Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen

Transkript

1 Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen, som funktion af tiden for forskellige udformninger af beholderen, idet h(t) skal bestemmes for mindst tre forskellige beholdere, valgt blandt følgende: Cylinderformet, kegleformet og paraboloideformet. I alle tilfældene skal volumenet af beholderne være 10 liter, og værdien af k sættes i alle de valgte tilfælde k = 8. Denne værdi forudsætter, at der som længdeenhed benyttes cm. Cylinder Jeg kender cylinderens radius, r = 10 cm og volumen, V = 10 L = Nu kan jeg finde cylinderens maksimale højde, idet jeg kender formlen for volumen af en kegle: Jeg indsætter værdierne i formlen, for at finde højden, h:

2 solve for h Nu skal jeg definere funktionen A(h) ud fra formlen for en cirkels areal. Nu skal jeg finde som er tværsnitsarealet som funktion af højden h, men høden indgår ikke i funktionen, da cylinderens radius er konstant. Tværsnitsarealet er en cirkel Jeg finder cirklens areal: Jeg indsætter i formlen: = Jeg indsætter i differential ligningen. Tværsnitsarealet i cylinderen ændrer sig ikke, og er lig med sig i beholderen. Men vandhøjden ændrer Jeg har en differentialligning, som løses ved brug af seperation af de variable. Dvs. hvor og Jeg ved, at er løsningen til Derfor får jeg:

3 Jeg ved, at Derfor får jeg en differentialligning, der ser således ud: Nu integrerer jeg, og får: c finder jeg af at for t = 0 er rumfanget 10 L. solve for c Denne værdi for c indsættes i ligningen, og der isoleres mht. h. solve for h Funktionen er derfor: Kegle Da hvor er keglens højde, og R er radius i dens grunsflade, har jeg Når vandet har højden h i keglen, er dens radius r da givet ved, og dermed er

4 Jeg indsætter værdierne, og får: = Nu kan jeg løse differentialligningen: hvor og Jeg skal simplificere udtrykket g(h), så h ikke findes i både tæller og nævner. = befinder sig i nævneren. Derfor må og Jeg ved, at er løsningen til Derfor får jeg:

5 c finder jeg af at for t = 0 er rumfanget 10 L. Når t = 0 så er vandhøjden lig med 20 Jeg isolerer derefter for h, ved at indsætte konstanten ind i funktionen solve for h Jeg får kun et udtryk, som ikke er imaginært. Derfor lyder udtrykket: Paraboloide Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Denne funktion skal rundt om y-aksen. Her er der tale om en omdrejningslegeme rundt om y- aksen. Jeg vælger at dreje dem om x-aksen. Derfor skal jeg finde den omvendte funkion. Det gør jeg ved at isolere x: solve for x Det er ligemeget, hvilken af begge disse, jeg benytter mig af, da de alligevel skal kvadreres, når jeg benytter mig af rimfangsberegning vha. omdrejningslegemer. Jeg bytter om på x og y.

6 Det er funktionen, som skal drejes rundt om x-aksen. Jeg finder den maksimale vandhøjde, b. Jeg indsætter de kendte værdier, for at finde b. Jeg finder b ved at udregne integralet solve for b Da højden, h ikke kan være negativ, er det den positive værdi, jeg regner med. at 5 digits Jeg skal finde grundfladens areal A(h) som funktion af vandstandens højde, h. Her er h = y, og Dvs. x er radius i den cirkulære overflade for vandet i paraboloiden. Grundfladens areal er derfor

7 . Vandstandens højde er y, dvs. hvorfor er lig med 4y, fordi tværsnittet i paraboloiden har forskiften Det indsætter jeg nu i differentialligningen, som jeg kan løse: hvor og Jeg ved, at er løsningen til Derfor får jeg: Jeg ved, at Derfor får jeg en differentialligning, der ser således ud: Nu integrerer jeg, og får: c finder jeg af at for t = 0 er rumfanget 10 L, hvor jeg indsætter den maksimale højde, som jeg

8 har fundet tidligere i opgaven og er: solve for c Denne værdi for c indsættes i ligningen, og der isoleres mht. h. solutions for h

9 b) Tegn graferne for de fundne funktioner. Cylinder

10 30 20 y t Kegle

11 30 20 y t C)Bestem (ved beregning), hvor lang tid det tager at tømme hver af beholderne. Cylinder Dette gør jeg ved at løse solve for t Dvs. at 5 digits

12 Opg. 2 Foretag en vurdering af urens linearitet. Dvs. vurder i hvor høj grad, at vandstanden ændres lineært med den forløbne tid. Vurderingen skal foretages ved matematiske betragtninger og begrundelser.