Facit til Regneopgaver om Meteoritter og Solsystemet Regneopgaver bragt i KVANT nr. 1, april 2017. Denne fil findes på www.kvant.dk/regneopgaver-facit.pdf. Løsninger udarbejdet af Henning Haack og Michael Cramer Andersen den 9. maj 2017. Hvis du finder fejl i udregningerne må du gerne sende dem i en mail til Henning Haack (hhaack@mainemineralmuseum.org) og Michael Cramer Andersen (micran@gmail.com). Trykfejl: I den trykte version af regneopgaverne er der nogle få mindre fejl: På side 29, opgave 1 a) skal der stå, at afstanden fra A til B er 9,5 km. På side 29, opgave 1 c) skal der stå, at meteoriden bevægede sig ca. 19,5 km. På side 30, opgave 3 b) refererer til den oplyste radius, dvs. der bør stå 25 cm. På side 32 i opgave 6 c) refereres der til formel (5). Henvisningerne til litteraturen skal være "[1]" på side 31, 2. spalte og "[2]" på side 34, 2. spalte. Rettelserne fremhævet med fed er indført i den elektroniske version på www.kvant.dk. Opgave 1. Ejby-meteorittens hastighed a) Beregn hvor langt meteoriden bevægede sig den vandrette afstand fra A og B ( siden c på figur 1) på jorden Trekant ABC i figur 1 har: Vinkel 1.56 Vinkel 134.55 Siden c beregnes vha. sinusrelationerne: Meteoritten bevægede sig ca. 9,5 km fra A til B. Opgaveteksten skriver 9,48 km ved en fejl. Trekant ABC i figur 1 har: Vinkel 1.56 Vinkel 134.55 Vinkel 43.89 Eller simplere (så man undgår at bestemme vinkel A): Vinkel 43.89 Siderne b og c beregnes vha. sinusrelationerne:
b) Meteoridens højde over Jorden i frame 124 og 167 Afstanden fra Ho til positionen i frame 167 (punkt B) er grundlinjen i en retvinklet trekant med basisvinkel (altituden), hvor højden,, ønskes bestemt: Meteoridens højde var 36,77 km i frame 167. (1.1) For at beregne højden i frame 124 (punkt A) skal man kende grundlinjen b (som er beregnet ovenfor). Højden i frame 124: c) Beregn Ejby-meteoridens gennemsnitshastighed mellem A og B Afstanden i rummet mellem A og B findes ved Pythagoras: (1.2) 19.53160772 (1.3) d) Gennemsnitshastigheden mellem A og B Hastigheden er ca. 14,6 km/s. [I opgaveteksten står 14,5 km/s] Opgave 2. Opsmeltning i atmosfæren a) Meteoridens acceleration Givet en sfærisk meteorides masse og radius, samt størrelser der indgår i friktionskraften, Friktionskraften udregnes: Accelerationen udregnes med Newtons 2. lov:
Accelerationen er ca. -439 m/s. Bemærk at dette er accelerationen lige i starten da meteoriden rammer atmosfæren. Den bliver meget hurtigt meget større fordi atmosfærens densitet vokser meget kraftigt nedad mod jorden. b) Beregn den gennemsnitlige acceleration af Ejby-meteoriden Accelerationen er ca. -3430 m/s. Altså ca., hvor 9,8 m/s er tyngdeaccelerationen på jordens overflade. c) Beregn den gennemsnitlige acceleration i forbindelse med kollisionen af en bil der støder ind i en betonmur og som stopper efter at være decelereret over 1 meters strækning Af arbejdssætningen fås: eller : Accelerationen (eller decelerationen) af bilen er ca. 467 m/s. Denne acceleration er ca. (dødelig for et menneske). d) Forholdet mellem bilens acceleration og Ejby-meteorittens acceleration 0.1361011093 Bilens acceleration er kun ca. 13,6 % af Ejby-meteorittens acceleration. Hvad angår størrelsen af accelerationen er meteorittens møde med atmosfæren altså meget voldsommere end bilens sammenstød med en betonmur til trods for, at densiteten af atmosfæren er så lille. Dette skyldes at hastigheden af meteoriden er så meget større end hastigheden af bilen (ca. 475 gange). e) Beregn hvor lang tid det tager fra meteoriden at reducere sin hastighed med 10 % Newtons 2. lov opstilles: (2.1) Udtrykket for friktionskraften indsættes, og der separeres i variablene v og t: der integreres hver side for sig,
1 og samles til: t Tiden isoleres: Tidsintervallet beregnes ud fra forskellen mellem start- og sluthastighed: Det tog ca. 3,67 sekunder for meteoriden at reducere sin hastighed med 10 %. (2.2) Bemærk at dette tidsrum på 3,67 sekunder er en voldsom overvurdering i betragtning af at hele nedbremsningen kun tager 4,14 sekunder. Denne voldsomme overvurdering af tiden skyldes, at vi ikke har taget hensyn til at atmosfærens densitet vokser meget kraftigt, når meteoriden bevæger sig mod lavere højder! f) Den kinetiske energi af Ejby-meteoriden Kinetisk energi: Den kinetiske energi er 2,63 J. g) Den termiske energi af Ejby-meteoriden Ud fra følgende konstanter: massen, Starttemperatur og smeltepunkt, specifik varmekapacitet, smeltevarme, udregnes den termiske energi (summen af opvarmning til smeltepunktet og selve smeltningen): Den termiske energi er 5,15 J.
h) Forholdet mellem kinetisk og termisk energi 51.03155340 Der er 51 gange mere kinetisk energi til rådighed end der behøves for at smelte meteoriden fuldstændigt. Atmosfæren "redder" meteoriden ved at lede termisk energi væk og opbremse meteoriden, idet langt det meste af meteoridens kinetiske energi går til at opvarme atmosfæren rundt om meteoriden. Derfor smelter den slet ikke totalt (se opgave 3), selvom der er ca. 50 gange mere energi end nødvendigt for at smelte den. Et nedslag på et legeme uden atmosfære ville føre til total opsmeltning. Man skal derfor nok ikke bruge tid på at lede efter meteoritter på Månen (der er dog fundet enkelte meget ødelagte fragmenter). Opgave 3. Hvor varm blev meteoriden på vej ned gennem atmosfæren. Eller: Kun meget lidt af meteoridens overflade smelter på vej ned gennem atmosfæren (dimensionsbetragtning) Idet koefficienterne, x bliver meter., indsættes i formel (2) fås: som også kan skrives: Koefficienterne er fundet ved at indsætte enhederne for de fysiske størrelser: Ud fra denne ligning kan man opstille fire ligninger for koefficienterne - én for hver enhed (s, m, kg, K): (sekunder) (meter) (kg) (kelvin) Dette ligningssystem kan f.eks. løses således: Løsningen til ligningerne er derfor: (3.1)
b) Beregn tykkelsen efter en faldtid på 5 s og bestem forholdet mellem og. Tykkelsen der smelter er ca. 1,6 mm. I praksis er den opvarmede zone tyndere da der konstant smeltes af overfladen og varmebølgen derfor har svært ved at følge med. Pointen er at det meste af meteoritten undgår opvarmning (på trods af at Ejby-meteoridens kinetiske energi er ca. 50 gange større end den energi der skal til at smelte hele Ejby-meteoriden) og der efterlades kun en tynd smelteskorpe på ca. 0,1 mm som omtalt i figur 1 i artiklen (side 5 i bladet). Meteorittens radius kaldes. [Ejby-meteoridens diameter er anslået til at være ca. 50 cm. For at være konsistent med densiteten burde radius sættes til 26 cm, som i opgave 2] Forholdet mellem og er: Dette svarer til ca. 0,6 % af radius. 0.006356417260 (3.2) Opgave 4. Chelyabinsk a) Kinetisk energi: Dvs. 1,94 J. simplify Hiroshima-bomben udløste 6,3. Energien i Chelyabinsk svarer til: 30.85714286 dvs. ca. 31 gange Hiroshima-bomben. Men det skete i en højde på ca. 15 km, hvor Hiroshimabomben eksploderede i ca. 1/2 km højde.
Opgave 5. Nedslaget på Kridt-Tertiær grænsen a) Kinetisk energi ved nedslaget Kinetisk energi: Den kinetiske energi af asteroiden er ca. 4,9. Menneskets globale årlige energiforbrug: 981.7477038 Energien i Hiroshimabomben: Asteroiden tilførte en energi der svarer til knap 1000 gange menneskets årlige energiforbrug i verden eller omkring 8 milliarder Hiroshima-bomber. b) Hvor stor en asteroide indeholdt ligeså meget iridium Jordens overfladeareal: (5.1) (5.2) (5.3) Asteroidens masse bliver (idet vi antager at asteroiden indeholder 0,48 ppm Ir pr. gram asteroide): Asteroididens masse var ca. 7,65 eller ca. 765 milliarder tons. (5.4) Med en massefylde på 3,0 g/cm bliver asteroidens radius: (5.5)
Asteroidens radius var ca. 3,9 km. c) Asteroidens hastighed Den kinetiske energi af asteroiden beregnes med formel (4), med D 220 (km): Asteroidens hastighed var: Hastigheden var ca. 52,7 km/s. Typiske nedslagshastigheder på Jorden er i området fra 15-25 km/s. Den beregnede hastighed er derfor usandsynlig høj, hvilket tyder på, at mindst en af antagelserne ikke er rimelig. Der er flere muligheder: 1) De opgivne 72 ng Ir/cm er måske ikke repræsentative for hele Jordens overflade. 2) Det er muligt, at asteroidens indhold af Ir afviger fra de opgivne 0,48 ppm. Forskellige typer primitive meteoritter har lidt forskelligt indhold af Ir fra 0,1 til 1 ppm Ir (se Horan et al. (2003), Chemical Geology 196, s. 5-20) og det er muligt, at den asteroide, der ramte os havde et Ir-indhold, der afviger fra de opgivne 0,48 ppm. 3) Vi kan have overvurderet diameteren af Chicxulub-krateret. Krateret er begravet under 500 m sedimenter og andre estimater af diameteren er ned til omkring 180 km. man får med en mere sandsynlig vinkel omkring 45 grader. 5) Formel (4), for sammenhængen mellem asteroidens kinetiske energi og kraterdiameter, er behæftet med usikkerhed og kan føre til en overvurdering af den krævede energi. d) Konsekvenser for nedslaget for et øjenvidne. Klik ind på websiden ''Impact effects'': http://impact.ese.ic.ac.uk/impacteffects/ Opgave 6. Datering af meteoritter a) Henfaldsskema for betaminus-henfald: b) Opskriv henfaldsloven for mængden af Antallet af rubidium-87 isotoper er givet ved henfaldsloven, hvor er henfaldskonstanten:
c) Vis udtrykket for mængden af i dag. Antallet af strontium-87 isotoper vokser som funktion af tiden i takt med at antallet af rubidium-87 isotoper aftager. Dette er beskrevet i formel (5): I resultatet fra spørgsmål b), isoleres,. Dette indsættes i formel (5) og udtrykket forenkles: Dette er det ønskede udtryk som skulle udledes. d) Udtryk for / : Resultatet fra spørgsmål c) divideres med : e) Meteorittens alder I figur 2(b) bestemmes hældningen af isokronlinjen (ved aflæsning): 0.06600000000 Man kan også regne i mia. år, så beregningerne herefter forenkles. Alderen findes ved at isolere t i formlen, som ved indsættelse af a og giver: Meteorittens alder er ca. 1,43 s eller eller ca. 4,52 milliarder år.
Opgave 7. Exoplaneter Her vises mellemregninger for den første stjerne F67V. Resultaterne for de andre stjerner fremgår af skemaet nedenfor. a) Stjerners overfladetemperatur Bølgelængden for maksimal intensitet aflæses i figur 4 til ca. 4200 Å. 1 Å (ångstrøm) er lig 0,1 nm. Temperaturen udregnes med Wiens forskydningslov: Den afrundede temperatur (6900 K) er skrevet i 1. kolonne, 3. række i skemaet nedenfor. b) Hvorfor er der dyk i spektrene? Dykkene skyldes absorption af stråling på grund af de stoffer der er i stjernens atmosfære. c) Stjernernes radier Først omregnes stjernens afstand fra lysår til meter, idet 1 ly. Stjernens luminositet udregnes som den modtage intensitet gange arealet af en kugle med radius lig afstanden til stjernen: Stjernens luminositet kan beregnes i nogle skridt. Først beregnes den udstrålede intensitet med Stefan-Boltzmanns lov ( ) ud fra temperaturen (som er beregnet i spørgsmål a): Stjernens luminositet er også givet ved beregnes som L/I:, og stjernens overfladeareal kan derved Derefter beregnes stjernens radius: d) Beregn planeternes radius Planetens areal: Planetens radius:
e) Stjernernes masser Massen isoleres i formel (6), med værdierne for Solen indsat: Dvs. stjernen F67V har ca. samme masse som vor egen stjerne, Solen. f) Planeternes baneradier Med Keplers tredje lov udregnes baneradius r: For den første stjerne (F67V) er radius: Omregnet til astronomiske enheder: 0.2510466667 g) Planeternes overfladetemperatur Den første planet har temperaturen: 528.0480067 Vi ser at den anslåede temperatur er høj - fordi planetens afstand fra stjernen (der har ca. samme luminositet som Solen) kun er ca. 0,25 AE, altså 1/4 af Jordens afstand fra Solen. h) Planetens overfladetemperatur med drivhuseffekt svarende til Jordens Der lægges 34 grader til temperaturen udregnet i spørgsmål g) og temperaturen omregnes til celsiusgrader. Den første planet har temperaturen:
Skema med resultater (bemærk, at nogle 10'er-potenser er rykket ned på ny linje) Opg. Stjerne F67V F89V G12V G65V G9KOV K4V K5V LHS 2065 (M9) TW A-5B a) (Å) [figur 4+5] a) Temperatur (K) c) Afstand (ly) [tabel 2] c) Afstand (m) c) Modtagen intensitet (W/m ) [tabel 2] c) Luminositet (W) c) Beregnet intensitet (W/m ) c) Stjernens areal (m ) c) Stjernens radius (m) d) Planetens lysdæmpning (%) d) Planetens areal (m ) d) Planetens radius (m) d) Planetens radius i enheder af Jordens radius e) Stjernens masse (kg)
f) Periode (dage) f) Baneradius (m) f) Baneradis (AE) g) Planets overfladetemperatur (K) h) Planets overfladetemperatur ( C) i) Habitabel For varm For kold. For varm For varm Passende temparatur For varm For kold Passende temparatur Passende temparatur j) Sandsynligvis gasplaneter og næppe liv. Sandsynligvis bunden rotation, så én side er for varm og én side er for kold. i) Habitable planeter Beregningen viser at exoplaneterne omkring G9KOV, LHS2065 og TW A-5B har overfladetemperaturer der måske kunne tillade liv. Uden at vide hvor kraftig en drivhuseffekt en men det kan tænkes at temperaturen er passende. Grænsen for hvor høj temperatur liv, som vi kender det, kan tåle (såkaldte thermophilae) er 120 C. j) Planeternes størrelse og afstand til stjernen De tre planeter nævnt ovenfor kan dog være problematiske af andre årsager. Exoplaneten omkring gaskæmpe. Det udelukker med stor sandsynlighed liv. De to andre planeter ligger begge to i baner der er meget tæt på de dværgstjerner, de kredser om. Det betyder, at planeterne med stor sandsynlighed er i bunden rotation. Når en planet kredser meget tæt omkring en stjerne betyder tidefeltet at planetens egenrotation bremses indtil den til sidst låses fast så den hele tiden vender den samme side mod stjernen. Det er det samme fænomen, der betyder at vi altid ser den samme side af Månen. For de to planeter omkring dværgstjernerne betyder det, at de formentlig har en dagside, der er for varm, og en natside, der er for kold. Hvis der opstod liv inden de planeter ligger ubehageligt tæt på. De tre planeter er derfor alle tre lidt tvivlsomme når det kommer til at søge efter liv. Vi mangler stadig at finde en exoplanet, der minder tilstrækkeligt meget om Jorden til at vi for alvor tror, at der kan være liv. Når vi endnu ikke har fundet en sådan skyldes det sikkert ikke, at de er specielt sjældne deres stjerne. Alt tyder på, at vi vil finde mange af dem hvis vi bare leder længe nok. Læs mere om dette i artiklen af Uffe Gråe Jørgensen, Lars A. Buchhave og Tais W. Dahl i temanummeret.
til opgaven. Hvis du vil arbejde med ægte data kan du finde datasæt fra Kepler-satellitten her: https://archive.stsci.edu/kepler/preview.php?dsnkplr008191672-2009131105131&typelc De data man ser skyldes en planet der går ind foran stjernen Kepler-5. Stjernen har en masse på 1,347 Msol, en radius på 1,793 Rsol, luminositet 0,669 Lsol, og en overfladetemperatur på 6297 K. Du kan også gå på opdagelse i alle de exoplaneter, som Kepler har fundet til dato her: https://archive.stsci.edu/kepler/ Det er også muligt at være med til at finde exoplaneter med data fra Kepler her: https://www. planethunters.org. Brug Kepler-data til at beregne planetens størrelse, afstand fra stjernen og dens overfladetemperatur. Er den habitabel?