Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012

Transkript

1 Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner: a) fz) = z z 2 z) 5 b) fz) = sin z z Angiv ordenen på eventueller poler eller om singulariteterne er essentielle. a) pol af orden 2 for z = 0 og af orden 5 for z =. b) Ingen singulariteter i den endelige komplekse plan. Hævelig singularitet for z = 0. Opgave 2 Find Laurantrækkerne omkring punkterne z 0 for funktionerne a) fz) = z 2) sin ) z+, hvor z0 = b) fz) = z z 2)z+), hvor z 0 = 2 a) fz) = = ) ) 5 + z + ) z +!z + ) + 5!z + )... 5 ) 5 + z + ) 2n + )!z + ) 2n+ b) fz) = 2 z z 2 ) n= 5 n Side af 5

2 Opgave Beregn integralet z z 2) dz langs en cirkel i den komplekse plan med radius r = 4 og centrum i z = 0. Man ser at integralet har en pol af orden i z = 0 og en simpel pol i z = 2. De tilsvarende residuer findes og er Res z=2 = /8 og for z = 0 findes residuet lettest ved en ekspansion z z 2) = 2 z hvoraf man kan aflæse Res z=0 = /8. Dvs. Opgave 4 z 2 ) dz = 2πi/8 /8) = 0 z z 2) Udregn følgende integrale ved kontourintegration i den komplekse plan 2π cos θ + 2 sin θ dθ, Man omskriver sin θ = z /z) og cos θ = z + /z) samt benytter at dθ = dz/iz) 2i 2 og får derved følgende integrale over enhedscirklen i i)z 2 + z + + i dz Polynomiet i nævneren har rødderne z = + i) og z 2 = + i)/2. Kun den ene rod z 2 er inden for enhedscirklen og det tilsvarende residue er i. Dvs. integralet antager værdien: 2π dθ = 2πi i) = 2π cos θ + 2 sin θ Side 2 af 5

3 Opgave 5 Benyt et passende valg af kurveintegraler i den komplekse plan til at finde den principale del principal value) af integralet sinax) dx x Bemærk at integralet egentlig ikke har nogen singularitet for x = 0 og den principale del af integralet er derfor lig det sædvanlige uegentlige integrale. Men vi benytter alligevel omskrivningen sinax) = Imexpiax)) og bemærker, at expiaz)/z nu har en simpel pol for z = 0. Vi finder for a > 0 ved en kontourintegration ud i den komplekse plan og uden om polen i z = 0, at expiaz) P dz = iπ z Bemærk at vi her benytter Jordans lemma. D.v.s. Tilsvarende regnes integralet for a < 0. Opgave 6 Find rækkeudviklingen af funktionen sinax) dx = Imiπ) = π x for følgende tre tilfælde fz) = z2 z + 2 z ) a) z < b) < z < c) z > Besvarelsen følger besvarelsen af den tilsvarende opgave i eksamenssættet for 20. Vi får a) fz) = z 2 z n 2 z Side af 5

4 b) c) fz) = z fz) = z z n 2 z n + 2 z z z Opgave 7 Skriv funktionen fx) = x + x 2 defineret på intervallet x som en række af Legendrepolynomier, d.v.s. find koefficienterne a l i fx) = a l P l x) l=0 Ved inspektion ses at x 2 = 2 P 2x) + P 0x) og x = 2 5 P x) + 5 P x), dvs. fx) = 2 P 2x) + P 0x) P x) + 5 P x) Opgave 8 Benyt Laplacetransformationen til at løse følgende ligning dut) dt + βut) cosωt) = 0, når u0) = u 0 og hvor β, ω og u 0 er konstanter. Du kan bruge direkte, at Laplacetransformationen af cos ωt er s/s 2 + ω 2 ). Efter Laplacetransformationen fås: ūs) = u 0 s + β + s s + β)s 2 + ω 2 ) Man tager du den inverse Laplacetransformation på begge led og får for første led, at L u 0 s + β = u 0 exp βt) For det næste led findes poler for s = ±iω og s = β og derved kommer man frem til udtrykket: Side 4 af 5

5 L s s + β)s 2 + ω 2 ) = β β cos ωt + ω sin ωt exp βt) + β 2 + ω2 β 2 + ω 2 Dvs. den samlede løsning er Opgave 9 ut) = u 0 exp βt) + β β cos ωt + ω sin ωt exp βt) + β 2 + ω2 β 2 + ω 2 Find en konform afbildning z = φw) som afbilder mængden M af punkter r expiθ), hvor r > 0 og 0 < θ < π/, over på den øvre halvplan Im z > 0). Benyt denne afbildning til at finde et potentiale u på M, som er nul langs kanten af M, dvs. langs den positive reelle akse og langs linien r expiπ/) for r > 0. Bemærk at et potentiale som sædvanlig opfylder Laplaceligningen og at det i den øvre halvplan kan skrives på formen ux, y) = ky, hvor k er en konstant. Den korrekte afbildning som afbilder det nævnte domæne over på den øvre halvplan er φω) = ω. Dette ses ved, at φ afbilder linien givet ved ω = r expiπ/) for r > 0 over på φr expiπ/)) = r og linien ω = r expiπ/) over på φr) = r. Det bemærkes, at alle punkter mellem de to linier også afbilder til den øvre halvplan tjek om det passer). Det tilsvarende potentiale u på M er så givet ved u = kreiz) = kreiφω)) = kreiω ) I polære koordinater antager potentialet formen: u = kreiω ) = kr sin θ Dette potentiale er nul for θ = 0 og θ = π/, hvilket svarer til de to sider på domænet M. Side 5 af 5