UCL Læreruddannelsen på Fyn og i Jelling

Transkript

1 UCL Læreruddannelsen på Fyn og i Jelling Forberedelsesmateriale til kompetencemålsprøven i undervisningsfaget matematik klasse Juni 2015

2 Når forberedelsesmaterialet er udleveret, er prøven formelt begyndt, og læreruddannelsernes matematiklærere må ikke kommunikere med de studerende om faglige spørgsmål, før den samlede skriftlige delprøve er gennemført. Forberedelsesmaterialet indeholder en indledning med praktiske informationer om den skriftlige prøve, råd vedrørende arbejdet i forberedelsestiden og råd vedrørende besvarelsens udformning. Selve forberedelsesmaterialet udgøres af følgende tekster 1. Niss, Mogens (2007): Opgavediskursen i matematikundervisningen. Side Mona Blomhøj, Morten: Hvad er undersøgende matematikundervisning og virker den? ( %20matematikundervisning%20morten%20b.pdf, lokaliseret ) 3. Beck, Hans Jørgen m.fl. (2014): Matematik for lærere i-bog. Arbejdskort F4. København. Gyldendal 4. Nielsen, Connie, Tang, Elisabeth (2014): ABACUS 3. kl. - Mod nye udfordringer Basisbog Uddrag, side Forlaget Matematik Mogensen, Arne; Pedersen, Silla Balzer (2010). Faktor i anden elevbog B, 2. udgave 10. oplag side Uddrag, side 2-3. København. Alinea 6. Hartz, Viggo (2004). Uden ord næsten. Matematik, 1. Årgang Freil, Ole og Kaas, Thomas (2005). Kolorit matematik for femte klasse, 1. udgave 4. oplag. Uddrag, side København, Gyldendal 8. Uddrag af Matematik klasse Et digitalt undervisningsmateriale, Gyldendal1 med tilhørende regneark til både Excel, Google Sheets og OpenOffice/LibreOffice som bilag. 9. Uddrag af hjælpefunktioner OpenOffice/LibreOffice og Excel 10. It-forberedelse Ved prøven kan der være opgaver uden forberedelsesmateriale. 1 ering_i_regneark.aspx lokaliseret 29/4 2015

3 Praktiske informationer om den skriftlige prøve Det er nødvendigt at medbringe en computer til prøven, da den samlede besvarelse skal afleveres digitalt på Wiseflow. Til den skriftlige prøve medbringes ligeledes Fronterlogin-informationer (skal bruges til netadgang og wiseflow) Nem-id, hvis Fronter-login ikke virker Sygesikringskort, hvis net-login ikke virker 3-5 meter forlængerledning Gerne et Usb-stick, hvis alt driller. Ud over fx Geogebra, et regnearksprogram og et CAS-program kan der blive brug for fx simuleringsprogrammer og andre programmer, der har været anvendt i forbindelse med undervisningen. Under den skriftlige prøve er det tilladt at benytte internettet, fx at bruge opslagsværker og apps. Det er ikke tilladt at benytte internettet til kommunikation, fx ved at stille spørgsmål eller føre dialog om opgaverne i sociale medier. Man bør kunne tage skærmbilleder og indsætte i sit dokument, evt. tage billeder af håndskrevne noter og indsætte i sit dokument og gemme/omforme sit dokument til pdf-format til sidst. Råd vedrørende arbejdet i forberedelsestiden Forberedelsestiden er beregnet til, at man kan sætte sig ind i forberedelsesmaterialet, formulere og løse opgaver i relation til teksterne mv. og eventuelt læse op på fagligt og fagdidaktisk stof. Det er tilladt at benytte alle hjælpemidler, herunder biblioteker og internet, til at søge supplerende oplysninger. Det anbefales, at man arbejder sammen i forberedelsestiden. Forberedelsestiden kan også bruges til at udarbejde tekster, som kan danne grundlag for besvarelsen. Normalt vil det imidlertid ikke være muligt at gætte opgaverne ud fra forberedelsesmaterialet, og man må derfor regne med at skulle omformulere tekster, som er skrevet i forberedelsestiden. Hvis tekster, som er udarbejdet i forberedelsestiden, indgår uændret i besvarelsen, skal disse tekstdele tydeligt markeres som citater. Kilden til citatet skal anføres, herunder hvem teksten eventuelt er udarbejdet sammen med. Råd vedrørende besvarelsens udformning Det er vigtigt at forholde sig præcist til spørgsmålsformuleringen. Inden man giver sig i kast med at løse opgaven, bør man derfor overveje hvilken type svar, der spørges efter fx en beregning, et ræsonnement, et algebraisk udtryk osv. Matematikfaglige spørgsmål kan sjældent besvares kun med et facit. Det er en del af den professionelle kompetence at kunne afgøre, hvornår en begrundelse er nødvendig, og hvornår den er tilstrækkelig fyldig. Derfor bør fx mellemregninger og forklarende tekst ledsage besvarelsen, dels for at fremgangsmåden kan bedømmes, og dels for at undgå at banale regnefejl bedømmes som forståelsesfejl. Tegninger, figurer og udskrifter fra computerprogrammer bør også ledsages af en forklarende tekst, som gør det muligt at følge tankegangen.

4 Nogle opgaver kræver løsningsmetoder, der ikke er rutineprægede. Mange opgaver kan løses på flere måder, og ethvert skridt hen imod en løsning kan tælle positivt ved bedømmelsen. Der kan sagtens ligge positiv information om det faglige niveau i en mangelfuld besvarelse. Selv om det ikke lykkes at komme igennem med løsningen af en opgave, kan det derfor være væsentligt for bedømmelsen, at de løsningsforsøg, der gøres, beskrives lige så fyldigt som en egentlig løsning. Er man i tvivl om, hvordan en opgave skal fortolkes, bør man gøre opmærksom på det. Det skal så af besvarelsen fremgå, hvilken tolkning af opgaveteksten, der lægges til grund for besvarelsen. Også i spørgsmål af fagdidaktisk karakter er det vigtigt at forholde sig præcist til spørgsmålsformuleringen og udforme besvarelsen med brug af fagdidaktiske begreber. Der kan være tale om en teoretisk redegørelse, en analyse eller en vurdering. I besvarelsen kan inddrages teori ud over forberedelsesmaterialet, hvis det er relevant i opgaven. En analyse vil normalt tage afsæt i en model eller en teori. Hvis ikke opgaveformuleringen præciserer dette nærmere, kan man bruge sin faglige og fagdidaktiske viden til at vælge et passende udgangspunkt for analysen. En vurdering skal altid være fagligt begrundet, og vil derfor ofte bygge på en analyse. Selv om opgaveteksten ikke forudsætter en analyse, skal man formulere det faglige grundlag for vurderingen. Hvis der spørges efter en diskussion, forventes det, at besvarelsen nævner forskellige synspunkter og afvejer dem overfor hinanden med argumenter for og imod de enkelte synspunkter. En diskussion vil ikke altid munde ud i en entydig konklusion, men den vil give oversigt over de vigtigste argumenter i sagen. Der kan også forekomme spørgsmål af lærerpraktisk karakter, fx planlægning af matematikundervisning, vurdering af elevprodukter eller formulering af mål. Her er det vigtigt at kende fagets bestemmelser og didaktiske kategorier som læringsmål, undervisningsaktiviteter, tegn på læring og evaluering. Ved besvarelsen af sådanne spørgsmål skal man trække på såvel faglig indsigt og kreativitet som realisme i forhold til skolens praksis.

5 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen Mogens Niss, IMFUFA, Institut for Natur, Systemer og Modeller, RUC Artiklen 1 tager sit udgangspunkt i Stieg Mellin-Olsens undersøgelse (1990) af opgavediskursen i matematikundervisningen. På den baggrund søger vi svar på spørgsmålet Hvorfor indtager problemdiskursen så fremtrædende en rolle i såvel matematikundervisning som i matematikdidaktisk forskning? Derefter ses der nærmere på væsentlige begrænsninger i opgavediskursen, og der peges på andre diskurser som burde spille en central rolle i undervisning og forskning. Indledning I Anders Folke Larsens, Mikkel Heins og Tine Wedeges artikel Undersøgende læringsmiljø i matematik. Kritisk refleksion efter skoleperioden i det foregående nummer af MONA indgår en omtale af den nu afdøde norske matematikdidaktiker Stieg Mellin Olsens betragtninger (1990) over hvad han kalder opgavediskursen i matematikundervisningen. Mellin-Olsens betragtninger fortjener at blive mere kendt end tilfældet er, og at blive suppleret med overvejelser over grundlaget for og begrænsningerne ved denne diskurs. Det er hensigten med denne artikel at fremsætte sådanne overvejelser på baggrund af en lidt mere indgående introduktion til (dele af) Mellin-Olsens undersøgelse. Introduktion til Mellin-Olsens betragtninger I juni 1990 holdt det daværende humanistiske forskningsråds såkaldte Initiativet vedrørende matematikundervisning én blandt flere konferencer i Gilleleje. Ved denne konference gav Stieg Mellin-Olsen et interessant og tankevækkende oplæg om opgavediskursen som findes i den ret uformelle rapport fra konferencen. Jeg lægger ud med en introduktion af de centrale betragtninger i oplægget. Først en terminologisk forbemærkning. På dansk (og norsk) har ordet opgave jo en bred og mangesidet betydning. I sammenhæng med matematikundervisning er det 1 Dette er en oversat (ved forfatteren) og let bearbejdet udgave af artiklen The problem discourse in mathematics education i Häggblom, L., Burman, L. & Röj-Lindberg, A.-S. (red.) (2006). Perspektiv på Kunskapens och lärandets villkor. Festskrift tillägnad professor Ole Björkqvist. Vasa: Åbo Akademi, Pedagogiska fakulteten. s Artikler

6 8 Mogens Niss MONA dog sjældent at hele betydningsspektret er på færde når ordet bruges. Ordet bruges her i hovedsagen til at angive rene eller blandede former af på den ene side øvelser og på den anden side problemer. En øvelse er et i princippet standardiseret hverv med det formål at indøve rutiner eller at efterprøve og anvende basale begreber eller regler, mens et problem er et hverv der på en eller anden vis udfordrer problemløseren hinsides hans eller hendes rutinebestemte kundskaber og færdigheder (Schoenfeld, 1985). Det følger heraf at hverken øvelse eller problem er absolutte begreber, knyttet alene til det hverv der er tale om, men relative begreber der inddrager baggrund, viden og erfaringer hos den person (elev eller studerende) der forsøger at løse opgaven. Matematikundervisning omfatter i vid udstrækning elevers og studerendes arbejde med matematikopgaver. Med Mellin-Olsens ord (s. 47) er matematikundervisningen stærkt præget af opgavediskursen, hvilket videre præger læreres, elevers og studerendes forestillingsverden. Vi har at gøre med en diskurs fordi sprog, kommunikationspraksis og aktiviteter danner en sammenhæng, og fordi dennes elementer hører hjemme i og skal forstås i forhold til givne historiske og institutionelle rammer og traditioner. Ved at være en bestemmende faktor for arbejdet i klasserummet, og for karakteriseringen af det, er opgavediskursen ifølge Mellin-Olsen så central i matematikundervisningen at enhver forandring eller udvikling af denne må forholde sig til, og måske ligefrem gå til angreb på, denne diskurs (s. 48). Mellin-Olsen karakteriserer matematikopgaver ved at fokusere på en række særlige træk ved dem. En matematikopgave er en lukket enhed der, når den er løst, leder frem imod den næste opgave eller det næste emne i lærebogen. Hver opgave eller delopgave har en begyndelse og en slutning som oftest markeres ved at man er nået frem til et definitivt svar på et stillet spørgsmål. Opgaver er ofte ordnet i en rækkefølge, gerne ved at være nummereret, så lærere og elever/studerende altid ved hvor man befinder sig i opgavelisten. Opgaverne er sædvanligvis ikke formuleret på måder der inviterer eleverne til selv at formulere spørgsmål. Ikke sjældent evalueres elever og studerende efter hvor langt de er nået i en tilfredsstillende besvarelse af rækken af opgaver. Ved afslutningen af et undervisningsforløb er det ikke ualmindeligt at der stilles en række opgaver til skriftlig besvarelse i en test eller ved en eksamen. Ved at interviewe tyve matematiklærere opdagede Mellin-Olsen at de i udstrakt grad gjorde brug af forskellige rejsemetaforer når de engagerede sig i opgavediskursen (s ). De kører deres undervisning ved hjælp af opgaver. Skønt Mellin-Olsen ikke udtrykkeligt bruger dette ord, udgør opgaver transportmidlet på rejsen mens lærebogen udgør rejseplanen som beskriver de steder rejsen skal føre igennem, med læreren som guide. Visse begivenheder kan få klassen eller nogle af dens medlemmer til at køre af sporet, men undervisningen kan blive bragt tilbage på sporet ved lærerens eller elevernes vellykkede manøvrering eller ved rent held. Rejsen har Artikler

7 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen 9 en fart og kan gå for stærkt eller for langsomt. Ofte går nogle elever hurtigere frem end andre de kan komme foran deres kammerater mens andre ikke kan følge med. Nu og da følges vejen omhyggeligt af de rejsende som tager den lige vej især hvis opgaverne er lige ud ad landevejen. Men det kan hænde at der tages en tilsigtet eller blot tilfældig omvej, måske for at komme uden om en forhindring, som det dog også kan være man skal springe over så man kan komme videre og nå frem til målet for rejsen til det fastsatte tidspunkt. Målet kan danne startpunktet for en ny rejse, som fx kan være et nyt skoleår, et nyt semester eller kursus, en ny slags uddannelsesinstitution osv. Det hænder gerne at der på en rejse gøres holdt så læreren kan gå nærmere ind på hvor man nu er nået til, måske i forbindelse med et panorama-vue over hvordan man er kommet så langt, og et andet over hvor man nu skal hen. På rejsen medbringer hver elev eller studerende noget bagage, som sædvanligvis forøges undervejs så man kan besøge mindre tilgængelige steder som det kræver særligt udstyr at nå. Imidlertid kan ingen elev tage mere bagage om bord end hans eller hendes kapacitet tillader. Det fremgår at rejsemetaforerne lægger op til et ikke uvæsentligt islæt af konkurrence mellem deltagerne. I mange klasser er forskellene mellem eleverne så store at de ikke alle, med tilstrækkeligt udbytte, kan deltage i den samme rejse. De kan så deltage i forskellige rejser som indebærer forskellige transportmidler (opgaver) der svarer til forudsætningerne hos de respektive grupper af deltagere. Det kan tænkes at rejseruten er den samme, men at de forskellige grupper gennemfører den med forskellig fart, eventuelt med forskellige afstigningssteder. Det er også muligt at rejseruterne er forskellige, men bestemmelsesstedet det samme. Endelig kan både rute og mål variere. (Det er alt dette der uden for verdenen af rejsemetaforer samles under betegnelsen undervisningsdifferentiering). De opgaver elever og studerende kan løse, anvendes nu og da til at bestemme hvilken rejse de skal deltage i næste gang. Desuden spiller deres succes med opgaveløsningen sædvanligvis en væsentlig rolle for de karakterer de opnår, enten undervejs eller ved rejsens afslutning. Mellin-Olsen går derefter over til at se på virkninger af opgavediskursen. Han hæfter sig navnlig ved de negative virkninger og leder efter måder hvorpå disse kan undgås eller mindskes. For Mellin-Olsen er den mest negative virkning den af konkurrence forårsagede inddeling af elever og studerende i forskellige dygtighedsgrupper, hvorved der etableres en klassestruktur (i sociologisk forstand) i (undervisnings)klassen. Dermed er skitsen af nogle centrale betragtninger i Mellin-Olsens artikel fuldført. Hans bidrag danner grundlag for at antage at opgavediskursen spiller en central, for ikke at sige dominerende, rolle i matematikundervisningen, og at denne diskurs er dybt forankret i praksis og traditioner som udgør rammerne for denne undervisning. Nu er Mellin-Olsens betragtninger jo dels halvandet årti gamle, dels ganske generelle Artikler

8 10 Mogens Niss MONA i deres sigte i forhold til undervisningstrin og -sted og dels fremstillet på basis af norske erfaringer. De har med andre ord en stor flyvehøjde. Har de så relevans i dag i en dansk sammenhæng og på alle undervisningstrin? Efter min vurdering er svaret ja!. Naturligvis kan man med rette hævde at der på den ene side i tillæg til et fokus på opgavevirksomhed også ses fokus på andre aktiviteter, og at der i Danmark i dag på den anden side er tale om et langt mindre rigidt og stereotypt opgavebegreb end det der antydes i Mellin-Olsens oplæg. Ikke desto mindre florerer et omfattende arbejde med opgaver i bedste velgående i dagligdagen i al dansk matematikundervisning, ligesom skriftlige test og eksaminer spiller en nøglerolle i de anvendte evalueringssystemer. Desværre foregår der i Danmark næsten ingen systematisk kortlægning af hvad tiden bruges til i matematikundervisningen (jf. rapporten Fremtidens matematik i folkeskolen afgivet af Udvalget til forberedelse af en handlingsplan for matematik i folkeskolen, januar 2006), så en omfattende, facts-baseret dokumentation af opgavediskursens plads og omfang i matematikundervisningen er ikke til rådighed for de videre overvejelser. Derfor må læserne betjene sig af deres egne erfaringer når de forholder sig til de overvejelser som fremlægges i denne artikel. Hvor Mellin-Olsens oplæg lagde vægt på selve påpegningen af opgavediskursens tilstedeværelse og rolle og på omtalen af nogle af dens (for Mellin-Olsen uønskede) virkninger, er fokus i denne artikel især et forsøg på at identificere og karakterisere de årsager der ligger bag opgavediskursens dominans både i matematikundervisning og i matematikdidaktisk forskning, først og fremmest i empirisk forskning. Det skal forlods understreges at Mellin-Olsens betragtninger ikke drejer sig om matematikdidaktisk forskning. Vi skal nærmere bestemt beskæftige os med to spørgsmål: Hvordan kan det være at opgavediskursen indtager en så fremtrædende plads i matematikundervisningen? og Hvilken rolle spiller opgavediskursen i matematikdidaktisk forskning, og hvorfor? Spørgsmålene vil, bl.a. af pladshensyn, blive behandlet ved hjælp af analytiske overvejelser snarere end ved empiriske undersøgelser, ligesom en egentlig litteraturgennemgang på feltet ville føre alt for vidt. Hvordan kan det være at opgavediskursen indtager en så fremtrædende plads i matematikundervisningen? Lad os tage udgangspunkt i den antagelse som altså ikke vil blive efterprøvet i denne artikel at Stieg Mellin-Olsen har ret i at opgavediskursen (også i dag) faktisk spiller en fremtrædende rolle i al matematikundervisning. Hvordan kan dette forklares? Inden jeg forsøger at svare på det, vil det være rimeligt at overveje hvad alternativerne er/kunne være. Det vil sige hvilke andre aktiviteter end opgaveløsning kunne stå i centrum for matematikundervisning og -læring? Traditionel matematikunder- Artikler

9 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen 11 visning omfatter elevaktiviteter som for eksempel: læsning af lærebogen, mundtlig præsentation af et stykke fagligt stof for klassekammeraterne og læreren, fremstilling typisk henvendt til læreren af fagligt stof i skriftlig form, fremlæggelse og forklaring af beviser eller udregninger for klassen samt besvarelse af quiz-spørgsmål stillet af læreren med vægt på facts og fremgangsmåder. I mindre traditionsbunden matematikundervisning finder man yderligere aktiviteter såsom: forskellige typer af projektarbejde, arbejde med modeller(ing) af ekstra-matematiske situationer, konstruktion af opgaver til løsning af kammerater, udarbejdelse af essays om matematiske emner, fremstilling af begrebskort, fremstilling af posters, videosekvenser, teaterstykker eller lignende som præsenterer aspekter af matematik for andre, gennemførelse af matematiske undersøgelser, fx af det eksplicitte eller implicitte matematikindhold i aviser eller andre medier eller i forskellige erhverv, fremstilling af konkrete fysiskmatematiske objekter af papir, træ, metal, plastic osv. eller computerrepræsenterede objekter, analyse eller opfindelse af matematikorienterede spil etc. Påstanden om at opgavediskursen indtager en dominerende plads i matematikundervisningen, er selvsagt ikke en påstand om at denne kun har opgaveløsning på programmet. Påstanden går i stedet ud på at væsentlige dele af matematikundervisningen centreres om opgavediskursen, og at denne i høj grad sætter rammerne for de øvrige aktiviteter som sættes på dagsordenen. Den ovenfor nævnte liste af aktiviteter tjener til at vise at løsning af matematikopgaver ikke just er den eneste mulige kerneaktivitet i matematikundervisningen. Opgavediskursens dominans giver derfor ikke sig selv. Den kræver en forklaring. Der er i hovedsagen to slags argumenter for at tildele opgaveløsning en nøglerolle i matematikundervisningen. I den første slags argumenter betragtes matematisk opgavehåndtering som et mål i sig selv. I den anden slags argumenter ses opgavehåndtering som et nødvendigt eller i det mindste nyttigt middel til opnåelsen af noget andet. Lad os se nærmere på argumenterne. Beskæftigelsen med matematiske problemer er essensen af matematisk virksomhed Historisk set har formuleringen og løsningen af rene og anvendte matematikproblemer og brugen af deres løsninger altid været hjørnestene i matematisk virksomhed, hvad enten vi taler om matematik som en ren videnskab, en anvendt videnskab, et system af redskaber for samfundsmæssig praksis eller en disciplin for æstetisk udfoldelse (Niss, 2001). Dette går helt tilbage til oldtidens matematik i Mesopotamien, Egypten og Grækenland såvel som i Kina og Indien, men var også karakteristisk for matematikken som den blev udøvet i de første århundreder af den videnskabelige revolution når fx italienske, britiske, franske og tyske matematikere konkurrerede om opstillingen Artikler

10 12 Mogens Niss MONA og løsningen af matematiske problemer (se fx Katz, 1998). Også i nyere tid er matematikkens videnskabelige udvikling i betydelig grad blevet drevet af beskæftigelsen med matematiske problemer, hvilket fortsat er tilfældet. Man kan her blot tænke på de tre klassiske græske problemer, cirklens kvadratur, terningens fordobling og vinklens tredeling, som alle først fandt deres afgørelse i det 19. århundrede (derved at det blev bevist at ingen af de tre opgaver har en løsning med de midler som er accepteret på feltet). Eller man kan tænke på fire-farve-hypotesen, Fermats sidste sætning, kontinuumshypotesen og Poincaré-formodningen som, ud over at være blevet afgjort (sådan da det er blevet afgjort at kontinuumshypotesen er uafgørlig!) i det 20. og 21. århundrede, har givet anledning til en voldsom udvikling af matematikkens teoridannelser. Det samme er tilfældet med den endnu uafgjorte Riemann-hypotese. Den såkaldte Clay Foundation har udskrevet prisopgaver af betragtelig størrelse til personer der løser ét fra en liste af syv berømte matematiske problemer ( heriblandt Poincaré-formodningen. Hvad angår anvendelsen af matematik inden for andre videnskabs- eller praksisområder, er en af matematikkens centrale roller at bidrage til at svare på spørgsmål inden for det pågældende område, netop ved at opstille, præcisere og løse matematiske problemer i tilknytning til de givne spørgsmål. For eksempel har man ad matematisk vej bevist umuligheden af at indrette valg- og afstemningssystemer som på én gang opfylder en række nærliggende og ønskværdige betingelser. Ligeledes har man ad matematisk vej angivet præcise metoder og betingelser for indretningen af selvkorrigerende kodningssystemer som bruges i datatransmission, herunder i cd-brænding og afspejling. Samlet set er løsningen af matematiske problemer eller lidt anderledes sagt, besvarelsen af matematiske spørgsmål at betragte som selve essensen af matematisk virksomhed (se fx Halmos, 1980). Dette gælder både i forhold til matematikken som videnskabsområde og i forhold til udnyttelsen af matematik til ekstra-matematiske formål. Hvis vi ønsker at matematikundervisningen skal indfange denne matematikkens essens, i det mindste i en rimelig grad, følger det mere eller mindre umiddelbart at matematisk problemløsning må indtage en prominent position i matematikundervisningen. Dette afspejles også i det faktum at matematikundervisningsmaterialer i historiens løb altid har haft problemer og opgaver i bredere forstand som en central ingrediens. Der har ligefrem været fremstillet et stort antal lærebøger som i realiteten har været rene opgavebøger. Nu er det netop anførte argument knyttet til matematiske problemer, i den tidligere definerede forstand, mens opgavediskursen jo ikke udelukkende er en problemdiskurs, idet størstedelen, om ikke ligefrem alle, de opgaver der indgår i opgavediskursen, i højere grad er øvelsesopgaver, altså færdigheds-, begrebsindøvelses- og rutineopgaver, end problemopgaver. Men det skitserede essensargument går jo netop ikke på den Artikler

11 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen 13 slags opgaver. Man kan med andre ord sige at essensargumentet for en problemdiskurs på indirekte og glidende vis omdannes ved hjælp af inklusionen: problem er blot et specialtilfælde af opgave til en opgavediskurs som altså derved henter sin legitimitet i essensargumentet. I en radikal variant af essensargumentet (i problemdiskursudgaven) er systematisk matematisk teori kommet til veje med henblik på at skabe et sammenhængende netværk af begreber og udsagn (matematiske sætninger) hvorved problemer kan stilles, angribes og løses. Det står i kontrast til et syn der ser frembringelsen og udviklingen af matematisk teori som det egentlige mål for matematisk virksomhed. Antagelig er de fleste matematikere og matematikdidaktikere tilbøjelige til at anskue forholdet mellem teoriopbygning og problembehandling som et komplementært og dialektisk forhold. På den ene side har vi brug for teori for at løse problemer/svare på spørgsmål. På den anden side kan en mængde problemer kun formuleres for slet ikke at tale om løses inden for en teoretisk ramme som de er indlejret i. I denne forståelse er det meningsløst at opstille et modsætningsforhold mellem teoriopbygning og problembehandling. Selv hvis det forholdt sig sådan at matematikundervisningens formål i sidste instans var at udvikle elevers og studerendes kompetence i at behandle rene eller anvendte matematiske problemer, var det i princippet muligt at denne kompetence ville opstå mere eller mindre direkte af et solidt kendskab til matematiske begreber, teorier, resultater og metoder, erhvervet ved studiet af velorganiserede lærebogsfremstillinger og demonstration af opgaver/problemer løst af andre. Imidlertid viser erfaring og forskning til al overflod at sådan forholder det sig meget langtfra (se fx Schoenfeld, 1985, Silver, 1985, Ikeda & Stephens, 1998). Hvis vi ønsker at elever og studerende skal blive i stand til at behandle matematiske problemer, er de nødt til at lære det, og vi er nødt til at undervise dem i det. Løsningen af matematikopgaver er et middel til at opnå noget andet, først og fremmest begribelse af matematiske begreber, teorier og resultater Antag at matematikundervisningens endemål var at udstyre dens modtagere med viden om og indsigt i matematikkens teoretiske konstruktioner og bygningsværker og disses resultater. Skønt man måske kunne tro at dette kunne opnås ved at studere fremstillinger af disse konstruktioner og bygningsværker og deres resultater, viser erfaring og forskning igen massivt at dette ikke er tilfældet (se fx Schoenfeld, 1985, Silver, 1985, Dossey et al., 1988, Lithner, 2001). Der er da heller ikke megen matematikundervisning i verden der er tilrettelagt som et rent teoristudium, uden ledsagende opgaveløsning. Skal elever og studerende nå frem til at begribe begreber, teorier og resultater, herunder deres rækkevidde og begrænsninger, må de afprøve og undersøge dem med egne hænder (og hoveder). Løsningen af forskellige slags opgaver er en Artikler

12 14 Mogens Niss MONA velprøvet og nyttig platform for sådanne egne afprøvninger og undersøgelser. Dertil kommer at matematikkens vigtigste metode til at opnå sine resultater hviler på logiske slutninger (hvortil jeg regner regelbaserede beregninger) som kombinerer det givne med relevante definitioner og tidligere opnåede resultater. Løsningen af opgaver på måder der kræver begrundelse af de påstande der fremsættes, er et fortrinligt middel til at erhverve indsigt i de logisk-systematiske træk ved matematikkens teoretiske bygningsværker. Det forhold at arbejdet med matematikopgaver er et fortræffeligt middel til at udvikle forståelse af og indsigt i matematiske begreber, teorier og resultater, indebærer at en elevs evne til at løse opgaver kan benyttes som en sonde ind i hans eller hendes forståelse af matematik. En del matematiklærere og matematikdidaktikere vil gå så langt som til at sige at en elevs matematikforståelse simpelthen konstitueres af den pågældendes opgaveløsningsevne. På tilsvarende måde udgør løsningen af anvendelsesopgaver kernen i evnen til at bringe matematikken i spil i ekstra-matematiske sammenhænge, selv om også andre aspekter er involveret heri. På denne baggrund er det lidet overraskende at opgaveløsning er hovedinstrumentet for bedømmelsen af elevers og studerendes matematikbeherskelse, hvilket på sin side forklarer at opgaveløsning indtager en nøglerolle i test og eksaminer overalt i verden. Summa summarum er det nærliggende at søge forklaringen på opgavediskursens dominans i matematikundervisningen i de to ovenfor omtalte typer af argumenter, som hver findes i mange varianter. Hvilken rolle spiller opgavediskursen i matematikdidaktisk forskning, og hvorfor? I første tilnærmelse kan svaret på dette spørgsmål ses som en konsekvens af svarene på det foregående spørgsmål. Lad os nemlig forudsætte at matematikundervisere og -didaktikere i stor udstrækning er enige om at problemer, og dermed opgaver, har karakter af en matematisk kernevirksomhed, og om at arbejdet med opgaver er et fortrinligt middel til begribelse af matematikkens teoretiske aspekter, samt om at opgavebehandling følgelig udgør en fortrinlig sonde ind i elevers og studerendes matematikforståelse og -beherskelse. Så giver det næsten sig selv at en væsentlig del af empirisk matematikdidaktisk forskning enten har de matematiklærendes opgaveløsning som udtrykkeligt forskningsfokus eller benytter opgaveløsning som et middel til at søge svar på andre spørgsmål vedrørende fx begrebsdannelse, bevisforståelse og bevisførelse, klasserumskommunikation, effekten af en given undervisningstilrettelæggelse mv. Behandlingen af opgaver benyttes ligeledes i forskningen til at undersøge lærerstuderendes og praktiserende matematiklæreres matematikopfattelse og -kompetencer. Desuden er også store internationale, komparative projekter Artikler

13 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen 15 som PISA (OECD, 2004) og TIMSS (Beaton et al., 1996) baseret på elevers løsning af matematikopgaver af forskellig art. Selv om det naturligvis ville være forkert at hævde at al empirisk matematikdidaktisk forskning involverer beskæftigelsen med matematikopgaver i en eller anden form, indtager opgaveløsning ikke desto mindre en central rolle i forskningen. Ved siden af de grunde til det som følger af diskussionen ovenfor, er der endnu en vigtig grund at tage i betragtning. Det at basere empirisk forskning på elevers, studerendes eller læreres omgang med matematikopgaver gør det relativt let at opnå objektive resultater i positivistisk forstand og at beskrive, specificere og dokumentere en undersøgelse og at stå til regnskab for dens resultater, hvilket alt sammen gør opgaveløsningsbaseret empirisk forskning til en tiltrækkende mulighed. Overforenklet sagt tilbyder opgaveløsningsbaserede studier en mulighed for at komme til at ligne studier af effekten af medicinpræparater eller behandlingstiltag i farmakologi og medicin. Som det vil fremgå af det næste og sidste afsnit, indebærer den fremtrædende plads som opgaveløsningsbaseret empirisk forskning indtager, også væsentlige problemer, ved at dette paradigme afstedkommer en potentiel begrænsning af de typer af matematiske kompetencer og matematisk indsigt som tages i betragtning i forskningen. Afslutning I størstedelen af denne artikel har vi betjent os af et bredt begreb om opgaveløsning, rækkende fra i den ene ende af spektret de enkleste rutineopgaver fokuseret på genkendelse eller indøvelse af enkeltstående velkendte begreber eller procedurer i en forelagt ramme, øvelsesopgaver som næppe stiller krav om den studerendes begrundelse af fremgangsmåde eller resultat, til i den anden ende af spektret avancerede, komplekse, udfordrende problemer som kræver nye, eller opfindsomme kombinationer af etablerede, metoder af den elev eller studerende for hvem problemet ikke er bekendt, og som tillige stiller store krav til ræsonnement og retfærdiggørelse i tilknytning til løsningen. Hvis vi som det også er strejfet i det foregående skelner mellem forskellige slags opgaver, bliver diskussionen om opgavediskursen mangesidet og kompliceret. Empiriske studier af virkelighedens opgavediskurser peger på at i store dele af matematikundervisningen er diskursen koncentreret i øvelses-enden af spektret (Dossey et al., 1988) snarere end i den ende hvor de udfordrende problemer befinder sig. Hvor det er tilfældet bidrager opgavediskursen til en trivialisering af matematikundervisningens praksis, og potentielt også af matematikdidaktisk forskning. I sidste instans stiller det spørgsmålstegn ved værdien og relevansen af begge dele. Med andre ord, der findes udgaver af opgavediskursen som får matematikundervisning og matematikdidaktisk forskning til at visne snarere end at trives. Men selv hvis vi diskuterede inden for rammerne af en optimal opgavediskurs der tog hensyn til en nøje afvejet blanding af forskellige typer af øvelse og udfor- Artikler

14 16 Mogens Niss MONA drende problemer og alle mulige relevante mellemformer med henblik på at forfølge forskellige slags formål, herunder at erhverve forståelse af matematisk teori, og selv hvis ikke kun opgavebesvarelse men også opgavestilling indgik i diskursen, ville der stadig være væsentlige aspekter af matematikbeherskelse som ville blive ladt ude af betragtning i undervisning eller forskning domineret af opgavediskursen. Der er ikke plads til at gå i detaljer med en diskussion af dette spørgsmål her, men det såkaldte KOM-projekt (Niss & Jensen, 2002) er et forsøg på at tilbyde en indgående og sammenfattende karakterisering af matematisk kompetence, dvs. matematikbeherskelse. Ved matematisk kompetence forstås evnen til på basis af indsigt at handle hensigtsmæssigt i situationer der aktuelt eller potentielt rummer matematiske udfordringer. Karakteriseringen sker ved udpegningen af otte matematiske kompetencer som tilsammen udspænder matematikkompetence. Det drejer sig om tankegangskompetence, problembehandlingskompetence (omfattende både formulering og løsning af problemer), modelleringskompetence, ræsonnementskompetence, repræsentationskompetence, symbol- og formalismekompetence, kommunikationskompetence samt hjælpemiddelkompetence. I tilgift til disse kompetencer rummer tilegnelsen af matematik tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fag, nemlig matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder, matematikkens historiske udvikling anskuet fra såvel interne som sociokulturelle synsvinkler samt matematikkens karakter som disciplin set i kontrast til eller i lighed med andre discipliner. I denne forståelse af matematikkens og matematikbeherskelsens essens optræder problembehandling ganske vist som en væsentlig komponent, men altså kun som én blandt (mange) flere komponenter. Til konklusion på de fremførte betragtninger er det velbegrundet at tildele opgavediskursen en vigtig rolle i matematikundervisning og matematikdidaktisk forskning, under forudsætning af at der er tale om den rigtige slags rige og velafvejede opgavediskurs. Imidlertid, selv hvis denne forudsætning var opfyldt, kan opgavediskursen bestemt ikke være den eneste eller bare den fremherskende diskurs i undervisning og forskning. Den må komplementeres og afbalanceres med andre centrale diskurser af betydning for matematikbeherskelse og for udviklingen af overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens natur og rolle i historie, samfund og kultur, sådan som fx KOM-rapporten tilbyder det. Referencer Beaton, A., Mullis, I., Martin, M.O., Gonzalez, E.J., Kelly, D.L. & Smith, T.A. (1996). Mathematics Achievement in the Middle School Years. IEA s Third International Mathematics and Science Study. Chestnut Hill, MA: Boston College. Artikler

15 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen 17 Dossey, J., Mullis, I., Lindquist, M. & Chambers, D. (1988). Mathematics Report Card. Are we measuring up? Trends and achievements based on the 1986 National Assessment. Princeton, NJ: Educational Testing Service. Halmos, P. (1980). The heart of mathematics. American Mathematical Monthly, 87, s Ikeda, T. & Stephens, M. (1998). The influence of problem format on students approaches to mathematical modelling. I: P. Galbraith, W. Blum, G. Booker & I.D. Huntley (red.), Mathematical Modelling. Teaching and Assessment in a Technology-Rich World (s ). Chichester: Ellis Horwood. Katz, V. (1998). A History of Mathematics. An Introduction (2. udgave). Addison-Wesley. Lithner, J. (2001). Undergraduate learning difficulties and mathematical reasoning: A literature survey and project overview. Research reports in mathematics education. Umeå: Umeå University, Department of Mathematics Mellin-Olsen, S. (1990). Oppgavediskursen. I: G. Nissen & J. Bjørneboe (red.), Matematikundervisning og Demokrati (s ). Roskilde: IMFUFA, Roskilde Universitetscenter. Niss, M. (2001). Indledning. I: M. Niss (red.), Matematikken og Verden (s. 7-18). København: Fremad. Niss, M. & Jensen, T.H. (2002). Kompetencer og matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18. København: Undervisningsministeriet. OECD. (2004). Learning from Tomorrow s World. First Results from PISA Paris: OECD. Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press Silver, E. (red.) (1985). Teaching and learning mathematical problem solving: Multiple research perspectives. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Udvalget til forberedelse af en handlingsplan for matematik i folkeskolen. (2006). Fremtidens matematik i folkeskolen. København: Undervisningsministeriet. Lokaliseret på Artikler

16 Preprint af kapitel til Håndbog for matematikvejledere, der er under udgivelse på Dansk Psykologisk Forlag, redigeret af Michael Wahl og Peter Weng. Udgivet i Liv i Skolen, november 12, Temanummer: Matematik i skolen. 13 Hvad er undersøgende matematikundervisning og virker den? Morten Blomhøj Det nye buzzword til udvikling af matematikundervisning er inquiry. I dette kapitel forklares begrebet, og de pædagogiske og politiske begrundelser for dets relevans gennemgås. Det slås fast, at begrebet må bestemmes nærmere, og at anvendelse af undersøgende arbejdsformer må underordnes klare mål for elevernes læring, hvis sådanne arbejdsformer skal bidrage til udvikling af matematikundervisningens praksis. De didaktiske muligheder og udfordringer ved undersøgende arbejde illustreres med et eksempel og diskuteres generelt. I det første afsnit af dette kapitel ser jeg på baggrund og begrundelser for undersøgende matematikundervisning. Herefter giver jeg et konkret eksempel til nærmere illustration af, hvad undersøgende matematikundervisning kan være på klassetrin. Jeg præsenterer en ramme for karakterisering af opgaver og oplæg til undersøgende arbejde, der kan bidrage til at underordne brugen af undersøgende arbejdsformer mere overordnede mål for elevernes matematiklæring. I det sidste afsnit giver jeg en nærmere karakteristik af undersøgende arbejde i matematik ved at udpege, hvad jeg opfatter som central elev- og læreraktiviteter i en sådan undervisning. Her giver jeg også en kort diskussion af generelle didaktiske udfordringer ved integration af undersøgende arbejdsformer i matematikundervisningens praksis. Indledning Inquiry Based Education (IBE) er inden for det seneste årti blevet en trend i den uddannelsespolitiske diskussion om matematik- og naturvidenskabsundervisning. Det er et vestligt fænomen, men det er særligt markant i Europa. På dansk kan man i forhold til matematik bruge 1

17 termen undersøgende matematikundervisning. Det kan løseligt defineres som undervisning, hvor eleverne arbejder målrettet med at afgrænse og formulere problemer, gennemføre og kritisere eksperimenter eller andre empiriske undersøgelser, opsøge information, konstruere modeller, danne hypoteser, debattere med hinanden og læreren samt at udvikle og formidle sammenhørende faglige argumenter. En sådan undervisningsform kan ses som modstykke til en fagligt formidlende undervisning, der primært drives af lærebogen, og hvor læreren præsenterer eleverne for matematiske begreber og metoder, forud for at de arbejder med øvelser og opgaver, der kan støtte opbygning af viden og færdigheder i det pågældende emne. Den formidlende undervisningsform er givet nødvendig for, at man som matematiklærer inden for de givne rammer kan leve op til sine forpligtelser om at støtte opbygning af elevernes faglige viden og deres tilegnelse af færdigheder i overensstemmelse med de gældende regler og kravene til de afsluttende prøver. Det er næppe heller hensigtsmæssigt eller muligt udelukkede at anvende undersøgende arbejdsformer i en matematikundervisning, der er pensumstyret. Undersøgende tilgange giver imidlertid mulighed for, at eleverne kan få egne oplevelser og erfaringer med det faglige indhold, de arbejder med. Herved kan deres matematiklæring lettere blive en integreret del af deres personlige udvikling og dannelse. Samtidig kan undersøgende arbejde være motiverende og give grundlag for større fordybelse i udvalgte faglige problemstillinger. Overordnet set kan man lidt banalt sige, at udvikling af matematikundervisningens kvalitet drejer sig om at finde den rette balance og integration mellem undersøgende og formidlende arbejdsformer. Med integration mener jeg her, at formidling af faglige pointer og træning af færdigheder i passende omfang er motiveret gennem og er sat i sammenhæng og perspektiv gennem målrettet undersøgende arbejde. Det er der måske ikke så meget nyt i at konstatere, men jeg mener alligevel, det er værd at dykke lidt dybere ned i, hvad der nærmere karakteriserer undersøgende arbejde i matematik, og de generelle pædagogiske begrundelser, der kan gives for undersøgende matematikundervisning. Det gælder ikke mindst i en situation, hvor der er politisk pres for at reformere matematikundervisningen i retning af IBE. Begrundelser for undersøgende matematikundervisning Som pædagogisk begreb kan en undersøgende tilgang til undervisning og læring føres tilbage til den amerikanske uddannelsesfilosof John Dewey ( ) og hans begreb om inquiry. Dewey understregede og dyrkede de fælles træk ved på den ene side problemløsning i hverdagssam- 2

18 menhænge, almindelig erfaringsdannelse og udviklingen af sund fornuft og på den anden side løsning af problemer og udvikling af metoder i videnskabelige sammenhænge. Han så den videnskabelige udvikling som en systematisering og raffinering af dagligdagsmetoder til problem løsning, og ikke som en helt særlig erkendelsesform. Han identificerede grundlæggende metoder og erkendelsesformer som experimental practice of knowing (Dewey, 1929) og reflective inquiry (Dewey, 1933) som værende fælles for udvikling af viden uden for og inden for en videnskabelig kontekst. Han anså reflective inquiry som nøglen til at ophæve adskillelsen mellem viden og handling ( knowing and doing ) i forståelse af menneskelig virksomhed. På dette grundlag udviklede Dewey en pædagogik, som han også til en vis grad realiserede som praksis i en særlig forsøgsskole. Elevernes naturlige interesse for løsning af (i første omgang) praktiske og umiddelbare problemer og deres erfaringer med løsning af sådanne problemer uden for skolen var her udgangspunkt for udvikling af reflective inquiry som generel metode til løsning af problemer og udvikling af viden. Kernen i denne metode er, at der er en drivende motivation til at løse et givet problem eller at forstå en given situation, og løsningen eller erkendelse sker ved samspil mellem handling og refleksion. Overordnet kan Dewey s filosofi opsummeres i følgende punkter: Grundlæggende søger mennesket at forstå og beherske sin omverden gennem målrettet undersøgende og problemløsende adfærd samt ved at udvikle og dele sin viden gennem social interaktion. Videnskabelig viden er udviklet kulturhistorisk gennem raffinering og kultivering af menneskets grundlæggende erkendelsesinteresse. Gyldig viden (sand viden) er viden, der har vist sig effektiv til forståelse af fænomener og løsning af problemer (pragmatisme). Uddannelse skal styrke og udvikle den enkelte elevs evne til at lære gennem undersøgelse og refleksion. Eleverne skal opleve, at den viden, de udvikler, er nyttig og effektiv i deres omverden. Elevernes erfaringer og tidligere erhvervede viden anses som central for tilrettelæggelse af undervisning og erhvervelse af ny viden. Viden almengøres i undervisningen gennem fælles refleksion over fælles erfaringer. 3

19 Det overordnede mål er at uddanne eleverne til at tage aktiv og kritisk del i udviklingen af demokratiske samfund. Som det fremgår, er der altså pædagogisk set ikke noget nyt over at tilskrive undersøgende arbejdsform en særlig værdi. Det er imidlertid heller ikke alene de generelle pædagogiske begrundelser for undersøgende tilgange til undervisning tilbage fra Dewey s arbejde, der har gjort IBL/IBE ( Inquiry Based Learning/Education ) til et aktuelt og dominerende træk ved vestlig og i særlig grad europæisk uddannelsespolitik de seneste år. Det er inden for matematik- og naturvidenskabsuddannelse, at IBE er blevet fremhævet som et politisk imperativ. Denne udvikling kan føres tilbage til en ekspertgruppe under EU, som i 2007 fastslog: In recent years, many studies have highlighted an alarming decline in young people s interest for key science studies and mathematics. Despite the numerous projects and actions that are being implemented to reverse this trend, the signs of improvement are still modest. Unless more effective action is taken, Europe s longer term capacity to innovate, and the quality of its research will also decline. Furthermore, among the population in general, the acquisition of skills that are becoming essential in all walks of life, in a society increasingly dependent on the use of knowledge, is also under increasing threat (Rocard m.fl., 2007, s.5). IBE i matematik- og naturvidenskab blev fremhævet som (et muligt) svar på denne generelle uddannelsesmæssige udfordring. Efterfølgende har EU således søsat en lang række forsknings-, udviklings- og spredningsprojekter om undersøgende undervisning i matematik og naturvidenskab. Der er aktuelt ni igangværende eller nyligt afsluttede projekter, som støtter IBE og tilhørende professionel udvikling for lærere inden for matematik og naturvidenskab. Det samlede budget for disse projekter summer op til mere end 70 millioner euro. Projektbeskrivelser og undervisningsmaterialer udviklet i disse projekter kan findes via web portalen Begrundelserne for EU s rammebevillinger inden for dette område og for de enkelte projekter efterlader det klare indtryk, at udvikling af mere undersøgelsesbaserede undervisningsformer i matematik og naturvidenskab politisk opfattes som direkte forbundet med samfundsmæssige behov for uddannelse af kvalificeret arbejdskraft til støtte for fortsat teknologisk udvikling og innovation, og at en sådan udvikling er afgørende for Europas muligheder for at klare sig i konkurrence med andre regioner i fremtiden. På nogle punkter minder retorikken omkring IBE i matematik og naturvidenskab om det, man så i perioden omkring 1960 med det såkaldte sputnikchok og the new maths reform. Her blev rum- og våbenkapløbet mellem Vesten og USSR brugt som politisk løftestang og begrundelse for reformering af matematikundervisning ud fra et ønske om en fagligt set 4

20 sammenhængende undervisning igennem hele uddannelsessystem. Det skabte grundlag for indførelse af en strukturalistisk matematikundervisning, hvor bl.a. mængdelære blev introduceret i de små klasser. Historien har efterfølgende vist, at der var alvorlige pædagogiske og didaktiske problemer knyttet til en strukturalistisk matematikundervisning. I den aktuelle sammenhæng er det således også på sin plads at overveje, hvordan det politiske ønske om reform af matematikundervisning i retning af IBE kan implementeres på en måde, der faktisk bidrager til at udvikle og forbedre matematikundervisningens praksis. Der kunne således være en ikke forsvindende risiko for, at undersøgende arbejdsformer implementeres politisk på måder, der forfejler det læringsmæssige sigte, når der blot fokuseres på formerne for elevernes arbejde, uden at man forholde sig til arbejdsformernes forbindelse til læringsmålene. For at kunne imødegå sådanne effekter må det naturligvis diskuteres konkret, hvad der kan forstås ved en undersøgende matematikundervisning, og hvordan en sådan undervisningsform kan forbindes med eksisterende praksis. Det ser vi nærmere på i de følgende afsnit med et eksempel fra den danske del af EU projektet PRIMAS, der netop har spredning af IBE som formål. Den nærmere bestemmelse af IBE i relation til matematik må naturligvis også inddrage eksisterende matematikdidaktiske teorier om undervisning og læring. IBE er blevet importeret til matematikundervisning via naturvidenskabsundervisning. Det er oplagt, at der er andre vilkår for og pointer ved undersøgende arbejde i de naturvidenskabelige fag, der naturligvis også rummer store forskelle mellem de enkelte naturfaglige fag, end ved undersøgende arbejde i matematik. Samtidig findes der i matematikkens didaktik veludviklede teorier, der har elevernes selvstændige virksomhed som et centralt element. Det glæder fx teorien om didaktiske situationer (TDS) (Brousseau, 1997; Winsløw, 2006, kap. 7) og Realistic Mathematics Education (RME) (Van den Heuvel Panhuizen, 2003). Der findes teorier, der eksplicit behandler det dialogiske samspil mellem lærer og elever i undersøgende arbejde (Alrø & Skovsmose, 2002). Undersøgende arbejde i ikke-matematisk kontekst omfatter nødvendigvis matematisk modellering, og IBE i matematik har derfor tæt forbindelse til matematisk modellering og må forstå i relation hertil (Blomhøj, 2006). Inddragelse af IBE i matematik bør derfor i høj grad ske i lyset af eksisterende matematikdidaktiske teorier. Udfordringen med at sætte IBE i matematik på begreb og i sammenhæng med sådanne teorier lader sig imidlertid ikke løfte i dette kapitel, og jeg henviser til Artigue & Blomhøj (under udarbejdelse) for en nærmere analyse heraf. 5

21 PRIMAS et udviklings- og spredningsprojekt under EU PRIMAS (Promoting Inquiry in Mathematics and Science Education Across Europe) er et af ovenfor omtalte projekter til udvikling og spredning af undersøgende undervisningsformer i matematik- og naturvidenskabsundervisning. Danmark deltager i PRIMAS, og projektgruppen består af Morten Blomhøj (IMFUFA), Tinne Hoff Kjeldsen (NSM) og Martin Niss (Roskilde Universitet). Det overordnede mål med PRIMAS er at støtte lærere i matematik og naturfagene med at (videre)udvikle en undersøgelsesbaseret ( inquiry-based ) undervisningskultur. Begrebet inquiry-based er i PRIMAS bredt defineret og indbefatter det, der normalt forstås ved undersøgende arbejdsformer, induktive forløb, projektarbejde og problembaseret læring. PRIMAS i Danmark omfatter både grundskolen og de gymnasiale uddannelser. De specifikke mål i PRIMAS-DK er: At promovere tilgange til matematik- og naturfagsundervisning, som er sjove, udfordrende og relevante for eleverne. At promovere udbredelsen af undersøgelsesbaseret læring i klasseværelserne i matematik og naturfagene. At stille ressourcer til rådighed for og koordinere efteruddannelse og faglig udvikling blandt lærere i grundskolen, gymnasiet og læreruddannelsen. At udvikle og arbejde med netværk af folkeskole-, gymnasie- og seminarielærere. At analysere og forstå politiske tiltag, som har relation til undersøgelsesbaseret læring, og at oplyse og arbejde med det politiske system med henblik på at forbedre praksis. Som det er tilfældet med de øvrige EU projekter inden for IBE, kræver det en nærmere bestemmelse af, hvilke mål for elevernes faglige læring og dannelse man ønsker at fremme gennem anvendelse af undersøgende arbejdsformer. I PRIMAS-DK har vi udviklet og afholdt kurser for grundskolelærere og gymnasielærere. Inden udgangen af 2013 har over 100 lærere gennemført et kursus svarende til 7,5 ECTS. Kurserne har udvikling af deltagernes egen praksis som fokus. De gennemføres som to internater, hvor deltagerne på det første internat får inspiration og støtte til at udvikle, afprøve, observere og evaluere undersøgende undervisningsforløb i egne klasser. Det er en central pointe, at lærerne som grundlag for design af deres undervisningsforløb afklarer såvel målene for elevernes læring som deres eget udviklingssigte med forløbet. På det andet internat fremlægges, diskuteres og videreudvikles lærernes forløb med henblik på kunne bruges af andre lærere. Deltagerne i kurserne kommer fortrinsvis sammen to eller tre kollegaer fra samme skole. 6

22 Projektet løber over fire år ( ) og trækker på ekspertise fra 14 institutioner fra 12 europæiske lande. Man kan læse mere om PRIMAS og finde undervisningsoplæg på projektets hjemmeside: I det følgende præsenteres og diskuteres et eksempel på et undervisningsforløb, der er udviklet og afprøvet under et kursus inden for PRIMAS-DK. Kurset blev afholdt i samarbejde med kompetencecentret i matematikdidaktik, KomMat. Rebtrekanten et eksempel på undersøgende matematikundervisning fra PRIMAS-DK Undervisningsforløbet er designet til klasse med det sigte, at eleverne skal erkende trekantuligheden som en generel egenskab ved trekanter. Inddelt i grupper med fire elever i hver bliver klassen præsenteret for et reb, der er bundet sammen til en ring, og som har 12 knuder, der er placeret med samme indbyrdes afstand. Hver gruppe får et reb, og læreren præsenterer opgaven for klassen på denne måde: Arbejdet skal foregå ude i skolegården. Hver gruppe skal lave så mange forskellige trekanter som muligt med rebet. Men det er kun tilladt at lave trekanter, der har knuder i alle tre hjørner, og rebet skal være strakt mellem knuderne. For hver trekant, I får lavet, skal I tegne trekanten på papir med længderne på siderne. Hvor mange forskellige trekanter kan I lave? Figur Billede viser en gruppe af elever på 6. klassetrin, der har lavet en ligesidet trekant med kantlængden 4. Tegningen viser gruppens gengivelse af en trekant, som de også har lavet med rebet. Ligesom gruppen på billedet i figur 13.1 finder de fleste grupper relativt hurtigt to af de tre mulige trekanter, og trekanterne. Det kan dog godt volde nogle af grupperne problemer at få lavet brugbare tegninger af de trekanter, de har frembragt med rebet. Af en eller anden grund er det tilsyneladende sværere at finde trekanten. Så godt som alle grupper forsætter imidlertid med at forsøge at lave flere trekanter, og nogle grupper er meget insisterende i deres forsøg på at danne en eller en trekant. Denne fase, hvor eleverne arbejder med at lave forskellige reb- 7

23 trekanter og tegne skitser af dem, kan tage minutter. Rebet og hele situationen er designet med henblik på, at klassen tilsammen har gode chancer for at finde alle tre mulige trekanter. Efter undersøgelserne i skolegården samles eleverne igen i klassen for at formulere og dele resultaterne af deres undersøgelser. Alle grupper kan forventes at kunne bidrage med deres resultater og erfaringer angående mulighederne for at finde flere løsninger. Efterhånden kommer alle tre muligheder på tavlen som trekanter tegnet med lineal. Læreren kan eventuelt vælge at behandle principperne for geometrisk konstruktion af hver af de tre trekanter i situationen, eller det kan udskydes til en senere lejlighed, hvor der så kan refereres til klassens erfaringer med rebtrekanterne. Nogle grupper har netop oplevet problemer med at få tegnet en trekant på papir med de rigtige mål. I denne fase, hvor resultaterne af undersøgelserne formuleres og gøres fælles, kan læreren vælge at indføre specifik notation (semitisk kode) til repræsentation af trekanter ved deres sidelængder: (2-5-5; 3-4-5; og 4-4-4). En sådan notation er særdeles effektiv, når der skal ræsonneres om, hvorvidt alle mulige løsninger er fundet. Nu er scenen så sat for at undersøge, om der er andre mulige løsninger. Her kan forslag om en eller en trekant komme frem til fælles drøftelse i klassen. Hvordan argumenterer man for umuligheden af en af disse trekanter? Her kan rebet bruges igen, men nu i åben udgave. To elever kan strække rebet, så der er seks enheder mellem de knuder de holder i, og således at der i de to ender er henholdsvis to og fire enhed af rebet tilbage. To andre elever kan så tage hver sin ende og blive bedt om at få de to ender til at mødes. Det bliver herved tydeligt for klassens elever, at det kun kan lade sig gøre, hvis enderne holdes sammen, så de ligger på siden med længden 6. Der kan altså ikke komme nogen trekant ud af det! Baseret på sådanne erfaringer kan klasse nu i dialog med læreren nå frem til, at hverken en eller en trekant er mulig. Herefter kan læreren forsøge at skabe grundlag for en generalisering af resultaterne gennem en mere målrettet dialog med klassen. Dialogen kan fx forløbe således: L: Hvad ved I om alle de trekanter, vi kan lave med rebet? E1: Siderne lagt sammen skal give 12. L: Ja, netop. Men det er ikke nok, fordi 2+4+6=12, men den kan ikke lade sig gøre. E2: Den længste side må højest være 5. L: Godt forslag. Vi har ingen trekanter med sider på 6 eller derover. L: og kunne ikke lade sig gøre. Kan der være andre med 6? E3: 1-5-6, men den dur heller ikke vel? L: Hvad siger I til det? E4: Nej, det er samme som før de mødes på siden. 8

24 L: Kan der være andre med 6? E2: er det samme som 2-4-6, så den har vi haft. Der er ikke flere med 6. L: Hvad med en med 7 som den længste side? E4: Nej, det blive dårligere så kan enderne ikke mødes. Læreren tegner en åben trekant. L: Nej, det kan ikke lade sig gøre. Der er 5 tilbage til de to andre sider, og de kan ikke nå sammen, hvis der 7 enheder mellem punkterne. Er I enige? L: Så skal vi se, om der er flere med 5 som længste side. Hvor mange enheder er der så tilbage til de to andre sider? E5: 7 L: Og hvordan kan de fordeles på to sider? E2: 2+5, og 3+4. L: Ja, det er dem, vi allerede har. Kan der være andre? E2: 1+6, men den dur jo ikke, så der er ikke andre. L: Hvad med 4 som længste side, er der andre af dem? E6: Nej, der er da kun Ellers vil en af siderne jo være længere. L: Det er super, så har vi tre mulige trekanter, og vi ved at der ikke er flere. L: Hvad nu hvis rebet havde haft flere knuder, kan vi lave en regel, der altid gælder? Læreren tegner en trekant med sidelængderne angivet som a-b-c, hvor c er den længste side. L: Hvad kan vi sige om a og b sammenlignet med c? E3. De er mindre. L: Ja, og hvad mere kan vi sige? E2: a+b er større end c. L: Ja, ellers kan de ikke mødes. Så nu ved vi, at for alle trekanter a-b-c gælder, at a+b>c! Eksemplet illustrerer flere centrale træk ved undersøgende matematikundervisning. For det første er det tydeligt, at det kræver en detaljeret tilrettelæggelse og iscenesættelse af elevernes undersøgende virksomhed, hvis elevernes erfaringer og resultater skal kunne bruges som grundlag for opbygning af en bestemt faglig pointe/indsigt i klassen. Eksemplet viser også betydningen og nødvendigheden af lærerens udfordrende dialog med klassen. Læreren trækker her meget bevidst på elevernes erfaringer fra det undersøgende arbejde. De refleksive elementer i elevernes virksomhed kommer typisk ikke frem af sig selv, selv om de er blevet optaget af en undersøgelse og motiveret for løse problemet. De skal udfordres og hjælpes på vej af læreren. Introduktion af repræsentationen for en trekant ved dens sidelængder og lærerens fastholdelse af den systematiske undersøgelse af alle muligheder er tilsyneladende væsentlige 9

25 forudsætninger for, at eleverne kan følge og selv foretage de nødvendige refleksioner. Det er endelig en pointe med eksemplet, at det er læreren, der påtager sig ansvaret for at formulere den tilsigtede faglige pointe og få den forbundet til elevernes undersøgelser og tilhørende refleksioner. En undersøgende tilgang til matematikundervisning fritager altså ikke læreren for at formidle de centrale faglige pointer, men kræver tværtimod, at læreren sikrer forbindelsen mellem pointerne og den undersøgende virksomhed. Det er også typisk for en undersøgende tilgang, at den tilsigtede faglige indsigt ikke følger automatisk af resultaterne af elevernes arbejde. Målet er, at eleverne indser trekantuligheden som en generel egenskab ved trekanter, men deres undersøgelser viser blot, at det er muligt at lave netop tre forskellige trekanter med rebet. Generaliseringen kræver lærerens formidlende mellemkomst. Forskellige former for undersøgende virksomhed i matematikundervisning Anvendelse af undersøgende arbejdsformer i matematikundervisning kan antage mange forskellige former og tjene forskellige læringsmål. I PRIMAS-DK arbejder vi med et mulighedsområde for undersøgende arbejde, der er udspændt af tre dimensioner. Den første dimension angår graden af problemorientering i oplægget til eleverne. Er der ét problem (evt. opstillet af eleverne), som er styrende for det undersøgende arbejde? Eller er der i højere grad tale om et system af sammenhørende opgaver, hvor resultaterne efterfølgende kan organiseres matematisk (som i Taxi-geometri, Blomhøj (1991)), eller er der et tema som ramme for elevernes undersøgende arbejde (som i Matematikmorgener, Blomhøj & Skånstrøm (2006))? Den anden dimension angår graden af anvendelsesorientering i det undersøgende arbejde. Er undersøgelsen af intern matematisk karakter (som det er tilfældet med rebtrekanten), eller angår den anvendelse af matematik på en problemstilling eller situation af ekstra matematisk karakter altså matematisk modellering (som ved skorstensproblemet, se nedenfor eller 10=44, Blomhøj & Højgaard (2007)? Den sidste dimension angår graden af frihed i elevernes virksomhed. Er der givet en bestemt situation, som eleverne skal forholde sig til, eller kan de selv formulere eller afgrænse problemet, er det muligt at anvende flere forskellige metoder, er der flere gyldige svar, og flere måder at formidle dem på? 10

26 Figur Et tredimensionelt rum for opgaver og forløb til undersøgende arbejde. Forskellige placeringer i rummet er illustreret med henvisninger til forløb fra litteraturen eller forløb udviklet i PRIMAS-DK. Der er ingen eksempler i nærheden af hjørnerne 1 og 3. Det skyldes, at der ikke er grundlag for selvstændig målrettet undersøgende elevvirksomhed, hvis der ikke er et problem, som eleverne kan forholde sig undersøgende til, og hvis der heller ikke er frihedsgrader i situationen til, at eleverne kan formulere og undersøge egne spørgsmål. Temaet cykelmatematik er klassisk i matematikundervisningen på mellemtrinnet. Her er det brugt som eksempel på et tematisk forløb, der kun i mindre er anvendelsesorienteret, men som rummer nogle frihedsgrader for elevernes undersøgende virksomhed. I PRIMAS-DK er der udviklet og afprøvet flere sådanne forløb. Iscenesættelsen har vist sig afgørende for at få engageret eleverne i relevante undersøgende aktiviteter i forhold til temaet cykler. Klassen kan fx præsenteres for en samling af meget forskellige cykler, og der kan laves fælles brainstorm over, hvilke forhold omkring cykler man kan undersøge ved hjælp af matematik. Læreren kan her styre i retning af mere specifikke spørgsmål som fx: Hvordan måler man størrelsen af en cykel, og hvor langt kører de enkelte cykler på en pedalomgang? Og kan man beregne denne længde, eller er måling nødvendig? Forløb af denne type rummer muligheder for differentiering mellem forskellige grupper af elever, samtidig med at alle grupper kan bidrage til den fælles undersøgelse. Skorstensproblemet, der er udviklet og gennemført som led i PRIMAS-DK, er anført som eksempel på hjørne nummer 8 i figur 2. Det er et klart eksempel på en autentisk modelleringsproblemstilling med mange frihedsgrader for elevernes arbejde. Udgangspunktet var, at der for nyligt var blevet opstillet en 51 meter høj skorsten ved en fabrik i nærheden af skolen (se 11

27 figur 13.3). Skorstenen blev kørt gennem byen i ét stykke. Der var vidner blandt eleverne, og spørgsmålet til eleverne var: Hvordan kunne det lade sig gøre, og hvor meget længere kunne skorstenen have været, hvis den skulle køres samme vej? Som det ses af figur 3, gav spørgsmålet anledning til mange spændende undersøgelser. Figur Foto 1 viser skorstenen set fra skolen. Foto 2 og 3 viser nogle af de undersøgelser, eleverne gennemførte for at svare på spørgsmålet. Graden af autenticitet i problemstillingen, de anvendte metoder og data samt brugen af resultaterne indgår ikke i karakteriseringen af undersøgende arbejde i figur 13.2., men det er oplagt en relevant dimension at tage i betragtning ved vurdering af den dannelsesmæssige værdi af undersøgende arbejde i matematik. Det er en selvstændig pointe ved undersøgende arbejde, hvis det kan bidrage til at forankre skolens matematikundervisning i verden uden for skolen. Det er netop en af pointerne fra Deweys uddannelsesfilosofi. Skorstensproblemet repræsenterer en høj grad af autenticitet, hvad angår selve problemstillingen, og det er givetvis af betydning for elevernes motivation for at arbejde med problemet, og for deres oplevelse af, at matematik har noget væsentligt at tilbyde til forståelse af verden. Det er oplagt, at undersøgende arbejdsformer er absolut nødvendige, hvis man ønsker at udvikle elevernes tankegangs-, problemløsnings-, modellerings- og ræsonnementskompetence (Niss & Højgaard Jensen, 2002). Men det skal understreges, at de generelle pædagogiske begrundelser for en undersøgende tilgang til matematikundervisning også er gyldige i situationer, hvor læringssigtet er af snævrere faglig karakter. Eksemplet med trekantuligheden illustrerer netop dette forhold. Her er det et rent internt fagligt spørgsmål, der danner udgangspunkt for elevernes undersøgende arbejde. Den undersøgende tilgang giver mulighed for faglig fordybelse i fx repræsentationer og ræsonnementer og kan herved bidrage til elevernes kompetenceudvikling og til 12

28 deres dannelse. Eleverne oplever, at det er muligt at komme til endelig klarhed over et matematisk spørgsmål gennem konkrete praktiske undersøgelser og refleksioner. Afrunding Den helt afgørende forudsætning for en vellykket anvendelse af undersøgende arbejde i matematikundervisning er, at det indgår i forløb med klare læringsmål, og at de undersøgende aktiviteter iscenesættes over for eleverne, så de fremstår som målrettede og motiverende. Det skal være noget bestemt, der skal undersøges. Undersøgelsesprocessen er vigtig, men hvis den ikke har et klart formål, mister den sin læringsmæssige værdi. Undersøgende matematikundervisning giver mulighed for, at eleverne kan blive fagligt aktive på måder, som det er vanskeligt at fremme i en mere formidlende klasseundervisning. Følgende elevaktiviteter kan fremhæves som karakteristisk for undersøgende arbejde: Eleverne formulerer faglige spørgsmål opsøger information tæller og måler observerer systematisk eksperimenterer forsimpler og strukturerer klassificerer udvikler definitioner kvantificerer og beregner (med overslag) anvender symboler herunder variable benytter algebra forudsiger ræsonnerer og beviser visualiserer danner og afprøver hypoteser fortolker og vurderer resultater udviser kreativitet kommunikerer og formidler (via media) 13

29 Tilsvarende er der en række læreraktiviteter, der er centrale i en undersøgende matematikundervisning. Her må læreren i særlig grad sætte scenen for elevernes undersøgende aktiviteter. Han/hun skal: inspirere til undersøgende holdning og tilgange til matematik (og verden) formidle og fællesgøre læringsmål bygge på og udbygge elevernes erfaringer støtte elevernes ejerskab til problemer og forløb (projekter) skabe rum for dialogisk samspil i klassen og med grupper af elever opmuntre til spørgsmål og refleksion stille åbne og nysgerrige spørgsmål til elevernes arbejde bemærke og påskønne elevers faglige ideer og ræsonnementer værdsætte forsøg og fejl som grundlag for læring fremme samarbejde og dialog mellem eleverne udpege og almengøre centrale begreber, faglige pointer og metoder evaluere elevernes faglige læring og formidle resultatet heraf evaluere, reflektere over og udvikle egen praksis Det er ikke lettere, men snarere sværere, at bedrive undersøgende matematikundervisning sammenlignet med mere formidlende undervisning. Til gengæld kan det være betydeligt mere givende for eleverne og interessant for læreren. Det viser bl.a. erfaringer fra PRIMAS-DK. Samtidig har erfaringerne fra de mange forløb med undersøgende matematikundervisning udpeget nogle generelle didaktiske udfordringer, som er knyttet til undersøgende arbejde i matematik. Det gælder: Iscenesættelse af elevernes undersøgende virksomhed. Det er en vigtig fase, og det kræver typisk, at læreren udnytter nye virkemidler i formidlingen. Klargøring og formidling af målene for elevernes læring ved undersøgende arbejde. Klasserumsledelse og styring af elevernes koncentrationsrytme i undersøgende arbejde. Støtte til elevernes undersøgende arbejde gennem rammerne og den løbende dialog. Støtte til opbygning af en fælles faglig viden i klassen på grundlag af undersøgende virksomhed. Hvilke faglige pointer kan formidles til klassen på grundlag af forløbet, og hvordan kan de almengøres? Og hvilken fortsat læring peger de frem mod? 14

30 Hvordan vurderes og bedømmes elevernes læring i undersøgende arbejde? Hvilken fagdidaktisk viden kan udvikles (om disse udfordringer), og hvordan kan en sådan viden udnyttes til udvikling af matematikundervisningens praksis? Disse udfordringer må belyses gennem fortsat udviklingsarbejde og refleksion og gennem samspil med matematikdidaktisk forskning i undersøgende matematikundervisning. Litteratur Alrø, H. & O. Skovsmose (2002). Dialogue and learning in mathematics education: Intention, reflection, critique. Dordrecht: Kluwer. Artigue, M. & Blomhøj, M. (ikke publiceret). Conceptualising inquiry based education in mathematics. Under forberedelse til publicering i ZDM The International Journal on Mathematics Education i Barrow, L. H. (2006). A brief history of inquiry: From Dewey to standards. Journal of Science Teacher Education 17, s Blomhøj, M. (1991). Samspil mellem teori og praksis i matematikkens didaktik et udviklingsarbejde i geometri. Tekst MI 37. København: Matematisk Institut, DLH. Blomhøj, M. (2006). Mod en didaktisk teori for matematisk modellering. I: O. Skovsmose & M. Blomhøj (red.), Kunne det tænkes? om matematik-læring. Albertslund: Forlag Maling Beck, kap. 5. Blomhøj, M. & Jensen, T.H. (2011). Hvad er menningen? Didaktisk klasseledelse via form eller mål. I: M.-C. S. Schmidt, Klasseledelse og fag at skabe klassekultur gennem fagdidaktiske valg. Frederikshavn: Dafolo, s Blomhøj, M., & Jensen, T. H. (2007). What s all the fuss about competences? Experiences with using a competence perspective on mathematics education to develop the teaching of mathematical modelling. I: W. Blum (red.), Modelling and applications in mathematics education. The 14th ICMI-study (s ). New York, NY: Springer-Verlag. Blomhøj, M. & Skånstrøm, M. (2006). Matematik Morgener matematisk modellering i praksis. I O. Skovsmose & M. Blomhøj (red.), Kunne det tænkes? om matematik-læring. Albertslund: Forlag Maling Beck, kap.1. 15

31 Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht, Kluwer. Dewey, J. (1929). The quest for certainty. New York, NY: Minton, Balch & Co. Dewey, J. (1933). How we think: A restatement of the relation of reflective thinking to the educative process. Boston, MA: Heath. Niss, M. & Højgaard Jensen, T. (2002): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie 18. Rocard M, Csermely P., Jorde D., Lenzen D., Walberg-Henriksson H. & Hemmo V. (2007). L enseignement scientifique aujourd hui : une pédagogie renouvelée pour l avenir de l Europe. Commission Européenne, Direction générale de la recherche, Science, économie et société. Van den Heuvel Panhuizen (2003). The didactical use of models in realistic mathematics education: An example from a longitudinal trajectory on percentage. Educational Studies in Mathematics, 54, s Winsløw, C. (2006): Didaktiske elementer en indføring i matematikkens og naturfagenes didaktik. København: Biofolia. Internetadresser

32 19 F4 Friser Hensigten med dette arbejdskort er, at I får fortrolighed med, at der rent faktisk er matematiske bindinger i en frise ved at undersøge og producere nogle friser opnår fortrolighed med at argumentere - gerne på flere måder - for, at der er netop 7 forskellige frisegrupper. Analysér de følgende friser og find ud af, hvilke flytninger, der fører hver enkelt frise over i sig selv. Det kan være en god idé at bruge gennemsigtigt papir til at tjekke dine kvalificerede gæt. Find parallelforskydningsvektoren i hver frise. Find spejlingsakser og drejningscentre. Find glidespejlingsvektor. Figur 1 Figur 2 Figur 3 F Flytningsgeometri

33 20 Figur 4 Figur 5 Figur 6 Figur 7 F Flytningsgeometri

34 21 Figur 8 Figur 9 Figur 10 Figur 11 Frisemønster fra Den anglikanske kirke i Rom F Flytningsgeometri

35 22 Mexicanske keramikmønstre Figur 12. Syv frisemønstre fra mexicansk keramik F Flytningsgeometri

36 23 Hvor mange forskellige flytninger mon I fandt i arbejdet med de mange friser? I kapitlet bevises det, at der er 5 forskellige typer af flytninger, der kan være i spil i friser, nemlig: 1. parallelforskydning (som alle friser jo har), 2. spejling i en vandret akse 3. spejling i en lodret akse 4. drejning på 180 o 5. glidespejling. Argumentér for - ud fra de erfaringer, I har gjort med friserne her - hvorfor det netop er de 5 nævnte flytninger, der kan komme på tale. Hvorfor er der fx kun mulighed for 180 graders drejninger og hvorfor er der kun lodrette og vandrette spejlingsakser? Argumentér for, at der er netop 7 frisegrupper. Der findes altså fem forskellige flytninger, der kan føre en frise over i sig selv. Men hvordan kan I argumentere for, at de kan kombineres til netop 7 frisegrupper? Man skulle vel tro, der var mange flere? Nedenfor vises en systematisk måde at undersøge en frise på. Alle friser har jo parallelforskydning, så det, en frise skal undersøges for, er hver af de andre 4 flytninger. Først spørgsmål: Har frisen op/ned symmetri? Hvis svaret er ja - gå til venstre (den røde vej). Hvis svaret er nej gå til højre (den blå vej). På tilsvarende måde fortsættes videre ned igennem valgtræet. Som det ses af figuren er der 16 forskellige ruter gennem valgtræet. Det betyder, at der umiddelbart synes at være 16 forskellige frisesymmetrikombinationer. Men som tidligere påstået kan kun 7 af disse faktisk forekomme. Forklar hvilke 9 veje gennem træet, der er forbudte og hvilke 7, der er tilladte. I kapitlet er givet de matematiske bindinger, du skal bruge for at komme helskindet igennem. Frisesymmetrikombinationer ja nej Op/ned symmetri? Højre/venstre symmetri? Glidespejlingssymmetri? Drejningssymmetri? F Flytningsgeometri

37 24 Fremstil friser af hver af de 7 typer, gerne i et dynamisk geometriprogram. I bestemmer selv, hvordan jeres grundmotiv skal se ud. I forberedelsesmaterialet til lærereksamen august 2005 er beskrevet en anden argumentation for, at der findes netop 7 frisegrupper. Denne argumentation tager udgangspunkt i den symmetri, der er i grundmotivet i frisen. Her bruges bogstaverne F E S T H. G F F S E H T G T De 5 bogstaver repræsenterer de 5 muligheder for flytninger i selve grundmotivet. Ved bagefter at anvende henholdsvis parallelforskydning og glidespejling på hvert af bogstaverne skulle man forvente, at der var 10 forskellige friser. Men det viser sig, at nogle af dem er ens. Der bliver heldigvis netop 7 forskellige frisegrupper. Beskriv symmetrigruppen for hvert af de 5 bogstaver. Beskriv frisegruppen for hver af de 5 friser, I får, når I bruger parallelforskydning på de fem bogstaver. Beskriv frisegruppen for hvert af bogstaverne F og T, når I bruger glidespejling på dem. Hvorfor giver det ikke en ny frisegruppe, når I glidespejler E og H? Vis, at når I glidespejler S får I en frise med samme frisegruppe som når I glidespejler T. I kan fx lave en transparent af de to friser. Markér drejningspunkterne og spejlingsakserne. F Flytningsgeometri

38 25 Navngivning af friser Der findes en række forskellige måder at betegne friser på. Matematikeren John Conway har opfundet to. Den ene er meget original og tager udgangspunkt i bevægelse. Navnene er forsøgt oversat til dansk herunder, men det har nok ikke den samme slagkraft som de engelske ord. STEP skridt HOP hink SPINHOP snurrehink JUMP hop SPINJUMP snurrehop SIDLE sidehop SPINSIDLE snurresidehop Refleksion: I dette arbejdskort har du først arbejdet undersøgende med friserne og derefter systematiseret og ræsonneret for at vise, at der er netop 7 frisegrupper. o Overvej betydningen af, at du har arbejdet undersøgende og eksperimenterende først for derefter at systematisere og ræsonnere. Hvad fik dig rent faktisk til at begribe, hvad der karakteriserer frisernes symmetrier? o Overvej, hvilken betydning det har for eleverne i skolen i deres arbejde med matematik at få mulighed for at have en undersøgende, eksperimenterende tilgang, kombineret med at systematisere og ræsonnere. F Flytningsgeometri

39

40

41 Uden ord - næsten Af Viggo Hartz Beviser er hovedhjørnestenene i matematikkens bygningsværk. Derfor er de selvfølgelig også undervisningsstof i skolen. Vi ved også som undervisere at det for nogle elever er svært stof. Måske er det sværeste at indse karakteren af begrebet beviser. Vi hører elever erklære at de ikke kan se det. Måske var det en ide at præsentere beviser hvor det virkelig handler om at se. Så se lidt på de følgende eksempler: Matematik - Nr

42

43

44

45 FORSIDE FORLØB FAKTA FÆRDIGHEDER BIBLIOTEK PRØVEN LÆRER VÆRKTØJER Tal og enheder Plangeometri Funktioner og sammenhænge Brøker og procent Konstruktioner Faglig læsning Statistik og sandsynlighed Algebra og ligninger Rumgeometri Sandsynlighed og kombinatorik I. Sandsynlighed og tællemodeller Tema: Simulering i regneark II. Tre forskellige typer sandsynlighed Økonomi og vækst Matematisk modellering Tema: Simulering i regneark Til opgaverne i dette tema skal I bruge regnearket `Simulering. Regnearket indeholder en række faneblade med de regneark, som I skal bruge til at løse opgaverne i temaet. Når I skal simulere et nyt kast, så skal I hver gang trykke på F9, og der vil fremkomme en ny serie. Plat og krone Åben regnearket `Plat og krone. På regnearket er der simuleret 60 kast med en mønt. I de gule felter er det talt op, hvor mange plat og hvor mange gange krone der er ud af det samlede antal kast. Der er ligeledes et grafisk billede, der viser fordelingen af plat og krone. A. Hvor mange gange skal I trykke på F9, før der er lige mange plat og krone? B. Gentag et par gange for at finde ud af, om det er det samme antal gange, I skal trykke på F9 for at få lige mange plat og krone. Åben fanen `Spil i regnearket. To spillere spiller plat og krone. En spiller får point, når vedkommende får plat. Hvis begge spillere får plat, får begge point. I kan evt. spille mod hinanden. Resurser Simulering C. Spil et antal serier fx 10 kast, og afgør, hvem der vinder serien. Gentag spillet tre gange. D. Udvid spillet til at være kast med to mønter. Kopier celle B5 og indsæt i cellerne B6 og i E6. E. Spil spillet. Der gives point til en spiller, når begge kast viser plat. Spil spillet 10 gange og afgør, hvilken spiller, der vinder spillet. F. Design og beskriv et spil. I kan ved at kopiere en celle udvide spillet til flere mønter. Beskriv reglerne for at vinde. Terningekast Åbn regnearket `Terningekast. Der er simuleret 6 kast med en terning. Øjentallene er vist i cellerne. I kolonne I er hyppigheden af udfaldene optalt. Hyppigheden er også vist med et grafisk billede.

46 A. Forestil dig, at du kaster 60 gange med en terning. Skriv, hvor mange 1 ere, 2 ere osv. du forventer ud af 60 kast. B. Simuler 60 terningekast ved at markere cellerne A4 til F4. Kopier derefter cellerne til det lyseblå område. C. Sammenlign hyppigheden af øjentallene med det du forventede. Tryk på F9 er antal gange og observer, hvordan det grafiske billede skifter. Beskriv det grafiske billede. D. Marker og kopier cellerne. Indsæt derefter i det mellemblå område. E. Tryk på F9 og simuler nye kast. Observer udviklingen i hyppigheden og sammenlign igen med dine forventninger. F. Kopier og indsæt i det mørkeblå område. Beskriv det grafiske billede. G. Det påstås ofte, at det er sværest at slå 6 ere. Hvad viser din simulering om denne påstand? Gyldendal - Klareboderne København K - tlf Support

47 MAKSV Returnerer den maksimale værdi i en liste af argumenter. I modsætning til MAKS, kan du her indtaste tekst. Værdien af teksten er 0. Funktionerne MINV() og MAKSV() returnerer 0, hvis ingen værdi (numerisk eller tekst) og ingen fejl blev fundet. Syntaks MAKSV(Værdi1; Værdi2;... Værdi30) Værdi1; Værdi2;...Værdi30 er værdier eller områder. Tekst har værdien 0. Eksempel =MAKSV(A1; A2; A3; 50; 100; 200; "Tekst") returnerer den største værdi fra listen. =MAKSV(A1:B100) returnerer den største værdi fra listen. MAKS Returnerer den største værdi på en liste med argumenter. Returnerer 0 hvis ingen numerisk værdi og ingen fejl blev konstateret i de celleområder, der blev overført som cellereferencer. Tekstceller ignoreres med MIN() og MAKS(). Funktionerne MINV() og MAKSV returnerer 0, hvis ingen værdi (numerisk eller tekst) og ingen fejl blev konstateret. Overførsel af en tekststreng til MIN() eller MAKS(), for eksempel MIN("streng"), returneres fortsat ingen fejl. Syntaks MAKS(Tal1; Tal2;...Tal30) Tal1; Tal2;...Tal30 er numeriske værdier eller områder. Eksempel =MAKS(A1; A2; A3; 50; 100; 200) returnerer den største værdi fra listen. =MAKS(A1:B100) returnerer den største værdi fra listen. MIDDELV Returnerer gennemsnittet af argumenterne. Værdien af en tekst er 0. Syntaks MIDDELV(Værdi1; Værdi2;... Værdi30)

48 Søg MAKS, funktionen I denne artikel beskrives formelsyntaksen for og brugen af funktionenmaks i Microsoft Excel. Beskrivelse Returnerer den største værdi i et sæt af værdier. Syntaks MAKS(tal1, [tal2],...) Syntaksen for funktionen MAKS har følgende argument: Tal1; tal2;... Tal1 er påkrævet, og efterfølgende tal er valgfrie , som du vil finde den største værdi for. Bemærk! Argumenter kan enten være tal eller navne, matrixer eller referencer, der indeholder tal. Logiske værdier og tekstgengivelser af tal, der indtastes direkte på listen med argumenter, tælles. Hvis et argument er en matrix eller en reference, anvendes kun tal fra den pågældende matrix eller reference. Tomme celler, logiske værdier eller tekst i matrixen eller referencen ignoreres. Hvis argumenterne ikke indeholder tal, returnerer MAKS 0 (nul). Argumenter, der er fejlværdier, eller tekst, der ikke kan oversættes til tal, forårsager fejl. Hvis du vil medtage logiske værdier og tekstgengivelser af tal i en reference som et led i beregningen, skal du bruge funktionen MAKSV. Eksempel I den integrerede projektmappe nedenfor kan du se eksempler på denne funktion. Du kan undersøge og ændre eksisterende formler eller angive dine egne formler for at lære, hvordan funktionen fungerer. Kopiér eksempeldataene i følgende tabel, og sæt dem ind i celle A1 i et nyt Excel-regneark. For at få formlerne til at vise resultater skal du markere dem, trykke på F2 og derefter trykke på Enter. Hvis der er brug for det, kan du justere bredden på kolonnerne, så du kan se alle dataene. Data 10 7

49 Formel Beskrivelse Resultat =MAKS(A2:A6) Største værdi i området A2:A6 27 =MAKS(A2:A6; 30) Største værdi i området A2:A6 og værdien Hvis du vil arbejde mere i dybden med eksempeldataene i Excel, kan du hente den integrerede projektmappe til computeren og åbne den i Excel.

50 It-forberedelse Tendenslinjer i regneark Se de første 3 minutter af følgende film: (Lokaliseret 29/4 2015) Benytter du en anden type regneark, bør du selv kunne finde de lignende funktionaliteter. Geogebra regressionsanalyse (Lokaliseret 29/4 2015)