Symmetri. - i tapetmønstre

Transkript

1 Symmetri - i tapetmønstre MAT 4. SEMESTER PROJEKT GRUPPE G3-114 MATEMATIK & STATISTIK AALBORG UNIVERSITET DEN 23. MAJ 2012

2

3 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Telefon Fax Titel: Symmetri - i tapetmønstre Tema: Symmetri Projektperiode: 4. semester matematik, 2012 Projektgruppe: G3-114 Vejleder: Martin Raussen Oplagstal: 9 Sidetal: 67 Bilagsantal: 0 Afsluttet d. 23. maj 2012 Synopsis: Denne rapport er resultatet af et semesterprojekt, under temaet symmetri, og har til formål at studere emnet i en algebraisk kontekst. Der beskrives afstands- og vinkelbevarende afbildninger (isometrier i en sammenhæng mellem geometri og gruppeteori. Yderligere redegøres der for eksistensen af de fire mulige isometrier i planen. Dette danner et fundament for et fokus på teorien omkring tapetmønstre og tapetgrupper, og denne anvendes til en analyse af et uklassificeret mønster. Desuden relateres det overordnede emne til, hvorvidt alle tapetmønstre er tilstede i det mauriske citadel Alhambra. Projektmedlemmer: Anette Westberg Hansen Kristian Nørgaard Jakobsen Haixia Wen Lærke Højer Rasmussen Torben Anders Kløjgaard Michael Garde Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse må kun ske efter aftale.

4

5 Forord Denne rapport er udarbejdet på 4. semester, i foråret 2012, af en gruppe studerende på Matematik & Statistik uddannelsen ved Aalborg Universitet. Symmetri er det overordnede tema for projektet. Forudsætningerne for at læse rapporten er to til tre semestre på ingeniør eller naturvidenskabelige studier, herunder et godt kendskab til grundlæggende abstrakt algebra, blandt andet gruppeteori, og lineær algebra. Læsevejledning Der vil igennem rapporten fremtræder kildehenvisninger, hvilke vil være samlet i en litteraturliste. Der er i rapporten anvendt kildehenvisninger efter Harvardmetoden, så kilder noteres med [Efternavn, År], med undtagelse af internetsider, som noteres med [Hjemmeside, År]. I litteraturlisten er bøger angivet med forfatter, titel, forlag og ISBNnummer, mens internetsider er angivet med forfatter, titel og URL. Figurer og tabeller er nummereret i henhold til kapitel, det vil sige, at den første figur i kapitel 7 har nummer 7.1, den anden, nummer 7.2 og så videre. Derudover vil matematiske beviser blive afsluttet med og eksempler afsluttet med. Yderligere er vektorer noteret med fed skrift. Rapporten har følgende struktur: Kapitel 1 giver en kort gennemgang af den anvendte gruppeteori og kan overspringes hvis læseren har et godt kendskab til abstrakt algebra. Kapitel 2 introducerer affine afbildninger og en lang række af de anvendte grupper. Kapitel 3 præsenterer de fire grundlæggende planisometrier, der er nødvendige for at forstå, hvilke operationer der kan anvendes på geometriske figurer. Kapitel 4 samler den forudgående teori, og beskriver tapetmønstre, tapetgrupper, og hvilke måder de forskellige grupper frembringer fem unikke gittertyper. Kapitel 5 anvender teorien i en analyse af et uklassificeret mønster. Kapitel 6 giver en historisk baggrund for teorien. v

6

7 Indholdsfortegnelse Forord v Indledning 1 Kapitel 1 Grupper Definition af grupper Undergrupper Sideklasser Normale undergrupper Kvotientgrupper Gruppehomomorfi Isomorfisætningen Cykliske grupper Diedergrupper Gruppevirkninger og semidirekte produkt Konjugering Kapitel 2 Affine afbildninger og isometrier Affine rum Gruppen GL n (R Affine transformationer Notationen (A, b Isometri og symmetri Isometri Symmetri Isometrier i R n Ortogonal- og isometrigrupper Gruppen O n (R Gruppen SO n (R Gruppen Iso n (R Gruppen SIso n (R Kapitel 3 Isometrier i planen Translationer Spejlinger Rotationer Glidespejlinger vii

8 INDHOLDSFORTEGNELSE 3.5 Gruppen O 2 (R Klassifikation planisometrierne Kapitel 4 Tapetmønstre og tapetgrupper Tapetmønstre Et tapetmønsters punktgruppe De fem gittertyper Punktgrupperne C 1, C 2 : Parallelogramgitre Punktgrupperne C n og D n, for n Punktgrupperne C 4, D 4 : Kvadratgitre Punktgrupperne C 3, D 3, C 6, D 6 : Heksagongitre Punktgrupperne D 1, D 2 : Rektangulær- eller rombegitre Overblik over tapetgrupperne Klassifikation af tapetgrupperne Split tapetgrupper Tapetgrupper med punktgruppe D Kapitel 5 Egen analyse Fundamentalområdet Klassificering af et mønster Kapitel 6 Alhambra og de 17 tapetgrupper Tapetgrupper i Alhambra Opsummering 65 Litteratur 67 viii

9 Indledning Symmetri er et begreb, der mødes i en lang række felter, som eksempelvis matematik, fysik og kemi, men også i andre felter som kunst og arkitektur. Symmetri finder eksempelvis anvendelse indenfor krystallografi i kemi og fysik til at give tredimensionelle beskrivelser af måden, atomer grupperer sig på. Indenfor kunst er de dekorative mønstre i det mauriske citadel Alhambra i Spanien blevet genstand for matematikerers forsøg på at identificere de 17 tapetgrupper. En tapetgruppe beskriver et todimensionalt tapetmønster, der gentages ved spejlinger, translationer, rotationer eller glidespejlinger. Klassifikationen af en tapetgruppe sker på baggrund af disse fire typer isometrier, der kan findes i mønsteret. Denne rapport fokuserer på symmetri på baggrund af en kombination af geometri, lineær algebra og algebraens gruppeteori. Nærmere bestemt ønskes en grundigere forståelse for denne sammenhæng med henblik på at undersøge en specifik anvendelse af gruppeteori på tapetmønstre og tapetgrupper. Kildekritik Igennem denne rapport er der anvendt to primære kilder; navnlig [Morandi, 2007b] og [Lauritzen, 2003]. Meget af den grundlæggende teori i kapitel 1 bygger på [Lauritzen, 2003], som er en grundbog i abstrakt algebra. I studiet af isometrier og tapetgrupper er primært brugt undervisningsnoter fra [Morandi, 2007b]. Disse undervisningsnoter er knap så gennemarbejdede, men denne kilde dækker i høj grad emnet i denne rapport, og har derfor fundet stor anvendelse. 1

10

11 Grupper 1 Kilden i dette kapitel er [Lauritzen, 2003, kap. 2], med mindre andet er angivet. I dette kapitel opstilles nogle af de mest grundlæggende og vigtigste definitioner indenfor gruppeteori. Da der forventes kendskab til gruppeteori er dette kapitel overordnet og derfor kortfattet. Dette skal bruges i forbindelse med studiet af symmetri indenfor grupper. 1.1 Definition af grupper En komposition på en mængde G er en afbildning : G G G. Kompositionen (g, h noteres ofte som g h eller gh. Det er dermed en afbildning, hvor (g, h (g, h = g h = gh. En kompositionen er den regneform der benyttes til at kombinere elementerne i mængden. Den er blandt andet vigtig for at forstå definitionen af en gruppe og en undergruppe. DEFINITION 1.1 Et par (G, bestående af en mængde G og en komposition, kaldes en gruppe, hvis den opfylder følgende tre krav: 1. Kompositionen er associativ: s 1 (s 2 s 3 = (s 1 s 2 s 3 for alle s 1, s 2, s 3 G. 2. Der er et neutralt element e G sådan, at e s = s og s e = s for alle s G 3. For alle s G findes et invers element t G sådan, at s t = e og t s = e 3

12 KAPITEL 1. GRUPPER En gruppe kaldes kommutativ, hvis x y = y x for hver x, y G. Gruppen er dermed kommutativ, hvis kompositioner af alle par af elementer x og y i G giver det samme resultat uanset rækkefølge. 1.2 Undergrupper I en gruppe findes altid en undergruppe. Der findes to trivielle undergrupper, som er gruppen selv og gruppen kun bestående af det neutrale element. En delmængde af en gruppe kan således selv have en gruppestruktur. Dette præciseres i følgende definition. DEFINITION 1.2 En ikke-tom delmængde, H G, er en undergruppe af G, hvis og kun hvis: 1. Der eksisterer et neutralt element e H, 2. x 1 H for alle x H, 3. xy H for alle x, y H. En undergruppe H af gruppen G noteres med H G. Det neutrale element og de inverse elementer er kendt fra gruppen G. Det skal her blot undersøges, om de også er indeholdt i H. Hvis det vides, at H er en ikke-tom mængde, da er punkt 1 i definitionen unødvendig, eftersom der altid findes et neutralt element i en undergruppe. En undergruppe H er dermed en ikke-tom delmængde af gruppen G, sådan at kompositionen af G gør H til en gruppe. Det vil sige, at H med kompositionen af G opfylder definition Sideklasser Hvis en undergruppe H sammensættes med elementerne i den overordnede gruppe G, da fremkommer mængder, der kaldes sideklasser. DEFINITION 1.3 Lad H være en undergruppe af G og g G. Da kaldes delmængden den venstre sideklasse af H. Tilsvarende kaldes delmængden den højre sideklasse af H. gh = {gh h H} G Hg = {hg h H} G 4

13 1.3. NORMALE UNDERGRUPPER Mængden af venstre sideklasser af H noteres med G/H. Mængden af højre sideklasser noteres med H\G. Antallet af sideklasser G/H kaldes indekset af H i G og noteres med [G : H]. En sideklasse er således en delmængde af G, som indeholder kompositionen imellem et specifikt element g G sammensat med alle elementerne h H. LEMMA 1.4 Lad H være en undergruppe af gruppen G, og lad x, y G. Da gælder følgende: 1. x xh, 2. xh = yh hvis og kun hvis x 1 y H, 3. Hvis xh = yh da er xh yh =, 4. Afbildningen ϕ : H xh givet ved ϕ(h = xh er bijektiv. Beviset for dette lemma overspringes her, men gennemgåes i [Lauritzen, 2003, s. 63]. 1.3 Normale undergrupper Den følgende definition introducerer en speciel form for undergrupper kaldet normale. DEFINITION 1.5 En undergruppe H af en gruppe G kaldes normal, hvis for ethvert g G. ghg 1 = {ghg 1 h H} = H En normal undergruppe H af gruppen G noteres med H G. En undergruppe er normal, når venstre- og højre sideklasse er lig hinanden. Det vil sige, at en normal undergruppe H af G opfylder gh = Hg for alle g G Kvotientgrupper Den normale gruppe G/H med kompositionen g 1 Hg 2 H = g 1 g 2 H kaldes en kvotientgruppe. DEFINITION 1.6 Lad H være en normal undergruppe af G. Gruppen G/H kaldes da en kvotientgruppe. Kvotientgruppe har de venstre sideklasser af den normale undergruppe H som elementer. Dette fungerer ikke, hvis H ikke er normal. 5

14 KAPITEL 1. GRUPPER 1.4 Gruppehomomorfi I følgende definition gennemgåes betydningen af en gruppehomomorfi. DEFINITION 1.7 Lad G og K være grupper. En afbildning f : G K kaldes en gruppehomomorfi, hvis f (xy = f (x f (y for alle x, y G. En afbildning kaldes en gruppehomomorfi, hvis billedet af produktet af to elementer er lig produktet af billedet af elementerne hver for sig. En gruppehomomorfi er bijektiv, når den har en invers afbildning. DEFINITION 1.8 Kernen af en gruppehomomorfi f : G K er Ker( f = {g G f (g = e}. Billedet af f er f (G = { f (g g G} K. En bijektiv gruppehomomorfi kaldes en gruppeisomorfi. En gruppeisomorfi f : G K noteres f : G K. Yderligere skrives G = K, hvor det siges, at G og K er isomorfe. 1.5 Isomorfisætningen Følgende sætning bliver populært kaldt for den første isomorfisætning. SÆTNING 1.9 Lad G og K være grupper og f : G K en gruppehomomorfi med kerne N = Ker( f. Så er f : G/N f (G, givet ved f (gn = f (g, en veldefineret afbildning og en gruppeisomorfi. Beviset for denne sætning gennemgåes ikke her, men kan findes i [Lauritzen, 2003, s. 71]. 1.6 Cykliske grupper En særlig interessant form for grupper er cykliske grupper. 6

15 1.7. GRUPPEVIRKNINGER OG SEMIDIREKTE PRODUKT DEFINITION 1.10 En cyklisk gruppe er en gruppe G, der indeholder et element g, således at Elementet g kaldes en frembringer af G. G = g = {g n n Z}. Her skal g n forstås som (g 1 n for n 0. For ethvert element g i en gruppe G er g en undergruppe af gruppen G. Det vil sige, at g G. Antallet af elementer i g kaldes for ordenen af g og skrives kort som ord(g. I resten af rapporten vil en cyklisk gruppe blive betegnet med C n Diedergrupper Følgende litteratur er brugt til beskrivelse af diedergrupper [Grillet, 2007, s. 9] og [Morandi, 2007b, s. 9]. DEFINITION 1.11 En diedergruppe, D n, for en regulær n-kant, hvor n 2, er gruppen af rotationer og spejlinger af n-kanten. Diedergruppen for en regulær n-kant indeholder 2n elementer. Hvis r er en rotation ved 360 n, og f er en spejling, så er gruppens rotationer givet ved potenserne r, r2,..., r n af r, og spejlingerne er f, r f,..., r n 1 f. For en diedergruppe defineres ved D n =< r, f >, hvor f er en spejling, findes gruppen {e, r, r 2,..., r n 1, f, r f,..., r n 1 f } bestående af elementer fra D n. Halvdelen af elementerne i D n er rotationer og resten er spejlinger. For elementerne r og f gælder der, at ord(r = n, ord( f = 2, eftersom r n = e og f 2 = e, og f r f = r 1. Undergruppen indeholdende rotationerne i D n er cyklisk eftersom r = {e, r, r 2,..., r n 1 } = C n. 1.7 Gruppevirkninger og semidirekte produkt I følgende definitioner beskrives gruppevirkning dets egenskaber. DEFINITION 1.12 Lad G være en gruppe og S være en mængde. Så siges G at virke på S, hvis der findes en afbildning α : G S S, som betegnes α(g, s = gs, hvor følgende gælder: 1. es = s for alle s S, 2. (ghs = g(hs for alle g, h G og alle s S. I følgende defineres begreberne bane og stabilisator. 7

16 KAPITEL 1. GRUPPER DEFINITION 1.13 Lad α : G S S være en virkning af G på S, X S og s S. Så kaldes Gs = {Gs s S} banen for s. Mængden af baner {Gs s S} skrives som S/G. Lad gx = {gx x X}, hvor g G. Så kaldes G X = {g G gx = X} en stabilisator af X. Hvis X = {x} skrives G X som G x. Et fikspunkt for en virkning er et element s S således at gs = s for alle g G. Mængden af fikspunkter skrives som S G. Følgende definition har oprindelse i [Grillet, 2007, s. 93]. DEFINITION 1.14 Givet to grupper G og H og en virkning α af H på G, da er det semidirekte produkt G α H det kartesiske produkt G H med multiplikation for alle g, g G og h, h H defineret ved (g, h(g, h = (g α(g, h h. 1.8 Konjugering Følgende er inspireret af [Grillet, 2007, s. 56]. DEFINITION 1.15 For to elementer a, b G gælder der, at gag 1 = b for alle g G. Så siges a og b at være konjugerede i G. 8

17 Affine afbildninger og isometrier Affine rum I dette afsnit gives en kort beskrivelse af et affint rum. Affine rum bruges i forbindelse med affine transformationer, som vil blive defineret i afsnit 2.3. Definitionen af et affin rum er inspireret af [Verth og Bishop, 2008, s. 66] DEFINITION 2.1 Et affint rum er givet ved et sæt af punkter W og et vektorrum V, hvor der for et hvert par af punkter P, Q W, er en unik vektor v V Således at, v = Q P samt for et hvert punkt P W og alle vektorer u V, findes et unik punkt R således, at R = P + u 2.2 Gruppen GL n (R I dette afsnit gives en beskrivelse af gruppen GL n (R, hvor n N. GL står for General Linear group, og er gruppen af invertible lineære transformationer i vektorrummet R n. Denne gruppe kan beskrives, som en gruppe af n n matricer, hvis koefficienter består af reelle tal, og hvis determinant er forskellig fra nul. SÆTNING 2.2 GL n (R = {A M n n (R A er regulær} er en gruppe. BEVIS Ud fra den multiplikative egenskab af determinanter, kan det vises at GL n (R er en gruppe. Lad A, B GL n (R og det(a og det(b forskellig fra nul, da er det(ab = det(adet(b = 0, så AB GL n (R. På samme måde er det(a 1 = 1 deta = 0, så GL n(r er lukket under inversion. Det neutrale element i GL n (R er identitetsmatricen I. 9

18 KAPITEL 2. AFFINE AFBILDNINGER OG ISOMETRIER GL n (R er en ikke-kommutativ gruppe. Det vil sige, at der findes A, B GL n (R, således at AB = BA, for n > Affine transformationer Lineære transformationer afbilder fra et vektorrum til et andet. Der er en næsten tilsvarende mængde af transformationer, som afbilder mellem affine rum. Disse kaldes affine transformationer, og defineres i det følgende. Her gives først en algebraisk definition og dernæst en geometrisk forklaring. DEFINITION 2.3 En affin transformation er en afbildning f : R n R m, hvor f (x = g(x + b, hvor g(x en lineær afbildning og b R m. I det nedenstående vises, at der givet en affin transformation, kan findes en lineær afbildning. f (x = g(x + b, f (0 = b Dette medfører, at g(x = f (x f (0. Det vil sige, at haves en affin afbildning, findes der en lineær afbildning ved f (x f (0. Ses der geometrisk på affine afbildninger, opfylder de to krav: f overfører rette linjer i rette linjer eller punkter. f bevarer afstande langs med rette linjer. At en affin transformation bevarer afstandsforholdet langs med linjer vil sige, at alle punkter, som ligger på en linje til at begynde med, stadig ligger på en linje efter transformationen, blot ikke den samme linje. Dermed vil midtpunktet på et linjestykke forblive midtpunktet efter en affin transformation. Regulære affine transformationer danner en gruppe A n (R. Det vil sige f (x = g(x + b = A + b, hvor A GL n (R er den lineær afbildning g(x. At transformationen er regulær vil sige, at den lineære del er regulær, og at den dermed har en invers. Det vil sige, at der altid kan findes inverse til transformationer på formen f (v = Av + b. Den følgende sætning og definition 2.2 giver, at den affine mængde A n (R danner en grupppe. 10

19 2.4. NOTATIONEN (A, B SÆTNING 2.4 A n (R = {Ax + b A GL n (R, b R n } er en gruppe, med sammensætning som komposition. BEVIS Det vil sige, at for hvor f 1, f 2 A n (R, er sammensætningen f 1 = A 1 x + b 1 f 2 = A 2 x + b 2, f 2 ( f 1 (x = A 2 (A 1 x + b 1 + b 2 = A 2 A 1 x + A 2 b 1 + b 2. For at regulære affine transformationer, A n (R, danner en gruppe, skal de ifølge definition 1.1 opfylde associativitet, have et neutralt element og der findes et invers element. I det følgende er A 1, A 2 GL n (R b R n og I er identitetsmatricen: Associativ: Dette gælder, da en sammensætning altid er associativ. Neutrale element: f 1 = A 1 x + b 1 f 2 = A 2 x + b 2, hvor A 2 = I og b 2 = 0. Dette giver ved sammensætning Inverse element: Dette giver ved sammensætning f 2 ( f 1 (x = I(Ax + b + 0 = Ax + b f (x = Ax + b f 1 (x = A 1 x + ( A 1 b f 1 ( f (x = A 1 (Ax + b + ( A 1 b = Ix + A 1 b A 1 b = x 2.4 Notationen (A, b Notationen (A, b dækker over udtrykket A(x + b. Der gælder følgende regneregler: Komposition af to affine afbildninger: (A, b (A, b (x = (A, b (A x + b = (AA x + Ab + b = (AA, Ab + b. 11

20 KAPITEL 2. AFFINE AFBILDNINGER OG ISOMETRIER Bestemmelse af den inverse: (A, b 1 = (A 1, A 1 b, da: (A, b (A 1, A 1 b = (AA 1 + A( A 1 b + b = I + ( AA 1 b + b = I Ib + b = I b + b = I Konjugering: (A, b (I, v (A, b 1 = (A, b + Av (A 1, A 1 b = (I, b + b + Av = (I, Av. 2.5 Isometri og symmetri Følgende afsnit er baseret på [Morandi, 2007a, s ], med mindre andet er angivet. I det følgende undersøges hvordan gruppeteori og geometri kan forbindes. Hvis en geometrisk figur kan flyttes, roteres eller spejles således, at den sammenfalder præcist med en anden, så siges de at være afstands- og vinkelbevarede. Dette begreb præciseres i det følgende Isometri Figur 2.1 og 2.2 giver eksempler på, hvordan der kan eksistere henholdsvis ikke eksistere en isometri imellem to figurer. Figurerne indikerer at den parvise afstand imellem alle punkter i to figurer skal være bevaret. Det vil sige, at der skal eksistere en afbildning fra en figur til en anden således, at afstande er bevaret. For eksempel har stjernen til venstre i figur 2.2 ikke samme afstand imellem hjørnepunkterne som stjernen til højre. Figur 2.1. Idet den ene stjerne i dette tilfælde kan flyttes til højre, så den sammenfalder præcist med den anden, er afstandene og vinklerne bevaret. Figur 2.2. I denne figur er afstandene imellem punkterne og vinklerne i de to stjerner ikke bevaret, idet den ene må ændres, før de kan sammenfalde. Lad P = (a, b og Q = (c, d være punkter der er angivet som ordnede par af reelle tal, så kan afstanden imellem disse findes ved den sædvanlige afstandsformel. Lad P være 12

21 2.5. ISOMETRI OG SYMMETRI afstanden fra origo til P og P Q være vektoren fra P til Q. Så er afstanden imellem P og Q givet ved P Q = (a c 2 + (b d 2. Denne iagttagelse af afstand giver anledning til et mere præcist begreb omkring afstandsbevarende funktioner. DEFINITION 2.5 En isometri i planen er en afstandsbevarende bijektiv afbildning af planen over i sig selv. Dermed er en isometri ϕ : R 2 R 2 en funktion, således at der for alle par P, Q af punkter i planen gælder, at P Q = ϕ(p ϕ(q. To figurer er således afstands- og vinkelbevarede, hvis der eksisterer en isometri, som afbilder den ene præcist over i den anden. En konsekvens af ligningen i definitionen er, at isometrien ϕ er bijektiv. Kompositionen af to isometrier er en isometri, og eftersom en isometri er bijektiv, så har den en invers. LEMMA 2.6 Lad ϕ, ϕ være isometrier i planen. Så gælder følgende: 1. Kompositionen ϕ ϕ er en isometri 2. Den inverse ϕ 1 er en isometri Beviset udelades her, men gives i [Morandi, 2007a, s. 134]. Lad Iso 2 (R være mængden af alle isometrier i planen, så viser lemma 2.6 at kompositionen af funktioner ligger i Iso 2 (R. Kompositionen af funktioner er associativ, og identitetsfunktionen er en isometri. Desuden viser lemma 2.6 at alle elementer i Iso 2 (R har en invers. Dermed er Iso 2 (R en gruppe Symmetri For en delmængde W af R 2 indføres en gruppe kaldet symmetrigruppen af W. Denne defineres på følgende måde. DEFINITION 2.7 Lad W være en delmængde af R 2, så er symmetrigruppen af W mængden af alle isometrier ϕ i R 2, for hvilke der gælder at ϕ(w = W. Denne gruppe noteres Sym(W. 13

22 KAPITEL 2. AFFINE AFBILDNINGER OG ISOMETRIER Det vil i kort form sige, at Sym(W = {ϕ Iso 2 (R ϕ(w = W} 1. Lad ϕ være en isometri, så er ϕ(w = {ϕ(p P W}. Dermed er ϕ en symmetri, hvis der for alle punkter P W gælder, at ϕ(p W, og hvis der omvendt for alle punkter Q W eksisterer et punkt P W, således at ϕ(p = Q. Eller sagt på en anden måde, så skal der eksisterer en afbildning fra et punkt til et andet, hvor begge punkter ligger i samme mængde, men det er ikke et krav, at ϕ(p = P. Definition 2.7 gælder iøvrigt generelt for R n, som beskrives nærmere i afsnit 2.6. EKSEMPEL 2.8 Lad X = {(1, 0, (0, 1, ( 1, 0, (0, 1}, så afbilder en rotation r med 90 punkterne i X over i X. For eksempel så er r((1, 0 = (0, 1, hvilket ligger i X. At Sym(W, i en mere generel forstand, er en undergruppe af Iso 2 (R kan eftervises ved hjælp af definition 1.2 på følgende måde: Lad ϕ 1, ϕ 2 Sym(W. Per definition gælder der, at ϕ 1 (x = x og ϕ 2 (x = x, så afbildes det neutrale element over i sig selv, og der gælder desuden, at (ϕ 1 ϕ 2 (x = ϕ 1 (ϕ 2 (x = ϕ 1 (x = x. Det vil sige at ϕ 1 ϕ 2 Sym(W. Da ϕ er en bijektiv afbildning, gælder der, at ϕ(x = y hvis og kun hvis g 1 (y = x. Dermed har ϕ en invers, og Sym(W er således en undergruppe af Iso 2 (R. 2.6 Isometrier i R n Dette afsnit bygger på bygger på [Spence et al., 2008, s ] og [Morandi, 2007b, s. 17]. En isometri er en afstands- og vinkelbevarende afbildning. I det følgende beskrives først afbildningens afstandsbevarende egenskab og dernæst dens vinkelbevarende egenskab. DEFINITION 2.9 En funktion ϕ : R n R n kaldes en isometri, hvis ϕ(u ϕ(v = u v for alle u, v R n. I de følgende sætninger vises, at en ortogonal operator O er en lineær isometri og omvendt. En ortogonal operator er en lineær operator, hvis standardmatrix er en ortogonalmatrix. Ortogonale operatorer kan karakteriseres ved at være normbevarende, det vil sige O(u = u, og ved egenskaben OO T = O T O = I. 1 Fra [Morandi, 2007b, s. 3] 14

23 2.6. ISOMETRIER I R N SÆTNING 2.10 Enhver ortogonal operator er en isometri. BEVIS Lad O være en ortogonal operator i R n, så gælder der for ethvert u og v i R n, at O(u O(v = O(u v = u v Derfor er O en isometri. SÆTNING 2.11 Enhver lineær isometri er en ortogonal operator. BEVIS Lad ϕ være en lineær isometri, hvor specielt ϕ(0 = 0. For ethvert v R n gælder der, at ϕ(v = ϕ(v 0 = ϕ(v ϕ(0 = ϕ(v 0 = v 0 = v Dette medfører, at ϕ er en ortogonal operator, da ϕ er normbevarende. Funktionen τ b : R n R n, defineret ved τ b (v = v + b, kaldes en translation bestemt af b. Funktionen ϕ er ikke lineær, hvis b = 0, eftersom τ b (0 = b = 0. Funktionen τ b er en isometri, da τ b (u τ b (v = (u + b (v + b = u v (2.1 for alle u og v i R n. Det er muligt at kombinere isometrier ved at sammensætte funktioner. En kombination af to isometrier i R n vil være en isometri i R n. Et eksempel vil være, at hvis τ b er en translation og O en ortogonal operator i R n, så vil sammensætningen τ b O være en isometri. Omvendt kan enhver isometri i R n repræsenteres som en sammensætning af en ortogonal operator fulgt af en translation; Oτ b. SÆTNING 2.12 Lad O : R n R n være en isometri således at O(0 = 0. Da gælder følgende: 1. O(u = u for alle u i R n, 2. O(u O(v = u v for alle u og v i R n, 3. O er lineær, 4. O er en ortogonal operator. 15

24 KAPITEL 2. AFFINE AFBILDNINGER OG ISOMETRIER BEVIS Bevis for (1: For u R n. Så har vi, at O(u = u. O(u = O(u 0 = O(u O(0 = u 0 = u Bevis for (2: For u og v R n. Det ses at O(u O(v 2 = O(u 2 2O(u O(v + O(v 2 og u v 2 = u 2 2u v + v 2 Eftersom O er en isometri, er O(u O(v 2 = u v 2. Udfra ovenstående og (1 følger (2. Bevis for (3: For u og v R n. Det følger fra (1 og (2, at O(u + v O(u O(v 2 =[O(u + v O(u O(v] [O(u + v O(u O(v] = O(u + v 2 + O(u 2 + O(v 2 2O(u + v O(u 2O(u + v O(v + 2O(u O(v = u + v 2 + u 2 + v 2 2(u + v u 2(u + v v + 2u v = 0 Eftersom O(u + v O(u O(v = 0 medfører det, at O(u + v = O(u + O(v. Dermed bevarer O vektoraddition. Ved en lignende udregning vises det, at O bevarer multiplikation med skalar. Da O både bevarer vektoraddition og skalarmultiplikation, er O lineær. Beviset for (4 følger af (3 og (1, eftersom O er en lineær isometri og O(u = u, så er O en ortogonal operator. Det vil nu blive vist, hvordan isometrier påvirker vinkler. Hvis u og v er vektorer, så findes der en vinkel θ mellem u og v, hvor 0 θ π, således at u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, og dette er vinklen mellem u og v. SÆTNING 2.13 Hvis ϕ er en isometri i R n, hvor ϕ(0 = 0, så er ϕ vinkelbevarende. Det vil sige, at vinklen mellem ϕ(u og ϕ(v er den samme som vinklen mellem u og v i R n. BEVIS Antag, at ϕ er en isometri i R n, hvor ϕ(0 = 0, og ϕ(u = u for alle u. Hvis θ er vinklen mellem u og v, gælder der, at u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Hvis ϑ er vinklen mellem ϕ(u og ϕ(v, så er ϕ(u ϕ(v 2 = ϕ(u 2 + ϕ(v 2 2 ϕ(u ϕ(v cos ϑ Ifølge antagelsen haves ϕ(u = u og ϕ(v = v. 16

25 2.7. ORTOGONAL- OG ISOMETRIGRUPPER Dermed er u v 2 = ϕ(u ϕ(v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos ϑ hvilket betyder, at cos θ = cos ϑ. Eftersom 0 θ π og 0 ϑ π, må θ = ϑ. For enhver isometri ϕ i R n, lad O : R n R n være defineret ved O(v = ϕ(v ϕ(0. O er dermed en isometri og O(0 = ϕ(0 ϕ(0 = 0. Fra sætning 2.12 haves, at O er en ortogonal operator. Hvis O(v = ϕ(v ϕ(0 omskrives til ϕ(v = O(v + ϕ(0, og ϕ(0 = b, haves, at ϕ(v = τ b O(v er en sammensætning af en translation og en ortogonal operator. Som en konsekvens af observationen ovenfor haves, at enhver isometri i R n er en sammensætning af en ortogonal operator og en translation. Denne sammensætning kan beskrives ved ϕ(v = Av + b, A O n (R, b R n. 2.7 Ortogonal- og isometrigrupper Følgende generelle grupper introduceres, idet de anvendes som grundlæggende grupper til at beskrive rotationer og spejlinger. Sidstnævnte begrænses til planen, og studeres nærmere i kapitel Gruppen O n (R En matrix A GL n (R kaldes ortogonal, hvis AA T = I, hvor I er identitetsmatricen. Mængden af n n ortogonale matricer skrives som O n (R. Denne gruppe kaldes ortogonalgruppen. SÆTNING 2.14 Mængden O n (R = {A GL n (R AA T GL n (R. = I} er en undergruppe af gruppen BEVIS Da A, B O n (R medfører, at (AB(AB T = A(BB T A T = AA T = I og A 1 (A 1 T = (A T 1 A = I, er O n (R en undergruppe af GL n (R Bemærk her, at matricer i O n (R har determinant ±1. Gruppen introduceres, idet det viser sig, at elementer af denne gruppe kan fortolkes som matricer til rotation og spejling af vektorer. Dette beskrives med hensyn til planen i afsnit Gruppen SO n (R Endvidere haves delmængden SO n (R bestående af ortogonale matricer med determinant +1. Denne gruppe undersøges nærmere i afsnit 3.5, og det viser sig at denne gruppe, i planen, indeholder rotationsmatricer. Denne kaldes specialortogonalgruppen. 17

26 KAPITEL 2. AFFINE AFBILDNINGER OG ISOMETRIER SÆTNING 2.15 SO n (R = {A O n (R det(a = 1} er en undergruppe af O n (R. BEVIS Da A, B SO n (R medfører, at det(ab = det(a det(b = 1 1 = 1 og A 1 SO n (R medfører, at det(a 1 = (det(a 1 = 1, er SO n (R en undergruppe af O n (R. Her er det værd at nævne, at antallet af sideklasser [O 2 (R : SO 2 (R] = 2, da determinanten er en gruppehomomorfi fra O 2 (R på gruppen {±1} bestående af to elementer, og kernen er SO 2 (R Gruppen Iso n (R En funktion f (x = A x + b er afstandsbevarende, hvis A O n (R. Lad Iso n (R = { f : R n R n f (x = A x + b, A O n (R} I det følgende vises det, at Iso n (R er en undergruppe af A n (R, som er givet ved sætning 2.4. SÆTNING 2.16 Gruppen Iso n (R er en undergruppe af A n (R. BEVIS Antag, at g, f Iso n (R. Eftersom g, f er isometrier, gælder for sammensætningen g f g( f (x g( f (y = f (x f (y = x y Dermed er g f Iso n (R. Det neutrale element I + 0 er en isometri. Den inverse g(x 1 Iso n (R til en isometri er en isometri, da g 1 (x g 1 (y = g(g 1 (x g(g 1 (y = x y Denne gruppe indeholder alle afbildninger, som foretager translationer efter rotationer eller spejlinger, der er anvendt på en vektor Gruppen SIso n (R I isometrigruppen SIso n (R er funktionen f (x = Ax + b afstandsbevarende, hvis A SO n (R. Gruppen SIso n (R er defineret på følgende måde: SIso n (R = { f : R n R n f (x = Ax + b, A SO n (R} Følgende sætning viser, at SIso n (R er en undergruppe af Iso n (R. 18

27 2.7. ORTOGONAL- OG ISOMETRIGRUPPER SÆTNING 2.17 Gruppen SIso n (R er en undergruppe af Iso n (R BEVIS Antag, at f, g SIso n (R. Da f og g er isometrier, gælder det for kompositionen g f, at g ( f (x g( f (y = f (x f (y = x y og dermed er g f SIso n (R. Den inverse g(x 1 SIso n (R til en isometri er g(x, da g 1 (x g 1 (y = g(g 1 (x g(g 1 (y = x y Denne gruppe indeholder alle afbildninger, som foretager translationer efter rotationer, der er anvendt på en vektor. 19

28

29 Isometrier i planen 3 Dette kapitel er primært bygget på [Morandi, 2007b, 3-7]. I dette kapitel vil de fire forskellige isometrier, der findes i R 2, blive gennemgået. Disse fire vil senere i projektet benyttes til at beskrive de fem forskellige gittertyper og derved de 17 forskellige tapetgrupper. Senere bevises, at der eksisterer disse fire typer af flytninger. Dette sker i afsnittet Translationer En af disse fire isometrier er en translation, også kaldet en parallelforskydning. En translation kan tænkes på som en flytning. Der er her valgt at fokusere på plane flytninger, altså n = 2. En mere præcis definition følger her. DEFINITION 3.1 For vektoren v R 2 kaldes afbildningen τ v, defineret ved τ v (x = x + v for alle x R 2, en translation med v. En translation noteres på formen f (x = Ix + v. Den lineære operator, der indgår i notationen, er givet ved identitetsafbildningen. Hvis x, y R 2, da gælder (2.1, hvilket viser, at τ v er en isometri. Translationen af vektor x med det neutrale element 0 er τ 0 (x = x. Da der her er tale om en triviel translation, er det neutrale element i gruppen det samme som identitetsafbildningen. Yderligere opfylder kompositionen af to translationer, v og w, ligningen τ v τ w = τ v+w. Den inverse er (τ v 1 = τ v, hvilket ses ved, at τ v τ v = 0. En ikke-triviel translation indeholder ingen invers, da den ikke afbilder over i sig selv. Hvis en translation er ikke-triviel, så har den uendelig orden. Det vil sige, at der ikke eksisterer et tal, som afbildningen kan opløftes i og derved give det neutrale element. Dette er sandt, da der gælder, at (τ v n = τ nv, og nv = 0, hvilket medfører, at n = 0 eller v = 0. Ydermere har en ikke-triviel translation ingen fikspunkter. Det vil sige, at der ikke findes nogle punkter, som afbildes over i sig selv af funktionen τ v (x. Grunden til at en ikketriviel translation ikke har nogle fikspunkter er, at en ikke-triviel translation altid flytter 21

30 KAPITEL 3. ISOMETRIER I PLANEN et punkt. Hvis translationen er triviel, kan dette udtrykkes algebraisk. Det vil sige, at der skal vises, at fikspunktet x opfylder, at τ v = x + v = x, men det betyder, at v = 0. Translationen er dermed triviel, hvilket er en modstrid. v Figur 3.1. Translation i R 2 I et Euklidisk koordinatsystem flytter en translation alle punkter en konstant afstand i en specifik retning. 3.2 Spejlinger Den anden isometri i R 2 er en spejling, f, som sker i en akse, l. Dette kan ses ved et geometrisk argument nedenfor i figur 3.2. I det følgende vil blive gennemgået, hvad en spejling er, og der vil blive givet en mere præcis definition heraf. l f (x x Figur 3.2. Spejling i l i R 2 DEFINITION 3.2 Hvis l er linjen gennem origo, med retningsvektor w, så er spejlingen, f, i l givet ved ( x w f (x = 2 w x. w w Definitionen kommer fra formlen om projektionen af en vektor på en anden vektor. Udfra denne vil en beregning vise, at f er en lineær isometri. For en spejling g i en vilkårlig linje, lad τ være en translation der sender et fikspunkt på spejlingsaksen l af g til origo. 22

31 3.3. ROTATIONER Så sender translationen τ linjen l til en linje l gennem origo. Hvis f er spejlingen om l, så er g = τ 1 f τ, og derved er g en isometri. Generelt kan en spejling beskrives på følgende måde: For B værende spejlingsmatricen nedenfor er B O 2 (R\SO 2 (R. Se kapitel 2.7 for forklaring af gruppen O 2 (R. ( cos θ sin θ B = sin θ cos θ En spejling i R 2 kan udvides til en spejling igennem en hyperplan i n dimensioner. DEFINITION 3.3 Givet en vektor a R n, da er formlen for spejlingen i hyperplanen gennem origo ortogonal på a givet ved ( x a f (x = x 2 a. a a En spejling i n dimensioner er altså tilsvarende en spejling i to dimensioner bortset fra, at spejlingen foregår i hyperplaner i stedet for linjer. 3.3 Rotationer Den tredje isometri er rotationer, hvilke kan hjælpe med at foretage flytninger. I modsætning til de to tidligere præsenterede isometrier, bestemmes denne en vinkel. DEFINITION 3.4 Hvis θ er en vinkel, så er rotationen r med vinklen θ omkring origo givet i koordinater ved r ( x y = ( cos θ sin θ ( sin θ cos θ x y = ( x cos θ y sin θ x sin θ + y cos θ Helt generelt kan en rotation beskrives på følgende måde: For A værende rotationsmatricen nedenfor er A SO 2 (R, A = I. Se kapitel 2.7 for forklaring af gruppen SOToR. ( cos θ sin θ A =. sin θ cos θ En rotation om origo er en lineær transformation og en isometri. Denne kan på følgende måde benyttes til at beskrive en rotation omkring ethvert punkt. Dette ses i figur 3.3, hvor θ står for rotationsvinklen. 23

32 KAPITEL 3. ISOMETRIER I PLANEN θ Figur 3.3. Rotation af en trekant om et punkt med vinklen θ Der haves en rotation r med vinklen θ omkring et punkt P R 2, og en translation τ langs med P. Der skal altså findes effekten af drejningen af v + w om P beskrevet som en drejning om origo. Rotationen r, illustreret i figur 3.4, kan beskrives med v + w τ v w r rw τ v v + w, hvilket medfører, at r = τ v r (τ v 1. Derved haves, at r (A, 0. Det vil sige, at (I, v (A, 0 (I, v = (I, v (A, Av = (A, v Av. Dermed er enhver rotation en isometri. r P θ v w θ 0 r τ v v + w w Figur 3.4. Illustration af rotationen r = τ v r (τ v 1. En identisk afbildning svarer til rotationer på 360. Rotationen r er ikke-triviel, hvis den ikke er den identiske afbildning. Hvis r er rotationen om punktet P med vinklen θ, da er r 1 en rotation med vinklen θ om P. Yderligere har enhver rotation et fikspunkt, også kaldt et omdrejningspunkt. Det næste lemma 3.5 samt lemma 3.7 på side 26 vil primært blive brugt til, at bestemme hvornår to symmetrigrupper er ikke-isomorfe. Lemma 3.5 benyttes også til at finde en rotations omdrejningspunkt. Kilden til dette lemma samt bevis er at finde i [Morandi, 2007b, s. 6] 24

33 3.4. GLIDESPEJLINGER LEMMA 3.5 Lad r være en ikke-triviel rotation omkring origo med en vinkel θ, v være en vektor, og τ v være en translation med vektoren v. Så er τ v r en rotation omkring (r I 1 (v med en vinkel θ. BEVIS I dette bevis antages det, at enhver isometri enten er en translation, rotation, spejling eller glidespejling, som bevises i afsnit 3.6. Så adskiller rotationer sig fra alle isometrier ved, at de har et unikt fikspunkt. Antag, at τ v r har et fikspunkt x R 2, så er r(x + v = x, hvilket medfører v = x r(x = (I r(x. Herudover vides det, at r er en lineær transformation, da r er en ikke-triviel rotation omkring origo. Udfra, at r er en lineær transformation, og at en rotation kan formuleres som en matrix med standard basis i R 2, gælder det, at ( ( cos θ sin θ det(i r = det I = 2 2 cos(θ = 0 sin θ cos θ eftersom r er en ikke-triviel rotation. Her er θ = 0, π. Da er I r invertibel. Dette giver, at x = (I r 1 v er det unikke fikspunkt til r, hvilket betyder, at x er centrum i rotationen. Omvendt ses det, at denne værdi af x løser fikspunktligningen r(x + v = x Rotationsvinklen for τ v r er givet ved θ. Denne kan udregnes ved τ v r θ (x + a = r θ (x + r θ (a + v = x + r θ (a, og er illustreret på figur 3.5. r(a x + r(a θ a θ x x + a Figur 3.5. Rotation om en vinkel θ For hver translation τ v kommer der et nyt centerpunkt også kaldet omdrejningspunkt. Så når v T bliver det elementer i symmetrigruppen. Derved kommer der lige så mange omdrejningspunkter, som der er elementer i translationsgitteret, altså uendelig mange. Origo er også med, da v kan sættes lig nul i τ v. 3.4 Glidespejlinger Dette afsnit bygger på [Morandi, 2007b, s. 5-7]. 25

34 KAPITEL 3. ISOMETRIER I PLANEN Den sidste måde, hvorpå figurer og mønstre kan flyttes, er med glidespejlinger. Denne metode foretager to forskellige flytninger, og er derfor en sammensætning af to af de ovennævnte isometrier. Dette vil blive forklaret her i definitionen. DEFINITION 3.6 En glidespejling G er en sammensætning af to isometrier; en spejling i en akse samt en translation langs den samme akse. Et eksempel på en glidespejling er givet i figur 3.6. Figur 3.6. Eksempel på en glidespejling. Vendes sammensætningen i definition 3.6 om til en translation langs med spejlingsaksen sammensat med en spejling, fremkommer det samme resultat. Det vil sige, at disse to isometrier kommuterer. En ægte glidespejling har ingen fikspunkter eller fikslinjer. Spejlingsaksen går over i sig selv, men den består ikke af fikspunkter. Hvis translationen i en glidespejling er triviel, det vil sige, at translationen er defineret ved 0-vektoren, så er glidespejlingen blot en almindelig spejling, og derved får glidespejlingen en spejlings egenskaber. Hvis to ens glidespejlinger kombineres, fås en ren translation, hvor translationsvektoren er det dobbelte af glidespejlingen. Det betyder, at de lige potenser af en glidespejling udgør en translationsgruppe. LEMMA 3.7 Lad f være en spejling omkring en linje l, som går igennem origo og lad v R 2. Hvis G er glidespejlingen G = τ v f, så er G en spejling, hvis og kun hvis v er ortogonal med l. Hvis v er ortogonal med l, er G s spejlingsakse givet ved l + 1 2v. Hvis v ikke er ortogonal med l, er G en ikke-triviel glidespejling, og G 2 er en translation givet ved vektoren v + f (v på l. 26

35 3.5. GRUPPEN O 2 (R BEVIS Fra afsnit 3.2 er det givet, at f er en lineær transformation. Glidespejlingen G = τ v f er en spejling, hvis og kun hvis den bevarer en vektor w. Hvis f (w + v = w, er v = w f (w. Det medfører, at f (v = f (w f (w = f (w f 2 (w = f (w w = v. Hvis G er en spejling, må v derfor være ortogonal med l. Omvendt, hvis v er ortogonal med l, må f (v = v og G( 1 2 v = 1 2v. Dette gør, at G er en spejling, som bevarer linjen l + 1 2v. Derfor er G en ikke-triviel glidespejling, hvis og kun hvis v ikke er ortogonal med l. Betragt G 2. Hvis x R 2, så er G 2 (x = f ( f (x + v + v = f 2 (x + f (v + v = x + f (v + v, da f er lineær. Derfor er G 2 en translation givet ved f (v + v. Eftersom f ( f (v + v = f 2 (v + f (v = v + f (v er denne translationsvektor bevaret ved en spejling f, og dermed ligger den på l. Glidespejlinger kan beskrives på formen G(x = Ax + b. Her er A en spejlingsmatrix på formen, som er beskrevet i afsnit 3.2, og b er en translationsvektor. 3.5 Gruppen O 2 (R I dette afsnit, som er baseret på [Morandi, 2007b, s ], vil der blive gennemgået nogle faktiske forhold vedførende gruppen O 2 (R. Lad A være matricen med hensyn til standardbasen for et element i O 2 (R. Hvis ( a b A =, c d så giver betingelsen A T A = I 2 ( T ( a b a c d c b d = ( a 2 + c 2 ab + cd ab + cd b 2 + d 2 = ( Dette giver, at a 2 + c 2 = 1 og b 2 + d 2 = 1. Hvorved der er givet en vinkel θ, hvor a = cos θ og b = sin θ. Herudover angiver betingelsen ab + cd = 0, at vektoren (b, d er ortogonal på (a, c. Da b 2 + d 2 = 1 vil (b, d = ( sin θ, cos θ eller (b, d = (sin θ, cos θ. Den første giver en matrix med determinant 1, og den anden giver en matrix med determinant -1. Udfra dette ses det, at hvis A SO 2 (R, så kan A skrives som A r ; ( cos θ sin θ A r = sin θ cos θ for en arbitrær vinkel θ. Det vil sige, at A r er rotationen om origo med en vinkel givet ved θ. På den anden side, hvis A / SO 2 (R, så kan A skrives som standardmatricen for en spejling A f i aksen, som har vinkel θ 2 med x-aksen; ( cos θ sin θ A f = sin θ cos θ 27

36 KAPITEL 3. ISOMETRIER I PLANEN Fra formlen i definition 3.2 på side 22, for en spejling over en linje gennem origo, haves det, at A f er en spejling over linjen y = (tan θ 2 x Det følger, at alle elementer i SO 2 (R er rotationer, og alle elementer i O 2 (R \ SO 2 (R er spejlinger. I øvrigt er C n en undergruppe af SO 2 (R, eftersom C n indeholder rotationer med vinklen (2πk/n, hvor k = 1, 2,.... Da ethvert element i en isometri, Iso 2 (R, er kompositionen af en translation med et element i O 2 (R, haves følgende korollar, som uddybes i afsnit 3.6. KOROLLAR 3.8 Enhver isometri i planen er enten en translation, en rotation, en spejling eller en glidespejling. Endvidere haves det, at hvis r SO 2 (R og f O 2 (R \ SO 2 (R, så er r f / SO 2 (R. Det vil sige, at r f er en spejling. Således er (r f 2 = I, hvilket er ækvivalent med f r f = r 1. Diedergruppen D n er gruppen af symmetrier i et regulært polygon med n sider. Den er givet udfra frembringere og relationer, som D n = r, f, hvor r n = f 2 = I f r f = r 1 Diedergruppen D n kan repræsenteres som en undergruppe af O 2 (R ved at lade r være rotationen om en vinkel givet ved 2π n, og hvor f er en hvilken som helst spejling. I modsætning til dette eksempel haves følgende egenskab for endelige undergrupper i O 2 (R. SÆTNING 3.9 Lad G være en endelig undergruppe i O 2 (R. Så er G isomorf til enten en cyklisk gruppe med orden n eller en diedergruppe med orden 2n, hvor n N. BEVIS Lad N = G SO 2 (R være en normal undergruppe af G. Da [O 2 (R : SO 2 (R] = 2 (se eventuelt afsnit og G/N er isomorf til en undergruppe af O 2 (R/SO 2 (R, haves [G : N] 2. Hvis N = I, så er enten G = I cyklisk eller G = f for en spejling f, det vil sige, at G = D 1. Herefter antages det, at N = I. Gruppen N består af rotationer. Da den er endelig, er der en ikke-triviel rotation r N med mindste drejningsvinkel θ > 0. Hvis r er en hvilken som helst anden ikke-triviel rotation i N med drejningsvinkel φ, så er der et heltal m således, at mφ θ < (m + 1φ. Rotationen r(r m er en rotation i N med vinklen 0 θ mφ < θ. Da θ er den mindst mulige positive vinkel vil mφ = θ. Det vil sige, at r r. Dette viser, at N = r er cyklisk. Her ses θ = 2π n, da {( } cos( 2πk N = n 2πk sin( n sin( 2πk 2πk, 0 k < n cos( = ( n n cos( 2π n sin( 2π n sin( 2π n cos( 2π n = C n 28

37 3.6. KLASSIFIKATION PLANISOMETRIERNE Hvis G = N, så er G cyklisk. Hvis G = N, så er [G N] = 2. Hvis f G \ N, så er f r f = r 1, som omtalt ovenfor. Hvis n = N, så er G = 2n, og G er frembragt af r og f, og opfylder relationerne r n = f 2 = I og f r f = r 1. Derved er G = D n. 3.6 Klassifikation planisometrierne Dette afsnit bygger på vejlederundervisning. Det vil nu trinvis blive vist, at der eksisterer fire isometrier. SÆTNING 3.10 I planen eksisterer fire typer isometrier. Disse er translationer, spejlinger, rotationer og glidespejlinger. BEVIS Translation: Det vil nu blive vist, hvordan der udfra ligningen F(x = Ax + b, kan fremkomme en translation. Lad A O 2 (R og sæt A = I. Da bliver F(x = Ix + b, hvilket er en translation. Rotation: Det vises, at en rotation om origo, ved komposition med en translation, kan føre til en rotation om et andet punkt, når F(x = Ax + b. For A SO 2 (R og A = I. Betragt ligningen Ax + b = F(x = x. Her er b = (I Ax og x = (I A 1 b, hvor x er centrum for rotationen. Det skal nu tjekkes, om det er en rotation om dette punkt. For en vektor y R 2 gælder, at y = x + (y x, og dermed er F(y = y. Da er F(y = Ay + b = Ax + A(y x + b = x + A(y x. Det er hermed gennemgået, hvad en rotation er og dens relation til vinkler. x y x y Figur 3.7. Illustration af rotation af vektoren x y. Spejling: Det vil nu blive vist, at hvis vektoren b er en egenvektor til egenværdien -1, altså komponenterne til v 1 er lig 0, så repræsenterer funktionen F en spejling, i spejlingsaksen, som er parallel med vektoren v 1 gennem punktet med stedvektor b/2. Derimod, hvis vektoren b ikke er en egenvektor, så bliver spejlingen kombineret med en translation i retningen v 1. Der arbejdes med F(x = Ax + b, hvor vektorerne v 1 og v 1, der ligger på spejlingsakserne, er egenvektorer til egenværdierne ±1. Dette ses i figur 3.8. Funktionen F(x fås her ved at spejle x i aksen givet ved γ 2 v 1 + tv 1. Det vil blive vist, at det ene udfald er en spejling og det andet er en glidespejling. Her vil blive gennemgået muligheden med spejling. I det følgende betyder notationen b E 1 (A, at b ligger i 29

38 KAPITEL 3. ISOMETRIER I PLANEN v 1 v 1 Figur 3.8. Vektorene med egenværdierne ±1, som ligger på spejlingsakserne v 1 og v 1. egenrummet svarende til egenværdi -1. I dette tilfælde er der kun tale om egenvektoren til egenværdien -1, det vil sige, at den er ortogonal på aksen gennem v 1. Lad A O 2 (R \ SO 2 (R, b E 1 (A og α, β, γ R. Så gælder der, at x = αv 1 + βv 1, b = γv 1, x = γ 2 v 1 + (αv 1 + βv 1 γ 2 v 1 F(x = αv 1 βv 1 + γv 1 = γ 2 v 1 + (αv 1 (βv 1 γ 2 v 1. Der kan herudfra bevises, at der eksisterer en spejling ved opsplitning af et generelt b i et led E 1 (A og et led E 1 (A. Glidespejling: Det vil nu blive vist, hvordan en vektor skråt på spejlingsaksen, men ikke ortogonal derpå, kan blive til en glidespejling. Der arbejdes igen med F(x = Ax + b, hvor vektorerne v 1 og v 1, der ligger på spejlingsakserne, er egenvektorer til egenværdierne ±1. Her gennemgås muligheden for en glidespejling. Lad A O 2 (R \ SO 2 (R, b / E 1 (A og α, β, γ, δ R. x = αv 1 + βv 1, b = γv 1 + δv 1, x = γ 2 v 1 + (αv 1 + βv 1 γ 2 v 1 F(x = αv 1 βv 1 + γv 1 + δv 1 = ( γ 2 v 1 + (αv 1 (βv 1 γ 2 v 1 + δv 1. Her er δv 1 en translation og det resterende er spejlingen i aksen γ 2 v 1 + tv 1, hvor t R. For δ = 0 repræsenterer F sammensætning af en spejling i aksen v 1 og en translation med δv 1. Herved er det bevist alle planisometrier tilhører en af de ovenstående fire isometrier. 30

39 Tapetmønstre og tapetgrupper 4 Overordnet beskrevet repræsenterer tapetgrupperne mønstre, der gentages i planen. Der eksisterer 17 forskellige tapetgrupper, som består af unikke kombinationer af de fire typer isometrier. I figur 4.1 ses et eksempel på et tapetmønster. Det vil i afsnit 5 blive bestemt, hvilken tapetgruppe dette mønster tilhører. Figur 4.1. Et eksempel på et tapetmønster. 4.1 Tapetmønstre I dette afsnit vil det blive beskrevet, hvad et tapetmønster er; hvad der gælder for et tapetmønster, og hvordan det kan defineres formelt. Afsnittet bygger på [Morandi, 2007b, s ]. Et to-dimensionelt mønster, der gentager sig igen og igen, kaldes et tapetmønster. Gentagelsen kan ske på forskellige måder. Mønsteret kan forskydes horisontalt eller vertikalt via translation. Se for eksempel figur 4.2. Figur 4.2. Eksempel på en simpel horisontal translation. 31

40 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER Det kan eventuelt også drejes ved rotation, som på figur 4.3. En spejling, illustreret på figur 4.4, af mønsteret kan også forekomme. Figur 4.3. Illustration af en horisontal rotation med 90 i positiv omløbsretning sammen med en translation. Figur 4.4. Illustration af en horisontal spejling. For at kunne opstille en mere formel definition af et tapetmønster introduceres i det følgende dels begrebet translationsundergruppe, dels begrebet gitter. Hvis W R 2 er en delmængde af R 2, gælder det fra afsnit 2.5, at symmetrigruppen for W er Sym(W = {ϕ Iso 2 (R ϕ(w = W} Mængden af alle translationer, T, udgør en undergruppe af Iso 2 (R. Derfor gælder det, at mængden: Sym(W T = {τ Sym(W τ er en translation } er en undergruppe af Sym(W. Mængden kaldes translationsundergruppen til Sym(W. Begrebet om gitter er central i definitionen af et tapetmønster. Translationsundergruppen til Sym(W skal være et to-dimensionelt gitter, da det helt karakteristiske ved et tapetmønster er, at der altid er tale om to translationer τ 1 og τ 2 af mønsteret, sådan at alle andre translationer af mønsteret er på formen τ1 nτm 2, hvor n og m er heltal. Dette fører til en gitter-struktur, T. Figur 4.5 illustrerer en rombisk gitterstrukur, som studeres nærmere i afsnit Figur 4.5. Eksempel på en rombisk gitterstuktur. DEFINITION 4.1 Et to-dimensionelt gitter, T Z 2 er en undergruppe af R 2 på formen {nt 1 + mt 2 n, m Z} med to lineært uafhængige vektorer t 1, t 2 R 2 32

41 4.2. ET TAPETMØNSTERS PUNKTGRUPPE Det betyder også, at ethvert element i T er en heltallig linearkombination af basisvektorerne {t 1, t 2 }. Den formelle definition af et tapetmønster kan nu opstilles: DEFINITION 4.2 En delmængde W, W R 2, er et tapetmønster, hvis translationsundergruppen til symmetrigruppen Sym(W er et to-dimensionelt gitter. Den symmetrigruppe, et tapetmønster hører til, kaldes en tapetgruppe. 4.2 Et tapetmønsters punktgruppe I dette og det næste afsnit undersøges, hvilke yderligere begrænsninger og betingelser et tapetmønster er underlagt. Afsnittet her bygger på [Morandi, 2007b, s ]. Der er i afsnit 4.1 blevet beskrevet, hvad en tapetgruppe er. For at bestemme en tapetgruppe skal en punktgruppe for en tapetgruppe bestemmes. Dermed skal det findes ud af, hvordan en tapetgruppe kan bestemmes. Lad G være en tapetgruppe med gitter T. I det følgende forklares, hvad en punktgruppe for tapetgruppen G med gitter T er, og dernæst bestemmes hvilke grupper der kan være punktgrupper for tapetgruppen G. DEFINITION 4.3 Lad G være en tapetgruppe. Dennes punktgruppe G 0 er mængden {A O 2 (R Der findes en vektor b R 2 således at (A, b G}. Bemærk at her bruges notation fra afsnit 2.4 på side 11. Punktgruppen er altså en undergruppe af O 2 (R, hvilket følger af regnereglerne i afsnit 2.4. LEMMA 4.4 En tapetgruppes punktgruppe G 0 er endelig. BEVIS Lad {t 1, t 2 } være en basis for T og lad E være en cirkel med centrum i origo, som indeholder t 1 og t 2 i sit indre. Som en konsekvens af definition 4.1 på forrige side er der kun endeligt mange elementer af T i E. Eftersom G 0 er en undergruppe af O 2 (R, vil dens elementer kun give permutationer af E s indre. Det vil sige, at hvis et punkt fra punktgruppen virker på et gitterpunkt, så er det stadig et gitterpunkt. Dette skyldes, at hvis A G 0 og t T, så At T, eftersom (A, b (I, t (A, b 1 = (A, b + At (A 1, A 1 b = (I, b + b + At = (I, At. Der er derfor kun endeligt mange par af elementer i T, som kan opstå som billedet af 33

42 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER t 2 t 1 {t 1, t 2 } under en operation af et af G 0 s elementer. Da {t 1, t 2 } er en basis for R 2, gælder dette for ethvert element af G 0. Derfor er G 0 endelig. SÆTNING 4.5 Lad G 0 være punktgruppen for en tapetgruppe G. Så er G 0 isomorf med en af følgende 10 grupper: {C 1, C 2, C 3, C 4, C 6, D 1, D 2, D 3, D 4, D 6 }. BEVIS Lemma 4.4 har vist, at G 0 er en endelig gruppe, og fra sætning 3.9 på side 28, vides det, at endelige undergrupper af O 2 (R er isomorfe med C n eller D n for n Z +. De værdier, som n i dette tilfælde, det vil sige i tilfælde af et tapetmønster, kan antage, bestemmes i det følgende. Det konstateres i beviset for 3.9, at N = G 0 SO 2 (R er en cyklisk gruppe frembragt ved en rotation r af mindst mulig vinkel. Størrelsen N = n, og det betyder, at r har orden n. Det vil igen sige, at r er en rotation med vinklen θ = 2π n. Rotationen r kan repræsenteres i matrixform på to måder: Den ene er i forhold til standardbasis, hvor den lineære transformation udtrykkes ved: ( cos θ sin θ sin θ cos θ Da det samtidig er gældende, at et tapetmønster fremkommer ved en gitterstruktur, T, betragtes nu matrixrepræsentationen for r i forhold til en gitterbasis {t 1, t 2 } af tapetmønstrets gitter, T. Denne vil have indgange a, b, c, d bestående af heltal, ( a b c d da dette sikrer, at enhver operation med matricen resulterer i et gitterpunkt. Søjlerne i matricen beskriver således billederne af basisgittervektorerne t 1 og t 2 som linearkombination af disse basisvektorer, nemlig at 1 + ct 2, henholdsvis bt 1 + dt 2. Eftersom a, b, c, d Z, så ligger begge linearkombinationer i gitteret. 34

43 4.2. ET TAPETMØNSTERS PUNKTGRUPPE De to matricer er konjugerede, da de beskriver den samme lineære afbildning i forhold til forskellige baser. Derfor har de blandt andet også samme spor, det vil sige, at summen af diagonalindgangene for hver af matricerne er den samme. Dette er tilfældet, da det følger direkte af matrixmultiplikation, at sporet af (AB, noteret tr(ab, er det samme som tr(ba, og hvis B = P 1 AP er den konjugerede matrix til A, så bliver: tr(b = tr(p 1 AP = tr((p 1 AP = tr(p(p 1 A = tr((pp 1 A = tr(a. At de to ovenstående matrixrepræsentationer har samme spor medfører derfor, at der gælder: 2 cos θ = a + d Eftersom venstresiden kun kan ligge i intervallet [ 2; 2], og eftersom højresiden kun kan antage heltalsværdier, så fås, at 2 cos θ kun kan blive 0, 1, -1, 2, og -2. Dermed må cos θ { 1, 1 2, 0, 1 2, 1}, hvilket igen betyder, at θ { π 3, π 2, 2π 3, π, 4π 3, 3π 2, 5π 3, 2π}, hvor 0 < θ 2π. Men da målet er at bestemme de værdier, n kan antage, og da n som nævnt ovenfor er underlagt restriktionen θ = 2π n, betragter vi kun vinkler på denne form. Derfor kan de mulige θ-værdier reduceres til θ { π 3, π 2, 2π 3, π, 2π}, 0 < θ 2π. π 2 2π 3 π 3 0,5 π 2π -0,5 Figur 4.6. Illustration af punkterne θ { π 3, π 2, 2π 3, π, 2π} på enhedscirklen. Dette medfører ved indsættelse i n = 2π θ : n {1, 2, 3, 4, 6}, da n = 2π 2π 2π π/3 = 6; n = π/2 = 4; n = 2π/3 = 3; n = 2π π = 2 og n = 2π 2π = 1. Beviserne i resten af dette afsnit overspringes, men de forefindes i [Morandi, 2007b, s ]. I det følgende vises, at punktgruppen G 0 er entydigt givet ud fra tapetgruppen G. Det følgende lemma udgør første skridt og viser, at en undergruppe T kan findes udfra en tapetgruppe G. 35

44 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER LEMMA 4.6 Lad G være en symmetrigruppe med translationsgitter T, og lad Så gælder der, at G n = {x G xg n = g n x for alle g G}. 1. T = G n, når n er et multiplum af antallet af sideklasser [G : T] i G/T. 2. hvis G og G er tapetgrupper med translationsgitter T henholdsvis T, og hvis ϕ : G G er en isomorfi, så er ϕ(t = T. KOROLLAR 4.7 Lad G og G være isomorfe tapetgrupper, så er deres punktgrupper G 0 og G 0 isomorfe. Det følgende resultat er en skærpelse af korollar 4.7, og giver nødvendige betingelser, som punktgrupperne skal være underlagt, før to tapetgrupper kan være isomorfe. Sætningen viser, at der er tale om et specielt tilfælde af isomorfi, idet to isometrier i GL 2 (Z er konjugerede. SÆTNING 4.8 Lad ϕ : G G være en isomorfi af tapetgrupperne G og G. Lad G og G være tapetgrupper med translationsgitre T henholdsvis T og punktgrupper G 0 henholdsvis G 0. Vælges heltalsbaser til T og T, så er afbildningen ϕ T en lineær isomorfi, givet ved en matrix U GL 2 (Z, og den inducerede isomorfi ϕ : G 0 G 0 er konjugering ved U. Med notationen ϕ T forstås funktionen ϕ restringeret til translationsgitteret T. KOROLLAR 4.9 Lad G og G være isomorfe tapetgrupper med punktgrupperne G 0 henholdsvis G 0. Identificeres G 0 og G 0 som undergrupper af GL 2(Z, ved at vælge baser for translationsgitre til G og G, så eksisterer der en matrix U GL 2 (Z, hvor G 0 = UG 0U 1. Det er ikke et krav, at G 0 og G 0 er undergrupper af GL 2(Z, men det bliver de, når der vælges en gitterbasis til tapetgrupperne. Ovenstående korollar betyder dermed, at to punktgrupper er konjugerede i GL 2 (Z, hvis de er undergrupper af GL 2 (Z, og hvis deres tapetgrupper er isomorfe. Som følgende korollar siger, så er det omvendte af korollar 4.9 også sandt. 36

45 4.3. DE FEM GITTERTYPER KOROLLAR 4.10 Lad translationsgitteret til to tapetgrupper være isomorf ved hjælp af en afbildning U, for hvilken konjugering af U er en isomorfi mellem deres punktgrupper. Så haves en isomorfi mellem grupperne ved (g, t (UgU 1, U(t. Foretages en geometrisk undersøgelse af tapetmønstre med rotationer på 180, men som ingen spejlinger har, så er et sådan mønster anderledes end et, der kun har spejlinger. Dette svarer eksempelvis til, at to punktgrupper er isomorfe, men at deres tilhørende matrixrepræsentationer ikke er konjugerede i GL 2 (Z. Et eksempel på dette er grupperne C 2 og D 1, som beskrives i henholdsvis afsnit og Disse er indbyrdes isomorfe, idet begge grupper har netop to elementer Dog er C 2 en undergruppe af SO 2 (R, og er således kun konjugeret til sig selv. Eftersom D 1 er forskellig fra C 2, så er D 1 og C 2 ikke konjugerede. 4.3 De fem gittertyper Dette afsnit, der bygger på [Morandi, 2007b, s ], omhandler, hvad der gør sig gældende, når hver af de ti ovenfor beskrevne punktgrupper virker på et mønsters gitterstruktur. Ved en geometrisk betragtning kan det konstateres, at der er fem gittertyper i forhold til de ti punktgruppers virkning på en gitterstruktur T med basis {t 1, t 2 }, hvor t 1 og t 2 er kortest mulige vektorer. Den ene af translationsvektorerne, t 1, vil altid vælges til at ligge langs x-aksen i et koordinatsystem, således at t 1 = (1, 0. I det følgende vil de fem gittertyper blive gennemgået Punktgrupperne C 1, C 2 : Parallelogramgitre Punktgrupperne C 1 og C 2 giver ikke nogen begrænsninger på, hvordan gitteret T kan se ud. Det vil sige, at C 1 og C 2 er uafhængige af basen {t 1, t 2 } for T. Hvis G 0 = C 1 eller G 0 = C 2, hvor C 1 n er identiteten, og hvor C 2 giver en rotation af mønsteret på 180, så kan de to punktgrupper repræsenteres på matrixform. Matricerne fremkommer ved at udtrykke den virkning, punktgrupperne har på T, som linearkombinationer af basen {t 1, t 2 }. For C 1 s vedkommende er der ikke tale om nogen frembringning af andre vektorer, da der ikke er tale om nogen rotation. Den har altså ikke nogen virkning på t 1 og t 2, der forbliver sig selv. Linearkombinationen er i dette tilfælde: t 1 = 1t 1 + 0t 2 t 2 = 0t 1 + 1t 2. I tilfældet C 2 bliver t 1 til t 1 og t 2 til t 2. Denne operation kan udtrykkes på matrixform 37

46 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER ved at opstille rotationen, som en linearkombination af {t 1, t 2 }: r 180 (t 1 = 1t 1 + 0t 2 r 180 (t 2 = 0t 1 1t 2. Det væsentlige her er således, at At i = ±t i, hvor matricen A er en 180 s-rotations-matrix og i = 1, 2. Punktgrupperne C 1 og C 2 er dermed givet ved: C 1 = {( } og C 2 = ( = {( , ( }. Gittertypen for disse to tilfælde kaldes et parallelogramgitter, da {t 1, t 2 } udspænder et parallelogram. Parallelogramgitteret illustreres i figur 4.7. t 2 t 1 Figur 4.7. Parallellogramgitter Punktgrupperne C n og D n, for n 3 Herefter betragtes punktgrupperne C n og D n, for n 3. Til dette skal vi bruge følgende lemma, som beskriver, hvordan C n og D n, for n 3 virker på gitterbasen {t 1, t 2 } int. LEMMA 4.11 Antag, at G 0 indeholder en rotation r med en vinkel 2π n, for n 3. Hvis t er et element i T, som er forskellig fra 0, og med kortest mulig længde, så er {t, r(t} en basis for T. BEVIS Lad {t 1, t 2 } være en basis for T. Så gælder: for a, b, c, d Z. t = at 1 + bt 2 r(t = ct 1 + dt 2 38

47 4.3. DE FEM GITTERTYPER Dette kan igen udtrykkes som et vektor-matrix-produkt: ( a c (t r(t = (t 1 t 2, b d hvilket medfører, at: (t 1 t 2 = (t r(t ( a b c d 1 Mængden {t, r(t} er lineært uafhængig fordi n > 2, så ovenstående ligningssystem kan løses i forhold til t 1. Således bliver t 1 = α(t + βr(t, for α, β Q. Betegn α = α 0 + ɛ, og β = β 0 + ɛ, hvor α 0, β 0 Z og ɛ, ɛ 1 2. Givet s = α 0(t + β 0 r(t T, så gælder det, at (t 1 s = ɛ(t + ɛ r(t T. Eftersom t og r(t ikke er parallelle, kan det konkluderes, at: t 1 s = ɛt + ɛ r(t < ɛt + ɛ r(t 1 2 ( t + r(t = 1 (2 t = t. 2 Dette er i modstrid med, at t ifølge antagelsen skal være kortest mulig, med mindre at s = t 1. Derfor er t 1 = s en heltallig linearkombination af t og r(t, hvilket også gælder for t 2. Eftersom {t 1, t 2 } er en basis for T, gælder det dermed også, at {t, r(t} er en basis for T Punktgrupperne C 4, D 4 : Kvadratgitre Lad r 90 være en rotation på 90 i G 0, hvor G 0 antages at være enten C 4 eller D 4. Hvis t = t 1 er en vektor af kortest mulig længde i T, så er {t 1, r(t 1 } ifølge lemma 4.11 en basis for T. Den gittertype, der er mulig i dette tilfælde kaldes et kvadratisk gitter, og er illustreret på figur 4.8. t 2 t 1 Figur 4.8. Kvadratgitter I forhold til denne basis gælder det, at hvis G 0 = C 4 = r 90, så er frembringeren repræsenteret i matrixform givet ved: 39

48 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER C 4 = ( {( 1 0 = 0 1 ( 0 1, 1 0 ( 1 0, 0 1 ( 0 1, 1 0 }. Dette fremkommer ved opstillingen af linearkombinationerne: r 90 (t 1 = 0t 1 + 1t 2 r 90 (t 2 = 1t 1 + 0t 2. Den samlede mængde af kortest mulige vektorer for C 4 er altså {t 1, t 2, t 1, t 2 } Hvis derimod G 0 = D 4, så indeholder G 0 en spejling, f. De fire elementer f, r f, r 2 f, r 3 f er alle de spejlinger, der er i G 0. Disse spejlinger skal bevare mængden af kortest mulige vektorer i T, og fire sådanne vektorer er t 1, t 1, t 2, t 2. Men ethvert andet punkt på cirklen med radius t 1 og centrum i origo har en afstand på mindre end t 1 til et af disse fire punkter. Differencen mellem disse to vektorer vil så være en vektor i T med en længde, der er mindre end t 1. Eftersom dette er umuligt, er de fire nævnte vektorer de eneste vektorer af korteste længde i T. De fire spejlingsakser er illustreret på figur 4.9. t 2 t 1 t 1 t 2 Figur 4.9. De fire korteste vektorer i T samt de fire spejlingsakser for D 4. Da D 4 frembringes af r 90 og en vilkårlig spejling f, fås følgende repræsentation af G 0, når f er spejlingen i aksen parallel med t 1, det vil sige x-aksen: D 4 = r 90, f = Der frembringes otte matricer i D 4. ( , ( Den venstre frembringermatrix, som er matrixrepræsentationen for rotationerne på 90, er den samme som den ovenfor gennemgåede for C 4, fordi C 4 er en delmængde af D 4. Den højre frembringermatrix, som repræsenterer den anden halvdel af D 4 i form af de fire spejlinger, opstår ved den linearkombination af basen {t 1, t 2 }, man kan opstille, når man vælger den vilkårlige spejling til at være en spejling i x-aksen, hvor t 1 forbliver t 1,. 40

49 4.3. DE FEM GITTERTYPER og t 2 spejles over i t 2 : f (t 1 = 1t 1 + 0t 2 f (t 2 = 0t 1 1t 2. Den samlede mængde af kortest mulige vektorer for D 4 bliver altså {t 1, t 2, t 1, t 2 } Punktgrupperne C 3, D 3, C 6, D 6 : Heksagongitre Geometrisk kan et heksagongitter illustreres ved at placere en regulær sekskant i et koordinatsystem på en sådan måde, at den har centrum i origo. Dermed udgør sekskantens hjørner og origo de første punkter i gitteret. Se figur t 2 t 1 Figur Eksempel på et heksagongitter. Lad r 120 være en rotation med 120 og lad t 1 T, t 1 = 0 være en vektor med kortest mulig længde. Defineres t 2 = r 120 (t 1, så udgør mængden {t 1, t 2 }, ved hjælp af lemma 4.11 på side 38, en basis for T. Gitteret frembragt af denne basis kaldes et heksagongitter. Grupperne C 3 og C 6 frembringes af henholdsvis r 120 og en rotation r 60 på 60. I matrixnotation skal C 3 frembringes af en matrix, som roterer basisvektorerne med 120. Tages der udgangspunkt i t 1, skal matricen rotere t 1 over i t 2 og t 2 over i t 1 t 2, jævnfør figur t t 1 t 1 t 2 Figur De resulterende vektorer ved rotation af basisvektorerne t 1 og t 2 med

50 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER Opstilles dette som linearkombinationer af basisvektorerne t 1 og t 2, kan rotationen med r 120 defineres på følgende måde r 120 (t 1 = 0t 1 + 1t 2 r 120 (t 2 = 1t 1 1t 2. Tilsvarende observationer kan gøres med C 6, hvor rotationen er givet ved r 60. Dermed er ( ( C 3 = og C 6 = Hver af de matricer, som frembringes af C 6, kan beregnes ved, at foretage matrixmultiplikationer af r 60 med sig selv indtil identiteten I forekommer igen. Et gruppeelement opløftet i potens nul er per definition I. Der opløftes dermed i en i te potens indtil I forekommer igen. Følgende mængde frembringes af r 60 : {( , ( , ( , ( , ( , ( Anvendes hver af matricerne på t 1 fra venstre mod højre fås følgende liste af vektorer }. t 1, t 1 + t 2, t 2, t 1, t 1 t 2, t 2 som er illustreret på figur Illustrationen viser også, hvordan heksagongitterets punkter er givet udfra basen {t 1, t 2 }. Desuden kan det ses, at de seks viste vektorer har kortest mulig længde i T, da alle andre punkter på cirklen har en afstand til en af de seks punkter, der er mindre end t 1, og derfor kan disse ikke være indeholdt i gitteret. t 2 t 1 + t 2 t 1 t 1 t 1 t 2 t 2 Figur De seks vektorer af kortest mulig længde for punktgruppen G 0 = D 6. Lad punktgruppen G 0 være enten D 3 eller D 6, så har G 0 henholdsvis 3 eller 6 spejlinger. På figur 4.13 på modstående side er der illustreret de seks spejlingsakser i D 6. Bemærk hvordan en spejling over hver af linjerne udgør en permutation af vektorerne på figur Tages eksempelvis udgangspunkt i spejlingsaksen imellem vektorerne t 1 og t 1 + t 2, spejles t 1 over i t 1 + t 2, t 2 over i t 2 og t 1 over i t 1 t 2. Disse seks spejlingsakser er de eneste, som har denne egenskab i D 6. Gruppen D 6 frembringes af gruppen C 6 samt en vilkårlig spejling. Anvendes eksempelvis den spejling, som afbilder t 1 over i sig selv, er; ( ( D 6 =,

51 4.3. DE FEM GITTERTYPER t 2 t 1 + t 2 t 1 t 1 t 1 t 2 t 2 Figur De seks spejlingslinjer for punktgruppen G 0 = D 6. Punktgruppen G 0 = D 3 indeholder tre spejlinger, hvor hver spejlingsakse adskilles af en vinkel på 60. Lad f være en spejling i D 3, så er r f en spejling, hvis spejlingsakse er drejet 60. Det vil sige, en spejling efterfulgt af en rotation på 120. Spejlingsakserne i D 3 er også spejlinger i D 6, eftersom D 3 er en undergruppe af D 6. Der kan dermed være to muligheder for, hvordan spejlingsakserne er orienteret i forhold til t 1. Enten er det spejlingsakserne med vinklerne 30, 90 og 150 relativt til t 1 eller spejlingsakserne med vinklerne 60, 120 og 180 relativt til t 1. Der er således to forskellige måder, som D 3 kan virke på med hensyn til basen {t 1, t 2 }. For at kunne skelne imellem disse to indføres notationenerne D 3,l og D 3,s, hvor l og s indikerer, hvorvidt der er tale om en spejling parallel med den lange eller den korte diagonal (fra engelsk short i parallelogrammet udspændt af t 1 og t 2. For D 3,l er den spejling, som er parallel med den lange diagonal, den spejlingsakse som er roteret 150 relativt til t 1. Se eventuelt figur Denne spejlingsakse afbilder t 1 over i t 2 og t 2 over i t 1, eller udtrykt ved linearkombination af t 1 og t 2, og dennes tilhørende matrix, er givet ved: r(t 1 = 0t 1 1t 2 r(t 2 = 1t 1 + 0t 2. Med et tilsvarende argument kan spejlingsmatricen til D 3,s bestemmes ved at tage spejlingsaksen, som er parallel med den korte diagonal. Det vil sige, spejlingsaksen der er roteret 60 relativt til t 1. Dermed er D 3,l og D 3,s givet ved henholdsvis; D 3,l = ( , ( og D 3,s = ( , ( SÆTNING 4.12 Grupperne D 3,l og D 3,s er ikke konjugerede i GL 2 (Z. BEVIS Antag at der eksisterer en matrix U = ( a b c d GL2 (Z med D 3,l = UD 3,s U 1. Eftersom konjugering bevarer determinanter, og at determinanten af en spejling er -1, så følger det, at de tre spejlinger i D 3,s afbilder over i de tre spejlinger i D 3,l. Enhver spejling i D 3 kan udledes af en vilkårlig anden spejling ved konjugering af I, r eller r 2. Det vil sige, at fra 43

52 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER Figur Gruppen D 3,l med spejlinger over den lange diagonal i parallelogrammet udspændt af t 1 og t 2. Figur Gruppen D 3,s med spejlinger over den korte diagonal i parallelogrammet udspændt af t 1 og t 2. definition 1.15 på side 8, skal der gælde, at f r f = r 1, hvilket medfører r f r 1 = r f f r f = r 2 f = r 1 f = f r f f = f r og r 1 f r = f r f f r = f r 2 = f r 1. Det kan derfor antages, at ( a c ( ( b 0 1 = d 1 0 ( ( b a c = d c a ( d b a c b d for visse a, b, c, d Z, hvor ad bc = ±1. Eftersom d = a og c = b er ad bc = b 2 a 2 = (b a(b + a = ±1. Da højresiden er ±1, er en af parenteserne 1 mens den anden er -1. Dette giver følgende fire muligheder; a = ±1 og b = 0 eller a = 0 og b = ±1. Konjugering med I 2 er identiteten, og det kan derfor antages, at ( ( ( ( a b 1 0 a b 0 1 = eller =. c d 0 1 c d 1 0 Det betyder dog imidlertid, at ( ( ( = ( og, at ( ( ( = ( Ingen af konjugeringerne afbilder D 3,s over i D 3,l, eftersom ingen af resultaterne er et element i D 3,l. Grupperne D 3,s og D 3,l er dermed ikke konjugerede i GL 2 (Z. Det følger af ovenstående sætning og korollar 4.9 på side 36, at to tapetgrupper med punktgrupper i henholdsvis D 3,s og D 3,l ikke er isomorfe. 44

53 4.3. DE FEM GITTERTYPER Punktgrupperne D 1, D 2 : Rektangulær- eller rombegitre Punktgruppen D 1 er en cyklisk gruppe, definition 1.10 på side 7, af orden to, som frembringes af en spejling. Punktgruppen D 2 frembringes af en rotation og en spejling. Når punktgrupperne D 1 og D 2 betragtes, kan lemma 4.11 på side 38 ikke anvendes til at finde en basis for det to-dimensionelle translationsgitter, T. Grunden til dette er, at disse to grupper ikke har en rotation med en orden større end tre. Dette skyldes, at rotationerne i D 1 og D 2 er henholdsvis identiteten og en drejning med 180, og disse rotationer overfører t i i henholdsvis t i og t i. Der haves en ikke-triviel spejling f : T T G 0, hvor G 0 i dette tilfælde betegner punktgruppen D 1 eller D 2. Her er G 0 en lineær afbildning i O 2 (R \ SO 2 (R. Tag en vektor t T, hvor t er forskellig fra nul-vektoren og ikke er parallel med aksen, som er givet ved f. Da f afbilder T ind i T, er vektorerne t + f (t og t f (t elementer i gitteret T. Dermed indeholder T vektorer forskellige fra nul-vektoren, som både er parallelle med og ortogonale på spejlingsaksen. Dette illustreres på de to tegninger på figur t f (t t f (t t + f (t Figur Her er illustreret, hvordan der kan dannes to forskellige par af basisvektorer udfra den ikke-trivielle spejling f. Da T er et gitter, eksisterer der vektorer af minimal længde, s 1 og s 2, hvor begge er forskellige fra nul-vektoren, der er henholdsvis parallelle med og ortogonale på spejlingsaksen. Enhver vektor parallel med denne akse, er et multiplum af hele tal af s 1. Tilsvarende er enhver vektor, der er ortogonal på denne akse, et heltalsmultiplum af s 2. På ligningsform, for enhver vektor t T haves: t + f (t = m t s 1 t f (t = n t s 2, for m t, n t Z. Disse to ligninger lægges sammen og t udregnes: t + f (t + t f (t = m t s 1 + n t s 2 2t = m t s 1 + n t s 2 t = m t 2 s 1 + n t 2 s 2. Mængden {s 1, s 2 } udspænder gitteret T og er dermed en basis for T, hvis tallene m t og n t er lige, for alle t T. Dermed vil der være opnået en ortogonalbasis for det todimensionelle gitter, T. Hvis dette ikke er tilfældet, så er tallene m t og n t begge ulige. Det kan ikke haves, at det ene tal er lige og det andet er ulige. Dette skyldes, at hvis for eksempel m t er ulige, og n t er lige, da vil m t 2 s 1 / T. 45

54 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER Er tallene m t og n t begge ulige, da kan der skabes en basis på følgende måde: Sæt da er vektorerne t 1, t 2 T og t = m t 2 s 1 + n t t 1 = 1 2 (s 1 + s 2 og t 2 = 1 2 (s 1 s 2 = f (t 1, 2 s 2 = ( m t + n t 2 ( s 1 + s ( m t n t 2 ( s 1 s 2 = m 2 tt 1 + n tt 2 for m t, n t Z. Ligningen indebærer dermed, at enhver gittervektor er en heltalslinearkombination af s 1 og s 2. Dette medfører, at mængden {t 1, t 2 } er en basis for T. Disse to baser for gitteret af translationer T fremstiller henholdsvis et rektangulært gitter og et rombisk gitter. Hvis basen er mængden {t 1, t 2 } af to ortogonale vektorer, hvor en af dem er bevaret af spejlingen i gruppen G 0, da haves det rektangulære gitter, som ses på figur t 2 t 1 Figur Rektangelgitter Hvis basen i stedet består af to vektorer af samme længde med en spejling, der ombytter dem, da haves det rombiske gitter, hvilket ses på figur 4.18: Det rektangulære gitter er invariant under spejlingen i aksen af basisvektorerne, hvorimod det rombiske gitter er invariant under spejling i aksen bestemt ved summen af de to basisvektorer. Derved er både et rektangulært og rombisk gitter invariant under både D 1 og D 2. Invarians betyder i dette tilfælde, at gitteret forbliver det samme efter spejlingen altså, at det bliver overført i sig selv. Udfra disse to typer af gitterbasen, kan punktgrupperne D 1 og D 2 opskrives ved hjælp af matricer i GL 2 (Z. Som vist tidligere findes der to forskellige virkninger på T. Der findes både en, hvor vektorerne fra T står parallet med spejlingsaksen, og en hvor de er ortogonale på aksen. Derfor fremkommer to forskellige matrixrepræsentationer for hver af de to punktgrupper. Disse vil blive noteret med p for rektangulær og c for rombisk. D 1,p = ( og D 1,c = 46 (

55 4.3. DE FEM GITTERTYPER t 2 t 1 Figur Rombegitter Punktgrupperne D 1,p og D 1,c indeholder som tidligere nævnt en spejling, eftersom D 1 kun indeholder to elementer og en roation med 360. Hermed er de diedergrupper. Se eventuelt afsnit på side 7. Da den første basisvektor t 1 altid ligger på x-aksen, spejles der over denne akse ved hjælp af spejlingsmatricen. Udfra en rotation og spejlingsmatricen kan en spejling i enhver anden spejlingsakse findes. Dette sker ved at opløfte rotationsmatricen i potensen i svarende til antallet af rotationer, hvilke dermed er f = r i f. Spejlingen i D 1,p giver, at f (t 1 = t 1, f (t 2 = t 2 og spejlingen i D 1,c giver f (t 1 = t 2, f (t 2 = t 1. Punktgruppen D 2 indeholder desuden en rotation på 180. ( ( ( D 2,p =, og D 2,c = , ( Spejlingsmatricerne i D 2,p og D 2,c, som er matricen til højre i frembringeren, er de samme som for D 1,p og D 1,c. Produktet af rotationen og en spejling i D 2,p leverer den anden spejling i D 2,p. Heri er der fire elementer; identiteten, rotation med 180 og to spejlinger, hvor de tilhørende spejlingsakser står vinkelrette på hinanden. I punktgrupperne D 2,p og D 2,c er der, i forholdt til D 1,p og D 1,c, dog tilføjet en rotationsmatrix. Denne rotationsmatrix illustrerer rotationen på 180. Udregningen af denne matrix foregår som følgende: r 180 (t 1 = 1t 1 + 0t 2 r 180 (t 2 = 0t 1 1t 2. Den følgende sætning viser, at ingen tapetgrupper med D 1,p eller D 2,p som tilhørende punktgruppe er isomorf til en tapetgruppe med punktgruppen D 1,c eller D 2,c. SÆTNING 4.13 Grupperne D 1,p og D 1,c samt D 2,p og D 2,c er ikke konjugerede i Gl 2 (Z. 47

56 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER BEVIS Antag for D 1,p og D 1,c, at ( a c b d ( = ( ( a c b d for a, b, c, d Z og ad bc = ±1. Ved at gennemføre matrixmultiplikationer i ligheden ovenfor og sætte matricerne lig hinanden ( ( a b c d =, c d a b fås d = b og c = a. Dette medfører, at ad bc = 2ab = ±1. Men 2ab = ±1, eftersom a, b Z. Derfor er D 1,p og D 1,c ikke konjugerede i Gl 2 (Z. Den forrige udregning viser, at det kun er nødvendigt at undersøge, om der eksisterer a, b, c, d Z, hvor ad bc = ±1. Antag for D 2,p og D 2,c, at ( a c ( b d = ( ( a c b. d Lignende udregninger viser, at 2ab = ±1, hvilket igen er en modstrid. 4.4 Overblik over tapetgrupperne Dette afsnit bygger på [Morandi, 2007b, s ]. Som nævnt i definition 4.2 er en tapetgruppe en klassifikation af den symmetrigruppe, et tapetmønster hører til. Der findes 17 forskellige to-dimensionelle tapetgrupper. Yderligere eksisterer der de simplere en-dimensionelle frisegrupper og de mere komplekse tre-dimensionelle rumgrupper. Der findes syv typer frisegrupper og 230 typer rumgrupper. Tabel 4.1 på næste side giver en oversigt over de 17 forskellige tapetgrupper. Tabellen er inspireret af [Jaworski, 2006, s. 25] og [Morandi, 2007b, s. 46]. Notationerne i denne tabel betyder følgende: Notationen m står for spejlinger, hvilket blev gennemgået i afsnit 3.2. Tallet beskriver vinklen på en rotationen. Det udregnes med formlen 360/n, hvor n er det angivede tal i tapetgruppen. For eksempel står 2 for en rotation med 180. Rotationer er gennemgået i afsnittet 3.3. Notationen g står for glidespejlinger, som blev beskrevet i afsnit 3.4. c står for rombisk, som gennemgået i afsnit 4.3.5, og p for primitiv. 4.5 Klassifikation af tapetgrupperne Følgende afsnit bygger på [Morandi, 2007b, s ]. Indtil videre er der blevet beskrevet, hvad en tapetgruppe er, og hvilke punktergrupper der findes for en tapetgruppe. I det følgende vises, hvordan en tapetgruppe kan bestemmes. Det vises, at en tapetgruppe kan bestemmes ved brug af en punktgruppe og en 48

57 4.5. KLASSIFIKATION AF TAPETGRUPPERNE Tapetgr. Rot. Spejl. Glidespejl. Bemærkninger Punktgr. p1 360 Nej Nej Ingen symmetri ud over translationer cm 360 Ja Ja D 1,c pm 360 Ja Nej To forskellige spejlingsakser D 1,p pg 360 Nej Ja p2 180 Nej Nej Fire forskellige omdrejningspunkter C 2 cmm 180 Ja Ja Ortogonale spejlingsakser D 2,c pmm 180 Ja Nej To slags parallelle spejlinger (vandret og lodret pmg 180 Ja Ja Parallelle spejlingsakser D 2,p pgg 180 Nej Ja p3 120 Nej Nej C 3 Omdrejningspunkter på alle p3m1 120 Ja Nej spejlingsakser. Tre forskellige D 3,l omdrejningspunkter p31m 120 Ja Nej Ikke omdrejningspunkter på alle spejlingsakser. To forskellige D 3,s omdrejningspunkter p4 90 Nej Nej C 4 p4m 90 Ja Nej Omdrejningspunkter på spejlingsakserne D 4 p4g 90 Ja Ja Ikke omdrejningspunkter på spejlingsakser p6 60 Nej Nej C 6 p6m 60 Ja Nej D 6 Tabel 4.1. De 17 tapetgrupper C 1 mængde af vektorer i R 2, en for hvert element i punktgruppen. Det er disse vektorer, der bestemmer en tapetgruppe. Dernæst vises, hvordan en punktgruppe og punktgruppevektorer kan vælges til en given tapetgruppe. Efterfølgende vises, at der kan benyttes punktgruppevektorer til at afgøre, om de tilhørende tapetgrupper er indbyrdes isomorfe. LEMMA 4.14 Lad G være en tapetgruppe med en punktgruppe G 0. For ethvert g G 0 findes der en vektor t g R 2 og et element t T, således at (g, t g G og G = {(g, t g + t g G 0, t T}, hvor t g er entydig på nær ved addition af elementer i T. BEVIS Funktionen ϕ : G G 0 givet ved ϕ(g, t = g er en surjektiv homomorfi med kerne T. Så for ethvert g G 0 findes der en vektor t g, således at (g, t g G. Hvis (g, s g G, så er ϕ(g, s g = ϕ(g, t g. Dermed er (g, s g (g, t g (mod ker(ϕ, hvilket betyder, at (g, s g (g, t g 1 = (g, s g (g 1, g 1 t g = (I, s g t g ker(ϕ, da ϕ(i, s g t g = I. Da ker(ϕ = T, findes der et t T, således at (g, s g = (I, t(g, t g = (g, t g + t. Dermed er s g = t g + t. 49

58 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER Da ϕ : G G 0 er surjektiv med kerne T, (g, t g ϕ 1 (g og G = g G 0 ϕ 1 (g, medfører det, at G = {(g, t g + t g G 0, t T}. Vektorerne {t g } g G0 kaldes punktgruppevektorer til tapetgruppen G. Denne notation betyder, at der til ethvert g G 0 er valgt en punktgruppevektor t g. Notationen (g, t g er lig med g(x + t g jævnfør afsnit 2.4. Udfra lemmaet kan en tapetgruppe bestemmes, hvis punktgruppevektorerne findes. Det betyder ikke, at punktgruppevektorerne {t g } til de tilhørende tapetgrupper er entydige. De er entydige bestemt på nær ved addition af et element t T. Da punktgruppevektorerne {t g } bestemmer en tapetgruppe, vises i det følgende, hvordan {t g } kan findes. Lad G være en tapetgruppe med en punktgruppe G 0 og et translationsgitter T. For at bestemme tapetgruppen G skal der undersøges, hvilke vektorer der kan være punktgruppevektorer t g for ethvert g G 0. LEMMA 4.15 Lad G være en tapetgruppe med en punktgruppe G 0 og et translationsgitter T. Hvis G = {(g, t g + t g G 0, t T}, så gælder der, at t g + g(t h t gh T, hvor t g, t h R 2 er punktgruppevektorer. Omvendt, hvis G 0 er en undergruppe af O 2 (R, som virker på et gitter i R 2, og hvis der for {t g } g G0 R 2 gælder, at t g + g(t h t gh T, så er G = {(g, t g + t g G 0, t T} en tapetgruppe med en punktgruppe G 0 og et translationsgitter T. BEVIS For to elementer g, h G 0, så gælder der udfra lemma 4.14, at er et element i G. (g, t g (h, t h = (gh, t g + g(t h Da (gh, t gh er et element af G, medfører dette, at (gh, t g + g(t h (gh, t gh 1 G. (gh, t g + g(t h (gh, t gh 1 = (gh, t g + g(t h (h 1 g 1, h 1 g 1 t gh Dermed er t g + g(t h t gh T. = (I, t g + g(t h t gh. Omvendt, hvis der for ethvert g G 0 og punktgruppevektorerne t g, t h R 2 gælder, at t g + g(t h t gh T, så er G = {(g, t g + t g G 0, t T} en undergruppe af Iso 2 (R, idet G, som er veldefineret, er lukket under komposition og inversion indenfor G. Hvis ϕ(g, t = g, hvor ϕ : G G 0, så er ϕ(g = G 0 og ker(ϕ G = T. Da G T er et gitter i R 2, er G en tapetgruppe med punktgruppen G 0 og translationsgitteret T. Det betyder, at t g er punktgruppevektoren til den tilhørende tapetgruppe, hvis t g + g(t h t gh T. 50

59 4.6. SPLIT TAPETGRUPPER Dette kan bruges til at bestemme, hvilke vektorer der kan være punktgruppevektorer til den tilhørende tapetgruppe. Hvis G og G er tapetgrupper, kan dette også benyttes til at vise, om tapetgrupperne G er isomorf med G. Det vises i det følgende. 4.6 Split tapetgrupper Dette afsnit har kilden [Morandi, 2007b, s ]. I det følgende defineres split tapetgrupper med henblik på at vise, at tapetgruppen G er isomorf med en split tapetgruppe. DEFINITION 4.16 En split tapetgruppe G = {(g, t g G 0, t T} er et semidirekte produkt af translationsgruppen T og punktgruppen G 0. For definitionen af semidirekte produkt se definition 1.14 på side 8. LEMMA 4.17 Hvis tapetgruppen G = {(g, t g G 0, t T} er split, så kan der vælges et t g = 0 hvor g G 0. BEVIS For en split gruppe G = {(g, t g + t g G 0, t T}, der udfra definition 4.16 er et semidirekte produkt af G 0 og T i Iso 2 (R, gælder der, at G = {(g, t g G 0, t T} = {(g, 0 + t g G 0, t T}. Der kan derfor vælges t g = 0, hvor g G 0. Omvendt er G split, hvis der kan vælges t g = 0 for alle g G 0. Det vides herfra, at hvis ikke der kan vælges t g = 0 for alle t T, så er den tilhørende tapetgruppe ikke split. LEMMA 4.18 Det følgende lemma beskriver, hvordan det kan afgøres, hvorvidt tapetgrupper er indbyrdes isomorfe udfra sammenligning af deres respektive mængder af punktgruppevektorer. Lad G og G være tapetgrupper med den samme punktgruppe G 0, det samme translationsgitter T og med mængder af punktgruppevektorer {t g } g G0 henholdsvis {t g} g G 0. Hvis der eksisterer en vektor v R 2, således at t g = t g + v g(v for ethvert g G 0, så er G = G. BEVIS Antag, at der findes en vektor v R 2, således at t g = t g + v g(v for ethvert g G 0. Betragt funktionen ϕ : Iso 2 (R Iso 2 (R givet ved (g, t (I, v(g, t(i, v 1. Da er 51

60 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER afbildningen givet ved (I, v(g, t(i, v 1 = (I, v(g, t(i, v = (g, v + t(i, v = (g, v + t g(v. Så gælder det, at ϕ(g, t g + t = (g, t g + v g(v + t = (g, t g + t for et vilkårligt t T. Dette viser, at ϕ(g = G, og at ϕ G definerer en isomorfi G = G. Det vil sige, at hvis G og G er tapetgrupper, som har forskellige punktgruppevektorer {t g } g G0 og {t g} g G0, hvor G 0 er punktgruppen til både G og G, så er G isomorf med G. KOROLLAR 4.19 Lad G være en tapetgruppe med punktgruppevektorer {t g } g G0. Hvis der eksisterer en vektor v R 2 således, at t g v g(v (mod T for ethvert g G 0, så er G en split tapetgruppe. BEVIS Lad T være et to-dimensionelt translationsgitter. Udfra lemma 4.18 findes der s g T, hvor t g = s g + v g(v. Da t g er unik, på nær når der adderes med et element fra T, er t h = t g s g, hvor h G 0. Dette gøres for at kunne antage, at t h = v g(v for ethvert g G 0. Udfra definition 4.16 følger det, at når G er en split tapetgruppe, så kan der vælges punktgruppevektorer t g = 0 for ethvert g G 0. Der kalkuleres ikke med, at s g = 0, da den ifølge lemma 4.18 vil være en tapetgruppe, isomorf med G. Det vil derfor medføre, at G er en split gruppe, eftersom en gruppe isomorf med en split gruppe selv er split. Det er derfor kun relevant at vise det for s g = 0. Eftersom t g = t h + v g(v for ethvert g G 0 viser lemma 4.18 på foregående side, at G = G. Dermed er G en split tapetgruppe ifølge SÆTNING 4.20 Lad G være en tapetgruppe med punktgruppen C n, hvor n 1. Så er G isomorf med en split tapetgruppe. BEVIS Argumentet for tilfældet n = 1 er forskelligt fra det nedenstående generelle argument. Hvis n = 1, så er punktgruppen G 0 = {0}, idet C 1 kun er bestående af rotationer med 360, og derved er G = T split per definition Her er T fortsat et translationsgitter. Dermed betragtes kun tilfældet G 0 = C n, hvor n > 1. Lad rotationen r være en frembringer i C n. For ethvert i, hvor 1 i < n, findes der en punktgruppevektor t r i R 2, hvor (r i, t r i G. For at simplificere notationen defineres u := t r. Bemærk ved induktion og brug af regneregler fra afsnit 2.4, at (r, u i = (r i, u + r(u r i 1 (u. Eftersom t r i er entydigt bestemt på nær ved addition af et element fra T, kan det antages, at t r i = u + r(u r i 1 (u. Da r er en ikke-triviel rotation, 52

61 4.7. TAPETGRUPPER MED PUNKTGRUPPE D 2 har den et unikt fikspunkt. En konsekvens af dette og beviset for lemma 3.5 er, at I r er invertibel, således at der findes en vektor v R 2, hvor u = v r(v. Derfor haves det fra lemma 4.18, at G er split. 4.7 Tapetgrupper med punktgruppe D 2 Som kilde til de næste to sætningen er benyttet [Morandi, 2007b, s ]. I det følgende udvælges to forskellige punktgruppper, D 2,c og D 2,p, fra afsnit på side 45, hvorefter der vises, hvorvidt deres tilhørende tapetgrupper er split. Først vises, at D 2,c er split. SÆTNING 4.21 Den eneste tapetgruppe med punktgruppe D 2,c er split. BEVIS Lad punktgruppen G 0 = D 2,c. Da har det rombiske translationsgitter T en basis {t 1, t 2 }, således at spejlingen f (t 1 = t 2 og f (t 2 = t 1. Rotationen r på 180 opfylder, at r(t = t for alle t T. Lad u være punktgruppevektoren t f = αt 1 + βt 2. Betingelsen, at r(u u T, så r(u u = 2u = 2αt 1 2βt 2 og 0 α, β < 1 medfører, at α = og β = Da u skal ligge i translationsgitteret, skal 2α og 2β være heltal. Eftersom f (u + u = f (αt 1 + βt 2 + αt 1 + βt 2 = βt 1 + αt 2 + αt 1 + βt 2 = (α + β(t 1 + t 2, betyder det, at α + β Z. Derfor gælder der, at u = 0 eller at u = 1 2 (t 1 + t 2. Hermed er α = β. Eftersom u kan ændres ved at addere et element fra T, gælder der for u = 1 2 (t 1 + t 2, at u kan erstattes med u t 2 for at antage, at u = 1 2 (t 1 t 2. Så er de to grupper, der er fremkommet ved de to valg u = 1 2 (t 1 + t 2 og u = 1 2 (t 1 t 2, isomorfe, da 1 2 (t 1 t 2 = (I f ( 1 2 t 1. Derfor er der kun én tapetgruppe, hvilken er split. Den næste sætning beskriver tapetgrupperne med punktgruppe D 2,p. SÆTNING 4.22 Der er tre ikke-isomorfe tapetgrupper med punktgruppe D 2,p. BEVIS Lad G 0 = D 2,p, så har det rektangulære translationsgitter T en basis {t 1, t 2 }, hvor f (t 1 = t 1 og f (t 2 = t 2. Som i beviset for sætning 4.21 er r en rotation på 180 således, at r(t = t for alle t T. Hvis u = αt 1 + βt 2, så giver r(u u T, at α = og β = Betingelsen f (u + u T giver ikke nogle yderligere begrænsninger. Herved 53

62 KAPITEL 4. TAPETMØNSTRE OG TAPETGRUPPER haves fire muligheder: u = 0, u = 1 2 t 1, u = 1 2 t 2, u = 1 2 (t 1 + t 2. Det vises nu, at disse fire tilfælde giver tre ikke-isomorfe grupper. De grupper der fremkommer ud fra valget af u betegnes med henholdsvis pmm, pmg, pmg og pgg. Det vises, at grupperne pmg og pmg er isomorfe, og at ingen af grupperne pmm, pmg og pgg er parvis isomorfe. Disse grupper har følgende beskrivelse: pmm = t 1, t 2, r, g 1, pmg = t 1, t 2, r, g 2, pmg = t 1, t 2, r, g 3, pgg = t 1, t 2, r, g 4, hvor gitteret T frembringes ud fra t 1, t 2. Spejlingen g 1 og glidespejlingerne g i, for i = 2, 3, 4 er givet ved g 1 = g 3 = (( (( , 0, 1 2 t 2, g 2 =, g 4 = (( (( , 1 2 t 1,, 1 2 (t 1 + t 2, hvor ( er spejlingsmatricen hørende til D2,p. Det vises nu, at grupperne pmg og pmg er isomorfe, hvis U = ( er matricen, som udgør spejlingen om linjen y = x. Da er konjugering med U en isomorfi mellem pmg og pmg. I gruppen pmg kan frembringeren g 2 udskiftes med frembringeren g 2 r. Her får matricen modsat fortegn, og vektoren forbliver den samme. Dette skyldes regnereglen fra afsnit 2.4. Fortegnene skifter i matricen, vektoren bliver den samme. Hvis der beregnes U(g 2 ru og denne anvendes på basisvektorerne, så fås t 1 + 1/2t 2 og 1/2t 2. Dette resultat fremkommer også, hvis (g 3 anvendes på basisvektorerne. Hermed er pmg og pmg isomorfe. Derved haves højest tre ikke-isomorfe tapetgrupper, i dette tilfælde, pmm, pmg og pgg. For at se, at de er parvis ikke-isomorfe vises først, at pmm ikke er isomorf til, hverken pmg eller pgg og derefter, at pmg og pgg ikke er isomorfe. Gruppen pmm indeholder en undergruppe af orden 4, undergruppen frembragt af r og den horisontale spejling f. Derudover vil pmg ikke indeholde en sådan undergruppe. Udfra lemma 3.7 på side 26 og lemma 3.5 på side 25. Disse lemmaer medfører, at elementerne i pmg af orden 2 er (r, t for alle t T og (r f, nt 2 for alle n Z. Dog vil intet 54

63 4.7. TAPETGRUPPER MED PUNKTGRUPPE D 2 produkt med to af disse elementer også have en orden på 2. Dette viser, at pmg ikke er isomorf med pmm. På samme måde er de eneste elementer i pgg med orden 2 på formen (r, t, og produktet af to vilkårlige har uendelig orden. Det vil sige, pmm er ikke isomorf med pgg. Hvis der er en isomorfi ϕ fra pmg til pgg, viser korollar 4.9 på side 36, at der er en matrix U GL 2 (Z med ϕ(g, t = (UgU 1, Ut for alle (g, t pmg. Fra beskrivelsen af elementer med orden 2 i pmg og pgg oven over, sendes (r f, 0 til et element på formen (r, t for et t T. Dette vil give, at Ur f U 1 = r, som er en modstrid, eftersom det(r f = 1 og det(r = 1. Hvilket giver, at pmg og pgg ikke er isomorfe. 55

64

65 Egen analyse Fundamentalområdet Dette afsnit bygger på [Morandi, 2007b, s. 90]. Et fundamentalområde er et minimalt område, således at hele planen kan dækkes ved at anvende elementer fra tapetgruppen på fundamentalområdet. Det er altså det mindste område der kan udvælges, hvor det ved benyttelse af translationer, rotationer, spejlinger og glidespejlinger dækker hele planen. Det mindste område, som kan dække hele planen kun ved hjælp af translationer, kaldes cellen. Det vil altså sige, at ses der kun på translationsundergruppen, så er fundamentalområdet det sammme som cellen. Ellers er fundamentalområdet det største udsnit af cellen, hvor isometrierne fra den tilhørende tapetgruppe kan benyttes til at dække hele planen. Fundamentalområdet findes ved at identificere et minimalt område, hvorpå der kan foretages spejlinger og rotationer indtil tapetmønsteret kan dække hele planen ved blot at foretage translationer. Hvis der for eksempel tages udgangspunkt i figur 4.15 på side 44, som er et tapetmønster i D 3,s, kan der vælges det minimale område, som er illustreret på figur 5.1. Det skal her observeres, at roteres én af de tre farvede halvstjerner, som derefter falder uden for området, hvorefter de translateres ind i trekanten, fås området illustreret på figuren. Foretages derefter en spejling i punktgruppen, fås fundamentalområdet illustreret på figur 5.2. Dette anvendes i det følgende afsnit. 5.2 Klassificering af et mønster I dette afsnit tages udgangspunkt i mønstret fra afsnit 4.4, som for overskuelighedens skyld gentages på figur 5.3. Vi undersøger, hvilke isometrier mønstret indeholder samt de tilhørende basisvektorer, gittertype og punktgruppe, for til sidst at identificere den tilhørende tapetgruppe. I forhold til det valgte mønster er det vigtigt at pointere, at vi kun arbejder med et udsnit, da mønstret strækker sig over hele planen. Med udgangspunkt i figur 5.4, ses det, i forhold til figur 5.3, at det kun er nødvendigt 57

66 KAPITEL 5. EGEN ANALYSE Figur 5.1. Et minimalt område i D 3,s, som kan spejles, til fundamentalområdet på figuren til højre. Dette er med hensyn til rotationer og translationer. Figur 5.2. Dette område kan translateres så hele planen dækkes. Derfor er det fundamentalområde. Dette er med hensyn til spejlinger. Figur 5.3. Illustration af det tapetmønster der ønskes klassificeret. at foretage translationer for at dække hele planen. Når der tages udgangspunkt i hele mønstrer, så er cellen angivet til at være udsnittet på figur 5.4. Fundamentalområdet er en del af denne celle, som efter brug af isometrier dækker hele cellen. Derved ses det, at fundamentalområdet er en enkelt spiral. Vi undersøger nu fundamentalområdet i udklippet på figur 5.4. Udfra mønstret på figur 5.3, vælger vi at gætte på, at basisvektorerne er ortogonale på hinanden. Disse vektorer t 1 og t 2 er indtegnet i mønstret på figur 5.5. Hvis dette viser sig at være de korrekte basisvektorer, så ved vi fra afsnit 4.3, at der enten haves et kvadratisk eller et rektangulært gitter. Det vil sige, at vi kan udelukke grupperne C 3, D 3, C 6 og D 6. Det minimale område i dette tilfælde viser sig kun at være en enkelt spiral. Med de valgte ortogonale basisvektorer ses det, at der eksisterer spejlinger og glidespejlinger i mønstret. Bruges tabel 4.1 kan alle cykliske grupper udelukkes, da disse ikke indeholder spejlinger. Desuden kan D 1,p, da dennes tilhørende tapetgrupper ikke indeholder både spejlinger og glidespejlinger. Derved haves der kun resterende punktgrupper D 1,c, D 2,c, D 2,p og D 4. Udfra spejlingerne beregnes et omdrejningspunkt for en rotation. Vi vælger 58

67 5.2. KLASSIFICERING AF ET MØNSTER t 2 t 1 Figur 5.4. Et udsnit af figur 5.3. Figur 5.5. Et udsnit af figur 5.3 med indtegnede basisvektorer t 1 og t 2. her origo som udgangspunkt for et koordinatsystem med t 1 og t 2 på akserne. Spejlingen over den horisontale akse, er givet med matricen ( Spejlingen over den vertikale akse er angivet med matricen ( Med notation fra afsnit 2.4, er glidespejlingen, der spejler i den horisontale akse, givet ved (( ( 1 0 1/2,, hvor punktgruppevektoren beskriver en translation. Sammensættes spejlingen i den vertikale akse med glidespejlingen, fremkommer følgende: (( ( 1 0 1/2 (r, v =, Matricen r svarer til en rotation med 180, og vektoren kaldes v. Vi ved dermed, at rotationen er på 180, og mangler kun at finde dennes omdrejningspunkt. Udfra lemma 3.5 findes dette punkts koordinater ved formlen (r I 1 v, hvilken benyttes til at finde omdrejningspunktet. (r I 1 = (( ( = ( = ( 1/ /2 Der laves matrixmultiplikation med denne nye matrix og vektoren v, hvilket giver omdrejningspunktet for rotationen på 180 : ( ( ( 1/2 0 1/2 1/4 =. 0 1/

68 KAPITEL 5. EGEN ANALYSE Disse udregninger kan også foretages i et generelt tilfælde, hvor alle glidespejlinger er givet ved (( , ( l + 1/2 k hvor ( l k = t, for k, l Z, som ligger i translationsgitteret T. Her er tallet l forskydningen, parallelt med den horisontale akse, af punktgruppevektoren med l gange t 1. Laves udregninger med disse glidespejlinger på samme måde som i ovenstående tilfælde, så fås omdrejningspunkterne ( 1/ /2 ( l 1/2 k = (, l/2 1/4 k/2 Disse vektorer angiver punkterne for rotationen på 180 i det generelle tilfælde. Udfra observationer om rotationen på 180 i mønstret kan punktgruppen ikke være D 1,c. Dette skyldes at D 1,c kun indeholder spejlinger. Hermed kan mønstret ikke have denne punktgruppe, og de resterende punktgrupper er D 2,p, D 2,c og D 4. Ved observation af mønsteret ses det, at der ikke forekommer rotationer på 90, og dermed udelukkes punktgruppen D 4. Yderligere fremgår det af mønsteret, at der kun er en horisontal spejlingsakse, og dermed er der ikke ortogonale spejlingsakser. Derfor kan D 2,c udelukkes. Da D 2,p består af spejlinger, glidespejlinger og en rotation på 180, kan vi konkludere, at valget af de ortogonale basisvektorer var korrekt. Hermed indeholder mønstret et rektangulært gitter og har punktgruppen D 2. I D 2,p findes der, udfra tabel 4.1 på side 49, tre mulige tapetgrupper pmm, pmg og pgg. Da der i vores mønster findes både spejlinger, glidespejlinger og rotationer på 180, må mønstrets symmetrigruppe være tapetgruppen pmg.. 60

69 Alhambra og de 17 tapetgrupper 6 Dette er inspireret af Britannica [2010]. Alhambra er et maurisk citadel i Granada i det sydlige Spanien. Det blev opført fra 1238 til 1358 og blev brugt som bolig for de mauriske fyrster i Granada. Alhambra var hjemsted for maurerne frem til 1492, hvor de blev fordrevet af de kristne. Her blev dele af Alhambra ødelagt, blandt andet moskéen, og nye bygninger blev opført. I 1828 påbegyndtes restaureringen af Alhambra, som siden er kommet på UNESCO s verdensarvsliste. Alhambra er kendt for sin abstrakte og dekorative stil bestående af blandt andet mønstre med mangfoldige typer af symmetri. Derfor er Alhambra ikke mindst blevet interessant for matematikere, og der diskuteres om, hvorvidt alle 17 tapetgrupper optræder i Alhambra, eller om der er færre. 6.1 Tapetgrupper i Alhambra I [Grünbaum, 2006] af professor Branko Grünbaum opridses hovedpunkterne af den diskussion, der er foregået i forbindelse med Alhambra. Diskussionen omhandler, hvorvidt der eksisterer udsmykninger, hvis symmetrier repræsenterer alle 17 tapetgrupper. Der fortælles, at Edith Müller i sin Ph.D.-afhandling [Müller, 1944] var den første til at rejse spørgsmålet. Hendes undersøgelser førte til konklusionen af, at der i Alhambra findes repræsentationer af 12 ud af de 17 tapetgrupper. Efterfølgende blev udsagn fra hendes side, at der i tilfælde af mindre ændringer ville have været yderligere to tapetgrupper, af nogle forfattere udlagt, som at hun reelt havde fundet 14 eksempler på mønstre med symmetri fra tapetgrupper. Fra da og frem til vore dage har der været forskellige artikler, hvor nogle mente alligevel, at have fundet eksempler på den ene eller den anden af de manglende tapetgrupper i Alhambra. En del har også i tidens løb blot hævdet, helt uden forsøg på at underbygge det, at alle 17 tapetgrupper er repræsenterede. Dette fænomen tilskriver Grünbaum især en kopi-effekt, hvor én forfatter blot overtager en anden forfatters udsagn om, at der i Alhambra findes udsmykninger, hvis symmetrier repræsenterer alle 17 tapetgrupper. Hvorefter det på et tidspunkt uden videre kopieres af en ny forfatter. Og så videre. Som en undtagelse til denne tendens fremdrager Grünbaum forfatteren José Maria Montesinos, som faktisk forsøger at føre fuldt bevis for at have fundet alle 17 tapetgrupper i 61

70 KAPITEL 6. ALHAMBRA OG DE 17 TAPETGRUPPER Alhambra. Dette gøres i [Montesinos, 1987]. Grünbaum gør indrømmelse til Montesinos vedrørende én tapetgruppe, som han, tilbage i 1987 ved grundig inspektion af Alhambra, selv havde måttet konstatere var tilstede foruden Edith Müllers 12. Derudover er Grünbaums opfattelse af Montesinos og hans fremgangsmåde, når det kommer til den tilsyneladende registrering af de resterende fire tapetgrupper, som ifølge Grünbaum er pg, p2, pgg og p3m1 [Rønning, 2009, s. 8], at han tæller, på en måde som han finder mest belejliget. Blandt andet er der det galt, at Montesinos ikke etablerer nogen forklaring af, hvordan en specifik dekoration egentligt bliver betragtet. Insisteres der for eksempel på at symmetrierne skal være farve-bevarende eller ikke. I den ene situation beslutter han at anlægge én farvepolitik, i den anden anlægges pludselig en helt anden. Der findes hos Montesinos heller ikke nogen vedtagelse af, hvor stort et mønster som minimum må være, førend man kan acceptere det som repræsentativt for en tapetgruppe. Slutteligt gør han ifølge Grünbaum brug af op til flere ornamenter, som er så forfaldne, at man reelt ikke kan se mønsteret. Figur 6.1. En udsmykning i Alhambra. John Jaworski, en anden som har forsøgt at finde bevis for, at alle 17 tapetgrupper findes i Alhambra, mener, at det er muligt at finde alle 17, hvis man tager sig nogle forbehold. Et af disse forbehold er, at man skal acceptere dele af individuelle symmetrier, som ellers vil være del af et større mønster. Et andet er, at man er villig til at bevæge sig udenfor Alhambras mure og undersøge ting, der er udstillet i Alhambras museum [Jaworski, 2006, s. 5]. Andre overvejelser, der kan være relevante, er, hvorvidt der skal ses bort fra mønstre indeholdende skriftegn, eller om alle mønstre skal antages at være islamiske, eftersom de eksisterer indenfor Alhambras mure [Rønning, 2009, s. 9]. Vedrørende det sidstnævnte er det muligt at finde en af de fire manglende tapetgrupper, hvis mønstrene i gulvene i Alhambra betragtes som islamiske. I figur 6.2 kan det ses, at der findes rotationer med centrum i punkterne A og B og glidespejlinger givet ved MN-aksen og AB-vektoren. Dermed haves tapetgruppen pgg. Tilsvarende haves det, at gruppen pg også kan findes i et gulvmønster [Perez-Gomez, 1987, s. 136]. Af de to resterende grupper, som Grünbaum ikke mener findes i Alhambra, har Montesinos fundet den ene, p3m1, i en stol på 62

71 6.1. TAPETGRUPPER I ALHAMBRA Figur 6.2. Mønster på gulv som udgør pgg Alhambra-museet, som er en del af møblementet i Alhambra paladset. Den anden, p2, findes i en mosaik udstillet på Alhambra museet [Perez-Gomez, 1987, s. 133,137]. Da mosaikken og stolen ikke direkte forefindes inde i Alhambra, kan det argumenteres for, at de tilhørende tapetgrupper ikke eksisterer i Alhambra. Lignende indvendinger kan ifølge Grünbaum gøres i forhold til de andre indslag, der har været siden Müller. Grünbaum mener, at det uden tvivl er muligt at nå frem til et entydigt resultat, som alle kan være enige om, hvad angår antallet af tapetgrupper i Alhambra. Det kræver blot, at man for det første reelt undersøger ornamenterne, og at man for det andet er konsistent i at følge udtrykkelige kriterier for, hvornår hvad er hvad. Hvad Figur 6.3. Et mønster i Alhambra. Grünbaum dog mener vil være et endnu mere relevant spørgsmål at stille, er, om det overhovedet giver nogen mening at forsøge at lede så intenst efter de 17 tapetgrupper i Alhambra. Der er intet bevis for, at de kunstnere, der lavede dekorationerne, kendte til symmetrigrupper, som først blev til som teori 500 år efter. De må antages i stedet udelukkende at have haft en ren håndværksmæssig og religiøs tilgang. Bevidstheden om dette faktum er, ifølge Grünbaum, trådt i baggrunden på grund af en moderne forelskelse i at skulle forklare tingene i gruppeteoretiske termer. Han efterlyser derfor en markant større fleksibilitet, hvad angår den matematiske fortolkning af ornamenterne i Alhambra. 63