Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1 Materialet er lavet med udgangspunkt i hæftet: Introduktion til Perspektiv af Mette Vedelsby og Bjørn Felsager Materialet er til INTERNT brug!
Indhold Introduktion.. 3 1. Reglerne bag perspektivtegning.... 4 1.1 På opdagelse i perspektivet. 4 1.2 Definitioner og regler. 6 2. Det frie perspektiv.. 9 2.1 Et-punkts perspektiv (frontperspektiv).... 9 2.2 To-punkts perspektiv (krydsperspektiv).. 11 2.3 Tre-punkts perspektiv.... 13 3. Gentagelser i perspektivtegning... 15 Eksempel 3.1: Tegning af en kvadratisk flisedækning... 16 Eksempel 3.2: Tegning af ækvidistante lygtepæle.. 17 4. Historiske eksperimenter.... 19 4.1 Brunelleschis illusionstrick 20 4.2 Albertis perspektivkasse... 21 5. Perspektivisk billedanalyse.. 23 5.1 Analyse af et et-punkts perspektiv (frontperspektiv)... 24 5.2 Analyse af et to-punkts perspektiv (krydsperspektiv) 27 5.3 Analyse af et tre-punkts perspektiv. 30 6. Perspektivtegning med faste mål 34 6.1 Tegning af en flagstang.. 34 6.2 Et-punkts perspektiv (frontperspektiv). 37 6.3 To-punkts perspektiv (krydsperspektiv)... 39 2
Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1 Introduktion En perspektivtegning af en genstand er en naturtro todimensional afbildning af en tredimensional genstand, dvs. tegningen ligner genstanden fuldstændigt på samme måde som et fotografi. Reglerne for perspektivtegning blev opdaget i renæssancen af den florentinske arkitekt Filippo Brunelleschi ca. 1420. Hans overbevisende demonstration af principperne gjorde et stort indtryk på samtidens kunstnere og inspirerede Masaccio til et af de første vellykkede perspektivbilleder: Vægbilledet, Treenigheden fra ca. 1427, der gav tilskueren en illusion af at kigge ind i et kapel. Reglerne blev først nedskrevet ca. 1435 af den italienske arkitekt og rådgiver Leon Batista Alberti dog uden brug af illustrationer. Senere gav Leonardo da Vinci overbevisende eksempler på brugen af perspektivtegning, her et dodekaeder fra 1498. Treenigheden af Masaccio, ca.1427 Nederst ses skelettet af Adam: Jeg var engang som du er nu. Du skal engang blive som jeg er nu. I 1500-tallet spredtes perspektivtegningen over hele Europa ikke mindst gennem værker af den tyske kunstner Albrecht Dürer. Han havde besøgt Bologna i 1506 og lært perspektivtegningens hemmeligheder. I sine værker, bl.a. Unterweysung fra 1525, gennemgik han såvel de tekniske som de matematiske principper bag perspektivet. 3
Foran modellen er anbragt en træramme med et kvadratisk gitterværk af tråde. En stok markerer øjepunktet og sikrer, at man hele tiden betragter det, der skal tegnes fra netop denne position. Billedplanen, dvs. tegnepapiret, er ligeledes inddelt i kvadrater. Den del af den tredimensionale genstand, der kan iagttages i et bestemt kvadrat i den lodrette ramme, kan herefter overføres til det tilsvarende kvadratiske felt i tegneplanen. Dürer udviklede også mere præcise metoder til at overføre genstandens punkter til sin tegning: 1. Reglerne bag perspektivtegning 1.1 På opdagelse i perspektivet I dette afsnit skal du selv finde og opstille regler bag perspektivtegning: Hvilke egenskaber får afbildninger af plane henholdsvis rumlige figurer, når de afbildes i et naturtro korrekt perspektiv? Projekt 1.1.1: Eksperimentet udføres i grupper på to. Materialer: I får brug for en plastikplade (fx akryl), penne, der skriver med vandopløseligt blæk samt tegnepapir. I mangel af plastikplader kan man evt. benytte transparenter opklæbet på en rude. Opstilling: Plastikpladen anbringes lodret dvs. vinkelret på grundplanen (figurplanen). Med det ene øje lukket og med hovedet i en fast (lodret) position ser du gennem akrylpladen på et motiv. Dette tegnes ind på pladen. Derefter overføres figuren til et almindeligt stykke papir. Øjepunktets position i forhold til billedplanen noteres på papiret: Hvor højt oppe ligger øjepunktet? Hvor langt væk ligger øjepunktet? øjepunkt billedplan (plastikplade) scene grundplan 4
Du skal tegne motiver af stigende sværhedsgrad. Det er en god idé at holde sig til geometriske figurer opbygget af rette linjestykker (Fliser, kasser, klodser osv.) 1) Begynd med at lave tegninger af plane motiver, der ligger i grundplanen. Undersøg hvad der sker med rette linjer, trekanter, firkanter osv. Find dernæst et passende kvadratisk flisemønster og afbild dette på plastikpladen eller konstruer selv et flisemønster og anbring det bag ved plastikpladen. Analysér tegningen: Prøv fx at indtegne diagonalerne for billedfliserne. Hvad kan du slutte ud fra denne tegning? Hvad sker der med rette vinkler i perspektivtegningen? Hvad sker der med parallelle linjer i perspektivtegningen? 2) Gå derefter over til at tegne perspektivtegninger af rumlige figurer: Konstruer flere perspektivtegninger af den samme genstand set fra forskellige øjenhøjder. Sammenlign de forskellige tegninger. Undersøg ligeledes hvordan perspektivtegningen afhænger af såvel genstandens afstand fra billedplanen, som øjepunktets afstand fra billedplanen. Notér de regler for perspektivtegning, som I har fundet frem til. Opsamling i plenum. 5
1.2. Definitioner og regler En perspektivtegning er en afbildning af en rumlig scene på en plan set fra et ganske bestemt sted, øjepunktet, dvs. genstanden afbildes som den ses med ét øje anbragt i en bestemt højde og afstand fra genstanden. Derved kommer en perspektivtegning til at svare til et fotografi af genstanden. Man kan altså også analysere sig frem til reglerne for en korrekt udført perspektivtegning ud fra fotografier. Matematisk defineres en perspektivisk afbildning som en centralprojektion fra et givet punkt Ø af et udsnit af rummet, scenen, ind på en given plan, billedplanen, hvor scenen og øjepunktet ligger på hver sin side af billedplanen. Vi forudsætter normalt at billedplanen står lodret svarende til at billedet er beregnet til at hænge på en lodret væg. Men der er også andre muligheder fx det himmelske perspektiv, med en vandret billedplan, hvor man kigger op på et billede i loftet af et rum: Andre Mantegna: Oculus (1465-74) I det følgende vil vi kun betragte det normale lodrette perspektiv. Den vinkelrette projektion af øjepunktet Ø ind på billedplanen kaldes hovedpunktet H. Den vinkelrette afstand fra øjepunktet ind til billedplanen kaldes distancen d. Den vinkelrette projektion af øjepunktet Ø ind på grundplanen (punktet lodret under Ø) kaldes ståstedet S. Den lodrette afstand fra øjepunktet til grundplanen kaldes højden h. Grundlinjen er billedplanens skæringslinje med grundplanen. billedplan øjepunktet Ø distancen d hovedpunktet H højden h scene P' grundplan ståstedet S grundlinje P 6
Den vandrette linje i billedplanen gennem H er billedet af horisonten (men læg mærke til at dette netop kun gælder i normalt perspektiv, dvs. når billedplanen står lodret). Det er let at overbevise sig om at horisonten altid ligger i øjenhøjde. Tag en tur ud til kysten og se ud over havet uden at løfte eller sænke hovedet, så ser du lige ud i horisonten den linje hvor himmel og hav mødes. Sætter du dig ned på stranden følger horisonten med. Det samme sker, hvis du bevæger dig op på en klit. billedplan øjepunktet Ø distancen d hovedpunktet H højden h scene ståstedet S grundplan grundlinje Billedet af alle vandrette linjer i rummet som står vinkelrette på billedplanen vil, hvis de forlænges, mødes i H. Hovedpunktet H kaldes derfor forsvindingspunktet for disse linjer, hvorfor H også kaldes hovedforsvindingspunktet. Dette svarer fuldstændigt til de velkendte fotografier af jernbaneskinner, der mødes i det uendeligt fjerne punkt på horisonten. Billederne af andre parallelle vandrette linjer, der fjerner sig fra billedplanen, mødes i et forsvindingspunkt andre steder på horisonten. Horisonten er altså mødestedet for de vandrette linjer. 7
Endeligt vil billederne af alle skrå parallelle linjer, der fjerner sig fra billedplanen, mødes i forsvindingspunkter, der ligger over horisonten, hvis linjerne peger opad og under, hvis linjerne peger nedad. G billedplan øjepunktet Ø distancen d højden h hovedpunktet H F scene ståstedet S grundplan grundlinje Forsvindingspunktet F hører til en familie af vandrette parallelle linjer, der danner vinklen 45 med billedplanen. I dette eksempel kommer de fra diagonalerne i bunden og toppen af terningen. Forsvindingspunktet G hører til en familie af skrå parallelle linjer, der danner vinklen 45 med grundplanen. I dette eksempel kommer de fra diagonalerne i to af terningens sideflader. Principperne bag horisonten og forsvindingspunkterne hørende til de parallelle linjer er nogle af de allervigtigste regler, når man skal udføre korrekte perspektivtegninger. Når de sammenholdes med reglerne om at punkter afbildes i punkter, linjer i linjer og skæringspunkter i skæringspunkter, kan man komme meget langt med at skitsere realistiske perspektiviske figurer. Tilsvarende er det nemt at færdiggøre perspektiviske skitser ved brug af disse regler. Frontperspektiv Krydsperspektiv Y X H F 1 F 2 Et-punkts perspektiv 2-dimensional front: Kassens flader er parallelle med eller står vinkelret på billedplanen. To-punkts perspektiv (Krydsperspektiv) 1-dimensional front: Kassens kanter er lodrette eller vandrette. Z Tre-punkts perspektiv (Fx fugle/frø-perspektiv) 0-dimensional front: Alt er skråt i forhold til billedplanen. 8
2. Det frie perspektiv 2.1 Et-punkts perspektiv (frontperspektiv) Hvis man vil tegne et billede, der ligner det ovenstående fotografi, bemærker man straks den lange lige gang i Thorvalds Museum, der tilsyneladende bliver smallere og smallere. Gangen ser ud til at stå vinkelret på billedplanen. Vi kan se, hvordan de to parallelle vægge nærmer sig det samme punkt hovedforsvindingspunktet for billedet. Vi bemærker også, at alle andre linjer vinkelret på billedplanen, fx i gulvets fliser, nærmer sig det samme forsvindingspunkt. Hvis vi vil lave en tegning, der ligner dette fotografi, må vi derfor først og fremmest beslutte os for, hvor vi ønsker hovedforsvindingspunktet H skal ligge. Når dette er valgt, kan vi tegne en vandret linje gennem forsvindingspunktet, billedets horisont. Ved valget af horisont har vi samtidigt bestemt os til i hvilken øjenhøjde vores billede skal tegnes. I et-punkts perspektivet er udseendet af tegningen derfor fastlagt ved følgende: Hvor ligger horisonten og hvor på horisonten ligger hovedforsvindingspunktet. Den eneste forskel på de to følgende perspektivtegninger er at horisonten er sænket. Det svarer til at ståstedet er det samme for de to tegnere, men øjenhøjden er ændret. 9
Øvelse 2.1.1: En tilfældig kasse i et-punkts perspektiv Åben en Geometri applikation i TI-Nspire CAS. I den følgende øvelse får du brug for at kunne styre vandrette og lodrette retninger i tegneplanen. Dette gøres lettest ved hjælp af menupunkterne Vinkelret og Parallel. Konstruér en vandret linje i TI-Nspire CAS (hold Shift nede) og afsæt et frit punkt H på linjen. Den vandrette linje skal spille rollen af horisonten, mens det frie punkt skal spille rollen af hovedforsvindingspunktet. Konstruér frontsiden af kassen med vandrette og lodrette sider svarende til bredden og højden for kassen. Konstruér linjestykker der forbinder hjørnerne for frontsiden med hovedforsvindingspunktet H. Du vælger nu selv dybden af kassen. Det gøres ved at vælge et tilfældigt hjørnepunkt fra kassens bagside på en af forbindelseslinjerne mellem hjørnerne for frontsiden og hovedforsvindingspunktet H. Nu kan kassen gøres færdig ved hjælp af passende forbindelseslinjer. Til sidst skjules hjælpelinjer og kassen trækkes passende op fx ved brug af fede linjer for de synlige kanter og stiplede linjer for de usynlige bagvedliggende kanter. Du kan også eksperimentere med at udfylde kassens sider på passende vis. Prøv nu at rykke rundt på hovedforsvindingspunktet langs horisonten og flytte op og ned på horisonten. Hvilken indflydelse har det på kassens udseende? Udfordring: Prøv også om du kan animere en kasse, så den fx rykker frem og tilbage mod hovedforsvindingspunktet. 10
2.2 To-punkts perspektiv (krydsperspektiv) AlbertisTemplum Malatestianum, Rimini ca. 1450 På billedet af Albertis kirke i Rimini, der blev ombygget til et pompøst gravmæle for familien Malatesta, bemærker vi to sæt parallelle sidelinjer, der nærmer sig to forskellige punkter, forsvindingspunkterne. Vi bemærker også, at alle andre linjer, der er parallelle med hhv. den ene side og den anden side af gravmælet nærmer sig det tilsvarende forsvindingspunkt. Hvis vi vil lave en tegning, der ligner dette fotografi, må vi derfor først og fremmest beslutte os for, hvor vi ønsker forsvindingspunkterne F 1 og F 2 skal ligge. Når disse er valgt, skal vi tegne den vandrette linje, der forbinder disse punkter. Denne linje udgør billedets horisont. Ved valget af horisont har vi samtidigt bestemt os for hvilken øjenhøjde vores billede skal tegnes i. I to-punkts perspektivet er udseendet af tegningen derfor fastlagt ved følgende: Hvor ligger horisonten og hvor ligger de to forsvindingspunkter på horisonten. Den eneste forskel på de to følgende perspektivtegninger er at horisonten har forskellige placeringer. Det svarer til at ståstedet er det samme for de to tegnere, men øjenhøjden er ændret. 11
Øvelse 2.2.1: En tilfældig kasse i to-punkts perspektiv Åben en Geometri applikation i TI-Nspire CAS. Også i denne øvelse får du brug for at kunne styre vandrette og lodrette retninger i tegneplanen med menupunkterne Vinkelret og Parallel. Konstruér en vandret linje i TI-Nspire CAS (hold Shift nede) og afsæt to frie punkter F 1 og F 2 på linjen. Den vandrette linje skal spille rollen af horisonten, mens de frie punkter skal spille rollerne som forsvindingspunkter. Afsæt et frit punkt nedenfor horisonten og konstruér et vinkelret linjestykke (til horisonten). Konstruér to punkter på den vinkelrette linje. Dette linjestykke er fronten af din kasse med de frie punkter udgør det øverste og nederste hjørnepunkt. Konstruér linjestykker der forbinder de to endepunkter for fronten med de to forsvindingspunkter. Du har nu fastlagt retningerne for kassens sider. Du skal derefter have valgt bredde og dybde for kassen. Det gør du ved at vælge to tilfældige punkter, det ene på en forbindelseslinje til F 1 og det andet på en forbindelseslinje til F 2. Nu kan kassen konstrueres færdig ved at konstruere passende linjer. Til sidst skjules hjælpelinjer og kassens trækkes passende op fx ved brug af fede linjer for de synlige kanter og stiplede linjer for de usynlige bagvedliggende kanter. Du kan også eksperimentere med at udfylde kassens sider på passende vis. Prøv at flytte rundt på forsvindingspunkterne langs horisonten og prøv at flytte op og ned på horisonten. Hvilken indflydelse har det på kassens udseende? Udfordring: Prøv også om du kan animere en kasse i to-punkts perspektiv. 12
2.3 Tre-punkts perspektiv På billedet af terningen bemærker vi denne gang tre sæt parallelle linjer, som nærmer sig hvert sit forsvindingspunkt. Vi lægger også mærke til at der denne gang ikke er nogen vandrette og lodrette linjer knyttet til terningen. Fronten består nu af et enkelt hjørnepunkt, det nærmeste, og horisonten spiller ingen rolle for terningens udseende. Hvis vi vil lave en tegning, der ligner dette fotografi, skal vi derfor først vælge de tre forsvindingspunkter, som vi vil kalde X, Y og Z (ligesom akserne i et rumligt koordinatsystem). Man kan vælge disse tre forsvindingspunkter stort set vilkårligt. De skal dog udspænde en spidsvinklet trekant af grunde som vi vil se nærmere på senere (se hovedsætningen om tre-punkts perspektivet side 30-32). Hvis trekanten ikke er spidsvinklet kan kassen nemlig ikke være retvinklet. I et tre-punkts perspektiv er det altså de tre forsvindingspunkter, der fastlægger tegningens udseende. Siderne i trekanten udspændt af de tre forsvindingspunkter X, Y og Z kan opfattes som 'kunstige horisonter'. Kassens udseende afhænger som vist af kassens beliggenhed i forhold til disse. 13
Øvelse 2.3.1: En tilfældig kasse i tre-punkts perspektiv Åben en Geometri applikation i TI-Nspire CAS. Konstruer en tilfældig spidsvinklet trekant XYZ. De tre hjørner skal fungere som forsvindingspunkterne for tre-punkts perspektivet. Afsæt et tilfældigt punkt O, der skal fungere som fronten for kassen (dvs. det nærmeste hjørnepunkt). Forbind fronten med de tre forsvindingspunkter. Du har nu fastlagt retningerne for kassens tre sider. Du skal nu vælge højde, bredde og dybde for kassen. Det gør du ved at vælge et frit punkt på hver af de tre forbindelseslinjer mellem fronten O og forsvindingspunkterne X, Y og Z. Disse frie punkter, der fungerer som de tre tilstødende hjørner forbindes nu tilsvarende med forsvindingspunkterne. Nu kan kassen konstrueres færdig ved at konstruere passende linjer. Til sidst skjules hjælpelinjer og kassen trækkes passende op fx ved brug af fede linjer for de synlige kanter og stiplede linjer for de usynlige bagvedliggende kanter. Du kan også eksperimentere med at udfylde kassens sider på passende vis. Prøv nu at flytte rundt på forsvindingspunkterne og ved at flytte rundt på fronten. Hvilken indflydelse har det på kassens udseende? Udfordring: Prøv også om du kan animere en kasse i tre-punkts perspektiv. 14
3. Gentagelser i perspektivtegning Hidtil har vi tegnet en enkelt kasse ad gangen i forskellige perspektiver. Det rækker til et enkelt hus eller lignende, men det ville også være rart at kunne tegne rigtige rækkehuse og andre gentagne mønstre, fx flisedækninger i perspektiv. Det kræver at vi får styr på fordoblinger i perspektivtegning, så vi kan lægge to ens genstande ved siden af hinanden. Hovedprincippet kommer fra den følgende simple observation F 2 D M DA M CD T C M BC M' D'A' D' M' C'D' C' T ' M' B'C' A M AB B A' M' A'B' B' F 1 Halveringsprincippet Diagonalerne i et rektangel halverer hinanden. Hvis vi har tegnet et perspektivisk billede af et rektangel ABCD kan vi derfor som vist ret nemt konstruere de perspektiviske billeder af sidernes midtpunkter ud fra sidernes forsvindingspunkter. Først forlænges siderne til skæring i forsvindingspunkterne F 1 og F 2. Dernæst konstrueres diagonalerne med tilhørende skæringspunkt T'. Endelig forbindes firkantens 'midtpunkt' T' med forsvindingspunkterne F 1 og F 2 og derved fremkommer de ønskede 'midtpunkter' for siderne. Men hvis vi kan halvere en figur kan vi selvfølgelig også vende processen om og derved fordoble en figur. Vi viser to typiske og klassiske eksempler på gentagelser i to dimensioner: Fliselægning af et gulv (bredde og dybde med gentagelser i dybden) og telefonpæle langs en vej (højde og dybde med gentagelser i dybden). 15
Eksempel 3.1: Tegning af en kvadratisk flisedækning Vi skal tegne et flisegulv i perspektiv. Flisegulvets ene side AB forudsættes parallel med billedplanen og fremstår derfor som en vandret linje på tegningen. Først konstrueres en vandret horisont samt hovedforsvindingspunktet H på horisonten. Dernæst konstrueres et vandret linjestykke AB, der altså er parallelt med horisonten. Træk linjer fra A og B til hovedforsvindingspunktet H. Disse linjestykker afgrænser flisestykkets bredde på perspektivtegningen. Da fliserne er lagt parallelt med billedplanen, er deres udstrækning i vandret retning den samme for alle fliserne. Grundlinjen AB deles derfor i fx fire lige store stykker. Da diagonalerne i fliserne er parallelle må de have et fælles forsvindingspunkt på horisonten. Dette vælges frit og kaldes diagonalpunktet D. Diagonalerne, der forbinder det forreste venstre hjørne af alle fliserne med diagonalpunktet D konstrueres. Disse diagonaler skærer da fliseafgrænsningen dér, hvor den næste fliserække begynder. Derved kan flisedækningen gøres færdig. Prøv også at udfylde hver anden flise i et skakternet mønster. Prøv nu at trække i såvel hovedforsvindingspunktet H som diagonalpunktet D og observér hvad der sker. Bemærkning: Det er ikke afgørende at have diagonalpunktet D til rådighed for konstruktionen. Hvis blot vi ved hvor den første fliserække stopper kan vi stadig trække diagonalerne for den første fliserække og derved finde hjørnerne for den næste fliserække og så fremdeles. Hele konstruktionen kan altså udføres indenfor fliserækkens bredde. 16
Eksempel 3.2: Tegning af ækvidistant lygtepæle Vi har givet placeringen af den første lodrette lygtepæl A 1 B 1 samt forsvindingspunktet på horisonten for den lige vej. Alle lygtepælene er lodrette og parallelle med billedplanen. Vi forbinder nu bunden af den første lygtepæl A 1 med forsvindingspunktet F. Tilsvarende forbindes toppen af lygtepælen, dvs. B 1 med forsvindingspunktet F. Top- og bundpunkter for alle lygtepælene må derfor ligge på toplinjen B 1 F og bundlinjen A 1 F. Midtpunktet M 1 for A 1 B 1 konstrueres. Det virkelige og det perspektiviske midtpunkt falder her sammen, fordi lygtepælen er parallel med billedplanen. Midtpunkterne for de resterende lygtepæle befinder sig derfor på linjen M 1 F, som ligeledes konstrueres. Den næste lygtepæl kan nu konstrueres ved at vælge et frit bundpunkt A 2 og tegne en lodret linje gennem dette. Vi har samtidigt fået frembragt midtpunktet M 2 for denne lygtepæl. Hvis vi nu konstruerer en linje gennem den første lygtepæls toppunkt B 1 og den anden lygtepæls midtpunkt M 2, vil denne linjes skæringspunkt med bundlinjen A 1 F netop angive placeringen af den næste lygtepæls bundpunkt A 3. (Overvej dette!). Derefter kan den tredje lygtepæl nu konstrueres på samme måde. Konstruér nogle flere lygtepæle og eksperimentér med at flytte på forsvindingspunktet F. Overvej også hvorfor diagonalernes forsvindingspunkt D må ligge på den lodrette linje gennem F. Vi kunne derfor også tage udgangspunkt i dette diagonalpunkt i stedet for det næste bundpunkt. 17
Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1 Øvelse 3.3: Leg med julegaver Lav en perspektivtegning af en kasse med bånd om. Øvelse 3.4: Et hus i perspektiv Lav en perspektivtegning af et hus, såvel i et-punkts som i to-punkts perspektiv. Huset skal have et vindue i den ene side, der sidder symmetrisk på husvæggen. Huset skal desuden have en symmetrisk anbragt dør i gavlen. Dørens højde skal være tre fjerdedele af væggens højde. Du vælger selv bredde og højde af hus, vindue og tag. Øvelse 3.5: En gade i perspektiv Lav en perspektivtegning af en stribe rækkehuse på den ene side af en vej med et fleretages hus på den anden side. Eksperimenter medforskellige placeringer af vejen: Langs med billedplanen, vinkelret på billedplanen og evt. skævt på billedplanen. Øvelse 4.6: et rumligt gitter Lav en perspektivtegning af et rumligt gitter. Til inspiration kan du fx bruge Eschers træsnit: 18
4. Historiske eksperimenter Jesus fremvises i templet af Ambrogio Lorenzetti, 1342 Opdagelsen af det naturtro perspektiv tilskrives normalt den italienske renæssancekunstner Brunelleschi. Men det betyder selvfølgelig ikke at kunstnerne før Brunelleschi ikke havde beskæftiget sig med en realistisk dybdevirkning i deres billeder. Ovenfor er vist et typisk billede af en af Brunelleschis forgængere i Firenze, Ambrogio Lorenzetti. Som det ses er han tydeligvis optaget af at skabe dybdevirkning ved at udnytte forsvindingspunkter på symmetriaksen for rummet. Men kontrollerer vi perspektivet ser vi at det ikke hænger ordentligt sammen: Gulvet og loftet har fx hvert sit forsvindingspunkt. Der er derfor ikke tale om en naturtro gengivelse af bygningen, thi i en sådan skal perspektivet bindes sammen af ét og kun ét hovedforsvindingspunkt. Det er netop en af Brunelleschis store opdagelser. 19
4.1 Brunelleschis illusionstrick 1 Lovene for perspektivtegningen blev fundet i begyndelsen af 1400-tallet af billedhuggeren og arkitekten Brunelleschi. Han skrev ikke reglerne ned, men overbeviste i stedet sin samtid gennem en illusionskunst. Motivet var det ottekantede dåbskapel i Firenze som dette så ud fra portåbningen i katedralen lige overfor kapellet. Tricket bestod i at konstruere tegningen på et kvadratisk træpanel og bore et lille hul i træpanelet svarende til billedets hovedforsvindingspunkt H. Ved at stille sig i portåbningen for katedralen og kigge gennem øjehullet kunne man nu se det florentinske dåbskapel som det så ud i virkeligheden. Men samtidigt kunne man holde et spejl foran sig i en afstand af kvadrates halve bredde, så man også kunne se tegningen af det florentinske dåbskapel. Ved at skyde spejlet ind foran det virkelige dåbskapel kunne man derfor se de to billeder side om side med den ene del af det virkelige dåbskapel på den ene side af spejlets kant og tegningen af den anden del af dåbskapellet på den anden side af spejlets kant. Dermed kunne man overbevise sig om at linjerne i tegningen passede perfekt med virkelighedens linjeføring når spejlet gled ind foran. For yderligere at forhøje billedets naturtrohed havde Brunelleschi lagt et spejlende lag af sølv ind øverst i billedet, som så kunne genspejle skyerne over dåbskapellet. Det var det rene trylleri og gjorde utvivlsomt et uudsletteligt indtryk på nogle af de unge kunstnere der overværede det, som fx Masaccio, der frembragte et af de første vellykkede illusionistiske billeder, vægbilledet af treenigheden i 1427 (se side 3). 1 Brunelleschis paneltegning eksisterer ikke længere, så den følgende beskrivelse er en rekonstruktion baseret på samtidige beskrivelser. Vi følger her professor Zeemans fremstilling i Geometry and Perspective, Royal Institution Mathematics Masterclass, 1987 (noter med tilhørende video). 20
Øvelse 4.1.1: Dåbskapellet i perspektiv Konstruer en perspektivisk skitse af et ottekantet dåbskapel i midten af en kvadratisk plads med en kvadratisk flisedækning. Udskriv skitsen og gør den færdig i hånden ved at tilføje passende detaljer på bygningerne. Projekt 4.1.2: I Brunelleschis fodspor Konstruer et billede af det florentiske dåbskapel inden i et kvadrat ABCD med siden 30 cm med hovedforsvindingspunktet H en tredjedel oppe, dvs. 10 cm) i midten af kvadratet. Konstruer også to diagonalpunkter D 1 og D 2 på hver sin side af hovedforsvindingspunktet i en afstand af kvadratets bredde, dvs. 30 cm. Del grundlinjen af kvadratet AB i fire lige store dele og konstruer en kvadratisk flisedækning med 4 4 kvadrater. Konstruer en symmetrisk front for dåbskapellet, der hviler på den sidste fliserække og har bredden 10 cm og højden 18 cm. Tilføj ved brug af diagonalpunkterne de to sideflader for dåbskapellet med 5 cm lange grundlinjer for neden. Et lille tag foroven fuldender skitsen, der skrives ud i to eksempler, et svarende til originalen og et svarende til billedet. De monteres på fx papplader. Du har nu et panel af samme størrelse som Brunelleschis. Bor et hul i hovedforsvindingspunktet H som du kan kigge igennem. Placer originalen i afstanden 30 cm foran dit øje og forvis dig om den perspektiviske virkning af dit billede. Hold derefter et spejl midtvejs mellem billedet og originalen. Du skulle nu kunne genskabe Brunelleschis illusion! Kan du fotografere den? 4.2 Albertis perspektivkasse 2 Det blev Alberti Leon Batista der først nedskrev lovene for perspektivtegningen i 1435-36 i et blomstrende sprog uden i øvrigt at benytte sig af illustrationer til sine forklaringer! Også Alberti betjente sig af eksperimenter til at fastlægge lovene for perspektivtegningen, herunder ikke mindst den centrale rolle som forsvindingspunkterne spiller. Albertis hovedkonstruktion handler om den rette dybdevirkning i et billede, der hænger nøje sammen med konstruktionen af en perspektivisk flisedækning. Principperne bag dette kan man eksperimentere sig frem til ved brug af en opstilling i en kasse som den følgende: I en kasse med en flisedækning i den bagerste halvdel kan man nu dels konstruere et øjehul i kassens forside, dels lade den ene side af kassen være åben så man også kan overskue scenens opbygning udefra. Ved at indsætte en V-formet udskæring i midten af kassen kan man nu forvisse sig om at den netop passer med flisedækningens kanter i siden, der altså ser ud som om de samles i toppunktet for V'et, der derfor spiller rollen som hovedforsvindingspunktet H. Ved at 2 Albertis perspektivkasse eksisterer ikke længere, så den følgende beskrivelse er en rekonstruktion baseret på samtidige beskrivelser. Vi følger her Lars Marcussens fremstilling i Rummets arkitektur Arkitekturens rum, Arktitektens forlag, 2002. 21
trække snore fra flisernes hjørnepunkter kan man ydermere forvisse sig om at synsstrålerne svarer til snorene. Udskæringen i midten spiller altså rollen af billedplanet. Ved dels at kigge ind i kassen bagfra gennem den åbne bagside, dels fra siden kan man ydermere se hovedlinjerne i Albertis perspektiviske konstruktion af flisedækningen: Perspektivkonstruktionen kombinerer altså to synsvinkler på samme tid, idet linjerne fra diagonalpunktet D netop svarer til scenen set fra siden i stedet for forfra. Projekt 4.2.1: Konstruer en perspektivkasse a la Alberti med en åben side men behold bagsiden og fortsæt flisedækningen op af bagsiden så det ser ud som om gulvet fortsætter i det uendelige! Sådanne illusionistiske perspektivkasser kan konstrueres meget kunstfærdige. Prøv fx at søge oplysninger om Hoogstratens perspektivkasser. 22
Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1 5. Perspektivisk billedanalyse3 Bebudelsen: Carlo Crivelli 1686 Brunelleschis afgørende opdagelse var den centrale rolle hovedforsvindingspunktet spillede for en naturtro gengivelse af en scene med dybdevirkning. Et naturtro billede rummer netop et hovedforsvindingspunkt som er projektionen af øjepunktet på lærredet. Alle linjer vinkelret på lærredet samles i dette punkt. Kender man også afstanden fra øjepunktet til lærredet, dvs. distancen, kan man forstærke dybdevirkningen af billedet ved at placere sit øjepunkt samme sted som kunstneren og se på billedet med et øje. Det rejser naturligt spørgsmålet om hvordan man rekonstruere hovedforsvindingspunktets placering samt distancen ud fra det færdige billede. Det er denne rekonstruktion der kaldes perspektivisk billedanalyse. Her spiller kvadrater en særlig rolle. Hvis billedet rummer billeder af vandrette indbyrdes parallelle kvadrater, fx flisedækninger, kan man nemlig konstruere forsvindingspunkterne for diagonalerne i kvadraterne, diagonalpunkterne, der er til stor hjælp ved fastlæggelsen af distancen. 3 Billederne fra de følgende øvelser kan enten analyseres i 'hånden' ud fra fotokopier eller de kan hentes på Internettet. 23
5.1 Analyse af et et-punkts perspektiv (frontperspektiv) Hovedparten af perspektiviske malerier er udført i frontperspektiv. Det gælder fx Bebudelsen (side 23) med sin vrimmel af vandrette og lodrette linjer. Det gør det nemt at finde hovedforsvindingspunktet, da disse billeder rummer masser af linjer, der i virkeligheden står vinkelret på billedplanen. Prøv fx at finde hovedforsvindingspunktet H for bebudelsen og dermed også horisonten. Derefter kigger man efter flisedækninger eller lignende. I Bebudelsen er der fx en flisedækning på vejen ud for huset, men der er også flisedækninger i fx lofterne. Prøv nu også at finde diagonalpunkterne D 1 og D 2, der gerne skulle ligge på horisonten symmetrisk omkring hovedforsvindingspunktet. Men i et et-punkts perspektiv er distancen d netop afstanden fra hovedforsvindingspunktet H til hvert af diagonalpunkterne D 1 og D 2. Diagonalerne danner nemlig vinklen 45 med normalen til billedplanet. Set ovenfra udspænder øjepunktet, Billedplan hovedforsvindingspunktet og diagonalpunktet derfor en ligebenet retvinklet trekant, hvorfor afstanden fra øjepunkt til ho- D 1 H D 2 vedforsvindingspunkt er det samme som afstanden fra hovedforsvindingspunkt til diagonalpunkt. Ofte kaldes diagonalpunkter derfor også distancepunkter men vi skal passe Øjepunkt på, for det gælder kun i frontperspektiv! Du kan nu konstruere en perspektivkasse med et kighul i den rigtige højde lige over hovedforsvindingspunktet og betragte Bebudelsen fra det rigtige øjepunkt. Læg dog mærke til at ikke alt går op i korrekt linjeføring. Prøv fx at kigge nærmere på lysstrålen fra himlen til Jomfru Maria. Hvad er der galt? Det er åbenlyst svært at kombinere et uendeligt himmelsk perspektiv med et endeligt jordiske perspektiv! Øvelse 5.1.1: Treenigheden af Masaccio (1427) Treenigheden (side 3) blev den første afgørende offentlige demonstration af det nye naturtro perspektiv. Find hovedforsvindingspunktet! Maleriet blev malet direkte på en væg i kirken med hovedforsvindingspunktet i naturlig øjenhøjde. Når man stiller sig foran maleriet i passende afstand ser det derfor ud som om der virkelig var et hul ind i muren med et kapel. Det blev derfor straks berømt for den illusionskunst, det også var. Øvelse 5.1.2: Skattens mønt af Masaccio (1427) Dette er et andet af Masaccios berømte billeder malet et år før han døde kun 26 år gammel. Bestem hovedforsvindingspunktets placering og fastlæg også horisonten. Hvilken rolle spiller hovedforsvindingspunktet for motivets opbygning? Billedet er også berømt for den specielle rolle øjenhøjden spiller: Alle menneskene på billedet er i virkeligheden ca. lige høje, men også deres hoveder ligger i nogenlunde samme højde på billedet. Kan du forklare hvordan Masaccio har opnået dette? 24
Projekt 5.1.3: Maria Bebudelse af Veneziano (ca. 1430) Også andre af Masaccios samtidige malerkolleger i Firenze mestrede perspektivet. Prøv fx at analysere perspektivet i den ovenstående enkle fremstilling af Marias bebudelse (i sammenligning med Crivellis side 23). Denne gang kan du også finde distancen og således efterprøve det naturtro perspektiv. Øvelse 5.1.4: Arnolfinis bryllup af Van Eyck (ca. 1434) Nyheden om Brunelleschis opdagelse af lovene for det naturtro perspektiv spredtes kun langsom i resten af Europa. Prøv fx at analysere det følgende billede af den berømte Hollandske mester Van Eyck. Billedet er det første eksempel på et motiv med almindelige borgere malet i helfigur og er fyldt med imponerende realistiske detaljer som fx spejlet på væggen, der afslører de øvrige tilstedeværende i værelset. Alligevel fungerer perspektivet ikke korrekt! Hvad er det for en pointe som Van Eyck ikke havde forstået? Hvor burde han have placeret hovedforsvindingspunktet? Projekt 5.1.5: Leg med kasser Når man tegner en kasse i frontperspektiv og vælger sin dybde vilkårligt behøver kassen selvfølgelig ikke forestille en terning. Men hvis fronten rent faktisk er et kvadrat findes der netop én distance fra hvilken kassen ligner en terning. Konstruer en perspektivtegning af en retvinklet kasse i frontperspektiv med en kvadratisk front. Antag nu at kassen er en terning og tilføj diagonalpunkterne. Fastlæg herved distancen d. Læg tegningen i bunden af en papkasse med højden d og konstruér et kighul lodret over hovedforsvindingspunktet H. Kontroller at kassen ligner en terning fra dette øjepunkt, men at den ser forvrænget ud, hvis tegningen rykkes tættere på eller længere væk. 25
Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1 Arnolfinis bryllup af Van Eyck (ca. 1434) 26
5.2 Analyse af et to-punkts perspektiv (krydsperspektiv) Hvis billedet i stedet er lavet i krydsperspektiv er det langt sværere at fastlægge såvel beliggenheden af hovedforsvindingspunktet som distancen. Udgangspunktet er denne gang to forsvindingspunkter på horisonten, der kommer fra et vandret retvinklet kryds i motivet. Vi ved nu at F 1 og F 2 repræsenterer to vinkelrette retninger set fra øjepunktet. Ifølge Thales sætning må øjepunktet Ø derfor ligge på en cirkel med F 1 F 2 som diameter. Men hvor på cirklen kan vi ikke umiddelbart sige noget om! Det giver en sammenhæng mellem hovedforsvindingspunktets placering og distancen: Kender vi den ene kan vi finde den anden. Men uden yderligere information kan vi altså ikke komme længere i analysen. Hvis vi fx kan finde endnu et retvinklet kryds i motivet kan vi konstruere endnu en cirkel og dermed fastlægge hovedforsvindingspunktets placering H og distancen d ud fra skæringspunktet mellem de to cirkler. Det samme gælder, hvis vi kan finde et par diagonalpunkter D 1 og D 2 hørende til et retvinklet kryds. Her kan vi ydermere trække på specielle egenskaber ved diagonalpunkterne. Da synslinjen til diagonalpunktet halverer den rette vinkel må den som vist gå gennem cirklens bagerste (eller forreste) punkt. Denne gang ligger diagonalpunkterne ikke lige langt væk fra hovedforsvindingspunktet. De fungerer derfor ikke som distancepunkter. Ud fra den retvinklede trekant D 1 D 2 Ø kan man dog vise at distancen er det geometriske gennemsnit af afstandene, dvs. d = HD 1 HD2. Læg mærke til at den ovennævnte konstruktion lige så godt kan udføres i billedplanet. I så fald går vi blot ud fra horisonten som den vandrette linje gennem forsvindingspunkterne. 27
Øvelse 5.2.1: Corpus hypercubicus af Dali (1954) Da det er svært at finde klassiske malerier, der udnytter krydsperspektivet kigger vi i stedet på et moderne billede af Dali, den korsfæstede Kristus på en udfoldet hyperterning: Korset er med god tilnærmelse lodret. Det er opbygget af 8 terninger, der udgør en udfoldet hyperterning (firedimensional terning). Fastlæg forsvindingspunkter og diagonalpunkter for de vandrette kanter. Bestem derved hovedforsvindingspunktet H og distancen d for maleriet. 28
Projekt 5.2.2: Leg med kasser Når vi tegner en retvinklet kasse i krydsperspektiv kan vi i almindelighed vælge bredden og dybden frit. Men ifølge den ovenstående analyse findes der nu netop ét øjepunkt ud fra hvilket kassen fremstår som en terning. Konstruer en perspektivtegning af en retvinklet kasse i krydsperspektiv ud fra de to forsvindingspunkter F 1 og F 2. Antag nu at kassen er en terning og tilføj diagonalpunkterne. Fastlæg herved hovedforsvindingspunktet H og distancen d. Læg tegningen i bunden af en papkasse med højden d og konstruér et kighul lodret over hovedforsvindingspunktet H. Kontroller at kassen ligner en terning fra dette øjepunkt, men at den ser forvrænget ud, hvis tegningen forrykkes langs horisonten. Øvelse 5.2.3: Lamberts huse Perspektivtetegning af to huse fra Lamberts 'Freye Perspektive', 1774 Den tyske matematiker Lambert gik i Dürers fodspor og skrev en moderne fremstilling af matematikken bag perspektivet. Her er vist en tegning af to huse, hvor det ene er tegnet i frontperspektiv og det andet i krydsperspektiv. Benyt de to huse til at fastlæg såvel hovedforsvindingspunktet H som distancen d. Udfordring: Hvilken vinkel er det højre hus drejet i forhold til det venstre? Hvor meget længere og bredere er huset til højre? Er husene lige høje? 29
5.3 Analyse af et tre-punkts perspektiv I modsætning til to-punkts perspektivet, hvor man må have hjælp af fx diagonalpunkter til at fastlægge hovedforsvindingspunktet og distancen, er såvel hovedforsvindingspunktets placering som distancen i tre-punkts perspektivet fuldstændigt fastlagt ud fra forsvindingspunkterne via den følgende smukke sætning Hovedforsvindingspunktet for et tre-punkts perspektiv Hovedforsvindingspunktet H for et tre-punkts perspektiv ligger i højdernes skæringspunkt for forsvindingstrekanten frembragt af de tre forsvindingspunkter X, Y og Z hørende til et retvinklet hjørne. Forsvindingstrekanten er nødvendigvis spidsvinklet. Bevis: Hovedforsvindingspunktet H er den retvinklede projektion af øjepunktet Ø på billedplanet. Linjerne, der forbinder øjepunktet Ø med forsvindingspunkterne X, Y og Z er parallelle med hjørnets kanter. Disse tre linjer udgør altså et retvinklet hjørne i tetraederet ØXYZ, der derfor er et retvinklet tetraeder. billedplan billedplan Y Y Ø H X Ø H X Z Z Vi ser altså fx trekantsiden XY under en ret vinkel fra øjepunktet Ø og dermed må Ø ifølge Thales sætning i rummet ligge på kuglen med diameter XY. Af samme grund må den også ligge på kuglerne med diametrene YZ og ZX. P P A B A B Thales sætning i planen (a) og rummet (b): a) I planen ser man et linjestykke AB under en ret vinkel netop når man befinder sig på cirklen med AB som diameter. b) Drejes cirklen omkring diameteren AB fremkommer en kugle. I rummet gælder derfor tilsvarende, at man ser et linjestykke AB under en ret vinkel netop når man befinder sig på kuglen med AB som diameter. 30
Men hvis de tre kugler skærer hinanden, sker det i to punkter: Et foran billedplanen og et andet, spejlbilledet af det første, bag billedplanen. Da øjepunktet ligger foran billedplanen er dets position dermed entydigt bestemt. S S C 1 C2 C 1 C 2 T T Skæringen mellem to cirkler i planen (a) og to kugler i rummet (b): a) I planen skærer to cirkler hinanden i to punkter S og T, hvor forbindelsesstykket ST står vinkelret på centerlinjen C 1 C 2. b) Drejes cirklerne omkring deres centerlinje C 1 C 2 fås to kugler, der skærer hinanden i snitcirklen fremkommet ved at dreje diameteren ST omkring centerlinjen. Vi skal så blot analysere skæringen mellem de tre kugler. Det sker nemmest ved først at se på skæringen af to af kuglerne, fx dem med diametre XY og ZX. Centrene for disse kugler ligger i sidernes midtpunkter M XY og M ZX. Forbindelseslinjen er den såkaldte midtpunktstransversal, som er parallel med den tredje trekant side YZ. billedplan Y Y H X H M XY X H X H M XY Ø X M ZX M ZX Z Z Trækkes højden fra det fælles hjørne X vil ikke blot X men også højdens fodpunkt H X ligge på de to kugler, idet man også fra højdens fodpunkt ser de to sider XY og ZX under en ret vinkel. Ydermere står højden vinkelret på centerlinjen og derfor skærer de to kugler hinanden i en cirkel vinkelret på billedplanen som netop har højden fra X som diameter. Præcis det samme gælder selvfølgelig for de to andre hjørner. De tre kugler skærer altså hinanden to og to i tre cirkler vinkelret på billedplanen, der har højderne som diametre. Men heraf følger to ting: For det første må trekanten være spidsvinklet, da de tre højder XH X, YH Y og ZH Z ellers ikke skærer hinanden. For det andet ligger skæringspunktets, dvs. øjepunktets projektion i højdernes skæringspunkt H. 31
Ydermere gælder der tilsvarende at distancen er fuldstændigt fastlagt i et trepunkts perspektiv. Distancen for et 3-punkts perspektiv Distancen d for et 3-punkts perspektiv (fastlagt ved trekanten frembragt af tre forsvindingspunkter X, Y og Z hørende til en retvinklet kasse) findes ved at tegne en cirkel med en af trekanthøjderne som diameter. Derefter tegnes normalen til højden gennem højdernes skæringspunkt H. Den skærer cirklen i et distancepunkt D, der netop ligger i afstanden d fra H. billedplan Y Y H X H X H X H Ø X Z Z Dette er blot en fortsættelse af den ovenstående analyse: Distancen er netop højden i det retvinklede tetraeder med øjepunktet Ø som toppunkt og trekanten XYZ som grundflade. Vælges en af højderne ligger distancen altså som den vinkelrette afstand fra øjepunktets fodpunkt H til cirklen med højden som diameter. Drejes cirklen 90 omkring højden lægges cirklen ned i billedplanen og vi får netop den nævnte konstruktion af distancen. Den pågældende cirkel kaldes distancecirklen hørende til den spidsvinklede trekant XYZ. Den rummer netop forsvindingspunkterne for alle de synstråler, der danner en vinkel på 45 med hovedretningen. Øvelse 5.3.1: Det retvinklede hjørne Konstruer en udfoldning af det retvinklede tetraeder ØXYZ, fx som vist på figuren. Skriv tegningen ud og klip den op, så den kan foldes op til det retvinklede tetraeder. Y b b a H X H H z H Y X c a Z c 32
Øvelse 5.3.2: Op og ned af Escher (1960) Eschers berømte tegning er netop baseret på et tre-punkts perspektiv. Bestem såvel hovedforsvindingspunktet H som distancen d. Konstruer et kighul der lader dig se på billedet med den korrekte synsvinkel. Billedet leger i øvrigt med et brud på perspektivet. Gør rede for ideen bag billedet. Projekt 5.3.3: Leg med kasser Frembring en tegning med flere retvinklede kasser med hver deres forsvindingstrekant, men sørg for at de har et fælles hovedforsvindingspunkt H og en fælles distance d! Kontroller at kasserne ser naturtro ud fra det korrekte øjepunkt. 33
6. Perspektivtegning med faste mål Hidtil har vi tegnet perspektiviske tegninger af simple figurer, fx retvinklede kasser, uden at tage hensyn til deres faktiske mål, fx om der i virkeligheden var tale om en terning. Nu vil vi prøve at sammenfatte principperne bag perspektivtegning til nogle metoder til at konstruere naturtro tegninger af genstande med givne mål, fx arkitekttegninger af huse. Vi skal da have målene på huset oplyst og det vil typisk ske i form af to skalatro tegninger i samme målestoksforhold, der dels viser huset set ovenfra, den såkaldte plantegning med husets grundplan, dels viser huset set fra siden, den såkaldte opstalttegning. Opgaven består da i at kombinere informationerne fra disse to tegninger til en naturtro rumlig tegning af huset i billedplanen, som huset ses fra et bestemt udsigtspunkt, dvs. med en bestemt placering af øjepunktet: Plantegning Opstalttegning Billedplan 6.1 Afbildning af et enkelt punkt Vi starter med at løse det mest grundlæggende problem: Hvordan overføres et rumligt punkt til billedplanen. Teknikken kan derefter nemt udvides til placeringen af linjestykker, fladeelementer mm. For at have et konkret punkt at arbejde med vil se på afbildningen af knoppen på en flagstang. Først ser vi på scenen ovenfra (plantegningen). Vi har altså en flagstang, her set ovenfra som et punkt T, der befinder sig stykket y bagved billedplanen (som her ses ovenfra som en linje). Vi skal have tegnet et billede af denne flagstang som den ser ud fra et øjepunkt Ø, der befinder sig i afstanden d fra billedplanen (distancen) og forskudt stykket x langs billedplanen. Linjestykket ØT synsstrålen. Skæringspunktet med billedplanen, T', angiver derfor netop flagstangens placering på billedplanen set ovenfra. T Flagstang d T ' x y billedplan Ø Plantegning 34
Dernæst ser vi det hele fra siden (opstalttegningen). Denne gang får vi også højderne med, specielt øjehøjden h, samt flagstangens højde z. Opstalttegning billedplan B: knop Ø Flagstang z h grundlinje d y A: fod Vi kobler nu informationerne fra de to figurer på snedig vis for at frembringe en naturtro perspektivtegning af flagstangen med tilhørende knop set fra øjepunktet. 1. Først fastlægges hovedforsvindingspunktet H i billedplanen: Da det fremkommer som den vinkelrette projektion af øjepunktet på billedplanen ligger det dels på den lodrette linje gennem øjepunktet Ø i plantegningen, dels på den vandrette linje gennem øjepunktet Ø i opstalttegningen. 2. Dernæst fastlægges horisonten i billedplanen: Det er netop den vandrette linje gennem hovedforsvindingspunktet H. 3. Så fastlægges den vinkelrette projektion af flagstangen på billedplanen. Vi trækker derfor en lodret linje gennem punktet T i plantegningen. Den skærer grundlinjen i fodpunktet A 0. Dernæst trækkes en vandret linje gennem knoppen på flagstangen i opstalttegningen. Den skærer normalen i knoppunktet B 0. Linjestykket A 0 B 0 repræsenterer da netop den vinkelrette projektion af flagstangen på billedplanen. Hvis specielt flagstangen havde ligget i billedplanen havde vi altså været færdige! Men den ligger i virkeligheden et stykke bagved, så vi må på den igen! Plantegning: Scenen set ovenfra Plantegning T Flagstang Opstalttegning: Scenen set fra siden Billedplan: Naturtro perspektiv d Ø T ' x y billedplan Opstalttegning billedplan B: knop B 0 Ø Flagstang H B' horisont z h A' grundlinje d y A: fod A 0 4. Til sidst fastlægges billedet af flagstangen i billedplanen: Hertil benytter vi skæringspunktet T' i plantegningen. Trækkes den lodrette linje gennem T' ved vi nu at billedet af flagstangen ligger på denne linje. Men vi ved også at normalerne A 0 T og B 0 T står vinkelret på billedplanen og derfor har hovedforsvindingspunktet H som deres forsvindingspunkt. Vi forbinder derfor A 0 og B 0 med H. Skæringen med den lodrette linje gennem T' giver da netop fodpunktet A' og toppunktet B' for flagstangen. 35
Der findes mange varianter af den ovenstående konstruktion og sommetider kan man skyde genvej ud fra andre punkter på billedet. Men det er klogt at sætte sig grundigt ind i den ovenstående konstruktion, som man normalt altid vil kunne falde tilbage på. Bemærkning: Hvis vi ser nærmere på opstalttegningen kan vi se at den eneste information om øjepunktet Ø vi udnytter i konstruktionen er øjepunktets højde over grundlinjen, dvs. øjehøjden h. Der er derfor tradition for at man simpelthen udelader øjepunktets placering på opstalttegningen og nøjes med at angive grundlinjen og horisonten. Ofte er grundlinjen endda underforstået, fx som her rammens nederste kant. Tilsvarende bruger vi ikke billedplanens placering i opstalttegningen og denne udelades derfor normalt også. 36
6.2 Et-punkts perspektiv (frontperspektiv) Nu er vi endelig helt klar til at tegne et frontperspektivisk billede af en kasse med givne mål set fra et bestemt sted ved at kombinere en plantegning og en opstalttegning som forklaret ovenfor. Eksempel 6.2.1 En kasse tegnet i et-punkts perspektiv Vi forestiller os altså en retvinklet kasse, der hviler på grundplanen med fronten parallel med billedplanen i afstanden y bagved billedplanen. Vores øjepunkt Ø befinder sig i afstanden d foran billedplanen (distancen) i højden h over grundplanen. Endelig er kassens venstre kant forskudt stykket x langs billedplanen i forhold til øjepunktet. Kassen selv har bredden b kasse, højden h kasse og dybden d kasse. 0 Opstalttegning: Scenen set fra siden Plantegning: Scenen set ovenfra Billedplan: Naturtro perspektiv Plantegning billedplan C' x d Ø A' C A B' y D B Opstalttegning billedplan Ø E G H G' E' F' E 0 F 0 horisont grundlinje h d y z A C Princippet i konstruktionen er det samme som ved flagstangen: Først konstrueres horisonten og hovedforsvindingspunktet H i billedplanen som forklaret ovenfor. Så konstrueres den vinkelrette projektion af kassens front på billedplanen, A 0 B 0 E 0 F 0 ved dels at trække lodrette linjer gennem kassens lodrette sider i plantegningen, dels at tegne vandrette linjer gennem kassens vandrette sider i opstalttegningen. Hvis fronten havde stødt op til billedplanen havde vi nu været færdige med fronten. Men i virkeligheden ligger fronten et stykke bagved billedplanen! Hjørnerne A 0, B 0, E 0 og F 0 forbindes derfor med hovedforsvindingspunktet H, som netop er forsvindingspunktet for normalerne A 0 A, B 0 B osv. Den rigtige afbildning af fronten ligger et sted på disse fire forbindingslinjer A 0 H, B 0 H, E 0 H og F 0 H. Synstrålerne ØA, ØB osv. i plantegningen skærer nu billedplanen i plantegningen i punkterne A', B' osv. De lodrette linjer gennem skæringspunkterne skærer da netop i billedpunkterne A', B', E' og F'. Da fronten er parallel med billedplanen bliver billedet af fronten i virkeligheden et rektangel med vandrette og lodrette sider. Det kunne vi også have benyttet, så snart det første hjørne af fronten var overført til billedplanen. Endelig overføres den bagerste flade fra kassen på samme måde. Igen er det i virkeligheden nok blot at få overført et enkelt hjørne, da forbindelseslinjerne til resten af hjørnerne er vandrette og lodrette. Til slut fjernes alle hjælpelinjerne og kassens kanter trækkes passende op ligesom man kan skyggelægge de synlige flader. Dermed er tegningen færdig! Prøv at ændre øjepunktets placering og se hvilken indflydelse det har på perspektivtegningen. C' A' B' A 0 B 0 37
Øvelse 6.2.2: Et drivhus tegnet i et-punkts perspektiv Konstruer et naturtro perspektivisk billede af det følgende drivhus i 1-punkts perspektiv i målestoksforholdet 1:100. Drivhuset står 2 m bagved billedplanen. Døren, der er 2 m høj og 1 m bred, er anbragt symmetrisk i gavlen. Målene for drivhuset fremgår i øvrigt af figuren nedenfor. Vælg selv hvorfra du vil se drivhuset, dvs. du skal selv vælge en distance d, øjepunktet Ø's placering i vandret retning i forhold til drivhuset samt øjehøjden h (dvs. horisontens placering). Konstruer din figur, så du kan flytte på såvel øjepunktet Ø som hovedforsvindingspunktet H. Opstalttegning Plantegning 1.5 m 2.5 m 4 m 3 m Drivhus set fra siden 3 m Drivhus set fra oven Øvelse 6.2.3: En trappe tegnet i et-punkts perspektiv Konstruér i TI-Nspire CAS en trappe med to trin i et-punkts perspektiv i målestoksforholdet 1:100. Trappen er anbragt 1 m bag ved billedplanen. Øjets distance er 1 m, øjehøjden er 1,5 m. Øjet skal ligge 5 m til venstre for trappens venstre hjørne. Målene på trappen fremgår af figuren nedenfor. Opstalttegning Plantegning 1 m 0.5 m 1.5 m 1.5 m 0.75 m 2 m 1.5 m Trappe set fra siden Trappe set fra oven 38
6.3 To-punkts perspektiv (krydsperspektiv) Eksempel 6.3.1: En kasse tegnet i to-punkts perspektiv I to-punkts perspektiv hviler den retvinklede kasse stadig på grundplanen, men denne gang er kassen drejet i forhold til billedplanen. Det ændrer ikke på de generelle principper, så billedet kan konstrueres efter præcis de samme anvisninger som før. Men i krydsperspektivtegninger vil man ofte med fordel kunne udnytte de to forsvindingspunkter F 1 og F 2 til at færdiggøre konstruktionen efter de samme principper som vi har benyttet i perspektivtegning uden faste mål. Det er denne teknik vi nu ser nærmere på. Plantegning D C B billedplan x A y F 1 A b F 2 A c d Ø Vi ser først på kassen fra oven (plantegningen). Trækker vi linjer gennem øjepunktet Ø parallelt med kassens sider vil de netop skære billedplanen i forsvindingspunkterne F 1 og F 2 for kassens sider. Ved at forlænge kassens sider til skæring med billedplanen kan vi tilsvarende finde de skrå projektioner A b og A c af den forreste kant (fronten) på billedplanen. Ideen bag den generelle konstruktion er nu først at konstruere billedet af den forreste kant (fronten) ud fra fodpunkterne A b og A c samt forsvindingspunkterne F 1 og F 2. Derefter konstruerer vi billedet af kassens sider ud fra de to forsvindingspunkter F 1 og F 2. Opstalttegning: Scenen set fra siden Plantegning: Scenen set ovenfra Billedplan: Naturtro perspektiv Plantegning C billedplan x D A y F 1 C' A b B' F 2 A c d B Ø Opstalttegning Ø E G F 1 F' E f E g E' G' F 2 horisont grundlinje h z A C C' A b A' B' A c Først konstrueres horisonten med de tilhørende forsvindingspunkter F 1 og F 2 i billedplanen. Det gøres ved i plantegningen at trække linjer gennem øjepunktet Ø, som er parallelle med kassens sider. De skærer billedplanen i plantegningen i sidernes forsvindingspunkter F 1 og F 2, som de ses ovenfra. Dernæst konstrueres horisonten som den vandrette linje gennem øjepunktet Ø i opstalttegningen. Endelig trækkes lodrette linjer gennem forsvindingspunkterne i plantegningen. De skærer netop horisonten i billedplanens forsvindingspunkter F 1 og F 2. 39
Så overføres fronten AE (den forreste kant) til billedplanen. I plantegningen forlænges kassens sider til skæring med billedplanen i fodpunkterne A b og A c for de skrå projektioner. Dernæst overføres fodpunkterne til billedplanens grundlinje ved at trække lodrette linjer. Endelig fastlægges de skrå projektioner E f og E g af toppunktet E ved at trække den vandrette linje fra toppunktet E i opstalttegningen. De to lodrette linjestykker A b E f og A c E g repræsenterer da netop de skrå projektioner af fronten ind på billedplanen. Men da bundpunktet A ligger i krydset mellem siderne AB og AC og da disse afbildes i linjerne A b F 2 og A c F 1 kan vi netop finde billedpunktet A', som skæringen mellem disse. Det samme gælder for billedet af toppunktet E'. Dermed er fronten på plads. Endelig overføres kassens sider ved at udnytte samspillet mellem forsvindingspunkterne F 1 og F 2 og synstrålerne. Fx overføres kanten AB ved at udnytte at billedet af B dels må ligge på linjen A'F 2, dels må ligge lodret under B' i plantegningen, dvs. skæringspunktet mellem billedplanen og synstrålen ØB. På lignende måde findes billedet af C, hvorefter resten af kassen kan tegnes. Prøv at trække i øjepunktet Ø og observér hvilken indflydelse det har på perspektivtegningen. Prøv også at dreje kassen i forhold til billedplanen og se hvilken indflydelse det har på perspektivtegningen. Øvelse 6.3.2: Drivhuset tegnet i to-punkts perspektiv Konstruér en tegning i to-punkts perspektiv af drivhuset fra øvelse 6.2.2. Dette skal nu blot være drejet 30 o i positiv omløbsretning omkring sit venstre hjørnepunkt. Øvelse 6.3.3: Trappen tegnet i to-punkts perspektiv Konstruér en tegning af trappen fra øvelse 6.2.3. Denne skal nu blot være drejet en vinkel på 30 o i negativ omløbsretning omkring sit venstre hjørnepunkt. Projekt 6.3.4: Perspektivtegning versus fotografi 1. Fremskaf en fysisk model af en passende rumlig genstand fx en kasse, et hus, en trappe, i et passende materiale, fx centicubes, polyhedrons, pap, træ Konstruer derefter i TI-Nspire CAS en passende plantegning og en passende opstalttegning, der fastlægger såvel genstandens mål som dens form (og også gerne en passende farvelægning af genstanden). 2. Vælg derefter en passende placering af øjepunktet i forhold til genstanden og en passende retning at se i. Konstruer nu i TI-Nspire CAS en præcis naturtro perspektivtegning af genstanden som den ser ud set fra netop dette øjepunkt, når man kigger i den angivne retning. 3. Anbring et digitalt kamera foran genstanden i samme placering som den du specificerede for øjepunktet, således at billedet tages i synsretningen. Tag et digitalt billede af genstanden. 4. Indsæt det digitale billede af genstanden i TI-Nspire CAS og anbring billedet oven på din perspektivtegning. Kan du få de to billeder til at falde sammen? Læg mærke til at du kan skalere billedet ved at trække i et hjørne mens du holder SKIFTE-tasten nede. 40