Renteforudsigelser i et lavrentemiljø

Transkript

1 Renteforudsigelser i et lavrentemiljø - En empirisk analyse med Nelson-Siegel modeller på danske statsrenter Forfattere: Malene Knak Sørensen Jacob Sørensen MS94256 JS93379 MSc. Finance MSc. Finance Vejleder: Carsten Tanggaard Antal anslag: Aarhus School of Business and Social Sciences Department for Economics and Business Economics Juni 2016

2 Forecasting in a Low-Rate Environment - Examining the Nelson-Sigel Class of Term Structure Models on Danish Government Bond Yields Malene Knak Sørensen and Jacob Sørensen Since 2009 the Danish term structure has experienced a decline to a new low level of around zero percent. This shift is not only seen in Denmark but also in a number of other European countries. The Danish government bond yield did in fact become negative in 2011, which had consequences for the appeal of the existing term structure model, especially in use for forecasting. With focus on forecasting we want to analyze Danish government yield in low-rate environment. The first step is to model the dynamics of Danish government bond yields from 1994 to 2016, by use of the Nelson-Siegel class of term structure models. This class of models is chosen because academic litterateur and practical oriented publications show that these models deliver good forecasting results and have intuitive appealing specifications. In the period after the financial crisis we have seen low volatility in yields and negative interest rates, and therefore it is necessary for the term structure models to handle this new environment. We find that the shadow rate model is a possible solution, because this model captures the asymmetric distribution of future rates that characterizes the low-yield environment. In general, we find that the estimated models do not predict the yield better than a random walk. By comparing the class of Nelson-Siegel models we find that the shadow-rate model mitigates lower bound problems significantly and we show that this model has the best forecast performance. Keywords: Term structure of interest rates, Dynamic Nelson-Siegel, Arbitrage- Free Nelson-Siegel, Shadow-rate model, Forecasting, State-space model, Model comparison, Model selection, Out-of-sample tests. i

3 - "Prediction is very difficult, especially if it s about the future." Niels Bohr, Nobelpristager i fysik ii

4 Indhold 1 Indledning Problemformulering Undersøgelsesspørgsmål Afgrænsning Software Metode og struktur Obligationsmarkedet og obligationsteori Obligationsmarkedet Nulkuponobligationer og diskonteringsfaktorer Nulkuponrenter og forwardrenter Rentestrukturens udseende Det danske rentemiljø i perioden 1994 til Rentemodeller Affine modeller Approksimationsfunktioner Valg af antal faktorer Klassen af Nelson-Siegel modeller Dynamisk Nelson-Siegel Arbitrage-fri Nelson-Siegel Rentejusteringsfaktoren Sammenhæng mellem Q og P mål Skyggerentemodel Arbejdet af Black og Krippner Den estimerede skyggerentemodel Fastsættelse af r min Estimering af rentestrukturmodellerne DNS, to-trins metode State-Space og Kalman filtrer AFNS med Kalman filter SR model med udvidet Kalman filter Estimationsresultater Data iii

5 7.2 Resultater Diskussion af r min Effekten af den nedre grænse Out-of-sample forudsigelse Beskrivelse af procedure for renteforudsigelse Benchmarkingmodeller Hele perioden Periode med lavrentemiljø Periode med normalt rentemiljø Resultatsammenligning Forudsigelsesresultaterne i forhold til Cost-at-Risk modellen Mulige modeludvidelser Konklusion 79 Litteratur 81 A Udledning af start fordeling under forudsætning om enhedsrod 84 B Diebold-Mariano test mod random walk 85 C Forudsigelsesfejl 86 D Diebold-Mariano test mellem modeller for lavrentemiljø 87 E Diebold-Mariano test mellem modeller for normalt rentemiljø 88 iv

6 Figurer 1.1 Specialets struktur Rentekurver for udvalgte måneder Danske statsrenter for perioden 1994 til Volatilitet i nulkuponrenter Diskonteringsfaktor Principal komponent analyse Faktor-loadings Estimerede faktorer og empirisk niveau, hældning og krumning Rentejusteringsfaktor for AFNS Sandsynlighed for at r t+3 kommer under Eksempel på rentekurve med skyggerente Konvergeringsanalyse af forskellige startværdier D figur af danske statsrenter for perioden 1994 til Gennemsnitlige rentekurver Tilpassede rentekurver for udvalgte måneder Estimater af r min og log-likelihood ratio test Projekterede kortrentestier Beregnet optionsværdi på at holde kontanter Forudsigelse af 1 og 10-årige rente efter 12 måneder mdr. betinget volatilitet siden Residualplot for 1-måneds forudsigelse Residualplot for 12-måneds forudsigelse Faktor-loadings DNSS Tabeller 5.1 Deskriptiv statistik på estimerede faktorer Deskriptiv statistik på rentedata Parametreestimater fra DNS modellen Parametreestimater fra AFNS modellen Parametreestimater fra SR fast modellen Parametreestimater fra SR fri modellen Autoregressive modelparametre for DNS, AFNS og SR modellerne In-sample fit Out-of-sample fit Evaluering af modellerne mod hinanden Out-of-sample fit i lavrentemiljø v

7 9.4 Out-of-sample fit i et normalt rentemiljø Udvalgt notations- og forkortelsesliste Data er månedsdata og angives for december måned 1994 som 1994:12 t, tiden T, udløbstid τ, løbetid F, låneproveneu P t, prisen på en nulkuponobligation til tiden t P t, prisen på en nulkuponobligation til tiden t med en nedre grænse y t, rentekurven til tiden t y t, rentekurven til tiden t med en nedre grænse f t, forwardrenten til tiden t f t, forwardrenten til tiden t med en nedre grænse NS, Nelson-Siegel DNS, Dynamisk Nelson-Siegel AFNS, Arbitrage-fri Nelson-Siegel SR fast, skyggerentemodel med en fast nedre grænse SR fri, skyggerentemodel med en fri estimeret nedre grænse DM, Diebold-Mariano test X t, (latente) faktorer til tiden t λ, henfaldsraten r t, den korte rente til tiden t s t, den korte skyggerente til tiden t A, autoregressiv parametrematrix B, matrix med faktor loadings C, vektor med rentejusteringsfaktorer til løbetiden τ P, betegner det fysiske sandsynlighedsmål Q, betegner det risiko-neutrale sandsynlighedsmål W, Wienerproces K, mean reversionsmatrix θ, langsigtsniveau i affine modeller µ, langsigtsniveau i DNS modellen Γ, risikopræmie r min, nedre grænse for renten z t, optionseffekt fra arbejdet af Krippner vi

8 1 Indledning I efteråret 2009 skete der et skift i niveauet på de danske statsrenter. Renterne faldt støt, over en periode på få måneder, til et nyt niveau på omkring nul procent. De lave renteniveauer, som før finanskrisen kun var observeret i Japan, er nu blevet en realitet i flere europæiske lande. Et skifte der har betydet, at de danske renter ligger på et niveau der før 2009 har virket absurd, men som nu er business as usual. Lavrentemiljøet for de danske statsrenter har gjort det problematisk, at benytte de hidtil anvendte gaussiske rentemodeller. I centralbankernes arbejde har det stor betydning, at kunne forudsige renteniveauet frem i tiden, da dette bruges som et centralt element i deres Cost-at-Risk model, der beskriver risikoen på landets portefølje af statsobligationer. I dette speciale undersøges metoder til at forudsige danske statsrenter i et lavrentemiljø, ligesom det empirisk analyseres om, hvor gode disse renteforudsigelser er. Vi tester om en skyggerentemodel, der tager højde for laverentemiljøet, leverer bedre forudsigelser end tidligere anvendte modeller. Vi finder først at klassen af Nelson-Siegel rentemodeller er anvendelig for renteforudsigelser og modellere derefter den danske rentestruktur i perioden fra 1994 til Klassen af dynamiske Nelson-Siegel modeller er valgt, fordi akademisk litteratur og praktisk orienterede publikationer viser, at disse rentemodeller leverer gode forudsigelser, og samtidig er intuitive at forstå. I perioden efter finanskrisen blev det nødvendigt for modellerne, at kunne håndtere et mindre volatilt renteniveau, og i 2011 blev modellerne udfordret ved at skulle håndtere negative renter. Med disse udfordringer finder vi at en dynamisk skyggerentemodel gør det muligt, at håndtere lave/negative renteniveauer og en mindre volailitet i renterne, som tilsammen giver et retvisende billede af den fremtidige rente. Modellerne kan generelt ikke forudsige de fremtidige renter mere nøjagtigt end det mest simple benchmarking. På trods af dette resultat besidder modellerne, især skyggerentemodellen, nogle egenskaber som er attraktive til brug for et teoretisk funderet bud på den fremtidige rente. En sammenligning af modellerne imellem viser at skyggerentemodellen leverer bedre forudsigelser end de modeller, som tidligere har været brugt til renteforudsigelser i bl.a. Nationalbanken. Side 1 af 83

9 1.1 Problemformulering I specialet ønsker vi, at estimere og forudsige danske statsrenter ved brug af klassen af Nelson-Siegel modeller. Vi vil undersøge, om det er muligt at forudsige danske statsrenter. Motivationen bag er, at Nationalbanken bruger disse forudsigelser i deres vurdering af renterisikoen på statens gæld. Det overordnede spørgsmål lyder: Kan danske statsrenter i perioden 2006 til 2016 forudsiges ved brugen af dynamiske Nelson-Siegel modeller? Det overordnede spørgsmål bliver suppleret af fire undersøgelsesspørgsmål Undersøgelsesspørgsmål 1. Hvad kræves der af en rentemodel for, at den kan bruges til at forudsige med? Det første undersøgelsesspørgsmål ser på de krav, der stilles for at en rentemodel kan bruges til at forudsige renter med. Her gennemgås de udfordringer, der tidligere er set i litteraturen, og vi finder frem til en modelklasse, som har vist gode forudsigelsesevner. 2. Hvad karakteriserer klassen af Nelson-Siegel modeller og hvordan kan de bruges til modellering af rentestrukturen? I det andet undersøgelsesspørgsmål ses der nærmere på klassen af Nelson-Siegel modeller og hvad der gør disse modeller særligt anvendelige til at beskrive rentestrukturen. Her ses der nærmere på den udvikling, som Nelson-Siegel modellen har gennemgået, fra den dynamiske omskrivning af den originale model til, at kunne håndtere et lavrentemiljø. 3. Hvordan performer modellerne når danske statsrenter skal forudsiges? I det tredje undersøgelsesspørgsmål analyseres de empiriske resultater, som klassen af Nelson-Siegel modellerne opnår på data af danske statsrenter. Det vil desuden blive evalueret på modellernes evne til at forudsige renterne på hhv. kort og lang sigt. 4. Hvilke problemer skaber et lavrentemiljø for rentemodellerne? Ud fra de estimationsresultater, som fremkommer under estimeringen, vil vi i det sidste undersøgelsesspørgsmål se nærmere på de udfordringer, som det lave renteniveau skaber for forudsigelsesevnen. Side 2 af 83

10 1.2 Afgrænsning Vi afgrænser til kun at undersøge et lille delelement, som bl.a. indgår i Cost-at-Risk modellen. Vi vil derfor ikke bruge resultaterne til, at vurdere risikoen på landets portefølje. De danske statsobligationer udstedes ikke som nulkuponobligationer, der kan dække hele rentestrukturen. Derfor er det er nødvendigt, at anvende en estimeringsmetode der kan omskrive data i markedet til nulkuponrenter, hvor løbetiderne ligger nøjagtig på de ønskede tidspunkter. I dette speciale behandles udledningen af nulkuponrenterne ikke nærmere end beskrivelse af anvendt metode. For at holde fokus på rentestrukturmodellerne er data hentet via Bloomberg, som bootstrappede nulkuponrenter. Inden for litteraturen om multifaktormodeller er det blevet populært at sammenligne modellerne med den kanoniske tre-faktor model af Dai & Singleton (2000), især da denne model har den mest generelle opstilling. I dette speciale afgrænser vi os fra dette og benytter i stedet, som udgangspunkt, litteraturen af Diebold, Christensen og Rudebusch, som referencer til udviklingen af Nelson-Siegel modellen til klassen af dynamiske Nelson-Siegel modeller. Vi afgrænser os til kun, at analysere på uafhængige Nelson-Siegel modeller, da disse modeller har vist sig at have en bedre forudsigelsesevne end afhængige modeller jf. De Pooter (2007). 1.3 Software Til brug for beregninger og grafer er der anvendt open-source programmet R. Til estimeringen af den arbitrage-frie model og skyggerentemodellen er der hentet inspiration til kodeskrivningen ud fra koder skrevet af Jens H. E. Christensen (anvendt til artiklen "The affine arbitrage-free class of Nelson-Siegel term structure models" (2011)) og Leo Krippner (anvendt til bogen Zero Lower Bound Term Structure Modeling (2015)) Metode og struktur Som følge af, at problemformuleringen indeholder både et teoretisk og et praktisk orienteret spørgsmål, består specialet overordnet set af to dele. Den første del (af- 1 Koderne er frit tilgængelige og findes på hhv. og research/measures-of-the-stance-of-united-states-monetary-policy/matlab-code-for-krippner shadow-zlb-term-structure-model for koderne skrevet af Christensen og Krippner. Side 3 af 83

11 snit 2, 3, 4 og 5) af specialet lægger et teoretisk fundament, hvor vi har brugt en kombination af litteraturstudium, redegørelse og en analyse, der er foretaget med henblik på at opnå indsigt i Nelson-Siegel rentestrukturmodeller. Første del omfatter således et litteraturstudium af teorien om renter og rentekurver (afsnit 2), en fortløbende redegørelse for og analyse af hvilken rentemodel der vil være bedst til renteforudsigelse (afsnit 3 og 4 ). Herefter følger en teoretisk gennemgang af de valgte modeller (afsnit 5), hvor indgangsvinklen er litteraturen fra Diebold. Teorier og empiriske eksempler inddrages løbende, ligesom der løbende foretages en diskussion af de anvendte Nelson-Siegel modeller. På baggrund af indsigten fra første del, omfatter specialets anden del en estimering og vurdering af de valgte modeller, hvor vi har brugt en kvantitativ metode til at analysere vores datagrundlag bestående af danske statsrenter. I den sidste del har vi sammenlignet og vurderet resultaterne (afsnit 6, 7, 8, 9 og 10). Denne del relaterer sig til specialets praktisk orienterede formål. Vi vil afslutte opgaven med en diskussion til modelforbedring og en konklusion. Vi har benyttet os af en metode, der både er deduktiv og induktiv. Det hypotetisk-deduktive kommer til udtryk, når specialet søger at be- eller afkræfte den hypotese, der ligger til grund for problemformuleringen; Kan danske statsrenter forudsiges (Rienecker & Jørgensen, 2005). Det induktive kommer derimod til udtryk, når indsigten om forudsigelser af danske statsrenter (muligvis) kan bidrage med noget nyt. Side 4 af 83

12 Figur 1.1 præsenterer strukturen på vores speciale: Figur 1.1: Specialets struktur Teoretisk ramme Introduktion Rentemiljø og rentemodeller DNS AFNS SR Estimering og empiriske resultater Data Estimering In-sample og out-of-sample fit Udfordringer ved rentemiljøet Afsluttende kommentarer Modeludvidelser Konklusion Note: DNS = dynamisk Nelson-Siegel, AFNS = arbitrage-fri Nelson-Siegel og SR = skyggerente. Vi introducerer først læseren til den generelle renteteori og gennemgår kort de overordnede typer af rentemodeller for at ende ud med valget af Nelson-Siegel klassen. Derefter kommer den empiriske del, hvor vi estimerer modellerne og evaluerer modellernes fit. Her vil også være en gennemgang af de udfordringer, der er ved at estimere i et lavrentemiljø. Til sidst gennemgår vi hvilke udvidelser der kan foretages til de estimerede modeller for at forbedre fit. Side 5 af 83

13 2 Obligationsmarkedet og obligationsteori Vores fokus i specialet er, at estimere en model, der kan beskrive de fremtidige renter, hvilket gøres ud fra obligationsrenter. Dette afsnit vil derfor kort beskrive det danske obligationsmarked og derefter give en introduktion til obligationsteori. 2.1 Obligationsmarkedet Obligationsmarkedet udfører en vigtig opgave i samfundet, idet markedet gør det muligt at udjævne et forbrug på tværs af tid. Det giver således mulighed for at låne penge i perioder, hvor det er nødvendigt, for så at tilbagebetale i perioder hvor det er muligt. De danske obligationer handles på NASDAQ OMX - København, som er karakteriseret ved en stor omsætning og er blandt de mest gennemsigtige i Europa. NASDAQ OMX - København, er blandt de seks-syv største obligationsmarkeder i Europa (Flor & Munk, 1997). Den absolut største obligationsudsteder på det danske marked er den danske stat. Staten udsteder bl.a. obligationer for, at finansiere et eventuelt underskud på statsbudgettet. Det er også staten, som udsteder skatkammerbeviser, der betegnes som nulkuponobligationer I specialet vil vi have fokus på nulkuponobligationer, da denne type obligationer har nogle gode egenskaber mht. rentestrukturen. Rentestrukturen beskriver sammenhængen mellem løbetid og den effektive rente, og ved brug af nulkuponrentestrukturen kan der til en hver tid findes en unik tilbagediskonteringsrente. Dette betyder at der for ethvert cashflow kan beregnes en nutidsværdi (Flor & Munk, 1997). I princippet er det nulkuponobligationerne, udstedt af staten, som skal bruges til at estimere rentestrukturen. Dette kan dog ikke lade sig gøre, da skatkammerbeviserne kun har løbetider op til ét år, og derfor kan hele rentestrukturen ikke observeres i markedet. Det er derfor nødvendigt, at bruge en anden metode til at finde rentestrukturen (Flor & Munk, 1997). 2.2 Nulkuponobligationer og diskonteringsfaktorer Nulkuponobligationer er som navnet antyder en obligation, hvor der ikke udbetales renter i obligationens løbetid. Udbyttet som långiver modtager for at holde en nulkuponobligation fra tidspunkt t til udløbsdato T, er renten på obligationen. Nulkuponobligationer der udløber til kurs 100, udstedes derfor til en kurs under 100, således at afkastet modtages i form af en kursgevinst. For en nulkuponobligation med en nominel værdi på 100, og T som udløbstidspunktet, vil markedskursen m Side 6 af 83

14 kunne beskrives som følgende m = 100 (1 + y) T, (2.1) hvilket er ensbetydende med y = ( ) 100 1/T 1, (2.2) m hvor y er den effektive rente på obligationen (Flor & Munk, 1997). Prisen på en given nulkuponobligation der med sikkerhed giver 1 kr. til udløbstidspunktet T, kan betegnes som P (t, T ), hvilket kaldes diskonteringsfaktoren til tidspunkt T. P (t, T ) er altså markedsværdien af at modtage 1 kr. på tidspunkt T. Diskonteringsfaktoren, som en funktion af tiden, kaldes for diskonteringsfunktionen. Diskonteringsfunktionen kan formes ud fra nulkuponobligationer med forskellige udløb. Funktionen viser, hvad investoren er villig til at betale nu for at modtage 1 kr. i fremtiden. Bemærk at P (0) = 1, idet værdien af at få 1 kr. med det samme er 1 kr. Diskonteringsfunktionen er en aftagende funktion, fordi investorer må formodes at foretrække at modtage 1 kr. på et tidspunkt t fremfor et andet, senere tidspunkt t + δ. 1 P (t, T ) P (t + δ, T ) 0, t < t + δ Når diskonteringsfunktionen kendes, er det muligt at finde værdien af en obligation, som betaler kuponer. Det gøres ved at betragte en kuponobligation, som en portefølje af nulkuponobligationer der alle betaler 1 kr. til et givet tidspunkt med sikkerhed. Værdien af obligationen er givet ved t n V = Y t P (t, T ) (2.3) t=t 1 hvor Y t er ydelsen. Beskrevet med ord er prisen på en obligation summen af de diskonterede værdier af alle fremtidige ydelser. Er dette ikke opfyldt, er der en arbitragemulighed. 2.3 Nulkuponrenter og forwardrenter I dette afsnit vil vi beskrive sammenhængen mellem rentestrukturen, diskonteringsfunktionen og forwardrentestrukturen. Sammenhængen betyder, at rentestrukturen kan findes ud fra både diskonteringsfunktionen og forwardrentestrukturen. Nulkuponrenten er lig den relevante diskonteringsrente mellem t og tidspunkt T, Side 7 af 83

15 hvor nulkuponobligationen udløber. Vi lader y(t, T ) betegne nulkuponrenten, der gælder følgende sammenhæng mellem diskonteringsfunktionen og nulkuponrenten jf. formel (2.1). P (t, T ) = (1 + y(t, T )) T (2.4) Det er hermed muligt at løse for den effektive rente/ nulkuponrenten y(t, T ) = P (t, T ) 1/T 1 (2.5) jf. formel (2.2). Nulkuponrenten, som funktion af tiden, kaldes for nulkuponrentestrukturen eller bare rentestrukturen. Diskonteringsfunktionen og rentestrukturen indeholder dermed præcis den samme information repræsenteret på to forskellige måder (Flor & Munk, 1997). Forwardrenten beskriver renten på en i dag indgået aftale om et lån mellem to fremtidige tidspunkter, hvor nutidsværdien af aftalen er nul. Når forwardrentestrukturen er vigtig skyldes det ikke mindst, at en lang række finansielle renteprodukter (fx swaps og renteoptioner) prisfastesættes ud fra de fremtidige rentesatser. Diskonteringsfunktionen der er gældende fra t + δ til T er giver ved F (t + δ, T ) = P T /P t+δ (2.6) hvor T > t + δ. Ligesom formel (2.1) gælder der også en sammenhæng mellem diskonteringsfunktionen og forwardrenten F (t + δ, T ) = (1 + f(t + δ, T )) (T (t+δ)) (2.7) Udnyttes relationen (2.6), har vi følgende sammenhæng f(t + δ, T ) = ( Pt+δ P T ) 1/(T (t+δ)) 1 (2.8) Ved at tage udgangspunkt i forwardrenten med T = 1, kan sammenhængen beskrives som følgende f(t + δ, T ) = P t+δ P T =1 1 (2.9) Funktionen kaldes for en én-periode forwardrentestruktur (Flor & Munk, 1997). Hvis nulkuponrentestrukturen er stigende vil forwardrentekurven være højere, og omvendt, hvis nulkuponrentestrukturen er faldende ligger forwardkurven under. Med en helt flad rentestruktur vil rentekurven for nulkuponrenten og forwardren- Side 8 af 83

16 ten ligge på sammen linje. Den sidste sammenhæng vi vil fremhæve er sammenhængen mellem forward-diskonteringsfunktionen og nulkuponrenterne, som kan udledes ved at tage udgangspunkt i (2.9) og (2.1). f(t + δ, T ) = (1 + y(t + δ) (t+δ)/(t (t+δ) (1 + y(t )) T/(T (t+δ) 1 (2.10) Vi har nu fundet at diskonteringsfunktionen, nulkuponrentestrukturen og en forwardrentestruktur er tre forskellige måder at vise den samme information. Dette betyder at vi med kendskab til diskonteringsfunktionen kan finde nulkuponrentestrukturen vha. formel (2.2) og vi kan udlede én-periode forwardrentestrukturen vha. formel (2.9) (Flor & Munk, 1997). Data vi har til rådighed i specialet er nulkuponrentestrukturen og vi kan herved finde diskonteringsfunktionen vha. formel (2.1) og forwardrentestrukturen vha. formel (2.10). Ofte opgøres renter pro anno med kontinuert rentetilskrivning, fordi det giver pæne matematiske udtryk og dermed en pænere fremstilling. Her definere vi (t, T ) = τ, og diskonteringsfunktion bliver derved P (τ) = exp ( y(τ)τ) (2.11) og nulkuponrentestrukturen kan udtrykkes som følgende Forwardkurven er beskrevet som y(τ) = 1 ln(p (τ)) (2.12) t f(τ) = P (τ) P (τ) (2.13) Og til sidst kan sammenhængen mellem nulkuponrenterne og forwardrenterne ved kontinuert rentetilskrivning beskrives ved y(τ) = 1 τ ˆ τ 0 f(s)ds (2.14) Disse forskellige sammenhænge bruges, når rentestrukturen estimeres vha. Nelson- Siegel modellerne i afsnit 6. Næste afsnit vil indeholde en gennemgang af rentestrukturens form og udseende. 2.4 Rentestrukturens udseende På baggrund af sammenhængen mellem løbetid og renteniveau er det muligt at bestemme rentestrukturen. Rentestrukturen kan overordnet set have fire former, Side 9 af 83

17 som stigende, faldende, S-formet eller flad. De fire forskellige former er listet på baggrund af observeret data. Normalt ses det at den gennemsnitlige rentestruktur er stigende og konkav. På et mere kvalitativt niveau kan rentestrukturens udseende beskrives, som et resultat af en eller flere af følgende mekanismer: Rentestrukturens udseende bliver bestemt af forventningerne til den fremtidige rente, hvilket er betegnet som forventningshypotesen. Den grundlæggende antagelse er, at forwardrenterne er bestemt af markedets forventning til den fremtidige korte rente plus en risikopræmie (rettere: løbetidspræmie). Forventes der stigende renter vil rentestrukturen derved være stigende og omvendt. Derudover viser forventningshypotesen, at spændet mellem lange og korte renter kan bruges til at forudsige den korte rente, hvor en stigning i spændet mellem korte og lange renter signalerer en stigning i den fremtidige korte rente. For at det er muligt at teste denne teori, skal der lægges restriktioner på løbetidspræmien. Den mest almindelige restriktion i litteraturen er en konstant løbetidspræmien, men forventningshypotesen er også formuleret med en løbetidspræmie på nul (Christensen, 2005). Når det testes om forventningshypotesen holder, er resultatet en klar statistisk afvisning (Christensen, 2005). En voksende rentestruktur jf. forventningshypotesen afspejler en forventning om stigende korte renter i fremtiden. Dette betyder at de korte renter bliver ved med at stige, da nulkuponrentestrukturen normalt er voksende. Dette observeres naturligvis ikke i praksis. En forklaring kunne være, at markedet systematisk overvurderer de fremtidige renter. En anden måske mere realistisk forklaring på den højere rente på lange løbetider kan være at investorerne kræver en risikopræmie for at påtage sig en risiko. Dette vil medføre en forskel på den aktuelle forwardrente og den forventede fremtidig nulkuponrente (Flor & Munk, 1997). Likviditetspræferencehypotesen kommer også med en forklaring på rentekurvens udseende. Hypotesen tager udgangspunkt i, at priserne på lange obligationer alt andet lige er mere påvirkede af renteændringer, end priserne på korte obligationer pga. usikkerhed. Dette betyder, at investorerne alt andet lige vil foretrække korte fremfor lange obligationer, og derfor vil kræve en risikopræmie for at investere i lange obligationer (Flor & Munk, 1997). Rentestrukturen bliver herved voksende. Figur 2.1 viser rentekurven for udvalgte datoer med de gængse former. For ses den typiske stigende rentekurve med en stigende risikopræmie ved længere løbetid. For ses en faldende rentekurve, som viser at risikopræmien nu Side 10 af 83

18 er størst på de kortere løbetider. For er rentekurven stort set flad og der er således ikke en risikopræmie. For er rentekurven S-formet, hvor risikopræmien er større for en obligation med 3 måneders løbetid end en 1 års obligation. Figur 2.1: Rentekurver for udvalgte måneder ,10 0,060 0,09 Rente 0,08 0,07 Rente 0,055 0,06 0,05 0, ,050 0, Løbetid (år) Løbetid (år) 0, ,050 0,02 Rente 0,045 Rente 0,040 0,01 0,035 0, Løbetid (år) 0, Løbetid (år) Note: Graferne viser de faktiske rentekurver for fire udvalgte dage ud af den samlede stikprøve på 254 observationer. Data er hentet fra Bloomberg. 3 Det danske rentemiljø i perioden 1994 til 2016 En rentemodel skal afspejle det miljø, som renten befinder sig i, for at kunne levere gode forudsigelser. Sagt på en anden måde skal rentemodellen være godt specificeret og tilpasset det observerede data, før den kan producere effektive forudsigelser. I de senere år, efter finanskrisens indtræden, er der sket et skifte i det generelle renteniveau for flere lande globalt set. Skiftet har betydet at renten har nærmet sig nul og i flere lande, heriblandt Danmark, er renten blevet negativ. Figur 3.1 viser udviklingen i de danske statsrenter i perioden 1994:12 til 2016:01 med data Side 11 af 83

19 fra Bloomberg. Her ses at renten generelt er faldet i hele perioden. I den sidste del af perioden har renten ligget omkring nul, og har også været negativ for de korte løbetider. Vi kan ligeledes observere på figuren, at renten på forskellige løbetider har lagt på samme niveau. Dette betyder, at der ikke har været en risikopræmie at opnå imellem løbetiderne, som der normalt observeres. Rente 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 Figur 3.1: Danske statsrenter for perioden 1994 til mdr. 1 år 2 år 3 år 4 år 5 år 6 år 7 år 8 år 9 år 10 år 0, Note: Figuren viser danske statsrenter som nulkuponrenter for perioden 1994:12 til 2016:01. Data er den sidste observation i hver måned. De udvalge løbetider er 3 mdr. og 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 10 år. Data er hentet fra Bloomberg. Derudover ser vi at renten på forskellige løbetider har en tendens til at de følger hinanden, hvilket er en fordel når rentestrukturen skal modelleres, da den kan beskrives ved få faktorer. Vi vil betegne perioden fra 2012 og frem som en lavrenteperiode. Her ses det at rentestrukturen indtil 2014 er konkav og asymmetrisk på de korte renter 2. Efter observationen af negative renter i 2014, er der ikke den samme tendens i rentestrukturen og der kan stilles spørgsmål ved hvorvidt der faktisk er en nedre grænse for de danske renter 3. De negative renter observeres samtidig med, at Danmark oplever et pres på kronen og det kan derfor være midlertidigt, at vi observerer negative renter i Danmark (Jørgensen & Risbjerg, 2012). Figur 3.2 viser det problem, som opstår i et lavrentemiljø. Figuren viser volatili- 2 Dette billede af rentestrukturen ses også på amerikansk og japansk data (Christensen & Rudebusch, 2015b). 3 Engelsk data viser ligeledes et blandet billede, hvor der kan sættes spørgsmålstegn om hvorvidt der er en nedre grænse, mens tysk, schweizisk og dansk data tester den nedre grænse af (Christensen & Rudebusch, 2015b). Side 12 af 83

20 teten på udvalgte danske statsrenter for tre forskellige tidsperioder, beregnet på månedsdata. Tidsperioderne fremhæver skiftet fra normalt rentemiljø til lavrentemiljøet, hvor det ses at volatiliteten i renterne er faldet kraftigt mellem perioderne. De korte løbetider har en lavere volatilitet end de lange når der udelukkende ses på lavrenteperioden. Volatiliteten på de korte renter i lavrentemiljøet er højere, end hvis der kun var medtaget data uden negative renter, da indførslen af negative renter får volatiliteten til at stige igen. Figur 3.2: Volatilitet i nulkuponrenter Procentpoint 2,5 2,0 1,5 1,0 Hele stikprøven Normalt rentemiljø Lavrentemiljø 0,5 0,0 0, Løbetid (år) Note: Volatiliteten er beregnet på månedsdata for udvalgte løbetider inddelt i perioder. Perioden fra 1994:12 til 2011:12 dækker et normalt rentemiljø, mens perioden fra 2012:01 til 2016:01 dækker et lavrentemiljø. Data er hentet fra Bloomberg. I de gaussiske rentemodeller, der pt. benyttes af Nationalbanken til at beskrive den danske rentestruktur, forudsættes det at renten til en given løbetid har den samme volatilitet. Derfor vil disse modeller ikke kunne håndtere dette skift i volatiliteten, som figur 3.2 viser. Effekten af den lave volatilitet i lavrentemiljøet er, at renterne med korte løbetider har en tendens til, at blive i et niveau omkring nul i en længere periode - renterne klæber til et niveau omkring nul (Krippner, 2015). Dette vil selvfølgelige også have betydning for evnen til at forudsige renten, hvis de gaussiske rentemodeller benyttes i et lavrentemiljø. De gaussiske modeller vil have en tendens til at forudsige rentestrukturen efter den historiske form og derved glemmes det, at renten klæber til lavrentemiljøet (Krippner, 2015). Forventningerne til den fremtidige rente kan med de gaussiske modeller blive meget positiv og meget negativ. Den relativ store sandsynlighed for negative renter viser, at modellerne ikke er specificeret korrekt, da observeret data viser, at renten ikke er symmetrisk fordelt i et lavrentemiljø (Krippner, 2015). Side 13 af 83

21 4 Rentemodeller Rentestrukturlitteraturen har de senest år i høj grad været drevet af empiriske spørgsmål. Det skal ikke ses som et udtryk for en nedprioritering af den teoretiske del af litteraturen, men i højere grad at der er et solidt teoretisk fundament at bygge videre på. Derfor er det helt naturligt, at en videreudvikling af de eksisterende modeller tager udgangspunkt i, hvordan modellerne klarer sig når de bliver konfronteret med data (Christensen, 2005). I dette afsnit vil vi diskutere valget af rentemodeller til brug for renteforudsigelser. Udgangspunktet for modelvalget er for det første, at vælge en rentestrukturmodel der er i stand til at levere gode forudsigelsesresultater. For det andet skal modellen kunne håndtere det rentemiljø, som er beskrevet i afsnit 3. Til sidst skal modellen være nem at implementere, så vi har mulighed for at benytte den på forskelligt data. Rentemodellerne skal bruges til relativt lange forudsigelser, dvs. hvordan renter udvikler sig én måned og ét år frem i tiden. Dette betyder at evnen til at genskabe observerede rentestrukturer eksakt ikke er ligeså vigtig, som evnen til at beskrive udviklingen i det generelle renteniveau og variationen mellem renten til de forskellige løbetider. Der er flere elementer, som er essentielle for, at modellen kan levere gode forudsigelser. Her er opstillet fem generelle punkter, som en rentemodel skal kunne håndtere i et normalt rentemiljø (Diebold & Li, 2006). 1. Den gennemsnitlige rentestruktur er stigende og konkav. Den konkave form betyder at renten konvergerer mod et bestemt niveau, hvilket kaldes mean reversion i litteraturen. 2. Rentestrukturen kan have forskellige former til forskellige tider, eksempelvis stigende, faldende, S-formet eller flad. 3. Lange renter er mere vedholdende end korte renter. 4. Volatiliteten af renteændringer er generelt aftagende med løbetiden, hvilket vil sige at den korte ende af rentestrukturen er mere volatil end den lange ende. Denne struktur kaldes en invers volatilitetsstruktur. 5. Parametrene skal være relative nemme at estimere og fortolke. Opfylder modellen for rentestrukturen de ovenstående punkter, øges evnen til at kunne forudsige renten, da det er et kendt faktum, at rentestrukturen i dag indeholder information om den fremtidige rentestruktur (Duffee, 2002). Derudover kan vi ud fra afsnit 3 om rentemiljøet se, at der stilles yderlige krav til modellerne i de senere år, hvor vi har haft et lavrentemiljø. Side 14 af 83

22 4.1 Affine modeller Klassen af affine modeller omfatter både Vasicek (1977) og Cox et al. (1985) (CIR) modellerne, da de tillader en fleksibel modellering af rentestrukturen. Modellerne er ligeledes ligevægtsmodeller, som fortæller at der eksisterer en ligevægt i obligationsmarkedet. Ligevægten er enten i form af fravær af arbitragemuligheder, jf. Vasicek (1977), eller som følge af nyttemaksimering for agenterne i markedet jf. Cox et al. (1985). En affin rentestruktur model betyder, at rentestrukturen til alle tider kun afhænger af en lineær funktion, der består af få faktorer. Når dynamikken af faktorerne og risikopræmien er specificeret betyder det, at rentestrukturdynamikken er bestemt. I en affin rentemodel vil udviklingen i den korte rente beskrives, som en affin funktion af faktorer, X t, i det risiko-neutrale (Q) mål. Den korte rente til tidspunkt t er givet ved r t = ρ 0 + ρ 1X t, hvor faktorerne løser den stokastiske differentialligning dx t = K(θ X t )dt + ΣS t dw t, med det stokastiske element genereret ved en Wienerproces. Den stokastiske differentialligning fortæller, hvordan faktorerne, som driver rentestrukturen, udvikler sig over en kort periode, dt. I Duffie & Kan (1996) deles de affine modeller op i to klasser, den første er de komplette affine modeller og den anden er de essentielle affine modeller. I de komplette affine modeller vil dynamikken for faktorerne være den samme i det risiko-neutrale mål og det sande (P ) mål. En affin dynamik for faktorerne under P målet giver mulighed for, at finde en løsning ved hjælp af differentialligningen. I de essentielle affine modeller er dynamikken for faktorerne kun affin under P målet. CIR og Vasicek, er komplette affine modeller, som indeholder en mean reverting effekt og håndterer dermed dynamikken i rentestrukturen, som den observeres i markedet. Derudover er de affine rentemodeller arbitrage-fri, hvilket er attraktivt i modellering af rentestrukturer. Duffee (2002) finder, at de affine rentemodeller ikke er effektive til forudsigelser, hvor der ligger flere forklaringer til grund herfor. For det første er forudsigelsesfejlene meget negativ korreleret med hældningen på rentekurven, dvs. at modellen ikke kan replikere relationen mellem forventet afkast og hældning på rentekurven. Underestimationen af det forventede afkast på obligationer med lange løbetider bliver større når hældningen på rentekurven er stejl. For det andet er det ikke muligt for modellerne at producere forventede afkast, som er lave, men stadig er volatile. For Side 15 af 83

23 det tredje er det svært at identificere faktorerne relateret til hældning og krumning i den estimerede rentestruktur. Dette er et generelt problem for de 3-faktor affine rentemodeller, hvis der ikke skal pålægges restriktioner på modellens dynamik (Nationalbank, 2010). 4.2 Approksimationsfunktioner Approksimationsfunktioner er matematiske modeller, der ikke er teoretisk funderet, som de affine rentemodeller, men de er simple at fortolke og tilpasser rentestrukturen godt. Simpliciteten ved approksimationsfunktionerne bevirker, at de har vist gode empiriske resultater ved renteforudsigelse. Nelson-Siegel (NS) modellen fra 1987 er et eksempel på en approksimationsfunktion, som har fået en bred udbredelse til brug for forudsigelser pga. modellens enkelhed. Nelson & Siegel (1987) foreslår, at benytte forwardrenter og fit renterne med følgende funktion f(τ) = β 1 + β 2 exp ( λτ) + β 3 λτ exp ( λ) (4.1) hvor f(τ) er forwardrenten til løbetiden τ. Den tilsvarende rentestrukturmodel kan udledes jf. (2.10) ( ) ( ) 1 exp ( λτ) 1 exp ( λτ) y(τ) = β 1 + β 2 + β 3 exp ( λτ) λτ λτ (4.2) hvor y (τ) er renten til løbetiden τ. NS modellen beskriver cross-sectional rentedata, hvilket vil sige rentestrukturen til et givet tidspunkt. NS modellen er således ikke oprindeligt tænkt som en tidsseriemodel. Parametrene i NS modellen kan fortolkes som følgende, λ regulerer den eksponentielle henfaldssats. Dette indikerer, hvor hurtigt kurven henfalder til det langsigtede niveau for renten. Jo større værdier af λ, desto hurtigere konvergerer kurven mod det langsigtede niveau. Derudover vil små værdier af λ give et bedre fit til kurven ved lange løbetider, og omvendt kan store værdier af λ give et bedre fit ved korte løbetider. β 1, β 2 og β 3 er faktorer som beskriver ændringen i nulkuponrenten ved en ændring i en af faktorerne. En yderlig analyse af faktorerne viser følgende egenskaber lim y(τ) = β 1 + β 2 = r t 0 den korte rente, r, afhænger af de to første faktorer i modellen. Og lim t y(τ) = β 1 som viser at den lange rente afhænger af konstanten β 1, hvilket vil sige at niveauet Side 16 af 83

24 på rentekurven stiger og falder med denne konstant på tværs af alle løbetiderne. Denne egenskab er i tråd med økonomisk teori og historiske data. NS modellen har flere attraktive fordele, som gør at modellen er meget populær til brug for rentestrukturmodellering i praksis, især blandt centralbanker (Diebold & Rudebusch, 2013). Fordelene ved NS modellen er for det første, at dens diskonteringskurve har følgende egenskaber P (0) = 1 og lim τ P (τ) = 0, et eksempel på dette er vist i figur 4.1, hvor diskonteringsfaktoren, som en funktion af løbetiden, er vist. Det ses tydeligt, at ved de korte løbetider nærmer diskonteringsfaktoren sig 1 og når løbetiden går mod uendelig går diskonteringsfaktoren mod 0. Figur 4.1: Diskonteringsfaktor Diskonteringsfaktor 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0, Løbetid (år) Note: Der er brugt en kontinuert rentetilskrivning, for at omskrive observerede data til diskonteringsfaktorer. For det andet er NS formen enkel, hvilket betyder at de beskrivende faktorer niveau, hældning og krumning kan identificeres pga. parameterrestriktion i modelopbygningen. Desuden er enkeltheden med til at undgå overfitting i in-sample fit, som igen hjælper på modellens mulighed for at forudsige renter (Diebold & Rudebusch, 2013). For det tredje har NS formen en stor fleksibilitet, som muliggør en efterligning af de observerede rentekurver. Alt efter hvilke værdier som parametrene (β 1, β 2, β 3, λ) har, kan modellen antage former som stigende, faldende, S-formet eller flad. Med tre faktorer i modellen kan der dog kun være ét optimum, men dette er typisk ikke noget problem, da rentestrukturer ikke har tendens til at være bølget i sin form. For det fjerde er den matematiske form, som NS er bygget på, ikke tilfældigt valgt. Når NS skrives op som forwardrente, så svarer dette til en konstant plus en Laguerrefunktion. Laguerrefunktionen er polynomier ganget med eksponentielle henfaldssatser i domænet [0, ), hvilket passer med domænet for den typiske rentekurve frem til nyere tid (Diebold & Rudebusch, 2013). Den femte fordel er, at den gennemsnitlig værdi af β 1, β 2 og β 3 kan være stigende Side 17 af 83

25 og konkav. Desuden kan det vises at β 1 er den mest vedholdende, hvilket svarer til at lange renter er mere vedholdende end korte renter. Rentemodellen opfylder altså alle de kriterier, som blev opsat i starten af afsnittet. Ud fra en kort gennemgang af de affine modeller og de approksimative modeller vælger vi, at benytte de approksimative modeller, med udgangspunkt i NS, da denne model er let at estimere og giver en intuitiv forståelse af faktorerne. I ovenstående gennemgang har vi ikke fokuseret på antallet af faktorer til at forklare rentestrukturen med, I det efterfølgende vil vi se nærmere på det antal faktorer, som er nødvendig for at forklare den danske rentestruktur. 4.3 Valg af antal faktorer Vi antager, at der findes et antal faktorer, som kan beskrive rentestrukturen. Faktorerne er stokastiske variable, som udvikler sig over tid i henhold til en stokastisk process. Processen er givet eksogent i forhold til rentestrukturmodellen. Vi ønsker at finde få faktorer, som kan beskrive udviklingen på obligationsmarkedet. Dette gøres for at undgå overfitting i modellen og fordi en enkel model typisk har lettere ved at producere gode forudsigelser. Vi vil analysere, hvor mange faktorer, der skal bruges til at beskrive den danske rentestruktur. Vi kan observere ud fra den danske rentekurve, set over tid, at renterne på de forskellige løbetider er højt korreleret. Så når 3-månedersrenten falder, vil 10-årsrenten ligeledes falde, dog med mindre flukturering. Grundet denne høje korrelation kan rentestrukturen beskrives vha. få variabler. Ved at foretage en principal komponent analyse er det muligt, at bestemme det optimale antal faktorer til beskrivelse af rentestrukturen. I figur 4.2 ses udviklingen af de første tre komponenter, som er estimeret ud fra et rullende vindue på 36 måneder. De tre komponenter er lineære og uafhængige, da de er estimeret ud fra en ortogonal transformation af rentedata. De første tre komponenter beskriver tilsammen mere end 99% af variationen i data, hvor det i figur 4.2 ses at den første komponent beskriver langt hovedparten. Figuren viser ligeledes, at komponent 1 er spejlet i komponent 2, hvilket tyder på at vi ikke vil kunne beskrive den danske rentekurve udelukkende vha. én komponent. Det ses også i figuren, at selvom den tredje komponent ikke forklarer så meget af variationen i data, så er den til tider stadig vigtig og når netop sin højeste værdi i perioden med lave renter. Side 18 af 83

26 Figur 4.2: Principal komponent analyse 100 Principal komponent 1 95 Procent Principal komponent 2 25 Procent Principal komponent 3 3 Procent Note: Principal komponenterne er estimeret ud fra en ortogonal transformation af data. Estimationen er foretaget med et rullende vindue på 36 måneder. Fortolkningen af de enkelte faktorer baseres på de såkaldte faktor-loadings, som kan beskrives som niveau, hældning og krumning. Ud fra dette vælger vi i specialet at fokusere på modeller med tre faktorer. 5 Klassen af Nelson-Siegel modeller Med udgangspunkt i den oprindelige model af Nelson & Siegel (1987) benytter vi modeller, der overordnet kan betegnes som en klasse af NS rentestrukturmodeller. Vi arbejder med tre modeludviklinger. Den første model, og grundstammen for de dynamiske forudsigelsesmodeller, er fra 2006, hvor Diebold & Li omskriver den statiske NS model til at være dynamisk. Den anden model er fra 2011, hvor Christensen et al. kombinerer de arbitrage-frie rentemodeller med NS strukturen og derved skaber en model, som indeholder det bedste fra to verdener. Den tredje model er fra 2013, hvor Christensen & Rudebusch bruger en skyggerentemodel, der er baseret på deres tidligere arbejde, som gør det muligt at håndtere et lavrentemiljø. Vi vil gennemgå modellerne enkeltvis, for at vise modellernes specifikationer og fordi de enkelte modeller bliver brugt, som afsæt til den næste modeludvikling. Der findes efterhånden en næsten overvældende litteratursamling af forskellige mo- Side 19 af 83

27 delbeskrivelser, brugt på forskelligt data, med varierende resultater. Vi holder os til at beskrive tre grundmodeller, der restrikteres til at være uafhængige og derfor medfører en vis sammenlignelighed på tværs af modelresultaterne. De valgte modeller er i høj grad drevet af de tre forfattere, Diebold, Christensen og Rudebusch. Modellerne har vist gode egenskaber ved forudsigelser på amerikansk data, hvilket har motiveret os til at anvende de samme modeller på dansk data. Dertil kommer også, at Nationalbanken benytter arbitrage-frie NS modeller til renteforudsigelser og senest i Christensen et al. (2016) afprøves en skyggerentemodel på dansk data. 5.1 Dynamisk Nelson-Siegel Vi starter med den første udvikling af modellen fra 2006, hvor modellen går fra at beskrive en statisk rentekurve, et øjebliksbillede, til at håndtere rentestrukturen set over tid. I den dynamiske model er faktorerne ikke parametre, men i stedet variabler, som ændres over tid. For at holde en adskillelse til NS modellen skriver vi nu de tidsvarierende faktorer som X 1 t, X 2 t og X 3 t. Derved omskrives den klassiske NS model til den dynamiske rentestrukturmodel som ( ) ( ) 1 exp ( λτ) 1 exp ( λτ) y t (τ) = Xt 1 + Xt 2 + Xt 3 exp ( λτ), (5.1) λτ λτ hvor y t (τ) er den rente til løbetiden τ, λ er henfaldssatsen og X t værdierne er latente faktorer, der sammen med λ og faktor-loadings kan beskrive hele rentestrukturen til et hvert tidspunkt t. Dynamikken i X t antages at følge en AR (1) proces, hvilket følger den gængse litteratur inden for området om rentemodellering (se bl.a. Diebold & Li (2006), De Pooter (2007) og Christensen et al. (2011)). AR(1) er en passende proces, fordi historiske data har vist, at renten er meget persistent. Den dynamiske Nelson-Siegel (DNS) er således ikke andet end NS modellen med tidsvarierende parametre, men det er dette, som gør at modellen kan beskrive rentestrukturen over tid og dermed også forudsige renter (Diebold & Rudebusch, 2013). Det særlige ved omskrivningen til den dynamiske form, er at de latente faktorer får en klar betydning og er lette at kende fra hinanden, modsat i en principal komponent analyse, hvor de kan være svære at skelne (Diebold & Rudebusch, 2013). Til at forklare hvad de latente faktorer har af betydning for estimering af rentekurven tager vi udgangspunkt i figur viser faktor-loadings, som en funktion af løbetiden, for DNS modellen 4. Vi viser hermed, at de tre faktorer beskriver hver deres del af rentekurven til tiden t. 4 Faktor-loadings er ens på tværs af de estimerede modeller i specialet, men λ ændrer sig, hvilket betyder at maksimum for krumning er forskellig modellerne imellem. Side 20 af 83

28 1,0 Figur 5.1: Faktor-loadings Niveau 0,8 Loading 0,6 0,4 Hældning 0,2 Krumning 0, Løbetid (år) Note: Faktor-loadings er vist som en funktion af løbetiden med λ = 0, 4278, hvor λ er estimeret ud fra DNS modellen. Som det første kan vi se at loading på Xt 1, der er konstant på 1, ikke aftager over løbetiderne, men har samme effekt på hele rentestrukturen. Dette kan fortolkes, som at Xt 1 vedrører niveau for renten. For det andet kan vi se at loading på Xt 2, (1 exp ( λτ)) /λτ, starter i 1, men aftager til nul ved lange løbetider. Xt 2 har derfor mest effekt på de korte løbetider og kan tolkes som at Xt 2 vedrører hældning for renten. Som det sidste kan vi se at loading på Xt 3, ((1 exp ( λτ)) /λτ exp ( λτ)), starter i nul og stiger for til sidst at aftage til nul igen. Xt 3 har således effekt på de mellemlange løbetider og kan derfor tolkes som at Xt 3 vedrører krumning på renten (Diebold & Rudebusch, 2013). Ud fra figur 5.1 kan vi således se at niveau er med til at skubbe rentekurven parallelt op eller ned, mens hældning og krumning påvirker hhv. de korte og mellemlange renter, da vægtningen er størst her. For at sikre at faktorerne reelt kan beskrives som niveau, hældning og krumning, sammenlignes de estimerede faktorer med de empiriske faktorer, som er fremstillet ud fra Diebold & Li (2006). De empiriske faktorer defineres som; niveau = 10 årige rente, hældning = 10 årige rente 3 mdr. rente og krumning = 2 2 årige rente 10 årige rente 3 mdr. rente. I figur 5.2 ses de empiriske faktorer (stiplede linjer), mod de estimerede latente faktorer fra DNS (solide linjer). Sammenhængen er tydelig når korrelationen mellem de estimerede og empiriske faktorer opstilles: ρ ( Xt 1, niveau ) = 0, 93, ρ ( Xt 2, hældning ) = 0, 94, ρ ( Xt 3, krumning ) = 0, 92. Side 21 af 83

29 Desuden ses det i figur 5.2, at de tre faktorer udvikler sig væsentlig over tid, hvor Xt 1 viser at renterne generelt har været faldende, mens Xt 2 viser at der i periode har været flade rentekurver, specielt i årene 2006 til Til sidst viser Xt 3 at der i høj grad skal ske en tilpasning af krumningsfaktoren løbende, for at rentestrukturen kan beskrives, hvilket ses ved at Xt 3 er volatil. Figur 5.2: Estimerede faktorer og empirisk niveau, hældning og krumning 0,10 Niveau og X 1 0,08 0,06 0,04 0,02 0, Hældning og X 2 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0, ,02 Krumning og 0,3X 3 0,01 0,00 0,01 0, Note: DNS estimerede faktorer (solide linjer) mod Diebolds empirisk faktorer (stiplede linjer). Definitionen på niveau er den 10-årige rente, hældning er forskellen mellem den 10-årige og 3 måneders rente, mens krumning er to gange den 2-årige rente minus summen af den 3 måneders og 10-årige rente. Ud fra figur 5.2 er der en tendens til at både Xt 2 og Xt 3 har en mean reverting tendens, mens Xt 1 er faldende igennem hele perioden. I tabel 5.1 er der gengivet deskriptiv statistik på de tre estimerede faktorer ud fra DNS modellen, samt en enhedsrods-teststatistik hvor det ses at kun Xt 3 er stationær. Autokorrelationerne på faktorerne viser en høj persistens for én måneds lag, mens der for 12 og 24 Side 22 af 83

30 måneders lag ses en tendens til at X 1 t er den mest persistente og X 3 t er den mindst persistente. Resultatet er det samme for de estimerede X t værdier på de andre modeller i specialet. Tabel 5.1: Deskriptiv statistik på estimerede faktorer Faktor Middel Std.afv. Min Maks ρ(1) ρ(12) ρ(24) ADF Xt 1 5,24 2,07 0,73 10,42 0,98 0,68 0,37-1,23 Xt 2-2,68 1,62-6,69 0,51 0,98 0,44-0,05-1,86 Xt 3-2,07 2,12-5,95 4,94 0,88 0,25 0,16-4,40 Note: X t værdierne er estimeret med DNS, hvor λ = 0, 4278, ved brug af månedsdata i perioden 1994:12 til 2016:01. Den sidste kolonne angiver Augmented Dickey-Fuller (ADF) enhedsrods-teststatistik estimeret ud fra SIC kriteriet. De kritiske værdier for enhedsrodstest er -2,571 på 10 procent, -2,870 på 5 procent og -3,452 på 1 procent. 5.2 Arbitrage-fri Nelson-Siegel Den næste udvikling af NS modellen kommer i 2011, i form af en sammensmeltning af de arbitrage-frie affine modeller og NS modellen. Motivationen bag denne udvikling kommer af kritikpunktet, om at DNS ikke sikrer mod arbitrage. Ingenarbitrage princippet fortæller, at priserne skal fastsættes, så der ikke forekommer arbitrage-muligheder. Dette betyder, at prisen på to obligationer med samme ydelsesrække må have den samme pris, hvis det antages at transaktionsomkostninger er lig nul. Princippet fortæller os ikke, hvad prisen på de to obligationer skal være, blot at de skal være ens. Hvis prisen på de to obligationer ikke er ens, kan investorer opnår en risikofri gevinst ved at købe den billigste og sælge den dyreste obligation (Flor & Munk, 1997). Da obligationer handles i likvide og velorganiserede markeder kan det antages, at markederne er approksimative arbitrage-frie. Derfor vil en restriktion der forhindrer arbitrage over løbetid og tid være attraktiv (Christensen et al., 2011). Derudover sikre en arbitrage-fri model, at den fremtidige udvikling for renten er approksimativt indeholdt i den estimerede rentekurve i dag. For at opnå ingen-arbitrage i en rentestrukturmodel skal der være konsistens mellem den dynamiske udvikling i faktorerne, som beskriver rentekurven, og renten på forskellige løbetider (Coroneo et al., 2008). På baggrund af dette vælger Christensen et al. (2011) at gøre DNS modellen, som empirisk giver gode resultater, teoretisk funderet ved at fjerne muligheden for arbitrage. Arbitrage-fri Nelson-Siegel (AFNS) er en rentestrukturmodel, som har en affin arbitrage-fri rentestruktur, hvor faktor-loadings fra NS beholdes i strukturen. Denne model har vist et forbedret forudsigelsesresultat på amerikansk data (se bl.a. Christensen et al. (2011)). Dette til trods for, at der ikke er en teoretisk Side 23 af 83

31 grund til, at den arbitrage-frie model skulle være bedre til at forudsige (Diebold & Rudebusch, 2013). Det betyder ligeledes, at AFNS modellen foruden et godt fit til rentekurven også har en sporbarhed og robusthed, hvilket har gjort modellen til en arbejdshest inden for rentekuvemodellering. Vi vil i det følgende ikke tage afsæt i den generelle litteraturfremstilling af de arbitrage-frie modeller, men vælger at beskrive modellen af Christensen et al. (2011), som vi senere estimerer. I udledningen af AFNS modellen tager Christensen et al. (2011) afsæt i standard kontinuerte affine arbitrage-frie modeller af Duffie & Kan (1996), hvor der med affin hentydes til strukturen på modellen 5. Ligevægts- og arbitrage-frie modeller formuleres typisk i kontinuerlig form, da der er flere tekniske værktøjer til rådighed, samtidig med at arbitrageargumentet er lettere at gennemføre (Christensen, 2005). Desuden kan der findes analytiske løsninger for alle repræsentationer af rentestrukturen, om det så er forwardrenter, nulkuponrenter eller obligationsrenter, ved at skrive modellen i kontinuert tid (Krippner, 2015). For at udlede AFNS tager vi udgangspunkt i den korte rente r t, begrundelsen hertil er, at i den risiko-neutrale verden vil den renten kun være baseret på forventningerne til den fremtidige korte rente (Duffee, 2002). I stedet for at opstille en funktion for faktor-loadings, som er tilfældet i DNS, skal faktorerne udledes ud fra faktordynamikken under forudsætning om ingen arbitrage. Faktordynamikken under Q målet er givet som følgende: dx t = K Q ( θ Q X t ) dt + ΣDdW Q t (5.2) Dynamikken i faktorerne, X t, skrives nu, pga. kontinuerligheden, som en Ornstein- Uhlenbeck process, hvor X t er Markovian. Dette er den kontinuert AR(1) proces, som svarer til processen fra DNS. Det første led i ligning (5.2) er deterministisk og har en mean reverting egenskab, hvor θ Q angiver middelværdien på lang sigt, mens K Q er hastigheden, hvorved faktorerne tilpasser sig niveauet på lang sigt. Derved undgås eksplosiv stigende renter (Nationalbank, 2010). Det andet led i ligning (5.2) er stokastisk da det indeholder W Q t, som er en Wienerproces. En Wienerproces er en kontinuert stokastisk proces som er karakteriseret ved følgende tre egenskaber 5 I affine modeller er renten defineret, som en konstant samt en lineær funktion af modellens parametre. Side 24 af 83

32 W 0 = 0 For t < t + δ følger ændringen W = W t+δ W t en normal fordeling med middelværdi på nul og standard afvigelse på (t + δ) t, dvs. W = ɛ t, hvor ɛ er N(0, 1) W har uafhængige ændringer, dvs. W 1 er uafhængig af W 2, hvis t 1 ikke overlapper t 2 Før Wienerprocessen står ΣD, hvor D er en diagonal matrice der beskriver, hvordan volatiliteten afhænger af de enkelte faktorer, mens Σ er størrelsen på volatiliteten. Med faktordynamikken under Q målet, kan vi beskrive obligationsprisens udvikling. Dette er kernen i de affine rentestrukturmodeller jf. Duffie & Kan (1996). For at finde formen for nulkuponrenter i AFNS modellen benyttes, at Duffie & Kan (1996) har vist, at nulkuponobligationers priser er eksponentielle affine funktioner af de latente faktorer. ( ( P (τ) = E Q t exp ˆ T t )) r s ds = exp ( B (τ) X t + C (τ) ), (5.3) hvor B (τ) og C (τ) er løsninger til systemet af ordinære differentialligninger (ODL) db (τ) dt dc (τ) dt = ρ 1 + ( K Q) B (τ) 1 n ( Σ B (τ) B (τ) Σ ) ( ) δ j, (5.4) 2 j,j j=1 = ρ 0 B (τ) K Q θ Q 1 n ( Σ B (τ) B (τ) Σ ) ( ) γ j, (5.5) 2 j,j j=1 med B (τ, τ) = 0 og C (τ, τ) = 0. Dette betyder, under forudsætning af at markedet er arbitrage-frit, at nulkuponrenter kan skrives som y (τ) = 1 τ ln P (τ) = B (τ) τ X t C (τ), (5.6) τ hvor det ses at nulkuponrenter også er affine funktioner af faktorerne (Diebold & Rudebusch, 2013). Duffie & Kan (1996) præsenterer forskellige rentestrukturmodeller og for at gøre DNS arbitrage-fri finder Christensen et al. den model i klassen af Duffie-Kan modeller, som har faktor-loadings tættest på DNS, hvilket resulterer i en model, som er Side 25 af 83

33 enkel, præcis og sporbar (Diebold & Rudebusch, 2013). Modellen specificeres med restriktioner på Q målet, således at faktordynamikken under Q målet har følgende form 6 dx t 1 dx 2 t dxt θ Q 1 = 0 λ λ θ Q λ θ Q 3 X t 1 X 2 t Xt 3 σ dt + 0 σ σ 3 dw 1,Q t dw 2,Q t dw 3,Q t (5.7) hvor λ er en modelparametre og dw i,q t i {1, 2, 3} er Wienerprocesser under Q målet. Ud fra ligning (5.7) ses det at Xt 1 (niveau) er restrikteret til at være en enhedsrod under Q målet, hvilket stemmer overens med at der typisk observeres én eller flere faktorer med enhedsrødder (Christensen et al., 2011). Ligeledes ses det at λ er en konstant og at volatilitetsmatricen er konstant over tid. Ud fra faktor-loadings i NS modellen kan det antages at den korte rente er r t = Xt 1 + Xt 2, da det kun er disse der vedrører hhv. niveau og hældning som har betydning for de korte løbetider. Derved finder Christensen et al. (2011) følgende form for nulkuponrenter y t (τ) = Xt exp( λτ) X 2 λ(τ) t + ( 1 exp( λτ) exp ( λτ) ) X 3 λ(τ) t C(τ), (5.8) τ som kan udledes vha. ODL for B (τ) funktioner med løsningerne B 1 (τ) = τ, B 2 (τ) = 1 exp ( λτ), λ B 3 (τ) = 1 exp ( λτ) (τ) exp ( λτ). λ (τ) Vi ser at (5.8) har nøjagtigt de faktor-loadings, som DNS modellen har, men med en ekstra rentejusteringsfaktor, C(τ), som ikke kan undgås. Rentejusteringsfaktoren τ giver ligeledes sammenhængen mellem P dynamikken og renten (Christensen & Rudebusch, 2015b). Rentejusteringsfaktoren varierer over løbetiden, men er konstant over tid. 6 En udledning for den specifikke struktur under Q målet kan ses i Christensen et al. (2011) eller Diebold & Rudebusch (2013). Side 26 af 83

34 5.2.1 Rentejusteringsfaktoren Forskellen mellem DNS og AFNS findes i rentejusteringsfaktoren, hvilket vil sige at DNS faktisk har været tæt på at være arbitrage-fri fra starten 7. Rentejusteringsfaktoren gør, at modellen nu tager højde for Jensens uligevægt. Jensens uligevægt er, at det forventede afkast fra at investere i en volatil kort rente fra periode t til t + τ er mindre, end det forventede afkast ved at investere i en volatil kort rente, som geninvesteres i samme periode (Krippner, 2015). AFNS modellen kan identificeres ved at sætte θ = 0 under Q målet, hvor restriktionen om θ = 0 stammer fra Singleton (2006) og benyttes i Christensen et al. (2011). Dette betyder at rentejusteringsfaktoren får følgende form C (τ) τ θ Q =0= τ ˆ 3 τ ( Σ B (s) B (s) Σ ) ds (5.9) j,j j=1 0 Givet en uafhængig volatilitetsmatrix σ Σ = 0 σ σ 33 kan rentejusteringsfaktoren udledes til at have følgende analytiske form 8 C (τ) τ ˆ τ = ( Σ B (s) B (s) Σ ) 2 τ ds j,j j=1 0 ( (τ) 2 ) = σ σ σ ( 1 2λ 1 1 exp ( λτ) 2 λ 3 τ ( 1 2λ exp ( λτ) 2 λ2 4λ 2 λ 3 1 exp ( λτ) τ exp ( 2λτ) 8λ 3 τ + 1 ) 1 exp ( λτ) 4λ 3 τ 3 (τ) exp ( 2λτ) ) exp ( 2λτ) 4λ2 (5.10) Den analytiske form har den klare fordel, at nulkuponrenter beregnet med AFNS bliver lettere at håndtere. I figur (5.3) ses en grafisk fremstilling af rentejusteringsfaktoren for den uafhængig estimeret AFNS model. Det ses tydeligt, at effekten af rentejusteringsfaktoren er størst på de lange løbetider og at det er niveau, som har den største korrektion, individuelt set. Rentejusteringsfaktoren har en meget jævn og faldende udvikling 7 Se bl.a. artiklen af Coroneo et al. (2008), hvor de viser at DNS modellen opfylder arbitrage restriktionerne statistisk set. 8 Se Christensen et al. (2011) for en nærmere gennemgang af udledningen. Side 27 af 83

35 samlet set, mens effekten fra hældning ændres mere set over løbetiderne. 0 Figur 5.3: Rentejusteringsfaktor for AFNS 5 Basispoint Samlet rente justeringsfaktor Kun niveau Kun hældning Kun krumning 0, Løbetid (år) Note: Rentejusteringsfaktoren er beregnet ud fra den estimerede AFNS model for perioden 1994:12 til 2016: Sammenhæng mellem Q og P mål Indtil nu har vi kun set på AFNS modellen under Q målet, da det kun er nødvendigt med restriktioner her. Modellen fortæller således ikke noget om P dynamikken af X t. Det er tilstrækkeligt at benytte Q dynamikken ved kalibrering og prisfastsættelse, men til brug for forudsigelse er det nødvendigt at se på sammenhængen mellem Q og P dynamikken. Sammenhængen mellem Q og P dynamikken kan skrives som dw Q t = dw P t + Γ t dt (5.11) hvor Γ t er risikopræmien (Diebold & Rudebusch, 2013). Risikopræmien eller løbetidspræmien er den forventede meromkostning ved at udstede lange frem for korte obligationer. Løbetidspræmien for en given løbetid kan defineres, som forskellen mellem det aktuelle niveau for den observerbare rente med den givne løbetid og det aktuelle forventede gennemsnit af de korte renter over den givne løbetid (Nationalbanken 2013). Dette betyder at sammenhængen kan fastsættes ved den funktionelle form af risikopræmien, hvor vi, i tråd med Diebold & Rudebusch (2013) benytter os af den essentielle affine struktur 9. Dette betyder at vi beholder en affin struktur under P dynamikken, som dx t = K P [ θ P X t ] dt + ΣdW P t. Det vigtige her er, at fleksibiliteten i Γ t betyder, at vi er frit stillet til at vælge θ P vektor og K P matrix under P målet og stadig bevare den ønskede Q dynamik (Christensen 9 For nærmere uddybning om risikopræmie i affine modeller se Duffee (2002) Side 28 af 83

36 & Rudebusch, 2015b). Vi kan hermed vælge en uafhængig AFNS model, som passer overens med DNS, hvor dynamikken følger en AR (1) proces. Dette betyder, at vi i estimationen af AFNS restrikterer den stokastiske differentialligning under P målet til at være dx 1 t dx 2 t dx 3 t = K P K P K P 33 θ P 1 θ P 2 θ P 3 X 1 t X 2 t X 3 t dt + σ σ σ 3 dw 1,P t dw 2,P t dw 3,P t. (5.12) Vi har således den samme dynamik i begge modeller, og de er begge blevet estimeret som uafhængige modeller. 5.3 Skyggerentemodel Efter at de danske statsrenter løbende gennem den første del af 2009 falder til et niveau omkring nul, opstår der en situation, som skaber problemer for de gaussiske rentemodeller, heriblandt AFNS. Problemet opstår ved at de gaussiske modeller tillægger en gaussisk fordeling på udfaldsrummet, hvorfor sandsynligheden for negative renter stiger. Figur 5.4 viser udviklingen i sandsynligheden for at den korte rente, 3 måneder frem, kommer under nul beregnet ud fra AFNS modellen. Sandsynligheden for at komme under nul stiger kraftigt i starten af 2009 da Nationalbanken over to gange nedsætter renten på udlån, indskudsbeviser, diskontoen og foliorenten med 0,75 procentpoint pr. gang. Side 29 af 83

37 Figur 5.4: Sandsynlighed for at r t+3 kommer under 0 1,0 0,8 Negative renter observeres Sandsynlighed 0,6 0,4 0,2 50 procentslinje 0, Note: Beregnet sandsynlighed for at den korte rente, tre måneder frem, kommer under r min = 0. Sandsynligheden er beregnet ud fra( modelparamtre ) fra AFNS modellen med P P (r t+τ r min ) = Φ, hvor Et P [r t+τ ] er den risikofrie korte rente til r min E P t [rt+τ ] V P t [r t+τ ] tiden t + τ, mens Vt P [r t+τ ] er den betingede varians til tiden t + τ, begge under P målet. Φ er den kumulative normale sandsynlighedsfunktion. Denne kraftige stigning i sandsynligheden medfører at AFNS modellen skal revurderes, og der er brug for nye værktøjer til at håndtere lavrentemiljøet. Christensen & Rudebusch (2013) introducerer derfor i 2013 en skyggerentemodel 10 (SR), baseret på NS strukturen, som kan håndtere de lave renteniveauer Arbejdet af Black og Krippner Skyggerentemodellen kan spores tilbage til Black (1995). Han viser, at renten vil have en nedre grænse på nul, da investoren altid har muligheden for at holde kontanter. Derved vil den korte rente kunne beskrives som r t = max (r min, s t ), hvor s t er en modelleret skyggerente, hvorved den faktiske rente ikke kan komme under nul. Black begrunder i sin artikel, hvorfor det er relevant med en nedre grænse på renten, men er mere sparsom med, hvordan en nedre grænse skal implementeres i en rentemodel. Den litteratur der siden har implementeret Blacks skyggerente, har brugt numeriske metoder til prisfastsættelse, hvilket har medført et stort behov for computerkraft for at overkomme dette (Christensen & Rudebusch, 2013). For at gøre beregningen af skyggerentemodellerne lettere, foreslår Krippner (2013) en 10 Der findes flere forskellige måder at håndtere den nedre grænse, hvor bl.a. modeller som stokastiske volatilitetsmodeller med kvadratrodsprocesser, kvadrede gaussiske modeller, Stay-atzero affine modeller og Lineær rationelle modeller kan nævnes (Christensen & Rudebusch, 2015b). Side 30 af 83

38 alternativ optionsbaseret tilgang. For at illustrere denne tilgang kan vi se på to forskellige prisfastsættelser af obligationer, den første er en verden uden kontanter i cirkulation, og den anden er en verden med kontanter i cirkulation. I en verden med kontanter i cirkulation forudsættes det, at kontanterne ikke mister nominel værdi, og at der ikke er transaktionsomkostninger (Christensen & Rudebusch, 2013). I en verden uden kontanter vil prisen på en nulkuponrenteobligation, P t (τ), kunne sælges over par. Dette kan ske, fordi P t (τ) beregnes med skyggerenten som tilbagediskonteringsfaktor, og skyggerenten kan blive negativ. I verdenen med kontanter vil en investering til tiden t i en nulkuponobligation, med afkast på 1 kr. når den udløber, P t (τ), ikke stige over par, så der vil ikke observeres negative renter, da investoren kan vælge at holde kontanter i stedet for at investere. P t (τ) beskriver således prisen uden nedre grænse, mens P t (τ) angiver prisen med en nedre grænse 11. Sammenhængen mellem de to obligationspriser til tiden t for den kortest mulige løbetid, δ, kan skrives som P t (τ) = min {1, P t (τ)} = P t (τ) max {P t (τ) 1, 0}. (5.13) Fordi det i en verden med kontanter er muligt at vælge mellem at købe en nulkuponobligation eller beholde pengene kontant, betyder det at obligationsprisen ikke kan overstige 1. Prisen på en obligation vil ligeledes svare til skygge-obligationen fratrukket en call option med en strike på 1. Call optionen kan ses som en amerikansk call option, der løbende giver mulighed for indløsning. Amerikanske optioner er dog ikke med til at gøre estimationen af obligationsprisen lettere. Krippner (2013) argumenterer for en analytisk løsning baseret på europæiske optioner, som er væsentlig lettere at prisfastsætte. Løsningen er at fastsætte prisen på en amerikansk option ud fra en række af europæiske optioner. Ved at benytte forwardrenter viser Krippner (2015), at det er muligt at beregne optionselementet med en analytisk løsning. Krippner (2015) viser, at forwardrenten, f t (τ), der håndterer en nedre grænse, kan skrives som f t (τ) = f t (τ) + z t (τ), (5.14) hvor f t (τ) er forwardrenten på skyggeobligationen, som kan blive negativ. z t (τ) er optionseffekten defineret som [ z t (τ) = lim δ δ Ct E ] (τ, τ + δ; 1), P t (τ + δ) hvor C E t (τ, τ + δ; 1) er værdien af en europæisk call option til tiden t med løbetid 11 Generelt gælder det, at en streg under pris eller rente angiver en nedre grænse. Side 31 af 83

39 t + τ og strike på 1, skrevet på en skyggerenteobligation med løbetiden t + τ + δ. Derved kan renten beregnes med den tidligere viste sammenhæng mellem renter og forwardrenter, som y t (τ) = 1 τ = 1 τ ˆ t+τ t ˆ t+τ t = y t + 1 τ f t (s) ds f t (s) ds + 1 τ ˆ t+τ t lim δ [ δ ˆ t+τ t [ lim δ δ C E t (τ, τ + δ; 1) P t (τ + δ) Ct E ] (τ, τ + δ; 1) ds P t (τ + δ) ] ds. (5.15) Ud fra arbejdet af Krippner kan renten håndtere en nedre grænse og beregnes som en rente, y t (τ), der ikke tager højde for den nedre grænse, plus et korrektionsled, som er en beregnet optionsværdi ved at holde kontanter. For at kunne bruge denne model i praksis kræver det, at vi finder en model, som er gaussisk og som har en analytisk løsning - dette passer med vores tidligere AFNS model. Da y t (τ) ikke begrænses til en nedre grænse, betyder det at vi kan bruge AFNS modellen til at beskrive skyggerenten med. I perioder med normalt renteniveau, betyder brugen af AFNS som skyggerente, at modellen vil være en AFNS model. Samtidig korrigeres modellen i perioder med lave renteniveauer, ved at optionsværdien bliver positiv og tilretter skyggerenten til det faktiske renteniveau. Selvom vi vil benytte AFNS til at beskrive skyggerenten, så er det ikke ensbetydende med, at modellen ved lave renteniveauer er arbitrage-fri, men i stedet skal det ses som en approksimation til en arbitrage-fri model (Christensen & Rudebusch, 2013). Selvom modellen ikke er arbitrage-fri så viser Christensen & Rudebusch (2015a) og Christensen & Rudebusch (2013) vha. Monte Carlo simulering, at approksimationsfejlene nær den nedre grænse er beskedne for japansk og amerikansk data Den estimerede skyggerentemodel Gennemgangen af arbejdet fra Black har været med nul som nedre grænse, men dette kan generaliseres til at være en hvilken som helst værdi, såvel positiv som negativ. Når vi beskriver skyggerentemodellen, vil vi ikke tage stilling til værdien af den nedre grænse, men i stedet blot referere til den som r min. En nærmere uddybning af r min vil komme efterfølgende. Introduktionen af en nedre grænse i SR modellen, betyder at renten ikke kan bevæge sig under dette niveau. Dette gøres ved at sætte den korte rente, r t, til at Side 32 af 83

40 være den største værdi mellem r min og den underliggende skyggerente, s t, r t = max (r min, s t ). (5.16) Beskrivelsen af skyggerenten følger opstillingen fra AFNS med samme dynamik under Q målet. Den eneste forskel ligger i estimeringen, hvor SR modellen regnes ud fra forward renter, for at kunne implementere den analytiske løsning på optionseffekten. Nulkuponrenten i AFNS beskrives ved y t (τ) = Xt exp( λτ) X 2 λτ t + ( 1 exp( λτ) exp ( λτ) ) X 3 λτ t C(τ), (5.17) τ med tilhørende forwardrente givet ved f t (τ) = T ln P t (τ) = X 1 t + exp ( λτ) X 2 t + λτ exp ( λτ) X 3 t + A f (τ), (5.18) hvor rentejusteringsfaktoren i forwardligningen beskrives som A f A (τ) (τ) = τ = 1 2 σ2 11τ σ2 22 ( 1 exp ( λτ) λ ) 2 1 [ 1 2 σ2 33 λ 2 2 λ exp ( λτ) 2 τ exp ( λτ) 2 λ + 1 λ exp ( 2λτ) + 2 ] 2 λ τ exp ( 2λτ) + τ 2 exp ( 2λτ). (5.19) Den analytiske løsning på forwardrenten, som håndterer den nedre grænse, er givet i Krippner (2015) og kan bruges til enhver gaussisk model f t (τ) = f t (τ) Φ ( ) ft (τ) + ω (τ) ω (τ) 1 exp 1 2π 2 [ ] 2 ft (τ), (5.20) ω (τ) hvor Φ ( ) er den kumulative sandsynlighedsfunktion for standard normalfordelingen, f t er skygge-forwardrenten og ω (τ) er relateret til den betingede varians, ν (τ, τ + δ), der fremgår i formlen for optionsprisfastsættelsen som ω (τ) 2 = 1 2 lim 2 ν (τ, τ + δ). (5.21) δ δ 2 Christensen & Rudebusch (2013) viser, at ω (τ) tager følgende form i SR modellen ω (τ) 2 = σ11τ 2 + σ exp ( 2λτ) + [ 2λ 1 exp ( 2λτ) σ λ 2 τ exp ( 2λτ) 1 ] 2 λτ 2 exp ( 2λτ).(5.22) Side 33 af 83

41 Dette medfører at renten, som håndterer den nedre grænse, kan beregnes som ˆ t+τ y t (τ) = 1 f τ t (s) ds t = 1 ˆ t+τ [ ( ) ft (s) f t (s) Φ τ t ω (s) 1 +ω (s) exp 1 [ ] 2 ft (s) ds. (5.23) 2π 2 ω (s) Modellen specificeres igen som en uafhængig model, men K P 11 restrikteres i SR modellen til at følge en enhedsrod 12, da værdierne i K P matricen viser at K P 11 er større end K P 22, hvilket ikke giver mening, da K P 11 forholder sig til niveau, og K P 22 forholder sig til hældningen. Samtidig viser estimationsresultater fra AFNS modellen, at K11 P i denne model ikke er statistisk signifikant. Vi vælger derfor følgende dynamik for SR modellen under P målet dx 1 t dx 2 t dx 3 t = K P K P 33 0 θ P 2 θ P 3 X 1 t X 2 t X 3 t dt + σ σ σ 3 dw 1,P t dw 2,P t dw 3,P t (5.24) SR modellen er nu restrikteret til at indeholde en enhedsrod under begge sandsynlighedsmål, hvorfor vi vilkårligt kan sætte værdien af θ P 1 Rudebusch, 2013). = 0 (Christensen & For at illustrere effekten af skyggerenten og optionen, viser vi i figur 5.5 at den estimerede rentekurve med SR modellen. Der vises to forskellige plots, et fra januar 2010 og et fra august 2013, hvor 2010 stadig kan betegnes som et normalt rentemiljø. Dette viser således at der i 2010 ikke er nogen betydelig effekt af optionen og modellen dermed nærmer sig AFNS, mens effekten af optionen tydeligt ses i Dette følger Christensen & Rudebusch (2013) der restrikterer K P 11 til at være en enhedsrod, ligesom Krippner (2015) beskriver mulige modelopstillinger med K P 11 restrikteret til en enhedsrod. Side 34 af 83

42 Figur 5.5: Eksempel på rentekurve med skyggerente ,04 0,03 Rentekurve Skyggerente Optionsværdi Rente 0,02 0,01 0,00 0, Løbetid (år) ,04 0,03 Rentekurve Skyggerente Optionsværdi Rente 0,02 0,01 0,00 0, Løbetid (år) Note: Estimerede rentekurver i realtid med SR modellen i et normalt og lavrentemiljø med r min estimeret som en fri parameter Fastsættelse af r min I dette afsnit vil vi diskutere, hvordan r min kan fastsættes. Den naturlige nedre grænse på nul, er ikke oplagt ud fra det danske data, da renterne i oktober 2014 blev negative og siden er der set negative renter i løbetider helt op til 6 år. Sættes den nedre grænse til nul vil dette betyde, at alle de negative renteobservationer systematisk vil blive estimeret forkert i renteforudsigelsen, da modelspecifikationen ikke gør det muligt at regne med negative renter. Den nedre grænse skal derfor enten estimeres løbende, som en modelparameter, eller sættes til en fast værdi. Side 35 af 83

43 Christensen et al. (2016) nævner, at der i praksis er to muligheder, når den nedre grænse skal sættes til en fast værdi. Den første er, at sætte den som den mindste værdi der er observeret i datasættet. Den anden er, at sætte r min som den værdi der optimerer renteforudsigelsen på en 3 måneders rente. Christensen et al. (2016) opnår pæne resultater ved at sætte værdien af r min, som den laveste observerede værdi i datasættet, men prøver ikke at estimere modellen med r min som en modelparameter. Da de danske statsrenter netop har afveget fra det normale, ved at have negative statsrenter, vil fastsættelsen af r min have en væsentlig betydning for SR modellens mulighed for at fungere optimalt. Vi vælger derfor at estimere to SR modeller, SR fast, hvor r min = 0, 787%, som er den lavest observeret værdi i datasættet, og SR fri, hvor r min estimeres som en modelparameter. Især SR fri modellen er interessant, da der efter forfatternes bedste viden, ikke er estimeret en sådan model på dansk data. 6 Estimering af rentestrukturmodellerne Vores rentedata indeholder 11 løbetider over en periode på 21 år, hvorfor estimeringen af de dynamiske modeller skal tage både løbetid og tid i betragtning. Til dette kan der bruges forskellige estimeringsmetoder, hvor vi vælger at benytte OLS, Kalman filter og udvidet Kalman filter. DNS modellen estimeres med antagelsen om at λ er kendt, hvorfor det er muligt at estimere modellen ved OLS. Det er også muligt at benytte Kalman filtret til DNS, men De Pooter (2007) viser, at forskellen mellem estimationsresultaterne ikke er væsentlige. Vi vælger derfor at estimere DNS med OLS, som vil være direkte anvendelig for mange, som blot har et lille kendskab til statistisk metode. I AFNS modellen anvendes et Kalman filter, mens der i SR modellen anvendes et udvidet Kalman filter 13. Anvendelsen af Kalman filtret betyder, at vi estimerer dynamikken i faktorerne simultant med renterne, hvilket er nødvendigt for, at vi har de beregnede volatiliteter på faktorerne til brug for beregningen af rentejusteringsfaktoren. Dette betyder samtidig at kompleksiteten i modelestimationen stiger væsentlig mellem DNS og de resterende modeller. Vi starter med at gennemgå estimeringen af DNS. Før vi gennemgår estimeringen af AFNS og SR modellen gives en kort introduktion til state-space formuleringen og Kalman filtret. Afslutningsvis beskrives udfordringerne ved estimeringerne. 13 Der findes flere udvidelser af Kalman filteret, bl.a. itereret udvidet Kalman filter som benyttes af Krippner (2015), men vi vælger i tråd med Christensen & Rudebusch (2013) at benytte det udvidede Kalman filter. Side 36 af 83

44 6.1 DNS, to-trins metode DNS modellen estimeres med en to-trins metode, hvor der i tråd med Diebold & Li (2006) antages en kendt værdi for λ. Ved at anvende en kendt værdi af λ, betyder det at modellen kan estimeres med simpel OLS. Diebold & Li (2006) finder værdien af λ ud fra at hældning skal maksimeres ved 30 måneder. Vi vælger i stedet at finde værdien af λ ved brute force, dvs. ved at finde den værdi af λ som minimerer summen af de kvadrerede afvigelser (fejl) over hele tidsperioden. I det første trin tilpasses den statiske NS model for hver periode t = 1,..., T, hvorved der fremkommer en tredimensionel tidsserie af estimerede faktorer, {Xt 1, Xt 2, Xt 3 } T t=1 og den tilhørende residualmatrice, {ε t (τ 1 ), ε t (τ 2 ),..., ε t (τ 11 )} T t=1. Det næste trin er, at indføre AR (1) dynamikken i modellen, hvilket vil sige at vi forudsætter en diagonal struktur på mean reversion matricen og fejlleds-matricen. I det første trin estimerer vi følgende model, opskrevet på matrix form y t = BX t + ε t, (6.1) hvor y t er en (11 1) vektor af renter, B er en (11 3) matrix med faktor-loadings, X t er en (3 1) vektor med de latente faktorer og ε t er en (11 1) vektor med stokastiske fejlled, som kan fortolkes som idiosynkratisk eller løbetidsafhængig. Dette betyder, at renten beskrives dels af de fælles latente faktorer og dels af den idiosynkratisk faktor (Diebold & Rudebusch, 2013). I det andet trin antager vi en AR (1) dynamik på faktorerne, hvorfor disse kan skrives op som X t = µ + AX t 1 + η t, (6.2) hvor µ er en (3 1) vektor med gennemsnittet af hver af de tre latente faktorer, A er en (3 3) diagonal matrix med de autoregressive parametreværdier og η t er en (3 1) vektor. Det forudsættes at ε t og η t følger en hvid støj proces. 6.2 State-Space og Kalman filtrer Til at estimere AFNS og SR modellerne er det en fordel først at skrive modellerne om til state-space form, som kan bruges til multivariate tidsserier. State-space formen er et meget stærkt redskab, som gør det lettere at håndtere en bred vifte af tidsseriemodeller (Harvey, 1996). Ved at skrive modellerne på state-space form bliver Kalman filtret direkte anvendeligt til brug for forudsigelse og filtrering. State-space formuleringen indebærer to ligninger, en måleligning (measurement equation) og en overgangsligning (transition equation). Måleligningen beskriver, hvordan rentekurven beregnes, mens overgangsligningen beskriver hvordan dyna- Side 37 af 83

45 mikken er i faktorerne. Dette er en generel måde at sætte state-space op på, hvor faktorerne, X t, er en state-vektor, som giver os sammenhængen mellem måle- og overgangsligning. Opstillingen på state-space betyder, at vi nu direkte kan anvende Kalman filtret til at estimere og filtrer de ellers latente faktorer. Kalman filtret er en rekursiv procedure til at beregne den optimale estimatorværdi af state-vektoren til tiden t, baseret på alt den information, som er tilgængelig til tiden t (Harvey, 1996). Det er ikke et krav for at bruge Kalman filtret at fejlleddene i måle- og overgangsligningen er normalfordelte. Anvendes forudsætningen om normalfordelte fejlled betyder det, at Kalman filtret er en optimal estimator til beregning af faktorerne i den forstand, at Kalman filtret minimerer gennemsnittet af de kvadrede fejl (MSE) 14. Kalman filtret er rekursivt og fungerer derfor, lidt forsimplet, ved at finde de optimale værdier for faktorerne ved først at forudsige næste periodes faktorer, sammenligne forudsigelsen med den korrekte værdi og så tilrette med den nye tilegnede viden. Det udvidede Kalman filter afviger fra det traditionelle Kalman filter ved, at kunne håndtere måleligninger, som ikke er lineære i sin form. Dette gøres ved at opstille en approksimativ lineær måleligning vha. en Taylor approksimation AFNS med Kalman filter Vi starter med at skrive AFNS op på state-space form. Måleligningen skrives som 15 y t = BX t + C + ε t, (6.3) hvor y t er en (11 1) vektor af renter, B er en (11 3) matrix med faktor-loadings, X t er en (3 1) vektor med latente faktorer, C er en (11 1) vektor med rentejusteringsfaktorerne til de enkelte løbetider og ε t er en (11 1) vektor med stokastiske fejlled. Måleligningen beskriver således, hvordan vi beregner rentekurven til et hvert givet tidspunkt, ud fra faktor-loadings, beskrevet ved NS strukturen og de latente faktorer, samt en rentejusteringsfaktor. Dynamikken i AFNS modellen bestemmes i overgangsligningen, hvor dynamikken følger en Ornstein-Uhlenbeck proces dx t = K P ( θ P X t ) dt + ΣDdW P t (6.4) 14 Dette resultat viser ligeledes, hvorfor vi kan vælge at beregne DNS modellen med OLS, da estimatoren mellem OLS og Kalman filtret under normalfordelte fejlled er ens. 15 Opstillingen på state-space form afviger ikke fra opstillingen på matrice form under DNS modellen, men ved at lave en direkte sammenhæng mellem måle- og overgangsligning er statespace direkte anvendelig i Kalman filtret. Side 38 af 83

46 hvor K P er en (3 3) diagonal matrix med mean reverting parametre, θ P er en (3 1) vektor med de langsigtede middelværdier for faktorerne og η t er en (3 1) vektor med fejlled. Med udgangspunkt i AFNS modellen vil vi gennemgå estimeringen med Kalman filteret. AFNS opstilles i kontinuert form, mens Kalman filteret arbejder i diskret form, hvorfor den betingede forventede vektor er E P [X T F t ] = ( I exp ( K P t )) θ P + exp ( K P t ) X t, (6.5) hvor F t er al information kendt op til tiden t og den betingede variansmatrix er V P [X T F t ] = ˆ t t exp ( K P s ) ΣΣ (KP ) s ds, (6.6) hvor t er tiden mellem observationerne i datasættet. Betinget forventet værdi og varians som i (6.5) og (6.6) er afledt af overgangsligningen X t = ( I exp ( K P t )) θ P + exp ( K P t ) X t 1 + η t, (6.7) hvor variansen af overgangschokket, η t er Q = ˆ t t exp ( K P s ) ΣΣ (KP ) s ds. (6.8) Strukturen og sammenhængen på de stokastiske fejlled kan beskrives som η t ε t N 0, 0 Q 0 0 H, (6.9) hvor Q er en (3 1) vektor og H er en (11 1) vektor. Desuden ses det at ligningerne skal være uafhængige af hinanden. Kalman filtret startes med den ubetingede forventede værdi og varians af faktorerne under P målet, dvs. for AFNS er det X 0 = θ P og Σ 0 = 0 exp ( K P s ) ΣΣ (KP ) s ds. For at forsimple notationen sætter vi modelparametrene til ψ og information, der er tilgængelig til tiden t, som Y t = (y 1, y 2,..., y t ). Til tiden t 1 vil forudsigelsen af næste skridt være X t t 1 = E P [X t Y t 1 ] = Φ X,0 t (ψ) + Φ X,1 t (ψ) X t 1, (6.10) Σ t t 1 = Φ X,1 t Σ t 1 (ψ) Q t (ψ), (6.11) Side 39 af 83

47 hvor Φ X,0 t = ( I exp ( K P t )) θ P, Φ X,1 t = exp ( K P t ), Q t = ˆ t 0 e KP s ΣΣ (KP ) s ds. Nu kan vi til tiden t opdatere forudsigelsen efter at have fået viden om Y t hvor X t = E P [X t Y t ] = X t t 1 + Σ t t 1 B (ψ) F 1 t υ t, (6.12) Σ t = Σ t t 1 Σ t t 1 B (ψ) F B (ψ) Σ t t 1, (6.13) υ t = y t E [y t Y t 1 ] = y t B (ψ) X t t 1 C (ψ) F t = cov (υ t ) = B (ψ) Σ t t 1 B (ψ) + H (ψ), H (ψ) = diag ( σε 2 (τ 1 ),..., σε 2 (τ 11 ) ). Det er vigtigt at F t < 1, Σ er positiv og H er positiv for at Kalman filteret fungerer, ellers vil Kalman filteret kunne levere uendelige eller imaginære værdier og derved få optimeringsalgoritmen til at fejle (Krippner, 2015). Derfor pålægges restriktioner i koden der opfylder dette SR model med udvidet Kalman filter I SR modellen er det nødvendigt at benytte det udvidede Kalman filter, da måleligningen ikke længere er affin i dens form, men i stedet har den generelle form y t = z (X t ; ψ) + ε t, (6.14) hvor ψ angiver modelparametrene. Dynamikken i SR modellen er den samme som AFNS, da AFNS fungerer som skyggerente og dermed kan den diskrete overgangsligning igen skrives som X t = ( I exp ( K P t )) θ P + exp ( K P t ) X t 1 + η t Det udvidede Kalman filter håndterer den ikke-lineære måleligning ved at anvende en Taylor approksimation omkring det bedste bud på X t i forudsigelsestrinnet, hvorved en lille ændring kan antage en affin form på måleligningen. I henhold til Side 40 af 83

48 AFNS modellen så betyder ændringen at forudsigelsestrinnet nu skrives som z (X t ; ψ) z ( X t t 1 ; ψ ) + z (X t; ψ) X t Xt=X t t 1 ( Xt X t t 1 ). (6.15) Ved at definere C t (ψ) z ( X t t 1 ; ψ ) z (X t; ψ) X t Xt=X t t 1 X t t 1 B t (ψ) z (X t; ψ) X t Xt=X t t 1, kan måleligningen defineres affin som y t = C t (ψ) + B t (ψ) X t + ε t, (6.16) og gennemgangen fra Kalman filteret i AFNS modellen gælder således også for SR modellen 16 (Christensen & Rudebusch, 2015a). Under forudsætning af at K11 P er en enhedsrod betyder det, at vi bliver nødt til at starte det udvidede Kalman filter en smule anderledes, da den samlede dynamik af faktorerne ikke længere er stationære og derfor ikke kan startes ved den ubetingede fordeling (Christensen & Rudebusch, 2015b). Problemet kan løses ved at udlede en fordeling, som er baseret på den første rentekurve der observeres i datagrundlaget for stikprøven. Ud fra Christensen & Rudebusch (2015b) finder vi startfordelingen til at være X 0 N [ (B B) 1 B (y 1 C), (B B) 1 B HB (B B) 1], hvor y 1 angiver den første rentekurve i datagrundlaget (for en nærmere uddybning se appendiks A). For det udvidede Kalman filter gælder samme behov for begrænsninger for at undgå fejl som i Kalman filteret. Maksimum likelihood for Kalman filterer Kalman filtret er en iterativ proces, som starter med X 0, Σ 0 og startværdierne for modelparametrene. Ud fra disse kan vi skrive den fælles sandsynlighedsfunktion som T f (y 1,..., y T ; ψ) = f (y t F t 1 ) (6.17) med f ( ) værende en multivariat tæthedsfunktion. Med antagelsen om at forudsigelsesfejlene er gaussiske, leder dette til følgende multivariat tæthedsfunktion for normalfordelingen t=1 f (y) = 1 (2π) n 2 F ( exp 1 ( ) ) υ 2 t F 1 υ t (6.18) 16 De partielle differentialer beregnes numerisk med en lille ændring i faktorerne på 10 5 Side 41 af 83

49 og deraf den gaussiske log-likelihoodværdi der beregnes som ln L (y 1,..., y T ; ψ) = T t=1 ( N 2 ln (2π) 1 2 ln F t 1 ) 2 υ t, (6.19) hvor N er antallet af løbetider i datasættet. Én kørsel med Kalman filtret resulterer i et sæt parameter værdier, ψ, med tilhørende log-likelihoodværdi. For at udlede de optimale parametreværdier benyttes der derfor en numerisk optimeringsrutine på Kalman filtret. Der findes forskellige former for optimeringsrutiner, men vi vælger i tråd med bl.a. Christensen et al. (2016), Krippner (2015) og Christensen & Rudebusch (2013) at benytte Nelder-Mead metoden. Nelder-Mead optimeringsalgoritmen afprøver forskellige værdier af ψ for at maksimere log-likelihoodværdien og konvergerer ved en tolerance på 10 8 i log-likelihoodværdien. Ved konvergering får vi standardfejlene på de estimerede parametre-værdier ud fra kovariansmatricen ˆΩ ( ˆψ) = 1 T 1 T ( ( 1 T ln L t ˆψ) ln L t ˆψ) t=1 ψ ψ (6.20) som benyttes til at teste for signifikansen af de estimerede parametre ved en Waldtest. Udfordringer ved estimering For DNS modellen, som er estimeret ved OLS, er udfordringen, at finde det optimale λ, hvilket gøres vha. brute-force. Dette bevirker at modellen er simpel at estimere, og resultaterne er robuste. Ved Kalman filtret er det nødvendigt med gode startværdier, for at sikre at der er fundet et globalt maksimum. Vi søger først globalt efter startværdier, og derefter anvender vi en lokal søgning på parametrene, som optimerer modellerne. Til den globale søgning anvender vi en simuleret annealing algoritme, som efterfølges af en lokal søgning med Nelder-Mead algoritmen. I den globale søgning anvendes nedre og øvre grænseværdier, hvor det antages at de sande parametreværdier vil ligge inden for dette spænd. Dermed gælder der følgende for startparametrene; K11 P [10 7 : 1], K11 P [0, 1 : 1], K11 P [0, 1 : 1, 5], θi P [ 0, 05 : 0, 05], σ ii [0, 001 : 0, 05] og λ [0, 1 : 0, 95]. Vi udfører en mindre analyse for, at se holdbarheden i at estimere startværdierne med en simuleret annealing. I figur 6.1 ses resultatet af 40 simuleringer udtrykt som log-likelihoodværdien. Resultatet viser at de 40 simulerede startværdier giver stort set samme log-likelihoodværdi (bemærk 2. aksen i figuren kun går fra til 8.290). Side 42 af 83

50 Figur 6.1: Konvergeringsanalyse af forskellige startværdier 8290,0 8289,8 Log likelihood 8289,6 8289,4 8289,2 8289, Forsøg Note: Log-likelihood værdien er beregnet ud fra de optimale parametreværdier fundet ved simuleret annealing. Data for testen dækker perioden 1994:12 til 2005:12. For at kunne foretage out-of-sample evalueringen uden at bruge fremtidig information, er det nødvendigt med genestimeringer af modellen. Vi anvender derfor startværdierne fra den globale søgning til at estimere den første periode, som går fra 1994:12 til 2005:12. Derefter rulles estimeringen videre og de nye estimerede parametreværdier fra periode t anvendes, som startværdier for periode t + 1 osv. Nødvendigheden af gode startværdier bliver endnu mere aktuel ved det udvidede Kalman filter, hvorfor vi her vælger at benytte de estimerede parametre fra AFNS som startværdier 17. For SR fri, hvor r min estimeres, sættes startværdien til at være den naturlige nedre grænse på nul. 7 Estimationsresultater I dette afsnit vil datagrundlaget og de empiriske estimationsresultater fra modellerne blive gennemgået. Først ses der på de estimerede parametre for de enkelte modeller. Derefter foretages en sammenligning af modellerne imellem, som efterfølges af et in-sample fit. Til sidst er der en uddybning af fordelene ved at estimere en SR model fremfor AFNS i et lavrentemiljø. 17 Dog antager vi en enhedsrod på K P 11 og kan derfor også sætte en vilkårlig værdi på θ P 1 (Christensen & Rudebusch, 2013). Side 43 af 83

51 7.1 Data Datagrundlaget for den empiriske del er en nulkuponrentestruktur på de danske statsobligationer 18. På det danske obligationsmarked handles der kun få nulkuponobligationer, nemlig skatkammerbeviserne, samt nogle instrumenter, der har karakter af nulkuponobligationer. Udfordringen er, at alle disse nulkuponaktiver kun har løbetid på under ét år. Dette betyder, at priserne på aktiverne kun indeholder information om den korte ende af rentestrukturen. For at opnå information om hele rentestrukturen er det nødvendigt, at inddrage andre instrumenter, som fx kuponobligationer. Bootstrapping er en metode, hvorved det er muligt at konstruere syntetiske nulkuponobligationer ved, at danne passende porteføljer af handlede instrumenter i markedet. Det er praksis, at data der benyttes til modellering er udglattet enten vha. bootstrapping eller vha. en Nelson-Siegel Svensson model (Diebold & Rudebusch, 2013). Et kritikpunkt til brugen af udglattet data er, at der estimeres på data, der er pænere end det sande data, hvorved resultaterne typisk også bliver bedre. Betydningen af udglattet data er, at en model med tre faktorer reelt estimeres på data, der er konstrueret vha. en model med fire faktorer. Dette vil alt andet lige være med til at give et bedre fit. Vi anvender nulkuponrenter fra Bloomberg, som netop er konstrueret vha. bootstrapping. Her er der benyttet instrumenter, som kuponobligationer, lån, swaps eller kombinationer heraf. En anden vigtig egenskab ved anvendelse af denne serie fra Bloomberg er, at vi sætter os fri fra evt. kreditrisiko. Det skal dog bemærkes at de danske statsobligationer har den højest mulige kreditvurdering (AAA/Aaa) hos de største internationale kreditvurderingsbureauer (Nationalbank, 2015), hvilket indikerer at statsobligationerne er stort set risikofrie. Nulkuponrenterne dækker perioden fra 1994:12 til 2016:01, hvilket i alt giver 254 observationer. For at beskrive rentestrukturen bedst muligt til hver tidsperiode, anvendes 11 løbetider (3 mdr., 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 10 år) i tråd med Diebold & Li (2006) og Christensen & Rudebusch (2013). Figur 7.1 viser de danske nulkuponrenter i perioden fra 1994:12 til 2016:01. Figuren viser, hvordan rentekurven udvikler sig igennem tiden, og at der er betydelige forskelle i niveau og spredning mellem de korte og lange løbetider. Desuden ses det at rentekurven antager forskellige former både stigende, faldende, S-formet og flad. Figur 7.1 viser at renteniveauet er faldende hen mod 2012, hvor Danmark indtræder i et lavrentemiljø. 18 Modellerne er ikke begrænset til kun, at blive brugt på nulkuponobligationer, men det er en fordel at benytte data, som er fri for kreditrisiko. Side 44 af 83

52 Figur 7.1: 3D figur af danske statsrenter for perioden 1994 til ,10 0,08 0,06 Rente 0,04 0,02 0, Løbetid (år) Note: Månedlige nulkuponrenter på danske statsobligationer i perioden 1994:12 til 2016:01 med løbetiderne 3 mdr., 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 10 år. Data er hentet fra Bloomberg. 10 I tabel 7.1 ses den deskriptive statistik på rentedata for hele perioden. Tabellen angiver bl.a. minimum og maksimum renteværdi på de enkelte løbetider. I tabel 7.1 ses det at der er negative renter på løbetider helt op til 6 år. Tabellen bekræfter flere generelle antagelser omkring rentekurver. Den gennemsnitlige rentekurve er stigende og konkav og autokorrelationen er meget høj og stigende med løbetider. Dette ses især ved autokorrelationer på 12 og 24 måneder. Derimod viser tabel 7.1, at volatiliteten er stort set stabil med løbetiden, hvilket formentlig kan forklares ved de negative renter, som gør selv de korte løbetider volatile 19. I tabel 7.1 er ligeledes angivet de empiriske niveau, hældning og krumning ud fra Diebolds definition. Her ses det at niveau, som er den 10-årige rente, er knap så volatil i forhold til dens middelværdi, men meget persistent. Hældning er væsentlig mindre persistent, og mere volatil i forhold til dens middelværdi. Til sidst er krumning den mest volatile i forhold til dens middelværdi og den mindst persistente. 19 Kendetegnet ved et lavrentemiljø er ellers, at der er væsentlig forskel på volatiliteten på de korte og lange renter, som tidligere vist. Side 45 af 83

53 Tabel 7.1: Deskriptiv statistik på rentedata Løbetid Middel Std.afv. Min Maks ρ(1) ρ(12) ρ(24) 0,25 2,57 1,81 0,79 7,07 0,98 0,66 0,44 1 2,77 1,93 0,59 7,42 0,98 0,69 0,48 2 2,94 1,98 0,52 8,01 0,98 0,70 0,51 3 3,14 2,02 0,42 8,49 0,97 0,70 0,53 4 3,34 2,03 0,32 8,85 0,97 0,71 0,53 5 3,53 2,03 0,20 8,90 0,97 0,72 0,53 6 3,68 2,04 0,06 9,11 0,97 0,72 0,53 7 3,84 2,04 0,05 9,18 0,97 0,72 0,53 8 3,97 2,03 0,11 9,25 0,97 0,72 0,52 9 4,09 2,02 0,18 9,27 0,98 0,72 0,52 10 (Niveau) 4,18 1,99 0,25 9,26 0,98 0,72 0,52 Hældning 1,61 0,98 0,24 4,27 0,96 0,37 0,00 Krumning 0,87 0,72 2,43 1,39 0,91 0,33 0,03 Note: Tabellen angiver deskriptiv statistik i % på anvendt data i perioden fra 1994:12 til 2016:01. ρ( ) angiver autokorrelationen for 1, 3, 6 og 12 mdr. Definitionen på niveau er den 10-årige rente, hældning er forskellen mellem den 10-årige og 3 måneders rente, mens krumning er to gange den 2-årige rente minus summen af den 3 måneders og 10-årige rente. Det skal bemærkes at dansk rentedata ikke viser en højere volatilitet for korte løbetider sammenlignet med lange løbetider, typiske ville det modsatte observeres. 7.2 Resultater Tabellerne 7.2, 7.3, 7.4 og 7.5 viser parametreestimater fra DNS, AFNS og SR modellerne. Generelt viser modellerne, at NS faktor-loadings er med til at give estimaterne en klar tolkning af niveau, hældning og krumning. Side 46 af 83

54 Vi starter med at se på resultaterne fra DNS. Tabel 7.2: Parametreestimater fra DNS modellen A matrix Middel A P,1 A P,2 A P,3 µ A P 1, 0, ,0571 (0,0090) (0,0015) A P 2, 0 0, ,0291 (0,0138) (0,0011) A P 3, 0 0 0,9470 0,0369 (0,0189) (0,0012) Σ matrix Lambda Σ P,1 Σ P,2 Σ P,3 λ Σ P 1, 0, ,4278 (0,0002) Σ P 2, 0 0, (0,0002) Σ P 3, 0 0 0,0055 (0,0003) λ er fundet ud fra brute-force og ikke estimeret, derfor er der ingen standardfejl angivet. Note: I tabellen er vist de estimerede parametre for A matrix, µ vektor og diagonal Σ matrix for DNS modellen. Tallene i parentes er de estimerede standardfejl. DNS modellen er estimeret vha. OLS og med konstant λ. DNS modellen viser generelt meget signifikante resultater. Estimaterne for µ og A er i overensstemmelse med det observerede rentedata. A viser at de tre faktorer er meget persistente, med Xt 1, som den mest persistente, og Xt 3, som er den mindst persistente. DNS modellen angiver λ = 0, 4278, hvilket svarer til et maksimum på krumning ved 4,2 år. Side 47 af 83

55 I tabel 7.3 er parametreestimaterne fra AFNS modellen vist. Tabel 7.3: Parametreestimater fra AFNS modellen K matrix Middel K P,1 K P,2 K P,3 θ K1, P 0, ,0636 (0,0589) (0,0204) K2, P 0 0, ,0352 (0,1453) (0,0084) K3, P 0 0 0,4472 0,0255 (0,2343) (0,0107) Σ matrix Lambda Σ P,1 Σ P,2 Σ P,3 λ Σ P 1, 0, ,3186 (0,0004) (0,0089) Σ P 2, 0 0, (0,0006) Σ P 3, 0 0 0,0237 (0,0014) Note: I tabellen er vist de estimerede parametre for K P matrix, θ P vektor og diagonal Σ matrix for AFNS modellen. Tallene i parentes er de estimerede standardfejl. Maksimum log-likelihoodværdien er 16088,95. For det første ses det, at estimaterne ikke er så signifikante, som i DNS modellen. Tydeligst er det, at K P 11 ikke er signifikant. Dette indikerer, at en restriktion af K P 11 til at være en enhedsrod i SR modellerne ikke er et problem. For K P 22 og K P 33 er estimaterne borderline signifikante på et 5% signifikansniveau. K P matricen viser, i overenstemmelse med data, at krumning er mest mean reverting, mens niveau er mindst. Igen viser middelvædierne for faktorerne et niveau, som passer til rentedataet. Chokkene til faktorerne er størst på krumning og mindst på niveau, hvilket vil sige, at der kommer flest choks på krumningsfaktoren. AFNS modellen angiver λ = 0, 3186, hvilket svarer til et maksimum på krumning ved 5,6 år. Side 48 af 83

56 I tabel 7.4 er parametreestimaterne fra SR fast modellen vist. Tabel 7.4: Parametreestimater fra SR fast modellen K matrix Middel K P,1 K P,2 K P,3 θ K P 1, K2, P 0 0, ,0356 (0,1682) (0,0105) K3, P 0 0 0,5710 0,0414 (0,1852) (0,0087) Σ matrix Lambda Σ P,1 Σ P,2 Σ P,3 λ Σ P 1, 0, ,3535 (0,0004) (0,0112) Σ P 2, 0 0, (0,0007) Σ P 3, 0 0 0,0218 (0,0013) Note: I tabellen er vist de estimerede parametre for K P matrix, θ P vektor og diagonal Σ matrix for SR fast modellen, hvor r min = 0, 787%. Tallene i parentes er de estimerede standardfejl. Maksimum loglikelihoodværdien er 16098,03. SR fast er restrikteret til, at have en enhedsrod på K11 P og θ1 P er sat til nul, hvorfor der ikke er nogle standardfejl på disse. Igen ses det at K22 P og K33 P har en mean reverting effekt, som er størst på K33. P Værdien for θ3 P er nu væsentlig lavere end i DNS og AFNS modellen. SR fast modellen angiver λ = 0, 3535, hvilket svarer til et maksimum på krumning ved 5,1 år. Side 49 af 83

57 I tabel 7.5 er parametreestimaterne fra SR fri modellen vist. Tabel 7.5: Parametreestimater fra SR fri modellen K matrix Middel K P,1 K P,2 K P,3 θ K P 1, K2, P 0 0, ,0301 (0,1631) (0,0129) K3, P 0 0 0,5091 0,0428 (0,1646) (0,0095) Σ matrix Lambda Σ P,1 Σ P,2 Σ P,3 λ Σ P 1, 0, ,3818 (0,0004) (0,0118) Σ P 2, 0 0, (0,0006) Σ P 3, 0 0 0,0215 (0,0012) Note: I tabellen er vist de estimerede parametre for K P matrix, θ P vektor og diagonal Σ matrix for SR fri modellen, hvor r min er estimeret. Den estimerede værdi af r min er 0, 40% (0, 0001). Tallene i parentes er de estimerede standardfejl. Maksimum loglikelihoodværdien er 16113,07. SR fri modellen angiver λ = 0, 3818, hvilket svarer til et maksimum på krumning ved 4,7 år. De estimerede parametre i SR fri modellen ligner meget dem fra SR fast, og det er netop også kun r min, som er forskellig mellem modellerne. Den nedre grænse estimeres til at være -40 basispoint og signifikant, mod de fastsatte -78,7 basispoint i SR fast. Dette viser, at ved en fri estimering af den nedre grænse er værdien næsten halveret. SR fri har en log-likelihoodværdi på ,07 mod de ,03 i SR fast. Da SR fast er indeholdt i SR fri kan vi teste på forskellen med en log-likelihood ratio test, hvor nulhypotesen er ingen forskel. Vi tester som LR = 2 [ln L (SR fri ) ln L (SR fast )] χ 2 (1) og får LR = 30, 08 med tilhørende p-værdi på mindre end 0,0001. Dette indikerer at forskellen mellem modellerne er meget signifikant. Selvom modellerne er estimeret forskelligt, så er dynamikken i modellerne den sam- Side 50 af 83

58 me og det er derfor muligt, at sammenligne mean reversion matricerne på tværs. I AFNS og SR modellerne kan vi omskrive de ellers kontinuerte modeller til diskrete 1 måneds betinget mean reversions matricer som exp ( ) K P Tabel 7.6 viser mean reversions matricerne fra de estimerede modeller, hvor DNS er gengivet igen for at lette sammenligningen. Der ses en tydelig mean reversions effekt i alle tre modeller, hvor det er tydeligt at niveau er mest persistent og krumning er mindst persistent blandt faktorerne. Tabel 7.6: Autoregressive modelparametre for DNS, AFNS og SR modellerne Mean reversion matrix, DNS Mean reversion matrix, AFNS 0, , , , , ,9634 Mean reversion matrix, SR fast Mean reversion matrix, SR fri 1, , , , , ,9585 Note: AFNS og SR modellerne er omskrevet til diskrete 1 måneds betingede mean reversions matricer som exp ( K 12) P 1. SR modellerne har forudsat enhedsrod, hvorfor værdien for niveau er 1. For bedre at vurdere modellernes evne til at fit renteudviklingen, ses der på insample fit på tværs af de tre modeller. Vi benytter RMSE (summen af de kvadrerede afvigelser), som mål for hvor godt modellerne passer på rentedata, hvilket betyder at vi antager en kvadratisk tabsfunktion. Det vil også være muligt at benytte MAE (middel absolut afvigelser), som betyder, at der antages en absolut tabsfunktion. Valget af RMSE er i tråd med gængs litteratur inden for renteforudsigelse. Tabel 7.7 viser middelværdien og RMSE for de fire modeller. Side 51 af 83

59 Tabel 7.7: In-sample fit Løbetid DNS AFNS SR fast SR fri MF RMSE MF RMSE MF RMSE MF RMSE 0,25 2,47 6,90 3,07 43,14 4,19 41,81 3,25 37,72 1 3,33 8,19 1,66 18,47 1,96 16,40 1,68 14,46 2 1,13 7,86 0,00 0,07 0,33 2,02 0,89 4,00 3 0,40 4,02 0,41 4,64 1,04 4,61 1,46 4,99 4 0,74 3,70 0,15 2,81 0,47 3,05 0,74 3,19 5 0,67 5,16 0,61 1,68 0,10 2,15 0,10 2,31 6 0,98 5,07 0,21 1,45 0,21 1,98 0,42 2,23 7 1,14 3,78 0,41 1,56 0,79 2,03 1,02 2,35 8 0,46 1,54 0,41 1,09 0,81 1,60 1,04 1,96 9 0,90 3,31 0,21 1,19 0,24 1,72 0,44 1, ,50 6,00 0,14 3,31 0,40 3,37 0,55 3,46 Note: MF = middelværdien på fejlene, RMSE = Root Mean Squared Errors. MF og RMSE er målt i basispoint. Estimationsperioden er fra 1994:12 til 2016:01. Der er ikke en model, som klart performer bedst, men der er en tendens til, at DNS er bedre på de korte løbetider, mens AFNS er bedre på de længere løbetider. Der hvor AFNS er bedre end DNS, er den væsentlig bedre. Det er forventeligt, at AFNS modellen har et bedre fit end DNS, da modellen har et ekstra led i form af rentejusteringsfaktoren. Jo flere parametre modellen består af, jo bedre vil in-sample fit blive. SR modellernes RMSE værdi er højere end AFNS. Desuden ses det at der er en tendens til, at SR fri har et dårligere fit end SR fast. Dette til trods for at der er en signifikant forskel i modellernes log-likelihood. Det er dog ikke nødvendigvis i in-sample fit, at SR modellerne vil levere de bedste resultater. Derimod betyder restriktionen om, at renten ikke kan komme under r min at modellerne kan efterligne den klæbrighed, som observeres på renterne i markedet. En af forudsætningerne for modellerne er, at de er gode til at estimere den gennemsnitlige rentekurve, hvorfor vi i figur 7.2 viser model fit på den gennemsnitlige rentekurve. Side 52 af 83

60 Figur 7.2: Gennemsnitlige rentekurver 0,045 0,040 Rente 0,035 0,030 Gennemsnitlig rentekurve DNS AFNS SR fri 0,025 0, Løbetid (år) SR fast Note: Grafen viser de tilpassede gennemsnitlige rentekurver for de estimerede modeller. Den gennemsnitlige rentekurve dækker perioden 1994:12 til 2016:01. Figur 7.2 viser, at forskellen mellem modellerne er minimale på de mellemlange renter, mens der er en lille forskel på de lange renter og en større forskel på de korte renter. På de korte renter ser vi den samme tendens, som i in-sample fit, nemlig at DNS er bedre til at fit den korte 3 måneders rente, mens AFNS og SR modellerne overestimerer. I figur 7.3 ses de samme udvalgte rentekurver benyttet i afsnit 2.4, men med de tilpassede rentekurver ud fra de fire estimerede modeller. Figuren viser, hvor gode modellerne er til at fit på de enkelte dage og de forskellige former der observeres på rentekurven. Generelt ses det at DNS modellen er bedre til at fit på den korte 3 måneders og lange 10-årige rente, mens AFNS og SR modellerne er bedre til at fit på de mellemlange renter. Side 53 af 83

61 Figur 7.3: Tilpassede rentekurver for udvalgte måneder ,10 0,060 0,09 Rente 0,08 0,07 Rentekurve DNS 0,06 AFNS SR fri SR fast 0,05 0, Rente 0,055 Rentekurve DNS AFNS SR fri SR fast 0,050 0, Løbetid (år) Løbetid (år) 0, ,050 0,02 0,045 Rente 0,040 0,035 Rentekurve DNS 0,030 AFNS SR fri 0,025 SR fast 0, Rente 0,01 Rentekurve DNS AFNS SR fri SR fast 0,00 0, Løbetid (år) Løbetid (år) Note: Graferne viser den faktiske rentekurve, og de tilpassede rentekurver. De tilpassede rentekurver er med modelparametre, der er estimeret ud fra perioden 1994:12 til 2016:01. Det er samme konklusion, som vi så i in-sample fit fra tidligere. AFNS og SR modellerne følger hinanden, men bl.a. d ses det at modellerne er vidt forskellige på de korte renter. Vi ser en tendens til at AFNS overestimerer den korte rente betydelig mere end SR modellerne, hvilket igen stemmer overens med in-sample fit. For at se nærmere på de fordele, som der findes ved at bruge en SR model frem for AFNS modellen, vil vi nu præsentere nogle resultater fra SR modellerne i den estimerede periode, som indeholder et lavrentemiljø. Vi sammenligner kun mellem AFNS og SR modellerne, da DNS er indeholdt i AFNS modellen. Vi vil først se på effekten af at estimere r min og derefter effekten af en skyggerentemetode frem for en gaussiske model. Side 54 af 83

62 8 Diskussion af r min Vi vil starte med at se nærmere på r min, som vi i SR fast antager er konstant og i SR fri estimerer sideløbende. Panel (a) i figur 8.1 viser, hvordan værdien af r min i SR fri udvikler sig igennem estimeringsperioden. Det ses at r min indtil midten af 2012 holder sig omkring den naturlige nedre grænse på nul. Herefter falder værdien i takt med, at renterne sænkes til et niveau omkring nul. Kort efter der observeres negative renter i datasættet, falder r min betydeligt. Figur 8.1: Estimater af r min og log-likelihood ratio test Parametre estimat 0,004 0,002 0,000 0,002 Negative renter observeres 0, (a) Estimater af r min 100 Log likelihood percentil af χ 2 fordeling med 1 frihedsgrad (b) Log-likelihood ratio tests Note: Panel (a) viser estimerede værdier af r min i perioden 2006:01 til 2016:01. Panel (b) viser log-likelihood ratio test på at restriktere r min til 0, 787% i perioden 2006:01 til 2016:01, baseret på månedlige genestimeringer. Panel (b) viser en log-likelihood ratio test mellem SR fri og SR fast for perioden 2006:01 til 2016:01. Vi tester med en χ 2 -fordeling med én frihedsgrad og finder, at Side 55 af 83

63 frem til 2012 er der ikke en signifikant forskel mellem modellerne. Grunden til dette er, at det først er i 2012, at renterne falder til et niveau omkring nul. Først her får den nedre grænse betydning for modellens evne til at beskrive renten. Forskellen mellem modellerne tyder på, at den fastsatte konstant for r min i SR fast er sat for lavt i den første del af perioden. Den fastsatte konstant har ingen effekt før 2015, hvor den faktiske værdi på -0,787% er observeret. Det er kun kortvarigt, at SR fri ikke er signifikant bedre, da det i figur 8.1 panel (b) ses at SR fri slutningsvis bliver signifikant igen. Det ser således ud til, at der for det meste af den estimerede periode er en gevinst ved, at benytte en estimeret værdi af r min, selvom in-sample fit viste det modsatte. 8.1 Effekten af den nedre grænse Vi vil nu se nærmere på de effekter vi finder ved at estimere en skyggerente frem for en gaussisk model. Den gaussiske AFNS model vil i et lavrentemiljø have en stor sandsynlighed for at estimere forudsigelser, som er urealistiske. Figur 8.2 viser projektioner for den korte rente for hhv. AFNS og SR fast modellen. Figuren viser, hvordan projektionerne fra AFNS (øverst) kan blive urealistisk negative, mens SR fast med den nedre grænse forhindrer dette. Ved at bruge en SR model vil sandsynligheden for at komme under den nedre grænse være lig nul. Vi får derved en asymmetrisk fordeling af den korte rente og ikke en normalfordeling, som ved de gaussiske rentemodeller (Krippner, 2015). Dette bevirker, at vi i højere grad er i stand til at beskrive rentestrukturen i et lavrentemiljø. Side 56 af 83

64 Figur 8.2: Projekterede kortrentestier AFNS 0,06 0,04 Rente 0,02 0,00 0,02 0, Perioder SR 0,06 0,04 Rente 0,02 0,00 0,02 0, Perioder Note: Øverst er projektionsstier beregnet ud fra AFNS modellen med de estimerede paramtre for den fulde stikprøve. Nederst er de tilsvarende diffusionsstier afkortet til r min = 0, 787%. Den korte rente er defineret i AFNS og SR fast, som hhv. r t = Xt 1 + Xt 2 og r t = max(r min, s t ), hvor s t = Xt 1 + Xt 2. Vi vil ligeledes se på værdien af den beregnede option, som tillægges skyggerenten. For at modellen fungerer optimalt, skal værdien af optionen være stort set nul i normale rentemiljøer, mens værdien stiger jo tættere renten kommer på den nedre grænse. I figur 8.3 ses den beregnede værdi af optionen på den 1 og 10-årige rente for perioden 2006:01 til 2016:01 ud fra rullende genestimeringer af modellen. Vi følger Christensen & Rudebusch (2013) og sætter værdien af optionen til at være forskellen mellem renten, der observerer den nedre grænse, y t (τ), og renten som ikke gør, y t (τ). Side 57 af 83

65 Figur 8.3: Beregnet optionsværdi på at holde kontanter årige rente 10 årige rente Basispoint Negative renter observeres Note: Værdien af optionen er beregnet ud fra SR fri modellen i realtid i perioden 2006:01 til 2016:01. Værdien af optionen sættes, som forskellen på renten fra SR fri modellen der observerer den nedre grænse og skyggerenten, som ikke gør. Ud fra figur 8.3 ses det at værdien af optionen på den 1 og 10-årige rente er nul i et normalt rentemiljø, men efter finanskrisens begyndelse ses der en stigning i værdien af optionen. Når vi i datasættet observerer negative renter, stiger optionsværdien for alvor, da det nu bliver sandsynligt, at y t (τ) vil bryde den nedre grænse. De meget høje niveauer på optionsværdien indikerer, at det vil have væsentlig betydning, hvorvidt renteforudsigelserne modelleres med en model, som kan håndtere den nedre grænse eller ej. Ved at have fastsat en nedre grænse for værdien af renten betyder det, at en SR model vil levere asymmetriske udfald ved simulering i et lavrentemiljø. I figur 8.4 er der vist en simulering af den 1 og 10-årige rente på hhv. AFNS og SR fast modellen. Simuleringen viser, hvordan modellerne opfører sig i et lavrentemiljø. Panel (a) viser simuleringen ud fra AFNS modellen. Her ses pæne klokkeformer, som netop viser at modellen er gaussisk og derfor har et bredt udfaldsrum, selv når renten er meget negativ. Bemærk særligt at vi ser udfald på den 1-årige rente på helt ned til -6% i rente på en 12 måneders forudsigelseshorisont. Side 58 af 83

66 Figur 8.4: Forudsigelse af 1 og 10-årige rente efter 12 måneder 1 årige rente 10 årige rente Frekvens 2000 Frekvens ,07 0,05 0,03 0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 0,07 0,05 0,03 0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 Rente Rente (a) 1 årige rente 10 årige rente Frekvens Frekvens ,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 Rente 0 0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 Rente (b) Note: Histogram af forudsagte 1 og 10-årige renter, 12 måneder frem, med start fra 2016:01 og ved brug af simuleringsstier. Panel (a) viser renteforudsigelserne beregnet med AFNS modellen og panel (b) viser renteforudsigelserne beregnet med SR fast modellen, hvor r min = 0, 787%. Panel (b) viser samme simulering, men foretaget ved SR fast modellen, hvor det nu ses at modellen håndterer den nedre grænse. Dette gør fordelingen meget højreskæv ved den 1-årige rente, mens den 10-årige rente har et mere normalfordelt udfaldsrum. Det sidste kommer sig af at en SR models evne til at give asymmetriske udfald, betyder at modellen er bedre til, at håndtere den klæbrighed, som observeres i et lavrentemiljø. Der observeres en tendens til at renten har svært ved at stige i et lavrentemiljø. Dette kan ikke genskabes i en gaussisk model, hvorfor forudsigelsesresultater her vil være misvisende. Det asymmetriske udfaldsrum betyder, at en SR model får en volatilitet, som varierer over tid, modsat AFNS modellen, som har en konstant volatilitet. SR modellens tidsvarierende volatilitet ses tydeligt i figur 8.5, hvor både SR fri og SR fast har en volatilitet der varierer over Side 59 af 83

67 tid 20. Det er også tydeligt, at effekten af at estimere r min, giver en væsentlig tættere sammenhæng mellem den realiserede volatilitet og SR modellen. De beregnede korrelationer mellem den realiserede volatilitet og SR modellerne er 0,18 og 0,36 for hhv. SR fast og SR fri. Figur 8.5: 3 mdr. betinget volatilitet siden AFNS SR fast SR fri 3 mdr. realiseret volatilitet Basispoint Note: Beregnet 3 mdr. betinget volatilitet på den 1-årige rente, for modellerne AFNS, SR fast og SR fri. Ligeledes er den realiseret 3 mdr. volatilitet på den 1-årige rente vist. Ydermere ses det at volatiliteten for SR modellerne er fast i et normalt rentemiljø, hvilket er tilfældet da skyggerenten følger AFNS. Effekten af den stokastiske volatilitet kommer derfor først, når renten nærmer sig den nedre grænse og ud fra figur 8.5 ses, at effekten begynder efter faldet i renteniveauet i For AFNS modellen er den betingede volatilitet beregnet, som kvadratroden af V P t [ y N T (τ) ] = 1 τ 2 B (τ) V P t [X T ] B (τ), (8.1) hvor T t er forudsigelsesperioden, τ er løbetiden, B (τ) er faktor-loadings og V P t [X t ] er den betingede kovariansmatrix af faktorerne beregnet ud fra Christensen & Rudebusch (2013). I SR modellen beregnes betinget volatilitet vha. Monte Carlo simulering, da renterne ikke er lineære funktioner af faktorerne. Vi simulerer derfor 1000 træk direkte på den ønskede horisont ud fra at X n T N ( E P t [X T ], V P t [X T ] ), n = 1,..., 1000, hvor E P t [X T ] er den betingede værdi af X T under P målet, og V P t [X T ] er den 20 Volatiliteten på AFNS er i modelspecifikationen konstant, og de mindre udsving der ses i figur 8.5 er blot en opdatering af de estimerede parametre. Side 60 af 83

68 betingede varians under P målet. Dermed beregnes den betingede rente volatilitet som hvor V P t [y T (τ)] = 1 N [y (XT n, τ) ȳ (X T, τ)] 2, (8.2) N 1 n=1 ȳ (X T, τ) = 1 N y (XT n, τ). N n=1 Den realiserede volatilitet er beregnet som RV ST D t,τ = N yt+n 2 (τ), (8.3) n=1 hvor N = 3 og y t+n (τ) er ændringen i renten y (τ) fra tiden t + n til t + n Out-of-sample forudsigelse Vi ønsker at finde en model, som producerer gode forudsigelser af rentestrukturen. Vi kan sammenligne de forskellige modellers forudsigelsesevne vha. et out-of-sample fit. For at evaluere modellernes performance, sammenlignes de med to benchmark, en random walk (RW) og en AR(1) proces. Vi opdeler renteobservationerne i to, hvor den første del bruges til in-sample fit og den anden del benyttes til out-of-sample fit. In-sample perioden går fra 1994:12 til 2005:12, mens out-of-sample perioden går fra 2006:01 til 2016:01. Vi har valgt de to perioder således, at der er en lille overvægt af observationer i in-sample perioden i tråd med Diebold & Li (2006). In-sample perioden indeholder flere observationer, fordi vi vil sikre at modellerne bliver kalibreret med så mange observationer som muligt. Vi har ligeledes valgt, at vores out-of-sample periode skal indeholde observationer fra både før og efter lavrentemiljøet. Derudover har vi valgt, at analysere på to delperioder ud af out-of-sample perioden. Den første indeholder observationer, hvor renten befinder sig i et normalt rentemiljø, som vi sætter til at være perioden fra 2006:01 til 2011:12. Den anden indeholder observationer fra et lavrentemiljø, som vi sætter til at være fra 2012:01 til 2016:01. Delperioderne gør det muligt at se, hvilke modeller der håndterer lavrentemiljøet bedst. I lavrentemiljøet vil vi forvente, at SR modellen leverer de bedste renteforudsigelser, mens vi har en forventning om, at der ikke vil være forskel på modellerne i perioden med et normalt rentemiljø. I in-sample fit fandt vi, at AFNS, overordnet set, havde det bedste fit. Dette giver dog ingen indikation på hvordan modellen vil klare sig i et out-of-sample fit, da der ofte er et trade-off mellem in-sample og out-of-sample performance. Modeller der Side 61 af 83

69 leverer et godt in-sample fit vil ikke nødvendigvis levere et godt out-of-sample fit, da der er risiko for overfitting (De Pooter, 2007). 9.1 Beskrivelse af procedure for renteforudsigelse Forudsigelsesmetoden kan beskrives ved at tage udgangspunkt i en 1-måneds forudsigelse. Vi starter med at estimere modelparametrene for perioden 1994:12 til 2005:12, som dækker in-sample. Med udgangspunkt i disse parametre forudsiges renten én periode frem til 2006:01. Herefter udvider vi in-sample dataet med den nye observation. Vi udfører en rullende genestimering af modellerne, så vi sikre at forudsigelsen af t + 1 udelukkende foretages med data kendt til tiden t 21. Proceduren er den samme for 3, 6 og 12 måneders forudsigelser, hvor den eneste forskel er, at out-of-sample perioden formindskes med hhv. 3, 6 og 12 måneder. Da alle tre modeller bygger på NS fremstillingen, er rentestrukturen dermed kun afhængig af faktorerne, hvilket betyder at en renteforudsigelse er ækvivalent med at forudsige disse variable. Forudsigelsen udføres således ved at forudsige faktorerne h periode(r) frem, hvorefter Xt+h, 1 Xt+h 2 og Xt+h 3 indsættes i måleligningen og renteforudsigelsen beregnes. Vi bruger Kalman filteret til at filtrere vores faktorer, som derefter forudsiges med faktordynamikken. Renteforudsigelse i DNS er givet som følgende ŷ t+h (τ) t = E P t +E P t [ ] [ ] ( ) X 1 t+h + E P t X 2 1 exp ( λτ) t+h λτ [ ] ( ) X 3 1 exp ( λτ) t+h exp ( λτ), (9.1) λτ hvor vi forudsiger X 1 t, X 2 t og X 3 t ud fra en AR(1) dynamik i faktorerne som E P t [X t+h ] = µ + A h X t, (9.2) hvor µ er en (3 1) vektor med gennemsnittet af hver af de tre latente faktorer, A er en (3 3) diagonal matrix med de autoregressive parametreværdier. 21 Den rullende genestimering betyder, at vi foretager 121 estimationer af modellerne, hvilket har vist sig at være meget beregningstungt. Især for SR modellen som estimeres med et udvidet Kalman filter. Side 62 af 83

70 Renten ved en t + h forudsigelse i AFNS er ŷ t+h (τ) t = E P t [y t+h (τ)] = E P t +E P t Vi forudsiger faktorerne som [ X 3 t+h ] ( 1 exp ( λτ) λτ [ ] ( ) X 2 1 exp ( λτ) t+h λτ exp ( λτ) ) C(τ). (9.3) τ E [X t+h ] = ( I exp ( K P t )) θ P + exp ( K P t ) X 0. (9.4) Vi bruger følgende input til renteforudsigelsen ˆK P, ˆΣ, ˆθ P, ˆλ og filtreret ˆX t. I SR modellen er dynamikken den samme som i AFNS, men i SR modellen kan vi ikke længere antage, at faktorerne er normalfordelte. Derfor simuleres X t+h 1000 gange for hvert forudsigelsestrin som X n t+h N ( E P t [X t+h ], V P t [X t+h ] ) n = 1,..., 1000, hvor vi bruger ˆK P, ˆΣ, ˆθ P, ˆλ og filtreret ˆX t, samt r min i SR fri modellen. Derved kan den betingede rente beregnes som ŷ t+h (τ) t = E P t [y t+h (τ)] = 1 N N ŷ ( Xt+h, n τ ). (9.5) n=1 Herved har vi opstillet de tre procedurer for renteforudsigelse i modellerne. For at vi kan måle, hvor godt modellerne forudsiger, skal vi sammenligne de forudsagte renter, med de faktisk observerede, hvilket er defineret, som forudsigelsesfejlen og kan skrives som e t+h (τ) = y t+h (τ) ŷ t+h (τ). (9.6) Vi benytter RMSE til at måle størrelsen af fejlene og ved at bruge en Diebold- Mariano test kan vi teste, om RMSE er forskellig modellerne imellem. Diebold & Mariano (1995) forslår en test, der tager udgangspunkt i tabsfunktionen, som beskriver tabet af at lave en forkert forudsigelse. Hvis e 1,t+h er forudsigelsesfejlen for model 1 og e 2,t+h er forudsigelsesfejlen for model 2, så er Diebold-Mariano teststatistikken baseret på forskellen d = 1 H [ e 2 h 1,t+h e2,t+h] 2 (9.7) h=1 hvor h er forudsigelsesperioder. Nulhypotesen er, at forudsigelsesresultaterne er lig hinanden, altså at den forventede værdi af d er lig nul. Side 63 af 83

71 9.2 Benchmarkingmodeller I tabel 9.1 præsenterer vi resultatet for de tre modellers forudsigelsesevne, hvor vi benchmarker resultaterne mod en RW og en AR(1) proces. RW er givet som følgende ŷ t+h (τ) = y t (τ) + ε t (9.8) Forudsigelsen, som RW giver, er altid ingen forandring. Dette betyder, at vi altid forudsætter, at den fremtidige rente er lig med renten idag. AR(1) er givet som følgende ŷ t+h (τ) = ˆγ 0 + ˆγ h 1 y t (τ). (9.9) AR(1) er valgt, fordi det er interessant at undersøge om processen brugt direkte på renten forudsiger bedre end DNS, AFNS og SR, som har en AR(1) dynamik. Tidligere litteratur har vist at de estimerede NS modeller kan levere bedre forudsigelser end benchmarkingmodellerne (se bl.a. Diebold & Li (2006), Christensen et al. (2011) og Christensen & Rudebusch (2015a)). 9.3 Hele perioden I evalueringen af forudsigelsesevnen er vi interesseret i to overordnede spørgsmål. For det første, hvilken af de estimerede modeller har den bedste forudsigelsesevne, og for det andet, kan de estimerede modeller gøre det bedre end benchmarkingmodellerne? I tabel 9.1 viser vi både middelværdien på forudsigelsesfejlen og RMSE. Middelværdien viser om modellerne over- eller underestimerer, mens RMSE bruges til at evaluere modellernes performance. Som forventet finder vi, at det er lettere at forudsige renter på en kort forudsigelseshorisont, end på en lang forudsigelseshorisont. Dette ses ved at RMSE er lavere for en 1-måneds forudsigelse end en 12-måneders forudsigelse. Det gælder generelt for alle modeller, også for benchmarkingmodellerne. Side 64 af 83

72 Tabel 9.1: Out-of-sample fit Forudsigelseshorisont i måneder h = 1 h = 3 h = 6 h = 12 Model MF RMSE MF RMSE MF RMSE MF RMSE 3 måneders rente RW 2,1 24,2 7,0 44,1 15,0 70,5 36,6 110,4 AR(1) 2,7 24,5 2,4 45,0 8,7 71,9 13,8 105,8 DNS 7,0 25,0 8,9 43,9 11,2 67,9 18,1 99,1 AFNS 12,9 43,3 20,1 46,6 31,5 70,5 59,8 112,3 SR fast 11,7 44,9 17,7 47,9 27,1 69,8 51,9 108,7 SR fri 1,9 39,4 7,3 40,3 16,2 62,9 38,2 103,3 1 års rente RW 2,5 20,7 8,3 41,9 17,4 69,7 40,1 106,6 AR(1) 2,8 21,0 1,4 42,4 6,5 69,6 10,7 100,1 DNS 0,5 22,8 8,0 45,7 16,2 72,7 29,5 103,9 AFNS 5,1 23,1 14,4 39,4 28,5 69,7 61,3 112,9 SR fast 2,7 22,6 9,8 37,7 20,9 66,1 47,9 106,6 SR fri 1,2 22,0 7,2 35,8 17,0 63,7 40,6 103,6 2 års rente RW 2,6 21,2 8,4 43,3 17,9 69,0 40,5 97,6 AR(1) 4,7 21,7 3,8 44,6 13,5 71,8 25,3 100,7 DNS 3,2 25,3 13,8 50,1 25,5 76,1 41,5 103,7 AFNS 5,1 21,9 15,7 45,7 32,0 74,3 67,5 112,2 SR fast 3,6 21,7 11,1 44,0 23,1 70,1 51,0 104,1 SR fri 5,0 22,5 11,2 43,8 21,8 69,0 46,4 102,2 3 års rente RW 2,6 22,0 8,3 44,4 17,8 69,2 39,9 91,7 AR(1) 4,7 22,6 4,6 45,6 16,0 72,4 31,1 99,9 DNS 5,6 25,0 16,8 50,5 29,1 76,4 44,4 101,5 AFNS 5,3 23,4 16,5 47,2 33,6 75,1 70,1 109,9 SR fast 4,2 23,3 11,8 45,6 24,1 70,8 51,9 100,8 SR fri 5,7 24,0 12,2 45,4 23,2 69,8 48,4 99,1 4 års rente RW 2,6 22,3 8,1 43,3 17,5 66,6 39,1 88,0 AR(1) 5,0 22,9 5,8 44,8 19,2 71,5 38,0 101,7 DNS 6,6 24,2 17,2 48,7 28,5 73,9 41,6 98,3 AFNS 5,1 22,7 16,3 45,5 33,7 72,7 70,2 107,4 SR fast 3,9 22,8 11,4 44,0 23,8 68,3 51,2 97,9 SR fri 4,9 23,3 11,5 43,7 22,9 67,4 48,4 96,4 tabellen fortsættes Side 65 af 83

73 Tabel 9.1: Out-of-sample fit (fortsat) Forudsigelseshorisont i måneder h = 1 h = 3 h = 6 h = 12 Model MF RMSE MF RMSE MF RMSE MF RMSE 5 års rente RW 2,5 22,0 7,9 41,3 17,2 63,4 38,4 84,3 AR(1) 4,7 22,5 5,8 42,7 19,0 68,0 38,3 98,0 DNS 6,8 24,1 16,1 47,2 26,0 71,1 36,3 94,3 AFNS 5,0 22,5 16,1 44,2 33,4 70,5 69,5 105,1 SR fast 3,5 22,5 11,0 42,7 23,3 66,3 50,1 95,5 SR fri 4,1 22,8 10,9 42,4 22,5 65,4 47,9 94,2 6 års rente RW 2,5 22,3 7,7 40,6 16,8 62,0 37,5 81,7 AR(1) 4,6 22,7 6,4 41,9 20,2 66,9 41,3 97,2 DNS 6,9 24,5 14,8 46,2 22,9 68,9 30,4 90,6 AFNS 5,5 22,8 16,3 43,7 33,4 69,6 68,8 103,6 SR fast 3,9 22,8 11,2 42,4 23,2 65,6 49,5 94,1 SR fri 4,3 23,0 11,0 42,1 22,6 64,8 47,8 93,0 7 års rente RW 2,4 22,3 7,4 39,8 16,4 60,7 36,5 80,2 AR(1) 4,2 22,6 6,2 40,8 19,4 64,7 40,1 93,7 DNS 6,6 24,6 13,0 45,2 19,3 66,9 24,1 87,5 AFNS 6,0 23,2 16,6 43,4 33,2 68,9 67,8 102,5 SR fast 4,4 23,1 11,5 42,2 23,2 65,1 48,8 93,3 SR fri 4,7 23,3 11,4 42,0 22,8 64,4 47,5 92,4 8 års rente RW 2,4 22,3 7,2 39,5 15,9 60,2 35,6 79,1 AR(1) 4,2 22,6 6,7 40,5 20,5 64,3 42,7 93,8 DNS 5,3 24,4 10,2 44,0 14,9 64,6 17,2 84,1 AFNS 5,7 23,2 15,9 42,9 32,2 67,9 65,8 100,8 SR fast 4,2 23,2 11,0 41,8 22,4 64,3 47,3 91,9 SR fri 4,6 23,4 11,1 41,7 22,2 63,8 46,4 91,2 9 års rente RW 2,3 22,4 6,9 39,1 15,4 59,4 34,7 77,9 AR(1) 3,8 22,6 6,5 39,9 19,6 62,5 40,8 90,1 DNS 3,1 24,5 6,7 42,8 9,9 62,5 9,9 81,0 AFNS 4,6 23,2 14,5 42,3 30,3 66,6 63,1 98,4 SR fast 3,3 23,2 9,8 41,4 20,9 63,3 45,0 89,9 SR fri 3,8 23,4 10,1 41,3 21,0 62,8 44,4 89,3 tabellen fortsættes Side 66 af 83

74 Tabel 9.1: Out-of-sample fit (fortsat) Forudsigelseshorisont i måneder h = 1 h = 3 h = 6 h = 12 Model MF RMSE MF RMSE MF RMSE MF RMSE 10 års rente RW 2,2 22,9 6,7 39,5 14,9 59,7 33,8 78,5 AR(1) 3,6 23,1 6,8 40,1 20,1 62,7 41,9 90,2 DNS 1,6 24,9 4,1 42,3 5,9 61,6 4,0 80,0 AFNS 4,2 23,3 13,7 42,1 29,1 66,3 61,1 97,8 SR fast 3,1 23,4 9,3 41,3 20,1 63,3 43,5 89,6 SR fri 3,7 23,6 9,8 41,3 20,4 62,9 43,2 89,1 Note: MF = middelværdien på forudsigelsesfejlene, hvilket udregnes som 1 n (y i ŷ i ). 1 n RMSE = Root Mean Squared Errors og beregnet som n i=1 (y i ŷ i ) 2. MF og RMSE er målt i basispoint. Tabellen viser DNS, AFNS og SR modellernes evne til at forudsige, samt RW og AR(1). Forudsigelserne er på 1, 3, 6 og 12 måneders horisont. Overordnet set er det ikke muligt for de estimerede NS modeller at levere forudsigelser, som performer bedre end en RW jf. tabel 9.1. Dog finder vi, at der ikke er mange basispoint mellem de estimerede modeller og RW, når renten forudsiges 1, 3 og 6 måneder frem. På en 1-måneds forudsigelseshorisont finder vi, at de estimerede modeller ligger forholdsvis langt fra RW på de fleste løbetider. Dette kan underbygges med en Diebold-Mariano test, som viser at modellerne er signifikant forskellig fra RW på en del løbetider. Især DNS skiller sig ud ved at være signifikant dårligere end RW helt ned på et 1% signifikansniveau 22. En 3- og 6-måneders forudsigelse viser, at det er muligt for DNS, AFNS og SR fri at opnå en lavere RMSE end RW på 3 måneders renten og 1-års renten. En test viser dog at forskellen ikke er signifikant. Vi ser at forskellen mellem RW og DNS igen er stor på de mellemlange og lange løbetider. For AFNS og SR modellerne er forskellen til RW meget lille, og forskellen er heller ikke signifikant. Den sidste forudsigelseshorisont er 12 måneder frem, her finder vi igen at modellerne ikke kan gøre det bedre end en RW, og især resultatet fra AFNS ligger langt fra. En Diebold-Mariano test viser, at AFNS er signifikant dårligere end RW på denne horisont, mens der ikke er forskel på en RW og de resterende modeller. Middelværdien af fejlene på RW er positive, hvilket betyder at RW modellen underestimerer renten og underestimeringen stiger med forudsigelseshorisonten. En sammenligning mellem modellerne og AR(1) processen jf. tabel 9.1 viser, at på en 1 måneds forudsigelse er det ikke muligt for modellerne at gøre det bedre end 22 En tabel over Diebold-Mariano teststatistikken for forudsigelsesnøjagtighed mellem RW og NS modellerne findes i appendiks B. Side 67 af 83

75 AR(1) processen. På 3, 6 og 12-måneders forudsigelse er det overordnet set muligt for SR fri og SR fast at gøre det bedre end dette benchmarking. DNS kan gøre det bedre end AR(1) på den lange 12-måneders forudsigelse. Derudover er det ikke muligt for hverken DNS eller AFNS at gøre det bedre end en AR (1) proces udført direkte på data. Middelværdien af fejlene for AR(1) processen er negative for den første forudsigelsesperiode, hvilket betyder at modellen overestimerer renten. For de resterende forudsigelsesperioder bliver middelværdien positiv, og processen underestimerer renten. Til sidst laves der en sammenligning modellerne imellem, hvor vi her vælger at vise Diebold-Mariano teststatistikken i tabel 9.2. Statistikken bruges til at konkludere om forskellen imellem modellerne er signifikant. Jo længere forudsigelseshorisonten er, jo svære er det at finde en signifikant forskel jf. ligning (9.7). Modelsammenligningen viser, at SR fri har den bedste forudsigelsesperformance på langt de fleste løbetider. Specielt på de helt korte løbetider er SR fri markant bedre end de andre modeller, hvilket bekræftes med en Diebold-Mariano test. Testen viser, at SR fri er signifikant bedre til at forudsige de korte løbetider jf. tabel 9.2. Side 68 af 83

76 Tabel 9.2: Evaluering af modellerne mod hinanden Løbetid Side 69 af 83 0, måned frem DNS vs. AFNS 5,01 0,16 3,61 3,46 4,12 4,03 4,32 4,50 3,80 3,09 2,79 DNS vs. SR fast 5,17 0,12 3,78 3,27 4,28 4,42 4,59 4,72 3,81 2,96 2,52 DNS vs. SR fri 3,69 0,37 2,58 1,55 2,18 3,13 3,52 3,55 2,74 2,20 1,97 AFNS vs. SR fast 2,95 2,07 1,31 0,13 0,27 0,01 0,11 0,37 0,39 0,28 0,22 AFNS vs. SR fri 2,39 1,14 1,35 1,74 1,50 0,88 0,57 0,41 0,54 0,66 0,99 SR fast vs. SR fri 3,04 0,64 1,93 2,24 1,86 1,34 1,00 1,03 1,29 1,41 1,38 3 måned frem DNS vs. AFNS 0,44 1,62 1,95 2,29 2,20 1,90 1,55 1,12 0,61 0,27 0,12 DNS vs. SR fast 0,64 2,11 2,75 3,80 4,32 3,82 3,31 2,80 1,92 1,15 0,65 DNS vs. SR fri 0,64 2,63 2,75 3,77 4,34 3,80 3,29 2,81 1,96 1,15 0,64 AFNS vs. SR fast 1,30 2,90 2,08 1,57 1,40 1,36 1,28 1,27 1,18 1,08 0,92 AFNS vs. SR fri 2,23 3,08 2,14 1,67 1,61 1,61 1,49 1,43 1,27 1,10 0,91 SR fast vs. SR fri 2,68 2,35 0,54 0,54 0,82 0,91 0,84 0,65 0,39 0,13 0,02 6 måned frem DNS vs. AFNS 0,39 0,57 0,41 0,29 0,26 0,12 0,15 0,42 0,65 0,76 0,79 DNS vs. SR fast 0,28 1,40 1,88 2,08 1,98 1,62 1,09 0,57 0,09 0,21 0,39 DNS vs. SR fri 0,99 1,98 2,16 2,27 2,10 1,74 1,25 0,74 0,24 0,10 0,29 AFNS vs. SR fast 0,58 2,82 1,81 1,55 1,48 1,49 1,50 1,54 1,53 1,50 1,42 AFNS vs. SR fri 1,83 3,08 2,24 1,92 1,85 1,82 1,80 1,79 1,74 1,67 1,59 SR fast vs. SR fri 1,96 2,15 1,75 1,65 1,64 1,58 1,53 1,44 1,32 1,14 1,03 12 måned frem DNS vs. AFNS 0,78 0,59 0,58 0,59 0,64 0,73 0,84 0,91 0,95 0,93 0,90 DNS vs. SR fast 0,51 0,18 0,04 0,07 0,04 0,12 0,33 0,49 0,60 0,63 0,63 DNS vs. SR fri 0,21 0,02 0,12 0,22 0,18 0,01 0,22 0,41 0,53 0,58 0,59 AFNS vs. SR fast 0,99 1,96 1,58 1,48 1,46 1,48 1,51 1,53 1,54 1,52 1,49 AFNS vs. SR fri 1,33 2,20 1,92 1,74 1,68 1,65 1,64 1,62 1,60 1,56 1,52 SR fast vs. SR fri 1,50 1,67 1,52 1,35 1,21 1,08 0,96 0,85 0,72 0,62 0,52 Note: Tabellen viser Diebold-Mariano teststatistik på forudsigelsesnøjagtighed, angivet som asymptotisk t-værdi. Modellerne er testet mod hinanden som (e 2 modeli e2 modelj ) i j, hvor i, j {DNS, AFNS, SR fast, SR fri }. Nulhypotesen er at modellerne har samme forudsigelsesfejl. Negative værdier betyder fejlene er mindre på model i., og angiver signifikans på hhv. 10, 5, og 1 procents niveau.

77 Når de to skyggerentemodeller sammenlignes, finder vi at SR fri performer bedre end SR fast, og på de korte løbetider er forskellen også signifikant. Dette kan forklares ved, at den nedre grænse i SR fast ligger så langt nede, at modellen ikke udnytter den asymmetriske dynamik. Når vi kigger nærmere på de lange løbetider, ser vi helt som forventet at forskellen mellem AFNS og SR modellerne er meget lille, og tabel 9.2 viser at forskellen ikke er signifikant. Det kan skyldes at SR modellerne ikke benytter den asymmetriske fordeling, fordi renten på de lange løbetider typisk ligger væsentlig over den nedre grænse. Dette er den samme konklusion, som vi fandt tidligere jf. figur 8.4. Her så vi, at den 10-årige rente er klokkeformet i SR fast modellen og det samme vil være gældende for SR fri modellen. I tabel 9.1 kan middelværdien på forudsigelsesfejlene for DNS, AFNS og SR modellerne aflæses. Her finder vi at alle modellerne systematisk overestimerer renten, da middelværdien er negativ, idet forudsigelsesfejlene er defineret som e t+h (τ) = y t+h (τ) ŷ t+h (τ). Vi har plottet forudsigelsesfejlene fra de forskellige modeller. Fejlene vil være lig nul, hvis vi har lavet en perfekt forudsigelse. Ud fra tabel 9.1 ved vi at fejlene for de korte forudsigelser vil ligge tættere omkring nul, mens de lange forudsigelseshorisonter vil ligge længere fra. Ud fra plottene kan vi ligeledes vurdere om modellerne konsekvent over- eller underestimerer renten. Figur 9.1 viser, at residualerne ligger forholdsvis tæt på nul på 1-måneds forudsigelsen. 3-måneders renten har de mest ekstreme fejl, og resultatet fra tabel 9.1 viser ligeledes, at vi har problemer med at forudsige denne løbetid. På plottet fra AFNS, SR fast og SR fri, ser vi at 3-måneders renten især afviger omkring Dette er perioden efter finanskrisen, hvor renteniveauet falder og 3-månedersrenten tager det mest markante fald. De estimerede modeller har ikke kunne håndtere dette kraftige fald. Side 70 af 83

78 Figur 9.1: Residualplot for 1-måneds forudsigelse DNS AFNS mdr. 5 år 10 år mdr. 5 år 10 år Basispoint Basispoint SR fast SR fri mdr. 5 år 10 år mdr. 5 år 10 år Basispoint Basispoint Note: Forudsigelsesfejl y t+1 ŷ t+1 for henholdsvis 3 måneds renten, 5 års renten og 10 års renten på en 1-måneds forudsigelse og målt i basispoint. Figur 9.2 viser at forudsigelsesfejlene, som forventet, bliver større når renten skal forudsiges på en lang horisont. Plottene viser igen, at vi har sværest ved at forudsige 3-måneders renten, hvor der igen er problemer med det kraftige rentefald efter finanskrisen. Det er ligeledes tydeligt, at modellerne op til 2009 underestimerer renten, og efter 2009 overestimeres renten. En nærmere analyse af AFNS og SR viser at forudsigelsesfejlene indtil lavrentemiljøet er identiske, hvilket er helt som forventet, da modellerne er ens i et normalt rentemiljø. Fra 2015 til 2016 er forudsigelsesfejlene af AFNS og SR fri forskellige, hvor fejlene for SR fri ligger tættere på nul. Især ses det at SR fri håndterer udviklingen i 3-månedersrenten bedre end AFNS og SR fast. Igen på disse plot bliver det også tydeligt, at SR fast ikke gør brug af den nedre grænse, da forudsigelsesfejlene mellem AFNS og SR fast er næsten identiske gennem hele perioden Residualplottene for en 3 og 6 måneds forudsigelsesperiode kan ses i appendiks C Side 71 af 83

79 Figur 9.2: Residualplot for 12-måneds forudsigelse DNS AFNS Basispoint mdr. 5 år 10 år Basispoint mdr. 5 år 10 år SR fast SR fri Basispoint mdr. 5 år 10 år Basispoint mdr. 5 år 10 år Note: Forudsigelsesfejl y t+12 ŷ t+12 for henholdsvis 3 måneds renten, 5 års renten og 10 års renten på en 12-måneds forudsigelse og målt i basispoint. Konklusionen på vores forudsigelsesresultater er, at RW har den bedste performance. Dette betyder, at vi forventer renten i gennemsnit vil forblive på det samme niveau. Da renten pt. er negativ, implicerer det, at der er en negativ ligevægt for renten, hvilket er urealistisk fra et økonomisk synspunkt. De estimerede modeller giver derfor et bedre bud på den fremtidig rente, da de tager udgangspunkt i nogle observerede karakteristika. Her har SR fri vist sig at forbedre forudsigelsesperformance på de korte løbetider, mens modelforskellen på de lange løbetider ikke er signifikant. På amerikansk og japansk data finder Christensen & Rudebusch (2015a) at en SR model konsekvent er bedre end AFNS. Disse klare resultater finder vi ikke på dansk data. Dette kan forklares med at de danske renter har været på det laveste niveau i en kort periode, mens de amerikansk og japanske renter har bevæget sig omkring nul i en længere periode (Christensen et al., 2016). Modelsammenligningen indtil nu har taget udgangspunkt i hele perioden fra 2006:01 til 2016:01. Vi foretager en tilsvarende modelsammenligning i en periode, hvor vi udelukkende har oplevet et lavrentemiljø og en periode med et normalt rentemiljø, for bedre at se effekten af en SR model. Side 72 af 83

80 9.4 Periode med lavrentemiljø Efter finanskrisens begyndelse falder renten til et niveau omkring nul. I denne nye situation vil vi forvente, at den estimerede SR model har en fordel i, at kunne beskrive rentestrukturen. Vi opstiller en delperiode fra 2012:01 frem til 2016:01, hvor renterne har befundet sig i et niveau omkring nul eller under. Benchmarkingmodellerne er ikke medtaget i denne tabel, da vi blot sammenligner resultaterne for modellerne. Det skal bemærkes, at modellerne ikke leverer bedre forudsigelser end en RW i denne delperiode. En forklaring herpå er bl.a. at alle modeller har en mean reverting variable for både hældning og krumning, der systematisk overestimerer. Dette får RW til se bedre ud, da denne underestimerer renten. Tabel 9.3: Out-of-sample fit i lavrentemiljø Løbetid 0, måned frem DNS 20,8 12,6 11,3 14,2 18,7 21,2 22,8 23,4 22,8 22,0 22,7 AFNS 44,7 22,4 12,4 13,4 16,0 17,9 19,8 21,3 21,9 21,8 22,7 SR fast 46,8 19,9 11,9 13,5 16,2 17,9 19,7 21,1 21,7 21,6 22,7 SR fri 30,3 18,6 15,3 15,9 17,6 18,7 20,2 21,6 22,2 22,2 23,1 3 måneder frem DNS 31,0 24,0 25,6 33,0 38,2 40,7 41,2 40,9 39,3 37,0 37,0 AFNS 54,3 34,0 25,0 27,0 29,9 32,6 34,9 37,0 38,1 38,1 39,8 SR fast 54,8 29,8 22,5 25,5 28,7 31,3 33,5 35,7 36,9 37,1 38,9 SR fri 35,7 24,3 21,9 24,7 27,6 30,2 32,7 35,2 36,6 37,0 39,0 6 måneder frem DNS 39,6 37,2 44,3 54,1 59,8 62,2 62,0 60,5 57,9 55,0 54,9 AFNS 67,2 48,0 40,8 44,2 48,6 52,9 56,1 58,8 60,3 60,8 63,3 SR fast 64,0 40,2 34,8 39,7 44,8 49,2 52,5 55,3 57,0 57,6 60,5 SR fri 41,0 29,5 28,9 34,5 40,2 45,4 49,4 52,8 55,0 56,0 59,1 12 måneder frem DNS 50,9 58,3 70,3 79,9 85,2 87,5 86,4 84,1 80,9 77,8 75,7 AFNS 86,8 74,3 71,5 76,2 83,0 89,7 94,4 98,1 100,4 101,4 102,1 SR fast 73,1 57,5 56,8 63,5 71,5 78,8 83,9 87,8 90,4 91,8 92,8 SR fri 47,6 42,2 46,6 55,3 64,8 73,4 79,6 84,3 87,5 89,2 90,5 1 n Note: Data angiver Root Mean Squared Errors (RMSE) og er beregnet som n i=1 (y i ŷ i ) 2. RMSE er målt i basispoint. Forudsigelser 1 måned frem viser ikke det forventede resultat, jf. tabel 9.3. Her finder vi, at DNS leverer et bedre out-of-sample fit end SR modellerne. Forskellen viser sig også at være signifkant på mange af løbetiderne 24. DNS leverer også signifkant bedre forudsigelser end AFNS. En forudsigelse 3, 6 og 12 måneder frem viser at SR fri leverer det bedste out-of-sample fit, hvilket ligeledes viser sig at være signifikant for mange løbetider. Analysen i denne lavrenteperiode viser, 24 Diebold-Mariano test mellem modellerne i et lavrentemiljø findes i appendiks D Side 73 af 83

81 at forudsigelsesperformance forbedres markant, især på de korte løbetider, når vi sammenligner SR fri med AFNS, SR fast og DNS. Den tydelige forbedring viser, at SR fri modellen håndterer lavrentemiljøet bedre. Vi finder igen, at SR fri leverer bedre forudsigelsesresultater end SR fast og dette viser igen at den faste nedre grænse er placeret for lavt, og modellen derfor ikke bruger grænsen optimalt. Dette ses også ved at SR fast og AFNS har meget sammenlignelige resultater, og en Diebold-Mariano test viser at der ikke er signifikant forskel på modellerne. 9.5 Periode med normalt rentemiljø Vi opstiller endnu en delperiode for at analysere, hvordan modellerne performer i en periode med et normalt rentemiljø. Delperioden er fra 2006:01 frem til 2011:12, hvor renten har befundet sig i et spænd fra 7% til 1%. I et normalt rentemiljø vil vi forvente, at der ikke er forskel på forudsigelsesresultaterne fra AFNS og SR modellerne, da AFNS bruges som skyggerente i SR modellerne. Tabel 9.4: Out-of-sample fit i et normalt rentemiljø Løbetid 0, måned frem DNS 27,4 27,7 31,5 29,9 26,7 25,3 25,0 24,9 25,0 25,7 25,9 AFNS 42,7 23,7 26,5 28,0 25,9 24,7 24,2 23,9 23,7 23,8 23,3 SR fast 43,9 24,3 26,3 27,9 25,8 24,7 24,2 23,9 23,6 23,8 23,4 SR fri 44,8 24,1 26,3 27,9 25,8 24,7 24,2 23,9 23,6 23,7 23,4 3 måneder frem DNS 51,3 51,6 54,1 54,9 52,2 49,0 47,3 45,6 44,5 43,2 42,1 AFNS 39,2 41,6 55,0 56,2 52,5 49,6 47,9 46,4 45,2 44,4 43,2 SR fast 41,4 41,1 53,2 54,3 50,7 47,9 46,4 45,1 44,1 43,4 42,4 SR fri 42,4 40,9 53,1 54,2 50,6 47,8 46,3 45,0 44,0 43,3 42,3 6 måneder frem DNS 78,8 86,3 88,1 83,3 75,8 70,5 67,4 65,4 64,0 63,1 62,6 AFNS 69,1 77,7 86,6 85,3 79,0 73,9 70,9 68,3 66,2 64,3 62,7 SR fast 70,4 75,6 82,5 80,5 73,9 69,0 66,3 64,0 62,3 60,7 59,6 SR fri 71,1 75,5 82,4 80,4 74,0 69,1 66,4 64,1 62,4 60,8 59,6 12 måneder frem DNS 122,2 124,0 114,4 101,2 89,7 81,6 76,6 74,2 72,9 72,4 73,6 AFNS 124,0 126,8 121,1 108,6 96,2 86,7 79,7 74,9 70,7 67,2 65,8 SR fast 126,1 125,5 117,0 103,0 89,8 80,0 73,1 68,6 65,0 62,1 60,9 SR fri 126,1 124,8 116,4 102,5 89,4 79,7 72,9 68,4 64,9 62,0 60,8 1 n Note: Data angiver Root Mean Squared Errors (RMSE) og er beregnet som n i=1 (y i ŷ i ) 2. RMSE er målt i basispoint. I tabel 9.4 vises RMSE for AFNS og SR modellerne. Her ser vi, at der ikke er væsentlig forskel modellerne imellem, og en test viser at forskellene ikke er signifi- Side 74 af 83

82 kante 25. Derudover er det interessant at sammenligne DNS og AFNS, da vi på AFNS modellen har rentejusteringsfaktoren. Sammenligningen viser, at AFNS har en bedre performance på de korte løbetider for 1, 3 og 6 måneders forudsigelseshorisont. Dette viser, at vi kan forbedre forudsigelsesevnen ved at tilføje rentejusteringsfaktoren, der gør modellen arbitrage-fri. Den overordnede konklusion på vores analyse i de to delperioder er, at vi finder de resultater vi forventede. I delperioden med lavrentemiljø finder vi at SR fri leverer de bedste forudsigelsesresultater, mens forskellen mellem modellerne ikke er signifikante i et normalt rentemiljø. 10 Resultatsammenligning I dette afsnit vil vi sammenligne vores resultater med resultater fra den anvendte litteratur omkring renteforudsigelser. Overordnet konkluderer litteraturen, at det er svært konsistent at være bedre end en RW (se bl.a. De Pooter (2007)), hvilket er samme resultat vi finder. Nationalbanken har i foråret 2016 udført en analyse tilsvarende vores, hvor de undersøger fordelene ved, at modellere danske statsrenter i et lavrentemiljø ved brug af en skyggerentemodel. Nationalbanken finder imidlertid forudsigelsesevnen ikke forbedres ved at benytte en skyggerentemodel på dansk data. Vi finder derimod, at vi kan forbedre forudsigelsesresultatet ved at benytte en skyggerentemodel med en estimeret nedre grænse. Det er svært, at udføre en nøjagtig sammenligning af resultaterne, da vi ikke tager udgangspunkt i det samme datasæt, dog dækker begge datasæt over danske statsrenter indenfor samme periode 26. Modellerne estimeret forskelligt, hvor vi, som tidligere nævnt, har sat K P 11 som en enhedsrod, hvilket Nationalbanken ikke har fundet nødvendigt. Vi har dog haft mange af de samme udfordringer med SR modellerne, som nævnes i artiklen af Christensen et al. (2016). Her peges også på flere udfordringer ved at skulle fastsætte en nedre grænse i skyggerentemodellen. En af disse udfordringer er at de danske statsrenter de senere år, er blevet stadig mere negative, hvilket gør det svært at fastsætte en nedre grænse. I artiklen argumenteres der for, at det ikke er muligt at estimere modellen med den nedre grænse, som en fri parameter. Vi finder imidlertid, med baggrund i ovenstående undersøgelse, at en SR model med en estimeret nedre grænse har en 25 Diebold-Mariano test mellem modellerne for et normalt rentemiljø er vist i appendiks E 26 Det kan have stor betydning, hvordan nulkuponrenterne er estimeret i det anvendte data, selvom det reelt er de samme renter, som beskrives. Side 75 af 83

83 bedre forudsigelsesevne end en SR model med en fast grænse. Desuden er værdien af den estimerede nedre grænse plausibel. Trods udfordringerne foretrækker Nationalbanken stadig en skyggerentemodel frem for gaussiske modeller, da førstnævnte kan håndtere den asymmetriske fordeling af fremtidige renter, som karakteriserer lavrentemiljøet. Dette betyder, at de når frem til den samme konklusion, som vores undersøgelse. Diebold & Li (2006) tager udgangspunkt i amerikansk data, hvor de finder at den dynamiske NS gør det bedre end en RW på de lange forudsigelseshorisonter, mens det ikke er muligt på den korte 1 måneds forudsigelsesperiode. Vi finder ligeledes at vi ikke kan producere bedre forudsigelser end RW 1 måned frem. På de længere forudsigelseshorisonter finder vi, at forskellen ikke er signifikant. I Christensen et al. (2011) sammenlignes DNS med AFNS, og her finder forfatterne at AFNS leverer en bedre forudsigelsesperformance end DNS. Vi kommer frem til et lignende resultat i delperioden med et normalt rentemiljø. Christensen & Rudebusch (2013) har analyseret hvordan, en AFNS model og to SR modeller performer i et lavrentemiljø. Sammenligning modellerne imellem viser ikke et entydig billede. Christensen & Rudebusch (2013) finder at SR med en nedre grænse på nul, giver det bedste forudsigelsesresultat på de korte løbetider, mens AFNS leverer de bedste forudsigelser på lange løbetider. Vi finder ligeledes at SR fri er signifikant bedre end AFNS på de korte løbetider og en ikke-signifikant forskel på de lange løbetider. Lemke & Vladu (2015) undersøger, hvordan en SR model med en fast nedre grænse performer i forhold til AFNS i en lavrenteperiode. Denne analyse er udført på europæisk data. Her finder forfatterne, at SR modellen leverer et bedre resultat end AFNS på de korte forudsigelseshorisonter, mens det er omvendt på de lange forudsigelseshorisonter. Igen er resultatet helt i tråd med vores undersøgelsesresultater for delperioden Forudsigelsesresultaterne i forhold til Cost-at-Risk modellen Nationalbanken anvender renteforudsigelser, som input til deres Cost-at-Risk (CaR) model, som kvantificerer sammenhængen mellem omkostninger og risiko på statens indlandske gæld. Renteudgifterne på statsgælden er en betydelig udgift og svarer til knap 1 procent af BNP 27. De udgifter, der er forbundet med statsgælden i form af ny låntagning, er ikke kendte på forhånd, men afhængig af den fremtidige renteudvikling. 27 Grundet de lave renteniveauer ligger udgiften i 2015 på knap 1 procent af BNP, mens det samme tal i 1998 var knap 5 procent af BNP. Side 76 af 83

84 Nationalbanken indførte i 1998 CaR, som et tredje mål til vurdering af sammenhængen mellem omkostninger og risiko. Indtil da havde Nationalbanken gjort brug af varighed og stabiliteten af afdragsprofilen, som de primære værktøjer til at styre den indenlandske statsgældspolitik. CaR udtrykker, hvor stor en stigning i omkostningerne staten maksimalt kan forvente med en vis sandsynlighed (Nationalbank, 1998). Derfor adskiller CaR sig fra de andre mål, ved at være modelspecifik og ikke et objektivt mål. Modelafhængigheden betyder, at det er vigtigt at de underliggende forudsætninger, heriblandt rentemodellerne, er velkonstruerede. Rentemodellens evne til at afspejle det nuværende rentemiljø er essentiel, for at kunne levere gode forudsigelser. En rentestigning i CaR modellen vil medføre en stigning i omkostningerne, da en renteændring har direkte indflydelse på den samlede statsgæld. Dette betyder at en procentstigning i renten, vil medføre en relativ stor omkostning. Vores estimeredesr fri model leverer de bedste forudsigelsesresultater, når vi sammenligner modellerne imellem. SR fri modellen kan dog ikke gør det bedre end en RW, men derimod er SR fri modellen i stand til at generere den mest troværdige renteprojektion, hvilket er vigtig for risikostyringen. Resultaterne for SR fri viste at modellen systematisk overestimerede, hvilket også vil have konsekvenser for CaR modellen. Når vi bruger den forudsagte rente i CaR modellen, vil den vise en for høj omkostning i forhold til, hvad der faktisk observeres og giver derved et worst-case scenario. 11 Mulige modeludvidelser Litteraturen omkring modellering og forudsigelse af rentestrukturen er enorm og der findes mange forskellige modelbeskrivelser. Vi har i dette speciale haft fokus på modeller med uafhængige dynamikker og tre faktorer, beskrevet gennem tre forskellige modelspecifikationer. Anden litteratur inden for emnet har set nærmere på udvidelser inden for de enkelte modelspecifikationer. Såsom korrelerede dynamikker, stokastisk volatilitet, flere eller færre faktorer og/eller inddragelse af makrovariabler til at forklare rentestrukturen bedre 28. De Pooter (2007) har foretaget en større undersøgelse på DNS modellen, med både to, tre og fire faktorer, samt en konstant eller estimeret λ 29. Undersøgelsen viser, at flere faktorer forbedrer insample fit, men at de ligeledes forbedrer out-of-sample fit. Fire-faktor-modellen går under navnet Nelson-Siegel Svensson, da Svensson (1994) tilføjer en ekstra faktor 28 De fleste af disse modeludvidelser er foretaget på udenlandsk data, hvorfor det kunne være interessant at se hvordan udvidelserne vil fungere på dansk data. 29 Med estimeret λ er modellen ikke længere lineær, hvorfor estimeringen skal foretages med non-linear least squares eller ved brug af Kalman filter. Side 77 af 83

85 til Nelson & Siegel (1987) modelspecifikation. Den dynamiske Nelson-Siegel Svensson (DNSS) model er meget anvendt i bl.a. centralbanker, da den fjerde faktor er en ekstra krumningsfaktor, der gør den bedre til at fit på lange løbetider (Diebold & Rudebusch, 2013). Figur 11.1 viser, hvordan faktor-loadings kan se ud i en DNSS model. Figur 11.1: Faktor-loadings DNSS 1,0 Niveau 0,8 Loading 0,6 0,4 0,2 Hældning Krumning 1 Krumning 2 0, Løbetid (år) Note: Faktor-loadings er vist som funktion af løbetiden med λ 1 = 0, 90 og λ 1 = 0, 36. Valget af λ-værdier er blot for illustrationens skyld og er valgt ud fra en maksimalværdi på hhv. 2 og 5 år for krumning 1 og krumning 2. Det ses i figur 11.1 at den ekstra tilføjede krumningsfaktor er med til bedre at kunne håndtere rentestrukturudviklingen på længere sigt. Dette betyder at niveau ikke er alene om ændringerne på lang sigt. Denne udvidelse kunne være interessant at tilføje de estimerede modeller for, at se om der på dansk data vil være samme forbedringsfit, som De Pooter (2007) finder. Problemet med DNSS modellen er dog, at værdien på den ekstra krumningsfaktor ikke er så intuitiv at fastsætte på forhånd. Desuden er modellen sværere at gøre arbitrage-fri, omend det ikke er umuligt 30. For at forbedre de lange forudsigelser, kunne en oplagt mulighed være at medtage længere løbetider i rentestrukturen. I specialet har vi kun medtaget løbetider op til 10 år. Ved at medtage løbetider på 15, 20 og 30 år, kan forudsigelsesevnen forbedres på de lange forudsigelseshorisonter, fordi der er mere information tilgængelig i de lange løbetider. 30 Se bl.a. Diebold & Rudebusch (2013) for en gennemgang af hvordan DNSS gøres arbitrage-fri. Side 78 af 83

86 En tredje og måske mere interessant udvidelse af de dynamiske rentestrukturmodeller er tilføjelsen af makrovariabler. Litteraturen er inddelt i rentestrukturmodeller og makromodeller. Makromodeller benytter ofte kun én enkelt rente til at beskrive hele den finansielle sektor og rentestrukturmodellerne kigger kun på de faktiske renter og ikke de underliggende makroøkonomiske faktorer (Diebold & Rudebusch, 2013). Inddragelsen af makroøkonomiske variabler giver i en undersøgelse af De Pooter et al. (2010) gode resultater på forudsigelsesevnen af renter. Der er flere måder at inddrage makroøkonomiske variabler på, enten som direkte variabler eller som faktorer. Ved at inddrage variablerne direkte kræver det, at variablerne er tæt beslægtet med de latente faktorer i rentemodelleringen. Niveauet for renterne korrelerer højt med inflationen, og for hældningen er det realaktiviteten i samfundet. For krumningen er det væsentlig sværere at finde en direkte makrovariabel (Diebold & Rudebusch, 2013). Den anden metode fungerer på samme måde, som ved at udlede de latente faktorer i rentemodellerne. De Pooter et al. (2010) har 116 dataserier hvorfra der udledes tre faktorer vha. principal komponent analyse. En DNS model med makrovariabler kan skrives op med måleligningen y t = BX t + ε t, (11.1) hvor forskellen fra tidligere er at B er en N (3 + M) matrix og X er en (3 + M) 1, hvor M angiver antallet af makrovariabler. Dette betyder ligeledes, at overgangsligningen kan skrives op som X t = µ + AX t 1 + η t, (11.2) og hvor det gælder at dimensionerne på A, µ, η t er tilsvarende større. Dette vil således være en interessant tilgang til, at modellere de danske statsrenter og måske muliggøre et bedre forudsigelsesfit ved, at kunne forbedre estimationen af det langsigtede renteniveau og hastigheden på mean reveting tilpasning hertil (Christensen et al., 2016). Bauer & Rudebusch (2013) opnår et væsentligt forbedret forudsigelsesfit ved at tilføje makrovariabler, i form af inflation og arbejdsløshed, til deres skyggerentemodel på amerikansk data i perioden fra december 2008 til december 2012, som dækker en lavrenteperiode. 12 Konklusion Hovedspørgsmålet i specialet er at undersøge om det er muligt, at forudsige danske statsrenter ved brug af dynamiske NS modeller. Vi finder frem til flere interessante konklusioner, som kan være med til at forbedre forudsigelsesevnen af den danske Side 79 af 83

87 rentestruktur. Vi finder dog, at det ikke er muligt at forudsige bedre end en RW. Udfordring ved at benytte dansk data, er at i årene efter finanskrisens begyndelse, er der sket et skifte i det generelle renteniveau. Skiftet har betydet, at rentekurven har nærmet sig nul, og renten på de korte løbetider er blevet negativ. Vi finder, at en rentestrukturmodel skal være i stand til at håndtere de udfordringer, som observeres i et lavrentemiljø. Udfordringerne er den lave volatilitet som observeres, og at renterne klæber til lavrentemiljøet. Vi vælger, at benytte NS klassen af rentestrukturmodeller, da disse modeller har en enkel form. Dette betyder at de beskrivende faktorer niveau, hældning og krumning kan identificeres pga. parameterrestriktion i modelopbygningen. Desuden er enkelheden med til undgå overfitting i in-sample fit, som igen hjælper på modellens mulighed for at forudsige renter. NS formen giver en stor fleksibilitet, som muliggør en efterligning af de rentekurver, som ses i markedet. Vi tager udgangspunkt i tre forskellige udviklinger af den oprindelige NS model, som er DNS, AFNS og SR modellen. DNS er en dynamiske udvikling af den oprindelige model, mens AFNS er en kombination af DNS og de arbitrage-frie modeller. Den sidste udvikling er SR modellen, som er i stand til at håndtere de udfordringer, som observeres ved et lavrentemiljø. SR modellen er estimeret med to forskellige nedre grænser. SR fast med en fast grænse, som er lig med den lavest observerede rente i data, og SR fri med en estimeret nedre grænse. En SR model med en estimeret nedre grænse er, så vidt vides, ikke tidligere testet på danske data. I estimationen af modellerne finder vi, at parametrene fra de tre modeller er sammenlignelige og i et in-sample fit kan vi konkludere at AFNS og DNS har det bedste fit. Hovedformålet er at levere gode forudsigelsesresultater, og derfor laves der et out-sample fit. Her kan vi konkludere, at modellerne ikke er i stand til at levere bedre forudsigelsesresultater end en RW. Det er ofte nemmere at finde en model, som kan beskrive udviklingen af historisk data godt, måske også for godt, men det er svært at finde en model, der korrekt kan identificere de egenskaber fra det historiske data, som kan replikere fremtiden. Vi konkluderer, at de estimerede modeller giver et bedre bud på den fremtidige rente end RW, da de tager udgangspunkt i nogle observerede karakteristika. Ved en modelsammenligning kan vi konkludere, at SR fri leverer de bedste forudsigelsesperformance, og en Diebold-Mariano test viser, at de er signifikant bedre end de andre modeller på de korte løbetider. Generelt finder vi at lange forudsigelseshorisonter er svære at forudsige korrekt. Ud fra de estimerede modeller finder vi at SR fri modellen har de bedste egenskaber og klarer sig bedst til at forudsigelse af danske statsrenter i et lavrentemiljø. Side 80 af 83

88 Litteratur Bauer, Michael D., & Rudebusch, Glenn D Monetary policy expectations at the zero lower bound. Working Paper Series Federal Reserve Bank of San Francisco. Black, Fischer Interest Rates as Options. The Journal of Finance, 50(5), Christensen, J. H. E., & Rudebusch, G. D. 2015a. Estimating Shadow-Rate Term Structure Models with Near-Zero Yields. Journal of Financial Econometrics, 13(2), Christensen, Jens H. E., & Rudebusch, Glenn D Modeling Yields at the Zero Lower Bound: Are Shadow Rates the Solution? Working Paper Series Federal Reserve Bank of San Francisco. Christensen, Jens H. E., & Rudebusch, Glenn D. 2015b (September). The Lower Bound Problem. Slideshow. Available at Christensen, Jens H. E., Diebold, Francis X., & Rudebusch, Glenn D The affine arbitrage-free class of Nelson-Siegel term structure models. Journal of Econometrics, 164(1), Christensen, Michael (ed) Udviklingslinier i finansiering. Kbh.: Jurist- og Økonomforbundet. Christensen, Nicolaj H., Nysteen, Anders, & Pedersen, Niklas B.D Modelling Danish Government Bond Yields In a Low-Rate Environment. Danmarks Nationalbank, No. 106, Coroneo, Laura, Nyholm, Ken, & Vidova-Koleva, Rositsa (Feb.). How arbitrage-free is the Nelson-Siegel Model? Working Paper Series European Central Bank. Cox, John C., Ingersoll, Jonathan E., & Ross, Stephen A A Theory of the Term Structure of Interest Rates. Econometrica, 53(2), Dai, Qiang, & Singleton, Kenneth J Specification Analysis of Affine Term Structure Models. The Journal of Finance, 55(5), De Pooter, Michiel Examining the Nelson-Siegel class of term structure models: In-sample fit versus out-of-sample forecasting performance. Available at SSRN Side 81 af 83

89 De Pooter, Michiel, Ravazzolo, Francesco, & Van Dijk, Dick JC Term structure forecasting using macro factors and forecast combination. FRB International Finance Discussion Paper. Diebold, Francis X., & Li, Canlin Forecasting the term structure of government bond yields. Journal of Econometrics, 130(2), Diebold, Francis X., & Mariano, Roberto S Comparing Predictive Accuracy. Journal of Business & Economic Statistics, 13(3), Diebold, Francis X., & Rudebusch, Glenn D Yield curve modeling and forecasting : the dynamic Nelson-Siegel approach. Princeton: Princeton University Press. Duffee, Gregory R Term Premia and Interest Rate Forecasts in Affine Models. The Journal of Finance, 57(1), Duffie, Darrell, & Kan, Rui A yield-factor model of interest rates. Mathematical Finance, 6(4), Flor, Christian R., & Munk, Claus Indledende obligations- og rentestrukturanalyse. Undervisningsnote til faget Finansiering, Investering og Virksomhedsstrategi på Syddansk Universitet. Harvey, Andrew C Forecasting, structural time series models and the Kalman Filter. Repr. edn. Cambridge: Cambridge University Press. Jørgensen, Anders, & Risbjerg, Lars Negative renter. Kvartalsoversigt / Danmarks Nationalbank, 2012, 3. kvartal, del 1, Krippner, Leo A tractable framework for zero-lower-bound Gaussian term structure models. Reserve Bank of New Zealand Discussion Paper Series, (DP2013/02). Krippner, Leo (ed) Zero Lower Bound Term Structure Modeling. First edition edn. United States: Palgrave Macmillan. Lemke, Wolfgang, & Vladu, Andreea A Shadow-Rate Term Structure Model for the Euro Area. Annual Conference 2015 (Muenster): Economic Development - Theory and Policy Verein für Socialpolitik / German Economic Association. Nationalbank, Danmarks Statens låntagning og gæld. Nationalbank, Danmarks Statens låntagning og gæld. Side 82 af 83

90 Nationalbank, Danmarks Statens låntagning og gæld. Nelson, Charles R., & Siegel, Andrew F Parsimonious Modeling of Yield Curves. The Journal of Business, 60(4), R Core Team R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. Rienecker, Lotte, & Jørgensen, Peter Stray Den gode opgave : håndbog i opgaveskrivning på videregående uddannelser. 3. udgave edn. Frederiksberg: Samfundslitteratur. Singleton, K.J Empirical Dynamic Asset Pricing: Model Specification and Econometric Assessment. Princeton University Press. Svensson, L. E. O Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden Centre for Economic Policy Research, Discussion Papers. Vasicek, Oldrich An equilibrium characterization of the term structure. Journal of Financial Economics, 5(2), Side 83 af 83

91 A Udledning af start fordeling under forudsætning om enhedsrod For at kunne sætte K11 P værdien til at antage en enhedsrod, får vi problemer med at systemet af faktorerne ikke længere er positive. Derfor bliver vi nødt til at starte det udvidede Kalman filter anderledes end ved brug af den ubetingede fordeling. Hertil benytter vi os af Christensen & Rudebusch (2015b) som viser at der kan udledes en normalfordelt fordeling baseret på de første observationer i datagrundlaget. Ud fra SR modellen er renten givet ved y t = BX t + C + ε t, ε t N (0, H), som betyder at de første observerede renter er givet ved y 1 = BX 0 + C + ε 0. Vi ønsker nu at isolere X 0 for at bruge disse værdier som startværdier til det udvidede Kalman filter under forudsætning af enhedsrod i K P 11. y 1 = BX 0 + C + ε 0 BX 0 = y 1 C ε 0 Vi ganger først igennem med de transponerede faktor-loadings og bagefter med den inverse til dette produkt for at have isoleret X 0 B BX 0 = B (y 1 C) B ε 0 X 0 = (B B) 1 B (y 1 C) (B B) 1 B ε 0. Med ε 0 N (0, H) betyder det at X 0 også er normalfordelt med middelværdi og varians som X 0 N [ (B B) 1 B (y 1 C), (B B) 1 B HB (B B) 1] Dermed har vi en startfordeling som er stationær og kan anvendes til at starte det udvidede Kalman filter.

92 B Diebold-Mariano test mod random walk Mod RW Løbetid 0, måned frem DNS 1,30 1,87 3,97 3,24 2,78 3,11 3,16 3,52 3,84 3,81 2,98 AFNS 5,01 1,05 2,43 1,96 1,02 1,35 1,38 2,02 2,41 2,79 1,00 SRfast 5,16 0,79 1,55 1,79 0,95 1,14 1,19 1,72 2,08 2,39 0,98 SRfri 3,80 0,55 2,37 2,50 1,66 1,56 1,42 1,86 2,20 2,44 1,32 3 måned frem DNS 0,14 1,18 2,39 2,35 2,22 2,32 2,22 2,30 2,20 2,05 1,54 AFNS 0,34 0,45 1,80 1,69 1,46 1,82 1,76 1,94 2,03 2,19 1,75 SRfast 0,51 0,74 0,45 0,61 0,41 0,80 0,98 1,28 1,40 1,55 1,23 SRfri 0,57 1,05 0,32 0,51 0,25 0,64 0,86 1,21 1,37 1,54 1,23 6 måned frem DNS 0,41 0,35 1,10 1,06 1,06 1,15 1,04 0,98 0,76 0,59 0,38 AFNS 0,00 0,00 1,60 1,60 1,56 1,71 1,66 1,69 1,68 1,72 1,59 SRfast 0,10 0,49 0,28 0,32 0,37 0,62 0,74 0,89 0,91 0,97 0,91 SRfri 1,18 0,84 0,02 0,12 0,17 0,45 0,61 0,79 0,82 0,89 0,82 12 måned frem DNS 0,52 0,12 0,33 0,58 0,63 0,63 0,57 0,48 0,33 0,20 0,10 AFNS 0,16 0,62 2,15 2,29 2,18 2,16 2,07 2,02 2,01 2,02 1,93 SRfast 0,19 0,00 0,85 1,06 1,07 1,19 1,28 1,36 1,42 1,49 1,43 SRfri 0,95 0,32 0,63 0,90 0,95 1,10 1,22 1,32 1,41 1,50 1,44 Note: Tabellen viser Diebold-Mariano teststatistik på forudsigelsesnøjagtighed, angivet som asymptotisk t-værdi. Modellerne er testet mod Random Walk med som (e 2 modeli e2 rw), hvor i {DNS, AFNS, SRfast, SRfri}. Nulhypotesen er at modellerne har samme forudsigelsesfejl. Negative værdier betyder fejllene er mindre på modellen., og angiver signifikans på hhv. 10, 5, og 1 procents niveau.

93 C Forudsigelsesfejl Residualplot for 3-måneds forudsigelse DNS AFNS mdr. 5 år 10 år mdr. 5 år 10 år Basispoint Basispoint SR fast SR fri mdr. 5 år 10 år mdr. 5 år 10 år Basispoint Basispoint Note: Forudsigelsesfejl y t+1 ŷ t+1 for henholdsvis 3 månedsrenten, 5 årsrenten og 10 årsrenten på en 3-måneds forudsigelse og målt i basispoint. Residualplot for 6-måneds forudsigelse DNS AFNS Basispoint mdr. 5 år 10 år Basispoint mdr. 5 år 10 år SR fast SR fri Basispoint mdr. 5 år 10 år Basispoint mdr. 5 år 10 år Note: Forudsigelsesfejl y t+1 ŷ t+1 for henholdsvis 3 månedsrenten, 5 årsrenten og 10 årsrenten på en 6-måneds forudsigelse og målt i basispoint.

94 D Diebold-Mariano test mellem modeller for lavrentemiljø Løbetid 0, måned frem DNS vs. AFNS 5,27 3,87 1,07 3,52 3,53 3,76 3,88 4,1 3,6 0,54 0,01 DNS vs. SRfast 4,87 3,21 0,75 2,68 3,73 3,96 3,99 4,1 3,16 0,74 0,08 DNS vs. SRfri 2,19 2,44 2,04 1,39 1,02 2,4 2,69 2,43 1,00 0,25 0,38 AFNS vs. SRfast 1,72 4,82 1,51 0,35 0,81 0,25 0,84 1,15 1,06 0,72 0,3 AFNS vs. SRfri 3,58 1,50 1,59 2,03 1,69 1,01 0,52 0,41 0,58 0,72 0,79 SRfast vs. SRfri 3,66 0,55 1,92 2,1 1,72 1,26 0,93 0,96 1,24 1,37 1,28 3 måned frem DNS vs. AFNS 3,52 3,00 0,60 4,59 4,62 4,06 3,60 3,14 1,59 1,17 1,54 DNS vs. SRfast 2,93 1,88 2,06 3,95 4,21 3,59 3,06 2,48 1,48 0,04 1,08 DNS vs. SRfri 0,82 0,10 1,75 3,75 4,27 3,61 3,05 2,49 1,53 0,02 1,03 AFNS vs. SRfast 0,25 4,98 2,65 1,57 1,24 1,34 1,34 1,33 1,29 1,21 1,05 AFNS vs. SRfri 5,03 3,74 1,71 1,38 1,52 1,63 1,54 1,44 1,27 1,07 0,85 SRfast vs. SRfri 4,07 2,35 0,33 0,52 0,82 0,9 0,8 0,6 0,32 0,05 0,04 6 måned frem DNS vs. AFNS 3,95 3,72 2,71 4,41 3,75 2,91 2,19 0,95 1,55 2,11 1,76 DNS vs. SRfast 3,03 1,00 2,41 3,14 2,86 2,26 1,75 1,13 0,27 0,86 1,41 DNS vs. SRfri 0,29 1,78 3,07 3,72 3,30 2,61 2,11 1,57 0,79 0,36 1,10 AFNS vs. SRfast 1,58 3,58 2,09 1,58 1,33 1,27 1,25 1,24 1,21 1,16 1,07 AFNS vs. SRfri 4,69 3,88 2,84 2,78 2,53 2,18 2,00 1,86 1,72 1,60 1,50 SRfast vs. SRfri 3,59 3,12 2,28 2,39 2,43 2,34 2,26 2,17 2,04 1,85 1,62 12 måned frem DNS vs. AFNS 6,8 7,16 0,71 1,50 0,79 0,91 3,64 3,75 2,86 2,19 1,75 DNS vs. SRfast 0,13 1,45 1,62 1,30 0,87 0,30 0,65 3,00 3,74 2,24 DNS vs. SRfri 0,41 1,51 1,91 2,00 1,59 1,15 0,64 0,04 1,44 4,44 2,66 AFNS vs. SRfast 2,89 2,34 1,82 1,60 1,44 1,38 1,35 1,34 1,33 1,29 1,24 AFNS vs. SRfri 3,30 2,80 2,23 2,05 1,77 1,59 1,47 1,41 1,35 1,28 1,21 SRfast vs. SRfri 3,25 3,21 2,95 3,08 2,61 2,16 1,82 1,64 1,44 1,27 1,15 Note: Tabellen viser Diebold-Mariano teststatistik på forudsigelsesnøjagtighed, angivet som asymptotisk t-værdi. Modellerne er testet mod hinanden som (e 2 modeli e2 ) modelj i j, hvor i, j {DNS, AFNS, SRfast, SRfri}. Nulhypotesen er at modellerne har samme forudsigelsesfejl. Negative værdier betyder fejllene er mindre på modeli., og angiver signifikans på hhv. 10, 5, og 1 procents niveau.

95 E Diebold-Mariano test mellem modeller for normalt rentemiljø Løbetid 0, måned frem DNS vs. AFNS 2,84 1,50 4,14 3,13 2,41 1,89 2,23 2,53 2,82 3,15 3,36 DNS vs. SRfast 3,02 1,24 4,15 2,99 2,50 2,27 2,52 2,69 2,75 2,95 3,03 DNS vs. SRfri 3,13 1,27 4,05 2,72 2,23 2,25 2,52 2,64 2,68 2,88 2,93 AFNS vs. SRfast 4,52 2,35 0,73 0,23 0,03 0,06 0,17 0,06 0,06 0,08 0,45 AFNS vs. SRfri 3,46 1,45 0,38 0,21 0,31 0,19 0,26 0,15 0,14 0,16 0,58 SRfast vs. SRfri 1,84 0,61 0,43 0,88 0,75 0,46 0,40 0,41 0,36 0,33 0,55 3 måned frem DNS vs. AFNS 1,24 2,78 1,90 1,21 0,51 0,19 0,14 0,22 0,35 0,49 0,66 DNS vs. SRfast 0,98 2,89 2,56 2,44 2,31 2,09 1,71 1,50 1,33 1,31 1,34 DNS vs. SRfri 0,86 2,88 2,52 2,39 2,31 2,12 1,74 1,52 1,35 1,33 1,35 AFNS vs. SRfast 2,81 0,71 1,52 1,34 1,21 1,10 0,96 0,91 0,80 0,73 0,61 AFNS vs. SRfri 2,16 0,93 1,61 1,37 1,24 1,14 1,00 0,96 0,86 0,79 0,67 SRfast vs. SRfri 1,02 1,03 0,61 0,29 0,26 0,28 0,33 0,34 0,41 0,42 0,41 6 måned frem DNS vs. AFNS 1,36 1,11 0,18 0,32 0,49 0,52 0,52 0,45 0,36 0,25 0,13 DNS vs. SRfast 1,08 1,61 1,14 0,73 0,51 0,35 0,19 0,18 0,20 0,28 0,36 DNS vs. SRfri 0,98 1,61 1,15 0,74 0,50 0,33 0,17 0,16 0,19 0,26 0,35 AFNS vs. SRfast 0,79 1,33 1,25 1,18 1,15 1,11 1,09 1,09 1,05 1,01 0,95 AFNS vs. SRfri 0,98 1,38 1,27 1,18 1,14 1,1 1,07 1,07 1,03 0,99 0,94 SRfast vs. SRfri 0,73 0,32 0,23 0,01 0,14 0,24 0,26 0,30 0,28 0,29 0,17 12 måned frem DNS vs. AFNS 0,08 0,13 0,29 0,32 0,29 0,23 0,17 0,10 0,02 0,07 0,14 DNS vs. SRfast 0,13 0,07 0,15 0,14 0,06 0,02 0,10 0,19 0,27 0,36 0,44 DNS vs. SRfri 0,12 0,04 0,12 0,10 0,04 0,04 0,11 0,19 0,28 0,36 0,44 AFNS vs. SRfast 0,57 0,42 0,52 0,53 0,52 0,51 0,50 0,49 0,47 0,44 0,43 AFNS vs. SRfri 0,46 0,66 0,62 0,59 0,57 0,54 0,53 0,51 0,48 0,45 0,44 SRfast vs. SRfri 0,10 0,64 0,71 0,63 0,53 0,47 0,45 0,38 0,30 0,23 0,16 Note: Tabellen viser Diebold-Mariano teststatistik på forudsigelsesnøjagtighed, angivet som asymptotisk t-værdi. Modellerne er testet mod hinanden som (e 2 modeli e2 ) modelj i j, hvor i, j {DNS, AFNS, SRfast, SRfri}. Nulhypotesen er at modellerne har samme forudsigelsesfejl. Negative værdier betyder fejllene er mindre på modeli., og angiver signifikans på hhv. 10, 5, og 1 procents niveau.