t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

Transkript

1 Slide 1/42

2 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42

3 Indhold Slide 3/42

4 Mængder Definition 1 En mængde er en samling af veldefinerede objekter. Eksempel 54 Følgende er eksempler på mængder: 1) Mængden af alle elever i klassen. 2) Mængden af hele positive tal større end 3. 3) Mængden af tal, der kan skrives som en brøk med hele tal i nævner og tæller. Notation 3 En mængde betegnes med et stort bogstav, mens et element i mængden betegnes med det tilsvarende lille bogstav. For eksempel er a et element i A og vi skriver: Som vi siger: a tilhører A a ligger i A a er et element i A a A Slide 4/42

5 ne De naturlige tal er tallene, som vi tæller med. Det vil sige de positive hele tal: Mængden af de naturlige tal betegnes N. De hele tal er tallene Mængden af de hele tal betegnes med Z. 1, 2, 3, 4 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 De rationale tal er alle de tal, som kan skrives som brøker, hvor tæller og nævner er hele tal. dvs a b : a, b Z Mængden af de rationale tal betegnes med Q. Slide 5/42

6 De irrationale tal er alle de tal, som ikke kan skrives som brøker, hvor tæller og nævner er hele tal. Følgende tal er eksempelvis irrationale: 2, π, e Mængden af de irrationale tal betegnes ofte med R \ Q, men det er ikke konsekvent, hvilket symbol der bruges. De reelle tal er foreningen af de rationale og de irrationale tal. De reelle tal betegnes med R. Slide 6/42

7 Indhold Slide 7/42

8 og prædikater Definition 4 Et udsagn er en udtalelse, som enten er sand eller falsk. Eksempel 5 Følgende udtalelser er udsagn: 1) Anders er en dreng. 2) = 3 3) Jorden er rund. 4) Det regnede igår. Eksempel 6 Følgende udtalelser er ikke udsagn: 1) Maden smager dejligt. 2) x + 3 = 4. 3) Matematik er smukt. Slide 8/42

9 Definition 7 Lad p og q være udsagn. Vi definerer nu følgende sammensatte udsagn. 1) Konjunktion: p q (læs: p og q) er sand, når både p og q er sande ellers falsk. 2) Disjunktion: p q (læs: p eller q) er falsk når både p og q e falske ellers sand. 3) Negation: p (læs: non p) er sand når p er falsk og falsk når p er sand. 4) Implikation: p p (læs: p medfører q) er falsk når p er sand og q er falsk; ellers er det sandt. 5) Biimplikation: p q (læs: p er ensbetydende med q) er sand, når p og q har samme sandhedsværdi; ellers er det falsk. Slide 9/42

10 Sandhedstabeller Sandhedstabeller kan bruges til at skabe overblik over, hvornår sammensatte udsagn er sande og falske. Eksempel 9 Her følger sandhedstabellen for p q p q p q s s s s f f f s f f f f Øvelse Opskriv sandhedstabeller for disjunktion, negation, implikation og biimplikation. Slide 10/42

11 Når man opskriver sammensatte udtryk, er det vigtigt at læse udtrykket i den rigtige rækkefølge. Udtrykkene skal læses i denne rækkefølge: 1) 2), 3) 4) Ofte er det en god ide at bruge parenteser til at indikere rækkefølgen. Eksempel 8 Lad os opskrive sandhedstabellen for udtrykket ( p q) p Slide 11/42

12 Definition 10 Et sammensat udsagn, der er falsk for alle værdier af de indgående simple udsagn kaldes en modstrid. Eksempel 11 Betragt det sammensatte udtryk: p ( p) p q p ( p) s f f f s f Definition 12 Et sammensat udsagn, der er sandt for alle værdier af de indgående simple udsagn kaldes en tautologi. Eksempel 13 Betragt det sammensatte udtryk: p ( p) p q p ( p) s f s f s s Slide 12/42

13 Definition 14 To sammensatte udsagn p og q kaldes logisk ækvivalente, hvis de har samme sandhedsværdier for alle værdier af de indgående simple udsagn, og vi skriver p q. Tjek for logisk ækvivalens Lad p og q være to sammensatte udsagn. De to udsagn er ækvivalente hvis p q er en tautologi. Eksempel 15 Vis at udtrykkene er logisk ækvivalente. ((p q) (q p)) p q Slide 13/42

14 Analyse af sproglige udsagn med udsagnslogik Sproglige udsagn kan formaliseres ved at bruge udsagnslogik. Lad os se nærmere på en sætning. Peter vil ikke gå i skole, hvis han ikke får en kage Går Peter i skole hvis han får en kage? Lad os opdele det sammensatte udsagnet i følgende to udsagn p : Peter går i skole k : han får en kage Slide 14/42

15 Definition 16 En udtalelse om elementerne i en given mængde (domænet), som indeholder en fri variabel fra mængden kaldes et prædikat. Definition 17 Vi skriver p(x) for et prædikat i variablen x. Vi skriver x M for at agive, at x kommer fra mængden (domænet) M. Eksempel 18 Følgende udtalelser er prædikater: 1) x + 2 = 4 2) x < 2 Hvad er domænerne for de to prædikater? Bemærkning 19 Et prædikat er ikke et udsagn, fordi vi ikke kan afgøre om det er sand eller falsk. Bemærkning 20 Et prædikat bliver til et udsagn, når der vælges en bestemt værdi fra mængden i stedet for variablen. Slide 15/42

16 Kvantorer Definition 21 Ud fra ethvert prædikat p(x) på domænet M kan laves udsagnet x M : p(x) som er sandt, når p(x) er sandt for alle x i M. Tegnet kaldes al-kvantoren og siges for alle. Definition 22 Ud fra ethvert prædikat p(x) på domænet M kan laves udsagnet x M : p(x) som er sandt, når der findes (mindst) et x i M så p(x) er sand. Tegnet kaldes eksistens-kvantoren og siges der eksisterer. Bemærk 23 Følgende ækvivalenser gælder ( x : p(x)) x : p(x) ( x : p(x)) x : p(x) Slide 16/42

17 Kvantorer Eksempel 24 Lad os betragte prædikatet p(x) Afgør nu om følgende to udsagn er sande x 2 > 1 x R : x 2 > 1 x R : x 2 > 1 Bemærkning 25 Vi kan bruge kvantorerne til at lave prædikaterne om til udsagn. Herefter kan vi sammensætte udsagnene med,, og - akkurat som før. Eksempel 26 Opskriv følgende udsagn med kvantorer og prædikater Ligningen x 3 = 7 har mindst en reel rod SVAR: x R : x 3 = 7 Slide 17/42

18 Indhold Slide 18/42

19 De fleste matematiske sætninger er på formen: Hvis p(x) så q(x) eller med logiske symboler x M : p(x) q(x) Den mest intuitive måde at vise sådanne sætninger på er ved at vise at q(x) er sand for alle x der gør p(x) sand. Øvelse 27 Er det nødvendigt at undersøge de x, der gør p(x) falsk? hvorfor? hvorfor ikke? Eksempel 28 Vis at kvadratet på et lige tal er lige. Antag x er lige. Da har vi x 2 = (2n) 2 = 2 2 n 2 = 2(2n 2 ) ( ) Her udnytter vi at ethvert lige tal kan skrives på formen 2n. Vi kan nu konkludere at x 2 er lige, hvis x er lige, og så er sætningen vist. Slide 19/42

20 Hvis man skal vise, at en sætning af typen ovenfor ikke gælder, er det nok at komme med ét modeksempel. Et udsagn af formen x M : p(x) q(x) skal jo gælde for alle x for at være sandt. Hvis vi kan finde bare ét x, hvor det ikke er tilfældet, så er udsagnet falsk. Eksempel 29 Betragt udsagnet: x R : x 2 > x Giv et modeksempel, der viser at udsagnet ikke er sandt. Slide 20/42

21 Bevis ved kontraposition Hvis man skal vise at Er det tilstrækkeligt at vise og det er sommetider simplere. Øvelse 30 Lad p og q være udsagn. Vis at x M : p(x) q(x) x M : q(x) p(x) p q q p Eksempel 31 Vis at hvis kvadratet på et tal er lige, så er tallet også selv lige, altså x R : x 2 er lige x er lige Slide 21/42

22 Hvis man vi vise et udsagn q er sandt, kan man i stedet vise, at hvis det ikke er sandt, så opstår der et paradoks! Og heraf slutter man, at derfor må q være sandt. Men hvorfor kan man egentlig slutte det? Øvelse 32 Vis at Eksempel 33 Vis at 2 er irrational. q q p p Slide 22/42

23 delt op i tilfælde Nogle gange kan det være lettere at dele et bevis op i flere dele og bevise delene enkeltvis. Eksempel 34 Hvis n er et naturligt tal så er n 2 + n lige. Hvorfor må man det? Øvelse 35 Vis at (p q) r (p r) (q r) Eksempel 36 Vis følgende sætning: Hvis n er et naturligt tal, så går 4 op i enten n 2 eller n 2 1. Slide 23/42

24 handler om at vise sætninger af formen: Der eksisterer x M så et eller andet. Eksempel 37 Der findes et tal x så x = x 2. Med symboler x R : x = x 2 For at vise sådanne sætninger er det nok at give et konkret eksempel! Ikke konstruktive beviser Det er ikke nødvendigt at givet et konkret eksempel på x der opfylder en eksistenssætning. Det er nok bare at godtgøre, at det findes! - og det er nogle gange lettere. Eksempel 38 Vis at der findes irrationale tal x og y, så x y er rational. Slide 24/42

25 handler om at vise sætninger af formen: Der findes kun ét x M så et eller andet. Det må altså betyde at Eksempel 39 Ligninger på formen Har kun én løsning. x, y M : P(x) P(y) x = y ax + b = 0 a 0 Slide 25/42

26 Sætning 40 (Induktionsprincippet) Lad p(x) være et prædikat, hvor den frie variabel x løber over (tilhører) de naturlige tal. Såfremt p(x) opfylder følgende to egenskaber, så gælder gælder p(n) for alle n N. 1) p(1) er sand. 2) For ethvert k N kan man slutte at p(k + 1) er sand, hvis man antager at p(k) er sand. Eksempel 41 For ethvert n N gælder at summen af de første n ulige tal er lig med n 2, altså: (2n 1) = n 2 Slide 26/42

27 Eksempel 42 (Oktober nød) For ethvert n N går 6 op i (n 3 n). Eksempel 43 For ethvert n N gælder n = n(n + 1) 2 Slide 27/42

28 Peano s aksiomssystem for de naturlige tal Definition 44 (Peano s aksiomsystem) De naturlige tal er en mængde N udstyret med en efterfølgerfunktion S : N N, hvorom det gælder 1) 1 N 2) For ethvert n N : 1 (n) 3) For ethvert m, n N : m n S(m) S(n) 4) Hvis det om en delmængde A N gælder, at 1 A og m A S(m) A, så gælder, at A = N Sætning 40 (nu med bevis) Lad p(x) være et prædikat, hvor den frie variabel x løber over (tilhører) de naturlige tal. Såfremt p(x) opfylder følgende to egenskaber, så gælder gælder p(n) for alle n N. 1) p(1) er sand. 2) For ethvert k N kan man slutte at p(k + 1) er sand, hvis man antager at p(k) er sand. Slide 28/42

29 Indhold Slide 29/42

30 Vi husker fra tidligere at Definition 1 En mængde er en samling af veldefinerede objekter. Definition 45 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x A x B Bemærkning 46 Der findes en mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Eksistensen af den tomme mængde er fastlagt af aksiomerne. Sætning 47 Der er kun én mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Definition 48 Den entydige mængde uden elementer kaldes den tomme mængde og betegnes med. Slide 30/42

31 Definition 49 Lad p(x) være et prædikat på mængden M, dvs. x M. p s sandhedsmængde er da mængden af de x M, der gør p(x) sand. Denne mængde betegnes med symboler således: {x M p(x)} og vi siger mængden af de x i M for hvilke det p(x). Bemærkning 50 Ofte har vi brug for at tale om sammenhængende delmængder af R, kaldet intervaller. Følgende notation er standard. [a, b] = {x R a x b} (a, b) = {x R a < x < b} [a, b) = {x R a x < b} [a, ) = {x R a x} (, b) = {x R x < b} Slide 31/42

32 Definition 51 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Bemærkning 52 Bemærk at det for enhver mængde A gælder at A A. Bemærkning 53 Hvis man skal vise, at en mængde A er en delmængde af en mængde B, gælder det om at vise, at ethvert element i A også er et element i B. Det gøres ved at undersøge et vilkårligt element i A og vise, at det også ligger i B. Derfor stater beviser af denne type med ordene Lad x A. Eksempel 54 Vis at {x R x 2 < 2} {x R x < 5} Slide 32/42

33 Sætning 55 Den tomme mængden er en delmængde af enhver mængde. Altså hvis A er en mængde, så gælder det A Sætning 56 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis og kun hvis (A B) (B A). Bemærkning 57 Hvis man vil vise, at to mængder A og B er det ofte lettest at vise, at A B og B A. Eksempel 58 Vis at mængden af punkter i planen, som ligger lige langt fra to givne punkter P og Q, netop er midtnormalen til linjestykket PQ. Brug så vidt muligt Venn-diagrammer til at illustrere sammenspil mellem mængder Slide 33/42

34 Fællesmængde Definition 60 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 61 Når man skal vise, at et element ligger i fællesmængden af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i begge mængder. Eksempel 62 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Bemærkning 63 Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af fællesmængden at A B A Slide 34/42

35 Foreningsmængde Definition 64 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten i A eller i B kaldes for n af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 65 Når man skal vise, at et element ligger i n af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i mindst en af de to mængder. Eksempel 66 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Bemærkning 67 Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af fællesmængden at A B A Slide 35/42

36 Familier af mængder En familie er mængder er en samling af mængder, der er relateret til hinanden ved et indeks, der gennemløber en bestemt mængde. Ofte vil indeksmængden være N. Vi skal her betragte helt generelle familier med en vilkårlig indeksmængde, Λ. Eksempel 68 Betragt intervallerne I 1 = [0, 1] I 2 = [0, 1 2 ] I 3 = [0, 1 3 ] I n = [0, 1 n ] Disse intervaller udgør en familie af delmængder af R, hvor indeksmængden er N. Definition 69 Lad Λ være en indeksmængde, så der til etvhert α Λ svarer en mængde A α, da siger vi at A α erne udgør en familie af mængder, og vi betegner familien med {A α } α Λ. Slide 36/42

37 t a l e n t c a m p d k Familier af mængder Definition 70 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Fællesmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i samtlige mængder i familien. Bemærkning 71 Ved at negere definitionen ovenfor ses at x A α α Λ : x A α α Λ Slide 37/42

38 Familier af mængder Bemærkning 72 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Eksempel 73 Betragt familien af intervaller {I n } n N fra eksempel 68. Vis at I n = I n = [0, 1 n ] = {0} n N n=1 n=1 Slide 38/42

39 t a l e n t c a m p d k Familier af mængder Definition 74 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Foreningsmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i mindst en af mængderne i familien. Bemærkning 75 Ved at negere definitionen ovenfor ses at x A α α Λ : x A α α Λ Slide 39/42

40 Familier af mængder Bemærkning 76 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Eksempel 77 Betragt familien af intervaller {I n } n N, hvor I n = [0, 1 1 n ]. Vis at n=1 [0, 1 1 ] = [0, 1) n Slide 40/42

41 Definition 78 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Definition 79 Lad A og B være to mængder. Vi betragter da de ordnede par (a, b), hvor a A og b B. Mængden af sådanne par kaldes produktmængden af A og B og betegnes med A B. A B = {(a, b) (a A) (b B)} Eksempel 80 Betragt mængderne A = {1, 2} og B = {a, b, c}. Bestem A B. Bemærkning 81 Hvis A = B skriv vi ofte A 2 i stedet for A B. Slide 41/42

42 Eksempel 82 Hvordan kan R illustreres? Hvad med R 2? R 3? R n? Eksempel 83 Opskriv sandhedsmængden for (1, 2] [3, 4]. Illustrer herefter mængden i planen. Definition 84 Lad A 1, A 2, A 3 osv. op til A n være n mængder. n mellem disse mængder er da givet ved A 1 A 2 A n = {(x 1, x 2,, x n ) x 1 A 1 x 2 A 2 x n A n } Sætning 85 Lad A, B og C være mængder. Da gælder A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Slide 42/42