Andengradsligninger i to og tre variable

Transkript

1 enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker i henholdsvis enote 8 og enote 9 Ved den indledende behandling af funktioner af to variable definerede vi niveau-mængderne K c ( f ) for funktioner f (x, y) af to variable, se enote 5 Vi skal se i denne enote, at for andengradspolynomier i to variable er niveaumængderne typisk velkendte kurver i (x, y)-planen som for eksempel ellipser og hyperbler og det er formålet med denne enote at vise hvilke typer niveaukurver der optræder for givne ligninger Vi vil dertil i udstrakt grad benytte den reduktionsmetode, der er udviklet i enote 8 Den virker for andengradspolynomier af både to og tre (og flere) variable, og som vi skal se, kan de tilhørende niveau-kurver og -flader identificeres ud fra en kort navneliste Niveaukurverne for andengradspolymier i to variable og niveaufladerne for andengradspolynomier i tre variable kendes klassisk under navnene henholdsvis keglesnit og keglesnitsflader 0 Andengradsligninger i to variable Fra enote 8 ved vi fra inspektion af de viste niveaukurver, at der typisk optræder ellipser og hyperbler eller ellipse-lignende og hyperbel-lignende kurver som niveaukurver for funktioner af to variable især omkring stationære punkter Det er ikke nogen tilfældighed; andengradspolynomier har netop sådanne niveaukurver Og passende valgte andengradspolynomier er jo samtidig gode approksimationer til givne glatte funktioner af to variable I det følgende vil vi med nogle eksempler gennemgå standardmetoden til reduktion af de ligninger, der fremkommer når vi vil finde de punkter i R for hvilke et givet andengradspolynomium er 0, altså netop de punkter, der udgør niveaumængden K 0 ( f ) for f (x, y)

2 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE Eksempel 0 Ellipse For et andengradspolynomium f (x, y) bestemmer vi følgende ingredienser til reduktion af polynomiet på præcis den måde som er gennemgået i enote 8 Vi har specielt igen brug for den positive ortogonale substitutionsmatrix Q som diagonaliserer matricen H f (x, y) for derved at opnå et udtryk for f (x, y) som ikke indeholder produktled nu i de nye koordianter x og ỹ Resultatet af reduktionen er f ( x, ỹ) som vist nedenfor: f (x, y) = x + y + x y 8 x 0 y + f (x, y) = (4 x + y 8, x + 4 y 0) [ H f (x, y) = Λ = [ 0 0 (0-) Q = [ [ / / cos(π/4) sin(π/4) = / / sin(π/4) cos(π/4) f ( x, ỹ) = x + ỹ 9 x ỹ + ( = x ) ( + ỹ ) Den sidste ligning i ovenstående beregning af det reducerede andengradspolynomium f ( x, ỹ) fremkommer ved kvadratkomplettering Den kan foretages for x-leddene først og dernæst for ỹ-leddene For de førstnævnte foregår det sådan: x 9 x = ( x x) ( ) = ( x ) 9 (0-) Den andengradsligning som giver niveaukurven K 0 ( f ) er nu bestemt ved hver af følgende ækvivalente ligninger: f (x, y) = 0 = f ( x, ỹ) ( x ) + ( ỹ ) = (0-) Denne sidste ligning fremstiller en ellipse med centrum i e C = (x 0, y 0 ) = (, ) (med hensyn

3 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne og, se figurerne 0 og 0 Det nye koordinatsystem fremkommer ved drejning af det gamle koordinatsystem med drejningsvinklen φ = π/4 Funktionen f (x, y) har et stationært punkt i centrum for ellipsen, hvor funktionsværdien er Hesse-matricen er positiv definit og derfor er det stationære punkt et egentligt lokalt minimumpunkt Der er tydeligvis tale om et globalt minimumpunkt Figur 0: Grafen for funktionen f (x, y) = x + y + x y 8 x 0 y + samt niveaukurver og gradientvektorfelt for funktionen Bemærk specielt niveaukurven svarende til niveau 0, som er den ellipse vi analyserer i eksempel 0 Eksempel 0 Ellipse f (x, y) = 9 x + 6 y + 4 x y 5 x 6 y + 60 f (x, y) = (58 x + 4 y 5, 7 y + 4 x 6) [ 9 H f (x, y) = 6 Λ = [ (0-4) Q = [ /5 4/5 4/5 /5 f ( x, ỹ) = 45 x + 0 ỹ 60 x 80 ỹ + 60 = 45 ( x 4) + 0 (ỹ ) 80

4 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE 4 Figur 0: Grafen for funktionen med den elliptiske niveaukurve i niveau 0 for funktionen i eksempel 0 Den andengradsligning som giver niveaukurven K 0 ( f ) er derfor givet ved hver enkelt af følgende ækvivalente ligninger: f (x, y) = 0 = f ( x, ỹ) ( ) x 4 ( ) ỹ + = (0-5) Dette er ligningen for en ellipse med centrum i e C = (x 0, y 0 ) = (4/5, /5) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (4, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne og, se figur 04 Det nye koordinatsystem fremkommer ved drejning af det gamle koordinatsystem med drejningsvinklen φ = arccos(/5) Andengradspolynomiet f (x, y) har et stationært punkt i centrum med værdien 80 Hessematricen er positiv definit og derfor er det stationære punkt et egentligt lokalt minimumpunkt med minimumværdi 80 Der er igen tydeligvis tale om et globalt minimumpunkt

5 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE 5 Figur 0: Grafen for den funktion, der blot er løftet / i forhold til værdierne for funktionen i eksempel 0 Niveaukurven K 0 ( f ) i niveau 0 er tilsvarende mindre med tilsvarende mindre halvakser, men den er orienteret efter de samme akseretninger Eksempel 0 Hyperbel Vi ser igen på eksempel 950 fra enote 9 som handler om andengradspolynomiet f (x, y) med følgende data: f (x, y) = x + 4 y 4 x y 0 x + 40 y 60 f (x, y) = ( x 4 y 0, 4 x + 8 y + 40) [ H f (x, y) = 4 Λ = [ Q = [ 4/5 /5 /5 4/5 [ cos(ϕ) sin(ϕ) = sin(ϕ) cos(ϕ), hvor ϕ = arcsin(/5) f ( x, ỹ) = 0 x 5 ỹ 40 x + 0 ỹ 60 = 0 ( x ) 5 (ỹ ) 60 (0-6) Den andengradsligning som giver niveaukurven K 0 ( f ) er derfor givet ved hver af følgende

6 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE 6 Figur 04: Niveaukurven K 0 ( f ) for andengradspolynomiet f (x, y) = 9 x + 6 y + 4 x y 5 x 6 y + 60 fra eksempel 0 ligninger: f (x, y) = 0 = f ( x, ỹ) ( ) x ( ) ỹ = (0-7) Ligningerne fremstiller en hyperbel med centrum i e C = (x 0, y 0 ) = (, ) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne og Det nye koordinatsystem fremkommer ved drejning af det gamle koordinatsystem med drejningsvinklen φ = arcsin(/5) Funktionen har et stationært punkt i centrum med værdien 60 Hesse-matricen er indefinit og derfor er det stationære punkt hverken et lokalt minimumpunkt eller maksimumpunkt

7 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE 7 Eksempel 04 Hyperbel En anden hyperbel er givet ved K 0 ( f ) for følgende andengradspolynomium: f (x, y) = 5 4 x + 4 y + x y + 5 x y 4 f (x, y) = ( 5 x + y + 5, x + y ) [ H f (x, y) = 5/ /4 /4 /4 Λ = [ 0 0 (0-8) Q = [ / [ / cos(π/) sin(π/) = / / sin(π/) cos(π/) f ( x, ỹ) = x ỹ x 4 ỹ 4 = ( x ) (ỹ + ) 4 Den andengradsligning som giver niveaukurven K 0 ( f ) er derfor givet ved hver af følgende ækvivalente ligninger, hvor den sidste fås ved kvadratkomplettering: ( f (x, y) = 0 = f ( x, ỹ) = 0 ) ( x ỹ + ) = (0-9) Det er en hyperbel med centrum i e C = (x 0, y 0 ) = (, 0) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne / og /( ), se figur 05 Det nye koordinatsystem fremkommer ved drejning af det gamle koordinatsystem med drejningsvinklen φ = π Funktionen har et stationært punkt i centrum med værdien /4 Hesse-matricen er indefinit og derfor er det stationære punkt hverken et lokalt minimumpunkt eller maksimumpunkt, som det også tydeligt fremgår af figur 05

8 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TRE VARIABLE 8 Figur 05: Grafen for funktionen fra eksempel 04 med snit i niveau 0, gradientfelt, niveaukurver og specielt niveaukurven K 0 ( f ) 0 Andengradsligninger i tre variable For andengradspolynomier f (x, y, z) i tre variable kan vi gennemføre samme analyse som ovenfpor men nu af de niveaumængder i rummet, dvs de niveau-flader der fremkommer ved at sætte f (x, y, z) = 0 Vi viser metoden via nogle eksempler: Eksempel 05 Ellipsoide

9 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TRE VARIABLE 9 Et andengradspolynomium i tre variable undersøges: f (x, y, z) = 7 x + 6 y + 5 z 4 x y 4 y z x + 0 y 0 z + 5 f (x, y, z) = (4 x 4 y, 4 x + y 4 z + 0, 4 y + 0 z 0) H f (x, y, z) = Λ = Q = / / / / / / / / / f ( x, ỹ, z) = 9 x + 6 ỹ + z 8 x ỹ 6 z + 5 = 9 ( x ) + 6 (ỹ ) + ( z ) (0-0) Den andengradsligning som giver niveaufladen K 0 ( f ) er derfor givet ved hver af følgende ækvivalente ligninger: f (x, y, z) = 0 = f ( x, ỹ, z) ( ) ( ) x ỹ + + ( z ) = (0-) Det er ligningen for en ellipsoide med centrum i e C = (x 0, y 0, z 0 ) = ( /, 5/, 7) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0, z 0 ) = (,, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne og, og, se figur 06 og navnetabellen i afsnit 0 Det nye koordinatsystem fremkommer ved rotation af det gamle koordinatsystem med den positive ortogonale substitution Q Funktionen f (x, y, z), som er undersøgt i eksempel 05, har et stationært punkt i det fundne centrum med værdien Hesse-matricen er positiv definit og derfor er det stationære punkt for f (x, y, z) i rummet et egentligt lokalt minimumpunkt, et globalt minimumpunkt

10 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TRE VARIABLE 0 Figur 06: Niveaufladen K 0 ( f ) for den funktion som er analyseret i eksempel 05 Det nye roterede koordinatsystem hvori ellipsoiden har reduceret form er antydet med den røde x-akse, blå ỹ-akse, og grønne z-akse Hvis vi kunne tegne grafen for funktionen f (x, y, z) i det 4-dimensionale (x, y, z, w)-rum, dvs hvis vi betragtede mængden af de punkter i R 4 der kan skrives på formen (x, y, z, f (x, y, z)) når (x, y, z) gennemløber (x, y, z)-rummet i R 4, så vil niveaufladen for f (x, y, z) være den mængde vi får i (x, y, z)-rummet ved at sætte w = 0, altså netop f (x, y, z) = 0 Eksempel 06 Hyperboloide med ét net f (x, y, z) = x + y + z + x 4 y + z 4 x z f (x, y, z) = ( x 4 z +, 4 y 4, 4 x + z + ) H f (x, y, z) = Λ = (0-) Q = / 0 / 0 0 / 0 /

11 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TRE VARIABLE f ( x, ỹ, z) = x + ỹ z 4 ỹ z ( = x + (ỹ ) z + ) (0-) Den andengradsligning som giver niveaufladen K 0 ( f ) er derfor givet ved hver af følgende ækvivalente ligninger: f (x, y, z) = 0 = f ( x, ỹ, z) ( ) ( ) x ỹ ( + z + ) (0-4) = Ligningerne repræsenterer en hyperboloide med ét net der har centrum i e C = (x 0, y 0, z 0 ) = (,, ) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (0,, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne og, og, se figur 07 og navnetabellen i afsnit 0 Det nye koordinatsystem fremkommer ved rotation af det gamle koordinatsystem med den positive ortogonale substitution Q Funktionen f (x, y, z), som er undersøgt i eksempel 06, har et stationært punkt i det fundne centrum med værdien Hesse-matricen er indefinit og derfor er det stationære punkt for f (x, y, z) i rummet hverken minimumpunkt eller maksimumpunkt Eksempel 07 Hyperboloide med to net Et andengradspolynomium f (x, y, z) er givet ved følgende data: f (x, y, z) = x + y + z + x + 4 y + 4 z 5 y z 6 f (x, y, z) = ( x +, y 5 z + 4, 5 y + z + 4) H f (x, y, z) = / 5/ 0 5/ / Λ = (0-5) Q = 0 0 / 0 / / 0 / f ( x, ỹ, z) = x ỹ z + ỹ + 4 z 6 ( = x (ỹ ) z )

12 enote 0 0 NAVNETABEL FOR ANDENGRADSPOLYNOMIERS NIVEAUFLADER Figur 07: Niveaufladen K 0 ( f ) for funktionen som analyseres i eksempel 06 Den andengradsligning som giver niveaufladen K 0 ( f ) er derfor givet ved: f (x, y, z) = 0 = f ( x, ỹ, z) ( ) ( (ỹ ) x z ) = (0-6) Det er ligningen for en hyperboloide med to net der har centrum i e C = (x 0, y 0, z 0 ) = (,, ) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (0,, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne, og se figur 08 0 Navnetabel for andengradspolynomiers niveauflader De maksimalt reducerede udtryk for andengradspolynomiers niveauflader præsenteres her under antagelse af at eventuelt centrum (eller såkaldt toppunkt) optræder i vc = (0, 0, 0) For en given konkret niveauflade kan navnet aflæses fra tabellen; beliggenheden angives med koordinaterne for det fundne centrum C for niveaufladen; orienteringen angives ved den fundne substitutionsmatrix Q og størrelsen af niveaufladen angives ved de enkelte halvakser a, b, og c, eller p og k i de enkelte tilfælde for så vidt de optræder i den reducerede ligning for niveaufladen

13 enote 0 0 NAVNETABEL FOR ANDENGRADSPOLYNOMIERS NIVEAUFLADER Figur 08: En hyperboloide med to net er niveaufladen K 0 ( f ) for den funktion, der analyseres i eksempel 07 Ligning Navn Punktet (0, 0, 0) Eksempel x + ỹ + z a b x + ỹ z a b x ỹ z a b x + ỹ z a b x + ỹ a x ỹ a c = ellipsoide centrum 05 c = hyperboloide med ét net centrum 06 c = hyperboloide med to net centrum 07 c = 0 keglesnitskegleflade centrum fig 09 b = z elliptisk paraboloide toppunkt fig 09 = z b hyperbolsk paraboloide toppunkt fig 09 x = p z a parabolsk cylinderflade toppunkt fig 09 x + ỹ a x ỹ a x + ỹ + z a b x + ỹ a x ỹ a b = elliptisk cylinderflade centrum b = hyperbolsk cylinderflade centrum c = 0 punktet (0, 0, 0) centrum b = 0 z-aksen = 0 to planer gennem z-aksen b x = k > 0 to planer parallelle med (ỹ, z)-planen x = 0 (ỹ, z)-planen

14 enote PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE Figur 09: En keglesnitskegleflade, en elliptisk paraboloide, en hyperbolsk paraboloide, og en parabolsk cylinderflade Opgave 08 Vis, at listen i navnetabellen over niveauflader for andengradspolynomier i tre variable er komplet; dvs enhver totalt reduceret andengradsligning i tre variable (som indeholder mindst e n af de variable xe, ye, eller e z med grad ) er at finde p a listen Opgave 09 Vis, at enhver totalt reduceret andengradsligning i to variable fremkommer af tabellen over totalt reducerede andengradsligninger i tre variable ved at sætte e z = 0 04 Parametrisering af en ellipsoide Vi vil her kort skitsere hvordan man kan parametrisere en niveauflade for et andengradspolynomium i tre variable med henblik p a at kunne plotte og undersøge dens øvrige geometriske egenskaber Som eksempel vil vi benytte en ellipsoide med givet (eller fundet) centrum C, givne halvakser (aflæst fra diaognalmatricen Λ), og givne orienteringsvektorer e v, e v, og e v (fra den positive ortogonale substitutionsmatrix Q) alts a netop ud fra de data der bestemmes via reduktionsanalysen eksemplificeret ovenfor Vi antager for eksemplets skyld, at der her er tale om en ellipsoide, s aledes at A = H f ( x, y, z ) er positiv definit, dvs alle tre egenværdier λ, λ, og λ er positive for A = H f ( x, y, z) Tilsvarende konstruktion kan gennemføres for enhver af de andre niveauflader Vi antager, at ellipsoidens ligning i reduceret form er givet ved λ ( xe xe0 ) + λ (ye ye0 ) + λ (e z ze0 ) = d, (0-7)

15 enote 0 04 PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE 5 hvor d er en positiv konstant og hvor v C = ( x 0, ỹ 0, z 0 ) er koordinaterne for ellipsoidens centrum med hensyn til det nye koordinatsystem, således at centerkoordinaterne med hensyn til det gamle system er givet ved: e C = Q vc Vi har altså følgende ingredienser til rådighed til konstruktionen af ellipsoiden: ec = (C, C, C ) a = d λ b = d λ (0-8) c = d λ Q = [ ev e v e v Vi vil udelukkende betragte koordinater, der refererer til den sædvanlige basis e i (R n, ) En kugleflade S med radius og centrum i (0, 0, 0) kan beskrives som mængden af de punkter (x, y, z), der har afstanden til (0, 0, 0): ρ (0,0,0) (x, y, z) =, som er ækvivalent med x + y + z =, eller x + y + z = (0-9) Kuglefladen kan også præsenteres ved hjælp af geografiske koordinater u og v, hvor u [0, π og v [ π, π: S : (x, y, z) = r(u, v) = (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)) (0-0) Når u og v gennemløber deres respektive intervaller u [0, π og v [ π, π så får vi punkter (x, y, z) = r(u, v) på kuglefladen og alle punkterne rammes Lad os se på den første af de to påstande, altså at alle punkterne r(u, v) ligger på kuglefladen Indsæt x = sin(u) cos(v), y = sin(u) sin(v), og z = cos(u) i kuglens ligning 0-9: x + y + z = sin (u) cos (v) + sin (u) sin (v) + cos (u) ( ) = sin (u) sin (u) + cos (u) + cos (u) = sin (u) + cos (u) =, (0-) så alle punkterne der fremstilles på formen r(u, v) ligger på kuglefladen

16 enote 0 04 PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE 6 Opgave 00 Vis, at den anden påstand om r(u, v) også er rigtig, altså at alle punkter på kuglefladen rammes af r(u, v) når u og v gennemløber intervallerne u [0, π og v [ π, π Findes der punkter på kuglefladen som rammes mere end én gang? Beskriv i så fald den punktmængde og hvor mange gange de punkter rammes Vi skalerer kuglefladen med de tre egenværdier i hver koordinatakseretning og får dermed en fremstilling af en ellipsoide med de korrekte, ønskede, halvakser: d r (u, v) = ( sin(u) cos(v), λ d λ sin(u) sin(v), d λ cos(u)), (0-) hvor u [0, π, v [ π, π således at ethvert punkt x, y, z som rammes af afbildningen r (u, v) nu tilfredsstiller: λ x + λ y + λ z = d x d λ + y d λ + z d λ = (0-) eller, hvis vi benytter halvaksebetegnelserne a, b, og c: ( x ) ( y ) ( z ) + + = a b c, (0-4) som netop er ligningen for en standard ellipsoide med de ønskede halvakser men konstrueret i (x, y, z)-systemet De punkter der fremstilles ved r (u, v) ligger alle på denne elipsoide Til sidst roterer vi ellipsoiden med rotationsmatricen Q og parallelforskyder til det korrekte ønskede centrum: r (u, v) = Q r (u, v) + C (0-5) Alle de punkter, der har stedvektorer givet ved r (u, v) ligger nu på den ønskede ellipsoide og alle punkterne på ellipsoiden rammes når u [0, π, v [ π, π

17 enote 0 04 PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE 7 Eksempel 0 Ellipsoide parametrisering En konkret ellipsoide er givet ved følgende data, som stammer fra en undersøgelse af andengradspolynomiet f (x, y, z) = x + y + z x 4 y z x z + : (0-6) ec = (,, ) a = b = c = Q = / 0 / 0 0 / 0 / (0-7) Vi vil konstruere en parameterfremstilling på formen r (u, v) som i (0-5) for den givne ellipsoide Den skalerede kugleflade er givet ved: ( ) r (u, v) = sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u) (0-8) og den Q-roterede skalerede kugleflade parallelforskudt til punktet (,, ) får derefter parameterfremstillingen: r (u, v) = = ( 6 sin(u) cos(v) cos(u) +, sin(u) sin(v) +, (0-9) 6 sin(u) cos(v) cos(u) + ) Konstruktionen er antydet i figur 00

18 enote PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE Figur 00: Konstruktion af ellipsoiden fra eksempel 0 ud fra data om beliggenhed, akser, og rotationsmatrix Eksempel 0 Ellipsoidedata Den konstruerede ellipsoide i eksempel 0 er 0-niveaufladen for andengradspolynomiet med følgende data: f ( x, y, z) = x + y + z x 4 y z x z + f ( x, y, z) = (4 x z, 4 y 4, x + 4 z ) 0 H f ( x, y, z) = Λ= (0-0) / 0 / Q = 0 0 / 0 / fe( xe, ye, e z) = xe + ye + e z 4 ye + e z+ = xe + (ye ) + e z+ Den andengradsligning som giver niveaufladen K0 ( f ) er derfor givet ved ligningen:!! ye xe e + + z + =, (0-)

19 enote 0 04 PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE 9 hvorfra vi aflæser de ovenfor givne halvakser a =, b =, og c = samt centerkoordinaterne v (C) = (0,, ) som via substitutionsmatricen Q svarer til koordinaterne e(c) = (,, ) med hensyn til standard-basis e

20 enote 0 05 OPSUMMERING 0 05 Opsummering Hovedresultatet i denne enote er en identifikation via en række konkrete eksempler af de mulige niveaukurver og -flader for andengradspolynomier i to og tre variable Metoden er reduktionsmetoden for kvadratiske former og andengradspolynomier, som er indført i enote 8 Baseret på samme metode angives en strategi til parametrisering og præsentation af de enkelte niveauflader for funktioner af tre variable