Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske
|
|
- Andrea Marcussen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske overslagsberegninger
2 Appendiks K Analytiske overslagsberegninger... 3 K-1. Airy s spændingsfunktion for en plade med et cirkulært hul... 3 K-1.1. Styrende ligninger... 3 K Ligevægtsligninger... 3 K Kinematiske betingelser... 4 K Konstitutive betingelser... 5 K Kompatibilitetsligninger... 5 K Airy s spændingsfunktion... 6 K-1.2. Bestemmelse af spændingsfordeling omkring et cirkulært hul K-1.3. FEM beregning af en plade med et cirkulært hul... 9 K-2. Analytisk bestemmelse af flytninger for referencebjælken K-2.1. Bestemmelse af flytninger på bjælkemidten med VAP K-2.2. Bestemmelse af flytniner ved flyt K-3. Estimat på primærbjælkens flytning ved fuldt udviklet flydning K-3.1. Elastisk udbøjning K-3.2. Plastisk udbøjning K Flydeled ved midterhul K-3.3. Plastisk udbøjning (over sidehul) K-4. Referenceliste Side II
3 Appendiks K Analytiske overslagsberegninger K-1. Airy s spændingsfunktion for en plade med et cirkulært hul Der opstilles et analytisk udtryk for spændingsfordelingen omkring et hul. Der tages udgangspunkt i en plade med et cirkulært hul. Der påføres en enakset spændingstilstand med spændingen σ 0, se figur 1. Figur 1: Plade med cirkulært hul belastet i aksialretningen. Det analytiske udtryk, for ovenstående geometri, udledes på baggrund af Airy s spændingsfunktion. Der er fundet et standardtilfælde til ovenstående geometri via litteraturen. 1 Formålet er at foretage en indirekte verifikation af FEM-modellen. Findes overensstemmelse mellem den analytiske løsning og en numerisk beregning ved hjælp af FEM, må det formodes, at en FEM model, af en mere kompleks geometri ligeledes giver korrekte resultater.i 2-dimensionelle problemstillinger kan en spændingsfordeling over et tværsnit beskrives ved at sammenholde relationerne mellem ligevægtsligningerne, kinematiske betingelser, konstitutive betingelser, randbetingelserne samt kompatibilitetsbetingelserne. K-1.1. Styrende ligninger K Ligevægtsligninger Ligevægtsligningerne for et kontinuum kan opskrives ved at betragte infinitisimalt kontinuum med siderne x, y, z. Volumenlasten antages i denne udledning at være lig nul. Spændingerne gennem et kontinuum kan variere gennem legemet. Spændingsændringen fra én sideflade til den modstående beskrives ved (K.1). Der tages udgangspunkt i spændingsændringen x-aksen retning. σ xx + σ xx x 1 dx 1 (K.1) Spændingerne virkende i x-aksens retning fremgår af figur 2. 1 Theory of elasticity, third Edition, S.P Timoshenko, J.N. Goodier Side 3
4 Figur 2: Spændingskomposanter virkende i x-aksens retning. Ved projektion i x-aksens retning opskrives ligevægtsligningen. σ xx d x2 d x3 + σ xx + σ xx x1 σ yx d x1 d x3 + σ yx + σ yx x2 d x1 d x2 d x3 d x1 d x1 d x3 σ zx d x1 d x2 + σ zx + σ zx x3 d x3 d x1 d x2 = 0 (K.2) Der divideres igennem med d x1, d x2,d x3. σ xx x1 + σ yx x2 + σ zx x3 = 0 (K.3) Ligevægtsligningen i plan spændingstilstand i x-retningen. σ xx x1 + σ yx x2 = 0 (K.4) Ligevægtsligningen kan tolkes således, at en ændring i normalspændingen σ xx plus en ændring i forskydningsspændingen σ yx tilsammen give nul. Tilsvarende kan ligevægtsligningen opskrives i y- retningen. σ xy x2 + σ yy x1 = 0 (K.5) K Kinematiske betingelser I en plan spændingstilstand gælder følgende kinematiske betingelser. ε x = u x ε y = v y (K.6 a) (K.6 b) Side 4
5 ε xy = u y + v x (K.6 c) K Konstitutive betingelser Spændings-tøjningsrelationen kan opskrives ved (F.7) ud fra antagelsen om, at materialet er lineært elastisk. Relationen benævnes også Hookes generaliserede lov. ε x = 1 E σ xx νσ yy (K.7) ε y = 1 E σ yy νσ xx γ xy = 1 G σ xy = ν E σ xy K Kompatibilitetsligninger Tøjningskomposanterne ε x, ε y, γ xy er jf. (F.6a-c) funktioner af to flytningsfelter u og v. På baggrund af tøjningskomposanterne kan man integrere sig frem til to flytningsfelter u og v. u x, y = ε x d x + f(y) v x, y = ε y d y + g(x) Adderes f(y) differentieret mht. y og g(x) differentieret mht. x findes forskydningstøjningen ε xy. I to vilkårlige flytningsfelter u og v er denne sammenhæng ikke altid opfyldt med mindre, der er en speciel sammenhæng mellem de tre tøjningskomposanter. Denne sammenhæng opstilles ved at differentiere γ xy mht. x og y. γ xy,xy = u,yxy + v,xxy (K.8) (F.6 a) differentieres to gange mht. y og (F.6 b) differentieres to gange mht. x. ε x,yy = u, xyy (K.9) ε y,xx = u, yxx (F.9) indsættes i (F.8). Denne ligning kaldes kompatibilitetsligningen. γ xy,xy = ε x,yy + ε y,xx (K.10) Kompatibilitetsbetingelsen kan udtrykkes i form af spændinger ved at substituere de konstitutive betingelser (F.7) ind i (F.10). Side 5
6 2 x y ν E σ xy = 2 y 2 1 E σ x νσ y + 2 x 2 1 E σ y νσ x (K.11) Ligning (F.11) omskrives med hjælp fra ligevægtsligningerne. Ligevægtsligning (K.4) differentieres mht. x og (F.5) differentieres mht. y. 2 σ xx x σ yx x 2 x 1 = 0 (K.12) 2 σ xy x 1 x σ y y 2 = 0 De to udtrykket adderes og der rykkes rundt på ledene. 2 2 σ yx = 2 σ xx x 2 x 1 x 2 2 σ yy y 2 (K.13) Substitueres dette udtryk ind i (K.11) findes følgende udtryk. 2 x y 2 σ xx + σ yy = 0 (K.14) K Airy s spændingsfunktion Løsningen til (K.14) findes ved at indføre en ny funktion der kaldes Airy s spændingsfunktion. Airy s spændingsfunktioner er defineret ved. σ xx = φ2 y 2 (K.15) σ yy = φ2 x 2 σ xy = φ2 x y Udtrykkene substitueres ind i (K.14). 4 φ x φ x 2 y φ y 4 = 0 (K.16) Spændingsfunktionen φ der opfylder (K.16) vil samtidig også automatisk opfylde ligevægts- og kompatibilitetsligningen. Randbetingelserne indgår i bestemmelsen af spændingsfunktionen. På baggrund af spændingsfunktionen φ findes spændingerne af (K.15). 2 r d r dr φ r 2 θ 2 r dφ r dr + 1 r 2 2 φ θ 2 = 0 (K.17) Ligningen er opskrevet i polære koordinater. Side 6
7 K-1.2. Bestemmelse af spændingsfordeling omkring et cirkulært hul. I et pladefelt svækket med et hul og belastet i en enakset spændingstilstand vil der omkring hullet opstå en spændingskoncentration. Spændingerne vil være normaliserede i en afstand, der benævnes b, forudsat, at b>>a, hvor a er cirklens radius, jf. Saint-Venants princip, se figur 3. Figur 3: Pladefelt med et cirkulært hul og b>>a. Kilde: Timoshenko. Randbetingelserne omkring hullet med r=b bestemmes ved transformationsformel (K.18). Spændingskomposanterne i afstanden b fremgår af figur 4. Figur 4: Spændingskomposanter i pladefeltet i afstanden b fra centrum. ε xy σ rr r=b = n (1)T ε xx ε yx ε n (1) = σ 0 (1 + cos(2θ)) yy 2 (K.18) ε xy σ rθ r=b = n (1)T ε xx ε yx ε n (2) = σ 0 yy 2 sin (2θ) ε xy σ θθ r=b = n (2)T ε xx ε yx ε n (2) = 0 yy hvor n (1) = (cos θ, sinθ) n (2) = ( sin θ, cos θ ) Randbetingelserne omkring hullet med r=a. Spændingskomposanterne på hulranden fremgår af figur 5. Side 7
8 σ rr r=a = 0 (k.19) σ rθ r=a = 0 Figur 5: Spændingskomposanterne på hulranden Det analytiske udtryk opstilles ved at finde en spændingsfunktion φ. Airy s spændingsfunktion opfylder automatisk ligevægtsligningerne samt kompatibilitetsbetingelser. Randbetingelserne (K.18) og (K.19) indgår i bestemmelsen af spændingsfunktionen. Det analytiske udtryk, se (K.20) findes via litteraturen. 2 σ rr = σ a2 r 2 + σ a4 r 4 4a2 r 2 cos (2θ) (K.20) σ θθ = σ a2 r 2 + σ a4 r 4 cos (2θ) σ rθ = σ a4 r 4 + 2a2 r 2 sin (2θ) hvor a er hullets radius. r er afstanden hvori spændingen ønskes bestemt. For at danne sammenligningsgrundlag mellem det analytiske udtryk og en tilsvarende FEM model, bestemmes spændingsvariationen langs y-aksen. Det betyder θ = π/2 og r=[-b, b]. σ rr = σ yy = σ a2 r 2 + σ a4 r 4 4a2 r 2 cos (2θ) (K.21) σ θθ = σ xx = σ a2 r 2 + σ a4 r 4 cos (2θ) σ rθ = σ xy = 0 For at illustrere spændingsvariation langs y-aksen er forholdet mellem r/a plottet som funktion af σ xx /σ 0, se figur 6. 2 Theory og Elasticity, S.P Timoshenko, J.N. Goodier Side 8
9 r/a Spændingsvariation langs y-aksen Hulrand Analytisk udtryk xx / 0 Figur 6: Analytisk udtryk for spændingsvariation langs y-aksen, hvor r/a er plottet som funktion af σ xx /σ 0. I punktet r=a findes σ xx max = 3σ 0. Spændingskoncentrationsfaktoren på randen findes til. SCF = σ xx max σ 0 = 3σ 0 σ 0 = 3 K-1.3. FEM beregning af en plade med et cirkulært hul Det analytiske udtryk sammenholdes med en FEM model. FEM modellen opbygges som en 50x50mm plade med et cirkulært hul med en r=2 mm. Modellen opbygges som en skal- og solidmodel. Der meshes med et free mesh på 1mm. Pladen påføres en enakset spændingstilstand i x- retningen, se figur 7. Figur 7: Plade med et cirkulært, med et free mesh, påført enakset spændingstilstand i x-retningen. x Side 9
10 r/a r/a plottes som funktion af σ xx /σ 0 i samme graf som det analytiske udtryk, se figur Spændingsvariation langs y-aksen Hulrand Analytisk udtryk ANSYS solid model ANSYS skal model xx / 0 Figur 8: Spændingsvariation langs y-aksen, hvor forholdet r/a er plottet som funktion af σ xx /σ 0. Analytisk løsning og FEM beregning. FEM modellerne er i god overensstemmelse med det analytiske udtryk. Afvigelserne kan reduceres yderligere ved anvendelse af et finere mesh omkring hullet. K-2. Analytisk bestemmelse af flytninger for referencebjælken Med formål at danne sammenligningsgrundlag i det elastiske område bestemmes flytningerne analytisk, hvor flytningsmålerne er placeret i forsøgene. Flytningerne bestemmes analytisk ud fra virtuelt arbejdes princip under hensyntagen til forskydningsfleksibilitet. Det er muligt om end besværligt at opstille et analytisk udtryk, da primærbjælkens inertimoment omkring hullerne varierer. Bjælken kan opdeles i en række stykker, hvor flytningerne kan bestemmes, hvilket svare til en FEM løsning. Der opstilles alene et estimat for flytninger for referencebjælken. K-2.1. Bestemmelse af flytninger på bjælkemidten med VAP Det vælges at belaste bjælken med en referencelast på P/2 i de to angrebspunkter. Der påsættes en virtuelle last på 1 i punkterne, hvor flytningerne beregnes, se figur 9. P/2 P/ Figur 9: Angivelse af de to angrebspunkter på bjælken for referencelasterne på P/2, alle mål er i mm. Der anvendes Virtuelt Arbejdes Princip under hensyntagen til forskydningsfleksibiliteten. Flytningen på bjælkemidten bestemmes på følgende måde Side 10
11 w = M o M 1 dx + EI V 0 V 1 GA s dx Der ses først på udbøjningen fra momentbidraget ved en referencelast på 10 kn (M 0 ). 10 kn 10 kn Figur 10: Momentkurve for det virkelige moment 1 Figur 11: Momentkurve for det virtuelle moment w m = 0,7 M 0 M 1 dx + 0,1 EI 0,95 M 0 M 1 dx + 0,7 EI 1,2 0,95 M 0 M 1 dx + EI 1,8 M 0 M 1 dx 1,2 EI Bjælkens symmetri om midten anvendes i integrationen. Kurverne integreres med integrationstabel. 1 w m = 2 0,6 m 6 knm 0,3 m + 1 0,25 m 2 6 knm 0,3 m knm 0,425 m + EI knm 0,425 m+6 knm 0,3 m 1, Nm 3 w m = 2, N m 2 2, m 4 w m = 3,08 mm Bidraget fra forskydningsfleksibiliteten bestemmes. Forskydningsarealet er bestemt som A s = mm 5 mm 15 mm 2 π 7,5 mm 2 = 952 mm 2 Flytningsbidraget beregnes som Side 11
12 Figur 12: Forskydningskraftkurve for den virkelige forskydning Figur 13: Forskydningskraftkurve for den virtuelle forskydning w v = 0,7 V 0 V 1 dx + 0,1 GA s 0,95 V 0 V 1 dx + 0,7 GA s 1,2 0,95 V 0 V 1 GA s dx + 1,8 V 0 V 1 dx 1,2 GA s På sammen måde som før anvendes integrationstabeller og flytningen beregnes til w v = 0,104 mm Den samlede udbøjning i midten af bjælken ved en last på 10 kn findes til w = w m + w v = 3,08 mm + 0,104 mm = 3,18 mm Side 12
13 K-2.2. Bestemmelse af flytniner ved flyt 1 Angrebspunktet for den virtuelle last flyttes jf. figur 14, til en afstand på 570 mm fra understøtningen. Den virkelige last, og dermed momentkurve og forskydningskraftkurve, er uændret. Figur 14: Moment- og forskydningskraftkurver.den virtuelle kraft påført 570 mm fra understøtningen. Flytningen fra til bestemmes efter samme princip som foregående afsnit. w = w m + w v = 2,82 mm + 0,07 mm = 2,89 mm K-3. Estimat på primærbjælkens flytning ved fuldt udviklet flydning Ved belastninger omkring flydegrænsen vil flytningerne ikke udvikle sig lineært, hvorfor estimeringen ikke er mulig. Et udtryk til bestemmelsen af flytningen ved fuldt udviklet flydeled kan opstilles. Bjælken vil danne et flydeled i aksen gennem centrum af et af hullerne. Hvilket hul vides ikke, derfor regnes den analytiske plastiske nedbøjning både for et flydeled i midterhullet og i et af sidehullerne. Til beregning af den elastiske og den plastiske nedbøjning ved flydning er det nødvendigt, at kende det elastiske og det plastiske modstandsmoment i det snit, hvor flydeleddet opstår. Modstandsmomenterne for profilerne med afrundede hjørner og perforerede tværsnit beregnes som forholdet mellem modstandsmomenterne for tværsnit uden afrundede hjørner med og uden hul i tværsnittet, således: W afrundet,ul = W kvadratisk, ul W kvadratisk W afrundet Tværsnittet uden huller og uden rundinger fremgår af figur 15. Side 13
14 Figur 15: Profilets tværsnit uden huller og uden rundinger Det elastiske modstandsmoment for tværsnittet uden huller og uden rundinger beregnes med udgangspunkt i figur 15 som: W el,kvadratisk = I 2 1 = 50 mm mm 3 5 mm mm mm + 50 mm 2,5 mm 2 5 mm 100 mm 2 = 57, mm 3 Det plastiske modstandsmoment for tværsnittet uden huller og uden rundinger beregnes med udgangspunkt i figur 15 som: W pl,kvadratisk = 1 4 b 2 = mm 100 mm mm 90 mm 4 = 67, mm 3 Profilets tværsnit i snittet midt i et hul fremgår af figur 16. Figur 16: Profilets tværsnit uden rundinger i centrum af et hul. elastiske modstandsmoment i snittet, uden medregning af hullerne beregnes med udgangspunkt i figur 16 som: W el,kvadr atisk,ul = I 2 Side 14
15 = 1 50 mm mm 3 5 mm + 50 mm 10 mm 2 5 mm 20 mm mm 3 90 mm + 50 mm 2,5 mm 2 5 mm 90 mm 2 = 53, mm 3 Det plastiske modstandsmoment i snittet, uden medregning af hullerne beregnes med udgangspunkt i figur 16 som: W pl,kvadratisk,ul = 1 b 2 4 = mm 100 mm mm 90 mm mm 60 mm 2 = 58, mm 3 I teknisk ståbi findes det elastiske modstandsmoment til: W el,afrundet = 55, mm 3 I teknisk ståbi findes det plastiske modstandsmoment til: W pl,afrundet = 66, mm 3 Det elastiske modstandsmoment for tværsnittet inklusive rundingerne bliver: W el,ul = W el,kvadratisk, ul W el,kvadratisk W el,afrundet = 53, mm 3 57, mm 3 55,9 103 mm 3 = 52, mm 3 Det plastiske modstandsmoment for tværsnittet inklusive rundingerne bliver: W pl,ul = W pl,kvadratisk, ul W pl,kvadratisk W pl,afrundet = 58, mm 3 67, mm 3 66,4 103 mm 3 = 57, mm 3 K-3.1. Elastisk udbøjning Momentet, der skal til for at skabe flydning, er M el = f y W el = 400 MPa 52, mm 3 = 2, Nm Den samlede last, P, for at skabe flydning beregnes til M = P 600 mm P = 2 M mm = 2 2, Nmm = 70,0 kn 600 mm Side 15
16 Den elastiske udbøjning ved kraften for fuldt udviklet flydning, 76,7 kn, bestemmes ved ANSYS 570 mm fra understøtningerne (Placeringen af flyt 1 og flyt 2): u el = 11,18 mm K-3.2. Plastisk udbøjning Flytningerne ved lastens angrebspunkyer afhænger af, hvor flydeleddet opstår. Det vil for primærbjælken ske over et af hullerne. 3 K Flydeled ved midterhul Momentet, der skal til for at skabe et fuldt udviklet flydeled, er M pl = f y W pl = 400 MPa 57, mm 3 = 2, Nmm For at beregne den plastiske udbøjning tilnærmes systemet med et system med en enkeltkraft på midten, som er vist med stiplet på figur 17. P tilnærmet P/2 P/2 M el M pl l y M el Figur 17: Tilnærmet system illustreret med stiplede linjer. Hældningen, d, af momentkurven bliver d = M pl 850 mm = 2, Nmm = 2, mm Længden af flydeleddet, l y, bliver derfor l y = mm M el d = mm 2, mm = 148 mm 2, Stålkonstruktioner efter DS 412, p 54. Side 16
17 dφ 10ε y y y ε y x 1 x 2 l y ε y y dφ 2 = ε(x) dx 2 Figur 18: Illustration af vinkeldrejningen i et flydeled. Den plastiske vinkeldrejning beregnes med udgangspunkt i figur 18 dφ = ε(x) y dx x2 φ pl = dφ = 2 x1 l y 2 y 10 ε y x2 ε(x) y dx = 2 x1 y x2 ε(x) dx x1 = 2 y x 2 x ε y + ε y Hvor y er den halve tværsnitshøjde. Dermed fås φ pl = 148 mm 100 mm MPa MPa = 0,0282 Den plastiske udbøjning i flydeleddet fås hermed til 1 0, mm = 11,98 mm 2 Hældningen, d, af udbøjningskurven bliver d = u 11,98 mm = 850 mm 850 mm = 0, Det plastiske udbøjningsbidrag 570 mm fra understøtningerne bliver u pl = 570 mm 0, = 8,03 mm Samlet nedbøjning u = u pl + u el = 8,03 mm + 11,18 mm = 19,21 mm Side 17
18 K-3.3. Plastisk udbøjning (over sidehul) For, at beregne den plastiske udbøjning tilnærmes systemet med et system med en enkeltkraft over et af sidehullerne, som er vist med stiplet på figur 19. P/2 P tilnærmet P/2 M el l y1 M pl l y2 M el Figur 19: Tilnærmet system illustreret med stiplede linjer. Momentet for fuldt udviklet flydeled er M pl = f y W pl = 400 MPa 57, mm 3 = 2, Nmm Den samlede last, P, (uden forskydning) bliver M = P 600 mm P = 2 M mm = 2 2, Nmm = 76,67 kn 600 mm Hældningerne, d, af momentkurven bliver d1 = d2 = 730 mm 730 mm = M pl 2, = 3, Nmm 970 mm 970 mm = M pl 2, = 4, Nmm Afstandene mellem momenterne bliver hermed l y1 = 730 mm M el d1 = 730 mm 2, , mm = 64,3 mm l y2 = 970 mm M el d2 = 970 mm 2, , mm = 83,8 mm Side 18
19 10ε y ε y ε y x 1 x 2 x 3 l y1 l y2 Figur 20: Illustration af vinkeldrejningen i et flydeled. De plastiske vinkeldrejninger findes beregnes med udgangspunkt i figur 20 x2 φ pl 1 = dφ = x1 x2 x1 ε x z dx = 1 z x2 ε x dx x1 = 1 z x 2 x ε y + ε y = ly1 2 z 11 ε y ly1 2 z 10 ε y φ pl 2 ly2 2 z 10 ε y Hvor z er den halve tværsnitshøjde. Dermed fås φ pl 1 = φ pl 2 = 64,3 mm 100 mm MPa MPa = 0, ,8 mm 100 mm MPa MPa = 0,01596 Den plastiske udbøjning fås hermed til 1 2 0, mm + 1 0, mm = 12,21 mm 2 Nedbøjning i punktet Hældningerne, a, af nedbøjningskurven bliver a1 = a2 = 730 mm u = 970 mm 12,21 mm = 79, mm 12,21 mm = 59,79 Flytningsmålerne placeres 567 mm fra understøningen i hver side. Udbøjningerne i disse punkter bliver Side 19
20 upunkt1 = upunkt2 = Samlet nedbøjning 567 mm 59, mm 79,44 = 9,48 mm = 7,14 mm u samlet = u plastisk + u elastisk u 1 = 9,48 mm + 11,18 mm = 20,66 mm u 2 = 7,14 mm + 11,18 mm = 18,32 mm Side 20
21 K-4. Referenceliste Theory of Elasticity, 3. udgave 1970, McGraw-Hill, ISBN: Stålkonstruktioner efter DS 412, 3. udgave 2007, Nyt teknisk Forlag, ISBN: Side 21
11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger
Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning
Læs mereProgram lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter
Tektonik Program lektion 4 12.30-13.15 Indre kræfter i plane konstruktioner 13.15 13.30 Pause 13.30 14.15 Tøjninger og spændinger Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke Kursusholder Poul
Læs mereProgram lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter.
Tektonik Program lektion 4 8.15-9.00 Indre kræfter i plane konstruktioner 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Indre kræfter i plane konstruktioner. Opgaver 10.00 10.15 Pause 10.15 12.00 Tøjninger og spændinger
Læs mereAalborg Universitet Esbjerg Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren
BM7-1-E09 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren Tema: Titel: Projektgruppe: Gruppemedlemmer: Vejleder: Analyse af bærende konstruktioner BM7-1-E09 Christian
Læs mereAalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09
18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges... 3 F
Læs mereKipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne
Kipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne april 05, LC Den viste halbygning er opbygget af en række stålrammer med en koorogeret stålplade som tegdækning. Stålpladen fungerer som stiv skive i tagkonstruktionen.
Læs mereDeformation af stålbjælker
Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker
Læs mereFor en grundlæggende teoretisk beskrivelse af metoden henvises bl.a. til M.P. Nielsen [69.1] og [99.3].
A Stringermetoden A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A2 Indholdsfortegnelse Generelt Beregningsmodel Statisk ubestemthed Beregningsprocedure Bestemmelse af kræfter, spændinger og reaktioner Specialtilfælde Armeringsregler
Læs mereDet Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet
Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september
Læs mereSTÅLSØJLER Mads Bech Olesen
STÅLSØJLER Mads Bech Olesen 30.03.5 Centralt belastede søjler Ved aksial trykbelastning af et slankt konstruktionselement er der en tendens til at elementet slår ud til siden. Denne form for instabilitet
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereBetonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker)
Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Bøjningsdimensionering af bjælker - Statisk bestemte bjælker - Forankrings og stødlængder - Forankring af endearmering - Statisk ubestemte bjælker Forskydningsdimensionering
Læs mereStatik og styrkelære
Bukserobot Statik og styrkelære Refleksioner over hvilke styrkemæssige udfordringer en given last har på den valgte konstruktion. Hvilke ydre kræfter påvirker konstruktionen og hvor er de placeret Materialer
Læs mereAalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks B Finite Element Metode BM7 1
8. december 29 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks B Finite Element Metode BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Appendiks B Finite
Læs mereBetonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler)
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Deformationsberegning af bjælker - Urevnet tværsnit - Revnet tværsnit - Deformationsberegninger i praksis
Læs mereVridning, hvælving og kipning
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Vridning vælving og kipning 1 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Indold 1 Hvælvingsinertimoment. 1.1 Teoretisk udledning for et U-profil. 1. Taelværdier 1.3
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAnalyse af en glasfiberbjælke
Analyse af en glasfiberbjælke Civilingeniør i Bygge og Anlægskonstruktion Aalborg Universitet 1. semester 19. december 2008 Gruppe B205 De Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter Byggeri
Læs mereDet Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet
Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Stivhedsanalyse af aluminium Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Projektperiode:
Læs mereForskydning og lidt forankring. Per Goltermann
Forskydning og lidt forankring Per Goltermann Lektionens indhold 1. Belastninger, spændinger og revner i bjælker 2. Forskydningsbrudtyper 3. Generaliseret forskydningsspænding 4. Bjælker uden forskydningsarmering
Læs mereAalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09
18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg... 3 E 1. Teori...
Læs mereCentralt belastede søjler med konstant tværsnit
Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne
Læs mereINDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43
Indholdsfortegnelse INDHOLDSFOREGNELSE DEL I FORSØG... 3 A Elastiske konstanter...5 A. Dataopsamling...5 A. Brudstyrkemåling på massivt aluminiumsemne...5 A.3 Elasticitetsmodul og Poissons forhold for
Læs mereBeregningsopgave om bærende konstruktioner
OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af
Læs mereEftervisning af bygningens stabilitet
Bilag A Eftervisning af bygningens stabilitet I det følgende afsnit eftervises, hvorvidt bygningens bærende konstruktioner har tilstrækkelig stabilitet til at optage de laster, der påvirker bygningen.
Læs mereBygningskonstruktion og Arkitektur, 5 (Dimensionering af bjælker)
Bygningskonstruktion og Arkitektur, 5 (Dimensionering af bjælker) Overslagsregler fra Teknisk Ståbi Bøjningsimensionering af bjælker - Statisk bestemte bjælker - Forankrings og stølænger - Forankring af
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereDobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori
Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori Per Goltermann 1 Lektionens indhold 1. Hvad er en øvreværdiløsning? 2. Bjælker og enkeltspændte dæk eller plader 3. Bjælkers bæreevne beregnet med
Læs mere2008 Deformationsanalyse af kompositbjælke. P7 projekt
8 Deformationsanalyse af kompositbjælke P7 projekt Mustafa Gökce Søren Heide Lambertsen Kim Madsen Aalborg Universitet Esbjerg 8--8 Titelblad Titel: Analyse af bærende konstruktioner Projektperiode: -9-8
Læs mereForspændt bjælke. A.1 Anvendelsesgrænsetilstanden. Bilag A. 14. april 2004 Gr.A-104 A. Forspændt bjælke
Bilag A Forspændt bjælke I dette afsnit vil bjælken placeret under facadevæggen (modullinie D) blive dimensioneret, se gur A.1. Figur A.1 Placering af bjælkei kælder. Bjælken dimensioneres ud fra, at den
Læs mereRedegørelse for statisk dokumentation
Redegørelse for statisk dokumentation Nedrivning af bærende væg Vestbanevej 3 Dato: 22-12-2014 Sags nr: 14-1002 Byggepladsens adresse: Vestbanevej 3, 1 TV og 1 TH 2500 Valby Rådgivende ingeniører 2610
Læs mereBetonkonstruktioner Lektion 11
Betonkonstruktioner Lektion 11 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Facult of Engineering 1 Plader Plade = Plant element belastet vinkelret på pladens plan. m m Bøjende momenter pr. længdeenhed m
Læs mereBetonkonstruktioner - Lektion 3 - opgave 1
Betonkonstruktioner - Lektion 3 - opgave Data: bredde flange b 50mm Højde 400mm Rumvægt ρ 4 kn m 3 Længde L 4m q 0 kn R 0kN m q egen ρb.44 kn m M Ed 8 q egen q L 4 RL 4.88 kn m Linjelast for egen vægten
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereRedegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Ole Jørgensens Gade 14 st. th.
Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Ole Jørgensens Gade 14 st. th. Dato: 19. juli 2017 Sags nr.: 17-0678 Byggepladsens adresse: Ole Jørgensens Gade 14 st. th. 2200 København
Læs mereBetonkonstruktioner Lektion 7
Betonkonstruktioner Lektion 7 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Faculty of Engineering 1 Bøjning i anvendelsestilstanden - Beregning af deformationer og revnevidder Faculty of Engineering 2 Last
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereKonstruktion IIIb, gang 11 (Dimensionering af bjælker)
Konstruktion IIIb, gang (Dimensionering af bjælker) Overslagsregler fra Teknisk Ståbi Bøjningsimensionering af bjælker - Statisk bestemte bjælker - Forankrings og stølænger - Forankring af enearmering
Læs mereOversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater
Læs mereEksempel Boltet bjælke-søjlesamling
Eksempel Boltet bjælke-søjlesamling Dette eksemplet bygger på beregningsvejledningerne i afsnit 6 om bærende samlinger i H- eller I-profiler. En momentpåvirket samling mellem en HEB-søjle og en IPE-bjælke
Læs mereKursusgang 10: Introduktion til elementmetodeprogrammet Abaqus anden del
1 elementmetodeprogrammet Abaqus anden del Kursus: Statik IV Uddannelse: 5. semester, bachelor/diplomingeniøruddannelsen i konstruktion Forelæser: Johan Clausen Institut for Byggeri og Anlæg Efterår, 2010
Læs mereOverslagsberegninger - analytisk. Beregning ved Elementmetoden - numerisk. Måling vha. straingauges - eksperimentel
Overslagsberegninger - analytisk Beregning ved Elementmetoden - numerisk Måling vha. straingauges - eksperimentel P7-Projekt Efterår 004 Gruppe H Gr. H P7 efterår 004 Gr. H P7 efterår 004 Indholdsfortegnelse
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereTitel: Analyse af cellulært materiale Divinycell H. Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakultet Institut for Byggeri og Anlæg Sohngårdsholmsvej 57 9000 Aalborg Titel: Analyse af cellulært materiale Divinycell H Tema: Analyse og design af bærende
Læs mereIntroduktion til programmet CoRotate
Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som
Læs mereNOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST
pdc/sol NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk Indledning I dette notat
Læs mereRedegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Lysbrovej 13
Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Lysbrovej 13 Dato: 22. Januar 2015 Byggepladsens adresse: Lysbrovej 13 Matr. nr. 6af AB Clausen A/S STATISK DUMENTATION Adresse: Lysbrovej
Læs mereLøsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6
Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 For en excentrisk og tværbelastet søjle skal det vises, at normalkraften i søjlen er under den kritiske værdi mht. søjlevirkning og at momentet i søjlen
Læs mereSøjler og vægge Centralt og excentrisk belastede. Per Goltermann
Søjler og vægge Centralt og excentrisk belastede Per Goltermann Søjler: De små og ret almindelige Søjler i kontorbyggeri (bygning 101). Præfab vægelementer i boligblok Søjler under bro (Skovdiget). Betonkonstruktioner
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereKonstruktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader)
Christian Frier Aalborg Universitet 003 Konstrktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Overslagsregler fra Teknisk Ståbi Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader
Læs mereBetonkonstruktioner Lektion 3
Betonkonstruktioner Lektion 3 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk 1 Teori fra 1. og. lektion Hvad er et stift plastisk materiale? Hvad er forskellen på en elastisk og plastisk spændingsfordeling?
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereBeregningsopgave 2 om bærende konstruktioner
OPGAVEEKSEMPEL Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner Indledning: Familien Jensen har netop købt nyt hus. Huset skal moderniseres, og familien ønsker i den forbindelse at ændre på nogle af de bærende
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereKapitel 1. Planintegraler
Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik
Læs mereRedegørelse for den statiske dokumentation
Redegørelse for den statiske dokumentation Udvidelse af 3stk. dørhuller - Frederiksberg Allé Byggepladsens adresse: Frederiksberg Allé 1820 Matrikelnr.: 25ed AB Clausen A/S side 2 af 15 INDHOLD side A1
Læs mereVridning hvælving og kipning. april 2014, LC
Vridning hvælving og kipning april, LC L B L P B Indhold Hvælvingsinertimoment.. Teoretisk udledning for et U-profil.. Taelværdier.3 Eksempel med et H-profil.. Eksempel med et Z-profil. Fri vridning. Massive
Læs mereBetonkonstruktioner, 5 (Jernbetonplader)
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstrktioner, 5 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader Deformationsberegninger 1 Christian Frier
Læs mereTUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER
pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs merea 1 F 1 B F B Opgave 1 Bestem reaktionskræfterne F = 375 N a1 = 0,3 m a2 = 0,9 m
Opgave 1 Bestem reaktionskræfterne F 1 B F = 375 N a1 = 0,3 m a2 = 0,9 m a 1 a2 Opgave 2 Bestem reaktionskræfterne 30º F B F = 50 kn a1 = 0,5 m a2 = 1,0 m a 1 a2 Opgave 3 Bestem reaktionskræfterne F2 B
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereBilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS
Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN
Læs mereDimensionering af flanger til angulære kompensatorer
Dimensionering af flanger til angulære kompensatorer Afgangsprojekt Thomas Sørensen Aalborg Universitet Esbjerg, Esbjerg Institute of Technology Titelblad Titelblad Titel: Dimensionering af flanger til
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereBesvarelser til Calculus Reeksamen August 2017
Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave
Læs mereVEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA
VEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA TL-Engineering oktober 2009 Indholdsfortegnelse 1. Generelt... 3 2. Grundlag... 3 2.1. Standarder... 3 3. Vindlast... 3 4. Flytbar mast... 4 5. Fodplade...
Læs mere9/25/2003. Arkitektonik og husbygning. Kraftbegrebet. Momentbegrebet. Momentets størrelse. Momentets retning højrehåndsregel. Moment regnes i Nm
Arkitektonik og husbygning Program lektion 1 8.30-9.15 Rep. af statikkens grundbegreber 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Rep. af gitterkonstruktioner 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereRedegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Tullinsgade 6 3.th
Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Tullinsgade 6 3.th Dato: 10. april 2014 Byggepladsens adresse: Tullinsgade 6, 3.th 1618 København V. Matr. nr. 667 AB Clausen A/S
Læs mereBetonkonstruktioner Lektion 4
Betonkonstruktioner Lektion 4 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Fault of Engineering 1 Bøjning med forskdning -Brudtilstand Fault of Engineering 2 Introduktion til Diagonaltrkmetoden I forbindelse
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereBetonkonstruktioner Lektion 1
Betonkonstruktioner Lektion 1 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Det Tekniske Fakultet 1 Materialeegenskaber Det Tekniske Fakultet 2 Beton Beton Består af: - Vand - Cement - Sand/grus -Sten Det
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBEREGNING AF U-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT
Indledning BEREGNING AF U-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk I dette notat gennemregnes som eksempel et
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter
Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereArkitektonik og husbygning
Arkitektonik og husbygning Program lektion 1 8.30-9.15 Rep. af statikkens grundbegreber 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Rep. af gitterkonstruktioner 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mere