Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Transkript

1 OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale komplement til v = (1, 2, 3). c) Find i R 3 en basis for det ortogonale komplement til underrummet udspændt af (1, 1, 0) og (0, 2, 1). d) Find i R 4 en basis for det ortogonale komplement til underrummet udspændt af (1, 1, 2, 5) og (0, 1, 0, 2). Opgave 2 Når der er n forskellige egenværdier a) Hvorfor er det særligt nemt at diagonalisere en symmetrisk n n-matrix ved ortogonal substitution, hvis den har n forskellige egenværdier? En 3 3-matrix A har været behandlet i Maple således:

2 OPGAVER 2 b) Opskriv A og gør rede for at den er symmetrisk. c) Lad f betegne den lineære afbildning som har afbildningsmatricen A med hensyn til den sædvanlige basis i R 3. Bestem en ortonormal basis for R 3 bestående af egenvektorer for f, og angiv den afbildningsmatrix som f repræsenteres ved med hensyn til den fundne ortonormale basis. d) Bestem en ortogonal matrix Q og en diagonalmatrix Λ således at Q A Q = Λ. Opgave 3 Egenrum med gm > 1 En 3 3-matrix B har været behandlet i Maple således: a) Opskriv B og gør rede for at den er symmetrisk. b) Bestem en ortogonal matrix Q og en diagonalmatrix Λ således at Q B Q = Λ. Opgave 4 Positiv ortogonal matrix [ En lineær afbildning f : R 2 R 2 5 ] 3 er givet ved afbildningsmaticen. 3 7 a) Der findes præcis otte mulige ortonormale baser for R 2 bestående af egenvektorer for f. Lav en tegning hvor basisvektorerne afsættes ud fra origo i planen. b) Fire af de otte baser har sædvanlig orientering. Vis at den ortogonale matrix der hører til hver af de to er positiv ortogonal, mens de andre to er negativt ortogonale.

3 OPGAVER 3 Opgave 5 Positiv ortogonal matrix som afbildningsmatrix Enhver positiv ortogonal matrix kan (se enote 19) skrives på formen [ ] cos(u) sin(u) Q =. sin(u) cos(u) Bemærk at u er retningsvinklen for den første basisvektor (cos(u), sin(u)). Eller rettere: q-koordinatsystemet fremkommer ved en drejning af standard-koordinatsystemet med vinken u. Vi skal nu undersøge hvordan Q virker som afbildningsmatrix! a) Gør rede for at billedet y = Q x fremkommer ved at vektoren x drejes med vinken u, se figuren. b) Åbn GeoGebra-arket OrtogonalAfbildning. Verificér at mens Q afbilder x i y ved drejning med vinklen u, så gør Q det modsatte: afbilder x i z ved drejning med vinklen u. Opgave 6 Analyse af symmetrisk afbildning Antag at en symmetrisk 2 2 matrix A er blevet diagonaliseret ved positiv ortogonal substition således: Q A Q = Λ. a) Vis at der omvendt gælder: A = Q Λ Q, b) I forlængelse heraf: Gør rede for at en symmetrisk afbildning derfor er sammensat således:

4 OPGAVER 4 1. Først drejes objektet med vinklen u (hvor u er retningsvinklen for første søjle i Q ). 2. Det drejede objekt skaleres med faktor λ 1 i førstaksens retning og med med faktor λ 2 i andenaksens retning. 3. Det skalerede objekt drejes (tilbage!) med vinklen u. c) Betragt matricen B = [ ] som en afbildningsmatrix for geometriske vektorer i planen afsat ud fra origo. Find en drejningsvinkel u som indgår i afbildningens step 1 og 3. Og bestem de faktorer der i step 2 skal skaleres med i henholdsvis førsteaksens retning og andenaksens retning. Se afsnit 2 i dagens MapleDemo SymMatrix2.mw. Her undersøger vi afbildningsmatricen A = Sammenlign den med matricen i forrige spørgsmål. NB: Set fra z-aksens positive ende ser alt i (x, y)-planen ud som i forrige spørgsmål. d) Følg nøje de 3 step i afbildningen. Afprøv med andre parametre, for eksempel u = π 3, a = 5, b = 2. Opgave 7 Analyse af symmetrisk afbildning Antag at en symmetrisk 2 2 matrix A er blevet diagonaliseret ved positiv ortogonal substition således: Q A Q = Λ. a) Vis at der omvendt gælder: A = Q Λ Q, og at en symmetrisk afbildning derfor er sammensat således: 1. Først drejes objektet med vinklen u (retningsvinklen for første søjle i Q ). 2. Det drejede objekt skaleres med faktor λ 1 i førstaksens retning og med med faktor λ 2 i andenaksens retning. 3. Det skalerede objekt drejes (tilbage) med vinklen u. [ ] 2 1 b) Betragt matricen som en afbildningsmatrix for geometriske vektorer i planen afsat ud fra origo. Find en drejningsvinkel u som indgår i afbildningens 1 2 step 1 og 3. Og bestem de faktorer der i step 2 skal skaleres med i henholdsvis førsteaksens retning og andenaksens retning.

5 OPGAVER 5 Se afsnit 2 i dagens MapleDemo SymMatrix2.mw. Her undersøger vi afbildningsmatricen Sammenlign den med matricen i forrige spørgsmål. NB: Set fra z-aksens positive ende ser alt i (x, y)-planen ud som i forrige spørgsmål. c) Følg nøje de 3 step i afbildningen. Afprøv med andre parametre, for eksempel u = π 3, a = 5, b = 2.