Knud Erik Sørensen Månen og andre uægte måner Indledning 2 Tidekræfter 2 En simpel model af tidekraften 3 Eksempler på virkningen af tidekræfter Rochegrænser 4 Simpel model for Rochegrænser 4 Eksempler på Roche-grænser Planetariske ringe Rochegrænser og kometer Rochegrænsen i stellarfysik Tovtrækkeriet 5 f-forholdet 5 Data Overblik over ydre måner Kriteriet på en ægte måne 8 Bælternes udstrækning 8 Jorden og dens måne 8 Potentialbrønde 9 Kilder og litteratur 10
Månen og andre uægte måner 2 Indledning Artiklens titel er naturligvis valgt for at tiltrække læserens opmærksomhed og er bestemt ikke uden problemer, for hvad er en uægte måne? Og hvad er i det hele taget en måne? Den Store Danske Encyklopædi fortæller, at en måne er et større himmellegeme, der kredser om en planet, og vi får her også at vide, at Måner kan enten være indfangne asteroider som Mars måner Phobos og Deimos og de yderste af Jupiters måner, eller de kan være dannet i samme proces som moderplaneten som fx Jupiters store galileiske måner. Her forklares imidlertid ikke, hvordan man kan afgøre, om en måne er uægte, dvs. indfanget, eller ej. For mange år siden læste jeg en overraskende artikel om, hvor fast bundne solsystemets måner er til deres moderplaneter. Desværre kan jeg hverken huske artiklens forfatter eller tidsskriftet, hvori den forekom. Det eneste, jeg husker klart er, at der omkring hver planet skulle være et bælte, hvor måner kunne eksistere fredeligt uden at blive revet bort af Solen, og uden at blive revet i stykker af tidekraften. Forfatterens kriterium for ægthed var, at tiltrækningskraften fra moderplaneten skulle overstige Solens tiltrækningskraft med en bestemt faktor. I denne artikel regner jeg på disse forhold og har valgt at sætte den nævnte faktor til 34. Denne værdi er ikke så arbitrær, som den måtte se ud til. Som baggrundsstof opstiller jeg kort modeller for tidekræfter og for Rochegrænser, før jeg ved hjælp af et regneark beregner bredden af de nævnte bælter. Jeg sammenholder naturligvis også med månernes faktiske afstande og vover at drage en konklusion om månernes ægthed. Den valgte beregningsmetode kan naturligvis ikke føre til en indiskutabel konklusion om månernes ægthed, og f.eks. bliver konklusionen for Phobos og Deimos ud fra min beregning en anden end Encyklopædiens. Min metode er baseret alene på dynamik, hvilket må siges at være mangelfuldt, men jeg finder, at den alligevel bringer interessante forhold for dagen! Som enhver god historie indeholder også denne en stor overraskelse, som her vedrører vor egen måne, Månen.. Tidekræfter Navnet tidekraft eller tidevandskraft bruges om en bestemt fiktiv kraft i et tyngdefelt. Med et legemes massemidtpunkt som reference kan kraften populært beskrives som en kraft, der synes at ville splitte et legeme ad. Af gravitationsloven F = G m1 m 2 r 2 fremgår, at gravitationsvekselvirkningen F mellem to legemer med masse m 1 og m 2 aftager med kvadratet på afstanden r mellem dem. I konsekvens heraf vil det ene legeme på grund af dets udstrækning befinde sig i et inhomogent tyngdefelt fra det andet legeme, hvorfor dets massedele bliver udsat for en forskellig acceleration. Hvis dette legemes dele ikke blev holdt sammen af egen gravitation og intermolekylære kræfter, ville det derfor blive revet i stykker.
Månen og andre uægte måner 3 En simpel model af tidekraften Betragt følgende situation: m p m m d r To partikler L 1 og L 2 begge med massen m, befinder sig i afstandene r - d_ 2, henholdsvis r + d_ 2 fra et legeme med massen m p.vi antager, at d<<r, samt at legemerne er homogene, og at deres centre ligger på linje. Gravitationskræfterne fra m p på de to partikler er Vi definerer nu tidekraften til at være og får F 1 = G mp m ( r - d_ 2 ) 2 henholdsvis F = G mp m 2 F tide = F 1 - F 2 F tide = G mp m m p m - G ( r - d_ 2 ) 2 ( r + d_ 2 ) 2. ( r + d_ 2 ) 2. Medtages højst 2. orden i en rækkeudvikling, har vi følgende approximative udtryk for tidekraften 2 m p m d F tide = G r 3 Denne kraft giver anledning til følgende acceleration i den relative bevægelse af L 1 og L 2. 2 m p d a tide = G r 3 Eksempler på virkningen af tidekræfter Tyngdefeltet fra Solen og fra Månen giver anledning til markante tidekræfter på Jorden. Virkningen heraf i form af et par tidevandsbjerge, der ruller rundt om Jorden, er velkendt. Den gnidning, som bølgen giver anledning til, omsætter langsomt Jordens rotationsenergi til indre kinetiske energi. I konsekvens heraf daler Jordens rotationstid med ca. 1 ms pr. århundrede, og Månens afstand fra Jorden vokser med ca. 38 mm pr. år. Synlige beviser for denne nedbremsning har geo logerne fundet i visse kalklag fra Devontiden, hvor der spores 400 daglag pr. år. Tidekræfter giver naturligvis også anledning til en bølge på landjorden, men på grund af dennes stivhed bliver effekten højst 30 cm her. For Månens vedkommende har tidevandskræfter bevirket, at Månens rotationshastighed er nedbremset, så der nu er en 1:1 resonans med omløbstiden om Jorden, kort sagt har Månen bunden rotation. Virkningen af tidekræfterne kan være enormt store. Fx bevirker tidefeltet på Jupiters måne Io, at dennes overflade periodisk hæves over hundrede meter, en bevægelse der opvarmer Ios indre. En konsekvens heraf er, at Io er dækket af aktive vulkaner og i øvrigt regnes som solsystemets mest geologisk -aktive objekt.
Månen og andre uægte måner 4 Rochegrænser Tidekraften aftager med afstanden til centrallegemet i tredje potens, altså med r 3. En måne, der kredser for tæt på sin moderplanet, risikerer at blive trukket i stykker af tidekræfter, hvis gravitationkraften og de intermolekylære kræfter mellem månens dele ikke er store nok. Jeg ser nu nærmere på dette forhold. Simpel model for Rochegrænser Lad os hertil betragte to små minimåner hver med med masse m m, radius r m og densitet ρ m. Vi tænker os, at de to minimåner rører hinanden, medens de kredser i en cirkelbane med radius r omkring en planet med masse m p, radius r p og densitet ρ p. m p m m m m 2r m Tidekraften mellem de to minimåner er: medens gravitationskraften mellem dem er: r F tide = G 2 mp mm 2 r m r 3 F grav = G mm m m (2 r m ) 2 Minimånerne forbliver sammen, hvis F grav > F tide Vi tænker os, at de involverede legemer er homogene og kugleformede, hvorfor Uligheden F grav > F tide kan så løses med hensyn til r: eller m p = 4_ 3 π r p 3 ρ p og m m = 4_ 3 π r m 3 ρ m r > 3 16 3 ρ p ρ m r p r > 2,52 3 ρ p ρ m r p Antager vi yderligere, at planeten og minimånerne er lavet af samme materiale, kan dette reduceres til r > 2,52 r p De omhandlede minimåner kan være bestanddele af en større måne, og denne må i så fald befinde sig mindst i 2,52 planetradiers afstand fra planeten, hvis tidekræfterne ikke skal rive månen i stykker. Approximationen bygger på, at planet og måne har samme densitet. Denne approximation er acceptabel til de
Månen og andre uægte måner 5 fleste forhold, for selv om månens og planetens densiteter afviger noget fra hinanden, influerer det ikke så voldsomt på resultatet, idet kun den tredje rod af densitetsforholdet indgår. Den her viste teori er i en lidt mere avanceret udgave fremsat af den franske fysiker Éduoard Roche (1820-1883), som minimumsafstanden Rochegrænsen nu er opkaldt efter. Eksempler på Roche-grænser Rochegrænser og kometer I 1992 passerede kometen Schumacher-Levy 9 forbi Jupiter inden for dennes Rochegrænse og blev brudt op i mindst 21 separate stykker, som efterfølgende blev spredt ud for til sidst at ende på Jupiter i juli 1992. Rochegrænsen i stellarfysik Rochegrænse-begrebet spiller også en væsentlig rolle i forbindelse med dobbeltstjerners deformation på grund af den gensidige tyngdepåvirkning. Her bliver der dog tale om en ækvipotentialflade af form som et et rumligt ottetal. Et stor stjerne i et dobbeltstjernepar kan i sit livsforløb udvide sig så voldsomt, at den overskrider sin egen Roche-grænse, hvorved materiale fra den overføres til den mindre stjerne i parret. Tovtrækkeriet Vi skal i det følgende betragte planetsystemets måner én for en. De er naturligvis udsat for kraftpåvirkninger fra mange sider: fra moderplaneten, fra andre planeter, fra andre måner, fra Solen, fra andre stjerner, og hvad der ellers findes af massehavende objekter i universet. Dette indebærer et sandt tovtrækkeri. Af udtrykket for gravitationskraften F = G m1 m 2 d 2 ser vi, at kraften bliver stor, hvis det trækkende legeme ligger i kort afstand d og/eller, hvis det trækkende legeme har en stor masse. Med den begrundelse vil vi i det følgende koncentrere os om trækket i en måne fra dennes moderplanet og fra Solen. Forholdet mellem disse to træk betegnes i det følgende med f. f-forholdet Det ses let, at f = F p Fs = m p m s ( d s 2 d p ) Her refererer index p til moderplaneten og s til Solen. Vi bemærker straks, at månens masse ikke indgår i forholdet. Kraftforholdet har to faktorer: et masseforhold og kvadratet på et afstandsforhold. Data m/kg 2 r/km d/au d/km m/m J m/m S Solen 1,989 10 30 1.391.600 - - 3,331 10 5 1,000 Merkur 3,285 10 23 4.879 0,387 5,789 10 7 0,055 1,652 10-7 Venus 4,867 10 24 12.104 0,723 1,082 10 8 0,815 2,447 10-6 Jorden 5,972 10 24 12.756 1,000 1,496 10 8 1,000 3,003 10-6 Mars 6,390 10 23 6.794 1,524 2,280 10 8 0,107 3,213 10-7
Månen og andre uægte måner 6 Jupiter 1,898 10 27 142.984 5,203 7,784 10 8 317,816 9,542 10-4 Saturn 5,683 10 26 120.536 9,555 1,429 10 9 95,161 2,857 10-4 Uranus 8,681 10 25 51.118 19,218 2,875 10 9 14,536 4,365 10-5 Neptun 1,024 10 26 48.528 30,110 4,504 10 9 17,147 5,148 10-5 hvor r = objektets radius, m = objektets masse, d = objektets afstand til Solen, m J = Jordens masse og m S = Solens masse. AU betegner en astronomisk enhed = 1.49597.870,7 km. f-forholdet for de ydre planeters måner Jeg betragter nu planeterne og deres største måner efter tur, men gemmer dog Jordens måne til senere. For hver planet giver jeg en vurdering af antallet af uægte måner. I det følgende er d = Planetens afstand til Solen. Denne afstand bruges også om månens afstand til Solen d m = Månens afstand til moderplaneten f = Forholdet mellem moderplanetens og Solens gravitationstræk i månen Neptun Måne d m 1 Triton 354.760 1,612 10 8 8.300 2 Nereid 5.513.400 6,675 10 5 34 3 Naiad 48.230 8,722 10 9 449.059 4 Thalassa 50.070 8,093 10 9 416.660 5 Despina 52.530 7,353 10 9 378.550 6 Galatea 61.950 5,287 10 9 272.179 7 Larissa 73.550 3,751 10 9 193.096 8 Proteus 117.650 1,466 10 9 75.466 Bemærk, hvor svagt Nereid er bundet til Neptun! i hvert fald sammenlignet med de øvrige måner. Nereids bane er meget excentrisk med en mindste afstand på blot 1.353.600 km og største afstand på 9.623.700 km. I sidstnævnte afstand er f-forholdet nede på 10. På den baggrund vil jeg antage, at Nereid er en indfanget måne! I 2002-03 har man fundet yderliger 5 måner omkring Neptun. Disse har alle f-værdier under 5! Uranus Måne d m 1 Ariel 191.020 2,265 10 8 9.887 2 Umbriel 266.300 1,166 10 8 5.087 3 Titania 435.910 4,350 10 7 1.898 4 Oberon 583.520 2,427 10 7 1.059 5 Miranda 129.390 4,937 10 8 21.548 6 Cordelia 49.770 3,337 10 9 145.635 7 Orphelia 53.790 2,857 10 9 124.681 8 Bianca 59.170 2,361 10 9 103.038 9 Cressida 61.780 2,166 10 9 94.516 10 Desdemona 62.680 2,104 10 9 91.821 11 Juliet 64.350 1,996 10 9 87.117 12 Portia 66.090 1,892 10 9 82.591 13 Rosalind 69.940 1,690 10 9 73.748 14 Belinda 75.260 1,459 10 9 63.690 15 Puck 86.010 1,117 10 9 48.765 Vi ser, at alle måner er overbevisende bundet til Uranus og derfor er ægte måner! Saturn Måne d m 1 Mimas 185.520 5,937 10 7 16.962 2 Enceladus 238.020 3,606 10 7 10.305 3 Tethys 294.660 2,353 10 7 6.724
Månen og andre uægte måner 7 4 Dione 377.400 1,435 10 7 4.099 5 Rhea 527.040 7,356 10 6 2.102 6 Titan 1.221.830 1,369 10 6 391 7 Hyperon 1.481.100 9,314 10 5 266 8 Iapetus 3.561.300 1,611 10 5 46,0 9 Phoebe 12.952.000 1,218 10 4 3,48 10 Janus 151.472 8,905 10 7 25.444 11 Epimetheus 151.422 8,911 10 7 25.461 12 Helene 377.400 1,435 10 7 4.099 13 Telesto 294.660 2,353 10 7 6.724 14 Calypso 294.660 2,353 10 7 6.724 15 Atlas 137.670 1,078 10 8 30.802 16 Prometheus 139.353 1,052 10 8 30.062 17 Pandora 141.700 1,018 10 8 29.075 18 Pan 133.583 1,145 10 8 32.715 Bemærk den lave f-værdi for Phoebe! Det er rimeligt at anse den for at være indfanget! Jupiter Måne d m 1 Io 422.000 3,402 10 6 3.246 2 Europa 671.000 1,346 10 6 1.284 3 Ganymede 1.070.000 5,292 10 5 505 4 Callisto 1.883.000 1,709 10 5 163 5 Amalthea 181.000 1,849 10 7 17.647 6 Himalia 11.480.000 4,597 10 3 4,39 7 Elara 11.737.000 4,398 10 3 4,20 8 Pasiphae 23.500.000 1,097 10 3 1,05 9 Sinope 23.700.000 1,079 10 3 1,03 10 Lysithea 11.720.000 4,411 10 3 4,21 11 Carme 22.600.000 1,186 10 3 1,13 12 Ananke 21.200.000 1,348 10 3 1,29 13 Leda 11.094.000 4,922 10 3 4,70 14 Thebe 222.000 1,229 10 7 11.730 15 Adrastea 129.000 3,641 10 7 34.741 16 Metis 128.000 3,698 10 7 35.286 Alle fastbundne måner svæver i Jupiters ækvatorplan og der er ikke tvivl om ejerforholdet! Men der er altså også en række svagtbundne, som må anses for at være indfangne. Mars Måne d m 1 Phobos 9.378 5,910 10 8 190 2 Deimos 23.459 9,445 10 7 30 f-forholdet for Deimos er betænkelig lavt! Overblik over ydre måner Planet Antal måner Heraf indfangne Neptun 8 1 Uranus 15 0 Saturn 18 1 Jupiter 16 8 Mars 2 1 Betegnelsen indfangen er usikker i den forstand, at den er baseret på et kriterium, som nu vil blive defineret.
Månen og andre uægte måner 8 Kriteriet på en ægte måne Tidligere omtalte jeg Neptuns Nereid, hvor f-forholdet er 34, som en indfanget måne. Det inspirerer mig til at opstille følgende hypotese: Styrkeforholdet 34 er skilleværdien mellem ægte og indfangne måner! Sammen med Roche-grænsen giver dette kriterium, at der omkring enhver planet er et bælte, som en ægte måne må befinde sig i. Den maximale afstand er bestemt ved, at styrkeforholdet skal være mindst 34, medens den minimale afstand er Roche-grænsen, som her sættes til 2,5 gange planetens radius uden skelen til densiteter. Bælternes udstrækning Jeg kan nu lave en tabel over et tilladt bælte for måner omkring enhver af planeterne. Bæltets ydre grænser er bestemt ved f-forholdet 34, den indre grænse er bestemt som Roche-grænsen. Diameter/km Solafstand/km Indre grænse/km Ydre grænse/km Solen 1.391.600 - - - Merkur 4.879 5,789 10 7 6.099 4.035 Venus 12.104 1,082 10 8 15.130 29.016 Jorden 12.756 1,496 10 8 15.945 44.456 Mars 6.794 2,280 10 8 8.493 22.162 Jupiter 142.984 7,784 10 8 178.730 4.123.543 Saturn 120.536 1,429 10 9 150.670 4.143.698 Uranus 51.118 2,875 10 9 63.898 3.257.329 Neptun 48.528 4,504 10 9 60.660 5.542.801 Selv om tallene taler for sig selv, kan der dog knyttes nogle få kommentarer til Jupiter: Amalthea ligger bare 6.000 km fra Roche-grænsen! Mars: Det tilladte område er for Mars vedkommende meget smalt. Der kan vel ikke samles materiale nok i dette rum til måner! Mars måner er da også kun klippestykker! Venus: Det tilladte område er meget, meget smalt, og Venus har jo heller ikke har nogen måne. Merkur: Merkur kan slet ikke have nogen måne, idet den ydre grænse er mindre end den indre! Jorden og dens måne Endelig er vi kommet til vor egen klodes måne. Og her kommer overraskelsen! Jorden Måne d m Månen 384.400 151.455 0,45 Rochegrænsen for Jorden ligger 15.945 km fra Jordens Centrum, medens F p /F s = 34 opnås i afstanden 44.456 km fra Jordens centrum og vores måne ligger i afstanden 384.000 km! Det faktiske styrkeforhold er 0,45, så Månens bevægelse er bestemt af Solen og i mindre høj grad af Jorden. Det rejser nogle spørgsmål:
Månen og andre uægte måner 9 Hvorfor befinder Månen sig i denne store afstand? Har Månen engang været inden for den tilladte grænse? Har tidekræfter drevet den derud, hvor den nu er? Hvorfor cirkulerer Månen ikke i ækvatorplanet, men i ekliptikaplanet? Af ovenstående kunne man forledes til at tro følgende Månen kan ikke være en ægte måne! Faktisk må det være rigtigst at sige, at Månen bevæger sig i en bane om Solen, idet Solens gravitationskraft dominerer. Månen er for stor til, at Jorden kan have indfanget den, og derfor må det være en selvstændig planet. Dermed er Jorden-Månen en dobbeltplanet! Jorden/Månen kan være et eksempel på, at der kan være to tætliggende kondensationskerner! en slags mellemting mellem små planeter dannet uden måner og store planeter dannet med mange måner. Og hermed slutter denne historie næsten! Potentialbrønde En asteroide, som passerer en planet, kan naturligvis havne endog særdeles stabilt i en potentialbrønd omkring planeten blot forudsættes, at asteroiden på en eller anden måde kan slippe af med tilstrækkelig energi. Betragtningerne i denne fortælling udsiger intet om, at endog solidt forankrede måner ikke kan være indfangne. Det skulle lige nævnes!
Månen og andre uægte måner 10 Kilder og litteratur The New Solar System, J. Kelly Beatty, Carlyn Collins Petersen og Andrew Chaikin, Sky Publishing Corporation & Cambridge University Press. 1999.ISBN 0-521-64587-5. Opslag i Den Store Danske Encyklopædi. Alle beregninger er udført i et regnearksprogram. -ooo- Egebjerg, december 2000. Lettere revideret juni 2014. K.E. Sørensen