Symmetri og matematik i natur og forståelse

Transkript

1 Institut for Matematik Aarhus Universitet 26. september 2017

2 Felix Kleins Erlangen program (1872) Geometriske objekter skal klassificeres ved egenskaber, der er invariante under transformationer (symmetrier) Studer gruppen af transformationer (syrmmetrier), der lader det geometriske objekt invariant, altså uforandret. Eksempler: Ligesidet og ligebenet trekant. Kvadratisk og hexagonalt gitter.

3 Paradigme: Paradigme for forståelse af krystal Historiske bemærkninger Paradigme for forståelse af krystal: Periodisk konfiguration i rummet / gitter. Studeres ved Røntgenbilleder. Symmetrier af gitteret modsvares af symmetrier af røntgenbilledet.

4 Historiske bemærkninger Paradigme for forståelse af krystal Historiske bemærkninger Et krystal er et periodisk gentaget mønster - translations symmetri - sådan har det været defineret de sidste 200 år. Før der 17. århundrede var der ingen geometrisk teori for krystaller. Kepler (1611): Den geometriske struktur af snefnug (hexagonal). I slutningen af det 18. åhundrede etableredes opfattelse af krystaller som gitre med translationssymmetri. Siden 1912 er krystaller studeret ved røntgen-, elektron- og neutron-diffraktionsmønstre. Bølger der møder en forhindring bryder, interfererer og rekombinerer. Røntgenlys har en bølgelængde, der matcher den atomare størrelse i krystaller. Brydningen beskrives matematisk ved hjælp af Fourier-transformation.

5 Euklidsk geometri Tapet/krystal - periodisk udfyldning af planen/rummet Det krystallografiske kriterium Matematisk klassifikation Euklidsk geometri og dens transformationer Relevante transformationer = de afstandsbevarende afbildninger. For planen er det: translationer spejlinger rotationer glidespejlinger

6 Euklidsk geometri Tapet/krystal - periodisk udfyldning af planen/rummet Det krystallografiske kriterium Matematisk klassifikation Tapet/krystal - periodisk udfyldning af planen/rummet Korteste translation Translationerne udgør tilsammen et gitter. Symmetrierne for tapetet/krystallet virker på gitteret af translationer

7 Hvilke rotationer af gitre er lovlige? Euklidsk geometri Tapet/krystal - periodisk udfyldning af planen/rummet Det krystallografiske kriterium Matematisk klassifikation Sætning. Det krystallografiske kriterium En rotation af et plant eller rumligt gitter har orden 2, 3, 4 eller 6. Lad v være en korteste translation af gitteret. Lad f være en rotation gennem 2π N omkring et punkt (en akse). v f (v) er en translation af gitteret, der ikke kan være kortere end v, hvorfor 2π N 2π 6 og dermed er N 6. Lad f være en rotation gennem 2π 5. Så er v f (v) + f 1 (-v) en translation af gitteret, der er kortere end v, hvorfor vi har en modstrid.

8 Klassifikationen af plan- og rumgrupper Euklidsk geometri Tapet/krystal - periodisk udfyldning af planen/rummet Det krystallografiske kriterium Matematisk klassifikation Ved hjælp af det krystallografiske kriterium kan man klassificere: 17 plane krystallografiske grupper 230 rumlige krystallografiske grupper (1891) - Fedorov og Schoenflies

9 17 plane krystallografiske grupper Euklidsk geometri Tapet/krystal - periodisk udfyldning af planen/rummet Det krystallografiske kriterium Matematisk klassifikation

10 Felix Kleins Erlangen program (1872) Euklidsk geometri Tapet/krystal - periodisk udfyldning af planen/rummet Det krystallografiske kriterium Matematisk klassifikation Alhambra Symmetri og matematik i natur og forst aelse

11 Legering med ulovlig symmetri Legering med ulovlig symmetri Et paradigmes fald Matematisk rekonstruktion af ikke-krystallinske krystaller En legering af aluminium og mangesium, dannet ved hurtig afkøling, har et Røntgenbillede med en ulovlig symmetri (en 10-fold rotation) 1 Krystallografiske kriterium: 2-, 3-, 4- og 6-folds rotationer er de eneste lovlige symmetrier af rumgitre. 1

12 Et paradigmes fald Felix Kleins Erlangen program (1872) Legering med ulovlig symmetri Et paradigmes fald Matematisk rekonstruktion af ikke-krystallinske krystaller Paradigmet: gitteret er den geometriske grundstruktur for et krystal er for snævert Opdagelse gav anledning til overskrifts-fysik. Legeringen kunne snart laves i en række laboratorier verden over. Mange andre ikke-krystallinske krystaller blev fundet. Det blev snart klart, at ikke-periodiske metalfaser ikke er sjældenheder men meget udbredte. Den store overraskelse var tilstedeværelsen af den ulovlige 10-folds rotations-symmetri og dermed fravær af translations symmetri.

13 Aperiodiske fliselægninger Legering med ulovlig symmetri Et paradigmes fald Matematisk rekonstruktion af ikke-krystallinske krystaller Eksempel lavet af brikker - Penrose fliser.

14 Statistisk rotationssymmetri Legering med ulovlig symmetri Et paradigmes fald Matematisk rekonstruktion af ikke-krystallinske krystaller Har hverken translations- eller rotationssymmetri i den sædvanlige betydning. Men i en højere forstand har den 10-folds rotationssymmetri!

15 Legering med ulovlig symmetri Et paradigmes fald Matematisk rekonstruktion af ikke-krystallinske krystaller Hver drage forekommer i netop 10 forskellige orienteringer ligesom enhver pil gør) Hver orientering af en drage forekommer lige hyppigt. Indenfor en stor cirkel tælles antallet af drager med en given orientering, antallet deles med cirklens areal. Dette tal har en græseværdi, der er den samme for alle 10 orienteringer. Frekvensen er altså invariant under 10-folds rotation Ikke blot en enkelt drage eller pil, men faktisk enhver endelig samling af fliser forekommer i netop 10 forskellige orienteringer og med samme frekvens i hver orientering.

16 Matematisk røntgenbillede af fliselægning Legering med ulovlig symmetri Et paradigmes fald Matematisk rekonstruktion af ikke-krystallinske krystaller Optiske mønstre, der produceres ved at gennemlyse en maske bestående af en plade med huller er en 2-dimensional analog til Røntgenbilleder af krystaller. Placeres hullerne i hjørnerne af en aperiodisk fliselægning som Penrose eksemplet, fås et billede, som ved det rigtige røntgenbilledet af legeringen med 10-folds rotationssymmetri. Matematisk er der etableret en ny ramme for forståelse af krystaller. Kvasi-krystaller er konfigurationer med statistisk symmetri.

17 Røntgen-billede af Penrose-eksemplet Legering med ulovlig symmetri Et paradigmes fald Matematisk rekonstruktion af ikke-krystallinske krystaller

18 Aloe Felix Kleins Erlangen program (1872) Aloe, Solsikke Krydsende spiraler Fibonacci-følgen

19 Solsikke Felix Kleins Erlangen program (1872) Aloe, Solsikke Krydsende spiraler Fibonacci-følgen

20 Phyllotaxi Felix Kleins Erlangen program (1872) Aloe, Solsikke Krydsende spiraler Fibonacci-følgen Phyllotaxi betyder bladarrangement. Ofte forekommer arrangementet i form af spiraler. Bladsætningen kan beskrives ved den brøkdel af en hel rotation, hvormed det næste blad sættes. Modsatstillede har 1 2 rotation Hassel og bøg har 1 3 rotation Eg har 2 5 rotation Solsikke har 3 8 rotation Pil har 5 13 rotation Tælleren og nævneren består af et Fibonacci-tal og dets anden efterfølger. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...

21 Krydsende spiraler Felix Kleins Erlangen program (1872) Aloe, Solsikke Krydsende spiraler Fibonacci-følgen Bladsætningen giver anledning til en optisk illusion: Der er to spiralsæt, et, der går med uret, og et, der går mod uret, så at der fremkommer en dobbeltspiral. Spiralkurven skærer overalt radierne i samme vinkel og er således en logaritmisk spiral. Antallet af spiraler, der går henholdsvis med og mod uret, er i en solsikke 34 spiraler, der går mod uret, og 55, der går med uret; i andre solsikker er forholdet 55:89, 89:144 eller 144:233. Antal af spiraler er også Fibonacci-tal.

22 Fibonacci-følgen Felix Kleins Erlangen program (1872) Aloe, Solsikke Krydsende spiraler Fibonacci-følgen Fibonacci-følgen, opkaldt efter Leonardo Fibonacci ( ), hvis tal alle fremkommer ved at lægge de to foregående tal sammen. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,..., a n+1 = a n + a n 1,... For store n fås, at a n+1 a n a n+1 = a n + a n 1 a n+1 = 1 + a n 1 a n a n x x = x x 2 x 1 = 0 x = Tallet der optræder i det gyldne snit.