EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2008 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar BEMÆRKNINGER Besvar de fire obligatoriske opgaver Sæt kryds på det udleverede ark for at markere, hvilke to af de tre valgfri opgaver du har valgt Skriv kun én opgave på hvert ark Side 1/8
OPGAVE 1 ( Obligatorisk) Funktionsundersøgelse Side 1/1 Point En funktion f er givet ved f ( x) = (1 x)e x. a) Undersøg funktionen f med henblik på nulpunkt, asymptote og monotoniintervaller. Bestem koordinatsættet til det punkt på grafen for f, der svarer til funktionens ekstremum, og gør rede for, om det drejer sig om et maksimum eller et minimum. 6 point b) i. Skitsér grafen for f. ii. Gør rede for, at funktionen F( x) = (2 x)e x er en stamfunktion til f. iii. Grafen for f afgrænser sammen med koordinatakserne et område i første kvadrant. Beregn arealet af dette område. Side 2/8
OPGAVE 2 ( Obligatorisk) Differentialligninger Side 1/1 Point Ifølge en model for kortdistanceløb kan en løbers voksende hastighed v (i m/s) som funktion af tiden t (i sekunder) beskrives ved følgende differentialligning dv 12,2 kv, dt = hvor k er en konstant, der afhænger af den enkelte løber. a) Bestem den fuldstændige løsning v som funktion af t til denne differentialligning. b) I et 100 m løb starter en løber fra hvile, dvs. v = 0, når t = 0. i. Bestem den løsning v som funktion af t, som opfylder denne begyndelsesbetingelse. ii. For en bestemt løber har k værdien 1,25. Beregn, hvor lang tid denne løber er om at nå op på hastigheden 9,0 m/s. 6 point Side 3/8
OPGAVE 3 (Obligatorisk) Geometri Side 1/1 Point I et koordinatsystem i rummet er givet planerne α :2x 3y+ z 2= 0 og β : 3x y 2z+ 4 = 0 og linjen l : x= 2t+ 3 y = t z = t + 1, t R. a) Gør rede for, at skæringslinjen m mellem planerne α og β er givet ved 6 point m : x 0 1 y = 0 + s 1, z 2 1 s R. b) i. Gør rede for, at linjerne l og m er vindskæve og ortogonale. ii. Beregn afstanden mellem l og m. Side 4/8
OPGAVE 4 (Obligatorisk) Sandsynlighedsregning Side 1/1 Point En fabrikant introducerer en ny sodavand på markedet i et bestemt land. På undersiden af hver kapsel er der trykt et bogstav. I dette land har alfabetet 26 bogstaver: A, B, C,, Z. Hvert af disse 26 bogstaver har lige stor sandsynlighed for at blive trykt på kapslen. En bestemt kunde køber en flaske af den ny sodavand hver dag. a) i. Beregn sandsynligheden for, at kunden den 14. dag køber en flaske, der ikke har bogstavet Z trykt på kapslen. ii. Beregn sandsynligheden for, at den første gang, kunden køber en flaske med bogstavet Z trykt på kapslen, er den 3. dag. b) i. Beregn sandsynligheden for, at kunden i løbet af de første 10 dage køber mindst én flaske med bogstavet Z trykt på kapslen. ii. Beregn sandsynligheden for, at kunden kan få kapslerne fra de første 3 dage til at danne ordet BAC. Side 5/8
VALGOPGAVE I Funktionsundersøgelse Side 1/1 Point Funktionerne f og g er givet ved x f( x) = x+ 2 og gx= ( ) 2. 2 a) i. Undersøg funktionerne f og g med henblik på definitionsmængde og nulpunkter, og angiv, om de er voksende eller aftagende. ii. Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem graferne for f og g. iii. Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem. 5 point b) Der er givet punktet K (0, 2 ). Tangenten til grafen for f i punktet K betegnes t 1, og tangenten til grafen for g i punktet K betegnes t 2. i. Bestem en ligning for hver af disse tangenter, og indtegn dem i samme koordinatsystem som ovenfor. ii. Beregn gradtallet for den spidse vinkel mellem t 1 og t 2. c) Mellem x-aksen og graferne for f og g afgrænses et område S, der har et areal. i. Beregn arealet af området S. 5 point ii. Beregn rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når området S drejes 360 om x-aksen. Side 6/8
VALGOPGAVE II Sandsynlighedsregning Side 1/1 Point Nedenstående tabel viser fordelingen af blodtyper i en meget stor population. Blodtype O A B AB Frekvens 0,45 0,40 0,11 0,04 a) Der vælges på tilfældig måde en stikprøve på 15 personer fra denne population. i. Beregn sandsynligheden for, at stikprøven indeholder højst 10 personer med blodtype A. ii. Beregn sandsynligheden for, at stikprøven indeholder mere end 4, men mindre end 8 personer med blodtype B. b) Bestem antallet af personer i den største stikprøve, hvor sandsynligheden er mindre end 0,99 for, at der er mindst én person med blodtype B. Der udtages nu på tilfældig måde en stikprøve på 100 personer fra den betragtede population. c) Den stokastiske variabel X angiver antallet af personer med blodtype O i stikprøven. i. Beregn middelværdi og spredning for X. ii. Brug en normalfordelingsapproksimation til at beregne PX> ( 49). Gør rede for, hvorfor en normalfordelingsapproksimation kan bruges i dette tilfælde. iii. Beregn det mindste antal (k) personer, hvor PX ( < k) > 0,95. iv. Den stokastiske variabel Y angiver antallet af personer med blodtype AB i stikprøven. Benyt en Poissonapproksimation til at beregne PY ( 1). Side 7/8
VALGOPGAVE III Geometri Side 1/1 Point I et koordinatsystem i rummet er givet planen π 1 : 4x+ 3z+ 29= 0 kuglen S: 2 2 2 x + y + z + 2x 6y 15= 0 x = 3 + t og linjen l 1 : y = 1 t z = 3, hvor t R. a) Bestem koordinatsættet til centrum M og radius R for kuglen S. b) i. Gør rede for, at π 1 er en tangentplan til kuglen S. ii. Gør rede for, at planen π 1 rører kuglen S i punktet A( 5, 3, 3). c) i. Gør rede for, at linjen l 1 skærer kuglen S i punktet A, og bestem koordinatsættet til det andet skæringspunkt mellem l 1 og S. ii. En plan går gennem punktet ( 1, 1, 3) og står vinkelret på linjen gennem punkterne A og M. Denne plan skærer kuglen S i en cirkel C. Bestem radius r og koordinatsættet til centrum F for cirklen C. d) Punktet H ( 1,7,3) ligger på kuglen S. Planen π 2 er tangentplanen til kuglen S i punktet H. i. Bestem en ligning for planen π 2. ii. Beregn gradtallet for den spidse vinkel mellem planerne π 1 og π 2. e) Punktet B (3,3,3) ligger på kuglen S, således at AB er en diameter i S. Linjen l 2 er tangent til kuglen S i punktet B og skærer linjen l 1. Bestem en parameterfremstilling for linjen l 2. 6 point Side 8/8