vi kan bruge disse til at udregne optionsprisen i Black-Scholes modellen. 25

26 Kapitel Databeskrivelse Som fundament for de 2 analysedele har vi indhentet data for aktiekursen og den implicitte volatilitet for tre forskellige indeks/aktier. Vores data er indsamlet ved brug af programmet Datastream. Vi har udvalgt de to indeks, S&P 500 og OMX Helsinki, samt Nordea aktien. De udvalgte data strækker sig over en periode på to år, fra den til De indhentede data er handelsdata for lukkekurserne, og vi antager derfor, at der er 252 dage på et år. Grunden til at vi har valgt de to indeks er, at de underliggende aktier i disse store indeks er likvide, hvilket gør indeksene velegnede som underliggende instrumenter for optioner. S&P 500 beregnes af Standard & Poor s Corporation på baggrund af kursudviklingen i 500 store amerikanske selskaber. Indekset er vægtet efter markedsværdi, hvilket vil sige, at det er selskabernes markedsværdi, der ligger til grund for vægtningen af indekset. Vægtene af aktierne vil til enhver tid være proportionale med aktiens kurs. OMX Helsinki er et aktieindeks der indeholder de 25 mest handlede aktier i Finland. Indekset er også markedsvægtet og er yderst likvidt. Udover de to indeks er der også indhentet data for en enkelt aktie, nemlig Nordea aktien. Aktien er medtaget for at se forskellen mellem indeks og aktier. Aktiekurserne for Nordea vil ikke være likvide og må forventes at have større udsving end indeksene. 26

27 3.2 Forudsætningsbrud Vores problemstilling i opgaven tager udgangspunkt i de bagvedliggende forudsætninger for Black-Scholes modellen. Det er yderst diskutabelt, hvor godt Black-Scholes forudsætninger holder i virkeligheden. Dette afsnit vil i det følgende ligge op til vores analyser af henholdsvis forudsætningen omkring konstant volatilitet samt forudsætningen omkring kontinuert handel Konstant volatilitet Som tidligere nævnt er det en forudsætning for Black-Scholes modellen, at vi har en kendt og konstant volatilitet gennem optionens løbetid. Denne forudsætning udspringer fra den antagelse, der siger at det underliggende aktiv skal følge en Geometrisk Brownian Motion, hvor log-afkastet er normalfordelt med konstant varians, jf. afsnit forudsætning 1. Volatiliteten er den eneste parameter, der ikke kan observeres, og da der ikke er en kendt paramter for volatiliteten, er man nødt til at lave et estimat. Allerede her er vi klar over, at forudsætningen omkring kendt og konstant volatilitet ikke holder i virkeligheden. I analysen vil estimater for den historiske og den implicitte volatilitet benyttes. Den historiske volatilitet estimeres ud fra tidligere observationer af aktieprisen. Den implicitte volatilitet er derimod markedets forventninger til den fremtidige volatilitet og ser dermed fremad. Den implicitte volatilitet er altså markedsbestemt, da den indirekte er indlagt i optionspriserne. Ved brug af den implicitte volatilitet vil Black-Scholes også forudsætte, at den er kendt og konstant for optioner på samme underliggende aktiv med samme løbetid. Her viser sig dog et interessant fænomen, kaldet volatilitetssmilet. Volatilitetssmilet opnås ved at sætte den implicitte volatilitet i forhold til strike kursen for aktien. 27

28 Figur 3.1: Volatilitetssmilet S&P 500 Implicit volatilitet 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Strikepris Kilde: Excelbilag 1 Figur 3.1 viser hvorledes volatilitetssmilet ser ud for S&P 500 med strikepriser og implicitte volatiliteter fra perioden til Volatiliteten viser en faldende tendens i forhold til stigende strikepris, dette kaldes volatility skew (Hull, 2009 s. 394). Hull mener, at forklaringen til at smilet kan observeres i markedet er, at når en virksomheds aktie falder, vil virksomhedens gældsandel stige,hvilket gør aktien mere risikabel, som afspejles i en højere volatilitet. Dette betyder også, at når virksomhedens aktier stiger, formindskes gældsandelen og volatiliteten falder (Hull, 2009 s.395). Det stemmer overens med smilet, ved at volatiliteten er en aftagende funktion af strikeprisen. Volatiliteten for en deep-in-the-money call-option (lav strikepris) er signifikant højere end deep-out-of-themoney call-option (høj strikepris), hvilket betyder, at Black-Scholes modellen undervurderer deep-in-the-money call-optioner i forhold til markedet, samt overvurderer deep-out-of-the-money call-optioner i forhold til markedet. Dette skyldes at Black-Scholes modellen antager, at volaliteten er konstant. Hvis vi antager, at der er konstant volatilitet, ville volatilitetessmilet være en vandret linje. Både den historiske volatilitet og den implicitte volatilitet er uoverensstemmende med kravet om konstant volatilitet, hvilket analysedel 1 vil undersøge nærmere. 28

29 3.2.2 Kontinuert handel En anden forudsætning for Black-Scholes modellen er, at det skal det være muligt at handle kontinuert, hvilket betyder, at det skal være muligt at rebalancere sin portefølje på alle tænkelige tidspunkter. Det er også gældende for Black-Scholes modellen, at det risikofri og ikke-dividende-betalende aktiv udvikler sig i kontinuert tid. I praksis er det dog ikke muligt at handle kontinuert, selvom det dog er muligt at komme relativt tæt på. Denne manglende mulighed for at handle kontinuert, vil være med til at undervurdere omkostningerne ved en hedgestrategi, da optionspræmien vil være fastsat på baggrund af, at der skal rebalanceres kontinuert. Dette bevirker, at porteføljen ikke vil være risikofri på alle tidspunkter og at omkostningerne forbundet ved at hedge en solgt option teoretisk set ikke vil svare til den modtagede præmie. I analysen vil der rebalanceres med intervaller på en dag startende fra 1 dag og sluttende med 5 dage. I teorien skal man rebalancere ved en hver ændring i delta på alle tidspunkter, men dette er selvfølgelig ikke muligt og med daglige rebalanceringer vil det give et billede af, hvorledes hedgingomkostningerne påvirkes ved at have forskellige intervaller mellem rebalanceringerne. Forudsætningen omkring kontinuert handel er interessant at undersøge, da vi herved får indsigt i betydningen af antallet af rebalanceringer set i forhold til de samlede omkostninger forbundet med en delta-hedging strategi. Dette er især hensigtsmæssigt at undersøge, da man i den virkelige verden har transaktionsomkostninger forbundet med køb og salg af optioner, og det derfor er interessant at vide, hvor meget risikoen øges når intervallet mellem rebalancering øges. Analysedel 2 vil se nærmere på denne problemstilling. 29

30 3.3 Analysedel 1 Konstant volatilitet Volatiliteten på en aktie er et udtryk for usikkerheden omkring afkastet fra aktien over en tidsperiode. Volatiliteten er som tidligere nævnt den eneste faktor i Black-Scholes modellen, som ikke er observerbar. Det har stor betydning, hvilken værdi volatiliteten har, da vi skal benytte den til at finde vores optionsværdi. Der findes ikke nogen kendt parameter for en konstant volatilitet, som forudsætningerne omkring Black-Scholes kræver. Derfor er det også interessant at undersøge forskellige metoder til at estimere værdien for volatiliteten. Der er ikke fastlagt nogen bestemt metode til udregning af volatilitetsestimatet, men i praksis benyttes ofte enten den historiske eller den implicitte volatilitet. I den følgende analyse vil der ses nærmere på forudsætningsbruddet omkring konstant volatilitet. Analysen har til formål at undersøge hvilken af den historiske eller den implicitte volatilitet, der giver den mindste afvigelse mellem Black-Scholes værdien og hedgingomkostningerne. Vi slækker på kravet om konstant volatilitet og benytter vores egne estimater for at se hvilket estimat, der bedst beskriver udviklingen. Resten af de før nævnte forudsætninger for Black-Scholes modellen vil antages at være opfyldt. For at belyse dette har vi opstillet et Excel ark med hedging strategier af tre forskellige aktier/indeks (S&P 500, Nordea og OMX Helsinki), hvor vi ser nærmere på historisk volatilitet og implicit volatilitet i to forskellige perioder. Perioderne er valgt, til at ligge samme sted ved hver af de tre aktier/indeks, så vi kan sammenligne resultaterne. I det følgende vil ordet aktie benyttes i relation til både indeksene og aktien Opsætning af Excel ark For at vores delta-hedging strategi af de tre forskellige aktier/indeks kan udføres, skal følgende værdier fastlægges: Aktiekurser, strikepriser, tid til udløb, den risikofri rente, samt historisk og implicit volatilitet. Vi tager som sagt udgangspunkt i tre aktier/indeks; S&P 500, Nordea og OMX Helsinki. Derfor har vi indsamlet aktiekurser for disse over en 2-årig periode fra den til Vi har valgt at benytte to store indeks, da disses aktiekurser burde give et retvisende billede af et effektivt marked. Herudover ville vi også gerne have mulighed for at sammenligne indeks og enkeltaktier, derfor er Nordeas aktie valgt. Strikeprisen er sat til spotkursen på dag 0, og denne værdi fastholdes gennem hele hedging strategien. Vi har valgt, at opbygge vores model omkring europæiske optioner med en løbetid på 30 handelsdage. Vi antager derfor, at der er 252 handelsdage på et år. 30

31 Perioden på 30 handelsdage er valgt, da vi ikke ønsker en alt for lang periode at analysere på, dog skal der være nok dage til at analysere på afvigelserne mellem Black-Scholes værdierne og hedgingomkostningerne. Den risikofri rente er fastsat til 5 % med kontinuerlig rentetilskrivning. Niveauet på den risikofri rente har ikke den store indflydelse i hedging strategien, men jo højere renteniveauet er, desto højere bliver Black-Scholes værdien for call-optionen. For at finde frem til den historiske volatilitet er formlerne i afsnit blevet benyttet. Der bliver udregnet forskellige historiske volatilitetsestimater på baggrund af de seneste 30, 90, 280 og 270 handelsdage. De historiske volatiliteter vil udregnes som de annualiserede standardafvigelser. Normalt siges det, at jo længere tilbageblik man tager desto mere præcis bliver volatiliteten. Men volatiliteten ændrer sig over tid, så hvis man benytter for gammelt data, giver det måske ikke en relevant forudsigelse om fremtiden (Hull, 2009 s. 283). Hull sætter også et generelt mål ved at bruge lukkekursen fra daglig aktiepriser fra de seneste 90 til 180 dage. Som tommelfingerregel siges det, at sætte antallet af observationer til det antal dage, man skal finde volatiliteten for (Hull, 2009 s. 283). Den implicitte volatilitet for de tre aktier/indeks i perioden er fundet ved brug af Datastream. Denne volatilitet er den markedsbestemte som anvendes til at prisfastsætte call-optionen ved brug af Black-Scholes. Der findes metoder til at finde et estimat for den implicitte volatilitet. Newton-Rapson s metode er en metode, hvor man både tager hensyn til optionens markedskurs og Black-Scholes værdien, beregnet ud fra den implicitte volatilitet fra en tidligere periode. Altså lidt en blanding af metoderne til historisk og implicit volatilitet Forklaring af analysen Analysen er opdelt i de tre forskellige aktier/indeks, for hver aktie vil det følgende undersøges. Som udgangspunkt vil vi se, om vores aktiekurs kan antages at følge den Geometriske Brownian Motion (30): ds = µ dt + σ dz S (30) Hvor µ er aktiens konstante forventede log-afkast, σ er den konstante og positive volatilitet og dz er Wienerprocessen. Da volatiliteten som sagt er et udtryk for den usikkerhed, der ligger i aktien, vil der også ses nærmere på afkastet for den enkelte aktie. For at finde frem til det daglige afkast for aktierne benyttes formlen (31): 31

32 S i ui = ln Si 1 (31) Hvor S i er den daglige lukkekurs. Afkastet for aktien vil herefter sammenholdes med de udregnede estimater for den historiske volatilitet og den fundne implicitte volatilitet. Her forventes det at finde en sammenhæng mellem volatilitetsestimaterne og de givne afkast i perioderne. For at finde ud af hvilket af de fundne estimater, der giver den mindste afvigelse fra Black-Scholes værdien, vil der opstilles en delta-hedging strategi for hvert enkelt estimat i de to perioder. Vi tager ikke forudsætningen omkring konstant volatilitet for givet, men indsætter vores egne stokastiske estimater for at se, hvilket der giver os det bedste estimat. Excel modellen for delta-hedging strategien for de tre aktier/indeks er opbygget efter de ovenstående opsætningskriterier. Via en makro i Excel udregnes de totale omkostninger, som tilbagediskonteres til tidspunkt 0 for at danne sammenligningsgrundlag med call-optionen til tidspunkt 0. Profitten for hedget fås ved at fratrække de tilbagediskonterede omkostninger fra call-optionens pris til tidspunkt 0. Det er klart, at den første dags volatilitet har en del at sige, da det er den som fastsætter calloptionens pris til tidspunkt 0. I det følgende ser vi nærmere på S&P S&P 500 Forudsætningen om kendt og konstant volatilitet gennem optionens løbetid udspringer fra forudsætningen om, at aktiekursen skal følge en Geometrisk Brownian Motion, hvor log-afkastet er normalfordelt. Det er derfor interessant at undersøge om vores log-afkast for S&P 500 vil følge en normalfordeling. Normalfordelingen er en fordeling, der er symmetrisk opbygget omkring middelværdi, µ, med en positiv varians, σ 2, hvilket gør at skævheden i fordelingen er 0. Til at beskrive fordelingens form benyttes kurtosis, som måler den del af observationerne, som ligger i fordelingens haler i forhold til antallet af observationer, som ligger omkring middelværdien. For en normalfordeling vil kurtosis være 3 (Heij 2004, side 386). Gennem statiske analyser af log-afkastet viser artiklen af Cont (2001), at fordelingen er log-afkastet ikke følger en normalfordeling som Black-Scholes ellers forudsætter. Fordelingen af log-afkastet har en stor samling af observationer omkring midten med tendens til tykkere haler. Herved vil man underestimere sandsynligheden for store udsving i afkastet. Kurtosis for log-afkast fordelingen er større end 3 og der ses også en tendens til en 32

33 negativ skævhed i fordelingen, hvilket er normalt for indeks, hvorimod det for enkelte aktier er meget individuelt. Desuden viser Cont også, at volatiliteten har en positiv autocorrelation over flere dage, hvilket får hændelser med høj volatilitet til at samle sig i klynger. Det understøttes også af Mandelbrot, der siger at: large changes tend to be followed by large changes of either sign- and small changes tend to be followed by small changes (Mandelbrot 1963, s. 418). Resultaterne fra Cont (2001) er skabt ved observationer af afkastet flere gange dagligt, hvilket vi ikke har mulighed for i vores analyse. I det følgende vil Cont s resultater omkring log-afkast fordelingen ses i forhold til vores valgte periode for S&P 500. Figur 3.2: Log-afkastfordelingen for S&P 500 sammenlignet med normalfordelingen i perioden til Histogram Fitted normal dist Hyppighed ,10-0,08-0,06-0,04-0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 Mere Log-afkast - interval Kilde: Excelbilag 2 Figur 3.2 viser hyppigheden af log-afkast for S&P 500 over vores 2-årige periode overfor en normalfordeling med samme middelværdi og varians. Middelværdien, µ = -0,00115 og standardafvigelsen, σ = 0, Den røde linje i figuren modellerer normalfordelingen, som er Black-Scholes idé om den komplette verden, hvorimod den faktiske verden illustreres med de blå søjler. Som det kan ses i figuren følger log-afkastet ikke normalfordelingen, der er tendens til flere observationer omkring midten, og der ses også nogle enkelte ekstreme observationer, hvilket tyder på tykkere haler. En logistisk fordeling vil beskrive afkastet bedre, den 33

34 har tykkere haler, dvs. højere sandsynlighed for ekstreme resultater, altså har den højere kurtosis. Den logistiske fordeling tilhører typen, der hedder leptokurtic fordelingen. Figur 3.3 viser det daglige log-afkast for S&P 500 indekset fra perioden til Figur 3.3: Det daglige log-afkast for S&P 500 i perioden til Dagligt afkast Log-afkast 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0, Perioden til Kilde: Excelbilag 3 I denne periode kan det ses, at de største udsving i det daglige afkast ligger på omkring +/- 10 %. Det er disse ekstreme udsving, der kommer til udtryk i log-afkastfordelingens tykke haler. Vi kan følge finanskrisens udbrud omkring juli/august 2007, hvor vi ser udsvingene i det daglige afkast så småt bliver mere markante. De store udsving efter september 2008 viser det helt store udbrud, hvor kapital markederne falder sammen, og bankerne ikke vil låne penge til hinanden. Det kan også bemærkes, at store udsving i afkastet oftest efterfølges af store udsving, som stemmer meget godt overens med tendensen til at log-afkastet samles i klynger (Cont 2001, s 230). Vi har valgt at se nærmere på perioderne fra d til (periode 1) og til (periode 2). Disse perioder afspejler nogle meget forskellige situationer i S&P

35 Figur 3.4: Det daglige log-afkast for S&P 500 i periode 1 S&P periode 1 Dagligt afkast Log-afkast 0,03 0,02 0,01-0,01 0-0,02-0,03-0, Periode til Kilde: Excelbilag 3 Figur 3.4 viser det daglige log-afkast for S&P 500 i periode 1. På de 30 handelsdage ligger afkastet og svinger mellem -3 % og +2 %. Periode 1 ligger i en ustabil periode, hvor finanskrisen har været med til at skabe uro på markederne, dog er periode 1 ikke præget af de voldsomme udsving. Sidst i perioden ses der dog en tendens til større udsving. Figur 3.5: Det daglige log-afkast for S&P 500 i periode 2 S&P periode 2 Dagligt afkast Log-afkast 0,08 0,06 0,04 0,02-0,02 0-0,04-0, Periode til Kilde: Excelbilag 3 35

36 Figur 3.5 viser det daglige log-afkast for S&P 500 i periode 2. Set over de 30 handelsdage er der større udsving i afkastet per dag end i periode 1. Afkastet ligger i et spænd fra omkring -5 % til +6 %. Aktien er i denne periode væsentlig mere ustabil og har flest negative udsving. Hvis vi sammenligner de 2 perioder, ses det tydeligt, at periode 1 er en mere stille periode i forhold til periode 2. S&P 500 er et index over 500 store amerikanske aktier, derfor er udsvingende ikke helt så store, da afkastet er spredt ud over 500 aktier. Afkastet fra de 2 perioder vil i det følgende sammenholdes med de udregnede estimater for den annualiserede volatilitet. Figur 3.6: Annualiseret volatilitet for 30, 90, 180 og 270 dages historisk volatilitet, samt implicit volatilitet i periode 1 Annualiseret vol. 0,28 0,26 0,24 0,22 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 S&P 500 periode Periode til Implicit Kilde: Excelbilag 4 Figur 3.6 viser at den markedsobserverede implicitte volatilitet næsten i hele perioden ligger et stykke under 90, 180 og 270 dages historisk volatilitet. Markedsaktørerne vurderer at usikkerheden omkring afkastet for aktien er relativt lavere end hvad de historiske data viser. Det er også interessant at bemærke, at den historiske volatilitet beregnet for de seneste 90, 180 og 270 dage ligger omkring samme lave niveau gennem hele perioden, hvilket både indikerer at der ikke har været store udsving i afkastet, men også at de ikke er særligt detaljeret omkring beskrivelsen af perioden. Man kan se at 90 og 180 dages historisk volatilitet nærmere sig den næsten konstante 270 i løbet af perioden. Den historiske volatilitet for 30 dage er mere svingende, hvilket giver god mening, da den som sagt er lavet over færrest observationer, og derfor vil være mere følsom. Den historiske volatilitet for de seneste 30 dage ligger konsekvent lavere end de andre, hvilket indikerer, at de 36

37 seneste 30 dage har været uden store udsving i afkastet. Sammenholdt med det daglige afkast i periode 1, ses det at der er en god sammenhæng. Aktien har ikke det store udsving i afkastet, hvilket også gives til udtryk i en lav volatilitet. Dog kan det bemærkes, at mod slutningen af perioden sker der større udsving, som også afspejles ved en stigning i volatilitets niveauet. Her er det især den 30 dages historiske volatilitet, og den implicitte der reagerer hurtigst. Figur 3.7: Annualiseret volatilitet for 30, 90, 180 og 270 dages historisk volatilitet, samt implicit volatilitet i periode 2 Annualiseret vol. 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 S&P 500 periode Perioden til Implicit Kilde: Excelbilag 4 Figur 3.7 viser, at den implictte volatilitet er meget svingene på et niveau mellem 35 % og 50 % for perioden, markedsaktørerne mener, at der er stor usikkerhed omkring de fremtidige afkast. 180 og 270 dages volatilitet er næsten konstant, dog ser de 270 dage ud til at have nogle observationer med fra det lave niveau omkring periode 1, hvilket gør niveauet lavere end 180 dage. Den 90 dages volatilitet starter meget højt og nærmer sig over perioden 180 dages, dette indikerer også, at aktien har været inde i en periode med store udsving i afkastet. Dog ser de 30 dage og den implicitte volatilitet ud til at være på et lavere niveau end de andre historiske, de er altså upåvirket at de sore udsving fra tidligere. De er også mere detaljeret i beskrivelsen af volatiliteten i perioden, og man kan følge udsvingene i afkastet direkte i volatiliteten. Især den implicitte volatilitet gengiver hvert enkelt udsving i afkastet for perioden. 37

38 I det følgende vil der findes frem til hvilket af de omtalte estimater, der giver den mindste afvigelse fra Black- Scholes værdien. I tabel 3.1 ses resultaterne fra delta-hedging strategien ved brug af de fundne estimater for periode 1. Som det kan ses i Excelbilag 5 går vores delta mod 0, og optionen bliver ikke exercised. Optionen ender out-of-the-money,hvor spotkursen er mindre end strikekursen. Tabel 3.1: Profit og procentvis afvigelse fra Black-Scholes værdien for periode 1 30 dage 90 dage 180 dage 270 dage Implicit Profit -2,14 8,11 4,72 1,37-0,29 Afvigelse i % 5,52% 17,47% 10,89% 3,40% 0,76% Kilde: Excelbilag 5 Profitten er udregnet som call-optionens værdi til tidspunkt 0 fratrukket omkostningerne ved hedget til tidspunkt 0. De totale omkostninger fremkommer, da der i hedget benytter buy high / sell low princippet, hvor der købes når kursen er høj, og sælges når kursen er lav. Dette medfører også, at vi taber penge, når vi balancerer efter delta. Ved tre af estimaterne er profitten positiv, hvilket betyder vi tjener penge, da vi får flere penge for optionen end vores omkostninger er ved hedget. Det kan ses, at det er den markedsbestemte implicitte volatilitet, der giver det bedste estimater for volatiliteten i perioden, med en procentvis afvigelse på 0,76 %. Efter Black-Scholes teorien burde der ikke være nogen afvigelse, men da flere forudsætninger ikke er opfyldt, er det ikke muligt. Vi kan bl.a. ikke handle kontinuert, og vi har også en stokastisk volatilitet. Tabel 3.2: Profit og procentvis afvigelse fra Black-Scholes værdien for periode 2 30 dage 90 dage 180 dage 270 dage Implicit Profit -5,14 21,94 6,18 1,45-0,89 Afvigelse i % 12,78% 30,73% 11,15% 3,04% 1,95% Kilde: Excelbilag 6 Tabel 3.2 viser, at det i periode 2 også er den implicitte volatilitet, der giver det bedste estimat for volatiliteten over vores 30 dages hedge. Optionen endte igen out-of-the-money, og blev derfor ikke exercised. Det er værd at bemærke, at den 90 dages ligger meget langt fra, hvilket vi også så i figur dages ligger ligesom i periode 1 også meget tæt på Black-Scholes og må siges også at være et godt estimat. 38

39 Som i periode 1 er det de samme tre estimater, vi tjener penge på, hvorimod profitten fra 30 dage og den implicitte medfører et tab for os. Markedsaktørerne har i begge perioder haft det bedste estimat for usikkerheden omkring afkastet fra aktien OMX Helsinki OMX Helsinki er et indeks over de 25 mest omsatte aktier i Finland og er altså en del mindre end S&P 500. Der vil i det følgende undersøges om log-afkastet for OMX Helsinki følger en normalfordeling, som forudsætningen bagved Black-Scholes formlen kræver. Som det kan ses i Figur 3.8 er der igen en tendens, der viser at en logistisk fordeling ville være et bedre fit, der er igen flere observationer samlet omkring midten, og enkelte observationer der er meget ekstreme. Man kan godt argumentere for at histogrammet ikke er helt egnet til at drage konklusioner fra, da det kun udgør data fra en 2 årig periode med 523 observationer. Men med henblik på Cont (2001), giver histogrammet dog et godt billede af de resultater som også ses i Cont, selvom det kun er en 2 årig periode. Figur 3.8: Log-afkastfordelingen for OMX Helsinki sammenlignet med normalfordelingen i perioden til Histogram Fitted normal dist Hyppihed ,10-0,08-0,06-0,04-0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 Mere Log-afkast - interval Kilde: Excelbilag 2 39

40 Histogrammet er lavet overfor normalfordelingen med samme middelværdi, µ = -0,00152 og en standardafvigelse, σ = 0, Det gennemsnitlige afkast ses ogs å at være negativt for perioden, hvilket vil sige, at aktiens kurs er faldet over perioden. Det daglige log-afkast for den 2-årige periode kan ses i bilag 1, hvor samme tendens til at volatiliteten samles i klynger kan ses. I det følgende vil der være fokus på de 2 udvalgte perioder, hvor afkastet vil sammenholdes med de udregnede volatilitetsestimater. Figur 3.9 viser det daglige afkast for periode 1. Som det kan ses, er vi inde i en forholdsvis stille periode, hvor indeksene ligger og svinger mellem ca. -2 % til +2 % afkast. Figur 3.9: Det daglige log-afkast for OMX Helsinki i periode 1 OMX Helsinki periode 1 Dagligt afkast Log-afkast 0,03 0,02 0,01 0-0,01-0,02-0, Periode til Kilde: Excelbilag 3 Starten af perioden er præget af mange positive afkast, men efter halvdelen er dagene er gået, ses der dog en mere negativ tendens, hvor størstedelen af afkastene går hen og bliver negative. 40

41 Figur 3.10: Det daglige log-afkast for OMX Helsinki i periode 2 OMX Helsinki periode 2 Dagligt afkast 0,06 0,04 0,02-0,02 0-0,04-0, Log-afkast Periode til Kilde: Excelbilag 3 Figur 3.10 er et overblik over det daglige log-afkast for OMX Helsinki i periode 2. Det er tydeligt at se, at vi her er inde i en mere usikker periode, hvor afkastet har store udsving. Denne periode ligger udsvingene mellem ca. -4 % til +5 %, hvilket må siges at være en stor variation over 30 handelsdage. Sammenlignes de to udvalgte perioder må periode 2 betegnes som den mest usikre hvad angår afkast. I det følgende vil der ses nærmere på sammenhængen mellem afkastet i perioderne og de udregnede volatilitetsestimater. Figur 3.11: Annualiseret volatilitet for 30, 90, 180 og 270 dages historisk volatilitet, samt implicit volatilitet i periode 1 OMX Helsinki periode 1 Annualiseret vol. 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0, Implicit Perioden til Kilde: Excelbilag 7 41

42 Ud fra figur 3.11, ses det at den implictte volatilitet ligger niveauet for 90, 180 og 270 dages historisk volatilitet for hele perioden, markedsaktørerne har altså forventninger om et mere stille marked, end hvad de historiske tal viser. Igen bemærkes at de lange historiske volatiliteter på 180 og 270 næsten ligger konstant i niveauet under hele perioden. Den mere følsomme 30 dages volatilitet har en faldende tendens gennem perioden, hvor det især efter den falder markant, da der er et stort udsving, der går ud af beregningen. Det samme er gældende for faldet i den 90 dages volatilitet (Wilmott, Paul s. 497). Generelt må volatiltiteten betegnes som liggende på et lavt niveau. Figur 3.12: Annualiseret volatilitet for 30, 90, 180 og 270 dages historisk volatilitet, samt implicit volatilitet i periode 2 OMX Helsinki periode 2 0,5 Annualiseret vol. 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0, Implicit Perioden til Kilde: Excelbilag 7 Figur 3.12 viser en helt anden udvikling i den anden periode. Generelt er volatilitets niveauet steget en del, der er altså større usikkerhed omkring afkastet. Sammenhængen mellem log-afkastet og volatilitetsestimaterne for periode 2 stemmer meget godt overens. Log-afkastet viste også større udsving, hvilket tydeligt ses i et øget volatilitets niveau. 270 dages historisk volatilitets ligger som ved S&P 500 under de 180, hvilket indikerer at der er lavere udsving med fra tidligere tid i de 270 dage, begge er igen næsten konstante. Den 90 dages volatilitet ses at have en faldende tendens, hvilket indikerer at der har været større udsving i tidligere tid og at det nu går mod et lavere niveau. Den implicitte volatilitet ligger ud i et højt niveau, men markedetsaktørerne ender med at vurdere volatiliteten til det laveste niveau ved slutningen af perioden.igen er det den 30 dages historiske og den implicitte volatilitet, som er de mest detaljerede og følsomme overfor ændringerne i afkastet. 42

43 Volatilitetsestimaterne vil nu indsættes i vores delta-hedging strategi for de 30 handelsdage. Som tabel 3.3 viser, er volatilitetsestimaterne for periode 1 meget forskellige fra Black-Scholes værdien. Optionen ender outof-the-money, hvor delta går mod 0. Tabel 3.3: Profit og procentvis afvigelse fra Black-Scholes værdien for periode 1 30 dage 90 dage 180 dage 270 dage Implicit Profit 173,11 210,52 124,88 90,15-19,70 Afvigelse i % 40,31% 44,68% 31,45% 24,74% 7,33% Kilde: Excelbilag 8 Den implicitte volatilitet er det estimat, der kommer tættest på vores Black-Scholes værdi, med en afvigelse på 7,33 %. Profitten er her et noget større tal, end hvad vi så ved S&P 500, dette hænger dog sammen med, at vi har med en helt andet aktiekurs at gøre. Tabel 3.4: Profit og procentvis afvigelse fra Black-Scholes værdien for periode 2 30 dage 90 dage 180 dage 270 dage Implicit Profit -12,03 68,64 8,86 7,04 18,95 Afvigelse i % 5,14% 20,45% 3,20% 2,65% 6,45% Kilde: Excelbilag 9 Tabel 3.4 viser at vores eastimater kommer noget tættere på Black-Scholes værdien i den anden periode. Optionen ender igen out-of-the-money. Denne gang er det 270 dages historisk volatilitet, der giver det bedste billede af usikkerheden i aktien. Bortset fra den 90 dages volalitet er alle faktisk tæt på Black-Scholes værdien. Hvis der ikke var blevet hedget ville omkostningerne være 0, da optionen ikke bliver udnyttet, når den er outof-the-money, men så vile vi modsat ikke have været dækket, hvis nu optionen endte in-the-money Nordea Indtil nu har vi set på to indeks, som kan beskrives som likvide markeder, hvor handel med enkelte aktier ikke påvirker den samlede kurs, og hvor der er mange aktører og stor omsætning, så der dannes gennemsigtige markedspriser. En enkelt aktie vil være mindre likvid, derfor vil der i det følgende ses nærmere på Nordea aktien. 43

44 Figur 3.13 viser det faktiske billede af log-afkastfordelingen overfor Black-Scholes forudsætning om at logkastet skal følge en normalfordeling. Middelværdien, µ = -0,00132 og standardafvigelsen, σ = 0, Figur 3.13: Log-afkastfordelingen for Nordea sammenlignet med normalfordelingen i perioden til Histogram Fitted normal dist Hyppighed ,15-0,12-0,09-0,06-0,03 0,00 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 Mere Log-afkast - interval Kilde: Excelbilag 2 Det kan igen ses, at der er en stor samling af observationer omkring midten, og at der forekommer enkelte ekstreme afkast. Der er igen tale om en leptokurtics fordeling, hvor vi har et stejlere toppunkt og tykkere haler. Nordea aktiens daglige afkast for den 2 årige periode fra til kan ses i bilag 2. I det følgende vil de 2 udvalgte perioder belyses. Figur 3.14 viser hvorledes udviklingen i afkastet har været i periode for Nordea aktien. Som det kan ses, er perioden hovedsageligt præget at negative afkast, dog er der en undtagelse også med det store positive afkast i starten af perioden. 44

45 Figur 3.14: Det daglige log-afkast for Nordea i periode 1 Nordea periode 1 Dagligt afkast Log-afkast 0,06 0,04 0,02 0-0,02-0, Periode til Kilde: Excelbilag 3 Afkastet hen over perioden må karakteriseres som små udsving, hvor størstedelen er af den negative slags. Sammenlignet med periode 1 for de to indeks, er der ikke den store forskel mellem en enkelt aktie og indeksene. Nordea aktien har ikke større eller mindre udsving i perioden. Figur 3.15: Det daglige log-afkast for Nordea i periode 1 Nordea periode 2 Dagligt afkast Log-afkast 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0, Periode til Kilde: Excelbilag 3 45

46 Figur 3.15 viser, at det daglige afkast i periode 2 har væsentlig større udsving end i periode 1. Det daglige afkast svinger mellem ca. -8 % til + 11 %. Her er altså tale om en væsentlig mere ustabil periode, hvor aktiekursen svinger utroligt meget. Hvis Nordea aktien skal sættes i forhold til de to indeks, ses det at der ved den enkelte aktie er meget mere usikkerhed omkring afkastet. En væsentlig del af usikkerheden skal findes i den mindre likvide aktie, hvor f.eks. nyheder, konkurrenter og andre omstændigheder har større indvirkning på aktiens udvikling. Derfor er det også interessant at undersøge, hvorledes afkastet fra Nordea aktien påvirker volatilitetsestimaterne. Figur 3.16 viser den annualiserede volatiltet for Nordea aktien i periode 1. Niveauet for volatiliteten ligger mellem 15 % og 40 %. Figur 3.16: Annualiseret volatilitet for 30, 90, 180 og 270 dages historisk volatilitet, samt implicit volatilitet i periode 1 Annualiseret vol. 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 Nordea periode Perioden til Implicit Kilde: Excelbilag 10 Den implicitte volatilitet ligger under de historiske volatiliteter i næsten hele perioden. Det ses også, at det igen er den implicitte og 30 dages volatilitet, der er de mest følsomme. 90 dages volatiliteten starter også igen ud fra et højere niveau end de andre og falder løbende. Sammenholdt med volatilitets niveauet for periode 1 for de to indeks, ses det at Nordea måske har et generelt lidt højere niveau, især ved sammenligning med figur 3.6 for S&P

47 Figur 3.17: Annualiseret volatilitet for 30, 90, 180 og 270 dages historisk volatilitet, samt implicit volatilitet i periode 2 Annualiseret vol. 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 Nordea periode Perioden til Implicit Kilde: Excelbilag 10 Figur 3.17 viser et meget interessant billede af volatiliteten for Nordea aktien. Først og fremmest bemærkes det, at det generelle volatilitetetsniveau er meget højt, hvilket indikerer store udsving i vores afkast, som vi også så i figur Den 30 dages historiske volatilitet ligger her i det højeste niveau, hvor de seneste 30 dage har været med store udsving i afkastet. Den implictte svinger utrolig meget, da markedsaktørerne har svært ved at finde usikkerheden i aktien pga. de store udsving. 270 dages historisk volatilitet har igen observationer med fra den tidligere stille periode og ligger med et næsten konstant lavt niveau. De tre lange historiske volatilteter er igen næsten konstante, dog i forskellige niveauer. Sammenholdt med periode 2 for de to indeks, giver det god mening at den enkelte akties niveau er noget højere, da den enkelte aktie er meget mindre likvid. I det følgende vil der ses nærmere på, hvilket volatilitetsestimat der giver den mindste værdi mellem hedgingomkostninger og Black-Scholes værdien for optionen de to perioder. Tabel 3.5: Profit og procentvis afvigelse fra Black-Scholes værdien for periode 1 30 dage 90 dage 180 dage 270 dage Implicit Profit 1,21 1,36 0,63 0,31 0,00 Afvigelse i % 29,71% 31,98% 17,60% 9,59% 0,07% Kilde: Excelbilag 11 47

48 Tabel 3.5 viser, at det er den implicitte volatilitet der giver den mindste afvigelse mellem hedgingomkostningerne og call-optionens pris til tidspunkt 0. Den er faktisk meget tæt på at være præcis den værdi som Black-Scholes giver, med en afvigelse på kun 0,07 %. Optionen ender igen out-of-the-money. Det kan også ses, at vi ikke taber penge ved at udstede optionen ved nogen af volatiliterne. Som det kan ses i Excelbilag 12 for delta-hedging strategien for Nordea i periode 2, får vi et andet udfald end tidligere, her går delta mod 1 og optionen ender in-the-money. Investoren ønsker nu at exercise sin option og købe aktien for 33,66 og sælge den for 42,1 som er spotkursen efter de 30 dage handelsdage. Da optionen nu exercises, skal vi fratrække de 33,66 som vi får fra investor fra vores totale omkostninger. Tabel 3.6: Profit og procentvis afvigelse fra Black-Scholes værdien for periode 2 30 dage 90 dage 180 dage 270 dage Implicit Profit 0,13 0,02-0,78-1,24-0,41 Afvigelse i % 3,74% 0,44% 26,16% 46,42% 12,10% Kilde: Excelbilag 12 Tabel 3.6 viser, at det er 90 dages historisk volatilitet som giver den mindste afvigelse fra Black-Scholes værdien. De to lange historiske volatiliteter på 180 og 270 dage ser ud at være langt fra, hvilket nok skyldes at de har en del observationer med fra en tidligere stille periode. 48

49 3.4 Analysedel 2 Kontinuert handel Dette afsnit består af en analyse af forudsætningen omkring kontinuert handel. Som tidligere beskrevet er det en forudsætning for Black-Scholes modellen, at andelen af aktier i en portefølje bliver rebalanceret kontinuert for at opretholde den risikoneutrale position. I den virkelige verden er dette dog ikke realistisk, da det i praksis vil være umuligt. Hvis man også tager i betragtning, at der som regel er forbundet en transaktionsomkostning ved handel med aktier, virker det endnu mere usandsynligt, at der i den virkelige verden bliver rebalanceret kontinuert. En forudsætning i Black-Scholes modellen er netop også, at der ikke må være transaktionsomkostninger indblandet, og denne analyse antager derfor også, at dette er opfyldt. Formålet med den følgende analyse er derfor at isolere effekten af, at intervallet mellem rebalancering af aktier i en hedgingportefølje øges. De tidligere beskrevne forudsætninger for Black-Scholes modellen vil derfor være opfyldt. Det forventes af analysen, at få bekræftet teorien bag Black-Scholes modellen, som siger, at prisen på en option kan duplikeres ved en delta-hedging strategi. Ved at slække på forudsætningen omkring kontinuert handel, forventes det derfor, at delta-hedging strategien ikke forbliver selvfinansierende. Vi forventer derfor stigende omkostninger og negativ profit, når intervallet mellem rebalancering øges Monte Carlo Simulation: Til at analysere effekten af intervallet mellem rebalancering er der opstillet fem Excel ark 3. De fem Excel ark indeholder hver en simulation af en aktieproces som løber over 60 handelsdage samt en sideløbende deltahedging strategi på en solgt option. Forskellen på de fem Excel ark er, at intervallet mellem rebalancering er henholdsvis 1, 2, 3, 4 og 5 dage. Som sagt er alle forudsætningerne for Black-Scholes modellen opfyldt, på nær forudsætningen omkring kontinuert handel som undersøges. Aktieprisen følger derfor den beskrevne proces i afsnittet omkring udledningen af Black-Scholes formlen og aktieprisen i tid t, S(t) kan derfor udregnes som følgende (Hull, 2009 s. 428): 2 σ ST ( ) = S( 0) exp ˆ µ T+ σє T 2 (32) 3 Se Excelbilag

50 Hvor S(0) er prisen på aktien i tid 0. Udtrykket 2 σ exp ˆ µ + σ 2 T є T (33) udgør afkastet, hvor 2 σ ˆ µ 2 T (34) og σ T (35) henholdsvis udgør det justerede forventede afkast, samt den justerede volatilitet. Є er her et tilfældigt tal fra en normalfordeling med en middelværdi på 0 og standardafvigelse på 1. Det forventede afkast i en risikoneutral verden er sat til 5 % per år, hvilket også er den konstante driftsrate. Volatiliteten er konstant og er sat til 30 % per år. Den risikofri rente er kendt og sat til 5 % per år med kontinuer tilskrivning. Aktieprisen i tid 0 er 100 og strikeprisen er 100, hvilket betyder, at den initialt solgte option er atthe-money. Prisen på call-optionen udregnes vha. Black-Scholes formel som beskrevet i afsnit Delta-hedging strategien udføres som beskrevet i afsnit 2.2. Optionen hedges fra den dag den sælges indtil den dag den udløber. Til simulering af aktieprocessen og delta-hedging strategien er der brugt Crystal Ball, som er et tilføjelsesprogram til Excel. Antallet af simuleringer er sat til , da dette giver en god log-normalfordeling for aktieprisen, S(t) og normalfordeling for den naturlige logaritme til aktieprisen, LN(S(t)) hvilket er forudsat i den brugte aktieproces. 50

51 Figur 3.18 Histogram for S(t) og Ln(S(t)). Kilde: Excelbilag 13 og 14 Normalfordelingen som LN(S(t)) følger, kan skrives som (Hull, 2009 s. 271): 2 σ lnst ø ln S0 + µ T, σ T 2 Hvor lns 0 2 σ + µ T 2 (36) (37) er middelværdien til ln(s(t)) og σ T (38) er standardafvigelsen (Hull 2009, s. 278) Totale omkostninger Ved brug af den beskrevne Monte Carlo simulation er der udført simulationer for henholdsvis en aktieproces, samt en sideløbende delta-hedging strategi på en solgt option. Dette er gjort for hver af de nævnte intervaller mellem rebalancering. Den simulerede parameter er den totale omkostning ved hedging strategien. Denne totale omkostning er bestående af de kumulerede omkostninger inklusiv renter, som opstår når der handles med aktier. Ender optionen in-the-money, står hedgeren i en fuld dækket position, og den totale omkostning ved hedging strategien er her de kumulerede omkostninger inklusiv renter fratrukket den pris, som hedgeren får for sine aktier i dette tilfælde 100. Dette er fordi, aktien nu er mere værd end i 51

52 tidspunkt nul, og køberen af optionen vælger at exercise. Ender optionen out of-the-money, vil hedgeren ved optionens udløb have solgt alle sine aktier, og den totale omkostning er her de kumulerede omkostninger inklusiv renter. Prisen på aktien er her lavere end ved tidspunkt nul, og køberen af optionen vil ikke exercise. Den følgende figur illustrerer resultaterne fra Monte Carlo simulationen (Crystal Ball). Figur 3.19: Histogrammer for totale omkostninger. Kilde: Excelbilag 15 52

53 Figur 3.19 viser, at de totale omkostninger ved hedging strategien for alle intervaller, følger en logistisk fordeling. Denne fordeling ligner til forveksling en normalfordeling, men er kendetegnet ved at have tykkere haler og dermed større sandsynlighed for mere ekstreme værdier. Dette ses også i tabel 3.7, som viser beskrivende statistik fra simulationen. Det kan ses, at kurtosis for de forskellige intervaller ligger mellem 4,30 og 4,71. Kurtosis måler den relative del af observationerne, som ligger i fordelingens haler i forhold til antallet af observationer, som ligger omkring middelværdien. For en normalfordeling vil kurtosis ligge på 3 (Heij 2004, side 386), hvilket antyder, at fordelingerne for de totale omkostninger har tykkere haler end en normalfordeling. Dette stemmer også overens med, at de totale omkostninger følger en logistisk fordeling. Tabel 3.7 Statistik for totale omkostninger. Dage mellem rebalancering Middelværdi 6,44 6,47 6,47 6,48 6,49 Middelværdi (TD) 6,36 6,39 6,39 6,40 6,41 Varians 0,43 0,82 1,20 1,57 1,96 Skævhed 0,18 0,26 0,30 0,31 0,39 Kurtosis 4,71 4,46 4,39 4,30 4,42 Min. 3,30 2,49 2,20 1,65 1,03 Maks. 11,53 13,37 13,83 15,51 18,09 Jarque-Bera 6352, , , , ,97 P-værdi Kilde: Excelbilag 16 I tabel 3.7 kan det ses, at skævheden i fordelingerne svinger mellem 0,18 og 0,39. Skævheden viser hvor symmetrisk fordelingen er. Hvis fordelingen er helt symmetrisk omkring middelværdien, vil skævheden være 0. Det ses, at skævheden i alle fordelinger er over nul. Dette betyder, at den højre hale i alle tilfælde er længere end den venstre og fordelingerne derfor er højreskæve. Der vil derfor være større sandsynlighed for, at den totale omkostning ved en hedging strategi er større end middelværdien, end at den er lavere end middelværdien. Det kan bemærkes her, at skævheden er stigende, når intervallet mellem rebalancering øges. Det tyder derfor på, at der er større sandsynlighed for at få større omkostninger ved hedging strategien hvis intervallet mellem rebalancering øges. Med de beskrevne statistiske data, kan det således lade sig gøre, at teste om fordelingerne faktisk kan siges at følge en normalfordeling. Dette kan gøres ved et Jarque-Bera test 4 4 Se Eviewsbilag 1 53

54 for normalitet. Nul-hypotesen om normalfordeling afvises for store værdier i Jarque-Bera testet. Jarque-Bera testet, tester for om kurtosis er lig med 3, og om skævheden er lig med 0. Tabel 3.7 viser resultatet af Jarque- Bera testet. Det kan her ses, at alle tests har en P-værdi på nul, hvilket vil sige, at nul-hypotesen kan afvises for alle fordelinger. Det kan endvidere ses fra tabel 3.7, at varianserne stiger i takt med at intervallet mellem rebalancering øges. Inden en videre fortolkning af dette foretages, er det interessant at se på, om disse forskelle i varianserne er signifikante. Til at undersøge dette udføres fire F-tests for forskel mellem varianser i to populationer. Eftersom at varianserne er stigende, og fordi det vil vise sig, at de fire test er insignifikante, hvilket vil sige at nul-hypoteserne om ens varianser afvises, undlades det at lave test for, om varianserne mellem fx 1dag og 3dage, 1dag og 4dage er ens. Figur 3.20: F-tests: Dobbelt stikprøve for varians. Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 1 dag 2 dage 2 dage 3 dage 3 dage 4 dage 4 dage 5 dage Middelværdi 6, , , , , , , , Varians 0, , , , , , , , Observationer fg F 0, , , , P(F<=f) en-halet F-kritisk en-halet 0, , , , Kilde: Excelbilag 17 Som det ses af figur 3.20 er P-værdien nul for alle fire test. Dette betyder, at en nul-hypotese om ens varianser kan afvises for alle fire test. Det kan dermed konkluderes, at der er en signifikant forskel i varianserne på de totale omkostninger, alt afhængig af om man vælger at rebalancere sin portefølje hver, hver anden, hver tredje, hver fjerde eller hver femte dag. Den signifikante forskel i varianserne gør, at der er større variation i den totale omkostning desto længere intervallet mellem rebalancering er. Hvis man rebalancerer ofte, vil man derfor have en mindre sandsynlighed for, at de totale omkostninger ved hedging strategien afviger fra den modtagne præmie fra den solgte option. Dette betyder, at desto kortere intervallet mellem rebalancering er, desto mere risikoneutral kan man holde sin portefølje. Dette stemmer også over ens med forudsætningen omkring kontinuert handel i Black-Scholes modellen. Denne konklusion afspejles også i de minimum og maksimum værdier de forskellige strategier kan antage, hvor der for strategien med en dag mellem 54

55 rebalancering er et spænd i omkostningen mellem 3,30 og 11,53, er der ved strategien med 5 dage mellem rebalancering et spænd i omkostningen mellem 1,03 og 18,09. Som hedger er man interesseret i at minimere risikoen ved en investering. Store varianser for de totale omkostninger i en hedging strategi er derfor ikke ønskelige. For bedre at kunne sammenligne de forskellige hedging strategier har vi derfor valgt at opstille et performance mål. Tabel 3.8: performance mål. Dage mellem rebalancering Performance mål 0,10 0,14 0,17 0,20 0,22 Kilde: Excelbilag 16 Tabel 3.8 viser et performance mål for hver af de fem hedging strategier. Performance målet er udregnet som en ratio af standardafvigelsen af de totale omkostninger og den teoretiske optionspris, dvs. den som er udregnet på baggrund af Black-Scholes formlen. Et mindre performance mål betyder her, at strategien performer bedre. Tabel 3.8 viser tydeligt, at performance målet bliver mindre, når intervallet mellem rebalancering mindskes. Det kan derfor konkluderes, at man opnår en bedre hedging strategi ved at holde intervallet mellem rebalancering så lille som muligt. Som det fremgår af tabel 3.7, kan det ses, at middelværdien for den totale omkostning er stigende, når intervallet mellem rebalancering øges. Dette betyder, at det i snit er dyrere at hedge sin portefølje når intervallet mellem rebalancering øges. For at konkludere om denne forskel er signifikant, ville det have været nyttigt at kunne bruge en variansanalyse (Anova) for forskel mellem middelværdier. Denne test kan midlertidigt ikke benyttes, da det viser sig, at forudsætningen omkring ens varianser ikke er opfyldt 5. I stedet er der valgt at opstille konfidensintervaller med et signifikansniveau på 5 %. 5 Nul - hypotesen om ens varianser afvises i et F-test med en P-værdi på 0. Se bilag 3 55

56 Tabel 3.9 Konfidensintervaller for totale omkostninger: Konfidensintervaller Interval min. maks. Overlap ,43 6, ,46 6,47-0, , ,46 6,48-0, , ,46 6,49-0, ,48 6,50 - Kilde: Excelbilag 16 Konfidensintervallerne i tabel 3.9 viser det område, hvori de totale omkostninger med 95 % sikkerhed vil ligge indenfor for hver af de fem strategier. Det kan her ses, at der er overlap i konfidensintervallerne i fem tilfælde. Overlappet betyder, at lige præcis disse middelværdier (totale omkostninger) ikke kan konkluderes at være forskellige. Det kan ses i tabel 3.9, at der kan siges at være forskel i halvdelen af tilfældene, med 95 % sikkerhed, men at strategien med én dag mellem rebalancering er signifikant forskellig fra alle andre strategier. Der er en stigende tendens i middelværdien, når intervallet mellem rebalancering øges. Omvendt vil der således være en faldende tendens i de totale omkostninger, når intervallet mellem rebalancering mindskes. Dette er også at forvente, eftersom at teorien bag Black-Scholes modellen siger, at hvis der rebalanceres kontinuert, vil hedging strategien være selvfinansierende, hvilket betyder, at optionsprisen i tid nul, kan duplikeres ved en delta-hedging strategi som nævnt i afsnit Profit Som nævnt i ovenstående afsnit, vil værdien af en solgt call-option kunne duplikeres ved en hedging strategi der rebalanceres kontinuert, hvis teorien bag Black-Scholes holder. I denne analyse vil det derfor være interessant at se på, hvad profitten er på de fem hedging strategier. Til klarlæggelse af dette, er der anvendt den samme fremgangsmåde som ved analysen af de totale omkostninger. Profitten er således simuleret i Excel ved hjælp af Monte Carlo og Crystal Ball. Profitten er lig med værdien af den solgte option, fratrukket den totale omkostning ved hedging strategien. Hvis Black-Scholes teorien holder og alle forudsætninger er opfyldt, vil det betyde at profitten ved en hedging strategi der rebalanceres kontinuert er lig med den risikofri rente. I denne analyse er købet af de underliggende 56

57 aktier lånebaseret, hvilket gør, at der opstår en omkostning i form af den risikofri rente. Den samlede forventede profit ved en hedging strategi hvor alle forudsætninger er opfyldt, må derfor være lig med nul. Tabel 3.10 viser beskrivende statistik for den simulerede profit. Prisen på den solgte option er ved tid 0 på 6, Profitten kan derfor udregnes som 6,35286 fratrukket den tilbagediskonterede omkostning (TD) ved hedging strategien, jf. tabel 3.7. Tabel 3.10 Statistik for profit. Dage mellem rebalancering Middelværdi -0,08-0,11-0,13-0,13-0,14 Middelværdi (TD) -0,01-0,04-0,04-0,05-0,06 Varians 0,42 0,80 1,21 1,61 1,96 Skævhed -0,19-0,26-0,31-0,35-0,35 Kurtosis 4,49 4,36 4,40 4,44 4,28 Min. -4,67-6,06-7,79-9,06-9,36 Maks. 3,03 3,74 4,32 4,69 5,26 Jarque-Bera 4899, , , , ,39 P-værdi Kilde: Excelbilag 18 Tabellen viser middelværdien for profitten ved de fem hedging strategier ved optionens udløb. Det kan ses, at der er en faldende tendens i profitten, når intervallet mellem rebalancering øges. Dette er meget logisk i og med, at tabel 3.7 viste, at der var en stigende tendens i omkostningerne. Middelværdien (TD) viser profitten ved hedging strategien, når omkostningerne er tilbagediskonteret til tid 0. Dette gøres for at kunne sammenligne prisen på optionen med den totale hedgeomkostning, begge i tid 0. Når der tilbagediskonteres, ses det, at profitten bliver større, men den forbliver dog efter teorien, stadig negativ. Det kan endvidere bemærkes, at der er en negativ profit for alle hedging strategier. Dette hænger fint sammen med teorien bag Black-Scholes som siger, at værdien af en option kan duplikeres ved en hedging strategi med kontinuert rebalancering og at der ikke må være nogen arbitragemuligheder. Den negative profit kommer derfor også nærmere på 0, desto tættere rebalanceringen kommer på at være kontinuer. Desuden kan det ses af tabellen, at de fem fordelinger ikke følger en normalfordeling, da Jarque-Bera testet 6 afvises. Kurtosis er igen højere end 3 her, hvilket betyder tykkere haler, og modsat fordelingerne for de totale 6 Se Eviewsbilag 2 57

58 omkostninger, er disse fordelinger venstreskæve. Minimum og maksimum værdierne, viser også at usikkerheden i hedging strategien bliver større, når intervallet øges, hvilket også kan ses i den stigende varians. Det betyder, at der for alle strategier er større risiko for at få en negativ profit, end en positiv profit. For at vurdere om de negative profitter ved de fem strategier er markant forskellige fra den teoretiske profit på nul, som fås ved kontinuert handel, kan der opstilles fem z-tests. Der opstilles et en-sidet test, eftersom vores forhåndsviden omkring Black-Scholes teorien siger os, at vi ikke vil få en positiv profit. Der testes derfor om middelværdierne er signifikant mindre end nul. Signifikansniveauet i testet vil være 5 %, hvilket giver en kritisk Z-værdi på -1,645. Middelværdien for profitten som testes, er den hvor omkostningerne er tilbagediskonteret til tid 0, hvor optionen blev solgt. Tabel 3.11 Z-tests: Middelværdi=0. Dage mellem rebalancering Middelværdi (TD) -0,01-0,04-0,04-0,05-0,06 Varians 0,42 0,80 1,21 1,61 1,96 Z-obs -4,39-10,59-7,40-6,62-6,81 Kritisk Z-værdi -1,645-1,645-1,645-1,645-1,645 P-værdi Kilde: Excelbilag 18 Tabel 3.11 viser resultatet af de fem tests. Nul-hypotesen siger her, at middelværdierne ikke er markant forskellige fra 0, med et 5 % signifikansniveau. P-værdien, som for alle tests er nul, viser at alle nul-hypoteserne kan afvises. Dette betyder, at den negative profit som ses for alle de fem strategier, alle kan siges at være forskellige fra 0. Dette bekræfter igen teorien om at delta-hedging strategien kun er helt selvfinansierende hvis der rebalanceres kontinuert S&P 500, Nordea, OMX Helsinki I det forrige afsnit blev betydningen af intervallet mellem rebalancering belyst ved hjælp af Monte Carlo simulationer. I dette afsnit vil der blive undersøgt, hvilken betydning intervallet mellem rebalancering har ved at køre en delta-hedging strategi 7 på de udvalgte indeks og aktier, som også blev brugt i analysedelen omkring 7 Se Excelbilag

59 volatilitet. Løbetiden for optionen er 30 handelsdage og løber fra den til den Den risikofri rente er sat til 5 %. De totale omkostninger er udregnet for forskellige strategier, hvor der bruges henholdsvis implicit volatilitet og historisk volatilitet til at bestemme prisen på optionen. Figur 3.21 viser således de totale omkostninger ved en hedging strategi som løber over 30 handelsdage. Den historiske volatilitet er regnet ud på baggrund af henholdsvis 30, 90, 180 og 270 dage. Hedging omkostningerne udregnes for fem forskellige strategier, hvor intervallet mellem rebalancering er henholdsvis én, to, tre, fire og fem dage. Der rebalanceres på den første og den sidste dag ved alle strategier. Figur 3.21 Totale omkostninger for S&P 500. Kilde: Excelbilag 19 Figuren illustrerer tydeligt, at de totale omkostninger ændrer niveau, når der bruges forskellige estimater for volatiliteten, men det er her mere interessant at se, at der er en stigende tendens i de totale omkostninger, når intervallet mellem rebalancering øges. Det ses dog, at der generelt er en høj omkostning ved at rebalancere hver tredje dag og en lavere omkostning, hvis der rebalanceres hver fjerde dag. Den største omkostning fås ved rebalancering hver femte dag. Figuren antyder, at den 30 dages volatilitet er mest følsom for hvilket interval der bruges mellem rebalancering, men den største forskel i omkostningerne afhængigt af valget af intervallet mellem rebalancering findes for den implicitte volatilitet. Her er der en forskel i omkostningerne på $7,57 afhængigt af om der vælges en dag, eller 5 dage mellem rebalancering. 59

60 Figur 3.22 Totale omkostninger for Nordea. Kilde: Excelbilag 19 Figur 3.22 illustrerer de totale omkostninger med forskellige volatilitetsestimater samt forskellige intervaller mellem rebalancering, med Nordea aktien som underliggende aktiv. Det ses igen, at der er niveauforskel, men at forskellen ikke er så stor. Generelt kan det ses, at det samme mønster tegner sig når intervallet mellem rebalancering ændres, uanset hvilket estimat for volatilitet der benyttes. Der er generelt høje omkostninger hvis der rebalanceres hver anden dag, eller hver femte dag. I dette tilfælde er der ikke stor forskel, hvis man vælger at rebalancere hver tredje dag frem for hver dag og det viser sig faktisk, at strategien med rebalancering hver tredje dag præsterer bedre for alle volatilitetsestimater på nær den implicitte. Tendenslinjerne viser tydeligt, at der også her er en stigende tendens i de totale omkostninger, når intervallet mellem rebalancering øges. For Nordea aktien kan det bemærkes, at omkostningerne for alle volatilitetsestimater vil øges med ca. 200 %, hvis den dårligste rebalanceringsstrategi vælges frem for den bedste hvilket er en stor stigning. 60

61 Figur 3.23 Totale omkostninger for OMX Helsinki. Kilde: Excelbilag 19 Figur 3.23 viser som de forrige figurer de totale omkostninger, men her med OMX Helsinki indekset som det underliggende aktiv. Der kan igen ses en stigende tendens i omkostningerne når intervallet mellem rebalancering øges. Det kan bemærkes, at kurverne slår et knæk ved fire dage mellem rebalancering, men at tendenslinjen stadig antyder, at der er en stigende tendens i omkostningerne. Den mindste omkostning findes ved én dag mellem rebalancering, mens den største omkostning findes ved 5 dage mellem rebalancering. Den største forskel i omkostningerne findes mellem én dag og fem dage mellem rebalancering, med 30 dage historisk volatilitetsestimat. Her findes en forskel i omkostningerne ved hedging strategien på ca. 140 %. 61

62 For at illustrere for hvilket volatilitetsestimat, hvor valget af intervallet mellem rebalancering har den største betydning, er figur 3.24 lavet. Figur 3.24 Forskel mellem rebalanceringsintervaller for S&P 500, Nordea og OMX Helsinki, Indeks 30dg=100. Kilde: Excelbilag 19 Figur 3.24 illustrerer for hvilken volatilitet, der er de største udsving i de totale omkostninger mellem de forskellige strategier med forskellige intervaller mellem rebalancering. Figuren viser indekstal, hvor indeks 100 er den maksimale forskel i de totale omkostninger mellem de forskellige rebalanceringsstrategier når der bruges et 30 dages historisk volatilitetsestimat. Dermed kan vigtigheden af intervallet mellem rebalancering bestemmes for de tre indeks/aktierne når volatilitetsestimatet tages i betragtning. Figuren viser, at der for S&P 500 er en faldende forskel i omkostningerne mellem de fem rebalanceringsstrategier, når perioden for den historiske volatilitet øges. Dog er der en lille stigning fra 180 dages historisk volatilitet til 270 dages historisk volatilitet. Forskellen i omkostningerne er således højest for den implicitte volatilitet. For Nordea aktien ses et andet billede. Her ses et lille fald i forskellen mellem omkostningerne når estimatet for den historiske volatilitet øges fra 30 dage til 90 dage, men ellers en stigning når estimatet øges yderligere til 180 og 270 dage. Bruges den implicitte volatilitet, kommer vi næsten ned på indeks 100, som svarer til den samme forskel som det 30 dages historiske volatilitetsestimat. Den 30 dages volatilitet er således det estimat, 62

63 hvor forskellen i omkostningerne er mindst og den 270 dages volatilitet det estimat, hvor forskellen i omkostningerne er størst. Billedet for OMX Helsinki ligner lidt det for Nordea, men med et større fald i forskellen i omkostningerne mellem den 30 dages og den 90 dages historiske volatilitet. Forskellen i omkostninger for den 270 dages historiske volatilitet overstiger således ikke forskellen i omkostningerne for den 30 dages volatilitet. Derfor findes den største forskel i omkostningerne mellem de fem hedging strategier for OMX Helsinki, ved 30 dages historisk volatilitetsestimat og den mindste forskel ved 90 dages historisk volatilitetsestimat. 63

64 Kapitel Konklusion I analysen har vi ud fra vores tre udvalgte indeks/aktier påvist, at Black-Scholes forudsætning der siger, at aktien skal følge en Geometrisk Brownian Motion med et normalfordelt log-afkast og konstant varians, ikke er opfyldt i den virkelig verden. Vores histogrammer af log-afkastet viser alle en tendens til en større samling af observationer omkring gennemsnittet, og at der er flere ekstreme afkast. I virkeligheden vil aktien nærmere følge en leptokurtics fordeling. Det fremgår også tydeligt ud fra figur 3.3, at log-afkastet har tendens til at samle sig i klynger. Man kan altså konkludere at forudsætningen omkring konstant volatilitet ikke holder i den virkelige verden. Dette illustreres også i vores udregning af den historiske volatilitet, hvor det ses, at volatiliteten varierer meget over tid. Den implicitte volatilitet kan heller ikke siges at være konstant jf. afsnit omkring volatilitetssmilet. De to udvalgte perioder for de tre aktier/indeks afspejler to meget forskellige situationer. Sammenhængen mellem afkastet og de udregnede estimater for periode 1, viser en stille periode som også kan aflæses i niveauet for de udregnede volatiliteter. Derimod er periode 2 en mere ustabil periode, hvor volatilitetsniveauet er noget højere. Det bemærkes også, at Nordea adskiller sig fra de to indeks ved at have større udsving i afkastet og volatiliteten, hvilket skyldes at aktien er mindre likvid. Der er også stor forskel i følsomheden for de forskellige estimater, hvor 30 dage historisk volatilitet og den implicitte volatilitet bedst følger udviklingen i afkastet, hvorimod 90, 180 og 270 næsten er konstante for perioden. Dette hænger sammen med antallet af dage estimatet er lavet over, og at det implicitte bliver vurderet i markedet fra dag til dag. Et problem med estimatet for den historiske volatilitet er, at der kan forekomme pludselige fald i volatiliteten, som ikke har sammenhæng med afkastet for perioden. Dette kan være konsekvens af store udsving fra en tidligere periode der falder ud af beregningen. Delta-hedging strategien for de tre indeks/aktier i de to perioder viste, at det har stor betydning hvilket estimat der benyttes. Dette kan konkluderes, da det for hver periode var forskellige estimater der kom tættest på Black-Scholes værdien. Det kan dog ikke konkluderes hvilket estimat der generelt er bedst, da analysen ikke giver et entydigt svar på hvilket estimat for volatilitet der giver den mindste afvigelse mellem Black-Scholes værdien om omkostningerne. 64

65 Analysedel 2 har påvist, at intervallet mellem rebalancering har en betydning for hvor risikoneutral porteføljen kan holdes. Dette kan konkluderes fordi der er påvist en signifikant forskel i varianserne mellem de forskellige strategier. Varianserne er stigende for større intervaller mellem rebalancering, og en større varians giver større usikkerhed omkring udfaldet af hedging strategien. Det kan også konkluderes at de totale omkostninger, samt profitten ved hedging strategierne ikke følger en normalfordeling. Fordelingerne er skæve og har tykkere haler, hvilket bevirker, at der er større sandsynlighed for ekstreme værdier. Det har ikke været muligt, at påvise en signifikant forskel i de gennemsnitlige omkostninger mellem alle strategier, selvom det dog tyder på, at der er stigende omkostninger når intervallet mellem rebalancering øges. Konfidensintervallerne viser, at flere af strategiernes gennemsnitlige omkostninger overlapper hinanden med et signifikansniveau på 5 %. Profitten er faldende når intervallet mellem rebalancering stiger. Analysen viser, at der er en negativ profit ved alle de valgte hedging strategier. Den negative profit viser sig dog, at gå mod nul når intervallet mellem rebalancering går mod nul, hvilket bekræfter teorien bag Black-Scholes modellen. Det kan endvidere konkluderes, at profitten er signifikant forskellig fra nul for alle hedging strategier, selv når omkostningerne er tilbagediskonteret til tid 0. Strategierne kan derfor heller ikke siges, at være selvfinansierende, selv når der rebalanceres hver dag, hvilket også stemmer over ens med teorien omkring Black-Scholes modellen. Delta-hedging strategierne for henholdsvis, S&P 500, Nordea og OMX Helsinki viser alle, at der er en stigende tendens i hedgingomkostningerne når intervallet mellem rebalancering øges, hvilket også indikerer, at små intervaller er at foretrække. Analysen viser også, at der ikke kan siges, at være et fælles volatilitetsestimat hvor forskellen i omkostningerne er størst for de tre indeks/aktier. Ud fra ovenstående konklusioner kan vi konkludere at prisfastsættelsen af optioner i Black-Scholes modellen samt risikostyring vha. delta-hedging er følsomme overfor brud på de undersøgte forudsætninger i markedet. Disse forudsætningsbrud er uundgåelige, hvilket kan stille tvivl om anvendeligligheden af modellen. 65

66 4.2 Kritik af opgave/analyse I vores udregning af den historiske volatilitet, er der medtaget dage hvor afkastet er nul. Om der har været tale om helligdage eller dage hvor lukkekursen har været den samme som dagen før, har vi ikke kunnet fastslå for alle tilfældene og vi har derfor valgt at tage alle disse dage med. Dette kan have haft en indvirkning på volatilitetsestimaterne. I analysen har vi antaget at der er 252 handelsdage på et år, selvom dette kan afvige mellem de forskellige datasæt. Analysedel 1 giver ikke nogen ensidig konklusion, eftersom at stikprøvestørrelsen af indeks/aktier ikke er tilstrækkelig stor. 66

67 Litteraturliste Andersen, Allan Sall Tang: Risikoneutrale tætheder fra optioner: Teori og anvendelser, 2005 Bøye, Erik M.: Statistik Hjælperen, Swismark, Chriss, Neil A.: Black Scholes and Beyond: Option Pricing Models, McGraw-Hill Companies, Cont, Rama: Empirical properties of asset returns - stylized facts and statistical issues, Quantitative Finance, Vol. 1, 2001, s Fischer Black; Myron Scholes: The pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of Political Economy, vol. 81, No. 3 (May-jun., 1973) side Heij, Christian m.fl. 2004: Econometric Methods with Application in Business and Economics, Oxford University Press, Hull, John C.: Options, Futures, and other Derivatives, 7. Udgave, Pearson/Prentice Hall, Hull, John C.: Fundamentals of Futures and Options Markets, 5. Udgave, Pearson/Prentice Hall, Keller, Warrack: Statistics for management and Economics, 6. Udgave, Brooks/Cole Thomson, Korgaard, Kasper m.fl.: Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet, Mandelbrot, Benoit: The Variation of Certain Speculative Prices, The Journal of Business, Vol. 36, No. 4, 1963, s Nandi, Saikat m.fl.: Issues in hedging options positions, Economic review Federal Reserve Bank of Atlanta; 1. Kvartal 2000 Vine, Simon: Options trading strategy and risk management, John Wiley & Sons, Inc Wilmott, Paul: Introduces Quantitative Finance, John Wiley & Sons, 2 nd editon,

68 Bilagsoversigt Bilag: Bilag 1 - Det daglige log-afkast for OMX Helsinki i perioden til Bilag 2 - Figur: Det daglige log-afkast for Nordea i perioden til Bilag 3 F-test: Dobbelt stikprøve for varians Excelbilag vedlagt på cd-rom: Excelbilag1 - Volatilitetssmilet Excelbilag2 - Histogrammer Excelbilag3 - Afkastet Excelbilag4 - Volatilitet - S&P 500 Excelbilag5 - Delta-hedging - S&P - periode1 Excelbilag6 - Delta-hedging - S&P - periode2 Excelbilag7 - Volatilitet Helsinki Excelbilag8 - Delta-hedging - Helsinki - periode1 Excelbilag9 - Delta-hedging - Helsinki - periode2 Excelbilag10 - Volatilitet - Nordea Excelbilag11 - Delta-hedging - Nordea - periode1 Excelbilag12 - Delta-hedging - Nordea - periode2 Excelbilag13 - Aktiepris Excelbilag14 - LN aktiepris 68

69 Excelbilag15 - Omkostninger Excelbilag16 - Beskrivende statistik - Omkostninger Excelbilag17 - Test for varians Excelbilag18 - Beskrivende statistik profit Excelbilag19 - Grafer Excelbilag20-MC - 1dag Excelbilag21 - MC - 2dage Excelbilag22 - MC - 3dage Excelbilag23 - MC - 4dage Excelbilag24 - MC - 5dage Excelbilag25 - Helsinki - 1dag Excelbilag26 - Helsinki - 2dage Excelbilag27 - Helsinki - 3dage Excelbilag28 - Helsinki - 4dage Excelbilag29 - Helsinki - 5dage Excelbilag30 - Nordea - 1dag Excelbilag31 - Nordea - 2dage Excelbilag32 - Nordea - 3dage Excelbilag33 - Nordea - 4dage Excelbilag34 - Nordea - 5dage Excelbilag35 - S&P - 1dag 69

70 Excelbilag36 - S&P - 2dage Excelbilag37 - S&P - 3dage Excelbilag38 - S&P - 4dage Excelbilag39 - S&P - 5dage Eviewsbilag: Eviewsbilag1 - Jarque-Bera - Omkostninger Eviewsbilag2 - Jarque-Bera - Profit 70

71 Bilag Bilag 1 Figur: Det daglige log-afkast for OMX Helsinki i perioden til Dagligt afkast Log-afkast 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02-0,02 0-0,04-0,06-0,08-0, Perioden til Bilag 2 Figur: Det daglige log-afkast for Nordea i perioden til Dagligt afkast Log-afkast 0,2 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0, Perioden til

72 Bilag 3 F-test: Dobbelt stikprøve for varians 1 dag 5 dage Middelværdi 6, , Varians 0, , Observationer fg F 0, P(F<=f) en-halet 0 F-kritisk en-halet 0,