Furthermore, it is the aim of the thesis to assess the pros and cons of the used solution methods in the analysis.

Transkript

1

2 Executive Summary Competition in the transport industry is growing and it requires an increased focus on minimizing costs in every company in this industry. There is especially focus on minimizing transportation costs in freight companies, as these companies earn their living by transporting goods for customers. Thus, it is important to determine an optimal set of routes to be performed by a fleet of vehicles to serve a given set of customers. In clarifying this, it is the aim of this thesis to suggest a route planning for a Danish freight company, 3D Logistik A/S. 3D Logistik is a freight company, which transports goods for their customers both nationally and internationally. This thesis will concentrate on the company s national transportation of goods and more specifically the company s primary zone (zone 1). In this zone the company offers their customers pickup and delivery twice a day with almost no limit to what they can distribute. Currently, the company has no theoretical procedures when they are planning the routes for the vehicles. However, the company divides their primary zone into subareas, where every driver has to plan their own routes in their assigned area every day. Therefore, it is desired to examine how the company s route planning can be developed theoretical. Initially, the thesis will provide a description of the company profile and the current route planning of the company to give the reader a greater insight into the company prior to the analysis. The theoretical analysis of the thesis is based on the theory of The Vehicle Routing Problem (VRP), which can be solved by several different approaches. Prior to the analysis a description of VRP and its variations will be performed. Likewise, the different solution methods for solving VRP and its variations will be prepared with the focus on the different heuristic solution methods. The analysis of the company s route planning will constitute the following variations of VRP based on an assessment of the theories; Capacitated VRP, Capacitated Duration Constrained VRP and VRP with Backhauls. The selected issues will be solved by Clarke and Wright s savings heuristic, which determine the advantage (saving) of serving two customers on the same route. The analysis of VRP with Backhauls requires other heuristics solution methods, where two heuristics, one developed by Golden et. al and the other by Deif and Bodin, are used. Both of these heuristics are modifications of Clarke and Wright s saving heuristic. The initiative is to perform the route planning gradually, because 3D Logistik has many aspects to be taken into account. It is the aim to analyze the changes between the variations as more aspects are added gradually. In this way it is possible to see the effects of adding different limitations to the models.

3 Furthermore, it is the aim of the thesis to assess the pros and cons of the used solution methods in the analysis. The thesis shows that the theoretical route planning gives good results in the determination of an optimal set of routes in the primary zone of 3D Logistik. Since the solution methods used in the thesis are only based on heuristics, the disadvantage is that there is no guarantee to obtain an optimal solution. On the contrary, heuristics provide good solutions in a short period of time. The results of the route construction in the thesis give the company good opportunities for usability. Even though the models are not able to take every aspect into account, the models provide good solutions for further investigation. Since the results show a construction of one set of routes, a new division of subareas in the primary zone would require a construction of many set of routes or based on a demand forecast. Overall, the route planning suggested in the thesis gives a new perspective of the current route planning in 3D Logistik.

4 Indholdsfortegnelse 1. INDLEDNING PROBLEMSTILLING PROBLEMFORMULERING AFGRÆNSNING DEFINITIONER OG ANTAGELSER METODE Litteraturvalg Dataindsamling Afhandlingens struktur CENTRALE BEGREBER VIRKSOMHEDSPROFIL BESKRIVELSE AF 3D LOGISTIK A/S PRODUKTER Indland Udland Express Medical VISION OG MISSION NUVÆRENDE RUTEPLANLÆGNING FOR INDLAND TRAVELING SALESMAN PROBLEM (TSP) VEHICLE ROUTING PROBLEM (VRP) CAPACITATED VEHICLE ROUTING PROBLEM VARIATIONER VRP med Time Windows VRP med Varighedsbegrænsning VRP med Pickup and Delivery VRP med Backhauls VURDERING AF PROBLEMSTILLINGER DELKONKLUSION LØSNINGSMETODER TIL VRP KLASSISKE HEURISTIKKER Konstruktive metoder To-fase metoder Forbedringsheuristik METAHEURISTIKKER Nabosøgning Populationssøgning Oplæringsmekanismer... 23

5 5.3 VURDERING AF VALGT METODE DELKONKLUSION UDARBEJDELSE AF DATAMATERIALE TIL LØSNING AF 3D LOGISTIKS PROBLEMSTILLINGER PRÆSENTATION OG VURDERING AF ADRESSELISTE UDARBEJDELSE AF AFSTANDSMATRICE BEREGNING AF TRANSPORTOMKOSTNINGER LØSNING AF 3D LOGISTIK S PROBLEMSTILLINGER VISUAL BASIC FOR APPLICATIONS CVRP Matematisk formulering af problemstilling Udførelse af savingsmetoden for CVRP Vurdering af resultat og metode VRP MED VARIGHEDSBEGRÆNSNING Matematisk formulering af problemstilling Udførelse af savingsmetoden for VRP med varighedsbegrænsning Vurdering af resultater og metode VRP MED BACKHAULS Notation og formulering VRP MED CLUSTERED BACKHAULS Matematisk formulering af problemstilling Valg af heuristisk fremgangsmåde Udførelse af savingsmetode for VRPCB Vurdering af resultater og metode VRP MED MIXED BACKHAULS Matematisk formulering af problemstilling Valg af heuristisk fremgangsmåde Udførelse af savingsmetoden med VRPMB Vurdering af resultat of metode FAIR BETRAGTNING DELKONKLUSION TEORETISK RUTEPLANLÆGNING ANVENDT I PRAKSIS KONKLUSION PERSPEKTIVERING...69 BIBLIOGRAFI...70

6 1. Indledning Transport af varer, både nationalt og internationalt, er i den globaliserede verden af væsentlig betydning. Mange virksomheder har et øget fokus på minimering af omkostninger, herunder transportomkostninger, med henblik på øget profit. Dette sætter store krav til de enkelte transportvirksomheder, idet deres primære kompetence er fragt af varer. Den danske transportbranche er karakteriseret ved, at der er få store, mange mellemstore og rigtig mange mindre transportvirksomheder ( Denne branche er præget af høj konkurrence og det er derfor vigtigt for den enkelte transportvirksomhed, at være konkurrencedygtige, Dette gælder blandt andet på kvalitet, service og priser. Derudover udgør transportomkostningerne en væsentlig del af transportvirksomhedernes samlede omkostninger, og der sættes derfor stor fokus på vigtigheden af netop denne parameter. Dette skal også ses i lyset af de seneste år, som har været præget af finanskrise og de stigende benzin- og dieselpriser. Ovenstående problemstillinger har stor betydning for 3D Logistik A/S og dette betyder, at de står overfor en række udfordringer, da de lever af at fragte varer for kunden. Planlægning og ruteoptimering er en del af den daglige drift og der vil i større grad blive sat krav til denne proces. 1.1 Problemstilling 3D Logistik A/S har hver dag en mængde ordrer, som skal afhentes eller leveres til en række kunder. Der arbejdes med en vognpark, hvor alle køretøjer starter og slutter deres rute i en lokalitet i Kolding. Denne lokalitet betegnes som depotet. Alle køretøjer starter kl i depotet, hvor vognparken er læsset med gårsdagens afhentninger. Derefter sorteres ordrerne ud på de enkelte ruter, hvorefter ordrerne læsses på det tilhørende køretøj. Efterfølgende leveres ordrerne til kunderne med en rutestart kl Undervejs på ruten vil der være afhentninger af ordrer, inden køretøjet returnerer til depotet senest kl Afhandlingen vil kun belyse leverings- og afhentningsprocessen, dvs. serviceringen af et antal kunder, og dermed ikke den proces, der foregår i depotet. Da kunderne er forskellige fra dag til dag, vil ruterne derfor ikke være identiske 1

7 1.2 Problemformulering Formålet med afhandlingen er at udarbejde løsninger til ruteplanlægningen i 3D Logistik ved hjælp af heuristiske metoder med henblik på at belyse eventuelle implementeringsmuligheder. Denne problemstilling og det overordnede formål med afhandlingen har ført til følgende problemformulering: Hvordan kan 3D Logistiks ruteplanlægning udarbejdes? Dette belyses ved undersøgelse af følgende delspørgsmål: Delspørgsmål 1: Hvordan håndterer 3D Logistik ruteplanlægningen på nuværende tidspunkt? Delspørgsmål 2: Hvordan kan 3D Logistiks ruteplanlægning udarbejdes teoretisk? Delspørgsmål 3: Hvilke fordele og ulemper er der i forbindelse med den teoretiske ruteplanlægning i 3D Logistik? 1.3 Afgrænsning Af hensyn til afhandlingens omfang vil følgende afgrænsninger blive foretaget. Til løsning af et Vehicle Routing Problem anvendes eksakte modeller, klassiske heuristikker og metaheuristikker. Eksakte modeller vil ikke blive beskrevet, idet disse modeller egner sig til et forholdsvis lille datasæt, og det vurderes, at afhandlingens datasæt er for omfangsrigt (Hans W Ittmann 1999). 3D Logistik arbejder med fire produkter: Indland, Udland, Express og Medical. Der afgrænses fra Udland, Express og Medical. Der vil derfor kun blive behandlet produktet Indland i afhandlingen. Som det vil blive beskrevet i afsnit 2.4 Nuværende ruteplanlægning for Indland, er Indland opdelt i tre zoner. Der er foretaget en afgrænsning ved kun at analysere ruteplanlægning i zone 1. Denne zone omfatter Sønderjylland og Fyn. Dette er valgt, da denne zone er virksomhedens primære område. Yderligere er det valgt at afgrænse afhandlingen fra Fyn for at begrænse datasættet. Ruteplanlægningen i zone 1 er opdelt i formiddags- og eftermiddagskørsel. For at afgrænse datasættet, er det valgt kun at udarbejde analyser på baggrund af formiddagskørsel. Chaufførerne er lønnet med 40 kr. per ordre plus et startgebyr. Denne omkostning er ikke medtaget i analysen, da lønomkostningen vil være fast uanset resultatet af ruteplanlægningen. 2

8 1.4 Definitioner og antagelser Da afhandlingen behandler et casestudie om virksomheden 3D Logistik A/S, vil denne virksomhed blive benævnt 3D eller 3D Logistik gennem afhandlingen. Ligeledes vil programmerne Microsoft Excel og Visual Basic for Applications, som er anvendt i analysen, blive benævnt henholdsvis Excel og VBA. Forkortelserne VRP og TSP står henholdsvis for Vehicle Routing Problem og Traveling Salesman Problem. Disse forkortelser benyttes, når det findes relevant. Når der fra kapitel 7 anvendes betegnelsen; zone 1, vil dette omfatte Sydjylland som afhandlingen er afgrænset til. Mange af de varetyper, som 3D håndterer, er tøj der bliver fragtet på bøjle. Det antages, at en bøjle med et styk tøj vejer ca. 1 kg. Disse varetyper er beregnet til antal kilo i adresselisten, som fremgår af bilag D. Afstande angivet i kilometer, samt transportomkostninger, anvendes i afhandlingens analyser. Det antages, at der er en proportional sammenhæng mellem antal kørte kilometer og transportomkostningerne forbundet hermed. Det vil sige, at jo flere kørte kilometer des større transportomkostninger. Det antages, gennem analyserne i afsnit 6.5 CVRP og afsnit 6.6 VRP med varighedsbegrænsning, at der er homogene køretøjer. Alle køretøjer har derfor samme kapacitet både vægtmæssigt og rumfangsmæssigt. Afgrænsningen omkring homogene køretøjer er valgt for at simplificere de anvendte metoder i analysen. På grund af manglende information omkring rumfang af ordrerne, vil dette blive udeladt i afhandlingen. Køretøjernes kapacitet vil derfor kun være baseret på antallet af kilo. I analyserne i afsnit 6.8 VRP med Clustered Backhauls og afsnit 6.9 VRP med Mixed Backhauls antages det, at køretøjerne er heterogene. Som det vil blive beskrevet i afsnit 2.4 Nuværende ruteplanlægning for Indland er det muligt, at kunder kan kontakte de enkelte chauffører for at få afhentet en ordre undervejs på ruten. Dette betyder, at efterspørgslen ikke nødvendigvis er kendt ved rutens start, men det antages i afhandlingen, at efterspørgslen er deterministisk. 3

9 1.5 Metode Denne afhandling tager udgangspunkt i et single casestudie omkring 3D Logistik. Dette casestudie er valgt, da det ønskes at anvende teorien på en praktisk case. Ved at det empiriske materiale sættes i forhold til teorien, da vil det være muligt at se de begrænsninger som teorien har, idet teorien ikke kan rumme alle aspekterne af empirien. 3D Logistik er valgt som casestudie, idet det er en fragt virksomhed, og det findes yderst relevant at se på virksomhedens ruteplanlægning. 3D Logistik kom i betragtning, da forfatterne blev introduceret til virksomheden gennem en opfordring fra en anden transportvirksomhed Litteraturvalg Litteraturvalget i afhandlingen er baseret på bøger og artikler af videnskabelig karakter. De videnskabelige artikler er indhentet fra ASB bibliotek samt Business Source Complete, og de vurderes derfor til at være troværdige referencer. Afhandlingens teori er primært bygget op omkring The Vehicle Routing Problem af Toth, Vigo (2002b) som primær kilde. Der er anvendt supplerende litteratur for en fyldestgørende beskrivelse af teorien som baggrund for analysen Dataindsamling Afhandlingens empiriske data omfatter både kvantitative samt kvalitative data. De kvantitative data udgør en væsentlig del af afhandlingens empiriske data. Information omkring virksomheden er indhentet via sekundære data. Her er 3D s hjemmeside primært anvendt som kilde. 3D s årsregnskab er ligeledes anvendt som information til afsnit 2.1 Beskrivelse af 3D Logistik A/S. Data til beregning og udarbejdelse af analysen i afhandlingen består af en adresseliste, der indgår som primære data. Denne adresseliste er basen til analysedelen, idet den indeholder informationer omkring afstande, som er nødvendige for udførelse af en rutekonstruktion for 3D. Adresselisten, som fremgår af bilag D, indeholder adresser på alle de servicerede kunder på formiddagsruten d Yderligere indeholder listen også information om kundernes efterspørgsel samt ordretype (levering eller afhentning). Adresserne danner grundlag for udarbejdelsen af en afstandsmatrice. Denne afstandsmatrice er særlig vigtig for at være i stand til at minimere de samlede kørte kilometer. 4

10 Til beregning af en gennemsnitlig transportomkostning er der indhentet primære data i form af et årsregnskab fra en af chaufførerne hos 3D. Den gennemsnitlige transportomkostning anvendes til at finde frem til den mindste omkostning for rutekonstruktionerne. De kvalitative data i afhandlingen omfatter først og fremmest samtaler med to medarbejdere i 3D. De to medarbejdere er ansvarlige for den daglige logistiske proces for alle chaufførerne i Indland. Den ene medarbejder er ansvarlig for udførelsen af ruteplanlægningen i form af de enkelte chaufførers ansvarlige kørselsområde. Der blev holdt et indledende møde, hvori en præsentation af virksomheden faldt sted. Derudover fik forfatterne en rundvisning i virksomheden. Samme dag blev der udført en række observationer omkring den daglige logistiske proces hos 3D, og det er derfor også en primær kilde i afhandlingen. De observationer der blev foretaget, da alle chauffører vendte tilbage til depotet kl. 12, er af vigtig betydning. Hele processen blev observeret, hvori chaufførerne i samarbejde håndsorterede de afhentede ordrer og fordelte dem derefter ud på de nye ruter. Under hele afhandlingens forløb har der været mange samtaler med de to medarbejdere, som blev præsenteret ovenfor. Afhandlingens forfattere har været knyttet til medarbejderne under hele forløbet, hvor der har været mulighed for kontakt, når uklare spørgsmål dukkede op. Der vil i afhandlingen blive henvist til disse medarbejdere, når information herfra er anvendt Afhandlingens struktur Afhandlingen er opbygget således, at der først vil blive foretaget en virksomhedsbeskrivelse af 3D samt en beskrivelse af 3D s nuværende ruteplanlægning. Dette vil give et større indblik i afhandlingens casestudie forudgående for analysen. Dernæst vil en teoretisk beskrivelse af mulige problemstillinger for casestudiet blive udarbejdet, herunder VRP, samt mulige variationer. Der er valgt en beskrivelse af de mest almindelige udvidelser til VRP. Det drejer sig om følgende variationer af det grundlæggende problem; CVRP, VRPTW, VRPPD, VRPB og CDVRP. I forlængelse heraf vil der blive beskrevet mulige heuristiske løsningsmetoder til VRP med henblik på at give en vurdering af, hvilke problemstillinger og løsningsmetoder, der er relevante for casestudiet. Endvidere vil der blive beskrevet den algoritme som finder anvendelse i analysen. Efterfølgende vil teorien blive anvendt i en analyse af, hvordan en ruteplanlægning for 3D kan udarbejdes. Herunder tages der højde for 3D s aktuelle problemstillinger, og der vil derfor blive foretaget en analyse af flere variationer af VRP. Der vil blive givet en vurdering af alle udarbejdede rutekonstruktioner samt delkonklusioner til løbende opsamling igennem afhandlingen. Afslutningsvis vil der blive diskuteret aspekter af en fair fordeling mellem chaufførerne samt eventuelle implementeringsmuligheder i praksis. 5

11 1.6 Centrale begreber Der vil blive anvendt centrale begreber i afhandlingen, som i det følgende vil blive defineret. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) Knude: Denne kan opdeles på følgende måde: a. Depot: Det punkt hvor vognparken har start- og slutpunkt b. Kunde: Enhver lokalitet, som skal serviceres af et køretøj. Der er en efterspørgsel tilknyttet hver kunde Kant: Strækningen mellem to knuder angivet i kilometer Ordre: Denne kan opdeles i to ordretyper; en leveringsordre eller en afhentningsordre Efterspørgsel: Den mængde af kilo, som en kunde enten skal have afhentet eller leveret Køretøj: Denne er defineret som det transportmiddel, der transporterer ordrerne mellem knuderne Kapacitet: Denne er udtrykt som den maksimale vægt på et køretøj Rute: Denne er defineret som de fastlagte knuder og kanter som et køretøj skal besøge Vognpark: Det samlede antal køretøjer der er knyttet til depotet 6

12 2. Virksomhedsprofil 2.1 Beskrivelse af 3D logistik A/S 3D logistik A/S er en transportvirksomhed som blev etableret i Virksomheden har siden 2007 været ejet af Steen Møller og Bo T. Mortensen, men Bo T. Mortensen frasolgte sin aktiepost per ( 2012g). Virksomheden havde i 2009 et resultat efter skat på kr , i 2010 et resultat på kr og i 2011 et resultat på kr , hvilket også fremgår af bilag A. 3D har opnået en høj vækst de seneste år, hvilket også skal ses i lyset af finanskrisen. Dette stiller derfor krav til løbende optimering af ruteplanlægningen i virksomheden. Virksomheden valgte per at flytte hovedkontoret med tilhørende lager til nye lokaler i Kolding med beliggenhed nær motorvej. Derudover har 3D et kontor med tilhørende lager, som er placeret i Glostrup, samt et centrallager i Ålborg. Dermed råder 3D Logistik over tre depoter i Danmark, men denne afhandling vil kun beskæftige sig med depotet i Kolding ( 2012h). 3D opererer både nationalt og internationalt med fragt af ordrer for deres kunder. 3D har 60 køretøjer på vejene i Danmark samt 25 ansatte i administrationen ( 2012a). Virksomhedens køretøjer kører med mange forskellige varetyper. Dette kan være alt lige fra bildæk til jakkesæt. Der er næsten ikke nogle grænser for, hvad chaufførerne kan køre med. Dog er der er en kapacitetsbegrænsning på køretøjerne, samt specielle krav fra offentligheden, som skal overholdes (Kilde: 3D medarbejder). 2.2 Produkter 3D opererer med følgende fire produkter; Indland, Udland, Express og Medical Indland 3D s hovedprodukt er virksomhedens indlandskørsel. Danmark er delt op i tre zoner, hvor 3D opererer i alle zoner. De tilbyder dag-til-dag leveringer overalt i landet, samt afhentning og levering af kundens ordre samme dag i zone 1. 3D fokuserer på høj kvalitet samt rettidig levering. For at sikre kvaliteten udfører 3D håndsortering af alle varer for at opnå en lav skadesfrekvens ( 2012b) Udland I 2007 startede 3D et samarbejde med en tysk virksomhed ved navn GO!. GO! konceptet tilbyder hurtig levering i udlandet. 3D sikrer i samarbejde med GO! levering i hele Tyskland inden kl. 12 næste dag. GO! har mere end 70 afdelinger og sender varerne videre derfra til resten af verden. På nuværende tidspunkt har 3D to chauffører, som varetager kørsel for GO! i Danmark, men 3D forventer høj vækst på dette område 7

13 ( 2012c). Denne vækst forventes, idet 3D ser et marked for hurtig levering i udlandet (kilde: 3D medarbejder) Express Nogle kunder har skarpe tidskrav, hvorfor 3D også udbyder hurtige leveringer for kunderne. 3D Express kører direkte fra A til B og fokuserer på høj sikkerhed og effektivitet inden for en deadline ( 2012d) Medical I 2008 blev 3D Medical etableret og er et koncept på markedet for transport af medicin. 3D s håndtering af medicin er udarbejdet i samarbejde med verdens største medicinalvirksomhed, Pfizer, og håndteringen er godkendt af Lægemiddelsstyrelsen. Idet der er meget skarpe retningslinjer for distribution af medicin, uddanner 3D egne chauffører samt overvåger køretøjerne for at øge sikkerheden. 3D sikrer også en speciel håndtering af medicinalprodukterne i henhold til kravene ( 2012e). 2.3 Vision og mission For at få en forståelse for 3D s virksomhedsprofil præsenteres virksomhedens vision og mission i det følgende. Vision Vi er morgendagens udbydere af hurtige, sikre, fleksible og anderledes transportløsninger, skabt i tæt samarbejde med vores kunder ( 2012f) Mission Løsningerne skabes i en hverdag præget af en positiv stemning med gensidig respekt mellem kolleger og i forhold til kunder ( 2012f) 2.4 Nuværende ruteplanlægning for Indland 3D har opdelt Danmark geografisk i tre zoner, hvilket fremgår af bilag B: Zone 1: Sydjylland og Fyn (kunden kan forvente levering af ordrer 2 gange dagligt) Zone 2: Midtjylland (kunden kan forvente levering af ordrer næste dag inden kl. 12 eller 16) Zone 3: Nordjylland, Sjælland og Bornholm (kunden kan forvente levering næste dag inden kl. 12 eller 16) 8

14 De ovenstående tre zoner er yderligere opdelt i geografiske områder. Eksempelvis er zone 1 opdelt i 16 områder jf. bilag C. Disse områder bliver konstrueret af en medarbejder i 3D, hvorefter hver chauffør får tildelt et ansvarligt geografisk område. Det geografiske område, som behandles i afhandlingen, er opdelt i 12 områder, hvorfor der er 12 faste chauffører tilknyttet dette område. På nuværende tidspunkt anvender denne medarbejder ikke en bestemt beregningsmetode til opdeling af områderne i Danmark. Den ansvarlige medarbejder udfører denne opgave på baggrund af viden, som er opbygget gennem en lang årrække med erhvervserfaring i virksomheden. Det betyder, at områderne inddeles efter intuition. Områderne inddeles på baggrund af, hvor mange ordrer der er i hvert område, således at disse ordrer er fordelt mellem chaufførerne, og at disse ordrer kan serviceres indenfor en tilladt rutevarighed på 5 timer. Den enkelte chauffør bestemmer den specifikke rute for servicering af kunder i det tildelte område. Medarbejderen foretager løbende optimering på ruteplanlægningen, oftest seks måneder frem i tiden. Optimering sker på baggrund af eksempelvis sæsonbetonede ordrer, da nogle kunder primært skal serviceres på visse tidspunkter om året (Kilde: 3D medarbejder). Chaufførerne hos 3D er selvstændige fragtmænd, som ejer deres egne køretøjer. Det er derfor chaufførerne selv der bærer transportomkostningerne. De fleste af køretøjerne i zone 1 har en kapacitet på 800 kg. To af chaufførerne i zone 1 har et køretøj med en kapacitet på 3 tons. Alle køretøjer er liftbiler med åbning bagtil (Kilde: 3D medarbejder). 3D benytter sig af et såkaldt cross docking system, hvor alle chauffører starter hver morgen kl. 6 i depotet, som også kaldes en cross docking terminal (Boysen, Fliedner 2010). Køretøjerne er læsset med ordrer som er afhentet dagen forinden. I 3D s tilfælde er en cross docking terminal og depotet det samme, hvorfor cross docking terminalen vil blive benævnt depotet i det følgende. Når chaufførerne ankommer, kører de til en bestemt dockdør, hvor indgående logistik bliver aflæsset. Derefter sorteres ordrerne efter hvilken rute de tilhører, og efterfølgende fordelt til de forskellige dockdøre, hvorefter ordrerne pålæsses udgående køretøjer. I 3D er et køretøj både et indgående- og udgående køretøj. Når chaufførerne starter i depotet, skal de på baggrund af ordresedler tjekke om ordrerne kilomæssigt overstiger kapaciteten på deres køretøj. Hvis en kapacitetsoverskridning er tilfældet, meddeler chaufførerne dette til den ansvarlige medarbejder. Problemet løses ved, at en chauffør i et nærliggende område skal varetage serviceringen af disse ordrer. Det kan yderligere nævnes, at hvis de 12 faste chauffører ikke er tilstrækkelige til servicering af alle kunder, er det muligt at kontakte andre selvstændige chauffører, som kan indhentes i dette tilfælde (Kilde: 3D medarbejder). 9

15 Herefter forlader chaufførerne depotet senest kl. 7 for at levere og afhente ordrer, før de igen vender tilbage til depotet senest kl. 12. Chaufførerne kan både levere og afhente ordrer på samme rute. Hvis en chauffør afhenter en ordre om formiddagen, kan ordren godt leveres samme formiddag, hvis denne skal leveres inden for samme område. Ordrerne behøves derfor ikke nødvendigvis at komme omkring depotet i Kolding. Chaufførerne kan også snakke indbyrdes, eksempelvis hvis en chauffør indser, at det ikke kan nås at afhente en ordre inden kl. 12, og da kan denne chauffør kontakte en anden chauffør, som kører i et nærliggende område. Når chaufførerne er ude på en rute, kan kontoret hele tiden holde øje med, hvor chaufførerne befinder sig ved hjælp af en GPS i en PDA, som alle chauffører kører med. Derved har en af de to medarbejderne mulighed for at danne et overblik over, hvor chaufførerne befinder sig geografisk. Eksempelvist hvis 3D modtager en hasteordre, kan medarbejderen få en af chaufførerne til at afhente denne ordre inden kl. 12. Ligeledes har de enkelte chauffører ofte tæt kontakt til deres kunder. Kunderne kontakter derfor som oftest chaufførerne angående en afhentning. Derefter foretager chaufførerne en vurdering af, hvorvidt denne afhentning kan nås inden kl. 12, og ellers vil dette ske om eftermiddagen (Kilde: 3D medarbejder). Når alle chauffører ankommer til depotet kl. 12, foregår den samme procedure som finder sted kl. 6 om morgenen, hvor der byttes ordrer mellem de enkelte køretøjer. Hovedreglen er, at alle chauffører skal være tilbage ved depotet senest kl. 12, men der er opbygget en sikkerhedsmargin, som tillader at chaufførerne kan komme for sent, dog senest en halv time. Alle chauffører forlader som hovedregel depotet senest kl. 13 og påbegynder eftermiddagsruten. Dette tidspunkt kan dog risikeres at blive rykket, hvis der er mange chauffører som ankommer for sent efter formiddagsruten. Chaufførerne har fri, når den sidste ordre på eftermiddagsruten er afhentet eller leveret. Nogle chauffører vælger at slutte i depotet, mens andre vælger at slutte ruten på deres bopæl. Chaufførerne er vareforsikret, og de skal derfor ikke nødvendigvis tilbage til depotet med ordrerne (Kilde: 3D medarbejder). Det er kun køretøjerne der kører i zone 1, som skal tilbage til depotet kl. 12. De køretøjer, som kører i zone 2 og 3, returnerer ikke til depotet kl. 12. Derimod varetager disse chauffører serviceringen af ordrer i de tildelte områder og kører derefter tilbage til depotet kl. 16 eller morgenen efter. Depotet er en knude i distributionsnetværket, og når chaufførerne foretager leveringer og afhentninger af ordrer, er der en meget lille eller slet ingen mængde varer i depotet, hvilket kendetegner et cross docking system (Kilde: 3D medarbejder). 10

16 I modsætning til den traditionelle punkt-til-punkt levering, som anvendes ved Express, sænker cross docking systemet hastigheden på distributionsprocessen for en enkelt ordre og genererer flere dobbelthåndteringer. I 3D logistik er indgående og udgående køretøjer synkroniseret ved, at alle køretøjer skal ankomme til depotet på samme tid. Efter endt rute udfører alle chauffører en dagsrapport, hvor chaufførerne noterer hvor mange afhentninger og leveringer, de har foretaget i løbet af ruten. Chauffører bliver afregnet efter antal afhentninger og leveringer og modtager 40 kr. per ordre, uanset antal kg plus et startgebyr. Chaufførerne skal selv betale for diesel. Nogle chauffører har fået udleveret et dieselkort, hvor den samlede dieselpris modregnes månedslønnen hver måned. Derudover betaler chaufførerne selv for reparationer på køretøjer og arbejdstøj samt logo på køretøjerne. 11

17 3. Traveling Salesman Problem (TSP) Afhandlingen tager udgangspunkt i Vehicle Routing Problem (VRP), men da VRP udspringer af Traveling Salesman Problem (TSP), vælges det derfor at udføre en beskrivelse af TSP. TSP anvendes, når der skal konstrueres en rute med et enkelt køretøj, hvorimod VRP kan håndtere løsninger af rutekonstruktioner med flere køretøjer (Bektas 2006). Traveling salesman problemet går ud på at finde en rute som starter i en given knude og slutter i samme knude. Undervejs på ruten skal en række kunder serviceres inden ruten slutter i udgangspunktet. Rutens totale længde skal minimeres, og hver kunde skal serviceres nøjagtig én gang. Mængden af knuder på en rute angives n. Der tages udgangspunkt i én af n knuder (depotet) og der besøges n 1 knuder på ruten. Nedenstående elementer indgår i et traveling salesman problem: (i) En række knuder (n) (ii) En afstandsmatrice (C = [c i, j ]), som indeholder afstandene mellem de enkelte knuder (iii) En traveling salesman skal besøge samtlige kunder med start og slut i samme knude. Traveling salesman problemet udtrykkes således: G = (V, E) hvor G angiver hele netværket. For hver kant e ϵ E er en omkostning c e tilknyttet. V angiver antallet af knuder i netværket, V = {1, 2, n}. Traveling salesman problemet går ud på at finde en rute i G, hvor summen af omkostningerne på kanterne minimeres. Afstandsmatricen kan inddeles i to grupper. Hvis C er symmetrisk, da kaldes problemet et symmetrisk traveling salesman problem (STSP). Dette betyder at for et STSP er c ij = c ji. Hvis C er asymmetrisk, da kaldes problemet et asymmetrisk traveling salesman problem (ATSP). Her vil det typisk være gældende, at c ij c ji (Gutin, Punnen 2002). 12

18 4. Vehicle Routing Problem (VRP) Vehicle Routing Problem (VRP) er en overordnet betegnelse for en række problemstillinger, der involverer designet af optimale ruter for en vognpark. Denne vognpark skal servicere et sæt af kunder, hvor begrænsninger skal overholdes. En definition på VRP er: the solution of a VRP calls for the determination of a set of routes, each performed by a single vehicle that starts and ends at its own depot, such that all the requirements of the customers are fulfilled, all the operational constraints are satisfied, and the global transportation cost is minimized. (Toth, Vigo 2002a). VRP er et helt centralt problem for mange virksomheder, der fysisk leverer varer og services. Der findes mange variationer af VRP som afhænger af den vare, der skal leveres, hvilken kvalitet af service der vil opnås og forskellige karakteristika hos kunderne og køretøjerne (Baldacci, Mingozzi & Roberti 2012). I de følgende afsnit vil CVRP, samt variationer af VRP, beskrives og belyses, samt der vil blive foretaget en vurdering af hvorvidt disse problemstillinger kan anvendes i casestudiet. 4.1 Capacitated Vehicle Routing Problem Den mest simple og studerede form af et Vehicle Routing Problem er Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP). I et CVRP findes der en vognpark med identiske køretøjer, som alle tilhører et centraldepot. Det ønskes at finde optimale ruter for en vognpark for at forsyne et sæt af kunder med kendte efterspørgsler. Alle køretøjer får tildelt en rute, og den samlede efterspørgsel på en rute må ikke overstige køretøjets kapacitet. Formålet er at forsyne alle kunder med en minimumomkostning (Baldacci, Mingozzi & Roberti 2012). CVRP kan formuleres som en graf. Lad G = (V,E) være hele grafen, hvor V ={0,, n} er mængden af knuder og mængden af kanter er angivet E. Knuderne V = 1,, n svarer til kunderne, og knuden i = 0 svarer til depotet. Der er knyttet en ikke-negativ omkostning, c ij, til hver kant (i, j) ϵ E og repræsenterer transportomkostningen, som er forbundet med at køre fra knude i til knude j. Hvad angår grafen, findes der to varianter; den orienterede graf eller den uorienterede graf. I den orienterede graf er det eksplicit, hvilken vej der skal køres. I dette tilfælde vil omkostningsmatricen være asymmetrisk (ACVRP). Hvis G derimod er en uorienteret graf, da vil det lede til et symmetrisk CVRP (SCVRP), hvor c ij = c ji for alle (i, j) ϵ E. 13

19 I den praktiske case, skal omkostningsmatricen som oftest opfylde trekantsuligheden: c ik + c kj c ij for alle i, j, k ϵ V Forklaringen er, at det ikke vil være ideelt at afvige fra et direkte link mellem to knuder, i og j, ved at indsætte en kunde k mellem knuderne i og j. Trekantsuligheden er vigtig i løsningen af CVRP for at sikre, at der vælges den korteste vej mellem to knuder. Trekantsuligheden kan anvendes på det symmetriske CVRP, men ikke det asymmetriske CVRP. Dette skyldes, at afstanden i en asymmetrisk omkostningsmatrice kan afvige mellem de to knuder i og j. I praksis kan der være mange forhold, der gør, at det ikke nødvendigvis bliver den korteste vej mellem de to punkter. Der kan eksempelvist nævnes et tilfælde, hvis der opstår vejarbejde, og chaufføren er nødsaget til at køre en omvej. Alle kunder i (i = 1,, n) har en deterministisk efterspørgsel d i. Denne efterspørgsel skal leveres eller afhentes hos kunderne, og depotet har en fiktiv efterspørgsel d 0 = 0. Det skal gælde at d(s) = iϵs d i, som benævner den totale efterspørgsel for det givne antal kunder. Der er et antal identiske køretøjer K tilhørende depotet, som alle har en kapacitet C. Det antages at d i C for hvert i = 1,, n. Alle køretøjer tilhører netop én rute, og det antages ligeledes, at køretøjerne K er mindre end K min, hvor K min er det mindste antal af køretøjer der er brug for i at servicere alle kunder (Toth, Vigo 2002a) 4.2 Variationer I det følgende vil udvalgte variationer af CVRP beskrives. Der vil til sidst blive foretaget en vurdering af de valgte variationer VRP med Time Windows VRP med Time Window er en variation af CVRP og har forkortelsen VRPTW. I denne problemstilling skal hver kunde serviceres inden for en vis tidsgrænse, og chaufføren skal forblive hos kunden under serviceringen. Der skelnes mellem soft time windows og hard time windows. Den bløde time window kan overskrides på bekostning af en omkostning, mens den hårde time window ikke tillader chaufføren at overskride det seneste tidspunkt for at påbegynde serviceringen. Hvis chaufføren derimod kommer for tidligt hos kunden, skal denne vente (Cordeau et al. 2002a). 14

20 I forlængelse af notationen af CVRP inkluderer dette problem et tidsvindue [a i, b i ] for depotet og for alle kunder i (i=1,, n). Dette tidsvindue angiver det tidsspænd, hvori kunde i skal serviceres. Starttidspunktet for serviceringen af hver kunde i (i=1,, n) skal være større eller lig med a i (starttidspunktet for tidsvinduet), og ankomsttidspunktet for hver kunde i skal være mindre eller lig med b i (sluttidspunktet for tidsvinduet). Hvis køretøjet ankommer til kunden før starttidspunktet a i, da skal køretøjet vente indtil dette tidspunkt nås, før serviceringen må påbegyndes (Cordeau et al. 2002a) VRP med Varighedsbegrænsning Capacitated and Duration Constrained VRP er en anden udvidelse af CVRP. I det praktiske eksempel er denne betragtning vigtig. I de fleste tilfælde er varigheden på en rute en begrænsning, der skal tages højde for i planlægningen af optimale ruter. Eksempelvis har de fleste chauffører en arbejdsdag på otte timer, som sætter en begrænsning for hvor langt, og hvor længe en chauffør må køre (Cordeau et al. 2002a) VRP med Pickup and Delivery VRP med Pickup and Delivery er en anden kendt variation af det klassiske CVRP og har forkortelsen VRPPD. Denne inkluderer alle problemer, hvor varer skal transporteres fra et pickup point til et delivery point. Det kan også være transport af mennesker, såsom hos taxavirksomheder. Der findes to kategorieraf VRPPD; unpaired og paired VRPPD. I den første kategori, hvor afhentnings- og leveringspunkterne er unpaired, bliver varen betragtet som homogen og kan tilfredsstille efterspørgslen hos enhver kunde. Den sidste kategori omfatter både det klassiske Pickup and Delivery Problem (PDP) og Dial-A-Ride Problemet (DARP). I PDP er det fysiske varer, der bliver transporteret, og i DARP omhandler det transport af passagerer (Parragh, Doerner & Hartl 2008b) VRP med Backhauls VRP med backhauls, med forkortelsen VRPB, er endnu en variation af CVRP. VRPB er også kaldet et linehaul-backhaul problem, som involverer både afhentninger og leveringer. Linehaul omhandler de kunder, der skal have en mængde af varer leveret fra depotet. Backhaul omhandler de kunder, der skal have en mængde varer afhentet og derefter leveret til depotet. Det kritiske aspekt er, når begge kundetyper skal serviceres på en rute. Der gælder det, at alle linehaulkunderne skal serviceres før backhaulkunderne kan blive serviceret. Alle leveringer skal derfor ske, før en afhentning kan finde sted. Ovenstående beskrivelse karakteriseret det klassiske VRP med Backhauls. Der vil senere i afhandlingen blive præsenteret udvidelser af det klassiske VRP med Backhauls. 15

21 Mængden af varer der skal leveres og afhentes skal være kendt på forhånd, og det forudsættes, at alle køretøjer er homogene, hvor de alle har samme kapacitet. Den optimale løsning er derfor at opnå et sæt af ruter, hvor levering af ordrer på hver rute sker før afhentning af ordrer, samt at kapaciteten ikke bliver overskredet på hverken levering- eller afhentningslokaliteterne (Goetschalckx, Jacobs-Blecha 1989). I en matematisk formulering inddeles alle kunder i to grupper: linehaul L = {1,, n} og backhaul B = {n+1,, n+m}. Der er en ikke-negativ efterspørgsel, d i, som ønskes enten leveret eller afhentet. Depotet svarer til 0, når K identiske køretøjer forlader depotet. Depotet svarer til n+m+1, når køretøjerne kommer tilbage. Ligeledes har alle køretøjer ens kapacitet C. Følgende betingelser skal være opfyldt: (i) (ii) (iii) (iv) Alle ruter skal omkring depotet Alle kunder j ϵ V \ {0} skal besøges netop én gang Summen af efterspørgslen hos linehaul- og backhaulkunderne, som er besøgt på en rute, må ikke separat overstige køretøjets kapacitet C På hver rute skal linehaulkunder gå forud for backhaulkunder Formålet er at minimere de samlede transportomkostninger, som er defineret som summen af de omkostninger, der er forbundet med afstandene på ruterne (Toth, Vigo 2002c). Betragtningen omkring at linehaulkunder skal gå forud for backhaulkunder er vigtig. Linehaulkunder er som oftest af større betydning for chauffører end backhaulkunder. Hvis en chauffør har sit køretøj læsset med varer fra depotet, vil denne chauffør som oftest hellere levere varerne end at påbegynde afhentninger. Dette kan også blive en nødvendighed for overholdelse af den maksimale kapacitet. Hvis en chauffør afhenter en ordre, inden denne chauffør har leveret alle ordrer, da skal chaufføren bruge tid på at omrokere ordrerne på køretøjet (Casco, Golden & Wasil 1988). 4.3 Vurdering af problemstillinger Der vil i det følgende blive foretaget en vurdering af de beskrevne teorier, hvorvidt disse har relevans for casestudiets problemstillinger, samt hvilke der vil blive anvendt i analysen af 3D s ruteplanlægning. CVRP er basemodellen for casestudiet, og denne vil derfor indgå som første problemstilling i analysen. Det er en simplificeret model sammenlignet med praksis, men denne er et godt udgangspunkt for tilføjelse af 16

22 variationer til CVRP. Det vil være muligt at se ændringer af resultater ved tilføjelser af variationer, og dermed kan begrænsningernes betydning for rutekonstruktionen identificeres. I 3D s tilfælde er det en vigtig del af den daglige logistiske proces, at chaufførerne i zone 1 kører tilbage til depotet kl. 12 hver dag, da ordrer skal leveres og afhentes to gange dagligt. Det er vigtigt, at alle ruter overholder denne begrænsning, da chaufførerne i praksis ikke må køre mere end fem timer på en rute. Denne problemstilling kan derfor karakteriseres som VRP med varighedsbegrænsning, og derfor inddrages dette aspekt i ruteplanlægningen. VRP med time windows er en anden form for tidsperspektiv, som er mulig at inddrage. Det vigtige er, at en levering eller afhentning skal ske inden for en bestemt tidsperiode, hvilket ikke er gældende i 3D s tilfælde. Det er uden betydning, hvornår en chauffør præcist skal levere eller afhente en ordre, dog skal denne være leveret eller afhentet inden for rutens varighedsbegrænsning på fem timer. Denne variation vil derfor være uden betydning for 3D og for brugbarheden i praksis. VRP med pickup and delivery vil ikke, i dette casestudie, være relevant ved ruteplanlægning. Da denne afhandling tager udgangspunkt i 3D s Indlandskørsel, kan VRPPD ikke karakteriseres som en problemstilling i casestudiet. I 3D Indland er det centralt, at alle afhentede ordrer bliver fragtet til depotet, før ordrerne igen bliver fordelt ud til de områder, hvor de skal leveres. Som udgangspunkt er kurerkørsel ikke en del af 3D s Indlandskørsel. Selvom dette godt kan forekomme i sjældne tilfælde, er det ikke nok grundlag for anvendelse i analysen. Den sidste problemstilling er VRP med backhauls. 3D udfører både leveringer og afhentninger af ordrer to gange dagligt, hvilket giver denne variation brugbarhed i analysen af 3D s ruteplanlægning. Den grundlæggende VRP med backhaul er, at alle leveringer skal ske forud for afhentningerne. Denne vil blive anvendt i analysen, som skal give et mere virkelighedsnært billede af 3D s daglige logistiske proces. Et køretøj har på den måde plads til mere kapacitet, idet en levering vil give plads til en afhentning, dog af samme eller mindre vægt. Der findes flere variationer inden for VRPB, som vil blive uddybet senere i afhandlingen og vurderet ud fra casestudiet. 17

23 4.4 Delkonklusion I kapitel 4 er teorien omkring Vehicle Routing Problem beskrevet, idet casestudiets problemstillinger kan karakteriseres som et VRP. Ved VRP forstås der en udarbejdelse af optimale ruter for en vognpark, som skal servicere et givet sæt af kunder med start- og slutpunkt i et depot. Den klassiske form kaldes CVRP, hvor kapaciteten på et køretøj begrænser modellen. Der findes variationer af CVRP, som tager højde for flere aspekter end køretøjets kapacitet. De mest almindelige variationer er VRPTW, CDCVRP, VRPPD og VRPB. Disse beskrives med henblik på at vurdere, hvilke variationer, der kan beskrive casestudiets problemstillinger bedst muligt. Det vurderes at CVRP og VRP med varighedsbegræsning samt VRP med backhauls bedst muligt kan karakterisere 3D Logistiks problemstillinger, hvorfor disse vil blive anvendt til analyse af virksomhedens ruteplanlægning. 18

24 5. Løsningsmetoder til VRP Beskrivelsen af heuristikker omfatter både klassiske heuristikker og metaheuristikker. Grunden til at der vil blive beskrevet både klassiske heuristikker og metaheuristikker er, at dette skal danne baggrund for hvilke heuristiske løsningsmetoder, der eksisterer. Klassiske heuristikker blev primært udviklet mellem 1960 og 1990, hvorimod metaheuristikker har haft sin indtræden i de seneste årtier (Laporte, Semet 2002). En heuristik er en approksimationsalgoritme, som kan løse større problemer på forholdsvis kort tid. Denne prøver at finde en god løsning, men der er ingen garanti for, at det er den mest optimale løsning. Når der ønskes en optimal løsning af rutekonstruktioner, vil beregningstiden som oftest være længere, end hvad der vil accepteres. Derfor er der brug for løsningsmetoder, hvor beregningstiden er væsentlig mindre. Heuristiske løsningsmetoder kan bruges til løsning af VRP med en beregningstid, som er acceptabel, men samtidig også med en løsning af høj kvalitet. Heuristiske løsningsmetoderne garanterer dog ikke en optimal løsning, og derfor vil der være en reduktion i nøjagtigheden. Denne reduktion sammenholdes med beregningstiden, og det vurderes, om man er villig til at acceptere mindre nøjagtighed for at få en kortere beregningstid. Heuristikker bliver ofte målt på to kriterier: nøjagtighed og hastighed. Man kan dog også tilføje kriterierne enkelhed og fleksibilitet. I praksis har disse kriterier ofte en væsentlig betydning for, om en heuristik er god. Ved enkelhed menes der, at heuristikkerne skal være enkel at implementere. Heuristikkerne må ikke være for komplicerede, da det gør heuristikkerne svære at forstå og fortolke. Ligeledes forstås der ved enkelthed, at heuristikkerne skal være robuste og sikre, at de er anvendelige i praksis, selvom ikke alle detaljer er medtaget. For meget information får ofte algoritmerne til at fejle. En VRP heuristik skal også være fleksibel for at imødekomme de forskellige begrænsninger, som der opstæder i hovedparten af de virkelige problemer (Cordeau et al. 2002b). De klassiske heuristikker vil blive gennemgået i det efterfølgende, mens metaheuristikker vil blive gennemgået i afsnit 5.2 Metaheuristikker. 5.1 Klassiske heuristikker Metoderne indenfor de klassiske heuristikker undersøger et relativt begrænset område inden for søgeområdet. Algoritmerne er udviklet således, da de klassiske heuristikker er karakteriseret ved, at der hurtigt opnås en mulig løsning. Hele søgeområdet undersøges derfor ikke, idet der ønskes en kort beregningstid, men dog stadig en løsning af høj kvalitet. 19

25 De klassiske heuristikker kan inddeles i tre grupper: konstruktive metoder, to-fase metoder og forbedringsheuristikker. Disse metoder vil blive beskrevet i det følgende. Der findes et utal af heuristiske algoritmer til løsning af et Vehicle Routing Problem, dog er det kun den anvendte algoritme, der vil blive beskrevet Konstruktive metoder De konstruktive metoder, også kaldet ruteopbyggende metoder, er kendetegnet ved, at de opbygger en mulig løsning gradvist ved hjælp af omkostningsminimering af kanter. Der er således ikke nogle forbedringsfaser indbygget i metoden. Dette gælder hverken under udførelse eller til sidst i udførelsen af metoden. Derfor vil det ofte være relevant med en kombination af konstruktive metoder og forbedringsmetoder (Laporte, Semet 2002). Clarke and Wrights Savings Algorithm Savings algoritmen er en af de mest anvendte metoder til løsning af et Vehicle Routing Problem. Metoden er baseret på et besparelseskoncept og kan beskrives som følgende. Der skal være et givet depot, hvor alle ordrer er lageret. Ligeledes skal alle køretøjer være tilknyttet depotet, således at depotet er start- og slutpunktet for alle køretøjer. Køretøjerne har til opgave at levere ordre til kunder, hvor alle køretøjer har en kapacitetsbegrænsning. Desuden er der et kendt antal kunder med kendte lokaliteter og med en tilhørende efterspurgt mængde varer. Problemet består i at opnå et sæt af ruter fra depotet, hvor alle kunder bliver besøgt på en rute af netop et køretøj. Hermed er formålet at minimere de samlede transportomkostninger. Det antages, at alle kunder bliver besøgt netop én gang, hvor den ønskede mængde leveres eller afhentes af et køretøj. Desuden antages det, at den samlede efterspørgsel ikke overstiger køretøjets maksimale kapacitet. Løsningen er baseret på besparingskonceptet, hvor der opnås en besparelse (saving) ved at forbinde to ruter, i stedet for at besøge dem separat. Depotet repræsenteres ved 0, samt at i og j repræsenterer to kunder. Ved at betegne transportomkostningen c ij mellem i og j, kan besparelsen således beregnes ved at forbinde punkterne i og j. Først beregnes transportomkostningerne ved at besøge de to kunder separat. Derefter kan transportomkostningerne, ved at forbinde de to ruter, beregnes. Forskellen mellem disse to omkostninger er besparingen (saving), hvilket ses af nedenstående formel: s ij = c 0i + c i0 + c 0j + c j0 (c 0i + c ij + c j0 ) = c i0 + c 0j c ij 20

26 Jo større s ij er, des mere attraktivt er det ud fra et omkostningsmæssigt perspektiv, at besøge kunderne i og j på samme rute, direkte efter hinanden. Først dannes en omkostningsmatrice, hvor transportomkostningerne mellem alle knuder kan aflæses. Disse omkostninger er som oftest symmetriske, hvilket betyder, at der er ens omkostninger forbundet med at køre fra kunde 1-2, som at køre fra kunde 2-1. Derefter kan en besparelsesmatrice udarbejdes på baggrund af ovenstående formel. Kundernes efterspørgsel skal være deterministisk, således at ruterne kan dannes uden at overskride køretøjets kapacitet. I besparelsesmatricen bliver den største besparelse betragtet først, hvorefter disse to kunder forbindes. Denne øvelse fortsættes, indtil køretøjets kapacitet ophører. Derefter startes en ny rute. Denne udgave af savings heuristikken kaldes den sekventielle savings algoritme. En anden udgave, den parallelle savings algoritme, udarbejdes også på baggrund af besparelsesmatricen, men her tillades det at opbygge flere ruter på samme tid (Rand 2009). Udover kapacitetsbegrænsningen er det også muligt at tilføje andre begrænsninger, såsom en maksimal længde, samt en varighedsbegrænsning på ruten To-fase metoder To-fase metoderne er karakteriseret ved, at heuristikkerne indeholder to faser. I den ene fase dannes klynger af knuder, og i den anden fase konstrueres en rute for hver klynge. Man skelner mellem to typer af to-fase metoder. Disse typer er cluster-first, route-second metoder og route-first, cluster-second metoder. Førstnævnte går ud på først at placere knuderne i klynger, og derefter dannes en rute for hver klynge. Den anden metode går ud på at danne én TSP rute som indeholder alle knuder. Derefter opdeles denne rute i mindre mulige ruter. Hvilken type, der er bedst, afhænger af det konkrete problem (Laporte, Semet 2002) Forbedringsheuristik Forbedringsheuristikkerne er karakteriseret ved, at der tages udgangspunkt i en allerede brugbar løsning og derefter foretages en forbedring af denne løsning. Det er muligt både at bytte kunder inden for en rute, men også mellem de enkelte ruter. Når der byttes kunder inden for en rute, kaldes det en single-rute forbedring. Det vil sige, at en kunde flyttes fra en kant til en anden kant på samme rute. Når der byttes kunder mellem ruter, kaldes det en multi-rute forbedring. Dette betyder, at der kan byttes kunder mellem ruterne, hvor enten et sæt af kunder byttes, eller hvor en kunde kan flyttes fra en rute til en anden rute. 21