Rapportering af projektforløb i matematisk modellering: Medicinering med fast dosis og tid. Birgit Andresen & Gert Uttenthal Jensen

Transkript

1 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 1 Rapportering af projektforløb i matematisk modellering: Medicinering med fast dosis og tid. Birgit Andresen & Gert Uttenthal Jensen Projektets overordnede udviklingssigte. Den almindelige matematik-undervisning i gymnasiet er først og fremmest styret af den skriftlige eksamen. Eleverne skal udvikle nogle ganske bestemte hensigtsmæssige rutiner til løsning af en række standard-opgaver. Hvis ikke hele denne opgave-løsningsdel mekaniseres noget, har de ikke tid nok til skriftlig eksamen. Denne del af undervisningen peger altså direkte mod skriftlig eksamen. Eleverne er på dette niveau aktive i deres søgen efter en løsningsmodel. Opgaverne kan som regel kun løses på en måde, men man kan dog anskue problemerne undervejs på forskellig måde og dermed er løsningen af nogle opgaver ikke helt mekanisk de kræver en personlig fortolkning af eleverne. Selvom der kan forekomme konkrete problemer i opgaverne så er det teoretiske matematik-opgaver og ikke praktiske problemer. Der forekommer modelleringsopgaver, men her er valget udelukkende at afdække om en sammenhæng mellem to størrelser er lineær eller eksponentiel. Der er altid kun et svar. Der er ingen debat af fortolkningen af modellen, ingen debat af resultaternes anvendelighed. Den anden del af matematik-undervisningen bygger ovenpå dette og arbejder med hvorfor disse rutiner virker hvorfor sætningerne er rigtige. Det foregår altså på et abstraktionsmæssigt højere niveau. Elevernes rolle i dette er mere passivt reproducerende. De kan gentage de beviser de har læst i bogen. De kan meget sjældent udvikle beviser selv. De dygtige elever kan efterfølgende trække linier mellem forskellige dele af bogen, der i fremstillingen optræder adskilt. Det overordnede sigte med dette forløb var, at eleverne skulle arbejde mere selvstændigt i en proces, hvor de almindelige elementer i matematikundervisningen blev integreret i løsningen af et konkret problem. Eleverne skulle arbejde med et stofområde de stort set intet kendte til i forvejen. Gennem arbejdet med problemerne begyndte den nye teori at tage form for dem (eksponentiel vækst). De opdagede selv egenskaberne ved denne type funktioner og i sidste ende fik de opstillet en regneforskrift. Og når vi i foråret når til eksponentiel vækst vil eleverne for første gang have mulighed for at føle at udviklingen af begreber rent faktisk sætter mere præcise ord på det der foregår, end vi har været i stand til i dette projekt, fordi vores sprog omkring det der foregår ikke er færdigudviklet! Det har været specielt i dette projekt at arbejde med teori, der rent faktisk skulle udvikles fra gang til gang. Ud over dette var der en række ny projekt-redskaber der skulle udvikles dels for at arbejde med modeller og dels for at give eleverne mulighed for at styre processen mere: At udforme en problemformulering, at arbejde med modeller, at føre en logbog, at oprette en digital gruppe.

2 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 2 2. Intentionerne for elevernes udbytte. Med dette matematikprojekt ønskede vi (som vi har beskrevet ovenfor) at eleverne skulle arbejde med en større og mere uoverskuelig problemstilling, hvor de ikke i forvejen er blevet præsenteret for et standard-svar og i et vist omfang slet ikke var blevet introduceret til teorien. De skulle lære at udvikle matematik selv. at eleverne skulle lære, at opstille en problemformulering. at eleverne skulle tage udgangspunkt i et problem i stedet for en opgave så selve modelleringen, matematiseringen og fortolkningen af resultaterne også blev en del af opgaven. De skulle lære at modellere. at eleverne skulle trænes i at formulere matematiske problemstillinger til ikke-fagfolk, for at bevidstgøre dem om kommunikation af matematik. De skulle udvikle deres forståelse for og evne til kommunikation af matematik. at eleverne skulle arbejde over et længere tidsrum, hvor de selv skulle styre forløbet i et projektarbejde. De skulle lære at disponere og administrere hele forløbet herunder også deres hjemmearbejde. at eleverne i projektet i udstrakt grad skulle benytte IT dels til behandling af problemet (EXCEL) og dels til kommunikation internt i gruppen og med læreren (NETSTUDIER). at anvende kendte matematiske begreber som grafer og regneforskrifter i en konkret sammenhæng. at analysere en række data med henblik på at opstille en matematisk model at forstå hvad begrebet en matematisk model dækker over. For at tydeliggøre kravene til produktet fik eleverne som en del af oplægget udleveret målene med projektet (Se Den skjulte lærer-plan ). For os var det vigtigste med dette projekt, at eleverne skulle opleve og dermed forstå forskellen på et rigtigt projekt og et tematiseret emneforløb bestående af en række opgaver med stigende sværhedsgrad. Derfor var intentionerne som omhandlede opstilling af problemformulering, opstilling af en matematematisk model, diskussion af modellens muligheder og begrænsninger samt formidlingen meget vigtige for os. Som næste prioritet kom ønsket om, at eleverne selv skulle opdage ny matematik og til slut intentionerne om lære at anvende EXCEL og NETSTUDIER.

3 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 3 3. Design af forløbet. Forløbet var henvendt til 1.g. Selve forløbet tog i alt ca. 10 dobbelttimer. Det strakte sig over 4 uger. Forløbet var opdelt 4 faser. Fase 1 (95 minutter + 45 minutter) Eleverne blev præsenteret for problemet (se oplægget for detaljer - i alt 2 sider). Grupperne fik et begynderkursus i Excel. Først en 10 siders generel introduktion indeholdende opgaver, og dernæst 4 sider med flere Exceløvelser. Disse øvelser havde direkte relevans til projektet. Endvidere fik eleverne en kort introduktion (i alt 2 sider) til hvorledes man opretter projektgrupper i netstudier, samt hvorledes man oploader og downloader filer fra disse grupper. Alle grupperne oprettede en gruppe i netstudier. Grupperne formulerede endvidere en social kontrakt. Endelig fik alle grupper et lynkursus i modelleringsprocessens elementer (se oplægget) Fase 2 (2 x 45 minutter) Grupperne lavede hver især et udkast til en problemformulering. I timen efter diskuterede vi i klassen alle gruppernes problemformulering for til slut at lave en fælles grovskitse til en problemformulering. Fase 1 og fase 2 overlappede lidt i det ene forløb. Fase 3 (3 x 95 minutter) Grupperne arbejdede med 4 hjælpeopgaver, som havde relevans for projektet. Hjælpeopgaverne skulle sikre, at eleverne havde forstået problemstillingen og kunne bruge de relevante Excel-værktøjer. Endvidere blev opgaverne brugt som en øvelse i at formidle matematik. Opgaverne skulle afleveres på netstudier og talte for en aflevering. Fase 4 (4 x 95 minutter) Grupperne arbejdede med det egentlige projekt. Produktet skulle fremstå som en rapport skrevet til lægen. Projektet afleveredes på netstudier og talte for 2 afleveringer. Eleverne deltog ikke i gruppedannelsen. Vi havde valgt at kønsopdele grupperne i 6 4-grupper og en enkelt 5-gruppe altså 28 elever i alt. Vi håbede på den måde at undgå pigernes passive rolle mht. IT-brug. Endvidere ville drengene blive tvunget til at arbejde struktureret, tage ansvaret for planlægning af det daglige arbejde og ikke have mulighed for at udnævne en kvindelig sekretær til f.eks. at føre logbog. Som det fremgår, er vi 2 lærere som har arbejdet med dette forløb - men i hver sin 1.g klasse. Der har altså kun været knyttet én lære til hver klasse, altså én lære pr. 29 elever. Det har været meget bevidst fra vores side, at vi valgte emnet og dermed satte scenen altså problemet og målgruppen (lægen). Skal man arbejde projektorienteret i 1.g, mener vi, at dette er nødvendigt. På den måde sikrer man, at eleverne kommer i mål og får en god oplevelse samtidig med, at de får tid og mulighed for selv at styre processen og få aha-oplevelser (sejre), som vi jo alle ved, man kan leve på længe. At vi afsætte 20X 45 minuttet til projektet kan lyde af meget. Dette var imidlertid også helt bevidst. Med de intentioner vi havde opstillet, var vi fra starten klar over at det ville kræve tid. Både når det gjaldt elevernes arbejde, men også når det gjaldt støtte og vejledning til de enkelte grupper og

4 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 4 her tænker vi ikke kun på hjælp til matematikken men i lige så høj grad støtte til opbygning af rapporten samt konkrete formuleringer. Planen for forløbet for den ene klasse så således ud: Ma To Ma On Projektpapiret udleveres. Læs det til torsdag. Grupperne arbejder med EXCEL efter opgavepapirerne. Lav en gruppe i netstudier. Lav et udkast til problemformulering. Vi snakker sammen hele klassen om en mulig fælles problemformulering. Grupperne arbejder med EXCEL-øvelserne. Grupperne går i gang med det egentlige projekt. To Ma 1-11 To 4-11 Ma 8-11 On To Hjemmeopgaverne afleveres En skitse/disposition til projektet afleveres. Grupperne afslutter arbejdet. Efterbearbejdning af gruppernes arbejde i uge 47 Gruppernes rapporter blev efterfølgende rettet og vi brugte en dobbelt-time på tilbagelevering. Detaljer i forbindelse med forløbet: Fase 2: Vi valgte at afsætte god tid udformning af problemformulering samt i klassen at diskutere de enkelte gruppernes udkast. Erfaringer fra tidligere projektarbejde viser, at eleverne har utrolig svært ved at forstå hvad en problemformulering skal indeholde. Ofte kender de ikke forskellen på en mere bred indledning og en problemformulering. Og da problemformuleringen danner grundlaget for projektets opbygning og indhold er det nødvendigt for det videre forløb, at problemformuleringen er på plads. Fase 3: For at sikre en kommunikation med grupperne havde vi opstillet 4 hjemmeopgaver (se oplægget for detaljer), som eleverne skulle løse og aflevere undervejs. Det er opgaver der tager hul på problemet men ikke løser det rigtigt. Det gjorde vi fordi vi forventede at der hos nogle af grupperne ville være en vis træghed mod at forklare så meget, og ved at bedre dem aflevere noget undervejs, så sikrede vi at denne diskussion om hvad og hvor meget der skulle forklares i hvert fald blev klar for eleverne inden de afleverede den endelige rapport. Via opgavebesvarelserne fik vi mulighed for at give

5 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 5 eleverne konkrete eksempler på formuleringer, som var indforståede og umulige for andre at læse. Eleverne har svært ved at formidle matematik, og det fik de trænet først gennem besvarelsen af hjælpeopgaverne dernæst en diskussion med os af de enkelte besvarelser og tilslut en omformulering af de samme opgavebesvarelser. Fase 4: Udgangspunktet for det egentlige projekt var i alt 2 sider, hvor problemet blev præsenteret. Meget kort fortalt var problemstillingen: Astmatikere behandles med stoffet theophylline. Patienter medicineres som oftest med lige stor dosis, D mg, med lige store tidsintervaller, T timer. En læge har på én patient målt hvordan koncentrationen af stoffet i blodet falder i timen efter én injektion med 60 mg af stoffet. Disse måleresultater danner grundlaget for projektet. Tid timer Koncentration mg/l 10,0 7,0 5,0 3,5 2,5 1,9 1,3 0,9 0,6 0,5 Eleverne bliver bedt om at opstille en model for hele problemstillingen og aflevere en rapport skrevet til lægen, der tager fat på følgende spørgsmål: 1. Hvordan falder koncentrationen i blodet som tiden går. 2. Hvordan kan man planlægge en løbende medicinering med en fast dosis D og fast tidsinterval T, så koncentrationen efter et par injektioner ligger indenfor 5-15 mg/l? 3. Hvordan kan man planlægge en løbende medicinering med en startdosis og derefter en fast dosis D og fast tidsinterval T, så koncentrationen med det samme ligger indenfor 5-15 mg/l? 4. Hvad skal man overveje inden man bruger denne medicineringsplan på en anden patient

6 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 6 I den endelige rapport bad vi dem om at formulere sig til lægen altså først og fremmest præsentere resultaterne i et klart forståeligt sprog, men samtidig vha. henvisninger gøre det muligt at se de matematiske beregninger og overvejelser der lå bag, så man havde mulighed for at kontrollere resultaterne, hvis man ønskede. 4. Beskrivelse af forløbet hvordan gik det? Eleverne tog i høj grad problemet til sig. I evalueringen svarer 60%, at projektet gav anledning til seriøse diskussioner i gruppen. Det var svært for alle grupper at komme i gang med modellen. Evalueringen viser også, at 40 % syntes at emnet var temmelig svært mens 60 % svarede OK og som de selv skriver Det var svært indtil vi knækkede nøden. (Som eksempel se dialog 1 under afsnit 5.) Den første hjælpeopgave hvor de tager udgangspunkt i tabellen og i første omgang skal beregne koncentrationen efter 20 timer og 22 timer, klarer de fleste grupper sig igennem efter at have indset at koncentrationen falder til det halve efter 4 timer. De aflæser nemlig koncentrationen 16 timer og dividerer derefter med 2. Samme procedure ved at aflæse koncentrationen ved 18 timer. Problemerne opstår, når de skal beregne hvad koncentrationen er efter 1 time. Efter nogen tid ses problemet og faktoren findes ved at prøve sig frem. I halvdelen af grupperne ser eleverne selv at det faktisk er en andengradsligning de skal løse og nogle kommer selv frem til at fremskrivningsfaktoren hørende til en time må være 0.5 eller Derefter gik eleverne i gang med at bruge EXCEL og her behøvede de ikke megen hjælp. De introducerende EXCEL-opgaver havde rustet dem tilstrækkeligt. Her fik de først problemer, når opgavetesten skulle skrives. De første udkast var oftest umulige at forstå (se dialog 2 under afsnit 5). Det var meget forskelligt hvordan grupperne arbejdede. Gruppestørrelserne var på 4 elever. De velfungerende elever uddelegerede opgaver hjemme og de diskuterede i et vist omfang resultaterne. Det viste sig at være en lille svaghed selv hos de gode grupper, at de i et vist omfang forestillede sig at de kunne lave hver deres del af rapporten uden at bruge tid på at justere resultater og selve den sproglige fremstilling. Arbejdet med hjemmeopgaverne inden sikrede dog at det var de samme metoder de brugte. De grupper der fungerede dårligere havde svært ved at uddelegere arbejdet, og derfor sad de oftest 4 personer ved en computer, og lavede ofte ikke meget hjemme. Karakteristik for grupperne var, at de elever, som til daglig er i stand til at strukturere deres hjemmearbejde og få lavet deres lektier disse elever var også i stand til at arbejde projektorienteret, og de elever der i det daglige er svage, de fik også problemer her. Dog oplevede vi enkelte undtagelser. I matematik har man altid et par umodne drenge som skal holdes til ilden og hvis opgaveafleveringer er totalt hjælpeløse. De er gode til matematik men håbløse til at videregive deres viden og umulige til at samarbejde. I den ene klasse havde disse drenge store problemer med at samarbejde og dermed få banket et projekt på benene. Så har man så også ofte et par drenge som har svært ved matematik men er gode til IT. Disse drenge fik i dette projekt mulighed for at vise hvad de kunne, hjælpe deres kammerater og dermed status. De voksede flere centimeter for hver dag. Nød projektarbejdet, hvor

7 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 7 de pludselig fik respekt og betydning. En oplevelse som på en positiv mådeændrede deres forhold til faget matematik samt kammeraternes opfattelse af dem. Vores vejledning foregik ved at eleverne henvendte sig samt at vi kommenterede deres opgavebesvarelser og oplæg via netstudier. Der var hele tiden småproblemer enten af forståelsesmæssig art eller program-mæssig karakter. Det var ikke svært at komme rundt mange steder, men svært at få et overblik over præcis hvilke problemer de forskellige grupper grundlæggende havde af procesmæssig art, og så var det selvfølgelig svært når der var flere der skulle tale med os på samme tid. Det gik fuldstændig som det var planlagt! Den første gang var hele skolens netværk nede, og derfor blev der snakket problemformulering der og EX- CEL-øvelserne blev så skudt til senere. Fase 1: De udleverede EXCEL-opgaver fungerede fint. Eleverne kunne med minimal hjælp arbejde sig igennem de udleverede ark. Det samme gjaldt oprettelsen af grupper i netstudier. Fase 2: Som ventet havde grupperne store problemer med at opstille en problemformulering. Der var forslag, der fyldte en hel side og som mest af alt mindede om en indledning. Så var der også forslag som fyldte 2 linjer: Eksempel: Problemformulering: Krav: -D dosis gives med T interval Hvad ved vi: - vi kender udviklingen ved injektion af 60 mg fra en anden patient At bruge god tid på at lære eleverne hvordan man opstiller en problemformulering er nødvendig for et godt forløb. Det er i hvert fald vores erfaring. Vigtige spørgsmål i forbindelse med projektet bliver bragt på banen, når man i fællesskab diskutere de forskellige forslag og som lærer får man også en klar fornemmelse for, hvad eleverne har forstået og hvad de ikke har forstået. Som eksempel kan nævnes at flere af grupperne ikke forstod hvad en matematisk model var. At det kunne være en funktion var for dem helt uforståeligt. En model var et skema eller en graf. At der kunne ligge en funktion til grund for et skema eller en graf. Det tog tid at overbevise dem om. Fase 3: Hjælpeopgaverne viste sig at være til stor hjælp for det egentlige projekt. For det første var de med til at åbne den matematiske del af opgaven. Endvidere sikrede de, som ønsket havde været, at eleverne fik efterprøvet deres færdigheder i EXCEL. Og endelig blev eleverne gjort opmærksomme på, hvor omhyggelig og præcis man skal være, når man skal videregive matematisk viden til andre, som ikke har deltaget i selve modelleringsfasen og dermed intet kender til de matematiske overvejelser. Da hjælpeopgaverne endvidere talte som en aflevering og indirekte kunne bruges i det egentlige

8 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 8 projekt brugte grupperne en del tid og kræfter på såvel grafer som selve opgaveteksten. Fase 4: Arbejdet i denne fase fungerede tilsyneladende rigtig godt. Efter at rapporterne er afleveret er der imidlertid nogle problemer, der bliver synlige i alle gruppernes arbejde. En del af grupperne er gode til at uddelegere arbejdet og får lavet en stor og god rapport. Svagheden er at de ikke når at få selve rapporten skrevet igennem til en helhed, så den fremstår med en meget grundig og forklarende indledning, mens det endelige resultat præsenteres helt uden argumenter. En anden type problemer viser sig i de grupper, der har haft svært ved at få samarbejdet til at fungere. Her er rapporten et lidt tilfældigt resultat af hvem der kunne og ville lave nogle af de delproblemer der var i rapporten. Her er problemet altså i højere grad at få samarbejdet til at fungere, når man forlader de sikre opgaver og selv skal formulere noget. Men som vejleder er fase 3 med til at sikre, at alle faktisk har det centrale matematiske grundlag for projektet på plads. Nogle grupper er så bedre til at udvikle det selvstændigt og måske endda forklare hvad de gør! 5. Udvalgte pædagogiske observationer. Dialog 1: En dialog der udspandt sig i samtlige grupper var tæt på følgende: E1: Vi kan se at den falder hel tiden, men den falder mindre og mindre. L: Hvaffor en? E1: Øh det må være koncentrationen af medicin. L: Ja. Er der noget system? E2: Ja den falder til det halve hver fjerde time. L: Ja. Den falder altså ikke med en fast størrelse, men hvad er det så der er fast? E1: Det er det den falder. altså det vi ganger med. E3: Det må være procenten L: Falder den også med en fast procent hvis vi kun ser på spring på 2 timer? E: Den falder fra 10 til 7 så der er altså 70% tilbage. L: Ja og når vi skal finde 70% hvad er det så vi ganger med for at finde det?

9 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 9 E1: Vi ganger med 0,7 L: Passer det at vi fortsætter med at falde 70% når vi går videre. E2: Hvis vi ganger 7 med 0,7 så får vi 4,9 og det passer ikke fo det skulle give 5. E3: Det passer da fint. Det er jo næsten det samme! Det er bare afrundingsfejl. L: Hvis den også falder med en fastprocent hver time hvor mange procent skulle det så være, når den falder med 30% på to timer. E1: Det må være 15%. L: Prøv at se om det passer. Hvad skal man så gange med for at gå en time frem. Dialog 2: En typisk dialog når vi sammen med eleverne sad og kikkede på deres opgavetekst til hjælpeopgave 1: E: Hvad synes du om teksten? L: Hvad mener du med, at du har fundet den for 4 timer, den for 2 timer og den for 1 time? E: Det ved du da godt. L: Den er det en giraf eller en elefant og hvor har du fundet den? I junglen eller under din hovedpude? 6. Elevernes udbytte i forhold til intensionerne Eleverne har generelt har været optaget af at arbejde på en ny og anderledes måde. Vi fornemmer også, at de selv synes de har lært noget. Det gælder konkret matematisk viden, IT-færdigheder og arbejdsmetoder. Ved selv at opdage egenskaber ved eksponentiel vækst, formulere disse egenskaber samt opstille og forklare forskriften fornemmer vi, at de har fået en bedre forståelse. Såvel EXCEL som netstudier håndterer de også langt bedre efter dette forløb. De har også fået en forståelse for, hvad begrebet en matematisk model dækker over. Mht. til formidling af matematik, har vi klart kunnet se en udvikling. De fleste grupper formulerede sig i starten totalt uforståeligt men er gennem for-

10 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 10 løbet blevet meget bedre til at tage de rigtige briller på, når de skal læse deres egne formuleringer og dermed forbedre dem. I den ene klasse blev der fra starten stillet store krav til formuleringerne, og det er nok vigtigt. I hvert fald blev resultatet i den klasse, hvor vi i hjælpeopgaverne koncentrerede mere om EXCEL, at de ikke blev helt færdige med projektet, og at det viste sig ved meget svingende niveau i formuleringerne. Samtidig skabte det en del frustration i de grupper, der havde problemet. Mht. selve projektarbejdsformen, så har de nu set et eksempel på, hvordan en problemformulering skal opbygges. De har også gennem et længere forløb (4 uger) selv været ansvarlig for den daglige planlægning af gruppens arbejde. Hvor vi i starten observerede at grupperne tog lidt let på hjemmearbejdet, kunne vi som tiden sked frem og afslutningen nærmede sig fornemme, at de blev bedre til at uddelegere opgaver og planlægge. Kun mht. logbogen har vi fået konsekvent negative tilbagemeldinger. Det er vigtigt at vi på en eller anden måde gør denne kommunikation mellem lærer og gruppe bedre og mere relevant. Evalueringerne i de to klasser blev udført lidt forskelligt. I den ene klasse kom der følgende vurdering: 70% syntes, at emnet var meget spændende. 70 % vurderer deres udbytte af projektet som temmelig højt. 90 % mener, at de er blevet bedre til at oversætte et konkret problem til en matematisk model og senere at oversætte matematiske resultater til konkrete løsningsforslag. 70 % mener, at de er blevet bedre til at lære ny matematik ud fra et konkret problem. 75 % mener, at de er blevet bedre til at arbejde selvstændigt. 80 % syntes det fungerede fint at benytte Netstudier. 85 % syntes, at det var en god måde at lære matematik på. 45 % syntes, at logbogen var et dårligt hjælpemiddel. Med hensyn til det endelige produkt altså selve projektet så er det generelt flotte og gennemarbejdede rapporter. Forløbet i de 2 klasser kørte forskudt, hvilket betød, at erfaringer fra første forløb fik den næste klasse megen glæde af. Vi var fra tidlige projektforløb klar over, hvor vigtigt det var, at hjælpe eleverne med at diskutere og opstille en problemformulering idet den jo danner grundlaget og rammerne for det videre arbejde. Hvad vi ikke var helt klar over, men hvad vi opdagede efter det første forløb var, hvor meget hjælp grupperne skal have til strukturering af projektet og helt ned til konkrete formuleringer som omhandler matematik. I andet forløb blev der derfor brugt meget tid på, at der skulle skrives forklarende tekst til de 4 hjælpeopgaver, så man som lærer havde en konkret tekst man kunne diskutere med de enkelte grupper. I starten var deres formuleringer uforståelige for alle, inklusive gruppen selv. Der blev derfor brugt megen energi på at diskutere konkrete formuleringer, omskrivning af disse, at diskussion og ofte atter endnu en eller to omskrivninger. Tid og energi som viste sig at være givet godt ud, da de endelige projektrapporter viste sig at være velstrukturerede, velskrevne og læsevenlige.

11 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side Forløbet set i forhold til det overordnede udviklingssigte Det overordnede sigte var at elever skulle lære matematik nedefra altså ud fra et konkret problem at udvikle metoder, der senere kan almengøres i teori. For at gøre det er det naturligt at arbejde med matematiske modeller, og herunder forholder mellem problem (virkelighed) og model (teorien/systemet). Af afsnit 6 fremgår at vi fornemmer, at dette er lykkedes. For det første har problemstillingen har været overskuelig. Endvidere har det haft stor betydning for eleverne at forløbet har været inddelt i forskellige faser. Vigtigt for eleverne har været at problemformuleringen var gennemdiskuteret og på plads før den egentlige projektfase. Endvidere har hjælpeopgaverne hjulpet eleverne på vej. Givet dem de nødvendige IT-redskaber, hjælp til hvordan man formidler matematik. Indsigt, ballast og tryghed som er nødvendig hvis et projektforløb skal lykkes. Især i 1.g hvor elevernes erfaring med projektarbejde er minimal. Den ene af klasserne er en meget larmende klasse. Det er ofte svært at skabe ro og arbejdsmoralen har ofte kunnet ligge på et meget lille sted. Vi var derfor spændte på, hvordan projektforløbet ville fungere i netop denne klasse. Men overraskende kastede de sig over opgaven. Arbejde flittigt og resultatet var flotte, velskrevne rapporter. De har klart meldt tilbage, at de gerne vil arbejde projektorienteret igen. Men hvad endnu mere mærkeligt er, så har dette projektforløb resultatet i en meget mere homogen klasse. De er blevet sødere overfor hinanden. De er blevet bedre til at arbejde og de er blevet glade for faget matematik. Utroligt men sandt. Alt i alt må vi konkludere (hvad der klart fremgår af kapitel 6), at vi oplever forløbet som vellykket. Velskrevne rapporter og tilfredse elever. Skal vi kort give vores bud hvorfor vi tror, at dette projekt lykkedes og dermed gode råd til andre, som ønsker at arbejde projektorienteret er det følgende: Afsæt den nødvendige tid. Det giver Bonus i den sidste ende. Det er vigtigt at eleverne får tiden til lære, hvordan man arbejder projektorienteret i naturvidenskab. Det er ikke noget som kan dikteres. Det skal læres. Sæt scenen (problem og målgruppe) især de første par gange. På den måde sikrer man, at eleverne når i mål på en lærerig måde og via et forløb med positive oplevelser. At sætte scenen sikrer også, at man som lærer får et roligere og mere overskueligt forløb. På den måde bliver der mere tid til eleverne. Bedre tid og mere overskud til vejledning. Hjælp eleverne med problemformulering samt gå aktivt ind i skiveprocessen. Det er vigtigt at lære eleverne at tage de rigtige læsebrillerne på også når det gælder deres egne formuleringer. Hvis muligt, så prøv at køre et parallelforløb med en anden kollega, i hvertfald første gang. Vi har haft megen glæde af at diskutere projektforløbet. 8. Hvordan kan erfaringerne fra udviklingsprojektet integreres i den fortsatte udviklingspraksis? Der er ingen tvivl om at et forløb som dette kan indtænkes som et helt naturligt forløb i det nuværende gymnasium og skal indtænkes i det kommen-

12 Rapport fra projekt i matematisk modellering - Medicinering Side 12 de. At eleverne selv opsøger en løsning, der samtidig baner vej for kommende teori er meget smukt. Modelaspektet er på en gang enkelt og perspektivrigt. Problemet er forståeligt. Næste gang vi tager fast på en tilsvarende problemstilling kunne det være en ide at gøre det i et fag-samarbejde med biologi, hvor en egentlig problemstilling som også kan angribes fra den indholdsmæssige side kunne opstå. Uden at have set på detaljerne så er forebyggelse af malaria måske en mulighed. Her tager man netop kinin-piller fast og man starter en uge før man udsættes for smitte for at få niveauet i blodet højt nok op. Bilag: Projektbeskrivelse Excel-øvelser 1 (generelle) Excel-øvelser 2 (specielle til dette projekt)