. k er en konstant. Endvidere antages det i d), at gx ( 0) 0. I e) antages det, at f er differentiabel i x 0 og g er differentiabel i y 0

Transkript

1 0BRgnrglr for ubstmt intgralr I dtt lill tillæg skal vi s på n sætning, som angivr d rgnrglr, dr gældr for ubstmt intgralr (intgralr udn grænsr), samt giv t bvis for sætningn. Da vi i bvist skal gør brug af d tilsvarnd rglr for diffrntialkvotintr, så anførs d først udn bvis. BSætning (Rgnrglr for diffrntiabl funktionr) I - antags dt, at funktionrn f og g r diffrntiabl i 0. k r n konstant. Endvidr antags dt i, at g ( 0) 0. I ) antags dt, at f r diffrntiabl i 0 og g r diffrntiabl i y 0 = f( 0 ). Md diss antaglsr r f + g, k f, f g, f g og f g diffrntiabl md følgnd diffrntialkvotintr: ( f + g)( ) = f ( ) + g ( 0 ) ( k f)( ) = k f ( ) b) ( f g)( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ) c) f f ( 0) g( 0) f( 0) g ( ) ( 0 ) 0 = g ( g ( 0)) ( f g)( ) = f ( g( )) g ( 0 ) ) 0 4BBmærkning Md ord sigr sætningn følgnd: Man diffrntirr n sum af to funktionr vd at diffrntir funktionrn hvr for sig og lægg sammn. b) Når man gangr n proportionalittsfaktor k på n funktion f, så kan dns diffrntialkvotint fås vd at sætt proportionalittsfaktorn k udnfor. c) Diffrntialkvotintn af t produkt af to funktionr fås som dn først funktion diffrntirt gang md dn andn funktion uændrt plus dn først funktion uændrt gang dn andn funktion diffrntirt. ) Diffrntialkvotintn af n sammnsat funktion fås som dn ydr funktion diffrntirt md dn indr funktion indsat gang dn indr funktion diffrntirt. 5BDfinition Funktionn F( ) sigs at vær n stamfunktion til funktionn f ( ), hvis F = f. Md dt ubstmt intgral af n funktion f ( ) vil vi forstå n vilkårlig valgt stamfunktion til f ( ). 6BSætning 4 Givt to diffrntiabl funktionr og F. Da gældr: F Dr finds n konstant k, så F = F + k F = F

2 Erik Vstrgaard Bvis: Vi visr først sætningn mod højr ( ) : F = F + k = F + k = F + 0 = F Drnæst sætningn mod vnstr ( ): Hr må vi vid, at diffrntialkvotintrn r ns. Indfør n hjælpfunktion h = F F. Vi diffrntirr hjælpfunktionn: h = F F = F F = 0 En diffrntiabl funktion, som r dfinrt på hl R, og som ovralt har diffrntialkvotint 0, kan kun vær konstant (Ovrvj f grafns mulig udsn. Dr finds altså n konstant k, så h = F F = k,dvs. F = F + k. Sætning 4 godtgør, at hvis n funktion r stamfunktion til n givn funktion, så r nhvr funktion, som frmkommr vd at lægg n konstant til dn oprindlig stamfunktion, også n stamfunktion. Sætning 4 fra højr mod vnstr fortællr også, at dr ikk r andr stamfunktionr! Nu til rglrn for ubstmt intgralr. 7BSætning 5 (Rgnrglr for ubstmt intgralr) I og b) antagr vi, at f og g r kontinurt funktionr. k r n konstant. I c) og antags dt, at g r diffrntiabl md kontinurt afldt samt at f r kontinurt. Da gældr: f + g d = f d + g d b) k f d = k f d c) f g d = F g F g d f( g) g d = F( g) = f( t) dt t = g Bvis for sætning 5: Af dfinitionn på dt ubstmt intgral, sr vi, at dt r tilstrækklig at vis, at hvis man diffrntirr højrsidn i ligningn, så får man intgrandn på vnstr sid, altså indmadn af intgralt på vnstr sid. Vi gør undrvjs brug af rglrn for diffrntiabl funktionr, angivt i sætning. ( f d + g = ( f + ( g = f + g ( k f = k ( f = k f ( F g F g = ( F g ) ( F g b) c) = F g + F g F g = f g F( g) = F ( g) g = f( g) g

3 Erik Vstrgaard BStamfunktionr til standardfunktionr n f ( ) F( ) k, n k n + n+ ln( ) a k ln( k k a sin( ) cos cos( ) sin( ) ln( ) ln 8BEksmpl 6 For at find n stamfunktion til funktionn f = 4 +, bnyttr vi tablln ovnfor samt rgnrgl og b) fra sætning 5. Vi får: 4 + = 4 + = 4 + d d d d d = 4 + = + 9BEksmpl 7 Vi ønskr at bstmm n stamfunktion til sin. Dt r oplagt, at vi hr må gør brug af rgl c) i sætning 5. Dn kalds også for partil intgration: sin d = ( cos) ( cos) d = cos + cos d = cos + sin Bmærk, at man i formln for partil intgration får t nyt intgral at løs på højr sid. Dt skull grn vær nmmr at løs nd dt intgral, vi startd md. Drfor r dt vigtigt, at man vælgr f ( ) og g( ) fornuftigt. Hr sætts f = sin og g =, for på højr sid skal vi diffrntir g( ), og dt givr jo g =. Samtidigt har vi F = cos. 0BEksmpl 8 Vi vil bstmm n stamfunktion til funktionn 8 +.

4 4 Erik Vstrgaard Dt visr sig, at dr ikk r nogt håb i at forsøg at løs opgavn vd hjælp af partil intgration (rgl c)), for dr r t problm md dn sammnsatt funktion +, uanst om vi kaldr dn for f llr g. Drimod kan rgl, også kaldt intgration vd substitution, anvnds. Man sr nmlig, at hvis man diffrntirr indmadn +, så får man næstn dt, dr står foran kvadratrodstgnt dr skal blot justrs lidt md n konstant. Hvis vi drfor sættr f ( y ) = y og g = +, har vi F( y) = y (s ksmpl 6) og g = 4, hvorvd f ( g ) g = ( + ) 4. Højrsidn i formln blivr F( g) = ( + ). Alt i alt: g f ( g) F( g) d = 4 + d = ( + ) = ( + ) 6BAltrnativ løsningsmtod Man kan undrtidn mist ovrblikkt i ovnstånd, så n altrnativ måd r at indfør n ny variabl t. Dt skal hr vær problmbarnt undr kvadratrodstgnt: t = g = +. Hraf dt = g d = 4 d, hvorvd d = dt. Vi får: d = 8 t ( ) 4 dt = t dt = t = t = Bmærk, at vi skal tilbag til dn oprindlig variabl til sidst. Variabln t var blot n hjælp til at komm frm til rsultatt. BBmærkning 9 Dt skal nævns, at vi kun var i stand til at bstmm intgralt i ksmpl 8, fordi diffrntialkvotintn af dn indr funktion, bortst fra n justringskonstant, også figurrr i intgralt. Havd sidstnævnt ikk vært dr, vill intgralt bliv langt sværr at løs. Dt kan for ksmpl nævns, at + d = + + ln + + I dtt tilfæld skal dr hlt andr mtodr til, som vi ikk kan komm ind på hr. I andr tilfæld kan dt ubstmt intgral slt ikk angivs vd d standardfunktionr, man kndr, og så må man oft ty til n numrisk (tilnærmt) løsning. Dt r altså langt sværr at bstmm intgralr nd dt r at bstmm diffrntialkvotintr. BEksmpl 0 Find n stamfunktion til cos( + 6). Sæt g = + 6. Dn indr funktion diffrntirt givr g =, som ntop r dt, dr står foran. Drfor r vi på hjmmban og kan bnytt sætning 5. Sæt f ( y) = cos( y), så F( y) = sin( y). Da havs: cos( 6) sin( 6) + d = + g f ( g) F( g)

5 Erik Vstrgaard 5 BOpgavr BOpgav Bstm følgnd intgralr: b) (6 4) d 4 d c) d (8 ) d 4BOpgav Bstm følgnd intgralr: d b) cos d c) d. Hjælp: Bnyt sætning 5c) to gang ( + ) d 5BOpgav Bstm følgnd intgralr: d b) sin( + 7) d 4 c) ( ) d d ) 4 d + f) cos d g) h) 0 (5 + 4) d + d