Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
|
|
- Ejvind Holst
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske bevismetoder selv Euklids bevis for, at der findes uendelig mange primtal, benytter metoden. Normalt er induktionsbeviser udelukkende introduceret for naturlige tal, som f.eks. fra [1]: Sætning 1 (Princippet om simpel induktion) Lad p(x) være et prædikat, hvor den frie variabel kan løbe over de naturlige tal N. Såfremt p(x) har følgende 2 egenskaber: 1. p(1) er sand, 2. for hvert m N, kan man af p(m) slutte p(m + 1), da gælder p(n) for alle n N. Grundlaget for, at sådanne principper oftest kun defineres for de naturlige tal, er fordi de udspringer af induktionsaksiomet, som er en del af Peanos aksiomer for de naturlige tal, her taget fra [1] igen: Definition 2 (Induktionsaksiomet) Hvis det om en delmængde A N gælder, at 1 A og m A S(m) A, så gælder at A = N. 9 Fra dette aksiom bevises princippet om simpel induktion, ved blot at benytte aksiomet på mængden {x N p(x)}. Men allerede her begynder vi at bevæge os væk fra tallene, da vores aksiom n Her er S : N N efterfølgerfunktionen givet ved forskriften S(n) :=
2 Dan Saattrup Nielsen 37 omhandler mængder og ikke tal. Burde dette princip så ikke kunne formuleres anderledes, så det også gælder for andre mængder end lige delmængder af N? 10 Da aksiomet omhandlede mængder, vil vi prøve at gå i denne retning. Vi husker, at mængdelæren kan danne grundlaget for al matematik, så der må være aksiomer inden for mængdelærens aksiomer ZFC, der medfører induktionen. Ganske rigtigt finder vi uendelighedsaksiomet: Definition 3 (Uendelighedsaksiomet) Der findes en mængde x, således at x og hvis y x, gælder også at {y} y x. Her er og {y} y mængdelærens svar på hhv. 0 og y + 1 (forklaring følger om lidt). Altså ses det med denne konvention, at aksiomet medfører at de naturlige tal findes, som vi definerer til at være den mindste mængde, som opfylder de to betingelser. 11 Herfra kan det bevises, at hvis X N og X opfylder de to krav i uendelighedsaksiomet, må X = N, da N som sagt er den mindste mængde, der opfylder kravene. Men igen, vi er ikke rigtig kommet videre; vi arbejder stadig kun med de naturlige tal. Dette kan dog generaliseres til de generaliserede naturlige tal, kaldet ordinaltallene. Inden den formelle definition, forsøger jeg først med en intuitiv forståelse. De naturlige tal forstår vi som tallene 0, 1,..., men hvis vi i stedet vælger, at se dem som mængder 0 =, 1 = {0}, 2 = {0, 1} osv., ses det, at N = {0, 1,...} selv må være et tal, da den består af alle tidligere tal dette tal N bliver normalt indenfor mængde- 10 Den opmærksomme læser har måske allerede spottet et plausibelt positivt svar efter at have nærlæst artiklens overskrift. 11 Det skal lige nævnes, at aksiomet ikke medfører, at der findes mere end én mængde, der opfylder det dette kommer fra et andet aksiom i ZFC (potensmængdeaksiomet). 23. årgang, nr. 3
3 38 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed læren kaldt ω. 12 Hvis vi nu fortsætter af samme mønster, kan vi konstruere mængden ω+1 = {0, 1,..., } {ω}, altså alle de naturlige tal efterfulgt af mængden af alle de naturlige tal, og ligeledes ω + 2 = {0, 1,...} {ω, ω + 1}. Det ses, at vi kan fortsætte i en uendelighed på denne måde - men selv efter uendelig lang tid når vi bare til ω + ω, og så kan vi begynde forfra igen. På samme vis kan vi opnå tal såsom ω ω, ω ω og såvel tal som ɛ 0 := ω ωω..., der har specielle vigtige egenskaber. 13 Alle disse nævnte tal er ordinaltal. For at definere generelt, hvad et sådan tal (eller rettere, mængde) er, definerer vi først et par småting: Definition 4 En mængde X kaldes transitiv, hvis x y X medfører x X. Ækvivalent er X transitiv hvis x X medfører x X. 14 Definition 5 En relation R kaldes velordnet på X hvis det er en lineær ordningsrelation på X, samt at enhver ikke-tom delmængde x X har et R-minimalt element x 0. Altså at der ikke findes y X, som opfylder yrx 0. Herfra defineres vores ordinaltal som transitive mængder, der er velordnet efter relationen. F.eks. kan vi se eksempler på 12 Dette gøres for at adskille den fra algebraiske strukturer over de naturlige tal, da vi ikke har operationer såsom + og i denne mængde. 13 Dette tal har vigtige egenskaber inden for en del af bevisteorien, som prøver at analysere præcis hvor kraftige konsekvenser induktionsaksiomet (i talteoretisk forstand) har; denne gren kaldes ordinal analysis. 14 Beviset for at disse definitioner er ækvivalente udgør en god øvelse for læseren til en bedre forståelse af konceptet.
4 Dan Saattrup Nielsen 39 transitiviteten ved at og samtidig også at 0 2. Denne ordningsrelation skrives også ofte som <; altså eksempelvis 0 < 1 < 2. Men det var et lille sidespring, det var jo induktionen vi kom fra! Vi prøver nu, at generalisere vores induktion fra at vise noget gælder for alle naturlige tal, til at noget gælder for alle ordinaltal. Det kommer ret naturligt ved følgende sætning, oversat fra [2]: Sætning 6 (Generalisering 1: Induktion på ordinaltal) Lad P (x) være et prædikat omkring en variabel x. Antag at der for alle ordinaltal β gælder ( α < β : P (α)) P (β). Da gælder P (γ) for alle ordinaltal γ. Det ses, at hvis β = ω, er det vores velkendte induktion over de naturlige tal. Man kan undre sig, hvordan at sætningen kan gøres så meget pænere ved normal induktion, hvor man slipper for, at vise, at det gælder for alle β og alle α < β, hvor vi normalt bare kan fikse β og kun udføre sidste trin. Grunden til dette er, at samlingen af alle ordinaltal ikke er en mængde - dette modstrider ZFC, hvorfor vi ikke bare kan bruge dette argument. Man kan dog simplificere denne induktionssætning lidt, så beviserne er mere overskuelige. Det drejer sig om en generaliseret egenskab ved de naturlige tal: disse tal kan alle deles op i to typer: enten er n = 0, ellers findes m N så n = m + 1. Ordinaltal har foruden disse to også en tredje type, som sker, når n = m<n m. Det ses f.eks. at ω er af denne tredje type. Et induktionsbevis kan derfor udføres, hvor at prædikatet vises for de tre typer. Vi har altså nu generaliseret vores induktionsargument fra de små små naturlige tal til en uendelig gange større samling af ordinaltal det er noget af et skridt! Men kan vi gøre det endnu 23. årgang, nr. 3
5 40 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed bedre? Ordinaltal er jo blot specielle mængder, så kan vi generalisere det til endnu mere generelle mængder? Svaret er JA, men det bliver faktisk endnu vildere: vi kan generalisere det til samlinger, der ikke engang er i nærheden af, at være mængder. 15 Igen skal vi lige have en definition på plads: Definition 7 En relation R er velfunderet på A, hvis enhver ikketom delmængde X A har et R-minimalt element. Bemærk at A ikke behøver, at være en mængde selv. Vi bemærker også, at en velordnet relation er en velfunderet lineær ordningsrelation. Nu kan vi nå til den store finale, og opskrive vores elegante generaliserede induktionssætning, oversat fra [3]: Sætning 8 (Generalisering 2: Induktion på velfunderede relationer) Antag, at relationen R er velfunderet på A, og at X A er en ikke-tom delklasse. Så har X et R-minimalt element. Ved første øjenkast virker det slet ikke som noget, der har relevans for induktion. Men der er to måder, induktion kan virke på: enten viser man, at et prædikat holder for alle elementer i sin samling, eller også viser man, at hvis der fandtes et prædikat i samlingen, som ikke opfylder prædikatet, giver dette en modstrid. Her er vi ude i sidste mulighed, da vores samlinger ikke er ordnet på nogen måde (ikke engang partielt ordnede). Et induktionsbevis for et prædikat P (x) på denne måde vil foregå ved, at antage at samlingen X := {x A P (x)} ikke er tom, lade a X være 15 Som nævnt er ordinaltallene ej heller en mængde, men de er lige på grænsen. Dette kommer til udtryk ved, at hvis der tages et vilkårligt ordinaltal α, vil {β β < α}, hvor β er ordinaltal, være en mængde. Man siger, at ordinaltallene er mængdeagtige.
6 Dan Saattrup Nielsen 41 et R-minimalt element, givet fra sætningen, og så vise, at dette giver modstrid. Kan vi generalisere dette endnu mere? Svaret er nej, ikke inden for vores aksiomer. Faktisk eksisterer A, R og X ikke nødvendigvis, hvis disse ikke er mængder. 16 Dette løser vi, ved at sige, at vi kun bruger disse bogstaver som forkortelser for logiske formler ρ(x, y) (der definerer R), α(x) (der definerer A) og χ(x) (der definerer X) disse vil bare give nogle ret uoverskuelige sætninger, så vi foretrækker vores forkortelser, og behandler dem som om, de eksisterer. For at afslutte dette, kan vi gå helt overkill, og bevise følgende sætning fra [1]: Sætning 9 For ethvert n N gælder, at summen af de første n ulige tal er lig med n 2, altså: (2n 1) = n 2. Bevis. Vi bemærker, at relationen < er velfunderet på N. Konstruér nu X := {n N (2n 1) n 2 }, og antag at X. Lad x være et <-minimalt element af X. På grund af minimalitet gælder sætningen for alle n < x. Vi ved, at enten er x = 0 ellers findes n N så x = n + 1. Hvis x = 0 er de første 0 naturlige tal ikke lig med 0, modstrid; så lad x = n Her defineres eksistens som at samlingen kan bevises fra ZFC dvs. kun mængder eksisterer. 23. årgang, nr. 3
7 42 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Nu ser vi, at (2n 1) = n (2(n + 1) 1) = (2n + 1) ( ) (n + 1) 2 = n 2 + 2n (2n 1) n 2 Ved (*) brugte vi, at x = n + 1 og at sætningen ikke gælder for x. Men nu modstrider den første og sidste linje hinanden, og vi konluderer, at X =, hvilket beviser sætningen. Altså kan vi se, at selvom det generelle induktionsprincip virker, er vi stadig ude i noget basistilfælde og efterfølgertilfælde så det gør det ikke ligefrem lettere at bevise ting vedrørende de naturlige tal på denne måde. Men nu ved vi i hvert fald, at lige meget hvad vi får smidt i hovedet (næsten), kan vi bevise prædikater induktivt på dem. Endnu vigtigere, så ved vi, at bag det knap så pæne princip om induktion på de naturlige tal, ligger et elegant princip om generel induktion. Inducér alt hvad du ser! Litteratur [1] J. Lützen. Diskrete Matematiske Metoder. Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, 2012 [2] E. Schimmerling. A Course on Set Theory. Cambridge University Press, [3] K. Kunen. Set Theory, revised edition. College Publications, 2013.
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereFagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik
FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik ved Københavns Universitet Illustrationer: Nilin Abrahamsen (Forside) Maria Bekker-Nielsen Dunbar (På en øde ø) Nilin Abrahamsen (σ-cykel) Deadline
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereDM02 opgaver ugeseddel 2
DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion
Læs mereArbejdsmiljøgruppens problemløsning
Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereInverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereEr A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.
Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereTil underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.
Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt 3. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Compute UNF foredrag, HCØ, 16. september 2014 (c_e)l[^ga=f]2 (F[_E_B])L[=A,_Ac]L[=E,_B,_E]- [E,B,E]2L[F,=B,=E]2 L[^F,C=F] Thomas Bolander, UNF, 16/9-2014
Læs mereDet er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden
DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereMatematikvejledning i praksis. Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G
Matematikvejledning i praksis Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G 1 De tre projekter Projekt 1 Projekt 2 Projekt 3 Tema: Begreber og begrebsdannelse Sprog og ligninger Tema: Argumentation
Læs mereKryptografi Anvendt Matematik
Kryptografi Anvendt Matematik af Marc Skov Madsen PhD-studerende Matematisk Institut, Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Kryptografi p.1/23 Kryptografi - Kryptografi er læren om, hvordan en tekst
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereSæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012
Sæt ord pa sproget November 2012 Indhold Mål... 1 Baggrund... 1 Projektets mål... 1 Sammenhæng... 2 1 Beskrivelse af elevernes potentialer og barrierer... 2 2 Beskrivelse af basisviden og hverdagssprog...
Læs mereEtiske principper (og hensyn) for prioriteringer i sundhedsarbejdet
CENTER FOR STUDIER AF LIGHED OG MULTIKULTURALISME/FØDEVAREØKONOMISK INSTITUT, LIFE Etiske principper (og hensyn) for prioriteringer i sundhedsarbejdet Morten Ebbe Juul Nielsen, Adjunkt Københavns Universitet,
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Læs merePython 3 Matematik Programmerings kursus:
Python 3 Matematik Programmerings kursus: Kompendiet indeholder: Hello World (første program) Variable (String & Integer) Løkker (while-loop) Regneoperationer If-else statement Funktioner Opgaver o Læg
Læs mereGo On! 7. til 9. klasse
Go On! 7. til 9. klasse Fra skoleåret 2013 / 2014 Introduktion til linjer Alle er genier. Men hvis du dømmer en fisk på dens evne til at klatre i træer, vil den leve hele sit liv i den tro, at den er dum.
Læs merePinsedag Joh. 14,15-21; Jer. 31,31-34; Apg. 2,1-11 Salmer: 290, 300, 283-291,292 (alterg.), 298
Pinsedag Joh. 14,15-21; Jer. 31,31-34; Apg. 2,1-11 Salmer: 290, 300, 283-291,292 (alterg.), 298 Lad os bede! Kære hellige ånd, tak fordi Du er hos os som vor ledsager gennem livet. Vi beder dig: bliv hos
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereDe fire Grundelementer og Verdensrummet
De fire Grundelementer og Verdensrummet Indledning Denne teori går fra Universets fundament som nogle enkelte små frø til det mangfoldige Univers vi kender og beskriver også hvordan det tomme rum og derefter
Læs mereSølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Læs mereLærervejledning Freddy finder vej i flere tekster
Materialet Freddys finder vej i flere tekster er et materiale til den eksplicitte undervisning i læseforståelsesstrategier i indskolingen. Materialet kan bruges i såvel klasse- som gruppeundervisningen
Læs mereService i rengøring. Service i rengøring. Daglig erhvervsrengøring
Service i rengøring Daglig erhvervsrengøring 1 Forord At udføre erhvervsrengøring kræver uddannelse dette undervisningsmateriale er udarbejdet som grundbogsmateriale til kurset Daglig erhvervsrengøring.
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereDet danske sundhedsvæsen
Det danske sundhedsvæsen Undervisningsmateriale til sprogskoler Kapitel 8: Undersøgelse for brystkræft (mammografi) 8 Undersøgelse for brystkræft (mammografi) Brystkræft Brystkræft er en alvorlig sygdom.
Læs mereTraditionen tro byder august september på forældremøder i de enkelte klasser,
Vi skrev i første nummer af Fællesnyt, at vi ville udkomme én gang i kvartalet. Det bryder vi allerede her i andet nummer, hvor I kan læse om konfirmationsforberedelse i 7. klasse, en sjov bemærkning og
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereEKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE
EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE Briefing Vi er to specialestuderende fra Institut for Statskundskab, og først vil vi gerne sige tusind tak fordi du har taget dig tid til at deltage i interviewet! Indledningsvis
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereKonfirmand- og forældreaften 27. februar 2014, Hurup kirke Mattæus 14, 22 33
Konfirmand- og forældreaften 27. februar 2014, Hurup kirke Mattæus 14, 22 33 Genezaret sø er ikke større, end at man i klart dagslys kan se til land, ligegyldigt hvor man er på søen. Rundt om søen er der
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereTaxageometri og metriske rum
Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.
Læs mereGode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen
Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er
Læs mereNy Nordisk Skole. Arbejdshæfte til forandringsteori
Ny Nordisk Skole Arbejdshæfte til forandringsteori Introduktion Ny Nordisk Skole handler om at styrke dagtilbud og skoler, så de har de bedste forudsætninger for at give børn og unge et fagligt løft. Dette
Læs merePrivat foto. Et undervisningsforløb om erindringer
Privat foto Et undervisningsforløb om erindringer MIT DANMARK Et projekt, der sætter ord og billeder på vores mangfoldighed. Projektet er et danskfagligt forløb med inddragelse af forskellige medier. (udskoling)
Læs mereSuccesfuld start på dine processer. En e-bog om at åbne processer succesfuldt
Succesfuld start på dine processer En e-bog om at åbne processer succesfuldt I denne e-bog får du fire øvelser, der kan bruges til at skabe kontakt, fælles forståelser og indblik. Øvelserne kan bruges
Læs mereSorteringsmaskinen. Hej med dig!
Sorteringsmaskinen Hej med dig! Jeg er Thomas Tandstærk, og jeg ved en masse om teknik og natur. Jeg skal lære dig noget om at lave forsøg og undersøgelser. Når klassen er færdig får I et flot diplom!
Læs mereIkke-voldelig kommunikation Bliv på egen banehalvdel
Ikke-voldelig kommunikation Bliv på egen banehalvdel elevopgave Marshall B. Rosenberg udviklede ikke-voldelig kommunikation i 1960 erne. Han mæglede mellem etniske bander, og i det arbejde havde han brug
Læs mereMinutnormer og puljetimer Sidst opdateret 20-11-2009/version 1.0/UNI C/Jytte Michelsen og Steen Eske Christensen
Minutnormer og puljetimer Sidst opdateret 20-11-2009/version 1.0/UNI C/Jytte Michelsen og Steen Eske Christensen Indhold Ændringer Centrale begreber Generelt Arbejdsgange Vejledningen består af 3 dele,
Læs mereSkabelon til beskrivelse af udviklingsprojekter om en længere og mere varieret skoledag
Skabelon til beskrivelse af udviklingsprojekter om en længere og mere varieret skoledag I foråret 2014 går 34 kommuner og 75 skoler i gang med en række udviklingsprojekter om længere og mere varierede
Læs mereKORT GØRE/RØRE. Vejledning. Visuel (se) Auditiv (høre) Kinæstetisk (gøre) Taktil (røre)
GØRE/RØRE KORT Vejledning Denne vejledning beskriver øvelser til Gøre/røre kort. Øvelserne er udarbejdet til både de kinæstetisk, taktilt, auditivt og visuelt orienterede elever. Men brugeren opfordres
Læs mereMatematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven
Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes
Læs mereProfilfag Indskoling. Valghæfte for 1. periode skoleåret 2016/2017
Profilfag Indskoling Valghæfte for 1. periode skoleåret 2016/2017 Vonsild Skole - En skole i balance og bevægelse Det er tid til at vælge profilfag.:-) Profilfag er små aktivitetsforløb på ca. 10 uger,
Læs mereIkke-lineære funktioner
I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mere(inkl. optagelseskrav til diplomingeniørstudierne på Aarhus Universitet)
juni 2016/mrl Lokal studieordning for adgangskursus og suppleringskursus, Ingeniørhøjskolen Aarhus Universitet (inkl. optagelseskrav til diplomingeniørstudierne på Aarhus Universitet) Gældende fra august
Læs mereI dette forløb arbejder eleverne med de forskellige led, der kan være i en sætning. De faglige mål med forløbet er, at eleverne skal:
Om Sprogkassen Sprogkassen indeholder en samling af forskelligartede sprogforløb. Hvert forløb gennemgår et sprogligt område, som er nødvendigt at beherske for at kunne udtrykke sig nuanceret, entydigt
Læs mereNår mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet
Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det
Læs mereModule 2: Beskrivende Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereInspirationsmateriale til drøftelse af. rammerne for brug af alkohol i. kommunale institutioner med børn
Inspirationsmateriale til drøftelse af rammerne for brug af alkohol i kommunale institutioner med børn Rammer for brugen af alkohol som led i en alkoholpolitik i kommunale institutioner med børn Indledning
Læs mereRespondenter Procent Skriv navn 13 100,0% I alt 13 100,0% Respondenter Procent I en gruppe 13 100,0% Individuelt 0 0,0% I alt 13 100,0%
Vælg din vejleder Skriv navn 13 100,0% Vælg din vejleder - Skriv navn Lars Ditrichson Lars dietrichson Lars Grubbe Dietrichson lars dietrichson Lars Dietrictson Lars Grubbe Ditrichson Blev projektet udarbejdet
Læs mereVejledning til dagpengekortet på Selvbetjeningen
Vejledning til dagpengekortet på Selvbetjeningen Denne vejledning indeholder eksempler på, hvordan du udfylder dit dagpengekort. Du kan benytte samme vejledning til udfyldelse af efterlønskort eller et
Læs mereOpsamling på strukturdrøftelse Ungerådet Den 15. marts 2016
Dato 300316 Dok.nr. 47245-16 Sagsnr. 15-7239 Ref. siko Opsamling på strukturdrøftelse Ungerådet Den 15. marts 2016 På mødet den 15. marts 2016 blev der gruppevis debatteret følgende emner: trivsel, læring
Læs mereMellem minoritet og majoritet. Om livshistorier og fortællinger Om udfordringer og muligheder
Mellem minoritet og majoritet Om livshistorier og fortællinger Om udfordringer og muligheder Baggrund for undersøgelsen Fortælling og livshistorie Uddannelsesbiografier Spørgsmål vedrørende forholdet mellem
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereLæsevejledning til resultater på regionsplan
Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...
Læs mereVejledning for klage over en prøve ved Det Sundhedsfaglige Hovedområde, UCN
Vejledning for klage over en prøve ved Det Sundhedsfaglige Hovedområde, UCN Indledning Reglerne om klager og anke over eksamen står i kapitel 10 og 11 i Undervisningsministeriets eksamensbekendtgørelse.
Læs mereKursusmappe. HippHopp. Uge 29: Nørd. Vejledning til HippHopp guider HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1
Uge 29: Nørd Vejledning til HippHopp guider Kursusmappe Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1 HIPPY HippHopp uge_29_guidevejl_nørd.indd 1 06/07/10 10.42 Denne vejledning er et supplement
Læs merehttps://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf
Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens
Læs mereTranskribering af interview, Christian A: Og oprindeligt tror jeg, at vi måske havde mest lyst til at trække det op på sådan et samfunds..
Transkribering af interview, Christian A: Og oprindeligt tror jeg, at vi måske havde mest lyst til at trække det op på sådan et samfunds.. Sådan, hvad skal vi overhovedet bruge uddannelse til, og hvad
Læs mereJESUS ACADEMY TEMA: GUDS FULDE RUSTNING
Dåb i vand Det er et emne som mere end noget andet emne skaber strid blandt kristne her i vesten, og det er emnet dåb. Det er ikke fordi Bibelen er uklar på dette området, men fordi dåben har blevet en
Læs merebrikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk
Læs mereBogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45
Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,
Læs mereSPILLEREGLER FOR CARAMBOLE
CARAMBOLE SPILLEREGLER FOR CARAMBOLE 3-BANDE CARAMBOLE - 1-BANDE CARAMBOLE FRI CARAMBOLE - CADRE SPILLEREGLER FOR CARAMBOLEDISCIPLINERNE. FÆLLES REGLER FOR ALLE SPILLEFORMERNE. 1. BILLARDER OG BALLER.
Læs mereFermat, ABC og alt det jazz...
Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?
Læs mereCpr.nr. Samlet indstilling uddannelsesparat Delvis uddannelsesparat Ikke uddannelsesparat
Bilag 1a Dansk: den obligatoriske optagelsesprøve Prøvegrundlag: en tekst af max 1 normalsides omfang. Teksttyperne kan være prosa, lyrik eller sagprosa. Herudover kan indgå et mindre skriftligt arbejde
Læs mereTorsdag. Ryg og skuldre. Bent over barbell rows. 4 sæt x 8 gentagelser. Pull ups. 4 sæt x 8 gentagelser. Cable rows 4 sæt x 10 gentagelser
Introduktion Dette 5-dages begynderprogram er baseret på noget der ligner Layne Nortons PHAT-program, men er stadigvæk holdt relativt simpelt uden alt for mange overflødige øvelser. Det er dog fordelagtigt
Læs mere2013-7. Vejledning om mulighederne for genoptagelse efter såvel lovbestemte som ulovbestemte regler. 10. april 2013
2013-7 Vejledning om mulighederne for genoptagelse efter såvel lovbestemte som ulovbestemte regler Ombudsmanden rejste af egen drift en sag om arbejdsskademyndighedernes vejledning om mulighederne for
Læs mereEn mini e-bog til dig fra Aros Business Academy 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB
En mini e-bog til dig fra Aros Business Academy 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB Kan du svare klart på alle 7 spørgsmål i den her bog? Hvis ikke, så begår
Læs mereSpørgsmål: Må der - i forlængelse af ovenstående spørgsmål - være én projektleder pr. skole?
Ofte stillede spørgsmål Organisering Spørgsmål: Det fremgår af udmeldingen, at brobygningsforløbet skal være fysisk placeret på en erhvervsskole, men kan brobygningsforløbet godt være placeret på forskellige
Læs mere