Ekstremværdianalyse af vandføringsdata Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 31.januar 014 Forfatter: Søren Erik Larsen og Niels Bering Ovesen Institut for Bioscience Rekvirent: Naturstyrelsen Klimatilpasning Antal sider: 0 Faglig kommentering: Brian Kronvang Kvalitetssikring centret: Poul Nordemann Jensen el.: +45 8715 0000 E-mail: dce@au.dk http://dce.au.dk
Der er gennemført ekstremværdianalyser på data fra 9 afstrømningsstationer for de to perioder 1961-1990 og 1991-010 jf. tabel 1. Statistiske fordelingsfunktioner er estimeret individuelt for hver station på årsmaksimumvandføringen inden for hydrologisk år. Dette notat indeholder en metode beskrivelse af de gennemførte statistiske analyser samt tabeller og figurer med estimater for =5 10 0 50 100 00 500 og 1000 års begivenheder. Endelig er usikkerheden på disse estimater vurderet ud fra 95 % konfidensintervallet. Der er endvidere beregnet medianminimums vandføring for hver af de 9 stationer for hver af de måleperioder. Der er udtrukket daglige vandføringsdata fra den nationale overfladevandsdatabase ODA for den samlede periode 1961-010 for de 30 stationer der indgår i den statistiske analyse. En mindre del af stationerne har ikke komplette tidsserier for begge perioder jf. tabel. For hver station er den udtrukne tidsserie opdelt i to deltidsserier: 1961-1990 og 1991-010. For hvert hydrologisk år (1. maj til 30. april) udtrækkes herefter den maksimale daglige vandføring. -års overskridelserne er estimeret ved anvendelse af forskellige ekstremværdi-fordelingsfunktioner hhv. den generaliserede ekstremværdi fordeling (tabel 1a og 1b) og Gumbel-fordeling (tabel 1c og 1d). Den generaliserede ekstremværdi fordeling er en individuelt tilpasset 3 parameter fordelingsfunktion hvorimod Gumbel-fordelingen er en mere simpel funktion med kun parametre. Værdierne er estimeret for hver periode ved brug af de årlige maksimalværdier og fordelingerne anvendes til at beregne estimater for -års begivenhederne med tilhørende 95 % konfidensintervaller. Maksimumværdier for vandføringstidsserier er behæftet med betydelig usikkerhed bl.a. fordi beregningerne i mange tilfælde foretages ud fra ekstrapolation af sammenhængen mellem vandstand og vandføring. Denne sammenhæng er endvidere ikke konstant. Derfor kan der forekomme homogenitetsbrud i dataserierne og de forskelle der ses mellem de undersøgte perioder kan således delvis skyldes denne usikkerhed. Endvidere kan data fra enkelte stationer i mindre grad være påvirket af reguleringer (opstemninger) i oplandet. Vandføringen i den nedre del af Gudenåen er betydelig påvirket af regulering så data fra stationer herfra er ikke medtaget i analyserne. Appendiks 1 indeholder plots af -års overskridelserne med de tilhørende 95 % konfidensintervaller. I Appendiks er der givet en teoretisk gennemgang af de statistiske metoder der er anvendt til beregningerne.
St.nr. Vandløb lokalitet Medianminimum Ekstremværdihændelser 1961-1990 m 3 /sek. Generaliseret fordeling = år 5 10 0 50 100 00 500 1000 030003 Uggerby å Astedbro 055 1185 135 1554 187 15 463 945 3359 070003 Lindholm å ns Køkkengrøften 014 63 690 771 895 100 110 198 1449 110016 Årup å Årup 049 70 735 764 793 809 8 834 840 1400 Lindenborg å Lindenborg bro 170 931 1105 1344 1787 48 841 393 5048 180077 Skals Å Løvel Bro 43 1076 1104 117 1151 1164 1174 1183 1189 0006 Skive å Hagebro 409 155 163 17 1846 1934 013 109 175 10085 Gudenå Åstedbro 080 171 1813 1894 1980 030 069 110 13 006 Storå Skærum Bro 765 5901 611 6486 6783 6958 7096 738 7319 5008 Skjern å Ahlergaarde 801 6048 683 7731 9106 1068 11515 13365 1489 6008 Århus å Skibby 0 604 651 695 748 783 813 847 869 7001 Giber Å Fulden 003 458 508 559 66 674 718 774 81 330004 Spang Å Bredstrup 014 53 557 579 601 613 63 63 637 350010 Sneum å Nørå bro 16 041 01 349 518 65 714 811 870 360008 Kongeå Kongebro 40 304 41 58 650 76 788 857 898 38004 Ribe å Stavnager 336 4505 4810 5095 543 5631 5805 5996 6114 400001 Brede å ns jernbanebro 106 113 18 31 41 470 516 564 591 40016 Grønå Rørkær 183 883 3093 398 3546 3713 3859 4030 4141 450001 Odense å Nørre Broby 1 331 345 3567 3679 3739 378 38 384 450004 Odense å Ejby Mølle 047 014 10 13 310 366 410 454 478 460030 Brende å Årup 003 369 381 390 399 403 406 409 410 5005 Græse å Hørup 004 06 068 074 081 086 090 096 099 5009 Havelse å Strø 010 408 464 57 614 681 749 841 911 550018 Åmose å Bromølle 08 191 1378 1460 1557 1619 167 173 1769 560006 Harrested å Kramsvadgård 001 140 151 160 171 178 183 189 193 560007 ude å Ørslev 007 663 709 753 804 837 864 895 914 570049 Saltø å Grønbro 001 484 514 540 568 584 596 609 616 570058 Suså Holløse Mølle 081 807 930 308 310 3167 300 39 343 590006 ryggevælde å Lille Linde 003 1059 116 1186 151 190 130 135 1371 660014 Baggeå Hasle Klinker 001 530 599 670 76 88 889 966 1019 abel 1a 3
St.nr. Vandløb lokalitet Medianminimum Ekstremværdihændelser 1991-010 m 3 /sek. Generaliseret fordeling = år 5 10 0 50 100 00 500 1000 030003 Uggerby å Astedbro 039 850 907 963 109 1073 111 1157 1185 070003 Lindholm å ns Køkkengrøften 01 547 567 583 599 608 614 619 6 110016 Årup å Årup 055 584 600 61 6 67 630 633 634 1400 Lindenborg å Lindenborg bro 149 749 851 980 1196 1397 163 018 371 180077 Skals Å Løvel Bro 9 1061 1116 1169 133 175 1311 1353 1380 0006 Skive å Hagebro 431 1513 1575 168 1683 1715 1738 176 1774 10085 Gudenå Åstedbro 087 1616 1719 1807 1900 1953 1993 03 054 006 Storå Skærum Bro 771 5617 5899 6144 6401 6549 666 6776 6839 5008 Skjern å Ahlergaarde 860 5556 6103 6677 7437 7997 858 911 9699 6008 Århus å Skibby 018 546 588 68 673 703 77 754 771 7001 Giber Å Fulden 003 44 508 583 691 778 868 995 1095 330004 Spang Å Bredstrup 014 486 507 55 543 55 559 566 570 350010 Sneum å Nørå bro 11 1565 161 1664 1703 17 1735 1746 1751 360008 Kongeå Kongebro 59 88 40 546 693 788 869 960 3017 38004 Ribe å Stavnager 336 3685 3901 4101 435 4464 4579 470 4776 400001 Brede å ns jernbanebro 113 1967 04 100 150 173 189 0 07 40016 Grønå Rørkær 14 714 896 3061 34 335 3440 353 3587 450001 Odense å Nørre Broby 149 370 3435 3566 3690 375 3796 3835 3853 450004 Odense å Ejby Mølle 054 099 37 356 480 551 605 658 687 460030 Brende å Årup 004 331 355 378 403 419 43 447 456 5005 Græse å Hørup 00 07 078 084 091 095 099 104 107 5009 Havelse å Strø 006 44 440 453 464 469 47 475 476 550018 Åmose å Bromølle 05 1149 1178 1196 110 115 117 119 10 560006 Harrested å Kramsvadgård 001 148 159 168 178 184 189 194 196 560007 ude å Ørslev 008 650 700 749 806 844 877 914 938 570049 Saltø å Grønbro 001 55 618 688 780 847 911 994 105 570058 Suså Holløse Mølle 059 809 3000 317 3360 3473 3563 3658 3713 590006 ryggevælde å Lille Linde 006 950 995 103 1068 1088 1101 1114 111 660014 Baggeå Hasle Klinker 00 54 60 736 917 1075 149 1517 1746 abel 1b 4
St.nr. Vandløb lokalitet Medianminimum Ekstremværdihændelser 1961-1990 m 3 /sek. Gumbel fordeling = år 5 10 0 50 100 00 500 1000 030003 Uggerby å Astedbro 055 110 138 1367 1548 1688 187 017 160 070003 Lindholm å ns Køkkengrøften 014 600 650 704 781 840 899 979 1040 110016 Årup å Årup 049 78 86 950 107 1167 16 1391 1488 1400 Lindenborg å Lindenborg bro 170 818 894 978 1095 1186 177 1400 1493 180077 Skals Å Løvel Bro 43 1148 118 195 1401 1484 1567 1679 1764 0006 Skive å Hagebro 409 1575 1706 1849 049 05 359 570 78 10085 Gudenå Åstedbro 080 1900 099 318 63 859 3095 3415 3658 006 Storå Skærum Bro 765 6470 716 7845 8847 965 10400 11453 149 5008 Skjern å Ahlergaarde 801 587 6439 7110 8045 8771 9494 10476 1119 6008 Århus å Skibby 0 647 71 801 914 1001 1088 107 196 7001 Giber Å Fulden 003 476 538 607 70 776 850 950 106 330004 Spang Å Bredstrup 014 590 650 715 805 876 946 1041 1113 350010 Sneum å Nørå bro 16 40 53 834 367 3604 3939 4394 4738 360008 Kongeå Kongebro 40 458 670 90 36 3478 379 4069 436 38004 Ribe å Stavnager 336 4869 540 5987 680 7436 8067 893 9571 400001 Brede å ns jernbanebro 106 311 537 783 318 3395 366 403 497 40016 Grønå Rørkær 183 3045 3359 3704 4184 4557 499 5433 5815 450001 Odense å Nørre Broby 1 3751 4145 4576 5177 5645 6110 674 719 450004 Odense å Ejby Mølle 047 34 47 733 3096 3379 3660 404 4330 460030 Brende å Årup 003 417 457 500 561 608 654 718 766 5005 Græse å Hørup 004 066 075 085 099 110 10 135 146 5009 Havelse å Strø 010 407 463 55 611 678 745 835 904 550018 Åmose å Bromølle 08 138 157 1686 1908 080 51 484 660 560006 Harrested å Kramsvadgård 001 156 176 198 30 54 78 311 335 560007 ude å Ørslev 007 714 79 879 999 109 1185 131 1407 570049 Saltø å Grønbro 001 545 61 685 787 866 944 1051 113 570058 Suså Holløse Mølle 081 375 3665 4091 4686 5148 5608 633 6706 590006 ryggevælde å Lille Linde 003 1177 1317 1469 1683 1848 013 37 406 660014 Baggeå Hasle Klinker 001 555 641 735 866 967 1069 106 1310 abel 1c 5
St.nr. Vandløb lokalitet Medianminimum Ekstremværdihændelser 1991-010 m 3 /sek. Gumbel fordeling = år 5 10 0 50 100 00 500 1000 030003 Uggerby å Astedbro 039 898 985 1081 115 1319 143 1563 1670 070003 Lindholm å ns Køkkengrøften 01 610 667 730 817 884 951 1043 111 110016 Årup å Årup 055 666 77 794 887 959 1031 119 103 1400 Lindenborg å Lindenborg bro 149 697 759 86 919 99 1064 116 136 180077 Skals Å Løvel Bro 9 1109 1195 190 141 154 165 1764 1868 0006 Skive å Hagebro 431 1657 1805 1967 193 368 543 780 960 10085 Gudenå Åstedbro 087 1847 089 353 71 3008 393 3680 3973 006 Storå Skærum Bro 771 64 6870 7577 8565 9331 10095 1113 11916 5008 Skjern å Ahlergaarde 860 5686 630 7015 7985 8738 9489 10507 1177 6008 Århus å Skibby 018 594 666 745 855 940 105 1140 18 7001 Giber Å Fulden 003 433 49 558 649 70 791 887 959 330004 Spang Å Bredstrup 014 544 599 660 744 810 875 964 1031 350010 Sneum å Nørå bro 11 181 019 36 539 774 3009 337 3568 360008 Kongeå Kongebro 59 46 646 888 34 3486 3746 4100 4367 38004 Ribe å Stavnager 336 398 4383 48 5434 5910 6383 707 7513 400001 Brede å ns jernbanebro 113 360 653 973 340 3767 4113 4583 4937 40016 Grønå Rørkær 14 3007 3369 3766 430 4750 5179 5760 600 450001 Odense å Nørre Broby 149 3901 444 4997 5797 6418 7037 7877 851 450004 Odense å Ejby Mølle 054 408 731 3085 3579 396 4344 486 554 460030 Brende å Årup 004 36 406 453 50 57 63 693 746 5005 Græse å Hørup 00 076 085 094 108 118 18 14 153 5009 Havelse å Strø 006 518 586 661 765 847 97 1037 110 550018 Åmose å Bromølle 05 1497 170 196 39 48 74 305 3300 560006 Harrested å Kramsvadgård 001 170 194 0 58 86 315 354 384 560007 ude å Ørslev 008 695 775 86 984 1078 117 1300 1397 570049 Saltø å Grønbro 001 568 645 730 849 940 103 1156 150 570058 Suså Holløse Mølle 059 316 3511 3933 451 4978 5433 6051 6518 590006 ryggevælde å Lille Linde 006 109 119 1358 155 1703 1853 057 11 660014 Baggeå Hasle Klinker 00 489 558 633 739 81 90 1013 1097 abel 1d 6
Station Antal målte år i perioden 1961-1990 1991-010 030003 30 0 070003 30 0 110016 30 0 1400 30 0 180077 18 0 0006 6 0 10085 30 0 006 1 0 5008 30 0 6008 30 0 7001 30 16 330004 30 0 350010 6 0 360008 7 0 38004 30 0 400001 30 0 40016 30 0 450001 15 0 450004 30 0 460030 30 0 5005 30 0 5009 30 0 550018 30 0 560006 30 0 560007 30 0 570049 30 0 570058 30 0 590006 30 0 660014 13 0 abel 7
Appendiks 1 1961 1990 1991 010 030003 Uggerby Å Astedbro 070003 Lindholm Å ns Køkkengrøften 110016 Årup Å Årup 8
1961 1990 1991-010 1400 Lindenborg Å Lindenborg Bro 180077 Skals Å Løvel Bro 0006 Skive Å Hagebro 9
1961 1990 1991-010 10085 Gudenå Åstedbro 006 Storå Skærum Bro 10
1961 1990 1991-010 5008 Skjern Å Ahlergaarde 6008 Aarhus Å Skibby 7001 Giber Å Fulden 11
1961 1990 1991-010 330004 Spang Å Bredstrup 350010 Sneum Å Nørå Bro 360008 Kongeå Kongebro 1
1961 1990 1991-010 38004 Ribe Å Stavnager 400001 Brede Å ns Jernbanebro 40016 Grønå Rørkær 13
1961 1990 1991-010 450001 Odense Å Nørre Broby 450004 Odense Å Ejby Mølle 460030 Brende Å Årup 14
1961 1990 1991-010 5005 Græse Å Hørup 5009 Havelse Å Strø 550018 Åmose Å Bromølle 15
1961 1990 1991-010 560006 Harrested Å Kramsvadgård 560007 ude Å Ørslev 570049 Saltø Å Grønbro 16
1961 1990 1991-010 570058 Suså Holløse Mølle 590006 ryggevælde Å Lille Linde 660014 Bagge Å Hasle Klinker 17
Appendiks : Statistiske metoder Her beskrives de statistiske fordelinger der er anvendt i forbindelse med karakterisering af årlig ekstremvandføringer. Men først beskrives kort teorien bag statistiske fordelinger og hvordan man estimerer parametre i fordelinger. il sidst viser gennemgår vi teorien for frekvensanalyse det vil sige beregning af -års over- og underskridelser. Ekstremværdier er i dette notat årlige maksimumsafstrømninger. Ved de statistiske beregninger med hensyn til fordelinger og frekvensanalyse har vi anvendt SAS og S-PLUS. For yderligere og fuldstændig behandling af de emner der er omtalt i dette appendiks henvises til Kite (1978). Statistiske fordelinger En statistisk fordeling kan beskrive egenskaberne ved en population af værdier. Population af ekstremværdier beskrives i dette notat ved en række forskellige kontinuerte statistiske fordelinger. Kontinuerte fordelinger kan antage alle værdier i et interval som muligvis kan være uendeligt. En statistisk fordeling er typisk defineret ved enten tæthedsfunktionen f eller fordelingsfunktionen F. Fordelingsfunktionen angiver sandsynligheden for at den stokastiske variabel (afstrømning eller ekstremværdi) er mindre end en givet værdi og kan beregnes som et integral af tæthedsfunktionen x x PX x F f u) du (. Dermed er tæthedsfunktionen den afledede funktion af fordelingsfunktionen det vil sige x df f x. dx Lad os antage at vi har et sample af observationer fra den samme statistiske fordeling så kan den teoretiske fordelingsfunktion F estimeres ved den kumulative frekvens funktion (empiriske fordelingsfunktion) F s i xi fs x j j 1 hvor f s er den relative frekvens funktion defineret ved med n lig det totale antal observationer og f x ni n s i n i lig antallet af observationer i intervallet x x x i x i. Man deler. Den relative frekvens funk- udfaldsintervallet for X op i et antal passende intervaller hver med en bredde på tion er et estimat for følgende sandsynlighed Hvis vi lader n og 0 P x i x X x i. x så har vi i grænsen lighederne f x x fs lim n x x0 og F x x lim F. n x0 s Den teoretiske værdi for den relative frekvens funktion kan beregnes som 18
x Fx Fx p i i i1. Estimation af parametre i fordelinger I dette har vi anvendt maximum likelihood metoden til estimering af parametre i de statistiske fordelinger. Metoden er defineret på følgende måde. Antag at vi har et sample af størrelse n dvs. er fordelingsparametrene som skal estimeres er sand- f og sandsynligheden for at obser- med en tæthedsfunktion f x; hvor synligheden for at få en given værdi af x x i proportional med x; vere et sample af n værdier x x x x x x 1 n. For en fordeling 1 n er proportional med produktet L n i1 f x i ;. Dette produkt kaldes for likelihood og maximum likelihood metoden består i at estimere sådan at L bliver maksimeret. Dette gør man ved partiel differentiation af L med hensyn til hver af fordelingsparametrene og sætte de fremkomne udtryk lig nul. For at simplificere beregningerne er det en god ide at anvende stedet for L. Den generaliserede ekstremværdifordeling L log i Den generaliserede ekstremværdifordeling (GEVD) er en 3-parameter fordeling og blev første gang beskrevet af Jenkinson (1955) og er siden blevet anvendt til beskrivelse af årsmaksimum og årsminimum i hydrologien og meteorologien. Vi har anvendt GEVD til beskrivelse både af årsmaksima i dette notat. De 3 parametre er en central parameter ( ) en skala parameter ( ) og en form parameter ( ) (Kite 1978). Fordelingsfunktionen for den generaliserede ektremværdifordeling er hvor 0 exp x; exp 1 exp x x 1 0 F 0 og. Observationerne angivet ved x kan antage værdierne x x x 0 0 0. Når 0 så er GEVD identisk med ype I ekstremværdi (Gumbel) fordelingen. Når 0 så GEVD det samme som en ype II ekstremværdifordeling og når 0 er GEVD identisk med ype III (Weibull) fordeling. Frekvensanalyse (-års overskridelsesfunktioner) De estimerede fordelingsfunktioner kan anvendes til fastlæggelse af overskridelsesfunktioner. Sammenhængen mellem sandsynlighedsfordelingen (F) og overskridelsesperioden () for en givet afstrømningshændelse q er bestemt ved F q 1 1 for årsmaksima. 19
0 Som tidligere nævnt er de årlige ekstremværdier tilpasset familien af generaliserede ekstremværdifordelinger (GEVD) med parameterestimation efter maximum likelihood metoden. I det GEVD er en 3-parameter fordeling så er F f q log 1 hvor log står for den naturlige logaritmefunktion. Ved anvendelse af maximum likelihood metoden så kan variansen af q beregnes som Cov q q Cov q q Cov q q Var q Var q Var q S. De nødvendige varianser og covarianser bestemmes ved 1 L L L L L L Var Cov Var Cov Cov Var. Det vil sige det er nødvendigt at beregne den inverse af informationsmatricen for en GEVD. I Prescott & Walden (1980) forefindes der formler for de teoretiske middelværdier af elementerne af informationsmatricen. I formlerne indsættes parameterestimaterne. Formler for de observerede værdier af elementerne findes i Prescott & Walden (1983). I denne rapport har vi anvendt de teoretiske middelværdier. Disse formler kan kun anvendes når 05 som i praksis næsten altid er opfyldt. Under antagelse af at q er normalfordelt så kan 95 %-konfidensintervallet for q beregnes som S t q hvor t er lig 196 som er 975 percentilen i en standard normalfordeling (dvs. en fordeling med middelværdi 0 og varians lig 1).