Oversigt [LA] 6, 7, 8
|
|
|
- Sten Toft
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller princippet Beregn invers matrix Calculus Uge
2 To ubekendte grafisk [LA] 6 Lineære ligningssystemer Figur y 2x y = 1 (1,1) skæringspunkt 1 x x + y = 2 To ligninger i to ubekendte Calculus Uge
3 Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m På matrix form A = (a ij ) m n-matrix, b = (b i ) m-søjle, x = (x j ) n-søjle Ax = b. Calculus Uge
4 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system 4. Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger Calculus Uge
5 Løsningsrummet [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem med n ubekendte Ax = 0 er et lineært underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Dimensionen er antal frihedsgrader. dim N A Calculus Uge
6 Løsningsrummet [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem med n ubekendte Ax = 0 er et lineært underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Dimensionen er antal frihedsgrader. dim N A Bevis Ax = 0, Ay = 0 A(x + y) = 0 Calculus Uge
7 Uendelig mange løsninger [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.10 For et homogent ligningssystem Ax = 0 er følgende ækvivalent: 1. Der er en løsning Der er uendelig mange løsninger. 3. Nulrummet N A Antallet af frihedsgrader er > 0. Calculus Uge
8 Uendelig mange løsninger [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.10 For et homogent ligningssystem Ax = 0 er følgende ækvivalent: 1. Der er en løsning Der er uendelig mange løsninger. 3. Nulrummet N A Antallet af frihedsgrader er > 0. Bevis Benyt, at et ikke-nul underrum er en uendelig mængde. Calculus Uge
9 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.12 x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge
10 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel x 3 = x 4 og x 1 = x 2. x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge
11 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel x 3 = x 4 og x 1 = x x 4 og x 2 kan vælges frit. x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge
12 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = x 2 x 2 x 4 = x 2 x x Calculus Uge
13 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = x 2 x 2 x 4 = x 2 x x Løsningsrummet er span af vektorerne 1 1 0, Calculus Uge
14 Uafhængige søjler [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.13 Søjlerne a 1,...,a n i en m n-matrix A er lineært uafhængige, hvis og kun hvis nulrummet N A = 0. Calculus Uge
15 Uafhængige søjler [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.13 Søjlerne a 1,...,a n i en m n-matrix A er lineært uafhængige, hvis og kun hvis nulrummet N A = 0. Bevis Matrixmultiplikationen giver Ax = j x j a j Så x N A er 0, når søjlerne er lineært uafhængige. Calculus Uge
16 Løsninger og nulrum [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.15 Givet en partikulær løsning u til det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b så er løsningsmængden {x R n Ax = b} = u + N A Calculus Uge
17 Løsninger og nulrum [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.15 Givet en partikulær løsning u til det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b så er løsningsmængden {x R n Ax = b} = u + N A Bevis Simple regneregler for matrix multiplikationen giver Au = b, Ax = 0 A(u + x) = b Calculus Uge
18 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Calculus Uge
19 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Løsning Gør prøve A 0 = 0 b Calculus Uge
20 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Løsning Gør prøve Afkryds det sande: A 0 = 0 b (a) (b) (c) Calculus Uge
21 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.17 x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 Calculus Uge
22 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.17 x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 1. x 3 = 2, x 1 = 1 og x 2 = x 4 = 0 Calculus Uge
23 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.17 x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 1. x 3 = 2, x 1 = 1 og x 2 = x 4 = 0 2. Giver en partikulær løsning (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (1, 0, 2, 0) Calculus Uge
24 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 2 x 2 2 x 4 = x x x Calculus Uge
25 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 2 x 2 2 x 4 = x x x Løsningsmængden er (1, 0, 2, 0) plus en vilkårlig vektor fra underrummet af alle linearkombinationer af vektorerne ( 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) Calculus Uge
26 Konsistens [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.18 Det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b har en løsning, hvis og kun hvis b Span(a 1,...,a n ), altså b er en linearkombination af søjlerne i koefficientmatricen. Calculus Uge
27 Konsistens [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.18 Det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b har en løsning, hvis og kun hvis b Span(a 1,...,a n ), altså b er en linearkombination af søjlerne i koefficientmatricen. Bevis Matrixmultiplikationen giver en linearkombination af søjler Ax = j x j a j = b Calculus Uge
28 Søjlerum og rang [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition For en m n-matrix A er søjlerummet R A = Span(a 1,...,a n ) underrummet i R m udspændt af søjlerne i A og rækkerummet R A T = Span(a 1,...,a m ) underrummet i R n udspændt af rækkerne i A. Calculus Uge
29 Søjlerum og rang [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition For en m n-matrix A er søjlerummet R A = Span(a 1,...,a n ) underrummet i R m udspændt af søjlerne i A og rækkerummet R A T = Span(a 1,...,a m ) underrummet i R n udspændt af rækkerne i A. Dimensionen af søjlerummet kaldes rangen rang A = dim Span(a 1,...,a n ) Calculus Uge
30 3 ligninger 4 ubekendte Eksempel rækkereduktion 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge
31 3 ligninger 4 ubekendte Eksempel rækkereduktion 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge
32 Eliminer en ubekendt Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge
33 Eliminer en ubekendt Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 8x x 4 = 18 Calculus Uge
34 Eliminer endnu en Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 8x x 4 = 18 Calculus Uge
35 Eliminer endnu en Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 8x x 4 = 18 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 3 3x 4 = 6 Calculus Uge
36 En ubekendt er fri Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 3 3x 4 = 6 Calculus Uge
37 En ubekendt er fri Eksempel fortsat Heraf 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 3 3x 4 = 6 x 3 = 3 + 3x 2 4 x 2 = 4 2x 3 6x 4 = 2 9x 4 x 1 = 8 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4 3x 4 Calculus Uge
38 Brug matrixform Eksempel fortsat Løsning x 3 = x 4 x 2 = 2 9x 4 x 1 = 4 3x 4 Calculus Uge
39 Brug matrixform Eksempel fortsat Løsning x 3 = x 4 x 2 = 2 9x 4 x 1 = 4 3x 4 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = 4 3x 4 2 9x x 2 4 = x x Calculus Uge
40 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Calculus Uge
41 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Calculus Uge
42 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Calculus Uge
43 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden Calculus Uge
44 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden 1. Bevarer løsningsmængden. Calculus Uge
45 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden 1. Bevarer løsningsmængden. 2. Bringer ligningssystemet på række-echelon form, trappeform. Calculus Uge
46 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden 1. Bevarer løsningsmængden. 2. Bringer ligningssystemet på række-echelon form, trappeform. 3. Løsningsmængden kan opskrives ved baglæns substitution. Calculus Uge
47 Skalpellen frem, fjern ubekendte Eksempel 7.4 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge
48 Skalpellen frem, fjern ubekendte Eksempel 7.4 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge
49 Skær videre Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge
50 Skær videre Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 6x x 4 = 18 Calculus Uge
51 Videre Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 6x x 4 = 18 Calculus Uge
52 Videre Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 6x x 4 = 18 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 4 = 6 Calculus Uge
53 Afslut bagfra Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 4 = 6 Calculus Uge
54 Afslut bagfra Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 4 = 6 Heraf x 4 = 2 x 2 = 4 2x 3 6x 4 = 16 2x 3 x 1 = 8 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 2 Calculus Uge
55 En fri tre bundne Eksempel fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 Calculus Uge
56 En fri tre bundne Eksempel fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = x 3 x 3 = x Calculus Uge
57 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Calculus Uge
58 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Calculus Uge
59 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal 0 Calculus Uge
60 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal 0 Addition af et multiplum af en række til en anden Calculus Uge
61 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal 0 Addition af et multiplum af en række til en anden Bringer matricen på (reduceret) række-echelon form (trappeform), 1 på pivot indgange 0 0 1?? 0?? ?? Calculus Uge
62 Strategi på matrix form Bemærkning 7.6 Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax = b (A b) Calculus Uge
63 Strategi på matrix form Bemærkning 7.6 Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax = b (A b) Rækkeoperationer på et ligningssystem svarer til rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Calculus Uge
64 Strategi på matrix form Bemærkning 7.6 Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax = b (A b) Rækkeoperationer på et ligningssystem svarer til rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Det reducerede ligningssystem opskrives fra den reducerede matrix. Calculus Uge
65 Strategi på matrix form Eksempel (7.4 igen) 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge
66 Strategi på matrix form Eksempel (7.4 igen) 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = Calculus Uge
67 Øvelse gør mester Eksempel fortsat Calculus Uge
68 Øvelse gør mester Eksempel fortsat Calculus Uge
69 Atter øvelse Eksempel fortsat Calculus Uge
70 Atter øvelse Eksempel fortsat Calculus Uge
71 Afslut elegant Eksempel fortsat Calculus Uge
72 Afslut elegant Eksempel fortsat Det reducerede ligningssystem x 1 = 2 x 2 + 2x 3 = 16 x 4 = 2 Calculus Uge
73 En fri tre bundne Eksempel fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 Calculus Uge
74 En fri tre bundne Eksempel fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = x 3 x 3 = x hvor x 3 vælges frit. Calculus Uge
75 Struktur er sagen Sætning 7.8 Givet et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end ligninger. 1. Hvis systemet er homogent, så har det uendelig mange løsninger. 2. Hvis systemet er konsistent, så har det uendelig mange løsninger. Calculus Uge
76 Struktur er sagen Sætning 7.8 Givet et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end ligninger. 1. Hvis systemet er homogent, så har det uendelig mange løsninger. 2. Hvis systemet er konsistent, så har det uendelig mange løsninger. Bevis Den reducerede koefficientmatricen har mindst 1 pivotfri søjle ?? 0?? ?? Calculus Uge
77 Konsistens Sætning 7.10 Det inhomogene ligningssystem Ax = b er konsistent, hvis og kun hvis række-echelon formen af den augmenterede matrix (A b) ikke har en pivot i sidste søjle. Calculus Uge
78 Konsistens Sætning 7.10 Det inhomogene ligningssystem Ax = b er konsistent, hvis og kun hvis række-echelon formen af den augmenterede matrix (A b) ikke har en pivot i sidste søjle. Bevis Række-echelon formen 0 0 1?? 0?? c ?? c c r giver løsning x ji = c i og øvrige x j = 0. Calculus Uge
79 Test ligningssystem Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: (a) (b) (c) (d) Calculus Uge
80 Test ligningssystem Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: Løsning Sætning 7.8 sikrer uendelig mange løsninger. (a) (b) (c) (d) Calculus Uge
81 Test ligningssystem Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: Løsning Sætning 7.8 sikrer uendelig mange løsninger. (a) (b) (c) (d) Calculus Uge
82 En sjov variation Eksempel 7.12 Løs matrixligningen ( ) ( ) 2 1 x 11 x x 21 x 22 = ( ) Calculus Uge
83 En sjov variation Eksempel 7.12 Løs matrixligningen ( ) ( ) 2 1 x 11 x x 21 x 22 Skrives som ligningssystemet = ( ) x 11 + x 21 = 1 5x x 21 = 0 2x 12 + x 22 = 0 5x x 22 = 1 Calculus Uge
84 Det er rigtig sjovt Calculus Uge
85 Det er rigtig sjovt , ( ) x 11 x 12 x 21 x 22 = ( ) Calculus Uge
86 Operationer og multiplikation [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.3 Rækkeoperationer på en m n-matrix A fremkommer ved Calculus Uge
87 Operationer og multiplikation [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.3 Rækkeoperationer på en m n-matrix A fremkommer ved Udfør rækkeoperationen på m m-enhedsmatricen og få en elementærmatrix E Calculus Uge
88 Operationer og multiplikation [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.3 Rækkeoperationer på en m n-matrix A fremkommer ved Udfør rækkeoperationen på m m-enhedsmatricen og få en elementærmatrix E Venstre multiplicer den oprindelige matrix med den fremkomne elementærmatrix EA. Calculus Uge
89 Smart overbevisende Ombytning af to rækker ( ) ( ) 0 1 a 11 a a 21 a 22 = [LA] 8 Elementærmatricer ( ) a 21 a 22 a 11 a 12 Calculus Uge
90 Smart overbevisende Ombytning af to rækker ( ) ( ) 0 1 a 11 a a 21 a 22 = [LA] 8 Elementærmatricer ( ) a 21 a 22 a 11 a 12 Multiplikation af række med tal r 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 a 11 a 12 a 11 a 12 = 0 r a 21 a 22 ra 21 ra 22 Calculus Uge
91 Smart overbevisende Ombytning af to rækker ( ) ( ) 0 1 a 11 a a 21 a 22 = [LA] 8 Elementærmatricer ( ) a 21 a 22 a 11 a 12 Multiplikation af række med tal r 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 a 11 a 12 a 11 a 12 = 0 r a 21 a 22 ra 21 ra 22 Addition af et multiplum af en række til en anden ( ) ( ) 1 r a 11 a a 21 a 22 = ( a 11 + ra 21 a 12 + ra 22 a 21 a 22 ) Calculus Uge
92 Rangformlen [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.4 For en m n-matrix A gælder: 1. Antal pivot er er rangen ranga. 2. Antal pivot er dimensionen af rækkerummet ranga T. 3. Antal af søjler uden pivot er er antal af frihedsgrader dim N A. 4. Antal frihedsgrader plus antal pivot er er antal søjler, rangformlen dim N A + ranga = n Calculus Uge
93 Enten-eller Sætning 8.7 En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer enten føres over i identitetsmatricen eller føres over i en matrix med en nulrække nederst Calculus Uge
94 Enten-eller Sætning 8.7 En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer enten føres over i identitetsmatricen eller føres over i en matrix med en nulrække nederst Bevis Matricen på reduceret trappeform 1? Calculus Uge
95 Ensidig invers er tosidig [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.8 Lad A,B være kvadratiske matricer af samme størelse. Så gælder AB = I BA = I En højre invers er også en venstre invers. Calculus Uge
96 Ensidig invers er tosidig [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.8 Lad A,B være kvadratiske matricer af samme størelse. Så gælder AB = I BA = I En højre invers er også en venstre invers. Bevis Hvis AB = I har alle ligningssystemer Ax = b en løsning x = Bb. Den reducerede form af A kan da ikke have en 0-række og er derfor enhedsmatricen I. Altså findes en matrix C så CA = I. Til slut er C = C(AB) = (CA)B = B. Calculus Uge
97 Invertibel som produkt [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.10 En invertibel matrix kan skrives som et produkt af elementærmatricer. Hvis E 1,...,E k er elementærmatricer svarende til rækkeoperationer, som fører en matrix A i identitetsmatricen, så er A = E 1 1 E k 1 Calculus Uge
98 Invertibel som produkt [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.10 En invertibel matrix kan skrives som et produkt af elementærmatricer. Hvis E 1,...,E k er elementærmatricer svarende til rækkeoperationer, som fører en matrix A i identitetsmatricen, så er A = E 1 1 E k 1 Bevis Der findes en følge af elementærmatricer E 1,...,E k så produktet E k E 1 A = I. Så fås, at A = E 1 1 E k 1 og da de inverse til elementærmatricer igen er elementærmatricer haves produktfremstillingen. Calculus Uge
99 Invers ved operationer [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.13 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen I. I så fald er den augmenterede matrix (A I) (I A 1 ) Calculus Uge
100 Invers ved operationer [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.13 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen I. I så fald er den augmenterede matrix (A I) (I A 1 ) Den inverse matrix beregnes ved rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Calculus Uge
101 Invers 2x2-matrix Eksempel 8.14 Løs matrixligningen, i.e. beregn invers, ( ) ( ) 2 1 x 11 x 12 = 5 3 x 21 x 22 ( ) Calculus Uge
102 Invers 2x2-matrix Eksempel 8.14 Løs matrixligningen, i.e. beregn invers, ( ) ( ) 2 1 x 11 x 12 = 5 3 x 21 x 22 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Calculus Uge
103 Invers 2x2-matrix Eksempel fortsat Rækkereduktionen ( ) ( ) Calculus Uge
104 Invers 2x2-matrix Eksempel fortsat Rækkereduktionen ( ) ( ) giver den inverse ( ) 1 ( ) = Calculus Uge
105 Invers 2x2-matrix Eksempel - forsat Gør prøve ( ) 1 ( ) = Calculus Uge
106 Invers 2x2-matrix Eksempel - forsat Gør prøve ( ) 1 ( ) = Udregn ( ) ( ) = ( ) Calculus Uge
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/29/13647802.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
To ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/40/21226631.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/55/37584246.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
DesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse
LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra
Nøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer
Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/70/62452762.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Matricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/69/60570115.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Matematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/74/70906933.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
MATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/52/30090298.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Lineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Løsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
![Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion](/thumbs/71/64059563.jpg "Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Lineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
![Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3](/thumbs/91/105982264.jpg "Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3")
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Matematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
MATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode (håndregning),
Om hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed
Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
MATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære
Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
MATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,
Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Underrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10
Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og
Lineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/40/21809007.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Lineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Eksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Sudoku. Jørgen Brandt. Sudoku 1
Jørgen Brandt 1 Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends 2 3 9 7 1 4 7 2 8 5 2 9 1 8 7 4 3 6 7 1 7 9 3 2 6 5 2 Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Hemmeligheden bag 2 3 9 7 1 4 7 2 8 5 2 9 1 8 7 4
Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2
Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar
1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Mat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
MATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt
Matematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages
MATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler
DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Lineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Undervisningsnotat. Matricer
Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.
Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax
Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
DesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag