13 Hvad er undersøgende matematikundervisning og virker den?

Transkript

1 Preprint af kapitel til Håndbog for matematikvejledere, der er under udgivelse på Dansk Psykologisk Forlag, redigeret af Michael Wahl og Peter Weng. Udgivet i Liv i Skolen, november 12, Temanummer: Matematik i skolen. 13 Hvad er undersøgende matematikundervisning og virker den? Morten Blomhøj Det nye buzzword til udvikling af matematikundervisning er inquiry. I dette kapitel forklares begrebet, og de pædagogiske og politiske begrundelser for dets relevans gennemgås. Det slås fast, at begrebet må bestemmes nærmere, og at anvendelse af undersøgende arbejdsformer må underordnes klare mål for elevernes læring, hvis sådanne arbejdsformer skal bidrage til udvikling af matematikundervisningens praksis. De didaktiske muligheder og udfordringer ved undersøgende arbejde illustreres med et eksempel og diskuteres generelt. I det første afsnit af dette kapitel ser jeg på baggrund og begrundelser for undersøgende matematikundervisning. Herefter giver jeg et konkret eksempel til nærmere illustration af, hvad undersøgende matematikundervisning kan være på klassetrin. Jeg præsenterer en ramme for karakterisering af opgaver og oplæg til undersøgende arbejde, der kan bidrage til at underordne brugen af undersøgende arbejdsformer mere overordnede mål for elevernes matematiklæring. I det sidste afsnit giver jeg en nærmere karakteristik af undersøgende arbejde i matematik ved at udpege, hvad jeg opfatter som central elev- og læreraktiviteter i en sådan undervisning. Her giver jeg også en kort diskussion af generelle didaktiske udfordringer ved integration af undersøgende arbejdsformer i matematikundervisningens praksis. Indledning Inquiry Based Education (IBE) er inden for det seneste årti blevet en trend i den uddannelsespolitiske diskussion om matematik- og naturvidenskabsundervisning. Det er et vestligt fænomen, men det er særligt markant i Europa. På dansk kan man i forhold til matematik bruge 1

2 termen undersøgende matematikundervisning. Det kan løseligt defineres som undervisning, hvor eleverne arbejder målrettet med at afgrænse og formulere problemer, gennemføre og kritisere eksperimenter eller andre empiriske undersøgelser, opsøge information, konstruere modeller, danne hypoteser, debattere med hinanden og læreren samt at udvikle og formidle sammenhørende faglige argumenter. En sådan undervisningsform kan ses som modstykke til en fagligt formidlende undervisning, der primært drives af lærebogen, og hvor læreren præsenterer eleverne for matematiske begreber og metoder, forud for at de arbejder med øvelser og opgaver, der kan støtte opbygning af viden og færdigheder i det pågældende emne. Den formidlende undervisningsform er givet nødvendig for, at man som matematiklærer inden for de givne rammer kan leve op til sine forpligtelser om at støtte opbygning af elevernes faglige viden og deres tilegnelse af færdigheder i overensstemmelse med de gældende regler og kravene til de afsluttende prøver. Det er næppe heller hensigtsmæssigt eller muligt udelukkede at anvende undersøgende arbejdsformer i en matematikundervisning, der er pensumstyret. Undersøgende tilgange giver imidlertid mulighed for, at eleverne kan få egne oplevelser og erfaringer med det faglige indhold, de arbejder med. Herved kan deres matematiklæring lettere blive en integreret del af deres personlige udvikling og dannelse. Samtidig kan undersøgende arbejde være motiverende og give grundlag for større fordybelse i udvalgte faglige problemstillinger. Overordnet set kan man lidt banalt sige, at udvikling af matematikundervisningens kvalitet drejer sig om at finde den rette balance og integration mellem undersøgende og formidlende arbejdsformer. Med integration mener jeg her, at formidling af faglige pointer og træning af færdigheder i passende omfang er motiveret gennem og er sat i sammenhæng og perspektiv gennem målrettet undersøgende arbejde. Det er der måske ikke så meget nyt i at konstatere, men jeg mener alligevel, det er værd at dykke lidt dybere ned i, hvad der nærmere karakteriserer undersøgende arbejde i matematik, og de generelle pædagogiske begrundelser, der kan gives for undersøgende matematikundervisning. Det gælder ikke mindst i en situation, hvor der er politisk pres for at reformere matematikundervisningen i retning af IBE. Begrundelser for undersøgende matematikundervisning Som pædagogisk begreb kan en undersøgende tilgang til undervisning og læring føres tilbage til den amerikanske uddannelsesfilosof John Dewey ( ) og hans begreb om inquiry. Dewey understregede og dyrkede de fælles træk ved på den ene side problemløsning i hverdagssam- 2

3 menhænge, almindelig erfaringsdannelse og udviklingen af sund fornuft og på den anden side løsning af problemer og udvikling af metoder i videnskabelige sammenhænge. Han så den videnskabelige udvikling som en systematisering og raffinering af dagligdagsmetoder til problem løsning, og ikke som en helt særlig erkendelsesform. Han identificerede grundlæggende metoder og erkendelsesformer som experimental practice of knowing (Dewey, 1929) og reflective inquiry (Dewey, 1933) som værende fælles for udvikling af viden uden for og inden for en videnskabelig kontekst. Han anså reflective inquiry som nøglen til at ophæve adskillelsen mellem viden og handling ( knowing and doing ) i forståelse af menneskelig virksomhed. På dette grundlag udviklede Dewey en pædagogik, som han også til en vis grad realiserede som praksis i en særlig forsøgsskole. Elevernes naturlige interesse for løsning af (i første omgang) praktiske og umiddelbare problemer og deres erfaringer med løsning af sådanne problemer uden for skolen var her udgangspunkt for udvikling af reflective inquiry som generel metode til løsning af problemer og udvikling af viden. Kernen i denne metode er, at der er en drivende motivation til at løse et givet problem eller at forstå en given situation, og løsningen eller erkendelse sker ved samspil mellem handling og refleksion. Overordnet kan Dewey s filosofi opsummeres i følgende punkter: Grundlæggende søger mennesket at forstå og beherske sin omverden gennem målrettet undersøgende og problemløsende adfærd samt ved at udvikle og dele sin viden gennem social interaktion. Videnskabelig viden er udviklet kulturhistorisk gennem raffinering og kultivering af menneskets grundlæggende erkendelsesinteresse. Gyldig viden (sand viden) er viden, der har vist sig effektiv til forståelse af fænomener og løsning af problemer (pragmatisme). Uddannelse skal styrke og udvikle den enkelte elevs evne til at lære gennem undersøgelse og refleksion. Eleverne skal opleve, at den viden, de udvikler, er nyttig og effektiv i deres omverden. Elevernes erfaringer og tidligere erhvervede viden anses som central for tilrettelæggelse af undervisning og erhvervelse af ny viden. Viden almengøres i undervisningen gennem fælles refleksion over fælles erfaringer. 3

4 Det overordnede mål er at uddanne eleverne til at tage aktiv og kritisk del i udviklingen af demokratiske samfund. Som det fremgår, er der altså pædagogisk set ikke noget nyt over at tilskrive undersøgende arbejdsform en særlig værdi. Det er imidlertid heller ikke alene de generelle pædagogiske begrundelser for undersøgende tilgange til undervisning tilbage fra Dewey s arbejde, der har gjort IBL/IBE ( Inquiry Based Learning/Education ) til et aktuelt og dominerende træk ved vestlig og i særlig grad europæisk uddannelsespolitik de seneste år. Det er inden for matematik- og naturvidenskabsuddannelse, at IBE er blevet fremhævet som et politisk imperativ. Denne udvikling kan føres tilbage til en ekspertgruppe under EU, som i 2007 fastslog: In recent years, many studies have highlighted an alarming decline in young people s interest for key science studies and mathematics. Despite the numerous projects and actions that are being implemented to reverse this trend, the signs of improvement are still modest. Unless more effective action is taken, Europe s longer term capacity to innovate, and the quality of its research will also decline. Furthermore, among the population in general, the acquisition of skills that are becoming essential in all walks of life, in a society increasingly dependent on the use of knowledge, is also under increasing threat (Rocard m.fl., 2007, s.5). IBE i matematik- og naturvidenskab blev fremhævet som (et muligt) svar på denne generelle uddannelsesmæssige udfordring. Efterfølgende har EU således søsat en lang række forsknings-, udviklings- og spredningsprojekter om undersøgende undervisning i matematik og naturvidenskab. Der er aktuelt ni igangværende eller nyligt afsluttede projekter, som støtter IBE og tilhørende professionel udvikling for lærere inden for matematik og naturvidenskab. Det samlede budget for disse projekter summer op til mere end 70 millioner euro. Projektbeskrivelser og undervisningsmaterialer udviklet i disse projekter kan findes via web portalen Begrundelserne for EU s rammebevillinger inden for dette område og for de enkelte projekter efterlader det klare indtryk, at udvikling af mere undersøgelsesbaserede undervisningsformer i matematik og naturvidenskab politisk opfattes som direkte forbundet med samfundsmæssige behov for uddannelse af kvalificeret arbejdskraft til støtte for fortsat teknologisk udvikling og innovation, og at en sådan udvikling er afgørende for Europas muligheder for at klare sig i konkurrence med andre regioner i fremtiden. På nogle punkter minder retorikken omkring IBE i matematik og naturvidenskab om det, man så i perioden omkring 1960 med det såkaldte sputnikchok og the new maths reform. Her blev rum- og våbenkapløbet mellem Vesten og USSR brugt som politisk løftestang og begrundelse for reformering af matematikundervisning ud fra et ønske om en fagligt set 4

5 sammenhængende undervisning igennem hele uddannelsessystem. Det skabte grundlag for indførelse af en strukturalistisk matematikundervisning, hvor bl.a. mængdelære blev introduceret i de små klasser. Historien har efterfølgende vist, at der var alvorlige pædagogiske og didaktiske problemer knyttet til en strukturalistisk matematikundervisning. I den aktuelle sammenhæng er det således også på sin plads at overveje, hvordan det politiske ønske om reform af matematikundervisning i retning af IBE kan implementeres på en måde, der faktisk bidrager til at udvikle og forbedre matematikundervisningens praksis. Der kunne således være en ikke forsvindende risiko for, at undersøgende arbejdsformer implementeres politisk på måder, der forfejler det læringsmæssige sigte, når der blot fokuseres på formerne for elevernes arbejde, uden at man forholde sig til arbejdsformernes forbindelse til læringsmålene. For at kunne imødegå sådanne effekter må det naturligvis diskuteres konkret, hvad der kan forstås ved en undersøgende matematikundervisning, og hvordan en sådan undervisningsform kan forbindes med eksisterende praksis. Det ser vi nærmere på i de følgende afsnit med et eksempel fra den danske del af EU projektet PRIMAS, der netop har spredning af IBE som formål. Den nærmere bestemmelse af IBE i relation til matematik må naturligvis også inddrage eksisterende matematikdidaktiske teorier om undervisning og læring. IBE er blevet importeret til matematikundervisning via naturvidenskabsundervisning. Det er oplagt, at der er andre vilkår for og pointer ved undersøgende arbejde i de naturvidenskabelige fag, der naturligvis også rummer store forskelle mellem de enkelte naturfaglige fag, end ved undersøgende arbejde i matematik. Samtidig findes der i matematikkens didaktik veludviklede teorier, der har elevernes selvstændige virksomhed som et centralt element. Det glæder fx teorien om didaktiske situationer (TDS) (Brousseau, 1997; Winsløw, 2006, kap. 7) og Realistic Mathematics Education (RME) (Van den Heuvel Panhuizen, 2003). Der findes teorier, der eksplicit behandler det dialogiske samspil mellem lærer og elever i undersøgende arbejde (Alrø & Skovsmose, 2002). Undersøgende arbejde i ikke-matematisk kontekst omfatter nødvendigvis matematisk modellering, og IBE i matematik har derfor tæt forbindelse til matematisk modellering og må forstå i relation hertil (Blomhøj, 2006). Inddragelse af IBE i matematik bør derfor i høj grad ske i lyset af eksisterende matematikdidaktiske teorier. Udfordringen med at sætte IBE i matematik på begreb og i sammenhæng med sådanne teorier lader sig imidlertid ikke løfte i dette kapitel, og jeg henviser til Artigue & Blomhøj (under udarbejdelse) for en nærmere analyse heraf. 5

6 PRIMAS et udviklings- og spredningsprojekt under EU PRIMAS (Promoting Inquiry in Mathematics and Science Education Across Europe) er et af ovenfor omtalte projekter til udvikling og spredning af undersøgende undervisningsformer i matematik- og naturvidenskabsundervisning. Danmark deltager i PRIMAS, og projektgruppen består af Morten Blomhøj (IMFUFA), Tinne Hoff Kjeldsen (NSM) og Martin Niss (Roskilde Universitet). Det overordnede mål med PRIMAS er at støtte lærere i matematik og naturfagene med at (videre)udvikle en undersøgelsesbaseret ( inquiry-based ) undervisningskultur. Begrebet inquiry-based er i PRIMAS bredt defineret og indbefatter det, der normalt forstås ved undersøgende arbejdsformer, induktive forløb, projektarbejde og problembaseret læring. PRIMAS i Danmark omfatter både grundskolen og de gymnasiale uddannelser. De specifikke mål i PRIMAS-DK er: At promovere tilgange til matematik- og naturfagsundervisning, som er sjove, udfordrende og relevante for eleverne. At promovere udbredelsen af undersøgelsesbaseret læring i klasseværelserne i matematik og naturfagene. At stille ressourcer til rådighed for og koordinere efteruddannelse og faglig udvikling blandt lærere i grundskolen, gymnasiet og læreruddannelsen. At udvikle og arbejde med netværk af folkeskole-, gymnasie- og seminarielærere. At analysere og forstå politiske tiltag, som har relation til undersøgelsesbaseret læring, og at oplyse og arbejde med det politiske system med henblik på at forbedre praksis. Som det er tilfældet med de øvrige EU projekter inden for IBE, kræver det en nærmere bestemmelse af, hvilke mål for elevernes faglige læring og dannelse man ønsker at fremme gennem anvendelse af undersøgende arbejdsformer. I PRIMAS-DK har vi udviklet og afholdt kurser for grundskolelærere og gymnasielærere. Inden udgangen af 2013 har over 100 lærere gennemført et kursus svarende til 7,5 ECTS. Kurserne har udvikling af deltagernes egen praksis som fokus. De gennemføres som to internater, hvor deltagerne på det første internat får inspiration og støtte til at udvikle, afprøve, observere og evaluere undersøgende undervisningsforløb i egne klasser. Det er en central pointe, at lærerne som grundlag for design af deres undervisningsforløb afklarer såvel målene for elevernes læring som deres eget udviklingssigte med forløbet. På det andet internat fremlægges, diskuteres og videreudvikles lærernes forløb med henblik på kunne bruges af andre lærere. Deltagerne i kurserne kommer fortrinsvis sammen to eller tre kollegaer fra samme skole. 6

7 Projektet løber over fire år ( ) og trækker på ekspertise fra 14 institutioner fra 12 europæiske lande. Man kan læse mere om PRIMAS og finde undervisningsoplæg på projektets hjemmeside: I det følgende præsenteres og diskuteres et eksempel på et undervisningsforløb, der er udviklet og afprøvet under et kursus inden for PRIMAS-DK. Kurset blev afholdt i samarbejde med kompetencecentret i matematikdidaktik, KomMat. Rebtrekanten et eksempel på undersøgende matematikundervisning fra PRIMAS-DK Undervisningsforløbet er designet til klasse med det sigte, at eleverne skal erkende trekantuligheden som en generel egenskab ved trekanter. Inddelt i grupper med fire elever i hver bliver klassen præsenteret for et reb, der er bundet sammen til en ring, og som har 12 knuder, der er placeret med samme indbyrdes afstand. Hver gruppe får et reb, og læreren præsenterer opgaven for klassen på denne måde: Arbejdet skal foregå ude i skolegården. Hver gruppe skal lave så mange forskellige trekanter som muligt med rebet. Men det er kun tilladt at lave trekanter, der har knuder i alle tre hjørner, og rebet skal være strakt mellem knuderne. For hver trekant, I får lavet, skal I tegne trekanten på papir med længderne på siderne. Hvor mange forskellige trekanter kan I lave? Figur Billede viser en gruppe af elever på 6. klassetrin, der har lavet en ligesidet trekant med kantlængden 4. Tegningen viser gruppens gengivelse af en trekant, som de også har lavet med rebet. Ligesom gruppen på billedet i figur 13.1 finder de fleste grupper relativt hurtigt to af de tre mulige trekanter, og trekanterne. Det kan dog godt volde nogle af grupperne problemer at få lavet brugbare tegninger af de trekanter, de har frembragt med rebet. Af en eller anden grund er det tilsyneladende sværere at finde trekanten. Så godt som alle grupper forsætter imidlertid med at forsøge at lave flere trekanter, og nogle grupper er meget insisterende i deres forsøg på at danne en eller en trekant. Denne fase, hvor eleverne arbejder med at lave forskellige reb- 7

8 trekanter og tegne skitser af dem, kan tage minutter. Rebet og hele situationen er designet med henblik på, at klassen tilsammen har gode chancer for at finde alle tre mulige trekanter. Efter undersøgelserne i skolegården samles eleverne igen i klassen for at formulere og dele resultaterne af deres undersøgelser. Alle grupper kan forventes at kunne bidrage med deres resultater og erfaringer angående mulighederne for at finde flere løsninger. Efterhånden kommer alle tre muligheder på tavlen som trekanter tegnet med lineal. Læreren kan eventuelt vælge at behandle principperne for geometrisk konstruktion af hver af de tre trekanter i situationen, eller det kan udskydes til en senere lejlighed, hvor der så kan refereres til klassens erfaringer med rebtrekanterne. Nogle grupper har netop oplevet problemer med at få tegnet en trekant på papir med de rigtige mål. I denne fase, hvor resultaterne af undersøgelserne formuleres og gøres fælles, kan læreren vælge at indføre specifik notation (semitisk kode) til repræsentation af trekanter ved deres sidelængder: (2-5-5; 3-4-5; og 4-4-4). En sådan notation er særdeles effektiv, når der skal ræsonneres om, hvorvidt alle mulige løsninger er fundet. Nu er scenen så sat for at undersøge, om der er andre mulige løsninger. Her kan forslag om en eller en trekant komme frem til fælles drøftelse i klassen. Hvordan argumenterer man for umuligheden af en af disse trekanter? Her kan rebet bruges igen, men nu i åben udgave. To elever kan strække rebet, så der er seks enheder mellem de knuder de holder i, og således at der i de to ender er henholdsvis to og fire enhed af rebet tilbage. To andre elever kan så tage hver sin ende og blive bedt om at få de to ender til at mødes. Det bliver herved tydeligt for klassens elever, at det kun kan lade sig gøre, hvis enderne holdes sammen, så de ligger på siden med længden 6. Der kan altså ikke komme nogen trekant ud af det! Baseret på sådanne erfaringer kan klasse nu i dialog med læreren nå frem til, at hverken en eller en trekant er mulig. Herefter kan læreren forsøge at skabe grundlag for en generalisering af resultaterne gennem en mere målrettet dialog med klassen. Dialogen kan fx forløbe således: L: Hvad ved I om alle de trekanter, vi kan lave med rebet? E1: Siderne lagt sammen skal give 12. L: Ja, netop. Men det er ikke nok, fordi 2+4+6=12, men den kan ikke lade sig gøre. E2: Den længste side må højest være 5. L: Godt forslag. Vi har ingen trekanter med sider på 6 eller derover. L: og kunne ikke lade sig gøre. Kan der være andre med 6? E3: 1-5-6, men den dur heller ikke vel? L: Hvad siger I til det? E4: Nej, det er samme som før de mødes på siden. 8

9 L: Kan der være andre med 6? E2: er det samme som 2-4-6, så den har vi haft. Der er ikke flere med 6. L: Hvad med en med 7 som den længste side? E4: Nej, det blive dårligere så kan enderne ikke mødes. Læreren tegner en åben trekant. L: Nej, det kan ikke lade sig gøre. Der er 5 tilbage til de to andre sider, og de kan ikke nå sammen, hvis der 7 enheder mellem punkterne. Er I enige? L: Så skal vi se, om der er flere med 5 som længste side. Hvor mange enheder er der så tilbage til de to andre sider? E5: 7 L: Og hvordan kan de fordeles på to sider? E2: 2+5, og 3+4. L: Ja, det er dem, vi allerede har. Kan der være andre? E2: 1+6, men den dur jo ikke, så der er ikke andre. L: Hvad med 4 som længste side, er der andre af dem? E6: Nej, der er da kun Ellers vil en af siderne jo være længere. L: Det er super, så har vi tre mulige trekanter, og vi ved at der ikke er flere. L: Hvad nu hvis rebet havde haft flere knuder, kan vi lave en regel, der altid gælder? Læreren tegner en trekant med sidelængderne angivet som a-b-c, hvor c er den længste side. L: Hvad kan vi sige om a og b sammenlignet med c? E3. De er mindre. L: Ja, og hvad mere kan vi sige? E2: a+b er større end c. L: Ja, ellers kan de ikke mødes. Så nu ved vi, at for alle trekanter a-b-c gælder, at a+b>c! Eksemplet illustrerer flere centrale træk ved undersøgende matematikundervisning. For det første er det tydeligt, at det kræver en detaljeret tilrettelæggelse og iscenesættelse af elevernes undersøgende virksomhed, hvis elevernes erfaringer og resultater skal kunne bruges som grundlag for opbygning af en bestemt faglig pointe/indsigt i klassen. Eksemplet viser også betydningen og nødvendigheden af lærerens udfordrende dialog med klassen. Læreren trækker her meget bevidst på elevernes erfaringer fra det undersøgende arbejde. De refleksive elementer i elevernes virksomhed kommer typisk ikke frem af sig selv, selv om de er blevet optaget af en undersøgelse og motiveret for løse problemet. De skal udfordres og hjælpes på vej af læreren. Introduktion af repræsentationen for en trekant ved dens sidelængder og lærerens fastholdelse af den systematiske undersøgelse af alle muligheder er tilsyneladende væsentlige 9

10 forudsætninger for, at eleverne kan følge og selv foretage de nødvendige refleksioner. Det er endelig en pointe med eksemplet, at det er læreren, der påtager sig ansvaret for at formulere den tilsigtede faglige pointe og få den forbundet til elevernes undersøgelser og tilhørende refleksioner. En undersøgende tilgang til matematikundervisning fritager altså ikke læreren for at formidle de centrale faglige pointer, men kræver tværtimod, at læreren sikrer forbindelsen mellem pointerne og den undersøgende virksomhed. Det er også typisk for en undersøgende tilgang, at den tilsigtede faglige indsigt ikke følger automatisk af resultaterne af elevernes arbejde. Målet er, at eleverne indser trekantuligheden som en generel egenskab ved trekanter, men deres undersøgelser viser blot, at det er muligt at lave netop tre forskellige trekanter med rebet. Generaliseringen kræver lærerens formidlende mellemkomst. Forskellige former for undersøgende virksomhed i matematikundervisning Anvendelse af undersøgende arbejdsformer i matematikundervisning kan antage mange forskellige former og tjene forskellige læringsmål. I PRIMAS-DK arbejder vi med et mulighedsområde for undersøgende arbejde, der er udspændt af tre dimensioner. Den første dimension angår graden af problemorientering i oplægget til eleverne. Er der ét problem (evt. opstillet af eleverne), som er styrende for det undersøgende arbejde? Eller er der i højere grad tale om et system af sammenhørende opgaver, hvor resultaterne efterfølgende kan organiseres matematisk (som i Taxi-geometri, Blomhøj (1991)), eller er der et tema som ramme for elevernes undersøgende arbejde (som i Matematikmorgener, Blomhøj & Skånstrøm (2006))? Den anden dimension angår graden af anvendelsesorientering i det undersøgende arbejde. Er undersøgelsen af intern matematisk karakter (som det er tilfældet med rebtrekanten), eller angår den anvendelse af matematik på en problemstilling eller situation af ekstra matematisk karakter altså matematisk modellering (som ved skorstensproblemet, se nedenfor eller 10=44, Blomhøj & Højgaard (2007)? Den sidste dimension angår graden af frihed i elevernes virksomhed. Er der givet en bestemt situation, som eleverne skal forholde sig til, eller kan de selv formulere eller afgrænse problemet, er det muligt at anvende flere forskellige metoder, er der flere gyldige svar, og flere måder at formidle dem på? 10

11 Figur Et tredimensionelt rum for opgaver og forløb til undersøgende arbejde. Forskellige placeringer i rummet er illustreret med henvisninger til forløb fra litteraturen eller forløb udviklet i PRIMAS-DK. Der er ingen eksempler i nærheden af hjørnerne 1 og 3. Det skyldes, at der ikke er grundlag for selvstændig målrettet undersøgende elevvirksomhed, hvis der ikke er et problem, som eleverne kan forholde sig undersøgende til, og hvis der heller ikke er frihedsgrader i situationen til, at eleverne kan formulere og undersøge egne spørgsmål. Temaet cykelmatematik er klassisk i matematikundervisningen på mellemtrinnet. Her er det brugt som eksempel på et tematisk forløb, der kun i mindre er anvendelsesorienteret, men som rummer nogle frihedsgrader for elevernes undersøgende virksomhed. I PRIMAS-DK er der udviklet og afprøvet flere sådanne forløb. Iscenesættelsen har vist sig afgørende for at få engageret eleverne i relevante undersøgende aktiviteter i forhold til temaet cykler. Klassen kan fx præsenteres for en samling af meget forskellige cykler, og der kan laves fælles brainstorm over, hvilke forhold omkring cykler man kan undersøge ved hjælp af matematik. Læreren kan her styre i retning af mere specifikke spørgsmål som fx: Hvordan måler man størrelsen af en cykel, og hvor langt kører de enkelte cykler på en pedalomgang? Og kan man beregne denne længde, eller er måling nødvendig? Forløb af denne type rummer muligheder for differentiering mellem forskellige grupper af elever, samtidig med at alle grupper kan bidrage til den fælles undersøgelse. Skorstensproblemet, der er udviklet og gennemført som led i PRIMAS-DK, er anført som eksempel på hjørne nummer 8 i figur 2. Det er et klart eksempel på en autentisk modelleringsproblemstilling med mange frihedsgrader for elevernes arbejde. Udgangspunktet var, at der for nyligt var blevet opstillet en 51 meter høj skorsten ved en fabrik i nærheden af skolen (se 11

12 figur 13.3). Skorstenen blev kørt gennem byen i ét stykke. Der var vidner blandt eleverne, og spørgsmålet til eleverne var: Hvordan kunne det lade sig gøre, og hvor meget længere kunne skorstenen have været, hvis den skulle køres samme vej? Som det ses af figur 3, gav spørgsmålet anledning til mange spændende undersøgelser. Figur Foto 1 viser skorstenen set fra skolen. Foto 2 og 3 viser nogle af de undersøgelser, eleverne gennemførte for at svare på spørgsmålet. Graden af autenticitet i problemstillingen, de anvendte metoder og data samt brugen af resultaterne indgår ikke i karakteriseringen af undersøgende arbejde i figur 13.2., men det er oplagt en relevant dimension at tage i betragtning ved vurdering af den dannelsesmæssige værdi af undersøgende arbejde i matematik. Det er en selvstændig pointe ved undersøgende arbejde, hvis det kan bidrage til at forankre skolens matematikundervisning i verden uden for skolen. Det er netop en af pointerne fra Deweys uddannelsesfilosofi. Skorstensproblemet repræsenterer en høj grad af autenticitet, hvad angår selve problemstillingen, og det er givetvis af betydning for elevernes motivation for at arbejde med problemet, og for deres oplevelse af, at matematik har noget væsentligt at tilbyde til forståelse af verden. Det er oplagt, at undersøgende arbejdsformer er absolut nødvendige, hvis man ønsker at udvikle elevernes tankegangs-, problemløsnings-, modellerings- og ræsonnementskompetence (Niss & Højgaard Jensen, 2002). Men det skal understreges, at de generelle pædagogiske begrundelser for en undersøgende tilgang til matematikundervisning også er gyldige i situationer, hvor læringssigtet er af snævrere faglig karakter. Eksemplet med trekantuligheden illustrerer netop dette forhold. Her er det et rent internt fagligt spørgsmål, der danner udgangspunkt for elevernes undersøgende arbejde. Den undersøgende tilgang giver mulighed for faglig fordybelse i fx repræsentationer og ræsonnementer og kan herved bidrage til elevernes kompetenceudvikling og til 12

13 deres dannelse. Eleverne oplever, at det er muligt at komme til endelig klarhed over et matematisk spørgsmål gennem konkrete praktiske undersøgelser og refleksioner. Afrunding Den helt afgørende forudsætning for en vellykket anvendelse af undersøgende arbejde i matematikundervisning er, at det indgår i forløb med klare læringsmål, og at de undersøgende aktiviteter iscenesættes over for eleverne, så de fremstår som målrettede og motiverende. Det skal være noget bestemt, der skal undersøges. Undersøgelsesprocessen er vigtig, men hvis den ikke har et klart formål, mister den sin læringsmæssige værdi. Undersøgende matematikundervisning giver mulighed for, at eleverne kan blive fagligt aktive på måder, som det er vanskeligt at fremme i en mere formidlende klasseundervisning. Følgende elevaktiviteter kan fremhæves som karakteristisk for undersøgende arbejde: Eleverne formulerer faglige spørgsmål opsøger information tæller og måler observerer systematisk eksperimenterer forsimpler og strukturerer klassificerer udvikler definitioner kvantificerer og beregner (med overslag) anvender symboler herunder variable benytter algebra forudsiger ræsonnerer og beviser visualiserer danner og afprøver hypoteser fortolker og vurderer resultater udviser kreativitet kommunikerer og formidler (via media) 13

14 Tilsvarende er der en række læreraktiviteter, der er centrale i en undersøgende matematikundervisning. Her må læreren i særlig grad sætte scenen for elevernes undersøgende aktiviteter. Han/hun skal: inspirere til undersøgende holdning og tilgange til matematik (og verden) formidle og fællesgøre læringsmål bygge på og udbygge elevernes erfaringer støtte elevernes ejerskab til problemer og forløb (projekter) skabe rum for dialogisk samspil i klassen og med grupper af elever opmuntre til spørgsmål og refleksion stille åbne og nysgerrige spørgsmål til elevernes arbejde bemærke og påskønne elevers faglige ideer og ræsonnementer værdsætte forsøg og fejl som grundlag for læring fremme samarbejde og dialog mellem eleverne udpege og almengøre centrale begreber, faglige pointer og metoder evaluere elevernes faglige læring og formidle resultatet heraf evaluere, reflektere over og udvikle egen praksis Det er ikke lettere, men snarere sværere, at bedrive undersøgende matematikundervisning sammenlignet med mere formidlende undervisning. Til gengæld kan det være betydeligt mere givende for eleverne og interessant for læreren. Det viser bl.a. erfaringer fra PRIMAS-DK. Samtidig har erfaringerne fra de mange forløb med undersøgende matematikundervisning udpeget nogle generelle didaktiske udfordringer, som er knyttet til undersøgende arbejde i matematik. Det gælder: Iscenesættelse af elevernes undersøgende virksomhed. Det er en vigtig fase, og det kræver typisk, at læreren udnytter nye virkemidler i formidlingen. Klargøring og formidling af målene for elevernes læring ved undersøgende arbejde. Klasserumsledelse og styring af elevernes koncentrationsrytme i undersøgende arbejde. Støtte til elevernes undersøgende arbejde gennem rammerne og den løbende dialog. Støtte til opbygning af en fælles faglig viden i klassen på grundlag af undersøgende virksomhed. Hvilke faglige pointer kan formidles til klassen på grundlag af forløbet, og hvordan kan de almengøres? Og hvilken fortsat læring peger de frem mod? 14

15 Hvordan vurderes og bedømmes elevernes læring i undersøgende arbejde? Hvilken fagdidaktisk viden kan udvikles (om disse udfordringer), og hvordan kan en sådan viden udnyttes til udvikling af matematikundervisningens praksis? Disse udfordringer må belyses gennem fortsat udviklingsarbejde og refleksion og gennem samspil med matematikdidaktisk forskning i undersøgende matematikundervisning. Litteratur Alrø, H. & O. Skovsmose (2002). Dialogue and learning in mathematics education: Intention, reflection, critique. Dordrecht: Kluwer. Artigue, M. & Blomhøj, M. (ikke publiceret). Conceptualising inquiry based education in mathematics. Under forberedelse til publicering i ZDM The International Journal on Mathematics Education i Barrow, L. H. (2006). A brief history of inquiry: From Dewey to standards. Journal of Science Teacher Education 17, s Blomhøj, M. (1991). Samspil mellem teori og praksis i matematikkens didaktik et udviklingsarbejde i geometri. Tekst MI 37. København: Matematisk Institut, DLH. Blomhøj, M. (2006). Mod en didaktisk teori for matematisk modellering. I: O. Skovsmose & M. Blomhøj (red.), Kunne det tænkes? om matematik-læring. Albertslund: Forlag Maling Beck, kap. 5. Blomhøj, M. & Jensen, T.H. (2011). Hvad er menningen? Didaktisk klasseledelse via form eller mål. I: M.-C. S. Schmidt, Klasseledelse og fag at skabe klassekultur gennem fagdidaktiske valg. Frederikshavn: Dafolo, s Blomhøj, M., & Jensen, T. H. (2007). What s all the fuss about competences? Experiences with using a competence perspective on mathematics education to develop the teaching of mathematical modelling. I: W. Blum (red.), Modelling and applications in mathematics education. The 14th ICMI-study (s ). New York, NY: Springer-Verlag. Blomhøj, M. & Skånstrøm, M. (2006). Matematik Morgener matematisk modellering i praksis. I O. Skovsmose & M. Blomhøj (red.), Kunne det tænkes? om matematik-læring. Albertslund: Forlag Maling Beck, kap.1. 15

16 Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht, Kluwer. Dewey, J. (1929). The quest for certainty. New York, NY: Minton, Balch & Co. Dewey, J. (1933). How we think: A restatement of the relation of reflective thinking to the educative process. Boston, MA: Heath. Niss, M. & Højgaard Jensen, T. (2002): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie 18. Rocard M, Csermely P., Jorde D., Lenzen D., Walberg-Henriksson H. & Hemmo V. (2007). L enseignement scientifique aujourd hui : une pédagogie renouvelée pour l avenir de l Europe. Commission Européenne, Direction générale de la recherche, Science, économie et société. Van den Heuvel Panhuizen (2003). The didactical use of models in realistic mathematics education: An example from a longitudinal trajectory on percentage. Educational Studies in Mathematics, 54, s Winsløw, C. (2006): Didaktiske elementer en indføring i matematikkens og naturfagenes didaktik. København: Biofolia. Internetadresser