Bachelorprojekt 211 Simulering af ulineære trækprøveforsøg i Ansys Workbench 13. Søren Mathiassen Esbjerg Institute of Technology 9-6-211
Titelblad Titel: Simulering af ulineære trækprøveforsøg i Ansys Workbench 13. Tema: Bachelorprojekt Sted: Esbjerg Institute of Technology Projektperiode: 15. april - 9. juni 211 Gruppe: BM6-2-f11 Vejleder: Søren Heide Lambertsen Bivejleder: Anders Schmidt Kristensen Antal sider: 35 Antal appendiks: 1 Der rettes en særlig tak til de følgende for råd, hjælp og vejledning: Søren Heide Lambertsen Søren Hansen (1. semester) Søren Mathiassen I
Resume Som det også fremgår af titlen på projektet, er målet at simulere et ulineært trækprøveforsøg i Ansys Workbench 13.. Formålet med projektet er, gennem opnåelse af målet, at få kendskab til udførelsen af trækprøveforsøg samt det mest grundlæggende indenfor både lineære og ikke mindst ulineære FE analyser. Gennem forsøgene er det lykkedes at fastsætte de nødvendige materialedata samt at opnå et tilfredsstillende kendskab til udførelsen af forsøgene. Efterfølgende gennemgås det mest grundlæggende indenfor lineære FE analyser, som f.eks. opstilling af ligevægtsligningen samt udfyldning og assemblering af stivhedsmatricen for systemer med flere elementer (MDOF). I den ulineære del ligges der vægt på opsætning multilineære analyser i Ansys Workbench. Under denne proces konstateres en mulig fejl i Ansys under multilineære analyser, og det vil her blive forklaret hvori fejlen ligger, og hvordan den omgås. Det vises ydermere, hvordan brugen af computerkraft kan reduceres ved anvendelse af symmetri samt Ansys' eget modelleringsværktøj. Slutteligt vises det, hvordan målet, som er at simulere en ulineær trækprøve i Ansys Workbench, er nået i form af en matchende analyse. Der konkluderes i den forbindelse på, om formålene med projektet er efterlevet. II
Abstract The primary target for this project is to simulate a nonlinear static tensile test in Ansys Workbench 13.. The purpose is to gain knowledge within performing a static tensile test, and the most basic content in both linear and nonlinear FE analysis. By performing the static tensile tests the necessary material data has been established, and the knowledge by performing these experiments is taken to a satisfying level. Next the basic elements of linear FE analysis such as constructing the equilibrium equation and assembling the stiffness matrix is reviewed. The nonlinear part of the project is focused primary on the setup of a multilinear analysis in Ansys Workbench. In this process an possible error occurred in Ansys, and it will be further explained were the error lies and how to avoid it. It is also shown how computer use can be reduced by using symmetry and the internal modeling tool. Finally, it shows how the primary target for the project is reached, by performing a satisfying analysis that matches the results from the tensile test. III
Forord Dette bachelorprojekt er udarbejdet af Søren Mathiassen (BM6-2-f11) i perioden 14. april til 9. juni 211. Projektarbejdet er foregået på Esbjerg Institute of Technology, Niels Bohrs vej 8, 67 Esbjerg. I samråd med vejledere Søren Heide Lambertsen og Anders Schmidt Kristensen blev projektet valgt som forberedelse på 7. semester. Det vil sige, at projektet er ment som et læringsprojekt, hvor formålet er at berøre nogle af de emner, der vil blive gået i dybden med samt undervist i på 7. semester. I rapporten udføres en række ulineære trækprøveforsøg med henblik på at simulere disse og deres materialeegenskaber i Ansys Workbench 13., hvorfor projekttitlen vælges til 'Simulering af ulineære trækprøveforsøg i Ansys Workbench 13.' Alle kilder er angivet med [a.b], hvor a er hovedkilden og b underkilden. Som reference vil a og b være angivet som tal. Der henvises løbende til appendiks, som findes bagest i rapporten. Eksempel: Appendiks 1 På medfølgende CD findes: En kopi af rapporten i PDF format En mappe med Excel regneark indeholdende forsøgsdata En mappe med Ansys Workbench filer IV
Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 1 2. Forsøg... 2 2.1. Beskrivelse af trækprøveforsøgene... 2 2.1.1. Forsøgsemnerne... 3 2.1.2. Forsøg 1 og 2... 3 2.1.3. Forsøg 3... 5 2.1.4. Forsøg 4... 6 2.1.5. Delkonklusion... 6 2.2. Strain gauges... 7 2.2.1. Virkemåde... 7 2.3. Opkobling af data-logger... 9 2.4. De anvendte strain gauges... 1 3. FEM... 11 3.1. Lineære FE analyser... 12 3.1.1. Stang- og Bjælkeelementer... 13 3.1.2. Solidelementer... 18 3.1.3. Lineært verifikationseksempel... 18 3.2. Ulineære FE analyser... 2 3.2.1. Ulinearitet for forsøg 3... 21 3.2.2. Newton-Raphson metoden... 23 3.3. Ulineær analyse i Ansys Workbench... 24 3.3.1. Opstilling af model... 24 3.3.2. Løsning af modellen... 3 3.3.3. Delkonklusion... 33 4. Konklusion... 34 V
1. Indledning Som det også er beskrevet i forordene til rapporten, er dette ment som et læringsprojekt. Hovedvægten vil blive lagt på udførelsen af trækprøveforsøg samt lineære og ulineære FE modeller. Formålet med projektet er: At opnå kendskab til udførelsen af trækprøveforsøg, inklusiv brugen af strain gauges, trækprøvemaskinen samt opsamling af data At opnå forståelse for det mest grundlæggende indenfor lineære FE analyser så som opstilling af ligevægtsligning samt forskellige elementtyper og deres anvendelsesområde At opnå forståelse for det mest elementære indenfor ulineære FE analyser som f.eks. typer af ulinearitet, Newton-Raphson metoden og opsætning af ulineære analyser i Ansys Workbench Målet med projektet er at simulere et af de ulineære trækprøver i Ansys Workbench. Da der her er tale om materiel ulinearitet, forventes det, at materialemodellen fra forsøget overføres til simuleringen, således at resultaterne stemmer overens. Udgangspunktet for projektet er en række trækprøveforsøg, som udføres i laboratoriet på Esbjerg Institute of Technology. Dataene fra forsøgene vil blive gennemgået og evalueret. Udførelsen af forsøgene vil også blive beskrevet, inklusiv brugen af strain gauges, opsamling af data osv. Herefter følger et afsnit om FEM, som er en forkortelse af 'Finite Element Method'. Afsnittet er opdelt i en lineær og en ulineær del. I den lineære del vil det mest grundlæggende i arbejdet med FE modeller blive gennemgået og afsluttet med et lineært verifikationseksempel i Ansys Workbench. Den ulineære del vil tage udgangspunkt i et af de ulineære trækprøveforsøg. Her vil der blive gået i dybden med opsætningen af en ulineær analyse i Ansys Workbench, og i den forbindelse konstateres også en mulig fejl i Ansys Workbench 13.. Herefter vil resultaterne fra analysen blive sammenlignet med forsøget. Slutteligt vil der blive konkluderet på, hvorledes målet samt formålene for projektet synes opfyldt. 1
2. Forsøg I dette afsnit gennemgås de udførte trækprøveforsøg. Først beskrives selve udførelsen af forsøgene, hvorefter resultaterne vil blive gennemgået. Da der anvendes strain gauges til forsøgene følger også en beskrivelse af disse samt deres virkemåde. 2.1. Beskrivelse af trækprøveforsøgene I det følgende beskrives en række udførte trækprøveforsøg. Formålene med forsøgene er at opnå kendskab til: - Trækprøvemaskinen i laboratoriet - Brugen af strain gauges - Brugen af LabVIEW Målet er at fastsætte: - Poissons forhold ν - Flydespændingen σ y - Elasticitetsmodulet E Det forventes for alle forsøgene at Poissons forhold ligger i intervallet,25-,31, og at E-modulet ligger på ca. 21 MPa. Figur 1 - Viser trækprøvemaskinen af mærket Lloyd, som har indbygget vejecelle samt flytningsmåler. Trækprøvemaskinen er af mærket Lloyd, og har indbygget vejecelle samt flytningsmåler (se Figur 1). Flytningsmåleren måler afstanden mellem kæberne, og tager derfor ikke højde for en evt. forskydning af emnet i kæberne, hvorfor der anvendes strain gauges. Da Poissons forhold ønskes fastsat, skal tøjningen måles i længde- og bredderetningen. De målte tøjninger opsamles i LabVIEW, og kraften måles med vejecellen på trækprøvemaskinen. Med hen- 2
blik på at sammenflette de opsamlede data køres trækprøverne i intervaller. Alle forsøgsresultaterne er indtastet i Excel, og findes i appendiks 1. 2.1.1. Forsøgsemnerne Til forsøg 1-3 anvendes præfabrikerede 'dogbones' af ukendt ståltype. De ydre dimensioner er givet i millimeter på Figur 2. Figur 2 - Viser en skitse af de til forsøg 1-3 anvendte 'dogbones', hvor målene er angivet i millimeter. De 13mm er den homogene del, som vil blive anvendt til beregning af data. Det fjerde og sidste trækprøveforsøg udføres med et stykke fladstål 3x6mm ståltype S235JR. Det præcise tværsnit for alle emnerne er målt med mikrometerskrue, og kan ses i Tabel 1. Tabel 1 - Viser dimensionerne for den homogene del af forsøgsemnerne. 2.1.2. Forsøg 1 og 2 Til forsøg 1 og 2 anvendes som tidligere nævnt præfabrikerede dogbones af ukendt ståltype. Tøjningerne måles med 2 enkelt strain gauges som vist på Figur 3. En nærmere gennemgang af strain gaugene følger i afsnit 2.2. Figur 3 Viser begge sider af det ene af de to dogbones, som anvendes til forsøg 1 og 2. 3
Gaugene er centreret så vidt muligt ift. både længden og bredden af emnet. Kraften øges i steps af 2 kn, og tøjningen aflæses, hver gang kraften øges. Resultaterne af forsøgene ses i Tabel 2. Da tværtøjningen kendes til hver lasttilfælde, regnes der med varierende tværsnit. Tabel 2 - Viser resultaterne fra forsøg 1 og 2, hvor Spændingerne og E-modul er beregnet ud fra varierende tværsnit. Følgende formler er anvendt for beregning af Poissons forhold (ν), spænding (σ) samt E-modul (E): ν = ε ε æ (1.1) σ = F A (1.2) E = σ ε æ (1.3) 4
Som det ses i Tabel 2, ligger Poissons forhold væsentligt over det forventede for begge forsøg. E- modulet ligger tæt på de forventede 21 MPa for en kraft på 2 kn og 4 kn, men falder derefter. Arbejdskurverne for forsøgene ses på Figur 4. Da der ikke findes en tydelig flydegrænse, fastsættes flydespændingen vha. σ p,2 spændingen, som er den spænding der giver,2 % plastisk deformation [1.1]. Flydespændingen bliver dermed ca. 15 MPa. Figur 4 - Viser arbejdskurven for forsøg 1 og 2. Linjen for,2% plastisk tøjning er også indtegnet med henblik på fastsættelse af flydesåændingen. Afvigelsen i Poissons forhold vurderes umiddelbart at være for stor til at være materialerelateret. Der kigges derfor på udførelsen af forsøgene, og da der til forsøg 1 og 2 er anvendt enkelt strain gauges, som kan være drejet ift. hinanden, udføres et nyt forsøg. 2.1.3. Forsøg 3 Til forsøg 3 anvendes en vinkelrosette strain gauge, med henblik på at sikre en 9º vinkel mellem de målte tøjninger. Resultatet af forsøget ses i appendiks 1. Det gennemsnitlige Poissons forhold er,42, og det konstateres dermed, at det stadig ligger væsentligt over det forventede. 5
2.1.4. Forsøg 4 Med henblik på at udelukke evt. fejl i måden forsøgene udføres på, udføres endnu et forsøg, denne gang med et andet materiale. Til prøve 4 anvendes derfor et 3x6mm fladstål af ståltype S235JR. Ligesom til forsøg 3 måles tøjningerne med en vinkelrosette strain gauge, og kraften øges i steps af 2 kn. Resultatet af forsøget ses i Tabel 3. Tabel 3 Viser resultatet af forsøg 4. Her ses det, at både Poissons forhold og E-modulet ligger tæt på det forventede. Hvad angår flydespændingen så kan den ikke fastsættes ud fra dette forsøg. Det skyldes, at trækprøvemaskinen kun kan trække med 5 kn, og derfor ikke når over en spænding på 264,11 MPa. At flydespændingen for S235JR ligger over 235 MPa kan skyldes den sikkerhedsfaktor som stålproducenterne anvender under produktionen. 2.1.5. Delkonklusion Ud fra forsøg 4 kan det konkluderes, at den store afvigelse i Poissons forhold samt den lave flydespænding for forsøg 1-3 er materialerelateret. Forsøgsmetoden hvor kraften påføres i steps er også brugbar, selvom det kan være et problem at fastsætte flydespændingen med de forholdsvis få antal samplinger. Derudover vurderes både formålene og målene for forsøgene til at være opnået. 6
2.2. Strain gauges I dette afsnit vil strain gaugens virkemåde blive gennemgået ud fra specifikationerne i TMLs produktkatalog [2]. Derefter gennemgås opkoblingen af data-loggeren samt et eksempel på specifikationer for en af de i afsnit 2.1 anvendte strain gauges. En strain gauge er udformet som vist på Figur 5, og består af følgende [3.1]: a. Er den aktive gauge længde b. Isolerende bag materiale c. Ende loops d. Aktivt grid som består af metaltråde e. Centreringsmærker f. Ende loops g. Loddeøer Når en strain gauge udsættes for en tøjning, forlænges eller forkortes metaltrådene i det aktive grid. Ved en forlængelse af disse tråde sker der en forøgelse af modstanden gennem strain gaugen, og det omvendte er tilfældet for en negativ tøjning. Figur 5 - Viser en enkelt strain gauge. De tilhørende forklaringer ses til venstre [3.1]. 2.2.1. Virkemåde En strain gauge virker ved, at modstanden (R) gennem den ændres når testemnet udsættes for en tøjning. Variationen i modstanden (ΔR) er direkte proportional med tøjningen (ε): ε = L L = R R K (1.4) K er gauge faktoren, som beskriver forholdet mellem tøjningen og den relative ændring i modstand gennem strain gaugen. 7
Da modstandsændringen over strain gaugen er meget lille ift. til modstanden, anvendes en Wheatstone bridge. En Wheatstone bridge kan anvendes på tre forskellige måder, som det ses på Figur 6. Figur 6 - Viser de tre forskellige typer Wheatstone bridge. (A) En quarter bridge med én variabel modstand. (B) En half bridge med to variable modstande. (C) En full bridge med fire variable modstande [2.1]. Til forsøgene anvendes en quarter bridge, hvorfor der her følger en gennemgang af algoritmen for spændingsvariationen over en quarter bridge. E er broens spænding, og e udgangsspændingen som fås ved: e = R R R R E (1.5) (R + R )(R + R ) Hvis strain gaugens modstand er R+ΔR og R=R 1 = R 2 =R 3 =R 4, bliver spændingsvariationen Δe: e = Og da R er meget større end ΔR, omskrives ligning 1.6 til: R 4R + 2 R E (1.6) e = R 4R E (1.7) Fra ligning 1.4 haves at ΔR/R=Kε, og dermed kan ligning 1.7 omskrives til: e = E 4 Kε (1.8) Udtrykket er gældende for en quarter bridge. For en half bridge multipliceres med 2 og for en full bridge med 4. 8
2.3. Opkobling af data-logger Til forsøgene udført i afsnit 2.1 er anvendt en data-logger NI 9237 (se Figur 7). Loggeren har fire porte med hver to interne modstande til direkte opkobling af en half bridge. Til forsøgene anvendes en quarter bridge, da de to strain gauges er koblet på hver deres kanal. Opkobling af en quarter bridge kræver, at der monteres en ekstern modstand. Figur 7 - (A) Viser data-logger NI 9237. (B) Viser pin kodningen for en af de fire porte på NI 9237. (C) Viser opkoblingsskema for NI 9237. På Figur 7 B og C ses hhv. pin kodning og opkoblingsskema for en full- eller half bridge. Opkoblingen er lavet via en skrueterminal på følgende måde (se Figur 8): - Strain gaugen kobles på EX+ og AI+, hvilket vil sige pin 6 og 2 - Den eksterne modstand kobles på EX- og AI+, som er pin 7 og 2 - Den ene modstand er koblet på SC i begge ender, hvorfor pin 1 og 2 samt 7 og 1 er koblet. SC delen er til shunt kalibrering Figur 8 - Viser skrueterminalen med opkobling til en quarter bridge. De målte tøjninger opsamles i programmet LabVIEW og indtastes direkte i Excel. 9
2.4. De anvendte strain gauges De anvendte strain gauges er af mærket TML. Til forsøg 1 og 2 er der brugt enkelt gauges med længderne 6mm og 2mm. Til forsøg 3 og 4 er anvendt en rosette med to gauges i en 9 vinkel, og det er denne type, der vil blive anvendt i det følgende til forklaring af specifikationer. Figur 9 - Viser etiketten fra de til forsøg 3 og 4 anvendte strain gauges. På en pakke med strain gauges findes en etikette med specifikationer (se Figur 9). Typen eller kodningen skal forstås således [2.2]: - F betyder, at gaugene er til almindelig brug uden specielle krav til egenskaberne - CA placerer typen i gruppen, der består af 2 strain gauges. Derudover siger CA noget om udformningen altså at gaugene sidder i en vinkel af 9 osv. - 6 betyder at gaugene er 6mm lange - 11 placerer gaugene i gruppen anvendelig til ferritisk stål Derudover er gaugenes modstand, gauge faktor, antal samt temperaturkorrektionsfaktoren angivet. 1
3. FEM Som det også er nævnt i indledningen til denne rapport, er målet for projektet at simulere et af de ulineære trækprøveforsøg i Ansys Workbench. Ansys anvender FE modeller til løsning af statiske og dynamiske problemer, hvorfor hovedtrækkene i 'Finite Element Method' (FEM) vil blive gennemgået i det følgende. Afsnittet er opdelt i en lineær og en ulineær del, som har hver deres formål. Den lineære del er udført med henblik på at beskrive det grundlæggende i elementmetoden. Egenskaberne for stang- og bjælkeelementer vil blive gennemgået inklusiv opstilling af ligevægtsligningen for et system. Her forklares bl.a. hvordan assemblering af den globale stivhedsmatrice for et system med flere elementer udføres. Ved statiske analyser i Ansys anvendes ofte solidelementer, hvorfor de hyppigst anvendte af disse også gennemgås. Som afslutning på den lineære del udføres et verifikationseksempel af en lineær analyse i Ansys. Dette gøres ud fra den lineære trækprøve i forsøg 4 samt en håndberegning, som begge vil blive sammenlignet med Ansys analysen. Selve opsætningen af analysen vil ikke blive gennemgået, men kan findes på medfølgende CD. Grunden til dette er, at der i den ulineære bliver gået dybden med netop opsætningen af en Ansys analyse. I den ulineære del gennemgås først hovedtrækkene ved denne type analyser. Dette gøres blandt andet med udgangspunkt i det ulineære forsøg 3. En af mulighederne for løsning af en ulineær analyse er Newton-Raphson metoden, hvorfor denne vil blive gennemgået. Slutteligt opstilles den ulineære materialemodel for forsøg 3. Her vil der blive gået i dybden med opsætning af materialedata, geometri, randbetingelser osv. Her bliver der også konstateret en mulig fejl i Ansys Workbench 13., hvor det også beskrives hvordan denne fejl omgås. Til sidst sammenlignes resultaterne fra analysen med dataene fra trækprøven. 11
3.1. Lineære FE analyser Lineære elastiske analyser kan i mange tilfælde være fyldestgørende for løsning af et statisk eller dynamisk problem. De vigtigste forudsætninger for brugen af lineære analyser er, at der er tale om små flytninger/drejninger, samt at spændingerne i materialet ikke overstiger flydespændingen. Lineær elasticitet medfører, at der er proportionalitet mellem laster og flytninger, hvilket gør at superpositionsprincippet er gældende. Som udgangspunkt arbejder Ansys ud fra lineære elastiske materialemodeller. Det betyder, at materialet opfører sig lineært elastisk, selvom flydespændingen overskrides, og at der altid er proportionalitet mellem spændinger og tøjninger. I det følgende gennemgås teorien bag lineære elastiske FE modeller. Der tages udgangspunkt i forsøg 4 fra afsnit 2.1, da dette forsøg udelukkende foregår i det elastiske område. Figur 1 - Viser arbejdskurven for forsøg 4 som udelukkende foregår i det elastiske område. På Figur 1 ses arbejdskurven fra forsøg 4. For en lineær elastisk analyse vil arbejdskurven fortsætte med samme hældning (E) uanset størrelsen på kraften/spændingen. Arbejdskurven er givet ved Hookes lov: σ = E ε (1.9) 12
Trækprøven kan beskrives som en bjælke med charniér i den ene ende og en aksial kraft i den anden som vist på Figur 11. Figur 11 - Viser et FLD af trækprøven med fladstål. Hvis fladstålet betragtes som en fjeder med stivheden k og én frihedsgrad svarende til den aksiale flytning i enden, kan systemet beskrives ud fra en anden form af Hookes lov: Den aksiale stivhed for et bjælkeelement er givet ved: F = k x (1.1) k = EA L (1.11) En lineær elastisk analyse i et FE program som f.eks. Ansys Workbench vil løse systemet ved at opdele det i flere elementer. Dermed bliver systemet til et MDOF med n antal frihedsgrader, og derfor omskrives ligning 1.1 til: [K] {D} = {R} (1.12) Stivhedsmatricen K er en nxn matrice, mens flytningsvektoren D samt lastvektoren R er nx1. 3.1.1. Stang- og Bjælkeelementer Et stangelement har 2 DOF bestående af to aksiale flytninger som vist på Figur 12. Dermed bliver stivhedsmatricen for stangelementet en 2x2 matrice. Figur 12 - Viser et stangelement med 2 aksiale flytninger. 13
Et standard bjælkeelement med 6 DOF ses på Figur 13. Dimensionen af stivhedsmatricen er lig antal frihedsgrader og K bliver derfor en 6x6 matrice. Figur 13 - Viser et standard bjælkeelement i planet med 3 DOF i hver knude [4.1]. Stivhedsmatricen for bjælkeelementet kan udfyldes ved at betragte 6 forskellige specialtilfælde, hvor resultatet allerede kendes [4.1]. Hvis for eksempel tværflytningen i knude 1 (w 1 ) udsættes for en flytning på 1, udfyldes 2. søjle i stivhedsmatricen, med de kræfter der skal til for at holde systemet i ligevægt. Den komplette stivhedsmatrice for et 6 DOF bjælkeelement bliver dermed: Hvis man betragter fladstålet og simplificerer det til et stangelement som på Figur 11, er der for håndberegninger ikke umiddelbart noget belæg for at opdele denne i flere elementer. Havde fladstålet derimod været med varierende tværsnit, eller hvis flytningen i et specifikt snit ønskes bestemt, vil flere elementer blive en nødvendighed. Et eksempel på varierende tværsnit kunne være et konisk emne som vist på Figur 14. Figur 14 - Viser et fast indspændt konisk emne, som bliver udsat for en aksial kraft F. 14
Ved anvendelse af elementmetoden opstilles en diskretiseret model. Det koniske emne kunne evt. opdeles i 3 elementer med hver deres tværsnit som vist på Figur 15. Figur 15 - Viser det koniske emne inddelt i 3 elementer. I et system som dette med kun aksiale kræfter og flytninger vil frihedsgraderne også kun være repræsenteret i form af aksiale flytninger svarende til stangelementer som vist på Figur 16. Figur 16 - Viser det koniske element som er inddelt i 3 stangelementer med hver deres tværsnit. For eksemplets skyld medtages i det følgende også tværflytningen samt drejningen svarende til bjælkeelementet på Figur 13. Med henblik på opstilling af den globale stivhedsmatrice for et bjælkesystem af det koniske emne udføres her en assemblering. De 3 elementer har tilsammen fire knuder med hver 3 DOF, hvorfor stivhedsmatricen bliver en 12x12 matrice. Hvis frihedsgraderne nummereres fra 1-12 startende fra venstre med rækkefølgen u-w-θ, deler elementerne 1 og 2 frihedsgraderne 4, 5 og 6 osv. Hvis stivhedsmatricen for hver enkelt element opdeles i fire 3x3 matricer tilhørende hver knude, indsættes de enkeltvis i den globale stivhedsmatrice på følgende måde: 15
Det forekommer også, at rækkefølgen af knuder ikke kører kronologisk fra venstre mod højre. For eksemplets skyld byttes der om på knude 2 og 4, således at rækkefølgen bliver 1-4-3-2: Under assembleringen af den globale stivhedsmatrice adderes stivheden i de enkelte celler. Flytningsvektoren for systemet ovenfor hvor knude 2 og 4 er ombyttet, opstilles således: u w θ u w θ u w θ u w u D = = u u θ Systemet er fast indspændt, og derfor bliver flytningerne i knude 1 nul. Som det også konstateredes tidligere, forekommer der kun aksiale flytninger, når systemets egenvægt ikke medregnes, og derfor bliver drejningerne samt tværflytningerne også nul. Lastvektoren indeholder ydre laster samt reaktioner, og ser for det aktuelle system således ud: R = R R R F = R F 16
Dermed kan det samlede ligningssystem opstilles. Den komplette stivhedsmatrice er ikke medtaget: [K] u u = u R F (1.13) Systemet kan nu reduceres til fire ligninger med fire ubekendte, ved at fjerne de elementer der har at gøre med tværflytninger samt drejninger. Så er systemet tilbage på den form, som man havde fået ved at betragte systemet som bestående af stangelementer: k k k k R k k k k u = (1.14) k k k k u k k k k u F Systemet kan løses ved at reducere K til en 3x3 matrice tilhørende knude 4, 3 og 2 og derudfra finde de tre flytninger: u k k k k k k u = k k k u F u k k k u = k k k u k k k (1.15) F Når flytningerne er fundet, findes reaktionen R v : u R = [k k k k ] (1.16) u u Alternativt kan systemet løses vha. Gauss elimination, hvor K reduceres til en øvre triangulær matrice. Systemet løses derved nedefra ved først at finde u 2 og derefter lave baglæns substitution [5.1]. 17
3.1.2. Solidelementer Figur 17 - Viser to forskellige solide elementtyper brick og tetrahedron. Brick elementet er vist både med og uden midtknuder [6.1]. I forbindelse med statiske og dynamiske analyser i Ansys Workbench findes der en række forskellige elementtyper [6.1]. De hyppigst anvendte er solidelementer. De to mest brugte typer af solidelementer er brick eller tetrahedroner (se Figur 17). Elementerne findes både med eller uden midtknuder. Elementer med midtknuder kaldes for 2. ordens elementer, og har en større nøjagtighed end elementer uden midtknuder. Ulempen ved elementer med midtknuder er, at antallet af frihedsgrader gør analyserne tungere og dermed mere tidskrævende. Ansys Workbench arbejder med 3 DOF pr knude (flytning i x-, y- og z-retning), og derfor har brick elementerne hhv. 24 og 6 DOF. Det vil sige, at elementet med midtknuder har 2½ gange så mange DOF som elementet uden. Tetrahedron elementer anvendes ofte ved komplekse geometrier som f.eks. rundinger. 3.1.3. Lineært verifikationseksempel Med henblik på at verificere brugen af lineære analyser i Ansys Workbench udføres et verifikationseksempel (se medfølgende CD). Emnet er et stykke 3x6mm fladstål svarende til forsøg 4 i afsnit 2.1. E-modulet er sat til 21 MPa. Analysen udføres som en trækprøve med forskellige belastninger svarende til forsøget. Resultatet af analysen samt forsøget ses i Tabel 4, og arbejdskurverne er plottet sammen på Figur 18. Tabel 4 - Viser resultaterne af forsøg 4 sammenlignet med tilsvarende lineære Ansys analyser. 18
Figur 18- Viser et plot af arbejdskurverne for hhv. forsøg og Ansys analyse af fladstålet. Det ses, at spændingerne og tøjningerne for hhv. forsøg og Ansys analyse ligger tæt på hinanden. Afvigelsen skyldes, at E-modulet for forsøget varierer, og dette er ikke tilfældet for analysen, hvor E-modulet er sat til 21 MPa. Det gennemsnitlige E-modul fra forsøget er 212 MPa, og dette burde imidlertid give en større hældning end for analysen (se appendiks 1). Dette kan forklares ud fra unøjagtigheder i de målte tøjninger i starten af forsøgte, hvor E-modulet ved 2 kn er 312 MPa. Det gennemsnitlige E-modul for forsøg 4 uden første sampling ved 2 kn er beregnet til 28 MPa, hvilket forklarer denne afvigelse. Som ekstra verifikation udføres her en håndberegning af den i forsøg 4 udførte trækprøve. De anvendte data er: Stivheden for et 3x6mm fladstål er: E = 21 MPa A = 189,45 mm L =,25 m F = 5 1 N k = EA N 21 1 L = m 189,45 1 m = 159,14 1 N,25 m m (1.17) 19
Og så kan den totale flytning bestemmes ud fra Hookes lov: F = k x x = F k = 5 1 N 159,14 1 N =,3142 m (1.18) m Derefter beregnes tøjningen ud fra den totale længde: Og spændingen findes ved Hookes lov: ε = L,3142 m = =,1257 (1.19) L,25 m σ = E ε = 21 1 N m,1257 = 263,92 N 1 = 263,92 MPa (1.2) m Alternativt kunne spændingen også bestemmes ud fra kraften og arealet. Derefter kunne tøjningen bestemmes ved en omskrivning af ligning 1.2. Hvis den fundne spænding samt tøjning sammenlignes med resultaterne for 5 kn i Tabel 4, ses det at de matcher 1% med Ansys analysen. Grunden til at denne forholdsvis simple beregning kan beskrive analysen, er at der er tale om en homogen stang (fladstål). Dette gør, at fladstålet kan betragtes som en fjeder, og at spændingsfordelingen er ens over hele geometrien. 3.2. Ulineære FE analyser I dette afsnit gennemgås hovedtrækkene i ulineære FE analyser. Den teoretiske del er udført i henhold til 'Concepts and Applications of Finite Element Analysis' kapitel 17.1 og 17.2 [5.2]. Eksemplerne i afsnittet tager udgangspunkt i den ulineære trækprøve fra forsøg 3 (se appendiks 1). Selvom lineære analyser ofte kan være fyldestgørende for løsning af statiske og dynamiske problemstillinger, bliver ulineære FE analyser mere almindeligt anvendte. Dette skyldes, at den nødvendige computerkraft samt software er blevet tilgængelig til denne type analyse. Ulinearitet medfører, at der ikke længere er proportionalitet mellem den påsatte kraft og flytninger/reaktioner, hvilket betyder at superpositionsprincippet ikke længere er gældende. Ved strukturelle analyser findes tre typer af ulinearitet: Materiel ulinearitet hvor materialets egenskaber afhænger af spændinger og tøjninger Ulinearitet grundet samlinger. Det kan være revner der åbnes eller lukkes, kontaktflader der ændres med den påsatte kraft eller glidende kontakt mellem overflader, der er afhængig af friktion Geometrisk ulinearitet. Store flytninger/deformationer gør, at der i ligevægtsligningen skal tages højde for den ændrede geometri. Kræfter kan også ændre retning når de ændres i størrelse 2
Generelt om ulinearitet kan siges, at stivheden eller lasten bliver en funktion af flytninger/deformationer. Overført til den statiske ligevægtsligning (ligning 1.21) vil det sige, at systemet ikke eksplicit kan løses mht. {D}, da enten [K] eller {R} afhænger af {D}. [K] {D} = {R} (1.21) Dette betyder, at der skal en iterativ proces til for at finde {D} og de tilhørende [K] og {R}, således at ligning 1.21 hele tiden er i ligevægt. 3.2.1. Ulinearitet for forsøg 3 Trækprøveforsøgene med de præfabrikerede dogbones resulterede i flydning af materialet. Denne ulinearitet går under kategorien materiel ulinearitet, da det er flydning af materialet der er bestemmende for ulineariteten. Trækprøven kan simplificeres til en fjeder, hvor stivheden afhænger af flytningen (se Figur 19). Figur 19 - Viser en fjeder hvor stivheden k er afhængig af flytningen u. Som udgangspunkt har fjederen stivheden k, men når den udsættes for kraften F, ændres stivheden. Kraften F kan skrives som: Den nye stivhed k er givet ved: F = k u (1.22) k = k + k hvor k = k (u) (1.23) 21
Det vil sige, at ændringen af stivheden k N er afhængig af flytningen u. k N er for trækprøveforsøget negativ, da stivheden mindskes når kraften øges. På Figur 2 ses kraft/flytnings kurven fra forsøg 3. Figur 2 - Viser kraft/flytnings kurven fra forsøg 3. Flytningen for forsøget er beregnet ud fra længdetøjningen samt længden af den homogene del af dogbonet (L ), som er 13mm (se Figur 21). Her antages det, at tøjningensfordelingen er ens over hele den homogene del: u = L ε (1.24) Figur 21- Viser den homogene del af dogbonet L som er 13mm Hvis kraften F kendes, kan den tilhørende flytning aflæses direkte på Figur 2. Vælges det derimod, at simulere trækprøven i et FE program som Ansys Workbench kræves der alternative løsningsmuligheder. Der findes en lang række løsningsmuligheder for ulineære FE analyser. En af dem er Newton-Raphson metoden, som også Ansys Workbench anvender. 22
3.2.2. Newton-Raphson metoden Newton-Raphson metoden er en iterativ proces, der i forbindelse med FE analyser bruges til at generere kraft-/flytningskurven. Ud fra en kendt kraft F kan den tilhørende flytning u findes ved at tage en række lineære iterative steps. I det følgende beskrives denne proces skridt for skridt ud fra kraft/flytnings kurven fra forsøg 3. Dette gøres i henhold til Figur 22, hvor kurven genereres op til F=1 kn: Figur 22 - Viser hvordan kraft/flytnings kurven genereres ud fra Newton-Raphson metoden. Første skridt er at indtegne den tangentielle stivhed ved F=, som er k t. Der hvor k t skærer F=1 kn findes flytningen u A : F = k u u = F k (1.25) u = + u (1.26) u A er det foreløbige estimat af flytningen svarende til kraften F, men som det ses på kurven, er der en fejl mellem F og den egentlige kraft tilhørende u A. Denne fejl kaldes for e PA, og er givet ved: e = F k u (1.27) 23
Hvor k beregnes ud fra flytningen u A. k*u A bliver derved den kraft, som strukturen giver ved den gældende deformationstilstand. Næste skridt er så at finde en ny flytning ud fra stivheden i A (k ta ). Der hvor k ta skærer F=1 kn, findes den tilhørende flytning u B : Fejlen i kraften til flytningen u B findes ved: u = u + u hvor u = F k (1.28) Hvor stivheden k bestemmes ud fra u B. e = F k u (1.29) Denne proces fortsættes indtil kraften konvergerer med F, hvilket vil sige, at fejlen e P går mod nul. 3.3. Ulineær analyse i Ansys Workbench I dette afsnit beskrives processen ved opstilling af ulineære analyser i Ansys Workbench. Under denne proces blev der konstateret en mulig fejl i programmet, som har stor indflydelse på resultatet af analyserne. Det beskrives derfor også, hvordan fejlen omgås med henblik på at få tilfredsstillende resultater fra analysen. Målet med analyserne er at genskabe materialeegenskaberne fra trækprøven i forsøg 3. Forsøget er udført over 12 steps med 1 kn som interval, og resultaterne ses i appendiks 1. Slutteligt vil resultaterne fra analyserne blive gennemgået og sammenlignet med forsøget. De udførte analyser findes på medfølgende CD. 3.3.1. Opstilling af model Ved opstilling af en analysemodel i Ansys Workbench skal brugeren selv specificere en lang række data. Disse indledende manøvrer er vigtige, da selv en lille fejl eller forglemmelse kan føre til forkerte resultater. Her gennemgås disse specifikationer med henblik på at udføre en analyse af den ulineære trækprøve fra forsøg 3. Analyse system Da dette er en statisk analyse, vælges 'Static structural' som analyse system. Dette gøres i projektstyringsdelen i Ansys Workbench. Der vil nu vise sig en tabel med de forskellige niveauer, som analysen er opbygget af som vist på Figur 23. Det er disse niveauer der vil blive gennemgået i det efterfølgende. Materiale specifikationer (Engineering Data) Her defineres egenskaberne for det aktuelle materiale. Da der her er tale om en ulineær analyse, vælges 'Multilinear Kinematic Hardening' fra Toolbox menuen til venstre. Denne materialemodel giver mulighed for at definere arbejdskurven for materialet efter flydning. Dette gøres Figur 23 - Viser de forskellige niveauer til opsætning af Ansys modeller. 24
ud fra en antal punkter, som så forbindes lineært, hvilket vil sige, at der findes forskellige E- moduler tilhørende hvert sæt punktkoordinater. I ulineære analyser i Ansys arbejdes der med et lineært elastisk- samt et ulineært plastisk område. Det lineært elastiske område defineres ud fra E-modul samt flydespænding. Det ulineære plastiske område defineres ud fra en række punkter afsat med værdier fra den plastiske tøjning samt den tilhørende spænding. På Figur 24 ses arbejdskurven fra forsøg 3. σ p,2 spændingen samt E-modul på 21 MPa er også skitseret. Figur 24 - Viser arbejdskurven fra forsøg 3. Indtegnet er også σ p,2 spændingen samt et E-modul på 21 MPa. Før indtastning af data for arbejdskurven i Ansys skal der laves en vurdering på flydespændingen samt E-modulet fra forsøget. Her er det vigtigt at kende formålet med analysen, da der skal anvendes forskellige specifikationer afhængigt af formålet. Her gennemgås disse muligheder med deres fordele og ulemper: Hvis flydespændingen fra forsøget ønskes overført til materialemodellen. Det kunne være, hvis modellen skal undersøges for plastiske tøjninger eller lignende, hvorfor flydepunktet for materialet skal specificeres. Dette gøres til dels ved at angive flydespændingen (σ y ), men her skal E-modulet også matche. Det vil sige, at E-modulet beregnes ud flydespændingen og den tilhørende tøjning. E = σ ε (1.3) Derefter defineres det plastiske område ud fra en række punkter, startende ved flydespændingen hvor den plastiske tøjning er nul. I afsnit 2.1.2 blev flydespændingen ud fra,2% plastisk tøjning fastsat til 15 MPa for forsøg 1-3. For forsøg 3 ligger et af punkterne fra arbejdskurven på 151,28 MPa, som derfor vælges til flyde- 25
spænding. Tøjningen til denne spænding er,21 som dermed betragtes som ren elastisk tøjning (ε e ), som skal fratrækkes den totale tøjning (ε t ) for at finde den plastiske tøjning (ε p ): ε = ε + ε ε = ε ε (1.31) Værdierne indtastes i en tabel som vist i Tabel 5. Arbejdskurven for det valgte materiale er nu defineret som et lineært elastisk område samt et ulineært plastisk område. Her gennemgås fordele og ulemper ved at definere arbejdskurven på denne måde: Tabel 5 - Viser tabellen for indtastning af plastiske tøjninger kontra spændinger. Fordele: Flydepunktet er veldefineret, hvorfor den plastiske tøjning kan aflæses direkte af analysen Ulemper: Ulempen ved at definere arbejdskurven på denne måde ses på Figur 25. Hvis arbejdskurven fra forsøget ikke kører lineært i det elastiske område, vil den i Ansys definerede arbejdskurve afvige herfra. Alternativt kan flydespændingen sættes til en værdi øverst i det lineære område som f.eks. 83,9 MPa, men så fjernes fordelen i denne metode, da den plastiske tøjning dermed ikke længere passer. Figur 25 - Viser arbejdskurven fra forsøg 3 samt en skitsering af kurverne for flydespændinger på 83,9 MPa og 151,3 MPa. 26
Ønskes et emne eller en konstruktion analyseret mht. flydning og plastiske tøjninger, kan denne metode anvendes. Det skal dog nævnes, at analysemodellen 'Bilinear Kinematic Hardening' kan være fyldestgørende for analyser mht. flydning. Hvis arbejdskurven fra forsøget ønskes gengivet over både elastisk og plastisk område. Her defineres arbejdskurven som rent plastisk tøjning: ε = ε (1.32) Det vil sige, at forsøgsdataene overføres direkte til tabellen for det plastiske område. Den rent plastiske arbejdskurve ses på Figur 26. Figur 26 - Viser arbejdskurven indtastet i Ansys som ren plastisk tøjning. Flydespændingen sættes til nul og E-modulet burde derfor være uden betydning. Fordele: Arbejdskurven er gengivet nøjagtigt som i forsøget. Dette gør, at spændinger, deformationer samt totale tøjninger altid vil være 1% korrekte for analysen. Ulemper: Der vil ikke forekomme elastiske tøjninger, og de plastiske tøjninger vil for analysen starte allerede ved lille belastning/spænding. Der skal derfor kun tolkes på de totale tøjninger når resultaterne for denne type analyse udledes. Mulig fejl i Ansys Workbench 13. Som nævnt i indledningen til dette afsnit findes der en mulig fejl i Ansys Workbench version 13. ved analyser i 'Multilinear Kinematic Hardening'. Ændringen i den elastiske tøjning burde være nul efter overskridning af flydepunktet. Dette er imidlertid ikke tilfældet, da den elastiske tøjning stiger lineært, uanset hvilket område der arbejdes i. 27
Ved nærmere undersøgelse viser det sig, at den indtastede flydespænding ikke har nogen indflydelse på analysen uanset værdien af denne. Det vurderes til, at være her fejlen ligger. Var den elastiske tøjning stoppet med at stige ved flydepunktet, ville analysen være fyldestgørende. Måden hvorpå fejlen kan omgås, er ved at definere et relativt højt E-modul, således at den elastiske tøjning bliver ubetydelig lille. Sættes E-modul for eksempel til 1 12 MPa, bliver den elastiske tøjning for en spænding på 3 MPa: ε = 3 MPa 1 MPa = 3 1 (1.33) Materialedata for beskrivelse af forsøg 3 Til modellen af forsøg 3 vælges det ud fra foregående afsnit at definere alle tøjninger som rent plastiske. E-modulet sættes til 1 12 MPa og Poissons forhold til,4 som er gennemsnittet fra forsøgene. Indtastningerne er vist på Figur 27. Figur 27 - Viser et screenshot af de indtastede materialedata. De indtastede spændinger i tabellen til højre er beregnet uden varierende tværsnit, da det gennem analyserne konstateredes, at Ansys ikke medtager varierende tværsnit ved spændingsanalyser. 28
Geometri Geometrisk vælges det, at analysen kun skal vedrøre den homogene del af dogbonet. Det vil sige de 13mm af prøveemnet med ensartet tværsnit. Som det ses på Figur 28, er 1/4 af denne del markeret. Grundet symmetribetragtning er det denne del, der vil blive anvendt til analysen. Grunden til at anvende symmetri er at spare elementer og dermed også tid for analysen. Figur 28 - Viser dogbonet med en homogen del på 13mm. 1/4 af denne del tages ud for analyse i Ansys. Emnet er modelleret i Ansys Workbenchs egen modelleringsværktøj 'DesignModeler'. Alternativt kan der importeres geometrier fra eksterne 3D modelleringsprogrammer, men her er det erfaringen, at det gør beregningsprocessen længere end for internt modellerede geometrier. Elementstørrelsen er for en simpel geometri som denne mindre vigtig, og derfor anvendes programmets anbefalede elementfordeling. Randbetingelser Når der anvendes symmetri er det vigtigt, at randbetingelserne bliver defineret rigtigt ift. trækprøveemnet. Følgende randbetingelser er sat på modellen, og kan ses på Figur 29: A. En 'displacement' hvor bevægelse i x-retningen sættes til nul. Y- og z-retningen er frit bevægelige B. En 'displacement' hvor bevægelse i y-retningen sættes til nul. X- og z-retningen er frit bevægelige C. En 'displacement' hvor bevægelse i z-retningen sættes til nul. X- og y-retningen er frit bevægelige. D. En kraft på 6 kn som svarer til de 12 kn, som er maksimal belastning under trækprøveforsøget. Kraften er halveret, da tværsnittet er halveret ift. trækprøven. Figur 29 - Viser randbetingelserne for analysen. Analysen opdeles i 12 'substeps', således at der beregnes et resultat for hver 5 N i påsat kraft. 29
3.3.2. Løsning af modellen Efter den i det foregående beskrevne opsætning af Ansys er det lykkedes at overføre materialeegenskaberne fra forsøget til Ansys Workbench. Her følger en gennemgang af resultaterne fra analysen. Til løsning af ulineære materialemodeller anvendes bl.a. Newton-Raphson iteration, som er beskrevet i afsnit 3.2.2 [6.2]. Det betyder, at den påsatte kraft til hvert step skal konvergere, således at afvigelsen ikke overstiger konvergens kriteriet. I denne analyse anvendes det programkontrollerede konvergens afvigelse, som er,5%. Konvergenskurven ses på Figur 3. Der er i alt foretaget 142 iterationer for at konvergere kraften til de 12 'substeps'. Figur 3 - Viser kraftkonvergensen for simuleringen af trækprøveforsøget. Med henblik på sammenligning af resultaterne fra Ansys og forsøget løses modellen i forhold til spændinger, tøjninger og deformationer. Spændinger Da der er tale om et homogent emne med jævn spændingsfordeling, plottes resultatet som ækvivalente Von Mise spændinger. På Figur 31 ses resultatet ved sidste step, hvor kraften svarer til 12 kn. Figur 31 - Viser spændingerne for sidste step i analysen svarende til en kraft på 12 kn. 3
Tøjninger Her er der ligeledes tale om en ens fordeling af tøjninger. Resultatet fra sidste step ses på Figur 32. Figur 32 - Viser tøjningerne til sidste step i analysen. Deformation i x-retningen Deformationen i x-retningen ses på Figur 33. Værdierne fra analysen skal for sammenligning med forsøget multipliceres med 2, da der i analysen arbejdes med den halve længde. Figur 33 - Viser deformationen i x-retningen for sidste step i analysen. Deformationen skal multipliceres med 2 da analysen kun omfatter den halve længde. Sammenligning af resultater Trækprøveforsøget er inddelt i steps af 1 kn, hvorfor de tilsvarende resultater er udtrukket fra analyserne i Ansys. For sammenligning er resultaterne indtastet i Tabel 6. 31
Tabel 6 - Viser resultaterne fra hhv. forsøg og Ansys analyse. Som det ses, er der meget lille forskel på værdierne fra hhv. forsøg og Ansys analyse. Med henblik på at finde den nøjagtige forskel er denne beregnet i Tabel 7. Forskellene er i procent, og de højeste afvigelser for hhv. spændinger, tøjninger og flytninger er markeret med en rød ring. Tabel 7 - Viser afvigelsen i procent mellem forsøg og Ansys analyse. De største afvigelser for hhv. tøjninger, spændinger og flytninger er markeret med en rød ring. Med en maksimal afvigelse på,45% må analysen betegnes som vellykket. Med henblik på yderligere verificering udføres en analyse med en påsat flytning i stedet for en kraft. 32
Analyse med påsat flytning Denne analyse udføres med det formål at verificere den opstillede materialemodel yderligere. Grunden til dette er, at de i det foregående afsnit fundne spændinger muligvis er beregnet direkte ud fra kraften og tværsnittet: σ = F A (1.34) Ved at udføre en analyse med en påsat flytning "tvinges" programmet til at beregne spændingerne ud fra flytningen og dermed også tøjningen samt E-modulet tilhørende de enkelte steps. De påsatte flytninger ( L) skal svare til de 12 steps fra trækprøveforsøget, og beregnes derfor ud fra startlængden og tøjningen til de enkelte steps: Hvor L er 65mm grundet symmetribetragtningen for analysen. L = L ε (1.35) Udover spændinger vil analysen også blive løst i forhold til den aksiale reaktion, som gerne skulle svare til den påsatte kraft i den foregående analyse. Randbetingelse er de samme som for den foregående analyse, hvor kraften er skiftet ud med en flytning (Remote displacement). I Tabel 8 ses resultaterne fra forsøget og analysen samt afvigelsen i procent. Tabel 8 - Viser sammenligningen af resultaterne samt afvigelsen i procent. Reaktionen fra analysen er multipliceret med to, da tværsnittet for analysen er halveret grundet symmetri. 3.3.3. Delkonklusion Det ses for begge analyser, at afvigelserne er meget små, og derfor kan forklares ud fra beregnings unøjagtigheder så som afrundinger osv. Dermed kan det konkluderes, at det er lykkedes at overføre materialeegenskaberne fra forsøget til analysen i Ansys Workbench. Yderligere konklusioner vil blive draget i konklusionen på hele rapporten (se afsnit 4). 33
4. Konklusion I det følgende gennemgås de konklusioner, der er blevet draget løbende gennem rapporten. Derudover vil der også blive konkluderet på, om det i indledningen opsatte mål for projektet er opfyldt. Formålene var at opnå kendskab til en række opstillede emner, hvorfor der også vil blive konkluderet på disse. Ved udførelsen af trækprøveforsøgene er det lykkedes at opfylde de forud opstillede mål, som var at fastsætte Poissons forhold, flydespændingen samt E-modulet for forsøgsemnerne. Den anvendte metode hvor kraften påføres i steps gjorde, at flydegrænsen skulle fastsættes ud fra,2% plastisk deformation. På trods af dette vurderes metoden som værende nødvendig med henblik på sammenkædning af data fra hhv. vejecelle og strain gauges. Det blev under forsøgene også konstateret, at de præfabrikerede 'dogbones' er fremstillet i et materiale af mindre god kvalitet, idet flydespændingen blev fastsat til ca. 15 MPa. Ydermere svingede Poissons forhold meget, og lå gennemsnitligt på over,4. I alt synes formålene med forsøgene at være opnået, da der er opnået et tilfredsstillende kendskab til udførelsen af trækprøveforsøg, med alt hvad det indebærer. Under den lineære del af FEM afsnittet vurderes det også, at formålet, som var at opnå kendskab til det mest grundlæggende indenfor lineære FE analyser, er opnået. Denne del vurderes efterfølgende som værende en god forberedelse til den ulineære del. Under opsætning og udførelse af den ulineære FE analyse blev der draget en række konklusioner. Vigtigst af disse er, at der under multilineære analyser i Ansys Workbench 13. findes en mulig fejl, der gør, at alternative materialedata skal indtastes med henblik på en tilfredsstillende analyse. Det blev også konkluderet, at Ansys ikke regner med varierende tværsnit ved spændingsberegninger, hvilket synes overraskende, ikke mindst set i lyset af at Poissons forhold skal angives som materialedata. Ved anvendelsen af geometrisk symmetri lykkedes det også at opnå et tilfredsstillende resultat med henblik på at spare elementer og dermed også tid for beregningen af resultater. Det blev her også erfaret, at brugen af Ansys' eget modelleringsværktøj gør beregningerne hurtigere end for importerede geometrier. Overordnet set synes formålene for den ulineære del at være opnået, på trods af at der ikke er modtaget decideret undervisning indenfor området. Ikke mindst er der opnået en tilfredsstillende forståelse for opsætningen af en ulineær analyse i Ansys Workbench. Målet for projektet var at simulere et trækprøveforsøg i Ansys Workbench ved at overføre materialedata fra forsøget til simuleringen. Den største afvigelse mellem forsøg og analyse blev,45%, hvilket må siges at være tilfredsstillende for opnåelse af dette mål. 34
Kildeliste [1] Metallurgi for ingeniører 9. udgave Polyteknisk forlag ISBN: 87-52-93-2 Forfattere: Conrad Vogel, Celia Juhl, Ernst Maahn [1.1] Side 236 [2] TMLs produktkatalog Tokyo Sokki Kenkyujo CO., LTD. [2.1] Side 6 [2.2] Side 9 [3] http://www.sensorland.com [3.1] http://www.sensorland.com/howpage2.html 17/5-211 [4] Elementmetoden for bjælkekonstruktioner Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer, Danmarks tekniske højskole, DK-28 Lyngby Forfatter: Lars Damkilde [4.1] Side 15 [5] Concepts and Applications of Finite Element Analysis 4 udgave Wiley ISBN: 978--471-3565-9 Forfattere: Robert D. Cook David S. Malkus Michael E. Plesha Robert J. Witt [5.1] Side 45 [5.2] Kapitel 17.1 og 17.2 [6] Ansys Help [6.1] Kapitel 3.2 [6.2] Kapitel 8.12 35
Appendiks 1