Tilstandsligningen for ideale gasser

Transkript

1 ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen Eksempler og opgaver Daltons lov assefylde for gasser...7

2 ilstandsligningen for ideale gasser /8. Udledning af tilstandsligningen Vi har i de foregående kapitler beskrevet gassers opførsel ud fra nogle simple forsøg, og på eksperimentelt grundlag udledt Boyle ariottes lov: Vk, (hvor er gassens tryk, V er gassen rumfang og k er en konstant), og som beskriver isoterme ændringer af en ideal gas, samt Gay-Lussacs. lov: k, (hvor er gassens tryk, er gassens absolutte temperatur og k er en konstant), og som beskriver trykkets afhængighed af temperaturen, for fastholdt rumfang V. Gasser, der opfylder Boyle ariottes lov og Gay-Lussacs. lov, kaldes for ideale gasser. De fleste gasser som f.eks. O, H, N og CO opfører sig med stor tilnærmelse som ideale gasser i de tryk og temperaturområder, hvor de ikke fortættes til væsker. Vi tænker os nu, at vi har indespærret en gas i cylindrisk beholder, der er forsynet med (gnidningsfrit) forskydeligt stempel, som vist på figur (5.). Gassens tilstand er bestemt ved dets rumfang V, dets temperatur og dets tryk. Rumfanget reguleres ved at forskyde stemplet, og man kan tænke sig at beholderen er i forbindelse med en termostat, så gassens temperatur kan holdes konstant. I tilstand (a) er trykket, rumfanget er V, og temperaturen er. Ved at skrue op for termostaten, hæves gassens temperatur til, mens rumfanget fastholdes på V. rykket vil da forøges til, hvor kan beregnes ud fra Gay-Lussacs lov: 0 ( 73 ) I tilstand (b) fastholder vi temperaturen, mens rumfanget ændres fra V til V, f.eks. ved at trykke stemplet ind. Herved ændres trykket fra til. ilstand (c). rykket kan beregnes ud fra Boyle- ariottes lov, idet: V I denne ligning, indsætter vi så udtrykket for fra tilstand (b). Heraf fås: (5.) V (Én form af tilstandsligningen)

3 ilstandsligningen for ideale gasser 3/8 Den sidste ligning udtrykker åbenbart, at brøken Og vi slutter derfor, at for en indespærret gas er er uafhængig af gassens tilstand. c, hvor c, er en konstant, der kun kan af- hænge af gassens art og af mængden af gas. I kemien måler man stofmængder i mol, idet (5.) mol 6, molekyler (Avogadros tal) Det er klart, at ved samme tryk og temperatur, må rumfanget V være proportional med mængden af gas. mol må nødvendigvis fylde det dobbelte af mol, ved samme tryk og temperatur. For fastholdt tryk og temperatur, er venstre side af ligningen c derfor proportional med stofmængden, heraf følger at også konstanten c er proportional med stofmængden. Da vi måler stofmænger i mol, kan vi derfor skrive: c n R, hvor n betegner antallet af mol i gassen. R er en ny (natur)konstant, der ifølge det foregående kun kan afhænge af gassens sammensætning. Fra kemien ved vi imidlertid, at der gælder Avogadros lov Lige store rumfang af forskellige gasser indeholder ved samme tryk og rumfang det samme antal molekyler, og dermed samme antal mol Konstanten R, kan kun afhænge af gassens sammensætning, men det er en konsekvens af Avogadros lov, at den er uafhængig af gassen art, så R er derfor en universel naturkonstant, som kaldes for gaskonstanten. Indsættes c n R i ligningen c, finder man nedenstående sammenhæng mellem tryk, rumfang V, antal mol n og temperatur for en vilkårlig (ideal) gas. (5.3) n R n R Ligningen (5.3) kaldes for: ilstandsligningen for ideale gasser. Det er den helt centrale lovmæssighed for gassers fysiske forhold. Af tilstandsligningen følger at SI enheden for gaskonstanten er (N/m )m 3 /(mol K) J/(mol K). Anvendes derimod enheden atm for tryk, og l (liter) for rumfang, bliver enheden for gaskonstanten l atm/(mol K). Værdien af gaskonstanten i disse to enheder er: J l atm (5.4) R 8, 3 R 0, 08 mol K mol K

4 ilstandsligningen for ideale gasser 4/8. Konsekvenser af tilstandsligningen ilstandsligningen har naturligvis som konsekvens de gaslove, som vi har anvendt til udledningen, men som en yderlige konsekvens kan man udlede Gay-Lussacs.lov. For fastholdt temperatur : (6.) n R konstant (Boyle-ariottes lov) For isoterme ( konstant) ændringer, er produktet af tryk og rumfang V konstant. For fastholdt rumfang V: (6.) n R k ( kons tant) k V (Gay-Lussacs. lov) For fastholdt rumfang, er trykket ligefrem proportional med den absolutte temperatur. For fastholdt tryk (6.3) V n R k ( kons tant) V k (Gay-Lussacs. lov) Gay-Lussacs. lov udsiger at for fastholdt tryk (en beholder med et løst gnidningsfrit stempel), vokser rumfanget proportionalt med den absolutte temperatur. I mange tilfælde, anvendes tilstandsligningen, idet man opskriver sammenhængen mellem tilstandsvariablene, V og i to forskellige tilstande () og (), hvor n holdes konstant. (6.4) ( n R) Af (6.4) følger så som før de specielle relationer: For fastholdt temperatur : (6.5) V V (Boyle-ariottes lov) For fastholdt rumfang V: (6.6) (Gay-Lussacs. lov) For fastholdt tryk

5 ilstandsligningen for ideale gasser 5/8 (6.7) V V (Gay-Lussacs. lov) 3. Eksempler og opgaver 6.8 Eksempel I en gasbeholder med rumfanget 0 liter er trykket 4 atm ved temperaturen 0 0 C. Beholderen må højest udsættes for et tryk på 35 atm, hvorfor beholderen er påtrykt: FJERNES VED BRAND! a) Beregn antallet af mol i beholderen. b) Ved hvilken temperatur bliver trykket 35 atm? Løsning: 4 atm0 l n 0 R 0,08l atm /( mol K) a) Vi anvender tilstandsligningen: mol 35 atm 0 4 atm b) Gay-Lussacs. lov: 93 K 47 K 54 C 6.9 Eksempel Fra en dykker bobler udåndingsluften som bekendt op til overfladen. En boble har på dybden 0 m et rumfang på cm 3. a) Beregn boblens rumfang, når den når op til overfladen, idet det antages, at luftens temperatur i boblen er konstant lig med vandets temperatur, som er 9 0 C. rykket ved overfladen sættes til atm. Vi beregner først trykket i boblen, ifølge formlen: p h p 0 + ρgh. p h p 0 + ρgh atm kg/m 3 9,8 m/s 0 m atm +9,8 0 4 a amt + 9,8 0 4 /(, atm) p h,97 atm Vi anvender da Boyle-ariottes lov til at beregne rumfanget ved overfladen.,97 atm V 3 V V cm, 97,00atm 6.0 Eksempel En lodret cylinder er forsynet med et stempel med tværsnitsareal 00 cm. Oven på stemplet anbringes et lod med massen 5,0 kg. Stemplet er forskydeligt, og i cylinderen befinder der sig en ideal gas. Gassen har temperaturen 0 0 C, og dets rumfang er 3,0 liter. Gassen opvarmes nu under konstant tryk til 00 0 C. a) Beregn trykket i beholderen før opvarmningen. b) Hvor stort er rumfanget efter opvarmningen? c) Beregn antal mol i beholderen. cm 3 Løsning: rykket i beholderen er atm + trykket af loddet. mg 5,0 kg 9,8 m / s lod 4,90 A 0 m 3 N / m

6 ilstandsligningen for ideale gasser 6/8 3 4,90,0 atm + atm, 048 atm 5,030 b) Vi anvender Gay-Lussacs. lov. V V 373 K V V V 3,0l 73 K c) Antallet af mol beregnes af tilstandsligningen. 3,8l,048 atm 3,0 l n R n n 0, 85 mol R 0,08l atm /( mol K) 93K 6. Opgaver. ed lukket ventil presses luften i en cykelpumpe sammen, så rumfanget formindskes til en fjerdedel. Beregn den kraft, der skal ydes, når tværsnitsarealet af stemplet er 3,0 cm.. a) Hvor mange liter fylder,0 mol hydrogen ved 4,0 atm og 0 0 C? b) Hvor mange liter fylder 0,50 mol oxygen ved et tryk på atm og temperaturen 00 0 C. c) Hvor mange liter fylder 0,50 propan ved,0 atm og 0 0 C. 4. Daltons lov Vi tænker os, at vi har to beholdere, der er Forbundet med en slange, som er forsynet med en hane. I den ene beholder med rumfang V, er der n mol af en gas med trykket. I den anden beholder med rumfang V er der n mol af en gas med trykket. Gasserne har den fælles temperatur. For hver af beholderne gælder tilstandsligningen. V (7.) nr og nr Åbnes der nu for hanen, vil de to gasser blandes, og der vil ske en trykudligning, så hele rumfanget V + V får fællestrykket f. Opgaven er at beregne f. Da der nu er n + n mol i beholderne, kan vi opskrive tilstandsligningen for den samlede gasmængde. (7.) ( V + V ) V ( n + n ) R nr + nr + f

7 ilstandsligningen for ideale gasser 7/8 Hvor det sidste udtryk er opnået ved at benytte (7.). Af det første og det sidste udtryk følger da ved bortforkortning af, og division med V + V. (7.3) V ' f + + ( V + V ) ( V + V) ' og er de tryk, som de to gasser (n mol, og n mol ) hver for sig udøver i beholderen med rumfang V + V, hvis de var alene i beholderen. an bemærker nemlig, at og ifølge (7.3) er beregnet ud fra Boyle-ariottes lov: (V + V ) V og (V + V ) V. Ovenstående relation (7.3) udtrykker Daltons lov. 7.4 Daltons lov: rykket i en beholder der indeholder flere forskellige gasser, er lig med summen af de partialtryk, som hver af gasserne udøver. Daltons lov er en følge af tilstandsligningen, men den er opdaget langt tidligere. 7.5 Eksempel I en beholder med rumfanget 3 liter fyldes 3 gasmængder. Hydrogen, som ved trykket 500 mm Hg og temperatur 0 0 C fylder liter. Nitrogen, som ved trykket 800 mm Hg og temperatur 0 0 C fylder 6 liter Oxygen, som ved trykket 400 mm Hg og temperatur 0 0 C fylder 7 liter. Find blandingens totaltryk ved 0 0 C. Løsning For hver gas bestemmes partialtrykket i beholderen ud fra Boyle-ariottes lov, og trykkene adderes ifølge Daltons lov. 6 7 total mm Hg 66 mm Hg assefylde for gasser o forskellige gasser, der udfylder det samme rumfang ved samme tryk og temperatur, indeholder de ifølge tilstandsligningen n R n også det samme antal mol. De indeholder da også det samme antal molekyler. Dette er indholdet af Avogadros R lov. 8. Avogadros lov: Lige store rumfang af forskellige gasser indeholder ved samme tryk og temperatur det samme antal molekyler. an definerer normalrumfanget eller standardrumfanget af en ideal gas, som rumfanget af mol ved standardbetingelsen: rykket atm og temperaturen 73 K (0 0 C). Standardrumfanget kan beregnes ud fra tilstandsligningen med 0 73 K, n mol og 0 atm, som løses mht. V 0. n R0 mol 0,08l /( mol K) 73 K (8.) V0, 4 liter atm 0

8 ilstandsligningen for ideale gasser 8/8 assefylde (densitet) for gasser defineres på samme måde, som massefylde for faste stoffer, som m massen pr. rumfangsenhed: ρ, hvor massen m har rumfanget V. V For faste stoffer og væsker, afhænger massefylden kun i ringe grad af ydre tryk og temperatur. For gasser derimod, er det afgørende at kende gassens tryk og temperatur for at kunne beregne rumfanget og dermed massefylden. assefylden ved standardbetingelsen 73 K og atm betegnes normalmassefylden (standardmassefylden) og betegnes ρ 0. Omregning fra massefylden ρ ved tryk og temperatur til normalmassefylden ρ 0, sker ved hjælp af tilstandsligningen, hvor rumfanget V omregnes til standardrumfanget V V V0 0 0 Som indsættes i m V m 0 0 ρ ρ ρ ρ0 V 0 V0 0 m Indsættes 0 atm og 0 73 K finder man: atm 73 K (8.3) ρ0 ρ ρ ρ0 73 K atm Ved molmassen af et stof, forstår man massen af ét mol af stoffet. Normalmassefylden kan beregnes som molmassen, divideret med normalrumfanget. V 0,4 l. (8.4) ρ 0,4 l Ofte måler man massefylden relativt til massefylden for atmosfærisk luft: olmassen for luft er luft 9 g/mol. Her fås den relative massefylde: ρ,93 g l. luft / (8.4) ρ ρ luft,4 l ρ luft ρluft l luft /,4 9 g mol Den relative massefylde ved samme tryk og temperatur, er således lig med forholdet mellem molmasserne.