Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Transkript

1

2 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september december 24 Projektgruppe: Gruppe C127 Gruppemedlemmer: Jakob Badsberg Aleks Kvartborg Jakobsen Per Ladefoged Kromann Jess McCann Thomsen Vejleder: Henrik Myhre Jensen I dette projekt undersøges en homogen og en porøs krum bjælke mht. nedbøjning. Der tages udgangspunkt i materialeparametrene for det homogene materiale, som bestemmes ved forsøg. Udfra materialeparametre bestemmes flytninger for en homogen krum bjælke analytisk og numerisk og disse sammenlignes med forsøgsresultater. Derudover sammenlignes tøjninger fra den numeriske model med tøjninger fra forsøg. Flytningen for en porøs krum bjælke, af samme materiale, bestemmes numerisk på baggrund af analytisk og numerisk estimerede materialeparametre for det porøse materiale, samt ved numerisk beregning med superelementer og disse sammenlignes med forsøgsresultater. Derudover undersøges det ved sammenligning af analytiske og numeriske beregninger og forsøgsresultater, hvilken betydning nærliggende rande har for tøjninger og spændinger omkring et hul i et materiale. Oplag: 6 Hovedrapport sideantal: 29 Bilag sideantal: 124 Appendiks sideantal: 2 Total sideantal: 173

3

4 Kapitel ttt Forord ttt Denne rapport er udarbejdet som et B7-projekt af gruppe C127 ved det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet, Aalborg Universitet i perioden 2. september til 22. december 24. Det overordnede formål for B7-forløbet er;... at sætte den studerende i stand til at kunne analysere avancerede beregningsmetoders forudsætninger, begrænsninger og brug ved projektering af bygge- og anlægskonstruktioner. [B-studienævnet 24, side 3] Rapporten er delt op i tre dele: 1. En hovedrapport som gør rede for de vigtigste resultater og giver en vurdering af disse. 2. En bilagsrapport som indeholder beregninger samt den teori, der ligger bag beregningerne. 3. Et appendiks som indeholder tegninger af de benyttede forsøgsemner samt forsøgsresultater. Derudover er der vedlagt en CD, som indeholder selve rapporten, MATLAB-dokumenter, programmer og Autocad-tegninger. Til alle beregninger og numeriske modeller benyttes MATLAB med CALFEM, som er en finite element toolbox. Kildehenvisningerne i rapporten angives efter forfatternavn og udgivelsesår for den kilde, afsnittet er baseret på, f.eks. [B-studienævnet 24]. Yderligere information om den enkelte kilde findes i litteraturlisten bagerst i rapporten. Figurer og tabeller nummereres uafhængigt, hvilket betyder, at der i samme kapitel kan forekomme figurer og tabeller med samme nummer. I rapporten angiver { } en vektor og [ ] en matrice, og hvis det ønskes at angive størrelsen af disse, benyttes benævnelserne { } n og [ ] n m, hvor n angiver antallet af rækker i vektoren eller matricen, og m angiver antallet af søjler i matricen. iii

5 Jakob Badsberg Aleks Kvartborg Jakobsen Per Ladefoged Kromann Jess McCann Thomsen iv

6 INDHOLD Kapitel ttt Indhold ttt I Hovedrapport 1 1 Indledning 3 2 Homogen Krum Bjælke 5 3 Porøs Krum Bjælke 13 4 Spændinger og Tøjninger omkring et Hul 19 5 Konklusion 25 II Bilag 29 A Trækforsøg med Homogen Stang 35 B Analytisk Beregning af Flytninger 39 C Numerisk Model af Homogen Krum Bjælke 51 D med Homogen Krum Bjælke 55 E Estimering af Materialeparametre 61 F Numerisk Model af Enhedscelle 75 G Trækforsøg med Porøs Stang 81 H Numerisk Model af Porøs Krum Bjælke 85 I med Porøs Krum Bjælke 91 v

7 J Trækforsøg med Stang med et Hul 95 K Analytisk Beregning af Spændinger omkring et Hul 99 L Numerisk Beregning af Spændinger omkring et Hul 19 M Elementtyper 113 N Konvergensanalyse 145 O Nedbøjningsanalyse 151 III Appendiks 153 I sdata for Homogen Stang 157 II sdata for Homogen Krum Bjælke 159 IIIsdata for Porøs Stang 163 IV sdata for Porøs Krum Bjælke 165 V sdata for Bred Stang med et Hul 167 VI sdata for Smal Stang med et Hul 169 VIIAnalytisk Beregning af Tøjninger 171 Litteratur 171

8 Del I Hovedrapport 1

9

10 1. Indledning Kapitel 1 ttt Indledning ttt Konstruktionselementer kan ikke altid dimensioneres på baggrund af kendte bjælketeorier, og det kan derfor være nødvendigt at opstille numeriske løsninger til bestemmelse af spændinger og tøjninger. Sådanne problemer opstår blandt andet hvor Bernoulli-Euler- og Timoshenko-bjælketeori ikke er anvendelige, eksempelvis ved vægskiver med vindues- og dørhuller. Et andet eksempel på konstruktioner, hvor Bernoulli-Euler bjælketeori ikke kan forventes at give gode resultater, er i forbindelse med krumme bjælker, da der i sådanne konstruktioner opstår søjlevirkning, hvilket denne teori ikke tager højde for. I dette projekt betragtes en konstruktion, hvor ovenstående problemer er til stede, eftersom projektet behandler en krum, høj bjælke, der udføres med en veldefineret porøsitet. Materialets porøsitet påvirker dels materialets stivhed, dels spændings- og tøjningsfeltet, og derfor behandles sammenhængen mellem porøsitet og effektive materialeparametre samt porernes betydning for lokale spændings- og tøjningsforskelle. På figur 1.1 ses de to forsøgsemner der analyseres i dette projekt. Figur 1.1 semner der behandles i dette projekt. Det undersøges dels, hvilken fejl der begås ved at anvende eksempelvis Bernoulli- Euler- eller Timoshenko-bjælketeori på en konstruktion, der ligger uden for metodens gyldighedsområde. Dels undersøges det, hvor nøjagtige resultater der kan opnås ved at modellere konstruktionen ved hjælp af elementmetoder, i forhold til eksperimentielt målte flytninger og tøjninger. Desuden behandles problemer omhandlende ændringer af tøjninger opstået lokalt i en 3

11 1. Indledning konstruktion som følge af porøsiteter. I forbindelse med denne undersøgelse betragtes forskellige trækprøveemner med cirkulære huller, hvor tøjninger måles eksperimentielt og sammenlignes med analytisk og numerisk bestemte tøjningsfelter. 4

12 2. Homogen Krum Bjælke Kapitel 2 ttt Homogen Krum Bjælke ttt I dette kapitel undersøges materialeparametre, flytninger og tøjninger i en homogen krum bjælke vha. analytiske løsninger, numeriske modeller og forsøg. 2.1 Materialeparametre Ud fra trækforsøg med en homogen stang, som består af samme materiale som den homogene krumme bjælke, bestemmes de materialeparametre, som bruges ved de senere beregninger. Ved trækforsøget bestemmes elasticitetsmodulen (E) og Poissons forhold (ν), se bilag A. E = 25 MPa ν =, 4 Derudover be- og aflastes trækprøveemnet, og det konkluderes ud fra dette forsøg, at materialet er lineært elastisk inden for belastningsintervallet. 2.2 Flytninger Det ønskes at undersøge forskellige bjælketeorier samt numeriske modeller for flytninger. Deres gyldighed vurderes ved at sammenligne med flytninger opnået ved forsøg. Nedbøjningerne beregnes på fire forskellige måder, se bilag B og C: Bernoulli-Euler bjælketeori: Med udgangspunkt i en ret bjælke med samme længde som centerlinien af den krumme bjælke og samme tværsnitsdimensioner og fast simple understøtninger, se figur 2.1. Timoshenko bjælketeori: Der tages udgangspunkt i samme geometriske forudsætninger som ved Bernoulli-Euler bjælketeori, samt at der tages højde for forskydningskræfternes bidrag til nedbøjningerne. Krum bjælketeori: Med udgangspunkt i en krum bjælke med fast simple understøtninger, se figur 2.2, behandles denne udfra en specialiseret Bernoulli-Euler bjælketeori. 5

13 2. Homogen Krum Bjælke Figur 2.1 Statisk model til beregning vha. Bernoulli- Euler og Timoshenko bjælketeori, mål i mm. Figur 2.2 Statisk model til beregning vha. krum bjælke teori, mål i mm. Numeriske modeller: Flytningerne beregnes udfra to numeriske modeller som løses vha. elementmetoden. Der benyttes to forskellige understøtninger, da det ønskes at undersøge, hvilken effekt disse har på flytningerne, se figur 2.3 og 2.4. Den første numeriske model, som i det følgende benævnes "Numerisk 1", understøttes ligesom ved de teoretiske beregninger med fast simple understøtninger, se figur 2.3. Ved den anden numeriske model, "Numerisk 2", modelleres understøtningen således, at den svarer til forsøgsopstillingen. Dvs. at bjælken understøttes af en meget stivere klods, som kun tillades rotation omkring et punkt under klodsen. Af figur 2.4 fremgår det, hvorledes understøtningen modelleres. Figur 2.3 Numerisk 1, mål i mm. Figur 2.4 Numerisk 2, mål i mm. De teoretiske beregninger af nedbøjningen fremgår af bilag B, flytningerne beregnes vha. elementmetoden i bilag C, og forsøget behandles i bilag D. sopstillingen fremgår af figur 2.5. Figur 2.5 sopstilling med centerlinie, mål i mm. 6

14 2. Homogen Krum Bjælke Udfra beregningerne og målingerne af flytningerne ved forskellige belastninger fremgår det, at flytningerne varierer lineært med belastningen. Derfor kan nedbøjningen, som fremgår af figur 2.6 for en belastning på 1,5 kn, skaleres til en vilkårlig belastning. Nedbøjning [mm] Bernoulli Euler Timoshenko Krum bjælke Numerisk 1 Numerisk Buelængde [mm] Figur 2.6 Nedbøjning i bjælkens underside ved de forskellige metoder med en belastning på 1,5 kn. Ved at plotte nedbøjningen beregnet udfra Bernoulli-Euler, Timoshenko og krum bjælketeori i bjælkens underside begås der en fejl, da disse beregnes i bjælkens centerlinie, men det vurderes dog, at denne fejl er ubetydelig. Af figur 2.6 fremgår det, at nedbøjningerne som forventet er større for Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorierne, da disse ikke tager hensyn til søjlevirkning i bjælken. Derfor udelukkes disse som tilnærmelse til den krumme bjælketeori, og på figur 2.7 ses de resterende. Nedbøjning [mm] Krum bjælke Numerisk 1 Numerisk Buelængde [mm] Figur 2.7 Nedbøjning i bjælkens underside bestemt vha. krum bjælketeori, numeriske modeller og forsøg ved en belastning på 1,5 kn. På figur 2.6 og 2.7 ses det, at den krumme bjælketeori og numerisk model 1 giver tilnærmelsesvis samme værdier for nedbøjningen i forhold til numerisk model 2, hvilket passer godt da disse har ens understøtningsforhold. Derimod giver den krumme bjælketeori og de numeriske modeller afvigelser i forhold til de målte nedbøjninger midt på bjælken, hvilket kan skyldes måleusikkerheder, eller at kraftpåførslen ved beregning med den krumme bjælketeori og de numeriske modeller antages at være en enkeltlast hvilket ikke er muligt at opnå ved forsøg. Derudover kan en afvigelse mellem nedbøjningerne beregnet vha. den krumme bjælketeori og forsøgsresultater skyldes, at nedbøjningerne beregnes i bjælkens centerlinie, mens nedbøjningen måles i bjælkens underside, men det vurderes dog, at denne fejl er ubetydelig. Den krumme bjælketeori kunne forbedres ved at medtage bidragene til flytningerne der skyldes forskydningskræfter. Dette kunne gøres ved at specialisere Timoshenko-bjælketeorien til krumme bjælker. Deformationerne ses på figur

15 2. Homogen Krum Bjælke Udeformeret Krum bjælke Numerisk 1 Numerisk Figur 2.8 Flytninger i bjælkens underside (skaleret 1:5) ved en belastning på 1,5 kn, mål i mm. På figur 2.8 ses det, at flytningerne ved understøtningen ikke giver ved beregning med de to nummeriske modeller. Dette skyldes af flytningerne beregnes på undersiden i stedet for centerlinien, og på figur 2.9 og 2.1 illustreres hvorledes flytningerne er afhængige af understøtningsforholdende for de to numeriske modeller Figur 2.9 Flytninger (skaleret 1:5) for numerisk model 1 ved en belastning på 1,5 kn, mål i mm Figur 2.1 Flytninger (skaleret 1:5) for numerisk model 2 ved en belastning på 1,5 kn, mål i mm. 2.3 Tøjninger Udfra flytningerne ses det, at disse tilnærmet kan bestemmes udfra analytiske og numeriske beregninger og i det følgende undersøges om også tøjninger kan bestemmes numerisk. Tøjningerne bestemmes ud fra de numeriske modeller og sammenlignes med forsøgsresultaterne. På figur 2.11 til 2.14 ses tøjningsbilledet i hovedretningerne (x 1 - og x 2 - retningen) for de to understøtningsforhold. Af figurerne ses det, at tøjningerne er størst omkring midten af bjælken. Ved sammenligning af de to numeriske modeller bestemmes betydningen af understøtningsforholdene. 8

16 2. Homogen Krum Bjælke Figur 2.11 Tøjninger i x 1-retningen for numerisk model 1. De største og mindste tøjninger ved understøtningen og kraftens angrebspunkt sorteres fra for lettere at kunne se tøjningsfordelingen, belastning 1 kn, mål i mm. Figur 2.12 Tøjninger i x 2-retningen for numerisk model 1. De største og mindste tøjninger ved understøtningen og kraftens angrebspunkt sorteres fra for lettere at kunne se tøjningsfordelingen, belastning 1 kn, mål i mm. Figur 2.13 Tøjninger i x 1-retningen for numerisk model 2. De største og mindste tøjninger ved understøtningen og kraftens angrebspunkt sorteres fra for lettere at kunne se tøjningsfordelingen, belastning 1 kn, mål i mm. Figur 2.14 Tøjninger i x 2-retningen for numerisk model 2. De største og mindste tøjninger ved understøtningen og kraftens angrebspunkt sorteres fra for lettere at kunne se tøjningsfordelingen, belastning 1 kn, mål i mm.. Ved sammenligning af de to modeller ses det, at understøtningsforholdene har betydning i området omkring understøtningen, idet der ved numerisk model 2 ikke opstår et singulært punkt som ved numerisk model 1, samt at tøjningerne på den indvendige rand helt nede ved understøtningen bliver lidt mindre i x 2 -retningen. Ved sammenligning af de målte og beregnede værdier af tøjningerne vurderes det, hvorvidt der er overensstemmelse mellem beregningsmodellerne og forsøget. Sammenligningen sker i de punkter, hvor der ved forsøget måles tøjninger, og placeringen af disse punkter ses i bilag D. Materialet er som tidligere nævnt lineært elastisk, og derfor er den procentvise afvigelse af de numeriske modeller i forhold til forsøget gældende for alle belastniger. Der angives i det følgende ikke nogen målt værdi for tøjningerne i gauge 4, da denne gauge var defekt ved forsøget. 9

17 2. Homogen Krum Bjælke ε 11 [µm/m] Numerisk 1 Numerisk 2 12% 1% 8% 6% 4% Numerisk 1 Numerisk 2 2 2% Gauge nr. % Gauge nr. Figur 2.15 Sammenligning af normaltøjninger i x 1- retningen fra forsøg og numerisk model 1 og 2 ved en last på 2, kn. Figur 2.16 Procentvis afvigelse af tøjninger fra numeriske modeller i forhold til målte tøjninger i x 1-retningen. ε 22 [µm/m] Numerisk 1 Numerisk Gauge nr. 6% 5% 4% 3% 2% 1% % Numerisk 1 Numerisk Gauge nr. Figur 2.17 Sammenligning af normaltøjninger i x 2- retningen fra forsøg og numerisk model 1 og 2 ved en last på 2, kn. Figur 2.18 Procentvis afvigelse af tøjninger fra numeriske modeller i forhold til målte tøjninger i x 2-retningen. 1 8 Numerisk 1 Numerisk 2 5% 4% Numerisk 1 Numerisk 2 ε 12 [µm/m] 6 4 3% 2% Gauge nr. 1% % Gauge nr. Figur 2.19 Sammenligning af forskydningstøjninger fra forsøg og numerisk model 1 og 2 ved en last på 2, kn. Figur 2.2 Procentvise afvigelse af forskydningstøjninger fra numeriske modeller i forhold til målte forskydningstøjninger. Af figur 2.15 til 2.2 fremgår det, at der er forholdsvis god overensstemmelse mellem forsøgsresultaterne og de numeriske beregninger. Der er dog afvigelser, hvilket kan skyldes måleusikkerheder og uoverensstemmelser mellem modellering og forsøgsopstilling. Derudover fremgår det af figur 2.15 til 2.2 at afvigelserne mellem model og forsøg især reduceres ved understøtningen ved numerisk model 2, idet denne svarer 1

18 2. Homogen Krum Bjælke bedst til forsøgsunderstøtningen. Figur 2.15 og 2.17 giver også et godt billede af, hvor neutrallinien er placeret henholdsvis ved toppen af bjælken og ved understøtningen, idet vinklen fra vandret og lodret er lille. For at bestemme neutrallinien gennem hele bjælken er det nødvendigt at beregne tøjningerne i bjælkeaksen i stedet for x 1 -, x 2 -retningen, hvilket ses på figur 2.21 og Figur 2.21 Tøjningerne i bjælkeaksen for numerisk model 1 ved en belastning på 1, kn, mål i mm. Figur 2.22 Tøjningerne i bjælkeaksen for numerisk model 2 ved en belastning på 1, kn, mål i mm. Figur 2.21 og 2.22 giver et godt billede af, hvad der sker inde i bjælken. Det ses blandt andet, at der som tidligere nævnt på midten af bjælken er træk i undersiden, men det ses også, at der opstår en trykzone på den indvendige rand og der kommer træk på ydersiden. Det ses også af figur 2.21 og 2.22, at der er et spring i neutrallinien (gul), idet der forekommer tryk over hele tværsnittet, og at tøjningerne går fra træk til at blive tryk og omvendt. Understøtningsforholdende ses også kun at have en lokal betydning, hvorefter tøjningsbilledet bliver ens. 11

19

20 3. Porøs Krum Bjælke Kapitel 3 ttt Porøs Krum Bjælke ttt I det følgende gøres der rede for flytningerne i en porøs krum bjælke med samme dimensioner som den i kapitel 2 benyttede, beregnet ud fra forskellige metoder. I appendiks IV illustreres den porøse bjælke, og bjælkens porøsitet bestemmes til, Materialeparametre Der tages udgangspunkt i materialeparametrene for det homogene materiale, som i bilag A bestemmes til: E = 25 MPa ν =, 4 På baggrund af disse estimeres de effektive materialeparametre for det porøse materiale udfra følgende seks metoder, hvor elasticitetsmodulen og Poissons forhold bestemmes som funktion af porøsiteten, se bilag E: Voigt estimat Reuss estimat Dilute estimat Selvkonsistent estimat Gibson & Ashbys cellulære model Enhedscelle Det vurderes dog, at forudsætningerne for Reuss og Gibson & Ashby estimaterne ikke opfyldes, og derfor ses der bort fra disse. Derudover estimeres materialeparametrene udfra en numerisk model, idet der modelleres en enhedscelle, som illustreres på figur

21 3. Porøs Krum Bjælke Figur 3.1 Enhedscelle. Ved at påføre enhedscellen en enakset tøjningstilstand og beregne de globale spændinger, kan elasticitetsmodulen og Poissons forhold bestemmes for en given porøsitet, se bilag F. På figur 3.2 og 3.3 er de forskellige estimater af de effektive elasticitetsmoduler og Poissons forhold plottet som funktion af porøsiteten, samt elasticitetsmodulen og Poissons forhold beregnet for forsøg med den porøse bjælke i bilag G. E eff / E Voigt Dilute Selvkonsistent Enhedscelle Porøsitet (f) Figur 3.2 Estimerede relative elasticitetsmoduler..5 Poissons forhold (ν) Voigt Dilute.1 Selvkonsistent Enhedscelle Porøsitet (f) Figur 3.3 Estimerede Poissons forhold. Det skal bemærkes, at Poissons forhold for Voigt sættes konstant lig Poissons forhold for det homogene materiale, da denne metode ikke giver et estimat for Poissons forhold. Derudover skal det også bemærkes, at Poissons forhold beregnet udfra enhedscellen stiger ved porøsiteter over ca.,6, hvilket kan indikere, at den numeriske model ikke giver brugbare værdier for elasticitetsmodulen og Poissons forhold ved høje porøsiteter. 14

22 3. Porøs Krum Bjælke Materialeparametrene for bjælken ved en porøsitet på,2 ses i tabel 3.1. Model E eff [MPa] ν eff [-] Voigt 27 - Dilute 157,375 Selvkonsistent 12,36 Enhedscelle 1551,326 Tabel 3.1 Estimerede effektive materialeparametre for en porøsitet på, Flytninger Flytningen bestemmes i bjælkens underside udfra fire forskellige numeriske mo-deller og sammenlignes derefter med flytningen bestemt ved forsøg med den porøse krumme bjælke. På figur 3.4 og 3.5 ses de to første numeriske modeller, der benyttes til beregning af flytningen. Disse modelleres således, at understøtningsforholdene svarer til "Numerisk 1" og "Numerisk 2", som beskrevet i kapitel 2. Disse modeller opbygges af superelementer, som beskrives i bilag H, og benævnes i det følgende "Porøs 1" og "Porøs 2". Figur 3.4 Porøs 1, mål i mm. Figur 3.5 Porøs 2, mål i mm. De sidste numeriske beregninger af flytningerne tager udgangspunkt i de numeriske modeller af den homogene krumme bjælke, som benyttes i kapitel 2. Ved at benytte de estimerede materialeparametre i de numeriske modeller af den homogene krumme bjælke i stedet for materialeparametrene for det homogene materiale, fås et estimat for flytningerne af den porøse krumme bjælke, idet de estimerede materialeparametre tager højde for porøsiteten. De numeriske modeller af den homogene krumme bjælke fremgår af figur 2.3 og 2.4 i kapitel 2 og beskrives i bilag C. Derudover bestemmes flytningerne ved forsøg, og på figur 3.6 ses forsøgsopstillingen, der benyttes. 15

23 3. Porøs Krum Bjælke Figur 3.6 sopstilling ved porøs krum bjælke, mål i mm. Flytningerne målt ved forsøg fremgår af bilag I, og på figur 3.7 og 3.8 plottes disse sammen med de beregnede nedbøjninger. Nedbøjning [mm] Voigt Dilute Selvkonsistent Enhedscelle Superelement Buelængde [mm] Figur 3.7 Nedbøjning i bjælkens underside bestemt vha. numerisk model 1 med forskellige estimater af materialeparametre, porøs model 1 og forsøg for en belastning på 1,5 kn. Nedbøjning [mm] Voigt Dilute Selvkonsistent Enhedscelle Superelement Buelængde [mm] Figur 3.8 Nedbøjning i bjælkens underside bestemt vha. numerisk model 2 med forskellige estimater af materialeparametre, porøs model 2 og forsøg for en belastning på 1,5 kn. Af figur 3.7 og 3.8 fremgår det, at den beregning af nedbøjningen der giver den mindste forskel i forhold til de målte nedbøjninger, fås ved at benytte numerisk model 2 med selvkonsistente estimerede materialeparametre, og at Voigt estimaterne giver den største forskel ved både porøs model 1 og 2. Derudover ses det, at nedbøjningerne beregnet vha. Dilute-estimatet, enhedscellen og superelementet er næsten sammen- 16

24 3. Porøs Krum Bjælke faldende. Disse er dog kun sammenfaldende for porøsiteter mellem og ca.,2, da estimaterne her er sammenfaldende, se figur 3.2. På figur 3.9 og 3.1 illustreres flytningerne i bjælkens underside, og heraf ses det, at flytningerne bliver mindre ved at understøtte bjælken med en stiv klods, og at flytningerne ved understøtningen ligesom ved numerisk model 1 og 2 ikke er, hvilket skyldes understøtningsforholdene. Det vurderes dog, at understøtningsforholdene ved numerisk model 2 svarer bedst til forsøgsopstillingen, da forsøgsresultaterne indikerer at flytningerne ved understøtningen er positiv, hvilket ikke er tilfældet for numerisk model 1, se figur Udeformeret Voigt Dilute Selvkonsistent Enhedscelle Superelement Figur 3.9 Flytninger i bjælkens underside (skaleret 1:5) ved en belastning på 1,5 kn bestemt vha. numerisk model 1 med forskellige estimater af materialeparametre, porøs model 1 og forsøg, mål i mm. 17

25 3. Porøs Krum Bjælke Udeformeret Voigt Dilute Selvkonsistent Enhedscelle Superelement Figur 3.1 Flytninger i bjælkens underside (skaleret 1:5) ved en belastning på 1,5 kn bestemt vha. numerisk model 2 med forskellige estimater af materialeparametre, porøs model 2 og forsøg, mål i mm. 3.3 Effekt af porøsitet For at bestemme om det har effekt at udføre et emne af et porøst materiale, sammenlignes det med et tilsvarende emne med reduceret tykkelse således at massen er den samme. Denne beregning foretages ved at sammenligne nedbøjningerne for emnet modelleret med superelementet, og som homogen. Det beregnes i bilag O at der opnås 4% mindre nedbøjning for en porøs bjælke med en porøsitet på,2 i forhold til en smallere massiv bjælke med samme masse. 18

26 4. Spændinger og Tøjninger omkring et Hul Kapitel 4 ttt Spændinger og Tøjninger omkring et Hul ttt I dette kapitel undersøges fordelingen af spændinger og tøjninger omkring et hul i en stang udsat for enakset belastning. For at bestemme spændingerne og tøjningerne foretages der tre forskellige undersøgelser: Analytisk beregning Numerisk beregning På baggrund af en sammenligning af disse undersøgelser vurderes gyldigheden af hver enkelt undersøgelse. 4.1 Teoretiske undersøgelser De analytiske og numeriske løsninger sammenlignes for at undersøge hvordan de ydre rande påvirker spændinger og tøjninger omkring hullet. De tre teoretiske modeller har forskellige forudsætninger, og ud fra forskellen i de beregnede spændinger vurderes indflydelsen af randen. Den første analytiske beregning (bilag K) forudsætter, at der er uendeligt langt til den ydre rand, mens den anden analytiske beregning samt den numeriske model (bilag L) tager hensyn til randene. Det er i bilag N bestemt, at den numeriske model skal opbygges af ca. 2. elementer inddelt med 64 opdelinger over radien og 3 i tværretningen, før der opnås gode resultater. For at undersøge betydningen af randenes beliggenhed udføres der en række beregninger, hvor afstanden til randen varieres. Resultaterne af disse ses af figur

27 4. Spændinger og Tøjninger omkring et Hul 1 8 Numerisk Analytisk Analytisk σ 11 [MPa] Bredde [mm] Figur 4.1 Beregnede spændinger på hulranden for toppen af hullet afhængig af bredden. Det ses, at der er god overensstemmelse mellem den numeriske og det analytiske udtryk, der er en funktion af randenes placering. På figur 4.1 ses det endvidere, at samtlige udtryk konvergerer mod samme værdi, når afstanden til randen øges. Det ses at der ved en halv brede på ca. 3 mm opnås stort set samme spænding ved de tre metoder. Det viser sig dog, at det analytiske udtryk, hvor der tages hensyn til randens placering, kun giver gode resultater tæt ved hullet, hvilket ses ved sammenligning af figur 4.2 og Figur 4.2 Analytisk beregnede spændinger i MPa ved endelig afstand til randene hvor der påtrykkes 5 MPa i x 1-retningen, mål i mm Figur 4.3 Numerisk beregnede spændinger i MPa ved endelig afstand til randene hvor der påtrykkes 5 MPa i x 1-retningen, mål i mm. På spændingsplottet af de analytiske beregnede spændinger, figur 4.2, ses det, at der optræder en trykzone i oversiden, hvilket ikke er i overensstemmelse med det forventede. Ligeledes ses det også, at der ikke optræder homogene spændinger på tværs af tværsnittet, når afstanden til hullet øges. Herudfra vurderes det, at det analytiske udtryk, hvor randene har en endelig placering, kun er gældende på hulranden. I det følgende benyttes analytiske udtryk, hvor randene har en endelig placering ikke, da gyldighedsområdet er meget lille. 2

28 4. Spændinger og Tøjninger omkring et Hul Det ønskes at undersøge randenes betydning for spændingsfordelingen, og derfor sammenlignes den analytiske løsning med den numeriske model. På figur 4.4 og 4.5 ses spændingsfordelingen opnået ved den analytiske samt den numeriske model. Der tages udgangspunkt i den bredde forsøgsopstilling, se figur 4.8, og der vises kun en fjerdedel af forsøgsemnet, idet der er symmetri Figur 4.4 Analytisk beregnede spændinger målt i MPa i x 1-retningen ved belastning på 5 MPa i x 1-retningen, mål i mm Figur 4.5 Numerisk beregnede spændinger målt i MPa i x 1-retningen ved belastning på 5 MPa i x 1-retningen, mål i mm. Det ses på figur 4.4 og 4.5, at spændingsfordelingen omkring hullet for de to figurer varierer meget lidt, dog giver den numeriske model lidt større spændinger. For at gøre sammenligningen mellem de to metoder mere overskuelig, udføres beregningerne i de punkter på pladen, hvor tøjningerne måles ved forsøget. Placeringen betegnes derfor i det følgende med gaugenummeret. Placeringen af gaugene ses på figur 4.8. I stedet for spændinger betragtes der i det følgende tøjninger, da disse senere sammenlignes med forsøget. På figur 4.6 og 4.7 ses resultaterne for de to beregningsmetoder i beregningspunkterne. 5 4 Numerisk Analytisk ε 11 [µm/m] Gauge Nr. Figur 4.6 Numerisk og analytisk beregnede tøjninger i x 1-retningen ved en belastning på 5 MPa. 21

29 4. Spændinger og Tøjninger omkring et Hul 2 15 Numerisk Analytisk ε 22 [µm/m] Gauge Nr. Figur 4.7 Numerisk og analytisk beregnede tøjninger i x 2-retningen ved en belastning på 5 MPa. På figur 4.6 og 4.7 ses det, at der er rimelig god overensstemmelse mellem de analytiske og numerisk beregnede tøjninger. Afvigelsen kan skyldes randeeffekter. 4.2 Sammenligning med forsøg I det følgende sammenlignes den analytiske og numeriske model med forsøget. De teoretiske værdier beregnes i punkter svarende til placering af straingaugene på forsøgsemnerne, se figur 4.8. Figur 4.8 Placering af straingauges. semnerne belastes som vist på figur 4.8, med enakset træk, således at der opnås ensformig spænding i tværsnittet langt fra hullet. I bilag J ses resultaterne fra forsøget Bredt forsøgsemne På figur 4.9 og 4.1 ses tøjningerne i hovedretningerne fra de teoretiske udregninger og forsøget. 22

30 4. Spændinger og Tøjninger omkring et Hul 5 4 Numerisk Analytisk ε 11 [µm/m] Gauge Nr. Figur 4.9 Tøjninger i x 1-retningen for det bredde forsøgsemne ved en belastning på 5 MPa Numerisk Analytisk ε 22 [µm/m] Gauge Nr. Figur 4.1 Tøjninger i x 2-retningen for det bredde forsøgsemne ved en belastning på 5 MPa. Det ses på figur 4.9 og 4.1, at der er god overensstemmelse mellem resultaterne. Dog afviger resultaterne helt inde ved hullet. Det ses, at gauge 1, 4 og 7 har større afvigelser, hvilket kan skyldes måleunøjagtigheder i disse gauges Smalt forsøgsemne På figur 4.11 og 4.12 ses tøjningerne i hovedretningerne, fra henholdsvis de teoretiske beregninger og forsøg. 4 3 Numerisk Analytisk ε 11 [µm/m] Gauge Nr. Figur 4.11 Tøjninger i x 1 retningen for det smalle forsøgsemne ved en belastning på 5 MPa. 23

31 4. Spændinger og Tøjninger omkring et Hul ε 22 [µm/m] Numerisk Analytisk Gauge Nr. Figur 4.12 Tøjninger i x 2 retningen for det smalle forsøgsemne ved en belastning på 5 MPa. Det ses på figur 4.11 og 4.12, at forskellen mellem de to teoretiske tøjninger bliver større i forhold til forsøgsresultaterne fra det bredde forsøgsemne. Dette skyldes, at randen er tættere på hullet og derfor har større indflydelse på tøjningerne omkring hullet. 24

32 5. Konklusion Kapitel 5 ttt Konklusion ttt I dette projekt er overensstemmelsen mellem teori, numeriske modeller og forsøg undersøgt i forbindelse med beskrivelse af spændinger, tøjninger, samt flytninger for konstruktionselementer. Sammenhængen mellem målte flytninger for en homogen bjælke og beregnede flytninger ved forskellige metoder er undersøgt. Den teoretiske flytning er bestemt med fire forskellige metoder: Bernoulli-Euler bjælketeori hvor den krumme bjælke betragtes som ret. Timoshenko bjælketeori hvor bjælken betragtes som ret, og hvor der tages højde for bjælkens højde/længdeforhold. Bernoulli-Euler bjælketeori specialiseret til en krum bjælke, samt numeriske beregninger hvor bjælken analyseres i sin virkelige form. Af figur 5.1 fremgår nedbøjningen af bjælken ved de forskellige beregningsmetoder samt ved forsøget. Nedbøjning [mm] Bernoulli Euler Timoshenko Krum bjælke Numerisk 1 Numerisk Buelængde [mm] Figur 5.1 Nedbøjninger for homogen krum bjælke. På baggrund af undersøgelserne vurderes det, at det medfører store afvigelser at bestemme nedbøjningen ved at tilnærme den krumme bjælke til en ret bjælke, da der ikke tages højde for søjlevirkning. Ved at anvende en specialiseret Bernoulli- Euler bjælketeori for krumme bjælker opnås god overensstemmelse med de målte flytninger, hvilket også er tilfældet ved numerisk beregninger. Herved vurderes det, at der for en homogen krum bjælke kan opnås tilstrækkeligt gode resultater ved både analytiske og numeriske løsninger. 25

33 5. Konklusion For den porøse krumme bjælke foretages der beregninger af effektive materialeparametre samt flytninger. Der udføres flytningsforsøg med en porøs krum bjælke, og det undersøges, om der kan bestemmes effektive materialeparametre, der kan kompensere for bjælkens porøsitet for derved fortsat, beregningsmæssigt, at kunne betragte bjælken som homogen. Desuden foretages en flytningsanalyse, hvor porøsiteten medtages i den numeriske beregning ved at opbygge den krumme bjælke af superelementer. Der er til beregning af det effektive elasticitetsmodul og Poissons forhold foretaget en serie af estimater. Estimaterne er anvendt i numeriske beregninger, og flytningerne er derefter sammenlignet med flytninger bestemt ved forsøg. Følgende modeller er anvendt til estimering: Voigt, Reuss, Dilute, Selvkonsistent model, Gibson & Ashbys cellulære model samt et estimat bestemt ved numerisk analyse af en enhedscelle. Det vurderes, at der for den pågældende porøsitet opnås det bedste resultat for flytningerne i forhold til forsøget, ved at anvende den selvkonsistente model til at estimere de effektive materialeparametre. Den numeriske beregning med den krumme bjælke opbygget af superelementer giver ikke resultater, der er lige så gode som resultater opnået ved at anvende den selvkonsistente model til flytningsbestemmelsen. Resultatet ved denne beregning afviger fra det forventede, da det bør give et bedre resultat, idet porøsiteten indgår direkte i beregningen. Dilute estimatet og det numerisk beregnede estimat giver samme resultat, mens Reuss samt Gibson & Ashbys cellulære model ikke er anvendelige. På figur 5.2 ses nedbøjningerne for den porøse bjælke ved de forskellige beregninger samt ved forsøget. Nedbøjning [mm] Voigt Dilute Selvkonsistent Enhedscelle Superelement Buelængde [mm] Figur 5.2 Nedbøjninger, Porøs krum bjælke. I forbindelse med de numeriske analyser af den krumme, porøse og homogene, bjælke er der foretaget beregninger med to forskellige understøtningsmodeller. Herved er det undersøgt, om understøtningsforholdene påvirker flytningerne i bjælken. På figur 5.3 til 5.5 ses de forskellige understøtningsmodeller, der er anvendt. Det er ved denne undersøgelse fundet, at der opnås bedre resultater ved at understøtte den krumme bjælke som illustreret i figur 5.4, da denne model er i bedre overensstemmelse med forsøgsunderstøtningen illustreret på figur 5.5. Nedbøjningen er bestemt for en porøs samt en homogen bjælke, og det er fundet at nedbøjningen er mindre for en homogen bjælke end for en porøs, hvis de ydre mål fastholdes, hvilket kan forventes da tøjningerne/spændingerne reduceres, da de fordeles på mere materiale. Det er desuden undersøgt, om der opnås større stivhed, ved porøse materialer under antagelse af at materialemængden fastholdes. Derfor er der foretaget en numerisk beregning, hvor bredden af den homogene bjælke reduceres, så materialeforbruget er tilsvarende det i den porøse bjælke. Ved at undersøge nedbøjningen for denne slankere homogene bjælke er det fundet, at nedbøjningen 26

34 5. Konklusion Figur 5.3 Understøtning direkte på bjælke. Figur 5.4 Understøtning med stiv klods. Figur 5.5 sunderstøtning. øges i forhold til den tilsvarende porøse bjælke. Der opnås derved mindre nedbøjning ved anvendelse af porøse materialer, hvis materialemængden fastholdes. For at vurdere nøjagtigheden af de numeriske beregninger er tøjningerne og spændingerne omkring et hul i en skive udsat for enakset spænding undersøgt. Der er foretaget sammenligning af resultater opnået ved forsøg samt analytiske og numeriske beregninger, og det vurderes at numeriske analyser, ved et højt antal elementer, samt analytiske metoder giver gode resultater. 27

35