Differentialligninger
|
|
- Alfred Davidsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul
2 Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 1 4 UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 5 Bestem ligning for tangent nçr differentialligning er givet3 6 Eksempel pç brug af oplsningen i differentialligningen3 7 Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 4 9 Bestem låsningerne til en differentialligning 5 10 Bestem en låsning til en differentialligning nçr Én funktionsvärdi (Ét grafpunkt) er givet5 11 Bestem en låsning til en differentialligning nçr to funktionsvärdier (to grafpunkter) er givet 6 1 Opstil differentialligning Eksempel Opstil differentialligning Eksempel 6 14 Logistisk differentialligning 7 15 Beviser9 GÇ ind pç for at downloade neste version af dette häfte Differentialligninger for A-niveau i st, Ä 013 Karsten Juul Dette häfte kan downloades fra wwwmat1dk Det må bruges i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til kj@mat1dk som oplser at det bruges (skriv fulde titel og Årstal) og oplser hold, niveau, lärer og skole 9/5-013
3 1 OplÄg til differentialligninger En plantes håjde vokser sçdan at der pç ethvert tidspunkt t gälder at håjdens väksthastighed = håjden Dette kan vi skrive med smboler sçdan: Vi kan ogsç urkke dette ved at sige at i hvert punkt pç grafen er tangenthäldningen = -koordinaten Her har vi opstillet en differentialligning Ligningen er et eksempel pç en differentialligning For funktionen f ( ) 4e gälder at f ( ) 4e, sç f () opflder betingelsen for hvert Dette urkker vi ved at sige at f () er en låsning til differentialligningen eller at f () tilfredsstiller differentialligningen Vi ser at funktionen f ( ) e ogsç er en låsning Vi ser at differentialligningen har mange låsninger Smbolet betder det samme som d Differentialligningen kan ogsç skrives sçdan: d eller sçdan: f ( ) f ( ) Hvad er en differentialligning? En ligning er en differentialligning hvis den ubekene er en funktion og funktionens differentialkvotient indgçr En funktion er låsning til en differentialligning hvis funktionen opflder differentialligningen for hvert i funktionens definitionsmängde Differentialligninger for A-niveau i st Side Karsten Juul
4 3 UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 1 UndersÅg om funktionen f ( ) er en låsning til differentialligningen 1 Vi indsätter f ( ) for i 1 : ( ) ( ) 1 1 ( ) Da dette er san, gälder: f er låsning til differentialligningen 4 UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel UndersÅg om funktionen d 1 f ( ) ln er en låsning til differentialligningen Vi indsätter f ( ) ln for i 1 d ( ln ) ( ln ) 1 1 ( ln 1) ln 1 1 ln 1 ( ln 1) 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 : Da dette er san, gälder: f er låsning til differentialligningen Differentialligninger for A-niveau i st Side 013 Karsten Juul
5 5 Bestem ligning for tangent nçr differentialligning er givet En funktion f er låsning til differentialligningen d og grafen for f gçr gennem punktet P (3, 7) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P I punktet, ) (3,7) er tangenthäldningen a ( 1 1 d Tangenten i P : a 1 ) ( 3) 7 ( Eksempel pç brug af oplsningen i differentialligningen En funktion f er defineret for ethvert tal og er låsning til differentialligningen 1 d 1 GÅr rede for at f har et minimum I ethvert punkt (, ) pç grafen for f er tangenthäldningen Dette tal har samme fortegn som 1, 1 1 for 1 er altid positivt da et tal i anden ikke kan väre negativt 1 0 For 1 har låsningen 1 er 1 1, og for 0 er 1 1 TangenthÄldningen er altsç negativ for f er aftagende i intervallet 1 og positiv for 1 Heraf fålger at f har minimum for 1 og voksende i intervallet 1 1, sç Differentialligninger for A-niveau i st Side Karsten Juul
6 7 Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 1 Udviklingen i et rs vägt kan beskrives ved differentialligningen 0,08 16,, 0 t 9 hvor t er tiden mçlt i uger, og er rets vägt mçlt i gram Bestem väksthastigheden pç det tidspunkt hvor rets vägt er 180 gram Vi indsätter 180 for i differentialligningen: 0, , 16, 0, ,16 NÇr rets vägt er 180 gram, er väksthastigheden 11, gram pr uge Ovenfor låste vi en ligning ved at träkke samme tal fra begge sider Hvis vi i stedet vil bruge solve, kan vi taste 8 Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel En plantes håjde er en funktion af tiden der opflder differentialligningen dh 0,06 0, 93 t h hvor h er håjden mçlt i mm, og t er tidspunktet mçlt i dågn Det oplses at h ( 1) 3 Bestem väksthastigheden til tidspunktet t 1 Vi indsätter 1 for t og 3 for h i differentialligningen: dh 0,06 0,93 dh 0, Til tidspunktet t 1 er väksthastigheden 0,073 mm pr dågn Differentialligninger for A-niveau i st Side Karsten Juul
7 9 Bestem låsningerne til en differentialligning Bestem forskrift for låsningerne til differentialligningen 1, 3 Nspire låser ligningen mht funktionen og fçr låsningerne c e 1, 3 Vi tastede I stedet for c skriver Nspire c1 eller c eller c3 osv NÇr vi i c e 1, 3 erstatter c med et bestemt tal, fçr vi Én af låsningerne Hvis vi ved at ( ) 5, dvs at punktet (, 5) ligger pç grafen, sç kan vi bestemme c Dette kan vi gåre med metoden fra ramme 10, men vi kan ogsç blot sätte og 5 ind for og i c e 1, 3 og låse mht c : 5 c e 1,3 hvoraf c 3,7 0, e LÅsningen hvor ( ) 5, er altsç 0,50 e 1, 3 10 Bestem en låsning til en differentialligning nçr Én funktionsvärdi (Ét grafpunkt) er givet En funktion h er låsning til differentialligningen dh 0,5( h ) d og grafen for h gçr gennem punktet (, 1,6 ) Bestem en forskrift for h dh Nspire bestemmer forskriften for den låsning til 0,5( h ) hvor h( ) 1, 6 d h( ),67 1,84 4 og fçr Samme bogstav får h Vi tastede Samme bogstav Differentialligninger for A-niveau i st Side Karsten Juul
8 11 Bestem en låsning til en differentialligning nçr to funktionsvärdier (to grafpunkter) er givet En funktion p er låsning til differentialligningen dp k p Det oplses at nçr t 0 er p, og at nçr t 1 er p 1, 5 Bestem en forskrift for p Nspire bestemmer en forskrift for den låsning p til p( t) ( k) e t 1 Da p ( 1) 1, 5, er ( k ) e k 1, 5 Nspire låser denne ligning mht k og fçr k 1, 1 dp Den sågte forskrift er altsç p ( t) ( 1,1) e 1, 1, dvs t p ( t) 0,79 e 1,1 k t k p hvor p ( 0), og fçr Vi tastede og Brug to forskellige punkter (0, ) og (1, 1,5) 1 Opstil differentialligning Eksempel 1 En samling celler deler sig sçdan at samlingens vägt vokser med en hastighed der er proportional med samlingens vägt, og proportionalitetskonstanten er 0,0 PÇ et tidspunkt begnder samlingen at blive spist med en hastighed pç 1,4 gram pr dågn IndfÅr passende variable, og opstil en differentialligning der beskriver hvordan samlingens vägt nu Ändrer sig med tiden = tiden mçlt i dågn = samlingens vägt mçlt i gram Celledelingen fçr vägten til at stige med hastigheden 0,0 gram pr dågn Herfra skal träkkes 1,4 gram pr dågn 0,0 1,4 d 13 Opstil differentialligning Eksempel I hvert punkt pç grafen for en funktion f er der en tangent Tangentens häldningskoefficient er proportional med punktets -koordinat Proportionalitetskonstanten er 0,8 Opstil en differentialligning der har f som låsning TangenthÄldningen f () i et grafpunkt (, f ()) er lig 0,8 f ( ), sç f er låsning til differentialligningen f ( ) 0,8 f ( ) Differentialligninger for A-niveau i st Side Karsten Juul
9 14 Logistisk differentialligning 14a 14b 14c 14d Vi opstiller en differentialligning For en population af r er N(t) Det er oplst at populationen vokser sçdan at (1) antallet af r pç tidspunktet t uger väksthastigheden er proportional med produktet af antallet og differensen mellem 300 og antallet Ud fra (1) kan vi opstille en differentialligning: () N k N ( 300 N) Vi finder proportionalitetskonstanten Det er oplst at väksthastigheden er 0 pç det tidspunkt hvor antallet er 100 dvs (3) N 0 nçr N 100 Ud fra () og (3) kan vi finde proportionalitetskonstanten k : Antallet N(t) 0 k 100( ) k 0,001 er altsç en låsning til differentialligningen (4) N 0,001 N (300 N) Hvad er en logistisk differentialligning? Differentialligning (4) er af tpen k ( M ) En differentialligning af denne tpe kaldes en logistisk differentialligning Hvordan Ändres väksthastigheden? Af (4) fçr vi: NÇr N 30 er N 8, 1 NÇr N 70 er N 16, 1 NÇr antallet er 70, sç vokser det altsç hurtigere end nçr det er 30 Grunden er at så länge der er god plads, gälder at når der er flere r, vil der komme flere unger Af (4) fçr vi: NÇr N 60 er N 10, 4 Se figur Se figur NÇr antallet er 60, sç vokser det altsç langsommere end nçr det er 70 Grunden er at når der er mange r, er der mindre plads pr r, og så kommer der ikke så mange unger N ' = väksthastigheden N = antallet 300 N = differensen mellem 300 og antallet SkÄrmbillede fra TI-Nspire Differentialligninger for A-niveau i st Side Karsten Juul
10 14e Hvor stor er populationen når den vokser hurtigst? Vi vil finde ud af hvor stort antallet N er nçr väksthastigheden er stårst Vi skal altsç finde ud af hvad N skal väre for at fålgende urk er stårst: Se figur Vi fçr hast( N) 0,001 N (300 N) 0,3 N 0,001 N hast' ( N) 0,3 0, 00N sç hast' ( N) 0 netop nçr N 150 Da hast'( 100) 0, 1 og hast ( 00) 0, 1, er hast voksende i intervallet N 150 og aftagende i intervallet 150 N, sç stårste väksthastighed er hast ( 150), 5 NÅr antallet af r er 150, er väksthastigheden stçrst Den stçrste väksthastighed er,5 ' 14f 14g Vi finder forskrifter for lçsningerne til differentialligningen I formelsamlingen stçr at funktionerne (5) M 1 ce km t Af (5) fçr vi at funktionerne (6) er låsning til k ( M ) 300 N( t) er låsning til N 0,001 N (300 N) 0,3t 1 ce Vi finder den af lçsningerne der passer med populationen Det er oplst at til tiden t 0 er antallet N Dette indsätter vi i (6) og fçr 10 1 ce Antallet af r er altsç fastlagt ved (7) N( t) e 0,3t 0,30 dvs SkÄrmbillede fra TI-Nspire sç c 9 1 c 14h Hvad sker der med antallet i det lange lçb? Da 0,3t 9e er eksponentielt aftagende, er 9e 0,3t sç af (7) ser vi at N( t) nçr t er stor nçr t er stor Se figur AltsÇ er 300 den Åvre gränse for hvor mange r der er plads til Tallet 300 kaldes bäreevnen SkÄrmbillede fra TI-Nspire For en logistisk funktion hvor k ( M ), er M den Åvre gränse for, og M er stårrelsen af nçr er stårst Differentialligninger for A-niveau i st Side Karsten Juul
11 15 Beviser k k 15a HjÄlpesÄtning: e k e ' Bevis: For k e er den dre funktion ( e Differentialkvotienten af den dre er ), og den indre er k ( ) e, og differentialkvotienten af den indre er k, k ' ( k) k e e k k e sç differentialkvotienten af den sammensatte funktion er 15b SÄtning LÅsningerne til differentialligningen k er funktionerne ( ) BemÄrk at og at c e k pç k's plads i denne forskrift skal stç det tal der stçr pç k's plads i differentialligningen uanset hvilket tal vi skriver pç c's plads, sç fçr vi en låsning Det er altsç uendelig mange låsninger 1 del af beviset for sätningen For en funktion () med egenskaben k k e k k e k e Da e k e k k k er regel for at differentiere produkt k e k e da vi forudsatte at k 0 differentieret giver 0, mç c e Vi ganger begge denne lignings sider med k c e k k k k 0 da e e e e 1 k k e väre lig en konstant: og fçr Konklusion: Hvis en funktion () har egenskaben k sç har denne funktion en forskrift af tpen del af beviset for sätningen Vi indsätter k ( ) ce hvor c er et tal k c e for i ligningen k k k ce k ce Venstre side af ligningen giver k og fçr c k e Ligningen passer Konklusion: Funktionerne k ( ) c e har egenskaben k Differentialligninger for A-niveau i st Side Karsten Juul
12 B bevis 9 bäreevne 8 D differentialligning1 L logistisk 7, 8 låsning1,, 5, 6 O opstil1, 6, 7 P population 7, 8 proportionalitetskonstant 6, 7 T tangent3 tilfredsstille 1 V väksthastighed4, 7, 8
Differentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1
Læs meresammenhänge 2008 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...
Læs meresammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er
Læs mereIntegralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul
Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul Stikordsregister A areal5, 7, 9 areal mellem to graer 8, 9 arealunktion, 6 B bestemt integral5 bestemt integral med Nspire 5 bestemt integral uden hjälpemidler
Læs mereIntegralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul
Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereDifferentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul
Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....
Læs mereKort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul
Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs merefor C-niveau i stx 2017 Karsten Juul
for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal
Læs mereDifferentialregning. for B-niveau i hf Karsten Juul
Dierentialregning r B-niveau i h t s 0 Karsten Juul . Tangent g räringspunkt.... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient.... AlÅs tallet r pç igur... 4. AlÅs tallet ' r pç igur.... 5. AlÅs läsninger til =t pç
Læs mereGrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul
GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer
Læs mereDifferentialregning. for A-niveau i stx Karsten Juul
Dierentialregning r A-niveau i st t s 0 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient AlÅs tallet r pç igur 4 AlÅs tallet ' r pç igur 5 AlÅs läsninger til =t pç
Læs mereIntegralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l
Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mereDifferentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul
Dierentialregning r B-niveau i st udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra.... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden...
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereDifferentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul
Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereDifferentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul
Dierentialregning r A-niveau i st udgave 4 t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' nçr er tiden 5 Frtlkning
Læs mereMatBio. = r K xy, dx dt. = r xy. (2)
.1 Epidemier. En population (Storkøbenhavns befolkning, fiskene i et dambrug, en bakteriekultur,... ) rammes af en epidemi. Antag, at populationens størrelse er konstant individer. Heraf er individer inficerede
Læs mereOpstilling af model ved hjælp af differentialkvotient
Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereStart pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant
Intro til nspire_3d.tns Dokumentet nspire_3d.tns gär det meget hurtigere at tegne figurer til gymnasiets rumgeometri. Nyeste version kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Start pä ny 3D-figur 1)
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereIntegralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul
Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab
Læs mereDeskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul
Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereDifferentialligninger
Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 SkÄrmbilld fra TI-Nspir 017 Karsn Juul Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 1 Hvad r n diffrnialligning? 1a Indldning il diffrnialligningr 1 1b OplÄg 1
Læs mereTrekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul
Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereDifferential- regning for gymnasiet og hf
Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereTrekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul
Trekantsberegning for - og - niea i stx og hf dgae 3 l 34 8 016 Karsten Jl Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for inkler... 1. Omkreds, areal, häjde... 1.1 Omkreds... 1. Rektangel... 1.3 Kadrat... 1.4
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereQ (0, 1,0) MF(161): y a( x) y b( x) har løsningen: y e b( x) bx ( ) e dx e e dx e dx e. y e 8e. Delprøve uden hjælpemidler: kl
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler: kl. 9.. Opgave ( %) To planer er givet ved ligningerne: : z og : z5. a) Gør rede for, at de to planer er parallelle. De to planer er parallelle,
Læs mereDifferentialregning 2
Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereDifferentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.
Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f
Læs mereHvordan Leibniz opfandt integralregningen
Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.
Læs merefor gymnasiet og hf 2013 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 013 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige
Læs mereBetydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2
PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.
Læs mereIntegralregning ( 23-27)
Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner
Læs mereProcent og rente Karsten Juul
Procent og rente 2018 Karsten Juul 1. Procent 1.1 Oplæg til procent... 1 1.2 Udregn procent... 2 1.3. Udregn procent-ændring... 2 1.4 Udregn procent-fald... 3 1.5 Udregn procent-stigning... 3 1.6. Udregn
Læs mereDifferentialregning ( 16-22)
Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereMAT B GSK december 2008 delprøven uden hjælpemidler
MAT B GSK december 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Nedenstående diagram viser sumkurven F() for fordelingen af målte hastigheder højst 60 km/t. Bestem kvartilsættet (bent bilag ) og bestem hvor mange
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs merea) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :
Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres
Læs mereDeskriptiv statistik for hf-matc
Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereDifferentialkvotient bare en slags hældning
Differentialkvotient bare en slags hældning Et kort eksperiment som indledning til differentialregning Forfatter: Behrndt Andersen, Texas Instruments, behrndt@ti.com Matematisk område+niveau: Differentialregning
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereDifferentialligninger nogle beviser og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Differentialligninger nogle eviser og modeller Vi skal i dette lille tillæg give elegante eviser for de fuldstændige løsninger til følgende typer af differentialligninger:
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh10-mat/a-1608010 Mandag den 16. august 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereNogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul
Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...
Læs merefor gymnasiet og hf 2015 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 015 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereUNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN. Maten1atik A. Studenterel<sam.en. Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-14.
- UNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN Maten1atik A Studenterel
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereStart i cirklen med nummer 1 - følg derefter pilene:
Bogstaver Bogstavet a Skriv bogstavet a i skrivehusene: Farv den figur som starter med a: Bogstavet b Skriv bogstavet b i skrivehusene: Farv den figur som starter med b: Bogstavet c Skriv bogstavet c i
Læs mere