Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Transkript

1 Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august IT Teaching Tools. ISBN-13: Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Afstandsformlen 2 3 Cirklens Ligning En fejl i beviset?

3 Resumé I dette dokument beviser to nemme, men meget fundamentale sætninger fra analytisk geometri. 1 Introduktion Det er nok lidt overdrevet at kalde sætningerne i dette dokument for sætninger. De er nemlig ikke ret meget andet end smarte anvendelser af Pythagoras sætning. Men de er så nyttige at huske på at man har ophøjet dem til sætninger alligevel. Det kan dog varmt anbefales at huske beviserne i stedet for sætningerne. På den måde kan man nøjes med at huske på Pythagoras sætning som er hovedingrediensen i dem begge. Forudsætninger For at læse disse beviser har du brug for at kende det todimensionale koordinatsystem og vide hvordan man beskriver delmængder ved hjælp af ligninger 1. Desuden skal du selvfølgelig kende Pythagoras sætning. 1 Læs om analytisk geometri her. side 1

4 2 Afstandsformlen Sætning 1. Hvis P og Q er to punkter i det todimensionale koordinatsystem med koordinaterne: P = (x 1 ; y 1 ) og Q = (x 2 ; y 2 ) så er afstanden mellem P og Q givet ved: P Q = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Bevis. Vi varmer op ved at se på nogle specielle situationer først. Først og fremmest: Hvis de to punkter skulle gå hen at være ens 2 altså hvis x 1 = x 2 og y 1 = y 2, så ligger de oven i hinanden. I det tilfælde påstår sætningen at afstanden mellem punkterne er: P Q = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 = = 0 Hvilket må siges at være rigtigt nok. Dernæst: Hvis punkterne enten har samme x-koordinater eller samme y-koordinater, så svarer det til at de ligger på samme vandrette eller lodrette linje. Lad os se på situationen hvor x-koordinaterne er ens, altså x 1 = x 2. I dette tilfælde kan vi tegne et lodret linjestykke mellem de to punkter (se figur 1), og er det ret klart at afstanden imellem dem kan beregnes som afstanden mellem y-koordinaterne, altså: P Q = y 2 y 1 2 Ja, jeg ved at det virker superfjollet. Men når sætningen udtaler sig om to vilkårlige punkter, så er man nødt til at sikre sig at den gælder uanset hvordan disse punkter ligger. Også de tilfælde hvor man aldrig kunne drømme om at anvende sætningen. side 2

5 (Bemærk at vi har brug for den nummeriske værdi, fordi vi ikke kan vide hvilken af y-koordinaterne der er størst. Og vi har jo ikke lyst til at afstanden bliver et negativt tal.) Figur 1: Afstanden mellem to punkter som har samme x-koordinat. er: Sætningen påstår i dette tilfælde at afstanden mellem punkterne P Q = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 = (y 2 y 1 ) 2 = (y 2 y 1 ) 2 Men det er præcis det samme, fordi kvadratroden af et tal opløftet i anden potens er det samme som tallets nummeriske værdi. Tilfældet hvor det er y-koordinaterne som er ens håndteres på præcis samme måde. Til sidst er vi klar til at bevise formlen i det rigtige tilfælde, nemlig hvor punkterne har forskellige x-koordinater og forskellige y-koordinater. Her laver vi et lille trick: Vi integner punkterne i koordinatsystemet og tilføjer en lodret linje gennem det ene punkt og en vandret linje gennem det andet. Disse to linjer vil skære hinanden i et eller andet punkt som vi kan kalde R. De vil endda danne en ret vinkel i dette punkt, hvorved der opstår en retvinklet trekant. (Se figur 2.) I denne retvinklede trekant kan vi hurtigt bestemme kateternes længder. (Bemærk at dette er præcis samme problem som vi løste i side 3

6 Figur 2: Afstanden mellem to punkter i det generelle tilfælde. tilfældet hvor P og Q havde samme x-koordinat eller y-koordinat.) Vi har nemlig: og Nu siger pythagoras at: P R = y 2 y 1 RQ = x 2 x 1 dvs. P Q 2 = RQ 2 + P R 2 = x 2 x y 2 y 1 2 P Q = x 2 x y 2 y 1 2 Nu mangler vi kun at indse at de nummeriske værdier uden problemer kan erstattes med almindelige parenteser. Det kan vi fordi et tal og dets nummeriske værdi altid bliver ens når de opløftes i anden potens. Man kan sige at opløftningen i anden potens har en nummerisk værdi indbygget. Så derfor kan vi omskrive: P Q = x 2 x y 2 y 1 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 side 4

7 3 Cirklens Ligning Med den foregående sætning i lommen får vi en vigtig sætning mere nærmest gratis. Måske bør vi dog starte med at fjerne eventuel forvirring ved at minde om: Definition 2. Når man i analytisk geometri taler om en cirkel, så mener man punkterne på cirkelperiferien. Altså ikke punkterne inde i cirklens indre. Sætning 3. Hvis a og b er to reelle tal, og R er et ikke-negativt reelt tal, så er cirklen med centrum i punktet P = (a; b) og radius R > 0 givet ved ligningen: (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 Sagt med andre ord, så er cirklen følgende mængde: { (x; y) R 2 (x a) 2 + (y b) 2 = R 2} Bevis. Dette bevis er så kort at man skal passe på ikke at snuble over logikken. Vi ønsker en ligning som karakteriserer punkterne på cirklen. Altså en ligning med to ukendte, x og y, som opfører sig sådan at et punkt (x; y) ligger på cirklen præcis hvis x og y får ligningen til at være opfyldt. side 5

8 For at komme i tanker om sådan en skal vi spørge os selv hvad det er som et punkt P = (x; y) på cirklen opfylder, og som ingen andre punkter opfylder. Det gode svar på dette spørgsmål er: Afstanden til sådan et punkt fra cirklens centrum C = (a; b) er lig med radius, R. Hvis vi skriver dette ned ved hjælp af afstandsformlen, så får vi: dvs. CP = R (x a) 2 + (y b) 2 = R Og det er sådan set en glimrende ligning for cirklen. Den bliver dog lidt nemmere at overskue hvis man laver en enkelt omskrivning ved at opløfte begge sider i anden potens. Dermed får vi: (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 side 6

9 3.1 En fejl i beviset? Hvis man er typen der tænker grundigt over tingene, så kan man godt i et kort øjeblik komme til at frygte at den allersidste omskrivning i beviset er forkert! Det er jo ikke rigtigt at en ligning har præcis de samme løsninger når man opløfter begge sider i anden potens. F.eks. er ligningen x = 7 bestemt ikke den samme ligning som x 2 = 49 Det er korrekt af hvis x = 7 så er x 2 = 49, men den modsatte konklusion gælder ikke. (Hvis x 2 = 49 kan x være både 7 og 7.) Men der er heldigvis ikke noget galt. Vi er bare nødt til at tænke lidt mere over hvorfor de to ligninger: og (x a) 2 + (y b) 2 = R (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 har præcis de samme løsninger. For det første hvis x og y er to tal som får den øverste ligning til at være opfyldt, så er det klart at de også får den nederste til at være opfyldt. Det er af samme grund som at x = 7 medfører at x 2 = 49 og fordi en opløftning af en kvadratrod i anden potens altid bare fjerner kvadratroden. Og for det andet: Hvis x og y er to tal som får den nederste ligning til at være opfyldt, så kan vi uden problemer tage kvadratroden på begge sider, fordi begge sider er ikke-negative. Så vi kan konkludere at: (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 Men nu står vi men samme problem som tidligere, nemlig at kvadratroden af et tal i anden potens ikke altid giver tallet tilbage, men side 7

10 derimod den nummeriske værdi af tallet. Vi kan altså umiddelbart kun konkludere at: (x a) 2 + (y b) 2 = R Men eftersom vi heldigvis ved at R ikke er negativ, så er den nummeriske værdi af R helt sikkert det samme som R, og derfor kan vi konkludere at: (x a) 2 + (y b) 2 = R Dermed har vi vist at hvis et punkt opfylder den ene ligning, så opfylder det også den anden. Og dermed er de to versioner af cirklens ligning faktisk lige gode, præcis som vi påstod. side 8