Hvad er faglig læsning i matematik? (2)

Hvad er faglig læsning i matematik? (2) Denne artikel om faglig læsning skal ses og læses i forlængelse af min artikel i det tidligere nummer af Matematik. Her beskriver jeg to interessenter som udtaler sig om emnet - den læsepædagogiske/lingvistiske som vedrører læseprocessen og den fagdidaktiske som vedrører tilegnelsen af viden i matematik. Jeg slår til lyd for at der er brug for mere dialog mellem disse to interessenter, så der skabes en bedre vidensbro mellem ønsket om at forøge læring i såvel læsning som læring i matematikfaget. Det kræver, at man kender hinanden og forstår hinanden. Strømmen af læremidler, undervisningsforløb og kurser som skal igangsætte den faglige læsning i matematik synes dog overrepræsenteret af generelle læsepædagogiske forskrifter, som ikke godt nok er i fase med, hvad matematikundervisning er. Jeg har forsøgt at stå på den anden side af broen for om muligt ud fra fagdidaktiske overvejelser at finde de læringsmæssige merværdier. Lidt firkantet kan man sige, at da faget i sin grundsubstans består af abstrakte begreber er det vigtigt, at eleverne bruger meget tid på at erfare sig til disse begrebers indhold og spændvidde ved at løse varierede typer af matematikopgaver. Man har meget svært ved at læse sig til et arealbegreb - man skal erfare sig til det. Dewey (ham med learning by doing ) skrev tilbage i 1926 om vigtigheden af at læring opnås ved, at eleverne danner deres egne erfaringer - i modsætning til boglig lærdom og andre former for andenhåndsviden. Det betyder, at den tekst eleverne møder i matematik typisk er øvelser og opgaver. De fagtekster, som toner frem som eksempler fra den anden side af broen, har ofte en anden karakter. Det er informerende, forklarende, berettende, instruerende og argumenterende fagtekster. Problemet er, at de forekommer i beskeden grad i læremidler i matematik, og når de er der, fremstår de ofte som halvfabrikata. De berettende tekster (tekstopgaver) er ofte et oplæg til en eller anden kontekst som eleverne skal regne i. Beretningen igangsættes men er ikke gjort færdig - det bliver således eleverne selv som skaber beretningen. De informerende og forklarende tekster smelter ofte sammen til meget korte leksikalske tekster, som mest er tænkt som ordknap opslagsviden fx faktabokse - til forskel fra fx en biologibog, hvor man gennemgår vandets kredsløb. De instruerende tekster er der blevet færre og færre af grundet nyere læringsmæssige metoder, hvor man ønsker, at eleverne selv eksperimenterer med egne problemløsningsmetoder. Ses dog i visse værkstedsmiljøer, hvor man producerer noget som kunne generalisere matematisk indsigt. De argumenterende tekster er næsten ikke-eksisterende. Man kan måske undre sig lidt her idet argumenter og ræsonnementer/bevisførelse kunne gå i spænd sammen. Problemet er nok, at det at beskrive matematiske beviser kan være komplicerede sager i folkeskoleregi. Sådanne tekster optræder derfor først meget sent i skoleforløber og senere i gymnasiale ungdomsuddannelser Artikel 2 matematikbladet 2011 af Bent Lindhardt Side 1

Altså læremidler i matematik er ofte opgavebøger til forskel for mange andre fag, hvor der både er opgavebøger og grundbøger med traditionelle fagtekster. Et dilemma, som ikke tilstrækkeligt fremgår af de forskrifter om faglig læsning, man ser fra danskfolkenes side. Skematitis Noget af det man ser præsenteret i læremidler og ved kurser, når opgaveløsning indgår som faglig læsning er metoder som procesnotater, at regne efter skema el. lign. Det er forretningsgange til eleverne, hvor man forfølger en procedure for at få hjælp til at regne tekstopgaver. Der er mange varianter på markedet - har blot fundet dette på en hjemmeside, hvor man vil hjælpe matematiklæreren med faglig læsning. Udgangspunktet er følgende tekstopgave: Spørgsmål 1 Hvad ved jeg? 2 Tegn 3 Hvad gør jeg? 4 Udregn 5 Svar med tekst 6 Palle, Polle og Ruth går ned til Blockbuster for at leje nogle ordentlig seje film og købe en masse slik og sodavand. Palle lejer 8 film til 25 kr. stykket. Polle køber 5 stk. 1,5 liters colaer til 23 kr. stykket, og Ruth køber 6 poser chips til 14 kr. stykket. Hvor mange penge bruger de i alt? Rubrik 1 og 2 skal formodentlig bruges til, at eleverne skal fokusere på, hvad de har læst og spalte informationerne op i mindre mere overskuelige dele. Forståeligt at tvinge eleven til at se tekstens elementer, men langt fra sikkert at de har erkendt problemstillingen - altså relationerne mellem de enkelte elementer. Rubrik 3 - tegneopgaven - er formodentlig et forsøg på at igangsætte en billeddannelse af problemstillingen - måske problematisk hvis tegning er en barriere for barnet. Der er forskel på det man ser for sig, og det man kan tegne. Man kan måske overbevise eleverne om at primitive skitser er fuldt acceptable men det rykker ikke ved elevens oplevede vanskelighed, som kan forrykke problemstillingen fra selve opgaven. Rubrik 4 er et kendt ønske om at skrive mellemregninger - at udtrykke processen med matematiske symboler og/eller tekst. Det er ikke umiddelbart en hjælp men et ekstra stykke arbejde at skulle formulere dette - men et fornuftigt stykke arbejde til højnelse af forståelsen af hvad der er sket. Rubrik 5 og 6 er formodentlig et forsøg på at skelne mellem en algoritme og et tolket svar. Hvis man har opøvet hovedregning og personlige algoritmer er rubrik 5 formodentlig overflødig - for slet ikke at tale om, hvad de skal gøre, hvis de bruger lommeregner. Artikel 2 matematikbladet 2011 af Bent Lindhardt Side 2

Jeg skal skyndsomt sige, at det ikke er for at nedgøre dette specifikke procesnotat, men for at problematisere procesnotater i al almindelighed. Jeg tror der er nogle muligheder, men også nogle farer som lurer. Mulighederne er det procesnotaterne er til for - at give et støttende stillads til ikke mindst de svage elever så de kan overskue og styre sig igennem løsningen af en såkaldt tekstopgave. Faren er at flere af de skemaer jeg har set er for systematiske. Med det mener jeg, at de kan blive en spændetrøje i stedet for en hjælpeforanstaltning. I en bog af svenskeren Ann Ahlberg (1994) som bygger på hendes afhandling At møde matematiske problemer - en belysning af børns lærende beskriver hun forskningsresultater som omtaler effekten af at skematisere en matematisk problemløsningsadfærd heriblandt forskning af Resnick (1988). Her fik man eleverne til at arbejde efter ledetråde for at blive bevidste om deres opgaveløsning i matematik. Eleverne havde spørgsmålskort som Hvorfor skal vi gøre sådan?, Hvad betyder tallene? osv. - på mange måder identisk med procesnotatspørgsmål. Efter 13 lektioner måtte det konstateres, at det ikke havde særlig effekt på elevernes generelle problemløsningsfærdighed. Der er selvfølgelig flere tolkninger fx at der er alt for lidt tid til at indøve en løsningsadfærd, som fungerer, men det kunne også være at al for formaliseret problemløsningssituation kan medføre at eleverne i stedet for at fordybe sig i problemet og forsøge at forstå det bliver afhængige af at følge den præsenterede strategi (Ahlbergs eget udsagn). Men hvad så - kan vi ikke give eleverne et støttende stillads i deres i opgaveløsning? Jo til en hvis grad, men vi skal passe på med at genindføre den rigtige måde at regne på, som vi har forladt ved læring i regnemetoder. - For det første er der forskel på at skulle løse en opgave ved at skulle udfylde skema og at have tankestrategier til at løse opgaverne med. Her kender mange fx Polyas (fra How to solve it ) principper: Forstå problemet, fremstil en plan til at løse det, udfør planen, se tilbage. Find selv uddybende beskrivelser på nettet fx www.gluud.net/images/polya- Problemlosning.pdf - og der er mange andre end ham. Personligt tror jeg vi skal gøre det enkelt ved at tale om tre faser eleverne skal gennemføre: o Før-tanker hvor eleverne beskriver opgaven for hinanden og via gode iagttagelser og antagelser gætter sig frem til et umiddelbart svar. o Fordybelses-tanker hvor de forsøger at løse opgaven ved at indhente de relevante data og bearbejde dem efter egne strategiske overvejelser. o Efter-tanker, hvor de vurderer svarets rimelighed. - For det andet er en matematikopgave ikke bare en lukket tekstopgave. Der er mange forskellige typer af opgaver, som kræver forskellige typer af skemaer for at øge en kreativ og strategisk fornuftig problemløsningsadfærd. Det vil jeg vise noget om i det følgende Artikel 2 matematikbladet 2011 af Bent Lindhardt Side 3

En opgave er ikke bare en opgave Mange spørgsmål og opgaver i matematik lever ikke op til den type af tekstopgaver, som man forventer. En matematikopgave i dag er meget, meget mere nuanceret end de grøftegravningsopgaver som oftest toner frem som eksempler i omtale af faglig læsning i matematik. Her er en række forskellige eksempler: 1) Stil nogle opgaver til den emballage du har fået. 2) _ + _ = _ 3) Hvad koster det at male væggene i klasselokalet? 4) Klip en retvinklet trekant. 5) Hvorfor må man ikke dividere med nul? 6) Beskriv hvordan du trækker fra. 7) 1 1 2 3 5 8??? Min påstand er - efter at have oplevet, løst og produceret mængder af matematikopgaver - at der findes otte opgavetyper, som har hver deres karaktertræk,karaktertræk, som fordrer forskellige typer af problemløsningsadfærd, og karaktertræk, som måske kunne blive til en diskussion om at faglig læsning i matematik har mere fokus på opgavegenre frem for tekstgenre. Se figur 1. Lukket Praktisk Åben Teoretisk Figur 1 Virkelig Matematik Man skal forestille sig, at terningen rummer alle matematikopgaver i Danmark. De er ikke tilfældigt fordelt, men er orienteret mod de otte hjørner i terningen. Hvert hjørne har sin egen magnetiske kraft som trækker i dem. Den røde pil viser en gradient som går fra gulv til loft i terningen. Gulvniveau svarer til de åbne opgaver og loftniveau svarer til de lukkede opgaver. Som en yderligere bemærkning skal nævnes, at graden af åbenhed kan analyseres ud fra, hvor vidt spørgsmålet er åben, metoden er åben eller svaret er åben. Den grønne pil svarer til en gradient som er orienteret højre - venstre. Yderste højre svarer til rent matematiske opgaver mens det yderste venstre svarer til rent virkelighedsnære opgaver. Artikel 2 matematikbladet 2011 af Bent Lindhardt Side 4

Den blå pil svarer til en gradient som er orienteret ind og ud af papiret. Længst fremme er de opgaver som udelukkende er af teoretisk karakter mens de opgaver der er rent praktiske er længst tilbage. Vi har således otte opgavetyper, som kan karakteriseres ved tre størrelser fx åben - virkelighedsnær og teoretisk. En sådan opgave kunne være Hvor meget tandpasta blev der brugt i morges i Danmark? Den er åben idet såvel metode og svar er meget åbent og at spørgsmålet kræver en række delspørgsmål for at kunne bearbejdes matematisk. Den er virkelighedsnær, fordi den tager udgangspunkt i spørgsmål knyttet til en genkendelig hverdag og kontekst. Den er teoretisk, fordi man vælger at løse opgaven ved brug af fornuftige antagelser og overslag. Prøv selv de andre hjørner og forsøg at finde karakteristiske opgaver. Altså, min tanke er at hver af de otte fremtrædelsesformer af en matematisk opgave kræver hver sin tilgang. Der er forskel på en enkel opgave som 2 + 18 og så en opgave som Hvor meget tandpasta blev der brugt i morges i Danmark?. Der er forskel i forventet arbejdstid, der forskel i metoder, der er forskel i kompleksitet, der er forskel i præsentation af løsning osv. Jeg kender ikke endnu konsekvensen af ovenstående overvejelser men inviterer til en diskussion om det. De autentiske tekster Skal man forsøge at kompensere for de manglende fagtekster i læremidlerne, kan man i højere grad inddrage autentiske tekster, der kan forene såvel læring i faget som læsning i faget. Autentiske tekster er hverdagstekster, som har aktualiteten i sig. De skal bruges til noget - de har en funktion som ikke har læring for øje, men kan inddrages for at vise faget matematik som et godt beskrivelsesmiddel - at matematik kan bruges til noget. Fra forskningen understreges det at særligt de svage elever udskiller sig ved at have svært ved at indhente information, bearbejde information og huske information - og forskere foreslår støttende foranstaltninger til hjælp i matematik. Det er derudover et velkendt fænomen, at eleverne ofte forvirres, hvis der er informationer, som står andre steder end i selve opgaven, og forvirringen forøges yderligere, hvis der skal udvælges relevant information og dermed fravælges data som ikke skal bruges. Dette, i sammenhæng med at eleverne bør kunne håndtere matematikholdige fagtekster fra hverdagen, er baggrunden for min anbefaling af en øget brug af autentiske tekster og fokus på øgede strategiske evner til at læse dem. Brug disse tekster til at opøve elevernes evner til at stille spørgsmål hvor de bruger matematik som beskrivelsesmiddel. Opøv eleverne i afkode, bearbejde og tolke data som er relevante i den tid og det sted de er i i deres liv. Artikel 2 matematikbladet 2011 af Bent Lindhardt Side 5

Tag bagsiden af en cornflakespakke, en aktuel artikel fra den lokale avis, et print af DMI vejrmeldingen for selv samme dag, køreplanen, pizzareklamen osv. med i matematiktimerne - som mange gør allerede. Nu får det bare ekstra meget mening, idet det indgår i den faglige læsning. Afsluttende bemærkninger Jeg håber, jeg med ovenstående kommentarer, diskussioner, synspunkter og eksempler kan frisætte mange frustrerede matematiklærere, jeg har mødt i den sidste tid. I gør det bedre, end I selv er klar over. Den forvirring og usikkerhed som pt. spreder sig skyldes en alt for smal og skrøbelig vidensbro mellem den matematikundervisning som foregår i dag og den undervisning læsepædagoger tror vi har i dag. Jeg foreslår derfor, at kommunalt og skoleudpegede generelle læsepædagoger ophører med at være så retningsgivende for, hvad man skal gøre og i højere grad invitere erfarne matematiklærere til såvel form som indhold på faglig læsning, så læsning og læring går bedre i spænd. Jeg foreslår også øget fokus på udviklingsarbejde og forskning i dette felt, så der dokumenteres langt flere nuancer på, hvad faglig læsning er i de forskellige fag. Artikel 2 matematikbladet 2011 af Bent Lindhardt Side 6