Mat 1. 2-timersprøve den 13. maj 2017.

Transkript

1 Mat. -timersprøve den. maj 7. JE.5.7 Opgave restart:with(plots): En funktion f af to reelle variable er for x, y s, givet ved f:=(x,y)-y/(x^+y^); f d x, y / y x Cy f(x,y); y x Cy Spørgsmål I x, y Kplanen betragtes de tre punkter A= (, ), B = (,K) og C= (, ). 'f(,)'=f(,); f, = 'f(,-)'=f(,-); f, K = K 'f(/,/)'=f(/,/); f, = Da f(a) = f(c) =, så ligger A og C på den samme niveaukurve for f nemlig på niveaukurven f x, y =, x, y s, 5 y x =, (x, y s, 5 Cy x Cy Ky =, x, y s, 5 x C y K =, (x, y) s,, 4 hvilket er cirklen med centrum (, ) og radius med undtagelse af punktet (,). Da f(b) = K, så ligger B ikke på denne niveaukurve for f, men på niveaukurven f x, y =K, x, y s, 5 x C y C = 4, (x, y) s,, hvilket er cirklen med centrum (,K ) og radius med undtagelse af punktet (,). Gradienten for f er givet ved Vf x, y = f# x (x, y), f# y (x, y) = K xy x Cy, x Ky x Cy, (x, y) s,.

2 Spørgsmål Hvis. koordinaten for Vf skal være, skal enten x eller y være. Det medfører, at hvis. koordinaten også skal være, så skal både x og y være. Men Vf er ikke defineret i (,). Da således Vf x, y s, for alle x, y s,, så har f ingen stationære punkter. Vi betragter den begrænsede og afsluttede punktmængde M = x, y % x Cy % 4. Dvs. M er den afsluttede cirkelring mellem de to cirkler x Cy = (centrum, og radius ) og x Cy = 4 (centrum, og radius ). C:=implicitplot(x^+y^<4,x=-..,y=-..,scaling=constrained, linestyle=): C:=implicitplot(x^+y^,x=-..,y=-..,filled=true,coloring= [gray,white],scaling=constrained,linestyle=): R:=implicitplot(x^+y^=,x=-..,y=-..,color=black,scaling= constrained,linestyle=,thickness=): R:=implicitplot(x^+y^=4,x=-..,y=-..,color=black,scaling= constrained,linestyle=,thickness=): C:=implicitplot(x^+y^4,x=-..,y=-..,scaling=constrained, filled=true,coloring=[white,white],linestyle=): display(c,c,c,r,r,title="cirkelringen M"); Det bemærkes, at det ikke er noget krav til besvarelsen at kunne tegne denne figur af M i Maple.

3 Spørgsmål Da M er begrænset og afsluttet og da f er kontinuert i M, så har f et globalt minimum og et globalt maksimum i M. Da f hverken har stationære punkter eller undtagelsespunkter i det indre af M, så antages disse værdier på randen af M. Randundersøgelse: (): x Cy =5x = G Ky, y K;. gy = f G Ky, y = y, y K;. g# y = O for alle y K;. Dvs g er voksende. g K = f,k =K er mindst og g = f, = er størst. (): x Cy =45x = G 4 Ky, y K;. hy = f G 4 Ky, y = 4 y, y K;. h# y = 4 O for alle y K;. Dvs h er voksende. h K = f,k =K er mindst og h = f, = er størst. Ved numerisk sammenligning af disse undersøgelser fås, at det globale minimum er K, som antages i punktet B og at det globale maksimum er, som antages i punktet A. Det bemærkes, at da M er sammenhængende, så er værdimængden f M = K;. Opgave restart: Om en reel funktion f x, y oplyses, at dens approksimerende andengradspolynomium med udviklingspunkt (, ) er P x, y = f, Cf# x, x Cf# y, y C f$ xx, x C f$ xy, xycf$ yy, y =C x Cy =C x C y. og at dens approksimerende andengradspolynomium med udviklingspunkt ( Q x, y = f C = 4 f$ xx, Cf# x e K e xk, xk C, x K Cf# y C f$ xy, x K e y = 4 e C, y K e xk y Cf$ yy C,) er, y e y.

4 Spørgsmål Af det givne udtryk for P x, y aflæses, at f, =, f# x, =, f# y, =, f$ xx, =, f$ xy, = og f$ yy, =. Spørgsmål Hvis f har egentligt lokalt maksimum eller egentligt lokalt minimum i et punkt, så må punktet være et stationært punkt, da f ikke har undtagelsespunkter. Da Vf, = f# x, ), f# y (, ) =, er (,) et stationært punkt for f. Hessematricen for f i punktet (,) er f$ xx, f$ xy, H(, ) = =, f$ xy, f$ yy, som har egenværdierne og. Da begge egenværdier for H(, ) er positive, så er f, = et egentligt lokalt minimum. Spørgsmål Af det givne udtryk for Q x, y aflæses,at f, = 4 e, f# x, =, f# y, =, f$ xx f$ yy, = e. Da Vf for f., = f# x Hessematricen for f i punktet H, =,, f# y, er f$ xx, f$ xy f$ xy, f$ yy, =K e, f$ xy, =, er (,, = K e, = og,) også et stationært punkt e, som har egenværdierne K e og e. Da de to egenværdier for H, har modsat fortegn, så er f lokalt minimum eller et egentligt lokalt maksimum., hverken et egentligt

5 Opgave restart:with(linearalgebra):with(plots): prik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): En cylinderflade F i x, y, z -rummet er givet ved parameterfremstillingen r:=(u,v)-<u^-u,u^+u,v*u: r(u,v); u Ku u Cu v u hvor u ; og v ;. plotd(r(u,v),u=..sqrt()/,v=..,orientation=[-4,8],axes= normal,view=[-...,..,-...]);

6 Spørgsmål ru:=diff~(r(u,v),u); rv:=diff~(r(u,v),v); Fladens normalvektor er N:=kryds(ru,rv); N d ru d rv d u K u C v Den til r hørende Jacobifunktion er Jacobi:=simplify(sqrt(prik(N,N)))assuming u; u u C u K u K u Jacobi d u 4 u C Ar(F) = dμ = Jacobi u, v du dv F Int(Int(Jacobi,u=..sqrt()/),v=..)=int(int(Jacobi,u=.. sqrt()/),v=..); u 4 u C du dv = 7 Lad L betegne den til F hørende ledekurve i x, y -planen. Spørgsmål L er skæringskurven mellem fladen F og x, y -planen. En parameterfremstilling for L er da s:=r(u,); s d u Ku u Cu hvor u,.

7 su:=diff~(s,u); Den til L hørende Jacobifunktion er Jacobi:=simplify(sqrt(prik(su,su))); Spørgsmål L Et vektorfelt i x, y, z -rummet er givet ved V:=(x,y,z)-<x^,-*y*x,z: V(x,y,z); su d Jacobi d u K u C 8 u C y Kx dμ = yu Kx u Jacobi u du = u Jacobi u du Int(u*Jacobi,u=..sqrt()/)=int(u*Jacobi,u=..sqrt()/); Opgave 4 I x, z -planen betragtes et profilområde A givet ved parameterfremstillingen s:=(u,v)-<u,,v*sin(u): s(u,v); u v sin u u 8 u C du = 7 restart:with(linearalgebra):with(plots): prik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): div:=v-vectorcalculus[divergence](v): rot:=proc(x) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X)end proc: hvor u ; π og v ;. x K y x z

8 plotd(s(u,v),u=..pi/,v=..,axes=normal,scaling=constrained); Et massivt omdrejningslegeme Ω fremkommer ved at A drejes vinklen π 4 set fra z-aksens positive ende. omkring z-aksen mod uret Spørgsmål Parameterfremstilling for Ω r:=(u,v,w)-<u*cos(w),u*sin(w),v*sin(u): r(u,v,w); u cos w hvor u ; u sin w v sin u π, v ; og w ; 4 π.

9 Spørgsmål vω er den lukkede overflade af Ω orienteret med udadrettet enhedsnormalvektor. Af Gauss' sætning fås da Flux(V, vω)= Ω Div (V) dμ= π 4 π Div (V)(r(u, v, w)) Jacobi(u, v, w) du dv dw div(v)(x,y,z); M:=<diff~(r(u,v,w),u) diff~(r(u,v,w),v) diff~(r(u,v,w),w); M d cos w Ku sin w sin w u cos w v cos u sin u Jr:=simplify(Determinant(M)); Jr d Ksin u u som er %, da u ; π. Den til r hørende Jacobifunktion er da Jacobi:=-Jr; Jacobi d sin u u integranden:=*jacobi; integranden d sin u u Int(Int(Int(integranden,u=..Pi/),v=..),w=..Pi/4)=int(int (int(integranden,u=..pi/),v=..),w=..pi/4); 4 π π sin u u du dv dw = 4 π Spørgsmål Lad G betegne den del af overfladen af Ω, som afgrænser Ω opadtil. G er altså den omdrejningsflade, der fremkommer ved at den øvre randkurve af A i x, z -planen drejes vinklen π omkring z-aksen mod uret set fra z-aksens positive ende. 4 En parameterfremstilling for G er da R:=r(u,,w); hvor u ; π og w ; 4 π. Ru:=diff~(R,u); R d u cos w u sin w sin u

10 Rw:=diff~(R,w); Fladens normalvektor er N:=simplify(kryds(Ru,Rw)); N d Ru d Rw d cos w sin w cos u Ku sin w u cos w Kcos u u cos w Kcos u u sin w N u, w danner en spids vinkel med z-aksen, da dens z-koordinat zu, w = u O for u ; π. flade:=plotd(r,u=..pi/,w=..pi/4,scaling=constrained): pil:=arrow(subs(u=,w=pi/8,r),subs(u=,w=pi/8,n)): display(flade,pil,orientation=[-,7]); u

11 Med den valgte orientering af den lukkede randkurve vg for G er derfor n G = N u, w N u, w for u ; π (højrekonvention). Af Stokes' sætning fås da Cirk(V, vg = Flux(Rot(V), G)= rot(v)(x,y,z); Rotationen taget på fladen Rot:=<,,-*u*sin(w); n G $Rot V dμ = G K y π 4 π N u, w $Rot V (R(u,w))du dw

12 Rot d K u sin w integranden:=prik(n,rot); integranden d K u sin w Int(Int(integranden,u=..Pi/),w=..Pi/4)=int(int (integranden,u=..pi/),w=..pi/4); 4 π π K u sin w du dw = K π C 4 π