1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

Transkript

1 Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem kerne og srå Priselasicie Nedbrydning af organisk maeriale 5 Populaionsvæks Forurening af en sø x 5 7 Simpel model for epidemier SIR-modellen for epidemier 9 Svampesygdom i en planage Temperaursvingninger i jord. februar Dias / Dias / Tidsplan Indhold.5.5: Oplæg om maemaik i forskning og undervisning på LIFE.5 5.5: Oplæg om fysik i forskning og undervisning på LIFE : Gruppearbejde: Hvordan kan I benye de gennemgåede emner i jeres undervisning? 5.5.: Pause..5: Udveksling af konklusioner fra gruppearbejde De følgende slides viser en række maemaiske modeller fra undervisningen på LIFE Disse slides gennemgås relaiv hurig Derefer skal I i grupper diskuere, hvordan I kan benye de i jeres undervisning.5 7.5: Beskrivelse af e konkre undervisningsforløb i maemaik Dias / Dias /

2 Sofskife og kropsvæg hos paedyr Sofskife og kropsvæg hos paedyr (forsa) Dyr Flagermus Ørkenræv Næsebjørn Hyæne ænguru Jordsvin ropsvæg, Sofskife, S Spørgsmål Er sofskife proporional med kropsvægen? (De ser ikke sådan ud.) Undersøger de ved a udregne forholdene S : 7 5 S Dyr Flagermus Ørkenræv Næsebjørn Hyæne ænguru Jordsvin ropsvæg, Sofskife, S S onklusion 5 Jo sørre kropsvæg, jo sørre sofskife. onklusion Sofskife er ikke proporional med kropsvægen. Sofskife vokser langsommere end kropsvægen. Spørgsmål Hvordan kan man beskrive sammenhængen mellem sofskife og kropsvæg? Dias 5/ Dias / Ny ide Sofskife og kropsvæg hos paedyr (forsa) Udregner for hver dyr sørrelsen S.75 : Sofskife og kropsvæg hos paedyr (forsa) Målepunkerne sammen med grafen for S =..75 : 7 Dyr Flagermus Ørkenræv Næsebjørn Hyæne ænguru Jordsvin ropsvæg, Sofskife, S S S onklusion S.75. så S onsekvens af formlen S =..75 : Hvis kropsvægen fordobles, så ganges sofskife med Dias 7/ Dias /

3 Sofskife og kropsvæg hos paedyr (forsa) Vægforhold mellem kerne og srå Mysik Hvordan i alverden fand vi på a udregne S.75? Maemaisk model for poens væks: S = b a. Trick: Tag logarimen! lns = ln b+a ln (dvs. lns er en lineær funkion af ln ). Indegn målepunkerne (ln, ln S): Vårbyg grønhøses bl.a. med henblik på udnyelse som foder. Da næringsindholde er sørre i afgrødens kerner end i sråene, ønsker man a kende vægforholde mellem kerne og srå il e give idspunk ln S 5 ln På e idlig idspunk i væksperioden er der lang mere srå end kerne, men derefer vokser vægforholde mellem kerne og srå frem il afgrødens modning. Hvordan vokser vægforholde med iden? - - Vi vil opsille en maemaisk model il a beskrive problemsillingen. - Vha. lineær regression fås lns = ln. Omformes il S = (. var en afrundingsfejl.) Dias 9/ Dias / Vægforhold mellem kerne og srå (forsa) Vægforhold mellem kerne og srå (forsa) Målinger (foreage på Saens Forsøgssaion i Ødum) af kerne- og sråvæg for vårbyg. Væksens forløb Til a sare med vokser vægforholde S Derefer afager væksen. re krafig. S S /S... 5 I de lange løb lader vægforholde il a nærme sig en øvre grænse, der ligger e sed mellem. og.. Maemaisk model for væksen Væks af denne ype kan ofe beskrives vha. en logisisk funkion: y() = B +ce r. Her er B, r, c såkalde paramere der ilpasses efer siuaionen. Vi har y() B når så i de lange løb nærmer y() sig bærekapacieen B. Dias / Dias /

4 Vægforhold mellem kerne og srå (forsa) Vægforhold mellem kerne og srå (forsa) Tilpasning af modellen il målingerne Vi vil undersøge, om vores målinger y = S beskrives ved en logisisk funkion. af vægforholde kan Passer modellen med målingerne? Grafen for y() sammen med målepunkerne: Førs besemmes de værdier af paramerene B,r og c, der får den logisiske funkion y() il a semme beds mulig overens med målingerne. Dee gøres vha. en saisisk meode kalde mindse kvadraers meode. De bedse parameerværdier er B =., r =.5 og c = /S... Den logisiske funkion, der passer beds med målingerne, er derfor. y() = +.7 e..5 Dias / 5 onklusion Den logisiske funkion y() beskriver re god udviklingen af vægforholde. Dias / Vægforhold mellem kerne og srå (forsa) Omskrivning af logisisk funkion Vi vil besemme halvmæningskonsanen således a y( ) = B. Vi har y( ) = B ce r = c = e r = lnc. Dermed er r I vores ilfælde y() = B B B y() = = = +ce r +e r e r +e r( ) = ln så.5.. = +.7 e.5 +e.5( ) =. +e.5( 9.5) Vægforhold mellem kerne og srå (forsa) Forudsigelser om vægforholde vha. funkionen y() Ønsker a høse, når vægforholde er. besem så a y() =.: Løsning af denne ligning giver. +.7 e.5 =.... For a få e vægforhold på. skal man alså høse efer god dage. Forbindelse il differenialligninger Den logisiske funkion y() er endvidere løsning il den logisiske differenialligning dy ( = ry y ). d B Dias 5/ Dias /

5 Priselasicie p: Prisen på en vare. q: Eferspørgslen på varen. Opfaer q som funkion af p. Eksempel q = e p. Lille signing p i prisen Priselasicieen Mere præcis: lille negaiv ændring q i eferspørgslen Forholde mellem de relaive ændringer: ε q/q p/p ε = dq dp p q Eksempel For q = e p er ε = p. = q p p q (> ) = p q (p) q(p) Priselasicie (forsa) Omsæning Fører øgede priser il øge omsæning = pris eferspørgsel? O(p) = p q(p) så ( ) O (p) = q(p)+p q (p) = q(p) +q p (p) q(p) = q(p)( ε) Ændring i omsæning ε < O (p) > så omsæningen vokser når prisen siger. ε > O (p) < så omsæningen afager når prisen siger. Eksempel For q = e p : For p < vil omsæningen vokse når prisen siger. For p > vil omsæningen afage når prisen siger. Dias 7/ Dias / Nedbrydning af organisk maeriale Observaion Den procendel P af en mængde organisk maeriale, der er ilbage il iden (mål i dage): P = e k hvor parameeren k (nedbrydningsraen) afhænger af nedbrydningsforholdene. Nedbrydning af organisk maeriale (forsa) Forklaring Nedbrydningen foregår med en hasighed, der er proporional med mængden af de organiske maeriale. Derfor vil der i e lille idsrum af længde (fra il + ) nedbrydes kp (procen) af maeriale. Maeriale Nedbrud P kp Procen k=. k=.5 P Ændring: P = kp dvs. = kp dp Fører il differenialligningen = kp med P() = d Løsning: P() = e k Dias 9/ Dias /

6 Populaionsvæks Befolkningsalle i USA i perioden 79- vokser eksponeniel: Populaionsvæks (forsa) N() =.9 e.( 79) (i mio.) 9 Hvorfra kom differenialligningen dn d =. N? Problemformulering: Anagelser Om en befolkning anages de a fødselsraen er konsan, dødsraen er konsan. Forklaring Skyldes a befolkningsalle opfylder differenialligningen dn =. N d Spørgsmål Hvordan udvikler befolkningens sørrelse sig med iden? Meode Vi vil undersøge dee ved brug af maemaisk modellering. (væksrae %) og begyndelsesbeingelsen N(79) =.9. Tilsvarende i Danmark Væksrae % dvs. dn d =. N i Dias / Dias / N: Befolkningen il iden f : Fødselsraen δ: Dødsraen : Lille idsrum fra il + Populaionsvæks (forsa) Nyføde fn Neoændring: N = (f δ)n dvs. differenialligningen: Fuldsændig løsning: Forolkning af resulae: dn = (f δ)n d N() = ce (f δ) Befolkningen Befolkning N Døde δn N = (f δ)n vokser eksponeniel, hvis fødselsraen er sørre end dødsraen, afager eksponeniel, hvis de modsae er ilfælde. Populaionsvæks (forsa) Befolkningsalle i USA vokser ikke eksponeniel efer. Derimod kan de i perioden 79-9 beskrives ved den logisiske funkion: 7 N() = +7 e.( 79) (med bærekapacie 7 mio.) Forklaring Befolkningsalle opfylder den logisiske differenialligning ( dn =. N N ) d 7 og begyndelsesbeingelsen N(79) =.9 Efer 9 Baby-boom! Dias / Dias /

7 Forurening af en sø Forurening af en sø (forsa) Problemformulering: En sø ilføres gram/s af e sof Søens volumen er m Gennemsrømningen er m /s Til = : 5 gram af soffe i søen Maemaisk beskrivelse og analyse af modellen: M = M() er mængden af soffe il iden. I idsrumme fra il + : Sof ind Sø Sof ud Sof ind: g/s Sø m Vand ud: m /s Neoændring = sof ind sof ud: M M Vand ind: m /s M Leder il differenialligningen = M = (.M) Spørgsmål Hvad sker der i de lange løb med mængden af soffe i søen? Hvem vinder : forureningen eller gennemsrømningen? dm d =. M =. M + Dias 5/ Dias / Forurening af en sø (forsa) Simpel model for epidemier dm =. M + d Fuldsændig løsning M() = +c e. (c R) Anagelser : N = N(): om smieraen dn d : Befolkningens sørrelse Anal smiede il iden Sarværdien M() = 5 giver M() = 5 e. dn d er proporional med N (analle af smiede) [Sygdommen breder sig langsom, så længe der kun er få smiede] 5 M5 5 Forolkning af resulae: M() vokser og nærmer sig med iden gram ( gram/m ) dn d Fører il er proporional med N (analle af ikke-smiede) [Sygdommen breder sig langsom, når der kun er få ilbage, som ikke er smiede] ( dn = an( N) = an N ) ( = rn N ) d (med r = a ) dvs. en logisisk differenialligning med bærekapacie. Dias 7/ Dias /

8 Simpel model for epidemier (forsa) Løsning il differenialligningen N() = +ce r onsanen c kan besemmes, hvis man (f.eks.) kender analle af smiede il iden =. Influenzaepidemi = : med r =.5 i en populaion på med smiede il N() = +999 e.5 SIR-modellen for epidemier En model for sygdomsudbredelse i en befolkning Til idspunke : S : Anal modagelige ( suscepible ) I : Anal smiede ( infeced ) R : Anal helbrede og dermed immune ( recovered ) Bevægelse mellem de grupper fra id il id + Anal modagelige, der bliver smiede: as I (proporional med både S og I ) Anal smiede, der bliver helbrede: bi (proporional med I ) omparmendiagram N S I R as I bi 5 7 Dias 9/ Dias / SIR-modellen for epidemier (forsa) SIR-modellen for epidemier (forsa) SIR-modellen Grafisk angivelse af udviklingen S = 99, I = og R = : Fremskrivning E aleksempel S + = S as I I + = ( b)i + as I R + = R + bi Beregne udviklingen med iden ud fra en sarpopulaion Med a =.5 og b =. fås (afrunde il hele al) 5 99 S I 9 R onklusion I de lange løb sabiliserer fordelingen sig: Ingen smiede, 9 bliver aldrig smie mens resen har være smie, men er bleve helbred. Modagelige Smiede Helbrede 5 Dias / Dias /

9 SIR-modellen for epidemier (forsa) Grafisk angivelse af udviklingen S =, I = og R = : Modagelige Smiede Helbrede SIR-modellen for epidemier (forsa) Mange varianer af SIR-modellen, f.eks. SIS: Ingen immunie, kan blive rask (I S) SI: Ingen immunie, kan ikke blive rask SIRS: Immunie forsvinder med iden (R S) MSIR: Babyer er immune over for mange sygdomme de førse par måneder ( maernally derived immuniy ) Modeller der inddrager dødelighed 5 Forklaring Man kan vise, a I er afagende, hvis S b a Værdien b a kaldes af denne grund ærskelværdien for epidemien. Dias / Dias / Svampesygdom i en planage Oplysninger ræer i al. Træerne deles op i raske og syge 9% af de raske ræer er raske åre efer, mens % af dem er syge 7% af de syge ræer er raske åre efer, mens % er syge Svampesygdom i en planage (forsa) E aleksempel raske og syge il a sare med. Åre efer Raske:.9+.7= Syge:.+.= Rask E år 9% 7% Åre efer Rask Åre efer igen Raske:.9+.7= Syge:.+.= 9 Syg % % Syg E ande aleksempel raske og syge il a sare med. Åre efer Raske:.9+.7= Syge:.+.= så anallene ændrer sig ikke il åre efer. Spørgsmål løb? Hvad sker der med anallene af raske og syge ræer i de lange Planagen siges da a være i ligevæg. Dias 5/ Dias /

10 Svampesygdom i en planage (forsa) Formler for anallene af raske og syge ræer r = analle af raske ræer i år s = analle af syge ræer i år Så har vi: r + =.9 r +.7 s s + =. r +. s Temperaursvingninger i jord Temperaur i overfladen ( er iden i måneder; 5. april = ): Temperaur i meers dybde: T () = + sin ( π ) T () = ( π +5. sin.) = ( π +5. sin (.7)) 5 Dee kan kor skrives (r+ s + ) = ( hvor (.9 ).7.. )( r er en såkald marix, der indeholder al informaion om modellen. s ) T Overfladen meers dybde To fænomener Mindre udsving i meers dybde. Temperauren i meers dybde er desuden forskud ( forsinke ). måned i forhold il emperauren i overfladen. Dias 7/ Dias / Idé Temperaursvingninger i jord (forsa) Samle udrykkene for T () og T () il en funkion af o variable: T(,x) = +e. x sin( π. x) Temperaursvingninger i jord (forsa) -dimensionel graf af emperaursvingningerne (med emperauren i dybderne x = og x = indegne) hvor er iden i måneder; 5. april svarer il = x er dybden mål i meer; jordoverfladen svarer il x = Bemærk T(,) = T () T(,) = T () x Dias 9/ Dias /

11 Temperaursvingninger i jord (forsa) Hvornår og hvor i jorden er emperauren grader? Grafisk illusraion: x =.7 x eller =.7 x + En mere generel model Paramere Temperaursvingninger i jord (forsa) M: åres middelemperaur T(,x) = M + A e kx sin ( π kx) A : emperaursvingningens ampliude (maksimale udsving) ved overfladen k: emperaurkonsanen (afhænger af jordens sammensæning) Bemærk ampliuden i dybden x er A e kx dvs. den afager eksponeniel med dybden x. Dias / Dias /