Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller"

Claus Damgaard
10 år siden
Visninger:

1 Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1

2 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen S() = N I() er modagelige for infekion. Går vi ud fra a væksen i analle af inficerede individer er proporional med analle af mulige møder IS = I(N I) mellem e inficere og e modagelig individ, så er di = αi(n I) d Men dee er lige neop ligningen for logisisk væks, så vi ved allerede a I = NI I + (N I )e Nα N = 1 + (N/I 1)e Nα hvor I er analle af inficerede individer il iden =. S αsi I 2

mellem e inficere og e modagelig individ, så er di = αi(n I) d Men dee er lige neop ligningen for logisisk væks, så

3 Eksempel 1 Med N = 1 = 1 3, α =, 1 = 1 4 og I() = 1 vil epidemien iflg. den simple model følge en logisisk kurve: Simpel epidemimodel, c=.1,n=1,i()= inf I() = e /1 Dee eksempel kan også ses i e Maple workshee på nee. 3

4 Opgave: En biologisuderende har 1 mus i e bur på kollegie. Til iden = får 1 af musene desværre en smisom sygdom. (De andre mus er raske, men modagelige for smie.) Til iden = 1 er 1 af musene smiede. Hvis der er ale om en simpel epidemimodel, hvor mange af musene er da smiede il iden = 2? (Eksamen, januar 1998, opg 3) Løsning: I denne simple epidemimodel er N = 1 og I() = 1 så I() = e 1α Vi besemmer konsanen α (eller reere e 1α ) ud fra oplysningen 1 = I(1) = e 1α som giver e 1α = De indsæer vi i formlen og får I() = som med = 2 giver I(2) = Smiede mus

Hvis der er ale om en simpel epidemimodel, hvor mange af musene er da smiede il iden = 2?

5 Eksempel 2 En populaion af N raske individer får besøg af 1 inficere individ. Hvordan går de med analle I() af inficerede individer i den oprindelige populaion? Løsning: Analle, 1+I, af inficerede individer ud af populaionen på N +1 individer er give ved 1 + I() = og derfor er I = (N + 1) (N + 1 1)e (N+1)α (N + 1) Ne (N+1)α 1 = N Ne (N+1)α 1 + Ne (N+1)α = N 1 e (N+1)α 1 + Ne (N+1)α = N e(n+1)α 1 e (N+1)α + N 5

Løsning: Analle, 1+I, af inficerede individer ud af populaionen på N +1 individer er give ved 1 + I() = og

6 Med N = 1 og α =, 2 får vi f.eks. I = 1 e11,2 1 e 11,2 + 1 der har grafen: x 6

7 Epidemimodel med karanæne I en populaion med N = S + I + R individer er S (suscepible) individer modagelige for smie, I (infeced) er inficerede og kan sprede smien, og R (removed) er i karanæne eller immune, de er inakive mh smie. Vi anager a ds d = αsi, di d = αsi βi, dr d = βi hvor α og β er konsaner. Den sidse ligning beyder, a væksen i analle af individer i karanæne er proporional med analle af frigående smiede individer. Den anden ligning udrykker, a væksen i analle af smiespredere bliver formindske med de individer, der sendes i karanæne. S αsi I βi R 7

Vi anager a ds d = αsi, di d = αsi βi, dr d = βi hvor α og β er konsaner.

8 Opfaer vi S() = R(S()) som en funkion af R, så siger kædereglen a ds ds dr = d = αsi dr βi d og derfor afhænger S = S exp( α β R) = α β S exponeniel af R. Indsa i den sidse ligning giver de dr d = βi = β(n R S) (N R S exp( αβ ) R) = β Denne ligning besemmer (i princippe) R og dermed I = N R S = N R S exp( α β R) i denne (Kermack-McKendrick, ca. 193) model. 8

Indsa i den sidse ligning giver de dr d = βi = β(n R S) (N R S exp( αβ ) R) = β Denne

9 Eksempel 3 Numerisk gennemregne eksempel på epidemimodel med karanæne. Epidemimodel, N=1, I()=1, R()=, alfa=.1,bea=.2,alpha/bea= inf Fjernede individer 8 6 fjerne

10 Reakionshasigheder Den generelle løsning il den separable differenialligning y = c(y A)(y B), A B, c, (1) er de konsane funkioner y = A, y = B sam y = A + B A 1 + Ce (B A)c Disse løsninger finder vi nemlig ud fra ligningen c d = 1 ( 1 B A y B 1 ) dy y A y() Vælger vi C = B A løsning får vi den parikulære y() = A e(b A)c 1 e (B A)c A/B med y() =. Den bruges i kemi il a beregne reakionshasigheder for den kemiske reakion P +Q Y. 1

d = 1 ( 1 B A y B 1 ) dy y A y() 2 1.5.5 1.

11 Hvis y() sår for analle af enheder af soffe Y il iden, så lever de relevane løsninger i område y() < A, B. Eksempel 4 Anag a der er A = 2 enheder af soffe A og B = 5 enheder af soffe B. Konsanen c, som måler reakionsvilligheden, er eksperimenel besem il c =, 2. Analle af Y -molekyler il iden er da 2 15 y 1 y() = 2 e6 1 e 6 2/ y()

Eksempel 4 Anag a der er A = 2 enheder af soffe A og B = 5 enheder af soffe B.

12 Opgaver il Lekion 1 1. I en populaion på 1 individer er 5 smiede il iden =. Til iden = 1 er 1 smiede. Hvornår vil der, iflg. den simple epidemimodel, være 9 smiede? 2. Vis a i Kermack-McKendrick modellen er flg. beingelser ækvivalene: 1. di d < 2. S < β α ( ) 3. R > β α ln α β S Gør rede for a hvis N = 1, I() = 1, R() =, α =, 1, β =, 2, så vil epidemien oppe, når der er S = 2 der er modagelige for smien. Hvad er R og I il de idspunk? 3. Løs differenialligningen dy = (2 y)(3 y). d 4. Lad y() være analle af enheder il iden af soffe Y under reakionen P +Q Y. Til iden = er der A = 2 enheder af P og B = 5 enheder af Q. Find en differenialligning for y(). Til iden = 1 er der 1 enheder af soffe Y. Besem y(). Hvor mange enheder af Y vil der være il iden = Find en differenialligning som beskriver analle, y(), af molekyler il iden af soffe Y under reakionen P +2Q Y. 6. I differenialligningen (1) anager vi a A B. Hvad sker der hvis A = B? 12

R > β α ln α β S Gør rede for a hvis N = 1, I() = 1, R() =, α =, 1, β =, 2, så vil epidemien oppe, når der er S = 2 der er modagelige for smien. Hvad er R og I il de idspunk? 3.

Relaterede dokumenter

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Kemiske reakionshasigheder Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel 1 Reakionshasigheder Den generelle løsning il den separable differenialligning