Problemorienteret projektarbejde i matematisk modellering

Transkript

1 Problemorienteret projektarbejde i matematisk modellering - Erfaringer fra et efteruddannelseskursus Tinne Hoff Kjeldsen IMFUFA, Institut for Natur, Systemer og Modeller, RUC. Konference om den nye skriftlighed i matematikundervisningen Matematiklærerforeningen og Institut for Naturfagenes Didaktik H.C. Ørsted Instituttet, KU, 15. april 2008

2 Disposition 1. Hvad er det for et kursus? Problemorienteret projektarbejde inden for matematisk modellering et kursus for matematiklærere på gymnasialt niveau. Morten Blomhøj og Tinne Hoff Kjeldsen, RUC. 2. To eksempler: Medicindosering og bakteriesuppe At sætte scenen for projektarbejdet Styring af processen undervejs (Pædagogisk observation udvikling af egen praksis) 3. Eksempler på forløb udviklet på kurset

3 Hvad er det for et kursus? Kursets formål er at kvalificere deltagerne til at anvende problemorienteret projektarbejde som pædagogisk metode i matematikundervisningen specielt med henblik på at kunne leve op til udfordringerne i reformen om: at arbejde med matematisk modellering, at arbejde projektorganiseret, at støtte progressionen i elevrollen og at bringe matematikfaget i samspil med andre fag i gymnasieforløbet. (Uvm, 2004) Kursusbevis 7.5 ETCS point; Kursusgebyr kr.

4 Hvad er det for et kursus? Struktur: 3-dages internat midtvejsmøde 2-dages internat D 28 Design af problemorienteret projektarbejde, afprøvning i egen klasse, rapport 3-dages internat (29. september 1. oktober, 2008): Teori: Problemorienteret projektarbejde Modelleringskompetence, oplæg om kompartmentsmodellering D 29 Praksis: Hvad er et godt problem, hvor kommer de fra? Styring, vejlederroller, pædagogisk observation Gruppearbejde udvikling af skitser til undervisningsforløb: Intentioner: egne og eleverne, elevoplæg, vejlederrolle, evaluering, observering Fremlæggelser og diskussion

5 Hvad er det for et kursus? Midtvejsmødet: 1-dag på RUC (december) støtte til afrapportering og evaluering 2-dages internat ( januar, 2009): Fremlæggelser og diskussion: Hvordan gik det så? Slut: Kompetenceindhold Eksemplaritet Forbedrings- og udviklingsmuligheder: pædagogisk og indholdsmæssigt Pædagogiske observationer diskuteres Konstruktiv kritik til rapportering af forløbene Publicering af rapporterne + elevoplæg på EMU

6 Hvordan sættes scenen? Hvad er det problemorienteret projektarbejde kan? Skabe motivation, der knytter sig til det faglige indhold Give mulighed for detalgerstyring Støtte udviklingen af elevernes autonomi og myndighed. Kriterier for det gode projektforløb Selvstændiggørelse af projektets problem Arbejdsdisciplin og godt samarbejde Fokus på de faglige problemstillinger og det faglige niveau Udfordring Skabe en ramme om projektarbejdet, der sætter eleverne fri til selv at køre med projektet, på en sådan måde at projektarbejdets pointer kan indfries. Det handler om at sætte scenen : Medicindosering og bakteriesuppe

7 Hvordan sættes scenen? Intentionerne for elevernes udbytte af projektet Hvad er det for indsigter og kompetencer som projektforløbet skal støtte udviklingen af? Prioritering og begrundelse af målene for elevernes udbytte. Hvilke specifikke faglige forståelser og indsigter skal projektet bibringe eleverne?

8 Hvordan sættes scenen? Design af forløbet Hvordan skal scenen sættes? Hvilke materialer skal eleverne have? Udvikling af problemformulering? Hvilke produktkrav skal der være? Fastlæggelse og formidling af evalueringskrav Vejledning og styring under forløbet. (Dialog, Facitliste )

9 Eks. 1: Medicindosering Intentionerne for elevernes udbytte at eleverne skulle arbejde over et længere tidsrum, hvor de selv skulle styre forløbet i et projektarbejde. at eleverne skulle arbejde med en større og mere uoverskuelig problemstilling, hvor de ikke i forvejen er blevet præsenteret for et standard-svar. at eleverne skulle lære at opstille en problemformulering. at eleverne skulle tage udgangspunkt i et problem i stedet for en opgave så selve modelleringen, matematiseringen og fortolkningen af resultaterne også blev en del af opgaven. D 28 at forstå hvad begrebet en matematisk model dækker over. at analysere en række data med henblik på at opstille en matematisk model at anvende kendte matematiske begreber som grafer og regneforskrifter i en konkret sammenhæng. at eleverne skulle trænes i at formulere matematiske problemstillinger til ikke-fagfolk. at eleverne i projektet i udstrakt grad skulle benytte IT

10 Eks. 1: Medicindosering Design af forløbet: 4 faser (1.5 modul) præsentation af problemet. Exel-kursus, netstudier, social kontrakt. Lynkursus i modelleringsprocessens elementer. (1 modul) Problemformuleringsfase og beslutning (3 moduler) Arbejde med hjælpespørgsmål (afleveres). (Vejledning og styring under vejs. (mat.+kom.)) (4 moduler) Arbejde med det egentlige projekt Materialer: Projektoplæg Problemstilling + data Rapporten (krav) Hjælpeopgaver (4 styk) Den skjulte lærerplan Elementer i projektarbejdet Faser i modelleringsprocessen Evaluering Exel-øvelser, den sociale kontrakt, p-hæftet (logbog og projektstyring).

11 Eks. 1: Medicindosering Produktkrav (Styringsredskab) I skal opstille en model for hele problemstillingen og aflevere en rapport skrevet til lægen, der tager fat på følgende spørgsmål: Hvordan falder koncentrationen i blodet som tiden går? Hvordan kan man planlægge en løbende medicinering med fast dosis D og fast tidsinterval T, så koncentrationen efter et par injektioner ligger indenfor 5-15 mg/l? Hvordan kan man planlægge en løbende medicinering med en startdosis og derefter en fast dosis D og fast tidsinterval T, så koncentrationen med det samme ligger indenfor 5-15 mg/l? Hvad skal man overveje inden man bruger denne medicineringsplan på en anden patient? Rapporten skal være skrevet i et letforståeligt sprog, og den skal først og fremmest give et klart billede af jeres konklusioner formidlet tydeligt og overskueligt. I et appendiks til rapporten vedlægges de mere matematiske overvejelser og gennemregninger, så det er muligt at kontrollere alle jeres påstande.

12 Eks. 1: Medicindosering Evaluering (Styringsredskab) Er sproget i rapporten forståeligt og præsentationen af problemet og løsningerne præsenteret i en overskuelig form. Er teksten i selve rapporten skrevet til en ikke-matematiker. (KOM) Er der brugt grafer til at anskueliggøre problemerne. (SPECIFIKKE) Er de mellemregninger, matematiske overvejelser og forudsætninger klart formuleret i appendikset. Kan man se, hvordan I er kommet frem til jeres resultater. Hvor avanceret er det niveau, opgaven er løst på? Er selve modelleringsprocessen tydelig: problem system matematisk problem matematisk løsning handlingsforslag. (MODEL)

13 Ex 1: Medicindocering Tid i timer Koncentration mg/l 0 10,0 2 7,0 4 5,0 6 3,5 Falder til det halve hver 4. time 8 2,5 10 1,9 12 1,3 14 0,9 16 0,6 18 0,5 Vejledning og styring undervejs: Dialog (Pædagogisk observation) E1: Vi kan se at den falder hele tiden, men den falder mindre og mindre. L : Hvaffor en? E1: Øh det må være koncentrationen af medicin. L : Ja. Er der noget system?

14 E2: Ja, den falder til det halve hver fjerde time. L: Ja. Den falder altså ikke med en fast størrelse, men hvad er det så der er fast? E1: Det er det den falder altså det vi ganger med. E3: Det må være procenten L: Falder den også med en fast procent, hvis vi kun ser på spring på 2 timer? E1: Den falder fra 10 til 7. Så der er altså 70% tilbage. L: Ja og når vi skal finde 70%, hvad er det så vi ganger med for at finde det? E1: Vi ganger med 0,7

15 L: Passer det at den fortsætter med at falde til 70%, når vi går videre? E2: Hvis vi ganger 7 med 0,7 så får vi 4,9 og det passer ikke! Det skulle give 5. E3: Det passer da fint. Det er jo næsten det samme! Det er bare afrundingsfejl. L: Hvis den også falder med en fast procent hver time, hvor mange procent skulle det så være, når den falder med 30% på to timer. E1: Det må være 15% L: Prøv at se om det passer. Hvad skal man så gange med for at få koncentration en time efter?

16 Resten fik fremskrivningsfaktoren 0,85

17 Eks. 2: Bakteriesuppe

18 Eks. 2: Bakteriesuppe Intentionerne for elevernes udbytte At udvikle elevernes forståelse af f som en væksthastighed. Det er velkendt at spørgsmålet: Hvor er væksthastigheden størst kan tage pippet fra selv fagligt stærke elever, så emnet er skam værd at se på. At udvikle elevernes generelle forståelse af funktionsbegrebet og at øve dem i at opstille funktioner, der opfører sig på en eller anden bestemt måde (voksende eller lineært aftagende f.eks.) At lære eleverne at anvende IT-værktøj til numerisk løsning af differentialligninger om end ordet differentialligning ikke behøver at optræde undervejs i forløbet. En integreret del af anvendelsen af IT-værktøj er at fortolke resultaterne i dette tilfælde en større samling kurver. At øve eleverne i parameterkontrol At udvikle elevernes modelleringskompetence, specielt at øve dem i at udvælge udtryk for væksthastighed, der afspejler deres forestillinger om den situation de ser på. Dette punkt er vigtigt! Anmoder man en tilfældig elev om at angive en simpel, voksende funktion vil resultatet i de fleste tilfælde være en lammende tavshed. At f(x) = a x + b for positivt a skulle være brugbar er bare for meget

19 Eks. 2: Bakteriesuppe Design af forløbet: Eleverne fik udleveret oplægget til gennemlæsning hjemme før start. Der blev på forhånd afsat skønsmæssigt 7 lektioner til projektet, som blev afviklet i et EDB-lokale med gode computerfaciliteter. Produktkravet var fungerende FPro-projekter samt et tekstdokument med beskrivende kommentarer. Udleveret materiale: Billede af glade børn i badebassin (Jyllands-Posten, den ) Den model for populationens vækst, der lægges op til, kan iflg. billedteksten beskrives ved, at én bakterie bliver til to på 20 minutter. Oplægget

20 Eks. 2: Bakteriesuppe Oplægget: Opstilling af en simpel model Lad os nu foretage et hovedspring ned i suppen, hvor vi i nogen detalje vil foretage en simpel modelopstilling. Vi forestiller os vi har en for bakterier næringsrigtig suppe. Antallet af bakterier kaldes N, hvor N naturligvis afhænger af tiden, t. Er N lille kan mængden af næring betragtes som uendelig. Vi vil gerne vide hvorledes antallet af bakterier udvikler sig i tiden. Den helt, helt, helt centrale størrelse er her væksthastigheden N. I matematisk set løs tale angiver N ændringen i antallet af bakterier per tidsenhed. Regner vi tiden i minutter og er N = 10 betyder det at antallet af bakterier vokser med 10 hvert minut. Denne meget kontante tolkning af N gælder kun hvis N er konstant, hvad den sjældent er men som tankefigur er tolkningen effektiv. Vi antog at bakterierne havde al den næring de havde behov for. Den simpleste model vi kan opstille for hvordan antallet af bakterier udvikler sig i tiden er at sige at væksthastigheden er proportional med det øjeblikkelige antal bakterier, altså at N = k N, hvor k er en konstant.

21 Eks. 2: Bakteriesuppe Udvidelser Mængden af føde er ikke ubegrænset. Antag at der tilføres en bestemt mængde føde per tidsenhed. Hvordan vil mængden af bakterier ændre sig i tiden? Antag at rensningsanlægget fjerner en bestemt brøkdel af bakteriebestanden per tidsenhed. Nogle bakterier udskiller giftstoffer. Tænk på en vinballon. Giftstoffet hæmmer gærcellernes formering. Man kan også sige at spritten slår en bestemt brøkdel af gærcellerne ihjel en brøkdel der selvfølgelig stiger med spritindholdet i ballonen.

22 Eks. 2: Bakteriesuppe Vejledning og styring undervejs: En slags facitliste Begrænset fødemængd: den relative væksthastighed aftager med populationens størrelse. Vi får N =(a b N) N, Med rensningsanlæg: N = (b-a N) N c N Vinballonen: der to størrelser at se på, antallet af mikroorganismer N og giftindholdet g i systemet. Går vi ud fra, at den enkelte mikroorganisme producerer gift med en konstant hastighed må der gælde: g = c N. En rimelig model for antallet af mikroorganismer er N = a N b g N. Her angiver parameteren b giftens giftighed (og betyder altså noget andet end før). Vi får altså et system af to koblede differentialligninger: g = c N og N = a N b g N Hvis giftstoffet er nedbrydeligt, skal modellen modificeres. Et godt forslag kunne se således ud: N = a N b g N og g = c N d g Hvis endelig fødemængden samtidig er begrænset, kan man forestille sig følgende model: N =(a e N) N b g N og g = c N d g

23 Udvikling af egen praksis: Pædagogisk observation I forhold til det faglige indhold i gruppernes arbejde: - er der en faglig dialog i gruppen? - fortager eleverne bevidste metodevalg? - formuleres faglige forståelsesproblemer? - specifikke observation af, hvordan gruppen håndterer bestemte begreber og metoder - hvordan fungerer samspillet med læreren? For at vurdere elevernes faglige læring og for at kunne udfordre deres begrebsforståelse og læringsstrategier

24 3. Eksempler på forløb udviklet på kurset Lav et gameshow til tv2-zulu! Systematik i solsystemet Udvikling i befolkningssammensætning - Befolkningspyramider YOUNG MOBILE A/S - Det optimale mobilabonnement Befolkningstal og indvandring i Danmark D 30 Investeringsteori Trafikmodellering over en bro og ved lyskryds Effektiviteten af Tangeværket

25 3. Eksempler på forløb udviklet på kurset Nedbrydning og udskillelse af narkotika Design og placering af et hus Design af en vodka-klovn D 32 Faldskærmsudspring D 33 Rapporterne findes på: Eller via

26 Referencer Blomhøj, M. (1993): Modellerings betydning for tilegnelsen af matematiske begreber. Nordisk matematikkdidaktikk,, 1 (1), Blomhøj, M. (2001): Hvorfor matematikundervisning? matematik og almendannelse i et højteknologisk samfund. I M. Niss (red.) Matematik og verden, s København: Fremad. Blomhøj, M., T. Højgaard Jensen, T. Hoff Kjeldsen and J. Ottesen (2001): Matematisk modellering ved den naturvidenskabelige basisuddannelse - udvikling af et kursus. Imfufa-tekst 402, Roskilde University, 2001 Blomhøj, M. (2003): Modellering som undervisningsform. I O. Skovsmose og M. Blomhøj (red.), Kan det virkelig passe?. Kapitel 4. København: L& R Uddannelse. Blomhøj, M. (2004): Mathematical modelling a theory for practice. In International perspectives on learning and teaching mathematics. National center for mathematics education, Göteborg University, Sweden, pp Blomhøj, M. & T. Hoff Kjeldsen (2006): Teaching mathematical modelling through project work - Experiences from an in-service course for upper secondary teachers. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38, 2, pp

27 Referencer der kan bruges i undervisningen Autentiske matematik anvendelser (1991): Autentiske matematik anvendelser. Matematiklærerforeningen. Blomhøj, M., T Hoff Kjeldsen and Johnny Ottesen (2004): BASE - et grundkursus i matematisk modellering 4. udgave, (del I-II og problemstillinger). Kan bestilles på imfufa@ruc.dk. Dejgaard, J. og C. Michelsen (2001): Trafikmodeller. Matematiklærerforeningen. Hjersing, N., P. Hammershøj Jensen og B. Jørgensen (2004): Modeller i Derive. Differentialligninger og modelbygning. Højt niveau i matematik. København: Matematiklærerforeningen. Thue Poulsen, E. (1997): Matematiske modeller. Matematisk afdeling.aarhus Universitet Blomhøj, M. (2006): Matematisk modellering. Kapitel i Matema10k T.Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen, Matematik for B-niveau. København: Frydenlund.

28 Søminestationen i Holbæk D 4

29 Modelleringsprocessens dynamik Virkelighed (f) Validering (a) Problemformulering Handling/erkendelse Interesse Undersøgelsesdomæne (e) Fortolkning og evaluering Teori (b) Systematisering Modelresultater Data Erfaring System (d) Matematisk analyse Matematisk system (c) Matematisering D 4 D 9 (Blomhøj & Kjeldsen, 2006)

30 Peter Skaarup,

31 En befolkningsmodel i Dynasys D 24

32 D 25

33

34 D 25