Renteformlen. Erik Vestergaard

Transkript

1 Reteformle Erik Vestergaard

2 2 Erik Vestergaard Erik Vestergaard, Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer.

3 Erik Vestergaard 3 Reteformle I dette tillæg skal vi formulere og bevise de såkaldte reteformel samt give eksempler på des avedelse. Sætig 1 (Reteformle) Hvis et startbeløb K tilskrives rete r efter hver termi, fås følgede udtryk for slutbeløbet K efter i alt termier: (1) K = K (1 + r) Bevis: Vi har tidligere set, at ma ka lægge rete r til e ekelt gag ved at beytte formle S = (1 + r) B, hvor B er begydelsesværdie og S er slutværdie. For at bevise reteformle skal vi altså blot beytte dee formel gage. Hver gag gages det forrige resultat med (1 + r). (1 r) 4 B S 1 S 2 S 3 S 4 Det er ikke svært at idse, at i stedet for at gage med (1 + r) i alt gage, så kue vi lige så godt have klaret det hele på é gag ved at gage med (1 + r). Dette er illustreret på figure ovefor for tilfældet = 4. I tilfældet i sætige hedder begydelsesværdie K og slutbeløbet K, hvorved ma får K (1 ) = K + r. Bemærkig 2 Vi ka også sætte tal på: Hvis vi for eksempel har 200 kr. ståede på e bakkoto til e årlig rete på 3% i sammelagt 4 år, så får vi altså slutbeløbet ved at gage de 200 kr. med fremskrivigsfaktore 1,03 fire gage eller blot 1,03 4 é gag. Vi ser her det smarte ved de ye tekik med fremskrivigsfaktorer: Vi behøver ikke udrege mellemresultatere efter hvert år; vi ka tage hele skridtet på e gag! Havde vi argumeteret ved hjælp af de gammeldags fremgagsmåde med at udrege hvor meget de 3% af tallet udgør og lægge dette resultat til det opridelige, så var det hele blevet meget 3 mere besværligt: (Idet vi udelader kr.) Først fides 3% af 200, som fås til = 6. Dette lægges til det forrige beløb, og ma får 206. Herefter tages 3% af det ye beløb på 206: = 6,18, som lægges til de 206, så ma får 212,18, etc. Reteformle ka beyttes i alle situatioer, hvor de samme procet lægges til eller de samme procet trækkes fra et tal et atal gage. Det er altså ikke blot ved ideståe-

4 4 Erik Vestergaard der i e bak, at formle ka beyttes. Et adet godt eksempel på e avedelse er ved forøgelser/formidskelser af populatioer. Det ka være e befolkig i e by eller edu bedre: e bakteriepopulatio. Eeste forudsætig er, at populatioe vokser eller aftager med de samme procet i hver periode. Avedelser af reteformle Der figurerer fire forskellige størrelser i reteformle. Derfor får vi fire forskellige typer opgaver, hvor tre af størrelsere er kedte og de sidste skal fides. Lad os se på et eksempel af hver type. Slutbeløbet K skal fides E bakteriekultur starter med 5000 bakterier. Hver time vokser populatioe med 8%. Hvor stor er populatioe efter é dag? Løsig: Der er 24 timer på e dag, så vi får følgede: K = K (1 + r) = 5000 (1+ 0, 08) = Så efter e dag er der efter progose bakterier. 24 Begydelsesbeløbet K skal fides Bet vil gere spare op, så ha om 5 år har kr. til at købe e racercykel for. Bake giver i periode e årlig rete på 4,5%. Hvor meget skal ha idsætte fra starte? Løsig: Vi isolerer først begydelsesværdie K ved at dividere med (1 + r) på begge sider i reteformle: K K = K (1 + r) K = = = = (1 + r) (1+ 0, 045) 1, 045 Så Bet skal altså idsætte 6420 kr. fra start. Rete r skal fides Ulla ejer e lille villa i Århus. De er på 7 år vokset i værdi fra kr. til kr. Hvor meget er værdie i geemsit vokset med pr. år i de aførte periode?

5 Erik Vestergaard 5 Løsig: Når ma bruger udtrykket i geemsit her, så meer ma at ma øsker de procet, som hvis de tilskrives hvert år, vil give de rigtige slutværdi. Vi idsætter alle oplysigere i reteformle: K = K (1 + r) = (1 + r) ,5 = (1 + r) 7 1,5 = 1+ r = (1 + r) 7 1, 0596= 1+ r 0, 0596= r 7 7 så de geemsitlige årlige procetvise stigig i husets værdi er på 5,96%. Atal termier skal fides Simose idsætter kr. på e bakkoto til e årlig rete på 4%. Hvor mage år tager det før ha ka hæve kr.? Løsig: Vi idsætter de kedte størrelser i reteformle: K = K (1 + r) = (1+ 0, 04) ,5= 1, 04 = (1+ 0, 04) log(2,5) = log(1, 04 ) log(2,5) = log(1, 04) log(2,5) log(1, 04) 23,4= =

6 6 Erik Vestergaard Vi ser i lije 4, at vi er ødt til at beytte logaritmer, fordi de ubekedte står i ekspoete. Derfor tages logaritme på begge sider, som vi ser i lije 5. I lije 6 beyttes herefter logaritmeregel r. 3, som udtrykker at ekspoete i e potes ka gages ed fora. Alt i alt fås, at det tager ca. 24 år før kotoe er oppe på de kr. Reter for forskellige perioder Lad os sige at rete er 3% pr. år. Hvor meget er rete så på 2 år? Nogle vil måske foreslå at ma blot gager med 2, så det giver 6%. Det er desværre ikke så ekelt. Der er emlig ikke taget hesy til reters rete, som opstår ved at de 3% det adet år skal tages af et større tal. Me det gode råd med at tæke i fremskrivigsfaktorer kommer os ige til hjælp: Det første år fremskrives beløbet (uaset hvad det er) med 1,03. Det samme sker det adet år. I alt er der i hele periode på de to år fremskrevet med 2 faktore 1,03 1,03= 1,03 = 1,0609, hvilket svarer til e samlet 2-årlig rete på 6,09%. Geerelt får ma følgede direkte fra reteformle: Sætig 3 Hvis rete i é periode er r 1, så er rete i perioder, beteget r, givet ved formle 1 + r (1 1) = + r. Vi skal se på to eksempler: Et hvor vi udreger rete for e lægere periode, og e hvor vi udreger rete for e kortere periode. Eksempel 4 Kurt øsker at købe e fladskærm, og i TV forretige ser ha et tilbud om e afbetaligsordig, som svarer til at ha skal betale e måedlig rete på 2,25%. For at kue forholde sig til retes størrelse vil ha gere vide, hvor meget det svarer til i årlig rete. Ka du hjælpe ham? Løsig: Vi beytter sætig 3, idet r 1 = 2,25% = 0,0225 og = 12, da der er 12 måeder på et år: r = (1 + r1 ) = (1+ 0, 0225) = 1, 0225 = 1,306 r = 1,306 1= 0,306= 30, 6% Så det er altså e pæ stor årlig rete på 30,6%, som forretige tager sig! Eksempel 5 Ifølge tal fra Damarks Statistik er prise på æg fra jauar 2000 til jauar 2010 vokset med 41,9%. Hvor meget svarer det til i årlig procetvis stigig?

7 Erik Vestergaard 7 Løsig: Vi går her fra e 10-årig periode til e 1-årig periode. Vi arbejder derfor med e periode på 1 år og 10 perioder på 1 år, dvs. = 10. Samtidig er r = 0, 419. Vi beytter sætig 3: 1 + r = (1 + r1 ) , 419 = (1 + r1 ) 10 1, 419 = (1 + r1 ) 101, 419 = 1+ r1 1, 036= 1+ r1 0,036= r 1 Så de årlige procetvise stigig i prise på æg er altså på 3,6%.

8 8 Erik Vestergaard Opgaver Opgave 1 Løs følgede bladede opgaver ved hjælp af reteformle. Hjælp: Gør dig først klart hvilke størrelse, som skal fides og hvilke du keder. a) Rolf sætter kr. id på e bakkoto til e årlig rete på 5%. Hvor meget står der på kotoe efter 10 år? b) Iree sætter et beløb id på e koto til e årlig rete på 3,25%. Efter 8 år står der 2300 kr. på kotoe. Hvor meget satte hu id fra begydelse? c) E by i Ruslad har idbyggere. Ma reger med at byes befolkigstal vokser med 3,2% pr. år. Hvor mage idbyggere vil der ifølge progose være i bye 20 år seere? d) Forklar hvorfor det ofte er rimeligt at atage, at befolkige i e by vokser med e bestemt procet hver år, i modsætig til med et bestemt tal hvert år. e) E bakteriekultur ideholder fra begydelse bakterier. Det vides, at de formerer sig med 18% hver time. Hvor lag tid går der før bakteriekulture år e størrelse af bakterier? f) E aktie er i e 5-årig periode vokset i værdi fra 550 kr. til 940 kr. Hvor stort er det årlige procetvise afkast? g) Ma reger med at befolkige i et af Damarks yderkatsområder vil falde med 1,5% om året. I dag bor der meesker. Hvor mage vil der efter progose være om 20 år? h) I dag er der idbyggere i e by i USA, og befolkige er (geemsitlig) vokset med 8,1% hvert år de sidste 6 år. Hvor mage idbyggere var der for 6 år side? i) Det atages, at idbyggertallet i e by i provise vil falde med (geemsitligt) 3% om året i de æste mage år. I dag bor der persoer. Hvor lag tid går der, før idbyggertallet er halveret? j) Damarks Statistik giver edeståede oplysiger om atallet af motorkøretøjer pr. døg på strækige E45 Sydjyske Motorvej, vest for Haderslev. I hvilke periode har de geemsitlige årlige procetvise stigig været størst: I periode fra 1990 til 2000 eller i periode fra 2000 til 2008? Opgave 2 Beyt sætig 3 til at løse edeståede bladede opgaver. a) E bak tager e måedlig rete på 1,2% for et lå. Hvad svarer det til i årlig rete? b) Ifølge Damarks Statistik er brød og korprodukter fra jauar 2005 til jauar 2010 vokset med 21,4%. Hvor meget giver det i geemsitlig årlig procetvis stigig? c) Ifølge Damarks Statistik er produktioe af aturgas fra jauar 1990 til jauar 2009 vokset med 153%. Hvor stor er de geemsitlige årlige procetvise stigig i ævte periode?

9 Erik Vestergaard 9 Løsiger Opgave 1: a) kr. b) 1781 kr. c) kr. d) e) Små 10 timer. f) 11,3% g) idbyggere h) 8147 idbyggere i) 23 år j) De er størst i periode Opgave 2: a) 15,4% b) 1,63% c) 10,9%