Matematik A. Højere teknisk eksamen. 5 timers skriftlig prøve. Fredag den 17. december 2010 kl htx103-mat/a

Transkript

1 Matematik A Højere teknisk eksamen 5 timers skriftlig prøve htx103-mat/a redag den 17. december 2010 kl

2

3 Side 1 af 7 sider Matematik A 2010 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet. (Det er tilladt at skrive med blyant.) Notatpapir (kladdepapir) sendes ikke til bedømmelse. Alt materiale, der afleveres til bedømmelse, skal påføres navn. Opgavesættet indeholder et løsark, bilag 1, der anvendes til besvarelse af opgave 7c) og afleveres sammen med besvarelsen. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på, om tankegangen klart fremgår, herunder om der i besvarelsen af den enkelte opgave er: - en forbindende tekst, der giver en klar begrundelse for valget af den anvendte løsningsmetode samt en afrunding af hvert spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af korrekt matematisk notation - dokumentation af beregninger ved brug af it-værktøjer og/eller mellemregninger samt med forklarende tekst - benyttet figurer og illustrationer med tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.

4 Side 2 af 7 sider Opgave 1 Billedet viser en del af et udvendigt cykelgear. igur 1, 2 og 3 viser en del af geometrien af et tilsvarende cykelgear. Den røde linje viser kæden. oto: John Schødt Pedersen AB = 8cm, BC = 5cm, AC = 9cm, BD = 7cm og BCD = 60. Radius i den lille cirkel med centrum i C er 2 cm. Radius i den store cirkel med centrum i A er 4 cm. A E A B C B C B C D D igur 1 igur 2 igur 3 Den store cirkel svarer til et tandhjul, hvor der er 1 tand pr. 1,27 cm buelængde. a) Bestem antallet af tænder på det store tandhjul. b) Bestem ABC. c) Bestem længden CD. Linjestykket fra punkt E til punkt tangerer de to cirkler. d) Bestem længden af linjestykket fra punkt E til punkt.

5 Side 3 af 7 sider Opgave 2 Billedet viser en snedrive, der ligger på et skråt tag. y 1,25 1 0,75 0,75 0,5 0,5 f 1,40 0,25 0,25 g v 0 0,25 0,5 0,75 1,25 0,25 0,5 0,75 1 1,25 igur 4 x igur 4 viser graferne for f og g indlagt i et koordinatsystem. Det gråtonede område på figur 4 angiver et tværsnit af driven, hvor grafen for f angiver den øverste kant for sneen, og grafen for g angiver taget. Alle mål er i meter. f g 3 2 ( x) = 6,25x 12,5x + 6,50x, x [ 0;1] ( x) = 0,20x, x [ 0;1] Tagets vinkel i forhold til vandret kaldes v. a) Bestem vinklen v. b) Bestem arealet af det gråtonede område. Tagets længde er 1,40 meter, og sneens densitet kan antages at være 300 kg/m 3. c) Bestem sneens masse.

6 Side 4 af 7 sider Opgave 3 Vektorerne a og b er vist på figur 5 i et retvinklet koordinatsystem. y v b r a r x igur 5 Det vides at a i b = 5, b = 2 og v = 20. a) Bestem a. Vektor a er parallel med x-aksen. b) Bestem koordinaterne til b a, projektionen af b på a.

7 Side 5 af 7 sider Opgave 4 Billedet viser firkløveret ved motorvejskrydset vest for Århus. I forbindelse med planlægningen af et andet motorvejskryds overvejes en lignende vejføring. En bil, der kører gennem vejføringen, kan antages at følge banekurven givet ved forskriften for vektorfunktionen r t. ( ) r ( t) 50sin = 50sin ( k t) 1 cos k t 2 π, t 1 0; k 2 ( k t) sin k t Tiden t måles i sekunder og vektorfunktionens koordinater er i meter. 1 Bilens fart afhænger af k, og antages = 0,5s r t skrives som r ( t) sin t cos t 2 4 = sin t sin t 2 4 a) Tegn grafen for r ( t). k kan ( ), t [ 0;2π ] b) Bestem hastighedsvektoren til tiden t = 2s. Det viser sig, at bilen kører for stærkt gennem kurven med denne værdi af k. Bilen 1 passerer punktet P når t =. 2k 23,226; 5,931. c) Vis at punktet P altid vil have koordinaterne ( ) arten i P må højst være 50 km/t 13, 889 m/s. d) Bestem den maksimale værdi k kan antage, for at farten ikke overskrider 50 km/t.

8 Side 6 af 7 sider Opgave 5 y 3 f x 5 6 igur 6 igur 6 viser et koordinatsystem med graferne for syv funktioner. Den røde kurve er grafen for funktionen f. a) Bestem hvilke af de øvrige funktioner, der er en stamfunktion til f Opgave 6 En statistik viser følgende udvikling i indeks for huspriserne for enfamilieshuse fra 1992 til Årstal Indeks 83,9 83, Kilde: Danmarks statistik statistikbanken.dk a) Indtegn tabellens data i et koordinatsystem. b) Bestem a og b i den eksponentielle model ( ) t udviklingen. f t = b a, der bedst beskriver c) Indekset for 2007 viser sig at være 282. Kommentér resultatet.

9 Side 7 af 7 sider Opgave 7 En virksomhed producerer to slags energibarer: BoostBar og ChocDelight. Til produktionen benyttes blandt andet hasselnødder, crunch og peanuts. BoostBar (x) ChocDelight (y) Lagerbeholdning Hasselnødder (kg) 0,020 0, Crunch (kg) 0,015 0, Peanuts (kg) 0,030 0, ortjeneste pr. bar (kr) 3,30 2,10 a) Opskriv på baggrund af ovenstående skema en kriteriefunktion, der angiver fortjenesten i kroner ved salg af x stk. BoostBar og y stk. ChocDelight. Virksomheden ønsker at benytte sin lagerbeholdning bedst muligt, dvs. at fremstille det antal af hver type energibar, der giver den største samlede fortjeneste. b) Opstil ulighederne, der beskriver problemets begrænsninger. Ulighederne definerer et polygonområde, som er vist gråtonet på figur 7. igur 7 c) Indtegn niveaulinjerne N (20000) og N (25000) for kriteriefunktionen på bilag 1. d) Bestem antallet af hver af de to typer energibarer, som virksomheden skal fremstille for at få den størst mulige fortjeneste.

10

11

12 Undervisningsministeriet Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

13 Bilag 1 Elevnavn: Skolenavn: Klasse: Løsark y x