Geometriske grundbegreber 8. lektion

Transkript

1 1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet

2 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og deres tangenter Tangentplan i et punkt på fladen Normalvektor i et punkt på fladen

3 3 / 14 Parameterfremstilling for en flade D r S En parameterfremstilling for en flade S i rummet er givet ved en vektorfunktion af to variable (u, v): r:r 2 D R 3, r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]. Horizontale og vertikale linier overføres til et krumt koordinatsystem på fladen. Eksempel: En kortprojektion for en kugleflade: det krumme koordinatsystem består af længde- og breddecirkler.

4 4 / 14 Parameterkurver og partielle afledede v (u 0, v 0 ) u r r(u, v 0 ) r(u 0, v) r v (u 0, v 0 ) P 0 r u (u 0, v 0 ) Gennem punktet P 0 med OP 0 = r(u 0, v 0 ) løber u-kurven (1. parameterkurve) r(u, v 0 ) med hastighedsvektor r u (u 0, v 0 ) i P 0 v-kurven (2. parameterkurve) r(u 0, v) med hastighedsvektor r v (u 0, v 0 ) i P 0

5 5 / 14 Regulære parameterfremstillinger r S D R 2 åben. r:d R 3 en glat (C ) og injektiv (én til én) vektorfunktion af to variable. r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] D De partielle afledede r u (u 0, v 0 ), r v (u 0, v 0 ) er lineært uafhængige for alle (u 0, v 0 ) D. Dermed udspænder de en (tangent)plan!

6 Kurver på en flade og tangentvektorer Givet parameterfremstilling r:r 2 U R 3. Den beskriver korrespondance mellem kurver i parameterområdet U i planen og kurver på fladen S givet ved [u(t), v(t)] U x(t) = r(u(t), v(t)) R 3. Beregning af hastighedsvektor/tangent til denne kurve i P 0 med OP 0 = [u 0, v 0 ] = x(u(t 0 ), v(t 0 )) ved hjælp af kædereglen: x:i R 3, t [u(t), v(t)] r(u(t), v(t)). x (t 0 ) = u (t 0 )r u (u 0, v 0 ) + v (t 0 )r v (u 0, v 0 ) span{r u (u 0, v 0 ), r v (u 0, v 0 )}. Alle hastighedsvektorer til kurver på S gennem P 0 ligger altså i denne tangentplan! 6 / 14

7 Tangentplan Parameterfremstillinger for lineær og affin tangentplan r(u, v 0 ) P 0 r v (u 0, v 0 ) r(u 0, v) r u (u 0, v 0 ) Tangentplan til fladen S i punktet P 0 = span{r u (u 0, v 0 ), r v (u 0, v 0 )}. Krav: r u, r v lineært uafhængige i alle [u, v] U. Parameterfremstillinger for tangentplan i P 0 : lineær tangentplan: T P0 S = {sr u (u 0, v 0 ) + tr v (u 0, v 0 ), s, t R}. affin tangentplan: π P0 S = {Q E 3 OQ = r(u 0, v 0 ) + sr u (u 0, v 0 ) + tr v (u 0, v 0 ), s, t R}. Den affine tangentplan approk- 7 / 14

8 Normalvektor og ligning for tangentplan r u (u 0, v 0 ) ν(u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) En normalvektor til S i P 0 : r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ). Enhedsnormalvektor til S P 0 : ν = r u(u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) i Ligning for affin tangentplan π P0 S: OQ = x = [x, y, z] skal opfylde ligningen a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 med: [a, b, c] = r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) normalvektor [x 0, y 0, z 0 ] = r(u 0, v 0 ) punkt i S og i tangentplan 8 / 14

9 9 / 14 Måling i skæve koordinater 1. grundform = krum Pythagoras Længde af en fladekurve Areal af et fladestykke

10 10 / 14 Pythagoras i skæve koordinater Længde af vektor w = ar u + br v i det skæve koordinatsystem med basisvektorer r u, r v : a E w r v b G r u w 2 = ar u + br v 2 = (ar u + br v ) (ar u + br v ) = a 2 (r u r u ) + 2ab(r u r v ) +b 2 (r v r v ) = a 2 E + 2abF + b 2 G. E(u, v) = r u (u, v) r u (u, v) F(u, v) = r u (u, v) r v (u, v) G(u, v) = r v (u, v) r v (u, v)

11 Kurvelængde i krumme koordinater Kurve givet ved parametrisering x(t) = r(u(t), v(t)). Hvordan kan kurvens koordinater (u(t), v(t)) i kortet bruges til at beregne kurvens længde på fladen? kurve x(t)=r(u(t), v(t)) hastighed x (t)=u r u + v r v fart 2 x (t) 2 =Eu 2 + 2Fu v + Gv 2 kurvelængde 1 s(t) = T a x (t) dt = Eu 2 + 2Fu v + Gv 2 dt. T a 1 længde af kurven (u(t), v(t)) i planen: T a u (t) 2 + v (t) 2 dt 11 / 14

12 Areal i krumme koordinater v D r 1 (R) u r R Beregning af Rs areal ved hjælp af parameterområdet r 1 (R) = {[u, v] U r(u, v) R}: Areal(R) = r u r v dudv = r 1 (R) r 1 (R) EG F 2 dudv Integranden EG F 2 udtrykker den lokale arealforvanskning under parameterfremstillingen. 12 / 14

13 13 / 14 Eksempel: Kugleflade med radius ρ Parameterfremstilling: r(u, v) = [ρ sin u cos v, ρ sin u sin v, ρ cos u] r u (u, v) = [ρ cos u cos v, ρ cos u sin v, ρsinu] r v (u, v) = [ ρ sin u sin v, ρ sin u cos v, 0]. (r u r v )(u, v) = [ρ 2 sin 2 u cos v, ρ 2 sin 2 u sin v, ρ 2 sin u cos v] r(u, v). 1. fundamentalform: E(u, v) = r u (u, v) r u (u, v) = ρ 2 F(u, v) = r u (u, v) r v (u, v) = 0 G(u, v) = r v (u, v) r v (u, v) = ρ 2 sin 2 u (EG F 2 )(u, v) = ρ 4 sin 2 u; (EG F 2 )(u, v) = ρ 2 sin u.

14 Bælteareal på kugleflade Bælte B afgrænset af u 0 u u 1, v 0 v v 1 : r(u, v 0 ) r(u, v 1 ) R r(u 0, v) r(u 1, v) Ar(B) = r 1 (R) ρ2 sin u dudv = ρ 2 u 1 u 0 ( v 1 v 0 sin u dv)du = ρ 2 u 1 u (v 0 1 v 0 ) sin udu = ρ 2 (v 1 v 0 )(cos u 0 cos u 1 ). Areal af kugleflade: u 0 = 0, u 1 = π, v 0 = 0, v 1 = 2π. Ar(S(ρ)) = ρ 2 (2π 0)(1 ( 1)) =4πρ / 14