Modellering i almendannede matematikundervisning Morten Blomhøj, IMFUFA, Institut for Natur, Systemer og Modeller, Roskilde Universitet

Transkript

1 Modellering i almendannede matematikundervisning Morten Blomhøj, IMFUFA, Institut for Natur, Systemer og Modeller, Roskilde Universitet 1. Baggrund og begrebsafklaring 2. Hvorfor modellering? 3. Modellering som middel og som mål - medicinering mod astma 4. Refleksion og kritik ved modellering - model for bytrafik 5. Didaktiske udfordringer ved modellering 1. Baggrund og begrebsafklaring Modeller og modellering indgår markant i curricula for matematikfaget fra og med grundskolens ældste klassetrin (ungdomstrinet) og op efter. Denne udvikling er forbundet med samfundets behov adækvat kvalificeret arbejdskraft. Der er en række særlige didaktiske muligheder og udfordringer knyttet til undervisning i matematisk modellering. Undervisning og læring af modellering er et voksende forskningsområde inden for matematikken didaktik. 1

2 1. Baggrund og begrebsafklaring Virkelighed (f) Validering (a) Problemformulering Handling/erkendelse Interesse Undersøgelsesdomæne (e) Fortolkning og evaluering Teori (b) Systematisering Modelresultater (d) Matematisk analyse Data Erfaring System (c) Matematisering Matematisk system (Blomhøj & Hoff Kjeldsen, 2006) 1. Baggrund og begrebsafklaring Modelleringskompetence er indsigtsfuldt at kunne gennemføre en modelleringsproces og at kunne forholde sig kritisk til andres modellering og brug af modeller. Det indebærer at kunne: formulere spørgsmål til belysning ved hjælp af modellering, anvende teoretisk viden, empiri og erfaringer til at strukturere og simplificere systemer, bruge matematik og IT til at opstille og analysere modeller, læse og fortolke en model, dens parametre og resultater, reflektere over og kritisere en samlet modelleringsproces, vurdere og kritisere egen og andres brug af modeller, kommunikere om opstilling, analyse, anvendelse og kritik af en matematisk model. (Blomhøj, 2006) D46 2

3 Inquiry begrebet og modellering i Modelling means solving complex problems mostly from the authentic real world by simplifying and structuring them and by making assumptions. Carrying out an experiment in which one tests a scientific hypothesis, developed by drawing on previous knowledge, generally enables understanding of cause-and-effect relationships. This leads to activity in which deliberately defined or selected variables are modified, controlled, monitored, measured, analyzed and interpreted. All this is inquiry-based learning. Inquiry circle - en transdisciplinær metode og model for IBMSE? Communication of results Argumentation, graphical representations Interpretation of results Validition, critical reflection, hypothesis and building theories Documentation of results Describing, comparing, classifying, identifying conjectures Diagnosing problems Formulation of hypothesis Searching for information Planning an investigation Formulation of hypothesis Identifying variables Carrying out investigations Observing, Recording, systematically controlling variables 3

4 John Dewey ( ) og inquiry-begrebet Dewey (1910, 1929, 1938) observed that thoughtful but ordinary methods of solving problems share fundamental features with the more refined methods of scientists, and the differences are in degree, not in kind. Dewey placed great faith in scientific (and ordinary) methods of solving problems. He referred to the methods by several names including the "experimental practice of knowing" (1929) and "reflective inquiry" (1933). He believed reflective inquiry was the key to moving beyond the distinction between knowing and doing, thereby providing a new way of viewing human behaviour. (Hiebert et al., 1996, p. 13) Hovedpunkter i Dewey uddannelsesfilosofi Grundlæggende søger mennesket at forstå og beherske sin omverden gennem undersøgende og problemløsende adfærd, samt at udvikle og dele sin viden gennem social interaktion. Videnskabelig viden er udviklet kulturhistorisk gennem raffinering og kultivering af menneskets grundlæggende erkendelsesinteresse. Gyldig viden (sand viden) er viden, der har vist sig effektiv til forståelse af fænomener og løsning af problemer. (Pragmatisme) Uddannelse skal styrke og udvikle den enkelte elevs evne til at lære gennem undersøgelse og refleksion. Eleverne skal opleve, at den viden de udvikler er nyttig og effektiv i deres omverden. Elevernes erfaringer og tidligere erhvervet viden anses som central for tilrettelæggelse af undervisning. Viden almengøres i undervisningen gennem fælles refleksion over fælles erfaringer. 4

5 Udvalg af Dewey s værker Dewey (1910). How we think. Dewey (1915). Schools of tomorrow. Dewey (1926). Democracy and education. Dewey (1929). The quest for certainty. Dewey (1933). How we think: A restatement of the relation of reflective thinking to the educative process. Dewey (1938). Logic: The theory of inquiry. Dewey (1956). The child and the curriculum; The school and society. Information om PRIMAS findes på 5

6 2. Hvorfor modellering i matematikundervisning? (a) Matematisk modellering som middel til læring af matematik. Matematisk modellering kan skabe forbindelse mellem elevernes erfaringer og matematikkens begreber og metoder, og vise matematik som et kraftfuldt middel til at beskrive, forstå og forme vores omverden. Modellering i undervisningen kan herved motivere til og give konkret erfaringsgrundlag for matematiklæring. 2. Hvorfor modellering i matematikundervisning? (b) Udvikling af modelleringskompetence som mål. Kompetence til at opstille, analysere, anvende og kritisere matematiske modeller er af stor betydning som selvstændigt pædagogisk mål for matematikundervisningen. Det gælder både i forhold til individets muligheder i uddannelsessystemet og arbejdslivet og i et samfundsmæssigt perspektiv. Matematisk modelleringskompetence udvikles ikke automatisk gennem matematiklæring og må derfor indgå eksplicit som indhold i undervisningen. 6

7 2. Hvorfor modellering i matematikundervisning? (c) Indsigt i og kritik af matematiske modeller og deres anvendelser. Matematiske modeller af spiller en afgørende rolle i samfundets funktion og udvikling. Kompetence til at forstå og kritisere matematiske modeller og deres anvendelser i beslutningstagen er derfor relevant for fortsat udvikling af et demokratisk samfund. Kompetence til refleksion over og kritik af matematiske modeller er relevant som uddannelsesmål både for kommende borgere og kommende professionelle matematikanvender. (d) Det indgår i gældende ordninger for faget. 2. Hvorfor modellering i matematikundervisning? Matematikundervisningen i grundskolen Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer, og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold. 7

8 2. Hvorfor modellering i matematikundervisning? Stk. 2 Undervisningen tilrettelægges, så eleverne selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at arbejdet med matematik fordrer og fremmer kreativ virksomhed, og at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation. 2. Hvorfor modellering i matematikundervisning? Stk. 3 Undervisningen skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle i en kulturel og samfundsmæssig sammenhæng, og at eleverne kan forholde sig vurderende til matematikkens anvendelse med henblik på at tage ansvar og øve indflydelse i et demokratisk fællesskab. 8

9 2. Hvorfor modellering i matematikundervisning? Føremål for matematikk som fellesfag: Eit aktivt demokrati treng borgarar som kan setje seg inn i, forstå og kritisk vurdere kvantitativ informasjon, statistiske analysar og økonomiske prognosar. Problemløysing høyrer med til den matematiske kompetansen. Det er å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig det er. Dette har òg språklege aspekt, som det å resonnere og kommunisere idear. 3. Modellering som middel og som mål - medicinering mod astma Hvordan skabes en ramme om et projektarbejde, der sætter eleverne fri til selv at køre med projektet, på en sådan måde at projektarbejdets pointer kan indfries? Styring gennem rammerne for forløbet. D19 Iscenesættelse: Der skal laves en medicineringsplan med dokumentation. D21 Intentioner for elevernes udbytte. D24 Produktkrav og evaluering af elevernes udbytte. D25 Styring gennem dialog med eleverne. D26 Udvikling af fælles faglig viden D30 9

10 3. Medicinering - modellering som middel og mål Design af forløbet 4 faser: 1. (1.5 modul) præsentation af problemet. Excel-kursus, netstudier (IT), social kontrakt (projektstyring). Lynkursus i modelleringsprocessens elementer. 2. (1 modul) Problemformuleringsfase og beslutning 3. (3 moduler) Arbejde med hjælpespørgsmål afleveres (Vejledning og styring under vejs. (mat.+kommunik.)) 4. (4 moduler) Arbejde med det egentlige projekt D18 3. Medicinering - modellering som middel og mål Materialer Projektoplæg: Problemstilling + data D24 Rapporten (krav) Hjælpeopgaver (4 styk) Den skjulte lærerplan Elementer i projektarbejdet Faser i modelleringsprocessen Evaluering Exel-øvelser, den sociale kontrakt, p-hæftet (logbog og projektstyring). D18 10

11 D18 D18 11

12 Tabellen viser koncentrationen af astmamedicin i blodet hos en patient målt i timer efter indsprøjtning af 60 mg af medicinen i blodbanen. Koncentrationen af medicinen i blodet skal helst ligge i intervallet 5-15 mg/l for at have den rette virkning og ikke give væsentlige bivirkninger. D20 Det var intentionen med projektet at elevernes skulle arbejde over et længere tidsrum, og selv styre forløbet i projektet, arbejde med et større og mere uoverskueligt problem, hvor de ikke i forvejen var blevet præsenteret for en standard metode, lære (få erfaring med) selv at opstille en problemformulering, tage udgangspunkt i et problem i stedet for en opgave forstå hvad begrebet en matematisk model dækker over, arbejde med matematisering, fortolkning, vurdering og kritik af resultaterne, analysere givne data med henblik på at opstille en matematisk model, 12

13 Det var intentionen med projektet at elevernes skulle eksperimentere med modellen for at svare på problemet anvende kendte matematiske begreber som grafer og regneforskrifter i en konkret sammenhæng, få erfaringer med nye repræsentationer for trinvis eksponentiel udvikling; k(t+1) = c k(t) og k(t) = c t k(0) få grundlag for forståelse af halveringstid og eksponential funktionen, at eleverne i projektet i udstrakt grad skulle benytte IT, at eleverne skulle trænes i at formulere matematiske problemstillinger til ikke-fagfolk. D18 Produktkrav Rapporten skal være skrevet i et letforståeligt sprog, og den skal først og fremmest give et klart billede af jeres konklusioner formidlet tydeligt og overskueligt. I et appendiks til rapporten vedlægges de mere matematiske overvejelser og gennemregninger, så det er muligt at kontrollere alle jeres påstande. Evaluering Jeres projekt bliver evalueret på følgende elementer: Er sproget i rapporten forståeligt og præsentationen af problemet og løsningerne præsenteret i en overskuelig form. Er teksten i selve rapporten skrevet til en ikke-matematiker. (Kommunikationskompetence) Er der brugt grafer til at anskueliggøre problemerne. (fag-specifikke) Er de mellemregninger, matematiske overvejelser og forudsætninger klart formuleret i appendikset. Kan man se, hvordan I er kommet frem til jeres resultater. 13

14 Evaluering Hvor avanceret er det niveau, opgaven er løst på? Er selve modelleringsprocessen tydelig: problem system matematisk problem matematisk løsning handlingsforslag. (Modelleringskompetence) D18 Vejledning og styring undervejs gennem dialog I alle grupper udspandt sig en dialog tæt på følgende: E1: Vi kan se, at den falder hele tiden, men den falder mindre og mindre. L: Hvaffor en? E1: Øh det må være koncentrationen af medicin i blodet. L: Ja. Er der noget system? E2: Ja, den falder til det halve hver fjerde time. L: Ja. Den falder altså ikke med en fast størrelse, men hvad er det så der er fast? E1: Det er det den falder altså det vi ganger med. E3: Det må være procenten L: Falder den også med en fast procent, hvis vi ser på spring på 2 timer? E1: Den falder fra 10 til 7. Så der er altså 70% tilbage. L: Ja og når vi skal finde 70%, hvad er det så vi ganger med for at finde det? E1: Vi ganger med 0,7 L: Passer det at den fortsætter med at falde til 70%, når vi går videre? E2: Hvis vi ganger 7 med 0,7 så får vi 4,9 og det passer ikke! Det skulle give 5. 14

15 E3: Det passer da fint. Det er jo næsten det samme! Det er bare afrundingsfejl. L: Hvis den også falder med en fast procent hver time, hvor mange procent skulle det så være, når den falder med 30% på to timer. E1: Det må være 15% L: Prøv at se om det passer. Hvad skal man så gange med for at få koncentration en time efter?. Efter nogen tid og forskellig grader af støtte fra læreren, når de fleste grupper frem til fremskrivningsfaktoren for 1 time: 0,5 0,84 Udtryk som følgende opstilles og fortolkes i grupperne: k(t+4) = 0,5 k(t); k(t+1) = (0,5) 1/4 k(t) ; k(t) = (0,5) 1/4 t ; k(0)=10 mg/l. Og grupperne udvikler regneark. Medicin D18 Eksempel på en god konklusion Vi har fundet ud af at koncentrationen af medicin i blodet hos vores patient aftager med tiden som denne funktion: k(t) =c 0,841 t, hvor t er tiden i timer efter sidste indsprøjtning og c er koncentrationen i blodet lige efter indsprøjtningen. Vi har antaget, at koncentrationen i blodet vokser med D/6 ved indsprøjtning af D mg. 60 mg blev til 10 mg/l i de data vi har fået. Vi har lavet en behandlingsplan med tiden T=6 timer mellem indsprøjtningerne. Så passer det med faste tidspunkter hver dag (f.eks. kl. 8, 14, 20, 02). Med en startdosis på 84 mg og 60 mg hver 6. time derefter får vi denne graf: 15

16 Asthma medication schedule Conc. mg/l Time (hours) konc Koncentrationen svinger mellem 4,95 mg/l og 15,46 mg/l. Det er derfor en rigtig god idé at følge denne plan! Hvis du skal behandle andre patienter må du have data for hver af dem. Hvis vi kan få rigtigt mange data fra forskellige personer efter køn og vægt kan vi måske lave en bedre model til dig. Teoretisk udbygning af medicineringsprojektet til eksamen. T er altså højst 6.34 timer Den højeste dosis kan bestemmes ud fra: T D = N(1 q ) Ønsker vi at N skal ligge på 15mg/L så kan vi benytte T = 6 timer og det T 6/ 4 giver så: D = N(1 q ) = 15 (1 0.5 ) = 9.70 Den maksimale dosis for T=6 og N=15 er D=

17 4. Refleksion og kritik ved modellering Der kan skelnes mellem to typer af refleksioner, der begge er vigtige for udvikling af modelleringskompetence: (1) Interne refleksioner angår de enkelte delprocesser i modelleringsprocessen. (2) Eksterne refleksioner angår modellens faktiske og mulige anvendelser i undersøgelses- og beslutningsprocesser i en samfundsmæssig, teknologisk eller videnskabelig sammenhæng. Interne refleksioner kan angå: Formuleringen af spørgsmål der kan undersøges gennem matematisk modellering. Forudsætninger for anvendelse af teoretisk viden, empiriske data, erfaringer og ad hoc antagelser. Matematiseringsprocessen, herunder valg af matematisk domaine for modellen. Anvendelsen af matematik og IT-værktøjer til analyse af det matematiske system Verifikation og fortolkning af resultaterne af den matematiske analyse Gyldighed af modelresultaterne i relation til det oprindelige problem. Hele modelleringsprocessen og dens dokumentation. 17

18 Eksterne refleksioner angår følgende generelle effekter ved aktuelle eller potentielle modelanvendelser. Anvendelse af en matematisk model tendere til at (1) der sker en omformulering af det oprindelige problem og en (re)konstruktion af objektet så det bliver tilgængelig for undersøgelse gennem matematisk modellering, (2) diskursen om problemet og genstanden ændrer sig til en diskurs om modellen og dens mulige tilpasninger, (3) der sker en begrænsning af de mulige løsninger der undersøges, til dem der kan evalueres i modellen, (4) gruppen af mennesker, der indgår i diskussionen af problemet og dets mulige løsninger indsnævres og ændre sammensætning til fordel for dem der kan forstå modellen. Strukturelle relationer ved modelanvendelse Teori Objekt Model Mat. system Anvendelse Interesse (1) Interesse (2) (Blomhøj & Kjeldsen, 2011) 18

19 Trafikmodel for Roskilde - sagen om Ny Østergade Et studenterprojekt på RUC analyserede en autentisk anvendelse af en trafikmodel som grundlag for beslutning om en ny vej. I modellen repræsenteres den totale trafik per dag i en 57x57 tur-matrice som angiver trafikken mellem 20 zoner inden for centerringvej og trafikken til og fra byen gennem 37 porte der forbinder centerringen med vejnettet uden for. a a c c a a c c b b d d b b d d I modellen bliver den totale daglige trafik i tur-matricen fordelt på vejnettet i byen efter følgende tre principper: (1) Hver vej har en estimeret kapacitet, og for alle veje må den allokerede trafik ikke overstige denne kapacitet. (80% af trafikken antages at skulle afvikles i 4 timers myldretid.) (2) For hvert element i tur matricen fordeles trafikken på vejnettet således at den totale transporttid for hver tur bliver minimeret. 19

20 (3) Transporttiden for hvert vejstykke i en tur beregnes ved denne formel: L i T i = 60 + vi Hvor T i betegner den tid i minutter det tager at bruge vejstykket i, L i er længden af vejen i kilometer, v i er en parameter for vej i som angiver den gennemsnitlige trafikfremføring i km/time på vejen, og c i er en konstant for den pågældende vejtype som angiver spildtiden i minutter per kilometer på vejtypen. c i L i Projektgruppen opdagede at modellen var blevet brugt udover dens gyldighedsområde til at estimere trafikken på den nye vej (den blå vej) til henholdsvis over og under biler per dag. De to resultater tjente to forskellige politiske formål, og resultaterne fremkom ved en simple ændring af fremføringshastigheden v for den nye vej. 20

21 5. Didaktiske udfordringer ved modellering Hvordan sættes scene for elevernes selvstændig virksomhed med matematisk modellering? Hvor finder man egnede problemstillinger? Hvordan støttes elevernes arbejde med modellering undervejs i processen gennem rammerne og gennem dialogen? Hvordan sker opbygning af en fælles faglig viden i klassen på grundlag af erfaringer og resultater fra modelleringsforløb? Hvordan vurderes og bedømmes elevernes læring? Hvordan evalueres og udvikles undervisningspraksis i modellering? Hvilken fagdidaktisk viden kan der trækkes på henholdsvis udvikles gennem modelleringsforløb? 5. Didaktiske udfordringer ved modellering Modellering kan vise, at matematik kan bruges til at opdage, beskrive, forstå og handle i forhold til fænomener i omverdenen. Modellering kan give mening til begreber og metoder og grundlag for læring af ny matematik. Det tager tid at udvikle forståelse af begreberne matematisk model og modellering. Udvikling af modelleringskompetence kræver, at der tilstrækkeligt ofte arbejdes med hele modelleringsprocessen. Og at elever/studerende udfordres gennem lærerens indgribende dialog. 21

22 5. Didaktiske udfordringer ved modellering Der knytter sig forskellige læringsmæssige vanskeligheder til de enkelte dele af modelleringsprocessen. Forskellige typer af forhindringer kan identificeres: utilstrækkelig viden om problemstillingen kognitive vanskeligheder ved (c) og (d) sociologiske vanskeligheder ved (a), (b), (e) og (f) affektive faktorer Samspil mellem udvikling af undervisningspraksis og didaktisk forskning er vej frem for matematikundervisningen! Udvikling Teori Praksis Forskning Tak for jeres opmærksomhed (Blomhøj, 2008) 22

23 Six theoretical perspectives in math education research on mathematical modelling Name Realistic Contextual Educational Cognitive Epistemological Socio-critical Main theoretical perspective Modelling as applied problem solving in authentic situations Modelling Eliciting Activity, modelling as problem solving in real life context Modelling integrated in math. education as a means and as a goal - modelling competency The learning processes and difficulties involved in modelling Realistic Mathematics Education (RME) and Anthropological Theory of Didactics (ATD) The formatting power of modelling: Reflection, Critique and Empowering (Kaiser & Sriraman, 2006) D2 D4 D14 (Niss & Højgaard Jensen, 2002) 23

24 Referencer Alrø, H. and O. Skovsmose (2002). Dialogue and learning in mathematics education: Intention, reflection, critique. Dordrecht: Kluwer. Alrø, H. og O. Skovsmose (2006a). Undersøgende samarbejde i matematikundervisningen - udvikling af IC-modellen. I (Skovsmose og Blomhøj, 2006). Alrø, H. m.fl. (2000): Farlige små tal - almenuddannelse i et risikosamfund. Nordisk MatematikkDidaktikk, 8( 4), Blomhøj, M. (1993): Modellerings betydning for tilegnelsen af matematiske begreber. Nordisk matematikkdidaktikk,, 1 (1), Blomhøj, M. (2001): Hvorfor matematikundervisning? matematik og almendannelse et højteknologisk samfund. I M. Niss (red.) Matematik og verden, s København: Fremad. Blomhøj, M. (2003): Modellering som undervisningsform. I O. Skovsmose og M. Blomhøj (red.), Kan det virkelig passe?. Udkommer i foråret København: L& R Uddannelse. Blomhøj, M. (2008). Ten major challenges in mathematics education research and what ICMI can do about them. In M. Menghini, F. Furinghetti, L. Giacardi & F. Arzarello (eds.): The First Century of the International Commission on Mathematical Instruction ( ). Roma: Enciclopedia Italiana. Blomhøj, M. & T. Hoff Kjeldsen (2006): Teaching mathematical modelling through project work - Experiences from an in-service course for upper secondary teachers. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38, 2, pp Blomhøj, M. & Kjeldsen, T.H. (2011): Students reflections in mathematical modelling projects. In G. Kaiser et al., Trends in teaching and learning of mathematical modelling. Dordrecht: Springer. Blomhøj, M. og Skånstrøm, M. (2003): Matematikmorgener et udviklingsprojekt. I I. Holden, Utvikling av matematikkundervisning i samspill mellom praksis og forskning. Konferencerapport, skrift nr.1 (61-72). Trondheim: Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen. Blomhøj, M. (2006a): Mod en didaktisk teori for matematisk modellering. I O. Skovsmose og M. Blomhøj (2006): Kunne det tænkes? om matematiklæring (s ) København: Malling Beck. Davis, P. J. og Hersh, R. (1986): Decartes Dream. London: Harvester Press. Dewey, J. (1910). How we think. Boston: Heath. Dewey, J. (1915). Schools of to-morrow. New York: E. P. Dutton. Dewey, J. (1926). Democracy and education. New York: Macmillan. Dewey, J. (1929). The quest for certainty. New York: Minton, Balch & Co. Dewey, J. (1933). How we think: A restatement of the relation of reflective thinking to the educative process. Boston: Heath. Dewey, J. (1938). Logic: The theory of inquiry. New York: Holt. 24

25 Dewey, J. (1956). The child and the curriculum The school and society. Chicago: University of Chicago Press. (Original works published Chicago: University of Chicago Press. (Original works published 1902 and 1915, respectively) James Hiebert, Thomas P. Carpenter, Elizabeth Fennema, Karen Fuson, Piet Human, Hanlie Murray, Alwyn Olivier and Diana Wearne (1996): Problem Solving as a Basis for Reform in Curriculum and Instruction: The Case of Mathematics. Educational Researcher, vol 25, 4, Jaworski, B. (2003). Research practice into/influencing mathematics teaching and learning development: Towards a theoretical framework based on co-learning partnerships. Educational Studies in Mathematics 54: Jaworski, B. (2004): Grappling with complexity: co-learning in inquiry communities in mathematics teaching development. Plenary address at PME 28. Niss, M. & Højgaard Jensen, T. (2002): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18. Kaiser, G., M. Blomhøj and B. Sriraman (2006). Towards a didactical theory for mathematical modelling. ZDM, 38 (2), Kaiser, G. and B. Sriraman (2006). A global survey of international perspectives on modelling in mathematics education. ZDM, 38 (3), Skovsmose, O. og M. Blomhøj (red.) (2006): Kunne det tænkes? om matematiklæring. København: Maling Beck. Skovsmose, O. (2006). Kritisk forskning pædagogisk udforskning. I (Skovsmose og Blomhøj, 2006). 25

26 Hvor kommer de gode modelleringsproblemer fra? Dagligdagsfænomener Modellering af dagens længde Afkøling af kakao D63 Opløsning af bolsje Hvordan virker en cykelcomputer? Faldskærmsudspring Design og placering af parcelhus YOUNG MOBILE A/S - Det optimale mobilabonnement Hvor kommer de gode modelleringsproblemer fra? De offentlige medier matematisk avislæsning Bakterievækst i badebassin Lav et gameshow til tv2-zulu! Design af vodkaklovn D67 Befolkningstal og indvandring i Danmark D65 Udviklingen i økonomisk ulighed i samfundet D57 Trafikprognoser (Metroen, Øresundsbroen) Udviklingen i verdensbefolkningen 26

27 Hvor kommer de gode modelleringsproblemer fra? Anvendelser inden for andre fagområder Systematik i solsystemet Trafikmodellering over en bro og ved lyskryds Effektiviteten af Tangeværket Udvikling i befolkningens aldersfordeling Medicindosering Investeringsteori Epidemiologi Eksempler på forløb udviklet på kurset kan findes på: Hvor kommer de gode modelleringsproblemer fra? Matematisk arkæologi i samfundets systemer Afbetalings- og opsparingsmodeller Skattesystemet Valgsystemet 27

28 Hvor kommer de gode modelleringsproblemer fra? Modelleringsprojekter fra BASE-kurset 1. Jordens alder datering af geologisk materiale. (Hvor gammel er jorden?) 2. Biodiversitet. (Hvor mange arter er der plads til?) 3. Stofskifte og vægt hos varmblodede dyr. 4. Systemet i planetsystemet =44 kampagnen. (Kan det passe?) 6. Hvordan vil skarvbestanden i Dk udvikle sig? 7. Eksplosiv vækst. (Hvordan vil verdens befolkningstal udvikle sig?) Modelleringsprojekter fra BASE-kurset 7. Hvordan skal astmamedicin doseres? 8. Hvordan skal anæstesistoffer doseres under en operation? 9. Rovdyr byttedyr systemer. (Hvad styrer dynamikken?) 10. Epidemi-modellering. (Hvorfor er det ikke alle, der bliver ramt af influenza?) 11. Hvad styrer forekomsten af gonorré? 28

29 Debatten Økonomisk ulighed og gini-koefficienten Arbejderbevægelsens erhvervsråd: Fordeling & levevilkår 2007 Uligheden stiger i Danmark Rekordstor stigning i uligheden siden 2001: (30. marts 2009) "Med vedtagelsen af VK-regeringens og Dansk Folkepartis socialt skæve skattereform vil uligheden i Danmark stige yderligere i de kommende år. Uligheden i Danmark er i forvejen steget stødt siden VK-regeringen kom til i 2001, så den i dag ligger markant højere end tidligere. (...) Den bekymrende store stigning i uligheden er i høj grad politisk bestemt og kan blandt andet tilskrives udviklingen i boligpriser og skattebetalingen under VK-regeringen" Debatten JP: Danskere ønsker mindre ulighed - Et flertal af vælgerne ønsker mindre ulighed Ikke mindst blandt oppositionens vælgere er der en meget kritisk holdning til mere ulighed. Økonomerne måler uligheden i den såkaldte ginikoefficient, som i Danmark er vokset fra 19,8 i 1994 til 23,3 i Alligevel har Danmark fortsat verdens mindste gini-koefficient.»jeg er godt klar over, at det kan være svært at måle ulighed korrekt, men gini-koefficienten er noget af det eneste, som vi har at rette os efter. En voksende ulighed passer nu også meget godt med min opfattelse af virkeligheden og meldingerne fra de velgørende organisationer «siger Preben Brandt (formand for Rådet for socialt udsatte) 29

30 Debatten CEPOS: Den retfærdige ulighed Politikerne i verdens mest lige land må ikke blive slaver af gini-koefficienten Der er ingen overbevisende moralske argumenter for at staten skal øge den økonomiske lighed mellem alle borgerne i samfundet. Politikerne i verdens mest lige land må ikke blive slaver af gini-koefficienten, skriver CEPOS' cheføkonom Mads Lundby Hansen i dag i Kristeligt Dagblad Martin Ågerup Krisen knækker uligheden: Aktiekursernes kollaps og en bristet boligboble under finanskrisen har mindsket uligheden i Danmark. Uligheden målt ved Ginikoefficienten skønnes at falde fra 24,6 pct. i 2007 til 22,9 pct. i Gini-koefficient Gini-koefficienten Lorenz-kurven Gini-koefficient: A/(A+B), hvor A er arealet mellem lighedskurven og Lorenz-kurven. 30

31 Gini-koefficienten: matematisk Gini-koefficienten kan skrives som hvor L(X) er Lorenz-kurven Numerisk beregning af integralet af forskellig Lorenz-kurver Understøtte begrebsforståelsen af integralbegrebet D52 Iskerneboringer: Sandwichmodellen Sandwichmodellen Til at datere isen i store dybder anvender man en kombination af målinger af støvindholdet og modeller for isens flydebevægelse. Den simpleste af den slags modeller kaldes sandwichmodellen. Selv om den bygger på en række meget enkle forudsætninger, kan den alligevel forklare en masse fundamentale iagttagelser vedrørende bevægelsen af store iskapper. 31

32 Mads model for kakaoens temperatur Temperatur (oc) Tid (min.) temperatur (oc) temperatur (oc) tid (min.) tid (min.) D51 32

33 Peter Skaarup i JP, En befolkningsmodel i Dynasys D52 33

34 D52 34