Punktgrupper. Klaus Thomsen
|
|
- Monika Ibsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Punktgrupper Klaus Thomsen
2 1. Forord Disse noter er skrevet med henblik på et efteruddannelses-kursus for gymnasielærere i matematik og/eller kemi. Formålet er at give en introduktion til matematikken bag symmetribegrebet, som det anvendes i forbindelse med molekyler, og sætte læseren i stand til at bestemme symmetrigruppen for et givet molekyle. Dette gøres her ved først at give en udførlig introduktion til symmetribegrebet for begrænsede delmængder i 2 dimensioner, på et niveau og med en fremstilling som i princippet kan følges af elever i 3. g eller et tilsvarende uddannelsestrin. Det to-dimensionale tilfælde er velegnet til at give en ide om den matematik, der er involveret, fordi den er enklere og bygger ret direkte på begreber, som er velkendte for sådanne elever, og fordi symmetrierne er lettere at visualisere i to dimensioner end i tre. Denne del af noterne er nogenlunde selvstændig og bygger alene på lidt vektorregning og trigonometri, som jeg opsummerer i noternes første sektion. Selvom jeg ikke tvivler på, at fremstillingen er mere abstrakt, end elever på det tiltænkte niveau er vant til, håber jeg, at de vil kunne følge den, muligvis med en del besvær og fornøden hjælp. Til gengæld stoler jeg på at deres lærere vil finde indholdet let at tilegne sig. Stoffet jeg præsenterer er hentet fra mange kilder, men jeg må nævne Anders Thorups noter i Algebra (Matematik 2AL, Københavns Universitet) som jeg fandt på nettet, og uden hvilke jeg næppe havde fået skrevet det følgende. Jeg skylder desuden Anders Thorup en stor tak for hans hjælp med det bevis, der er skrevet ud i Appendixet. Efterfølgende indeholder noterne en kortfattet og summarisk beskrivelse af symmetrioperationerne og symmetrigrupperne, som optræder i forbindelse med molekyler. Håbet er, at læseren på baggrund af en relativt grundig gennemgang af det todimensionale tilfælde kan forstå de begreber, der benyttes i kemien til klassifikation af molekylers symmetriegenskaber. Denne del af noterne indeholder ingen matematiske argumenter overhovedet. Så mens noternes første og største del fokuserer på den matematiske teori, er den sidste del koncentreret omkring en fremstilling af de begreber og den notation, der benyttes i kemien i forbindelse med molekylers symmetriegenskaber. Afslutningvist indeholder noterne en beskrivelse af et beslutningstræ, som kan anvendes til at bestemme symmetrigruppen for et givet molekyle. Alle illustrationerne er lavet af Lars Madsen fra IMF ved brug af programmet metapost. 31. august 2007, Klaus Thomsen
3 2. NOTATION 3 2. Notation Det to-dimensionale Euklidiske rum betegnes R 2. Vi vil altid forestille os at R 2 er udstyret med et retvinklet koordinatsystem så punkterne i R 2 kan beskrives ved deres koordinater. Punkter i R 2 vil blive skrevet med fede typer: x. Og deres koordinater vil blive noteret vandret: x = (x 1, x 2 ). Til sammenligning vil vektorer i planen blive anført med fed eller almindelig skrift og med en pil over: x, og koordinaterne for vektorer noteres vertikalt: x1 x =. x 2 Tværvektoren af x betegner vi med x. Altså er x2 x =. x 1 Det er nu indlysende at der er bijektiv korrespondance mellem vektorer og punkter: Punktet x = (x, y) svarer til vektoren der har x som stedvektor, altså vektoren ( x x =. y) Punktet hvis stedvektor er tværvektoren x betegner vi med x. Altså er x = ( x 2, x 1 ). Ligesom vi kan addere vektorer og gange dem med tal kan vi derfor også gøre dette med punkter i planen: og (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ), (2.1) t (x 1, x 2 ) = (tx 1, tx 2 ). (2.2) I samme ånd kan vi overføre begrebet længde og skalarprodukt fra vektorer til punkter. Vi vil således lade x betegne længden af stedvektoren for x, og vi vil lade x, y betegne skalarproduktet mellem stedvektoren for x og stedvektoren for y. Vi kalder x for normen af x og x,y for det indre produkt (af x og y). Vi har nu formlerne x = x x 2 2 (2.3) og Der gælder desuden x,y = x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 (2.4) tx = t x (2.5) x + y x + y (2.6) tx + sy,z = t x,z + s y,z (2.7) z, tx + sy = t z,x + s z,y (2.8) x,y = y,x (2.9) x,x = x 2 (2.10)
4 4 Vi får brug for følgende formel der udtrykker det indre produkt ved normen: 2 x,y = x + y 2 x 2 y 2. (2.11) Lad os derfor verificere denne formel: Ved anvendelse af (2.7) og (2.8) finder vi at x + y,x + y = x,x + y + y,x + y = x,x + y,y + 2 x,y. Dermed finder vi at x + y 2 x 2 y 2 = x + y,x + y x,x y,y (ved brug af (2.10)) = x,x + y,y + 2 x,y x,x y,y (takket være (2.12)) = 2 x,y. (2.12) (2.13) En anden vigtig observation er at x y er standen mellem punkterne x og y. (2.14) Vi får også brug for additionsformlerne for cosinus og sinus: cos(x y) = cosxcos y + sin x sin y (2.15) cos(x + y) = cos x cosy sin x sin y (2.16) sin(x + y) = sin x cosy + cosxsin y (2.17) sin(x y) = sin x cosy cos x sin y (2.18) 3. Symmetrier i 2 dimension En symmetri i R 2 er en afstandbevarende afbildning fra R 2 ind i sig selv - altså en afbildning f : R 2 R 2 med den egenskab at afstanden mellem f(x) og f(y) er den samme som afstanden mellem x og y. Ved brug af (2.14) bliver kravet til f at for alle x,y R 2. f (x) f (y) = x y (3.1) Eksempel 3.1. En 90 graders drejning (x, y) ( y, x) er et eksempel på en symmetri. Det samme er en translation; f.eks. med vektoren (1, 5): (x, y) (x, y) + (1, 5) = (x + 1, y 5). Som vi skal se er dette ikke langt fra at udtømme mulighederne!
5 3. SYMMETRIER I 2 DIMENSION Lineære symmetrier. For at beskrive hvordan en symmetri generelt ser ud, og for at kunne arbejde en smule systematisk med dem, har vi brug for at kunne beskrive lineære afbildninger af planen. En lineær afbildning L : R 2 R 2 er en afbildning der opfylder at L(sx + ty) = sl(x) + tl(y) (3.2) for alle s, t R og alle x,y R 2. Lad L være en lineær afbildning af planen ind i sig selv. Lad e 1 = (1, 0) og e 2 = (0, 1) være punkterne der svarer til standard basisvektorerne i R 2. Så er (x 1, x 2 ) = x 1 e 1 + x 2 e 2 og vi finder ved brug af (3.2) at L (x 1, x 2 ) = x 1 L (e 1 ) + x 2 L (e 2 ) (3.3) for alle (x 1, x 2 ) R 2. Denne formel viser at afbildningen L er fuldstændig fastlagt ved hvordan den virker på e 1 og e 2. e2 L(x) x L(e 2 ) L(e 1 ) e1 FIGUR 1 Figur 1 illustrerer hvordan punktet L ( 1, 2) 1 geometrisk kan bestemmes ud fra L (e 1 ) og L (e 2 ). Det er et billede af formlen ( L 1, 1 ) = L (e 1 ) L (e 2). Det forhold at en linær afbildning L er fuldstændig bestemt af hvad den gør ved punkterne e 1 og e 2 udnyttes til at angive afbildningen på flg. komprimerede, matrix form: Lad L (e 1 ) = (a 1, a 2 ) og L (e 2 ) = (b 1, b 2 ). Så kan L bestemmes ud fra de 4 tal a 1, a 2, b 1, b 2. Disse tal skrives så på formen a1 b 1, a 2 b 2 en såkaldt matrix. Eksempel 3.2. Hvis L : R 2 R 2 er den lineære afbildning der sender e 1 i (2, 5) og e 2 i (3, 0), så er matricen for L Omvendt: Matricen π
6 6 bestemmer den lineære afbildning L : R 2 R 2 som sender e 1 i ( 7, 3 ) og e 2 i (2, π). Altså er L(x, y) = xl (e 1 ) + yl (e 2 ) = x(7, ( 3) + y (2, π) = 7x + 2y, ) 3x + πy. Mere generelt vil matricen A = a1 b 1 a 2 b 2 fastlægge en lineær afbildning L A : R 2 R 2 som sender (x, y) til (a 1 x + b 1 y, a 2 x + b 2 y). Altså L A (x, y) = (a 1 x + b 1 y, a 2 x + b 2 y). (3.4) Øvelse 3.3. Afgør for hver af følgende afbildninger f : R 2 R 2 om f er lineær og angiv matricen for f når det er tilfældet: a) f(x, y) = (7x 2, 3). b) f(x, y) = (3x + 6y, 2x + y). c) f(x, y) = (sin y, log (x 2 + 1)). d) f(x, y) = (x y, 0) Øvelse 3.4. Bestem matricen for en 90 graders drejning. Øvelse 3.5. Lad L : R 2 R 2 og K : R 2 R 2 være lineære afbildinger. a) Vis at den sammensatte afbildning K L : R 2 R 2 er lineær. b) Lad være matricen for L og A = B = a11 a 12 a 21 a 22 b11 b 12 b 21 b 22 matricen for K. Gør rede for at matricen for K L er b11 a 11 + b 12 a 21 b 11 a 12 + b 12 a 22. b 21 a 11 + b 22 a 21 b 21 a 12 + b 22 a 22 Lemma 3.6. Lad L : R 2 R 2 være en lineær afbildning. Så er flg. betingelser ensbetydende: i) L er en isometri. ii) L (x) = x for alle x R 2. iii) L (x),l(y) = x,y for alle x,y R 2.
7 3. SYMMETRIER I 2 DIMENSION 7 Bevis. i) ii): Da L er lineær er L (0) = L (20) = 2L (0). Heraf følger at L (0) = 0 = (0, 0). Da (3.1) er opfyldt finder vi L (x) = L (x) L (0) = x 0 = x. ii) iii) : Ved brug af (2.11) finder vi at L(x), L(y) = 1 ( L(x) + L(y) 2 L(x) 2 L(y) 2). 2 Anvender vi så at L er lineær i kombination med ii) finder vi at L(x) + L(y) 2 L(x) 2 L(y) 2 = x + y 2 x 2 y 2. Altså er L(x), L(y) = 1 ( x + y 2 x 2 y 2) = x,y. 2 iii) i): L(x) L(y) 2 = L(x y) 2 da L er lineær. Ved brug af (2.10) og iii) fåes at L(x y) 2 = L(x y), L(x y) = x y,x y. Så vi ser alt i alt at L(x) L(y) 2 = x y 2. Lemma 3.7. Lad L : R 2 R 2 være en lineær afbildning med matrix a b. c d ( ( Så er L en isometri hvis og kun hvis vektorerne L (e a 1 ) = og L (e b c) 2 ) = er d) indbyrdes ortogonale og har længde 1. Så Bevis. Antag først at L er en isometri. Fra Lemma 3.6 følger så at L (e 1 ) L (e 2 ) = L (e 1 ), L (e 2 ) = e 1,e 2 ) = 0. L (e 1 ) og L (e 2 ) er ortogonale. Fra Lemma 3.6 finder vi også at L (e i ) = e i, i = 1, 2. Altså er L (e i ), i = 1, 2, ( enhedsvektorer. ( Antag omvendt at L (e a 1 ) = og L (e b c) 2 ) = er indbyrdes ortogonale og d) har længde 1. Lad x = (x 1, x 2 ) R 2. Så er L (x) 2 = x 1 L (e 1 ) + x 2 L (e 2 ) 2 = x 1 L (e 1 ) + x 2 L (e 2 ),x 1 L (e 1 ) + x 2 L (e 2 ) = x 2 1 L (e 1 ), L (e 1 ) + 2x 1 x 2 L (e 1 ),L(e 2 ) + x 2 2 L (e 2 ), L (e 2 ) = x x2 2 = x 2. (3.5) Dette viser at L (x) = x for alle x R 2. Så er L en symmetry ifølge Lemma 3.6. Lemma 3.8. Lad L : R 2 R 2 være en lineær symmetri med matrix a b. c d
8 8 Så er L en bijektion og den inverse afbildning L 1 : R 2 R 2 er en lineær symmetri med matrix ). ( d ad cb c ad cb b ad cb a ad cb Bevis. Ifølge Lemma 3.7 er vektorerne L (e 1 ) og L (e 2 ) indbyrdes ortogonale og har længde 1. Altså må L (e 2 ) enten være tværvektoren for L (e 1 ) eller minus tværvektoren for L (e 1 ). Så enten er (b ) c = d a eller b c =. d a I det første tilfælde er ad cb = a 2 + c 2 = L (e 1 ) 2 = 1 og i det andet er ad cb = a 2 c 2 = L (e 1 ) 2 = 1. I begge tilfælde er ad cb 0 så vi kan indføre matricen A = ( d ad cb c ad cb b ad cb a ad cb Vi påstår at den tilhørende lineære afbildning L A : R 2 R 2 er den inverse afbildning til L, og at L A er en symmetri. For at vise det checker vi først at L A (L (e 1 )) = L A (a, c) = al A (e 1 ) + cl A (e 2 ) d = a ad cb, c ad cb = (1, 0) = e 1 og at L A (L (e 2 )) = L A (b, d) = bl A (e 1 ) + dl A (e 2 ) d = b ad cb, c ad cb = (0, 1) = e 2. ( b + c ad cb, ( b + d ad cb, ). ) a ad cb ac + ca =, ad cb ad cb ad cb ) a bd bd bc + da =, ad cb ad cb ad cb Da både L og L A er lineære afbildinger må L A L også være det, jvf. Øvelse 3.5. Som vi netop har set er L A L (e i ) = e i, i = 1, 2, så vi har derfor at L A L(x, y) = xl A L (e 1 ) + yl A L (e 2 ) = xe 1 + ye 2 = (x, y) for alle (x, y) R 2. Ved på samme måde at checke at L (L A (e i )) = e i, i = 1, 2, finder man ligeledes at L L A (x, y) = (x, y) for all (x, y) R 2. Altså er L A den inverse afbildning for L. Tilbage er kun at checke at L A er en symmetri. Det kan f.eks. gøres på flg. måde: L A (x) = L (L A (x)) (da L er en symmetri) (3.6) = x (da L (L A (x)) = x). Altså er L A en symmetri ifølge Lemma 3.6.
9 3. SYMMETRIER I 2 DIMENSION 9 Som vi så i beviset for Lemma 3.8 kan de lineære symmetrier L deles op i to klasser afhængig af om L (e 2 ) er tværvektoren for L (e 1 ) eller minus denne vektor. Altså om situationen er L(e 2 ) e2 L(e 1 ) e1 FIGUR 2 eller e2 L(e 1 ) e1 L(e 2 ) FIGUR 3 I det første tilfælde kalder vi L for en drejning og i det andet tilfælde for en spejling. Som vi ligeledes så i beviset for Lemma 3.8 kan man ud fra matricen for L relativt let afgøre hvilken af de to klasser L hører til: Hvis matricen for L er a b, c d så er L en drejning når ad bc = 1, (3.7) mens L er en spejling når ad bc = 1. (3.8) Ligeledes fra beviset for Lemma 3.8 ser vi at ( b c = d) a når L er en drejning mens når L er en spejling. b c =. d a
10 10 Når L er en drejning kan matricen for L altså skrives på formen a c. (3.9) c a Matricen for den inverse afbildning L 1 er så a c. (3.10) c a Når L er en spejling kan matricen for L skrives på formen a c, (3.11) c a og ved brug af Lemma 3.8 finder vi, at matricen for den inverse afbildning er a c. (3.12) c a Altså er en spejling sin egen inverse Drejninger. Lemma 3.9. Antag at D : R 2 R 2 er en drejning. Lad θ [0, 2π[ være den vinkel med positiv omløbsretning som L (e 1 ) danner med e 1. Så gælder at for ehvert punkt x R 2 er L (x) den vektor der har samme længde som x og som danner vinklen θ med x med positiv omløbsretning. Bevis. Lad x = (x, y). Situationen er som vist i Figur 4. L(x, y) = xl(e 1 ) + yl(e 2 ) e2 β L(e 1 ) (x, y) L(e 2 ) α e1 FIGUR 4 Udsagnet i lemmaet er at de to vinkler α og β er ens. For at vise det indfører vi matricen for D: a b c d Da D er en drejning er b c =, (3.13) d a
11 3. SYMMETRIER I 2 DIMENSION 11 så cos β = L(x, y), (x, y) L(x, y) (x, y) = = L(x, y), (x, y) (x, y) 2 (xa + yb, xc + yd), (x, y) x 2 + y 2 (da L er en symmetri) = ax2 + y 2 d + bxy + cxy x 2 + y 2 (3.14) mens Tilsvarende finder vi at = ax2 + ay 2 x 2 + y 2 = a (ved brug af (3.13)) sin β = cosα = L (e 1 ),e 1 = (a, c), (1, 0) = a. L(x, y), ( y, x) L(x, y) (x, y) = (xa + yb, xc + yd), ( y, x) = axy + dxy by2 + cx 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 (3.15) mens = cx2 + cy 2 x 2 + y 2 = c (ved brug af (3.13)) sin α = L (e 1 ), (0, 1) = (a, c), (0, 1) = c. Da cosβ = cosα og sin β = sin α må α = β som påstået. Lemma 3.9 fortæller os præcist hvordan en drejning D virker på R 2 : D drejer planen omkring (0, 0) med en fast vinkel. Det er derfor ikke nogen dårlig ide at få drejningsvinklen til at optræde eksplicit i matricen for drejningen. Det gøres på flg. måde: Da D er en drejning kan matricen for D skrives på formen a c. c a Da a 2 + c 2 = L (e 1 ) 2 = 1 ligger punktet (a, c) på enhedscirklen og derfor er (a, c) = (cos θ, sin θ), ( a hvor θ [0, 2π[ er den vinkel som vektoren danner med e c) 1. Matricen for D kan nu skrives som cosθ sin θ. sin θ cosθ
12 12 Hvis vi bruger formel (3.10) for matricen til den inverse afbildning til D ser vi at dette bliver matricen cosθ sin θ cos θ sin θ =, sin θ cosθ sin θ cos θ som også er matricen for drejningen med vinklen θ. Den inverse afbildning til drejning med vinklen θ er altså drejningen med vinklen θ - næppe nogen stor overraskelse! I det følgende lader vi D θ betegne drejning med vinklen θ. Øvelse a) Find matricen for D θ1 D θ2. b) Vis at D θ1 D θ2 = D θ2 D θ1 = D θ1 +θ Spejlinger. For at beskrive hvorledes spejlingerne virker i planen vælger vi en linie l gennem (0, 0) med retningvektor cos ϕ r =. sin ϕ l r r FIGUR 5 Lad x = (x, y) R 2. Ved spejlingen af x i linien l forstår vi punktet S ϕ (x) der ligger på den linie gennem x som står vinkelret på l, og har samme afstand til l som x har, men ligger på den modsatte side af l. Tegningen illustrerer dette bedre end ord: (x, y) l r r S ϕ (x, y) FIGUR 6 Ud fra figuren ser vi at at når x = s r + t r, hvor s, t R, så er S ϕ (x) = s r + t r. (3.16)
13 3. SYMMETRIER I 2 DIMENSION 13 Hvis vi sætter r = (cosϕ, sin ϕ) og ˆr = ( sin ϕ, cosϕ), således at r og r er stedvektorerne for r og ˆr, hhv., ser vi at når x = sˆr + tr. Lemma S ϕ er lineær og matricen for S ϕ er cos 2ϕ sin 2ϕ sin 2ϕ cos 2ϕ Bevis. Når x = s ˆr + t r, y = s ˆr + t r og s, t R er S ϕ (x) = sˆr + tr (3.17) S ϕ (sx + ty) = S ϕ ((ss + ts )ˆr + (st + tt )r) (3.18) = (ss + ts )ˆr + (st + tt )r (ved brug af (3.17)) = s ( s ˆr + t r) + t ( s ˆr + t r) (3.19) = ss ϕ (x) + ts ϕ (y). Altså er S ϕ lineær. For at checke den angivne formel for matricen for S ϕ lader vi L betegne den lineære afbildning hvis matrix er (3.18). Vi skal så eftervise at L = S ϕ. Vi finder først at L (r) = cosϕl (e 1 ) + sin ϕl (e 2 ) = cos ϕ (cos 2ϕ, sin 2ϕ) + sin ϕ (sin 2ϕ, cos 2ϕ) (3.20) = (cosϕcos 2ϕ + sin ϕ sin 2ϕ, cosϕsin 2ϕ sin ϕ cos 2ϕ). Additionsformlerne for cosinus og sinus, cf. (2.15)- (2.18) giver at cos ϕ cos 2ϕ + sin ϕ sin 2ϕ = cos(2ϕ ϕ) = cos ϕ, mens cosϕsin 2ϕ sin ϕ cos 2ϕ = sin(2ϕ ϕ) = sin ϕ. Altså er L (r) = (cosϕ, sin ϕ) = S ϕ (r). (3.21) På tilsvarende måde finder vi at L (ˆr) = sin ϕl (e 1 ) + cosϕl (e 2 ) = sin ϕ (cos 2ϕ, sin 2ϕ) + cosϕ(sin 2ϕ, cos 2ϕ) = (cosϕsin 2ϕ sin ϕ cos 2ϕ, sin ϕ cos2ϕ cosϕcos 2ϕ) (3.22) = (sin ϕ, cosϕ) = S ϕ (ˆr).
14 14 Altså er L (ˆr) = S ϕ (ˆr). (3.23) Fra (3.21) og (3.23) følger at når x = sˆr + tr, hvor s, t R, så er Altså er L = S ϕ. S ϕ (x) = ss ϕ (ˆr) + ts ϕ (r) = sl (ˆr) + tl (r) = L (x). I det følgende lader vi ( D θ betegne ) drejningen med vinkel θ og S ϕ spejlingen i cosϕ linien med retnings vektor. sin ϕ Øvelse Vis flg. identiteter, f.eks. ved at bruge resultatet af Øvelse 3.5 b) i kombination med additionsformlerne for de trigonometriske funktioner: a) S ϕ S ϕ = D 2ϕ 2ϕ. b) S ϕ D θ = S ϕ θ. 2 c) D θ S ϕ = S ϕ+ θ. 2 d) S ϕ D θ S ϕ = D θ. Den kvalitative information der er indeholdt i Øvelse 3.12 er at sammensætningen af to spejlinger er en drejning mens sammensætnigen af en drejning og en spejling er en spejling Generelle symmetrier i 2 dimensioner. I dette afsnit viser vi hvorledes en generel symmetri i planen ser ud. Lemma Lad a = (a 1, a 2 ),b = (b 1, b 2 ) være punkter in R 2 så a,b = 0 og a = b = 1. Så er x = x,a a + x,b b for alle x R 2. Bevis. Da a b = a,b = 0, og a og b har samme længde, må b = a eller b = a. Dvs. at (b1, b 2 ) = ± ( a 2, a 1 ). Uanset hvilken af de to mulighder der foreligger ser vi at x,b b = (x 1, x 2 ), ( a 2, a 1 ) ( a 2, a 1 ). (3.24) Lad x = (x 1, x 2 ). Ved brug af (3.24) finder vi at x,a a + x,b b = (x 1, x 2 ),(a 1, a 2 ) (a 1, a 2 ) + (x 1, x 2 ), ( a 2, a 1 ) ( a 2, a 1 ) = (x 1 a 1 + x 2 a 2 )(a 1, a 2 ) + (x 1 ( a 2 ) + x 2 a 1 )( a 2, a 1 ) = ( ( ) x 1 a a2) 2, x2 a a 2 2 = (x 1, x 2 ) = x (da a a2 2 = a 2 = 1). Proposition Lad f : R 2 R 2 være en symmetri så f(0) = 0. Så er f lineær.
15 3. SYMMETRIER I 2 DIMENSION 15 Bevis. Bemærk først at f(x) = f(x) f(0) = x 0 = x (3.25) for alle x R 2. Ved anvendelse af (2.11) finder vi at 2 f(x), f(y) = 2 f(x), f(y) = f(x) 2 + f(y) 2 f(x) f(y) 2 = f(x) 2 + f(y) 2 x y 2. Kombineres dette med (3.25) finder vi at 2 f(x), f(y) = x 2 + y 2 x y 2 = 2 x, y = 2 x,y og dermed at f(x), f(y) = x,y (3.26) for alle x,y R 2. Det følger heraf at for både i = 1 og i = 2. Desuden er f (e i ) 2 = f (e i ),f (e i ) = e i,e i = 1 f (e 1 ),f (e 2 ) = e 1,e 2 = 0. Vi kan derfor anvende Lemma 3.13 med a = f (e 1 ) og b = f (e 2 ). Dette giver os at y = y, f (e 1 ) f (e 1 ) + y, f (e 2 ) f (e 2 ) (3.27) for alle y R 2. Lad så x R 2 være givet. Anvender vi (3.27) med y = f (x) i kombination med (3.26) finder vi at f (x) = f(x), f (e 1 ) f (e 1 ) + f(x), f (e 2 ) f (e 2 ) = x,e 1 f (e 1 ) + x,e 2 f (e 2 ). (3.28) Det følger fra denne formel for f (x) at f er lineær: Lad x,y R 2, s, t R. Ved anvendelse af (2.7) og (3.28) finder vi at f (sx + ty) = = sx + ty,e 1 f (e 1 ) + sx + ty,e 2 f (e 2 ) = s x, e 1 f (e 1 ) + t y,e 1 f (e 1 ) + s x,e 2 f (e 2 ) + t y,e 2 f (e 2 ) = s ( x,e 1 f (e 1 ) + x,e 2 f (e 2 )) + t ( y,e 1 f (e 1 ) + y,e 2 f (e 2 )) = sf (x) + tf (y). (3.29) Sætning Lad f : R 2 R 2 være en symmetri. Så findes en lineær symmetri L og et punkt b R 2 således at for alle x R 2. Så er f(x) = L(x) + b (3.30) Bevis. Sæt b = f(0, 0). Definer en ny afbildning L : R 2 R 2 ved at L (x) = f(x) b. L(x) L(y) = f(x) b f(y) + b = f(x) f(y) = x y. Altså er L en symmetri. Da L(0) = f(0) b = f(0) f(0) = 0 følger fra Proposition 3.14 at L er lineær. Da f(x) = L(x) + b er vi færdige med beviset.
16 16 Lad c R 2. Afbildningen t c : R 2 R 2 defineret ved at t c (x) = x + c er en translation med vektoren (eller punktet) c. Bemærk at en translation er en symmetri. Den geometriske fortolkning af Sætning 3.15 er at enhver symmetri af planen er sammensat af to operationer: Først en lineær symmetri (nemlig L), som vi ved enten må være en drejning eller en spejling, efterfulgt af en translation, nemlig med vektoren b. Proposition Enhver symmetri f : R 2 R 2 er en bijektion (altså 1-til-1 og på), og den inverse afbildning f 1 : R 2 R 2 er også en symmetri. Hvis f er givet ved (3.30) er f 1 (x) = L 1 (x) L 1 (b) (3.31) for alle x R 2. Bevis. Ifølge Sætning 3.15 findes der en lineær isometri L : R 2 R 2 og et punkt b R 2 så f(x) = L(x) + b. Ifølge Lemma 3.8 er L en bijektion og L 1 : R 2 R 2 er også en lineær isometri. Definer g : R 2 R 2 ved g(x) = L 1 (x) L 1 (b). Så er g en symmetri fordi L 1 er det. Og f g(x) = f ( L 1 (x) L 1 (b) ) = L ( L 1 (x) L 1 (b) ) + b = L (( L 1 (x) )) + L ( L 1 (b) ) + b = x. På samme måde finder vi at g f(x) = x. Altså er g den inverse afbildning til f. I symboler: g = f Symmetrigrupper i 2 dimensioner Når f, g : R 2 R 2 er to symmetrier er den sammensatte afbilding f g også en symmetri. Thi for alle x,y R 2 gælder at f g (x) f g(y) = f (g(x)) f (g(y)) = g(x) g(y) (fordi f er en symmetri) = x y (fordi g også er det.) (4.1) Lad E : R 2 R 2 betegne den trivielle symmetri, nemlig den symmetri som ikke ændrer noget: E(x) = x. Vi vil referere til E som identiteten. Bemærk at det følger fra Proposition 3.16 at enhver symmetri har en invers afbildning f 1, som også er en symmetri, og opfylder at f f 1 = f 1 f = E. Definition 4.1. En samling G af symmetrier vil blive kaldt en gruppe af symmetrier når a) E G, og b) f, g G f 1 g G.
17 4. SYMMETRIGRUPPER I 2 DIMENSIONER 17 For eksempel udgør translationerne en gruppe af symmetrier: E er jo translation med 0, og t 1 a t b = t b a. Dette er et eksempel på en uendelig gruppe af symmetrier. Ligeledes udgør drejningerne en uendelig gruppe af symmetrier. Samlingen af samtlige symmetrier er også en gruppe af symmetrier - den største af dem alle sammen. Denne gruppe af symmetrier betegner vi med Sym ( R 2) i det følgende. Øvelse 4.2. Lad S være en spejling. Vis at {E, S} er en gruppe af symmetrier. Lad nu M R 2 være en ikke-tom delmængde af planen. M kan være en firkant, en cirkel, et bogstav eller noget helt andet. Det eneste vi vil antage er, at M er en begrænset delmængde, dvs. at der findes et R > 0 så x R når x M. Dette krav udelukker ubegrænsede delmængder af R 2, som f.eks. linier. Men bortset fra denne indskrænkning, at M skal være begrænset, kan M altså være helt vilkårlig. Som gennemgående eksempel vælger vi idet følgende en figur som mistænkeligt meget minder om (en model af) et molekyle: FIGUR 7 Vi siger at en symmetri f : R 2 R 2 er en symmetri i M når der om ethvert punkt x R 2 gælder at x M f(x) M. (4.2) Denne betingelse udtrykker at f afbilder et punkt i M over i et punkt i M, og at f s inverse afbildning, f 1, også gør det. Så en symmetri f i M giver ved restriktion anledning til en bijektiv afbildning f : M M som er afstandsbevarende. Hvis f er en drejning kan man tænke på f som en drejning af M som fører M tilbage til sig selv; de enkelte punkter i M er måske nok blevet flyttet (drejet), men M er vendt tilbage til sin oprindelige position. Mængden af symmetrier af M betegner vi med Sym(M). Lemma 4.3. Sym(M) er en gruppe af symmetrier. Bevis. Det er klart at E Sym(M). Antag at f, g Sym(M). Hvis x M vil g(x) M da g er en symmetri i M. Altså er g(x) = f f 1 g(x) M så vi ser at f 1 g(x) M da f er en symmetri i M (vi bruger her implikationen fra (4.2)). Dermed har vi vist, at x M f 1 g(x) M. (4.3) Antag så at f 1 g(x) M. Da f er en symmetri i M følger det at g(x) = f ( f 1 g(x) ) M. Men g er også en symmetri af M, så g(x) M x M. Dermed har vi vist at at f 1 g(x) M x M. (4.4) Tilsammen viser (4.3) og (4.4) at f 1 g er en symmetri i M.
18 18 Eksempel 4.4. Lad os prøve at bestemme symmetrierne af mængden M R 2 angivet i Figur 7. Lad os placere koordinatsystemet så y-aksen ligger som angivet i Figur 8: y-aksen FIGUR 8 Det er så let at se at drejningen D π med vinklen π (= 180 grader) vil være en symmetri af M. Det samme vil spejlingen S π i y-aksen. Sammen med E giver 2 det os umiddelbart 3 symmetrier af M: E, S π og D π. Men ifølge Lemma 4.3 er 2 sammensætningen S π D π 2 også en symmetri af M. Ifølge Øvelse 3.12 b) er S π D π = S 2 0, som jo er spejlingen i x-aksen. Så spejlingen i x-aksen er også en symmetri af M - hvilket man jo også kunne ha set direkte hvis ikke man havde været for optaget af y-aksen. Vi har altså alt i alt fundet 4 elementer af Sym(M): E, S π 2, D π, S 0. (4.5) Det er nu ikke svært at indse at Lemma 4.3 ikke gi r os flere elementer: Uanset hvilke af de 4 elementer fra (4.5) vi vælger som f og g vil f 1 g hver gang give et element som allerede findes i (4.5). M.a.o. symmetrierne i (4.5) udgør en gruppe af symmetrier. Men kan vi være sikre på, at vi ikke har overset nogle symmetrier i Sym(M)? For at sikre os at det ikke er tilfældet tænker vi os lidt om: Der er to punkter a 0,b 0 M med størst mulig afstand. Se figur 9. a 0 b 0 FIGUR 9 Bemærk at der ikke er andre punkter i M med afstanden a 0 b 0. Hvis f er en symmetri i M må f(a 0 ) og f(b 0 ) også være punkter i M med netop denne afstand. Derfor må f(a 0 ) = a 0 og f(b 0 ) = b 0 (4.6) eller f(a 0 ) = b 0 og f(b 0 ) = a 0. (4.7)
19 4. SYMMETRIGRUPPER I 2 DIMENSIONER 19 Bemærk at 0 = 1 2 a b 0. Så under alle omstændigheder må Dette kan f.eks. indses ved at bruge Sætning 3.15: ( 1 f(0) = f 2 a ) 2 b 0 ( 1 = L 2 a ) 2 b 0 + b f(0) = 0. (4.8) = 1 2 L(a 0) L(b 0) + b (da L er lineær) = 1 2 (L(a 0) + b) (L(b 0) + b) = 1 2 f (a 0) f (b 0) Uanset om (4.6) eller (4.7) er opfyldt er 1 2 f (a 0)+ 1 2 f (b 0) = 1 2 a b 0 = 0. Så (4.8) er opfyldt under alle omstændigheder. Det følger nu fra Proposition 3.14 og (4.8) at f må være lineær. Betragt nu punkterne c 0 og d 0 : c 0 d 0 FIGUR 10 Da f er lineær får vi fra Lemma 3.6 at f(c 0 ), f(b 0 ) = c 0,b 0 = 0. Altså er f(c 0 ) ortogonal på f(b 0 ). Da f(b 0 ) = ±a 0 betyder det, at f(c 0 ) ligger på y-aksen. Men f(c 0 ) = c 0 så vi ser at eller f(c 0 ) = c 0 og f(d 0 ) = d 0 (4.9) f(c 0 ) = d 0 og f(d 0 ) = c 0. (4.10) Der er nøjagtig 4 mulige kombinationer af (4.6), (4.7), (4.9) og (4.10). Da a 0 og c 0 er indbyrdes ortogonale kan enhver vektor x skrives som x = s a 0 + t c 0, for et passende valg af s, t R, se Figur 11.
20 20 (x, y) c 0 a 0 Da f er lineær er FIGUR 11 f(x) = sf (a 0 ) + tf (c 0 ). Derfor er f fuldstændig bestemt af hvad f gør ved punkterne a 0 og c 0, og vi kan konkludere at der er netop 4 symmetrier i Sym(M), nemlig dem der er anført i (4.5). Øvelse 4.5. Lad nu D R 2 være delmængden af planen givet ved et stort D: Vis at der er præcist 2 symmetrier i D og beskriv dem begge. D Lad f : R 2 R 2 være en symmetri. Et punkt x R 2 er et fixpunkt for f når f(x) = x. Vi så i Eksempel 4.4 at der var et punkt (nemlig 0) som var et fælles fixpunkt for symmetrierne i M. Dette er ikke en tilfældighed, men tværtimod et helt generelt fænomen for symmetrigruppen af en begrænset delmængde. Der gælder nemlig følgende sætning: Sætning 4.6. Lad M være en begrænset delmængde af R 2. Så findes der et punkt x 0 R 2 så f (x 0 ) = x 0 for alle f Sym(M). Det fælles fixpunkt for M behøver ikke at være et punkt i M. Hvis f.eks. M er delmængden i figur 12 FIGUR 12
21 4. SYMMETRIGRUPPER I 2 DIMENSIONER 21 er det fælles fixpunkt for Sym(M) punktet i midten af sekskanten, og altså ikke selv et punkt i M. Den motiverede læser kan finde et bevis for Sætning 4.6 i Appendix 10. Grupper af symmetrier som har et fælles fixpunkt kaldes for punktgrupper. I den terminologi siger Sætning 4.6 at symmetrigruppen for en begrænset delmængde af planen udgør en punktgruppe. Lad G være en gruppe af symmetrier. Når γ Sym (R 2 ) er en symmetri lader vi γgγ 1 betegne mængden af symmetrier i Sym (R 2 ) på formen γ f γ 1, hvor f er en symmetri i G. Så er γgγ 1 også en gruppe af symmetrier og vi siger, at G og γgγ 1 er konjugerede grupper af symmetrier. Eksempel 4.7. Lad M R 2 være en begrænset delmængde af R 2. Lad t a være translation med a R 2. Sæt t a (M) = {x + a : x M}. Så består t a (M) af punkterne i R 2 der fremkommer ved at translatere alle punkter i M med vektoren a, se figur 13 t a (M) M a FIGUR 13 Så t a (M) er altså blot mængden M som er blevet flyttet ved brug af translationen t a. Det er ikke svært at indse, at Sym (t a (M)) = t a Sym(M)t a. Så symmetrigruppen for t a (M) er altså konjugeret til Sym(M). Mere generelt kan man vise at hvis γ er en vilkårlig symmetri (og altså ikke nødvendigvis en translation) så er en begrænset delmængde af R 2 og γ(m) = {γ(x) : x M} Sym (γ(m)) = γ Sym(M)γ 1. Som Eksempel 4.7 illustrerer, er konjugerede grupper af symmetrier stort set identiske - den ene er blot en flytning af den anden. Det er helt i overensstemmelse med anvendelsen i kemi, hvor to punktgrupper netop betragtes som ens når (og kun når) de er konjugerede. Ved brug af Sætning 4.6 kan vi nu gøre følgende afgørende skridt mod en fuldstændig klassifikation af symmetrigrupper i planen:
22 22 Sætning 4.8. Lad M være en begrænset delmængde af R 2. Så findes en translation t så t Sym(M)t 1 består af lineære symmetrier. Bevis. Ifølge Sætning 4.6 er der et fælles fixpunkt x 0 for alle symmetrierne i Sym(M). Sæt t = t x0. Når f Sym(M) er t f t 1 (0) = t f (x 0 ) = t (x 0 ) = 0. Altså er 0 et fælles fixpunkt for alle symmetrierne i t Sym(M)t 1. Det følger så fra Proposition 3.14 at alle symmetrierne i t Sym(M)t 1 er lineære. Sammenholder man Sætning 4.8 med Eksempel 4.7 ser man at en begrænset mængde i planen kan flyttes således at symmetrigruppen for den flyttede mængde udelukkende består af lineære symmetrier. Fra afsnit 3.1 ved vi at enhver lineær symmetri enten er en drejning eller en spejling. Så vi ved nu at symmetrigruppen for en endelig mængde i planen består af drejninger og/eller spejlinger. 5. Endelige symmetrigrupper i planen Lad M være en begrænset delmængde af R 2. Ved evt. at flytte M kan vi opnå at alle symmetrier i Sym(M) holder 0 fast, og derfor alle er lineære, jvf. Sætning 4.8. Vi antager nu at Sym(M) er endelig, altså at der kun er endeligt mange drejninger i symmetrigruppen for M. Denne betingelse er opfyldt for alle delmængder af R 2 som har blot en svag lighed med et molekyle eller et billede af et molekyle. Desuden gør antagelsen den efterfølgende analyse meget lettere. Lemma 5.1. Lad M være en begrænset delmængde af R 2 således at Sym(M) er endelig og består af lineære symmetrier. Så findes et n {1, 2, 3, 4,... } således at 2π n = min {θ ]0, 2π] : D θ Sym(M)}. (5.1) I ord siger lemmaet at den mindste positive vinkel som noget element fra Sym(M) drejer med, er en vinkel der er lig 2π for et eller andet naturligt tal n. n Bevis. Da Sym(M) er endelig er {θ ]0, 2π] : D θ Sym(M)} (5.2) en endelig mængde af tal. Vi lader θ 0 være det mindste tal i denne mængde. Så er D θ0 Sym(M), D 2θ0 = D θ0 D θ0 Sym(M), D 3θ0 = D θ0 D θ0 D θ0 Sym(M), osv. Fortsætter vi ser vi, at D kθ0 Sym(M) for alle k = 1, 2, 3,.... Men Sym(M) er endelig så der må være mindst to forskellige i, j så D iθ0 = D jθ0. Antag i > j. Så er D (i j)θ0 = D 1 jθ 0 D iθ0 = E. (5.3) Der findes altså et natuligt tal m (i j, f.eks.) så D mθ0 = E. Lad nu n være det mindste naturlige tal med denne egenskab. Da θ 0 er det mindst element i (5.2) er
23 5. ENDELIGE SYMMETRIGRUPPER I PLANEN 23 θ 0, 2θ 0, 3θ 0,...,(n 1)θ 0 alle mindre end 2π. Da D nθ0 = E må nθ 0 være et helt multiplum af 2π. Lad os sige at nθ 0 = k2π. Hvis k 2 er 2π > nθ 0 θ 0 (da (n 1)θ 0 < 2π) = k2π θ 0 2π + (2π θ 0 ) (fordi vi antager at k 2) 2π (fordi θ 0 2π.) (5.4) Så hvis k 2 får vi fra (5.4) konklusionen at 2π > 2π, hvilket er forkert. Altså kan k ikke være større end 1. Så nθ 0 = 2π. Lemma 5.2. Lad M være en begrænset delmængde af R 2 således at Sym(M) er endelig og består af lineære symmetrier. Lad n være det naturlige tal fra (5.1). Så er D j 2π, j = 0, 1, 2,..., n 1, (5.5) n de eneste drejninger i Sym(M). Bevis. Da D2π Sym(M) følger det at alle drejningerne (5.5) er elementer in n Sym(M). Vi skal vise at der ikke er andre. Antag altså at D α, α ]0, 2π], er en drejning i Sym(M). Der findes så netop ét j {1, 2,..., n} så ] α (j 1) 2π ] n, j2π. n Hvis α j 2π n er 0 < α (j 1) 2π n < 2π n. Da D α (j 1) 2π n = D 1 (j 1) 2π n D α Sym(M) strider dette imod definitionen af n, jvf. (5.1). Altså må α = j 2π. n Lad M være en begrænset delmængde af R 2 således at Sym(M) er endelig og består af lineære symmetrier. Vi definerer drejningsgraden af Sym(M) til at være det naturlige tal n fra (5.1) når Sym(M) ikke indeholder nogen spejlinger, og til at være n når Sym(M) indeholder en spejling. Sætning 5.3. Lad M og M være begrænsede delmængder af R 2, begge med endelige symmetrigrupper bestående af lineære symmetrier. Så er Sym(M) og Sym(M ) konjugerede hvis og kun hvis Sym(M) og Sym(M ) har samme drejningsgrad. Bevis. Antag først at Sym(M) og Sym(M ) er konjugerede. Dvs. at der findes en symmetri γ så γ Sym(M)γ 1 = Sym(M ). (5.6) Vi skal vise, at Sym(M) og Sym(M ) har samme drejningsgrad. Ifølge Sætning 3.15 findes der en lineær symmetri L og et punkt b R 2 så Ved brug af Proposition 3.16 finder vi at γ(x) = L(x) + b. γ f γ 1 (x) = L f L 1 (x) L f L 1 (b) + b (5.7) for alle x R 2 når f Sym(M). Da γ f γ 1 er lineær er γ f γ 1 (0) = 0. Indsættes dette i (5.7) finder vi at L f L 1 (b) + b = 0
24 24 og det følger så at γ f γ 1 = L f L 1 for alle f Sym(M). Da L enten er en drejning eller en spejling følger det fra Øvelse 3.12 at L f L 1 er en drejning (hhv. en spejling) hvis og kun hvis f er en drejning (hhv. en spejling). Yderligere finder vi ved brug af Øvelserne 3.10 og 3.12 at { L D θ L 1 D θ når L er en drejning = når L er en spejling. D θ Så Sym(M) indeholder nøjagtig de samme drejninger som Sym(M ), og Sym(M) indeholder en spejling hvis og kun hvis Sym(M ) indeholder en spejling. Altså har Sym(M) og Sym(M ) den samme drejningsgrad. Antag omvendt at Sym(M) og Sym(M ) har samme drejningsgrad. Lad m være denne fælles drejningsgrad. Ifølge Lemma 5.2 indeholder Sym(M) og Sym(M ) så de samme drejninger, nemlig { D j 2π m } : j = 0, 1, 2,..., m 1. (5.8) Hvis m > 0 ved vi også at hverken Sym(M) eller Sym(M ) indeholder nogen spejlinger. Så i dette tilfælde er Sym(M) = Sym(M ). Hvis derimod m < 0 ved vi at både Sym(M) og Sym(M ) indeholder en spejling. Lad S ϕ være en spejling indeholdt i Sym(M) og S ϕ en spejling indeholdt i Sym(M ). Lad T være en symmetri i Sym(M). Hvis T er en drejning er T et element i (5.8). Antag så at T er en spejling. Så er T S ϕ en drejning i Sym(M) ifølge a) af Øvelse Så T = T S ϕ S ϕ er et element i { } D j 2π S ϕ : j = 0, 1, 2,..., m 1. (5.9) m Vi har så vist, at { Sym(M) = D j 2π m På samme måde finder vi at { Sym(M ) = D j 2π m Sæt } { } : j = 0, 1, 2,..., m 1 D j 2π S ϕ : j = 0, 1, 2,..., m 1. m (5.10) } { : j = 0, 1, 2,..., m 1 λ = ϕ ϕ. 2 Ved brug af Øvelse 3.12 finder vi at S λ D j 2π S λ = D m j 2π m D j 2π m = D ( m j) 2π m for alle j = 0, 1, 2,..., m 1. Ligeledes finder vi fra Øvelse 3.12 at } S ϕ : j = 0, 1, 2,..., m 1. (5.11) (5.12) S λ D j 2π S ϕ S λ = D m j 2π S ϕ = D m ( m j) 2π S ϕ (5.13) m for alle j = 0, 1, 2,..., m 1. Sammenholdt med (5.10) og (5.11) viser dette at S λ Sym(M)S λ = Sym(M ). Altså er Sym(M) og Sym(M ) konjugerede.
25 5. ENDELIGE SYMMETRIGRUPPER I PLANEN 25 Ved hjælp af Sætning 4.8 og Sætning 5.3 kan vi indføre drejningsgraden for vilkårlige begrænsede mængder M med den egenskab at Sym(M) er endelig: Vi definerer drejningsgraden til at være drejningsgraden af t Sym(M)t 1, hvor t er en translation med den egenskab at t Sym(M)t 1 består af lineære symmetrier. En sådan translation findes ifølge Sætning 4.8. Hvis t 1 er en anden translation med den egenskab, er t 1 Sym(M)t 1 1 og t Sym(M)t 1 konjugerede via tt 1 1 og ifølge Sætning 5.3 har t 1 Sym(M)t 1 1 og t Sym(M)t 1 den samme drejninggrad. Vi kan nu opsummere: Sætning 5.4. Lad M og M være begrænsede delmængder af R 2 således at Sym(M) og Sym(M ) begge er endelige. Så er Sym(M) og Sym(M ) konjugerede hvis og kun hvis de har den samme drejningsgrad Typer og terminologi. Lad M R 2 være en begrænset delmængde således at Sym(M) er endelig. Lad n {1, 2, 3,... } være tallet fra (5.1). Hvis Sym(M) ikke indeholder nogen spejling siger man at Sym(M) er af type Hvis derimod Sym(M) indeholder en spejling siger man at Sym(M) er af type C n. D n. Med den terminologi er udsagnet i Sætning 5.4 at Sym(M) og Sym(M ) er konjugerede hvis og kun hvis de er af samme type. Vi bemærker at grupper at type C n har n elementer mens grupper af type D n har 2n elementer. På baggrund af det foregående kan vi opstille flg. fremgangsmåde til at bestemme typen af Sym(M) for en begrænset delmængde af R 2 : 1. skridt: Hvad er den mindste vinkel, kald den θ, vi kan dreje M med så den ikke ændrer udseende? Hvis vinklen θ kan vælges vilkårlig lille, er Sym(M) ikke endelig, og vi vil ikke ha mere med den at gøre. Eller sætter vi n = 2π, som vil være et helt tal. θ 2. skridt: Afgør om Sym(M) indeholder en spejling. Mao. kan vi lægge en linie ned igennem M således at spejlingen af M i denne linie ligner M til forveksling. Hvis vi kan er Sym(M) af type D n. Hvis vi ikke kan er Sym(M) af type C n. Øvelse 5.5. Lad M R 2 være en begrænset delmængde. Antag at der findes endeligt mange punkter F M med den egenskab at γ(f) = F for alle γ Sym(M). Antag at F indeholder mindst 2 punkter. Vis at Sym(M) er endelig. Øvelse 5.6. Lad n være en naturligt tal. Beskriv to begrænsede delmængder af R 2 så symmetri gruppen for den ene mængde er af type C n og symmetrigruppen for den anden mængde er af type D n.
26 26 6. Symmetrier i rummet 6.1. Definition af en symmetri. Vi betegner med R 3 det tre-dimensionale Euklidiske rum. En symmetri i R 3 er en afbildning f : R 3 R 3 som bevarer afstande, dvs. at for alle x, y R 3. f(x) f(y) = x y 6.2. Struktur af en symmetri. En symmetri i rummet er generelt af formen f (x) = L (x) + b, hvor b R 3 er et fast punkt (en translations-vektor ) og L : R 3 R 3 er en lineær symmetri. Det følger heraf at enhver symmetri f i rummet er en bijektion og at den inverse afbildning f 1 også er en symmetri. Vi lader Sym (R 3 ) betegne gruppen af alle symmetrier i rummet Symmetrigrupper for begrænsede mængder. Lad M R 3 være en begrænset delmængde. Så betegner Sym(M) gruppen af symmetrier i Sym (R 3 ) som holder M invariant, altså opfylder at x M f(x) M. Vi siger at to begrænsede mængder M og M i rummet har samme symmetri gruppe når der findes en symmetri γ Sym (R 3 ) så Sym(M ) = γ Sym(M)γ Punktgrupper. Det er ret indlysende at Sym(M) ikke kan indeholde nogen translationer, og det følger heraf, at der findes et punkt x 0 R 3 som er et fælles fixpunkt for alle symmetrierne i Sym(M): f (x 0 ) = x 0 for alle f Sym(M). Så vil translation t med x 0 have den egenskab t Sym(M)t 1 udelukkende består af lineære symmetrier. Det betyder altså at en begrænset delmængde af rummet kan flyttes på en sådan måde at alle symmetrier for den flyttede mængde er lineære Lineære symmetrier. Nu viser det sig, at enhver lineær symmetri er af en af flg. slags: a) En rotation omkring en akse. z x f(x) x y Rotation om en akse i rummet b) En spejling i en plan.
27 7. SYMMETRI I MOLEKYLER 27 Spejling i en plan c) En rotation omkring en akse efterfulgt af en spejling i en plan vinkelret på denne akse, ofte kaldet en dreje-spejling. z x x y f(x) En dreje-spejling 7. Symmetri i molekyler 7.1. Symmetri elementer. Til brug ved klassifikation af molekylers symmetriegenskaber anvender man flg. 5 fundamentale symmetri elementer: identiteten E - det er den trivielle symmetri som ikke ændrer noget. C en egentlig rotations akse (gennem 0), der bestemmer den gruppe af symmetrier hvor der roteres omkring den pågældende akse. S - en uegentlig rotations akse (gennem 0), der bestemmer den gruppe af dreje-spejlinger hvor der roteres omkring aksen, og spejles i planen som indeholder 0 og er vinkelret på rotationsaksen. σ - en spejlingsplan (indeholdende 0), som bestemmer symmetrien som spejler rummet i planen. i - et inversions center, som bestemmer symmetrien hvor rummet spejles i det pågældende punkt (altså symmetrien x x når inversions centret er i 0).
28 28 f(x) = x x Inversion 7.2. Den principale akse. Man siger at en begrænset mængde M har en egentlig rotations akse af grad n når der er en akse med den egenskab at drejningerne omkring denne akse med vinklen 2π ligger i Sym(M). En rotationsakse af grad n n betegnes C n. Ligeledes siger man at M har en uegentlig rotations akse af grad n når spejldrejningerne omkring denne akse, hvor man drejer med vinklerne j 2π, j = 1, 2,..., n, n alle ligger Sym(M). En uegentlig rotations-akse af grad n betegnes S n. Når der findes rotations-akser (en eller flere) kaldes rotations-aksen med den højeste grad (når en sådan findes!) for den principale akse Spejlingsplaner. En spejlingsplan σ betegnes σ v (v for vertikal) når den indeholder den principale akse, og σ h når den er vinkelret på den principale akse. En spejlingsplan σ betegnes σ d når den halverer vinklen mellem to C 2 -akser. 8. Schoenflies notation for molekylers punktgruppe I Schoenflies systemet inddeles molekyler efter deres symmetri-egenskaber afhængig af hvilken af flg. type molekylets punktpunkt gruppe er. C n punkt-gruppe : Den punktgruppe indeholder rotationerne hørende til en egentlig roations akse af grad n, og ikke andre symmetrier. Bemærk at C 1 er den trivielle gruppe der kun indeholder identiteten E. Eksempel: F 2 O 2 er af type C 2. Molekyler af type C n, med n > 2, er meget sjældne. S n punkt-gruppe : Denne punktgruppe indeholde dreje-spejlingerne hørende til en uegentlig rotationsakse af grad n, og ikke andre symmetrier. Man kan vise, at n må være lige. Når n = 2 indeholder S n netop E og i, og den betegnes da C i (i for inversion). Molelyler med S n -symmetri, for n 4, er sjældne. Men tetraphenylmetan, C (C 6 H 5 ) 4 har S 4 -symmetri.
29 8. SCHOENFLIES NOTATION FOR MOLEKYLERS PUNKTGRUPPE 29 C nv punkt-gruppe : Denne gruppe indeholder en kopi af en C n gruppe (altså rotation om kring en akse med vinklen 2π n ) og derudover spejlingerne i n σ v-planer, der altså alle indeholder den principale (= C n -aksen). Vand, H 2 O, har C 2v punktgruppe. PH 3 har C 3v punktgruppe. C nh punkt-gruppe : Denne gruppe indeholder en kopi af en C n gruppe (altså rotation omkring en akse med vinklen 2π n ), en spejling i en plan vinkelret på C n-gruppens akse (altså et σ h -plan), og alle de symmetrier der fremkommer ved at sammensætte spejlingen med elementer fra C n -gruppen. Når n = 1 består gruppen altså kun af spejling i en plan (udover identitieten), og den betegnes så også som C s (s for spiegel som bekendt er tysk for spejl). Glyoxal har C 2h punktgruppe og B(OH) 3 har C 3h punktgruppe. D n punkt-gruppe : Denne gruppe indeholder en C n gruppe og n C 2 grupper svarende til n egentlige rotations akser som er ortogonale til C n gruppens akse. Tilsyneladende en relativt sjælden punktgruppe for molekyler, men ionen C (NO 2 ) 3 har angiveligt D 3 punktgruppe. D nd punkt-gruppe : Denne gruppe indeholder en D n -gruppe suppleret med n spejlinger i planer, der alle indeholder C n -gruppens akse (altså er σ v -planer), og som halverer vinklerne mellem de n C 2 -akser. C 2 H 6 har D 3d punktgruppe. D nh punkt-gruppe : Denne gruppe indeholder en D n -gruppe suppleret med en spejling i en plan vinkelret på C n -gruppens akse (altså en σ h -plan) og de symmetrier der fremkommer ved at sammensætte denne spejling med D n -gruppens symmetrier. BF 3 har punkt-gruppe D 3h. Foruden de ovennævnte klasser af punkt-grupper, hvor tallet n kan variere, findes 7 andre punkt grupper der optræder i forbindelse med molekyler. C s punkt-gruppe : Dette er gruppen der består af en spejling og identiteten, og ikke mere. (Strengt taget har vi allerede nævnt denne gruppe idet C s = S 1.) FNO har C s punkt-gruppe.
30 30 C i punkt-gruppe : Dette er gruppen der består af inversion (eller spejling i 0) og identiteten, og ikke mere. (Igen har vi allerede nævnt denne gruppe idet C i = S 2.) C 2 H 2 F 2 Cl 2 har C i punkt-gruppe. T d punkt-gruppe : Denne punkt-gruppe indeholder 24 symmetrier frembragt af fire C 3 -akser, tre C 2 -akser og seks spejlplaner. T d er symmetrigruppen for et tetraeder. CH 4 har T d punkt-gruppe. O h punkt-gruppe : Denne punkt-gruppe indeholde 48 symmetrier frembragt af fire C 3 akser, tre C 4 akser, seks C 2 akser og nogle spejl-planer. O h er symmetrigruppen for et hexaeder. SF 6 har O h punkt-gruppe. I h punkt-gruppe : Denne punkt-gruppe indeholder 120 symmetrier, hvoraf halvdelen er rotationer. I h er symmetrigruppen for for et ikosaeder. C 60 har I h punkt-gruppe. Endelig er der to uendelige punkt-grupper som optræder i forbindelse med lineære molekyler. C v punkt-gruppe : Denne punkt-gruppe er frembragt af alle rotationerne omkring en bestemt akse og en spejling i en σ v -plan, altså en plan indeholdende rotationsaksen. (Bemærk gruppen så faktisk indeholder uendeligt mange spejlinger.) HCN har C v punkt-gruppe. D h punkt-gruppe : Denne punkt-gruppe er frembragt af en C v punkt-gruppe og en spejling i en σ h -plan (altså en spejling i en plan vinkelret på rotations-aksen.) H 2 har D h punkt-gruppe.
31 9. OM AT FINDE ET BESTEMT MOLEKYLES PUNKTGRUPPE Om at finde et bestemt molekyles punktgruppe Til at finde punktgruppen for et molekyle kan man tage udgangspunkt i flg. beslutningstræ: D h i? ja I h C 5? ja Molekyle Lineært? ja nej C nej v To eller flere C n, n > 2? ja i? ja nej nej nej O h T d D nh σ h? ja nej D nd nσ d? ja ja nej n C 2? nej ja ja C n? nej C s σ? nej D n C i i? ja nej C 1 C nh σ h? ja nej C nv n σ v? ja ja nej S 2n S 2n? nej C n I diagrammet er n C 2? en forkortelse af spørgsmålet: Lad n være graden af den principale akse. Findes der i Sym(M) n rotationsakser af grad 2 som alle er vinkelrette på den principale akse? Tilsvarende forkortelser er anvendt andre steder i diagrammet. F.eks. er i? en forkortelse for spørgsmålet Findes der et inversions-center for M?.
32 Appendix: Beviset for Sætning 4.6 om eksistensensen af fælles fixpunkter i symmetrigrupper af en begrænset mængde For at bevise Sætning 4.6 indfører vi betegnelsen en generaliseret drejning for en symmetri f der har formen f(x) = D(x) + b, (10.1) hvor D er en drejning. Tilsvarende kalder vi f for en generaliseret spejling når der findes en spejling S og et punkt b R 2 så f(x) = S(x) + b. (10.2) Lemma Lad f være en generaliseret drejning. Antag at f ikke er en translation. Så findes et og kun et fixpunkt x 0 for f. Bevis. Lad D være drejningen og b R 2 punktet så (10.1) er opfyldt for alle x R 2. Så er x = (x 1, x 2 ) et fix-punkt for f hvis og kun hvis x D(x) = b. (10.3) Da f ikke er en translation er D en egentlig drejning, dvs. at D E. Lad cos θ sin θ sin θ cos θ være matricen for D. Ligningen (10.3) kan så skrives på flg. måde: eller (x 1, x 2 ) (x 1 cosθ x 2 sin θ, x 1 sin θ + x 2 cosθ) = (b 1, b 2 ), (10.4) (x 1 (1 cosθ) + x 2 sin θ, x 1 sin θ + x 2 (1 cosθ)) = (b 1, b 2 ). (10.5) Da D er en egentlig drejning (altså E) er (1 cosθ) 2 + sin 2 θ > 0. Vi sætter α = (1 cosθ) 2 + sin 2 θ. Så vil x = (x 1, x 2 ) være en løsning til (10.5) hvis og kun hvis ( ) ( (1 cosθ) sin θ x 1 + x 2 α α, x sin θ 1 α + x (1 cos θ) b1 2 = α α, b ) 2. (10.6) α Indfører vi matricen A = kan ligningen (10.6) skrives på formen Da vektorerne L A (e 1 ) = ( 1 cos θ α sinθ α L A (x 1, x 2 ) = sinθ α 1 cos θ α ) ( 1 cos θ ) α sin θ, L A (e 2 ) = α ( b1 α, b ) 2. (10.7) α ( sinθ ) α 1 cos θ, α er indbyrdes ortogonale og har længde 1 er L A : R 2 R 2 en isometri ifølge Lemma 3.7. Ifølge Lemma 3.8 er L A derfor en bijektion, dvs. 1-til-1 og på. Derfor har ligningen (10.7) én og kun en løsning. Derfor har også ligningen (10.3) én og kun en løsning. Altså har f ét og kun et fixpunkt.
33 10. APPENDIX: BEVISET FOR SÆTNING?? OM EKSISTENSENSEN AF FÆLLES FIXPUNKTER I SYMMETRIG Sætning Lad G være en gruppe af symmetrier af R 2. Antag at G ikke indeholder nogen translationer (udover E, selvfølgelig). Så findes et punkt x 0 R 2 så f (x 0 ) = x 0 for alle f G. Bevis. Vi beviser først sætningen under antagelse af, at G indeholder en generaliseret drejning f. Da G ikke indeholder nogen translation, udover E, fortæller Lemma 10.1 at f har ét og kun et fixpunkt x 0. Vi vil vise, at dette punkt, x 0, er et fixpunkt for alle symmetrierne i G. Lad g være en generaliseret drejning i G. Der er så drejninger D f og D g og punkter b f og b g så f (x) = D f (x) + b f (10.8) og g (x) = D g (x) + b g (10.9) for alle x R 2. Ifølge Proposition 3.16 er f 1 (x) = D 1 f (x) D 1 f (b f ) (10.10) og g 1 (x) = Dg 1 (x) D 1 g (b g ). (10.11) Da G er en gruppe af symmetrier er g 1 f 1 g f en symmetri i G. Vha. (10.8)-(10.11) finder vi flg. udtryk for g 1 f 1 g f(x): g 1 f 1 g f(x) = g 1 f 1 g (f(x)) = g 1 f 1 g (D f (x) + b f ) = g 1 f 1 (D g D f (x) + D g (b f ) + b g ) (10.12) = g 1 ( D 1 f = D 1 g Hvis vi sætter c = D 1 g har vi altså at D 1 f D g D f (x) + D 1 f D 1 f D g D f (x) + D 1 g D 1 g D g (b f ) + D 1 g D g (b f ) + D 1 f (b g ) D 1 f (b f ) ) D 1 f D g (b f ) + D 1 g D 1 f (b f ) Dg 1 (b g ). g 1 f 1 g f(x) = D 1 g D 1 f (b g ) Dg 1 D 1 f (b g ) D 1 f (b f ) Dg 1 (b g ) D 1 f D g D f (x) + c (10.13) for alle x R 2. Det følger fra Øvelse 3.10 at rækkefølgen er ligegyldig når man sammensætter drejninger. Altså er D f D g = D g D f og derfor er Dg 1 D 1 f D g D f = E. Så (10.13) kan skrives g 1 f 1 g f(x) = x + c. (10.14)
34 34 Dette viser at g 1 f 1 g f er en translation. Men G indeholder ikke andre translationer end E, så vi finder at g 1 f 1 g f = E eller f g = g f. (10.15) Specielt er f (g (x 0 )) = g (f (x 0 )) = g (x 0 ). (10.16) Så g (x 0 ) er et fix-punkt for f. Ifølge Lemma 10.1 har f kun et fix-punkt så der må gælde at g (x 0 ) = x 0. Vi har nu vist, at x 0 er fixpunktet for enhver generaliseret drejning i G. Vi betragter så en vilkårlig symmetri h G, og vil vise, at h (x 0 ) = x 0. Dette har vi netop vist er opfyldt hvis h er en generaliseret drejning, så vi kan nøjes med at håndtere tilfældet hvor h er en generaliseret spejling. Vi antager derfor at S er en spejling og a R 2 et punkt så h(x) = S(x) + a (10.17) for alle x R 2. Idet S 1 = S har vi fra Proposition 3.16 at Så er h 1 f h(x) = h 1 f (S(x) + a) h 1 (x) = S(x) S (a). (10.18) = h 1 (D f S(x) + D f (a) + b f ) = S D f S(x) + S D f (a) + S (b f ) S (a). (10.19) Det følger fra Øvelse 3.12 a) og b) at S D f S er en drejning. Vi ser derfor fra (10.19) at h 1 f h er en generaliseret drejning. Da h 1 f h G ved vi fra det foregående at x 0 er et fixpunkt for h 1 f h, dvs. at h 1 f h (x 0 ) = x 0. Heraf følger at f (h (x 0 )) = h (x 0 ), altså at h (x 0 ) er et fixpunkt for f. Men x 0 er det eneste fixpunkt for f så der må gælde at h (x 0 ) = x 0, altså at x 0 også er et fixpunkt for h. Vi har nu bevist Sætning 10.2 i alle tilfælde hvor G indeholder en generaliseret drejning E. Tilbage er tilfældet hvor G ikke indeholder en generaliseret drejning udover E. Lad h 1, h 2 G. Antag at h 1 E og h 2 E. Da G ikke indeholder nogen generaliseret drejning (bortset fra E) må h 1 og h 2 begge være generaliserede spejlinger. Vi overlader til læseren at vise, at h 1 1 h 2 er en generaliseret drejning. Da h 1 1 h 2 G er h 1 1 h 2 = E, dvs. at h 1 = h 2. Vi har altså vist, at G højest indeholder et element foruden E. Så enten er G = {E} eller også er G = {E, h}, hvor h er en generaliseret spejling. Hvis G kun består af elementet E er alle punkter i R 2 fixpunkter for elementerne i G. Så antag at G = {E, h}, hvor h er en generaliseret spejling. Idet vi bruger udtrykket (10.17) for h finder vi at h h(x) = x + S(a) + a. Da h h G, og G ikke indeholder nogen translation udover E følger, at S(a)+a = 0, og dermed også at S ( 1 a) = 1 a. Vi finder så at h 2 a = S 2 a a = 1 2 a + a = 1 2 a. Hvis vi sætter x 0 = 1 2 a har vi at f (x 0) = x 0 for alle f G.
Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereMatematiklærerdag 2008
Matematiklærerdag 2008 Klaus Thomsen Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet March 27, 2008 Matematik og kemi. Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereSymmetri i natur, kunst og matematik
Symmetri i natur, kunst og matematik Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1. februar 2017 Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur,
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereSymmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.2.2013 Indholdsoversigt 1. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2. Flytninger og symmetrigrupper 3. Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereM A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereSymmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.2.2012 Indholdsoversigt 1. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2. Flytninger og symmetrigrupper 3. Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereSymmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet Nørresundby Gymnasium, 5.12.07 Indholdsoversigt 1. Indledning og lysbilleder 2. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 3. Flytninger og symmetrigrupper
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mere