STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017
|
|
- Thea Lund
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017
2 2
3 Indhold 1 Regulære flader i rummet Det sædvanlige koordinatsystem i rummet Graf-flader for funktioner af to variable Parametriserede flader Regulære kurver på regulære flader i rummet Krumningen af kurver på flader i rummet To fundamentale matrix-funktioner Principale krumninger og principale retninger Opvarmning til hovedsætning Euler s sætning Gauss-krumningen og middelkrumningen Omdrejningsflader Omparametrisering Krumningerne er bevaret ved omparametrisering Lokal krumnings-analyse
4 4 INDHOLD
5 Kapitel 1 Regulære flader i rummet 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet For effektivt at kunne beskrive hvad der foregår i rummet, og for præcist at kunne analysere hvordan en kurve eller en flade krummer, har vi brug for et 3D koordinatsystem. Et koordinatsystem i rummet er givet ved et fast valg af sædvanlige positivt orienterede retvinklede koordinatakser ud fra et givet fast Origo, samt de tilhørende basisvektorer i akse-retningerne: {O,x,y,z} og {i,j,k} henholdsvis. Se figur 1.1. Figur 1.1: Det sædvanlige koordinatsystem {O,x,y,z} i rummet med basisvektorer {i,j,k}.
6 6 KAPITEL 1. REGULÆRE FLADER I RUMMET 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable Givet en funktion f (x,y) af to variable. Så kan vi konstruere grafen for funktionen over (x,y)- planen i R 3, nemlig som den flade i rummet, der består af de punkter (x,y,z) i rummet, der tilfredsstiller ligningen z = f (x, y). OPGAVE 1.1 Lad a, b, og c betegne 3 reelle tal og sæt f (x,y) = 1 2 ax2 + bxy+ 1 2 cy2, hvor (x,y) U = R R = R Tegn eller skitsér graf-fladen for f omkring (0,0,0) ved forskellige valg af a, b, og c. 2. Bestem de partielle afledede af f til og med 2. orden i et vilkårligt givet punkt (x 0,y 0 ), dvs. f x(x 0,y 0 ), f y(x 0,y 0 ), f xx(x 0,y 0 ), f xy(x 0,y 0 ), og f yy(x 0,y 0 ). 3. Beskriv tangentplanen til graf-fladen for f i punktet (x, y, z) = (0, 0, 0). 4. Antag, at c = 0. For hvilke værdier af a og b ligger graf-fladen for f over, under, eller i skæring med, tangentplanen til graf-fladen for f i punktet (x,y,z) = (0,0,0) pånær lige i punktet selv, hvor graf-fladen og tangentplanen altid rører hinanden.? 5. Kan overspringes i første omgang (tages op igen i opgave 2.41) : Antag igen at c ikke nødvendigvis er 0. For hvilke værdier af a, b, og c ligger graf-fladen for f nu over, under, eller i skæring med, tangentplanen til graf-fladen for f i punktet (x, y, z) = (0, 0, 0)? 1.3 Parametriserede flader En helt generel parametriseret flade er givet ved en vektorfunktion r(u, v), som afbilder et parameter-område U i R 2 ind i rummet via tre koordinatfunktioner, h, g, og f, som alle tre er funktioner af de to variable u og v: r(u,v) = (h(u,v),g(u,v), f (u,v)), (u,v) U. (1.1) Eksempel 1.2 Graf-flader er parametriserede flader. For eksempel fås samme flade som i opgave 1.1 ved parameterfremstillingen: r(u,v) = (u,v, f (u,v)), dvs. ved blot at bruge de to simple funktioner h(u,v) = u, og g(u,v) = v og så iøvrigt lade f betegne den samme funktion som i opgaven.
7 1.3. PARAMETRISEREDE FLADER 7 Eksempel 1.3 Her er nogle klassiske eksempler på parametriserede flader: 1. : r(u,v) = (u,v,u 2 + v 2 ), (u,v) R 2 2. : r(u,v) = (u,v,u v), (u,v) R 2 3. : r(u,v) = (u + v,u v,u), (u,v) R 2 4. : r(u,v) = (u + v,u v,u v), (u,v) R 2 5. : r(u,v) = (cos(v),sin(v),u), u R, v π,π[ 6. : r(u,v) = (cos(u)cos(v),cos(u)sin(v),sin(u)), u π/2,π/2[, v π,π[ 7. : r(u,v) = (vcos(u),vsin(u),u), u R, v R 8. : r(u,v) = (ucos(v),usin(v),u), u R, v π,π[. (1.2) Figur 1.2: Et par af fladerne fra listen i eksempel 1.3 OPGAVE 1.4 Tegn selv eller skitsér (passende dele af) de givne flader i eksempel 1.3. Der er et par af de angivne 8 flader, som har konstant krumning; det kan ses allerede før vi præcis ved hvad krumning er eller betyder. Hvilke flader er der mon tale om? OPGAVE 1.5 Hvilke parametriseringer fra eksempel 1.3 svarer til hvilke flader i figur 1.2? Hver enkelt af de tre funktioner h, g, og f i den generelle parameterfremstilling (1.1) antages at være pæne funktioner som i de ovenstående eksempler. Så kan de og dermed r(u,v) differentieres partielt med hensyn til u og v. For eksempel er: r u(u,v) = (h u(u,v),g u(u,v), f u(u,v)), r uv(u,v) = (h uv(u,v),g uv(u,v), f uv(u, v)) etc. (1.3)
8 8 KAPITEL 1. REGULÆRE FLADER I RUMMET Specielt har vi brug for følgende ekstra betingelse, som sikrer, at fladerne har veldefinerede tangent-planer: Definition 1.6 Parameterfremstillingen r(u,v) siges at være en regulær parameterfremstilling hvis følgende krydsprodukt ikke er nul-vektoren: r u(u,v) r v(u,v) = 0 for alle (u,v) U. (1.4) OPGAVE 1.7 Vis, at alle graf-flade-parametriseringer er regulære. Vink: Krydsproduktet af (1,0,α) med (0,1,β) er ( α, β,1). OPGAVE 1.8 Hvilke af parameterfremstillingerne i eksempel 1.3 er regulære? OPGAVE 1.9 Hvorfor sikrer regularitetsbetingelsen, at den parametriserede flade har en veldefineret tangent-plan i ethver punkt? Definition 1.10 Regularitet giver i punktet r(u,v) en tangentplan, som har enheds-normalvektoren: N(u,v) = r u r v r u r v (1.5) OPGAVE 1.11 Bestem enhedsnormalvektoren N(0,0) i punktet r(0,0) for enhver af de regulære flader i eksempel 1.3. Hvad er så en tilsvarende ligning for tangentplanen i det punkt på de enkelte flader? Vink. Som bekendt er ligningen for en plan i rummet: a x + b y + c z = d, hvor a, b, c, og d er konstanter og hvor vektoren (a,b,c) er ortogonal på planen.
9 1.4. REGULÆRE KURVER PÅ REGULÆRE FLADER I RUMMET Regulære kurver på regulære flader i rummet Som beskrevet ovenfor er en parametriseret flade i rummet givet ved en vektorfunktion r(u, v) af to variable (u,v) U R 2. Enhver kurve γ(t), t [a,b, på den parametriserede flade kan derfor realiseres ved at bruge vektorfunktionen r på en kurve Γ(t), t [a,b, i parameterområdet U, altså ved at afbilde Γ på fladen med afbildningen r: Definition 1.12 Lad Γ(t) = (Γ 1 (t),γ 2 (t)), t [a,b, være en parameterfremstilling for en passende pæn (dvs. differentiabel) kurve i parameterplanen U og sæt γ(t) = r(γ(t)) = r(γ 1 (t),γ 2 (t)), t [a,b. (1.6) Så er γ(t) selv en differentiabel rumkurve med koordinaterne: γ(t) = (γ 1 (t),γ 2 (t),γ 3 (t)) = (h(γ 1 (t),γ 2 (t)), g(γ 1 (t),γ 2 (t)), f (Γ 1 (t),γ 2 (t))). (1.7) Kurven Γ i U kaldes urbilledet af kurven γ på fladen. Sætning 1.13 Hvis r(u, v), (u, v) U, er en regulær parameterfremstilling for en flade i rummet og hvis Γ(t), t [a,b, er en regulær parameterfremstilling for en kurve i U, så er γ(t) = r(γ(t)), t [a,b, en regulær parameterfremstilling for en kurve i rummet, dvs. γ (t) = 0. OPGAVE 1.14 Brug kædereglen og vis sætning Vink: Se opgave Krumningen af kurver på flader i rummet Rumkurven γ(t) = r(γ(t)) = r(γ 1 (t),γ 2 (t)), t [a,b, har for ethver t en krumning κ(t) i rummet. Fra kapitel 8 afsnit i noterne [DG ved vi, at og at krumningsvektoren tilsvarende er givet ved κ(t) = γ (t) γ (t) γ (t) 3/2, (1.8) κ(t) f(t), (1.9) hvor f(t) er den enheds-normalvektor til kurven, som optræder i Frenet Serret basen {e(t), f(t), g(t)} på stedet γ(t).
10 10 KAPITEL 1. REGULÆRE FLADER I RUMMET Definition 1.15 Normal-krumningen κ n (t) af kurven γ(t) = r(γ(t)) på fladen med parameterfemstillingen r defineres som projektionen af kurvens krumningsvektor κ(t) f(t) i rummet på fladens normalvektor N på stedet γ(t): κ γ n(t) = κ n (t) = κ(t) f(t) N(t), (1.10) hvor N(t) = N(Γ(t)) = N(Γ 1 (t),γ 2 (t)) er enhedsnormalvektorfeltet for fladen langs med kurven. Når det af sammenhængen er klart hvilken kurve vi betragter, vil vi nøjes med at skrive κ n (t) som ovenfor ellers noteres normalkrumningen (som også vist ovenfor) med κ γ n(t). Som det fremgår kan det være lidt besværligt at beregne normalkrumninger ud fra denne definition. Grunden til at formulere normalkrumningen på den måde er udelukkende, at det så heraf fremgår, at normalkrumningen ikke afhænger af parametriseringen af kurven og heller ikke afhænger af parametriseringen af fladen både κ(t), f(t), og N(t) er størrelser og vektorer, som er geometriske i den forstand at de kun afhænger af kurven og fladen og ikke af de valgte parametriseringer pånær dog modifikationen i følgende bemærkning: Bemærk, at hvis vi havde benyttet en anden parameterfremstilling for den sammme flade i rummet men med et normal-vektorfelt som er modsatrettet N, så vil κ n (t) skifte fortegn. Definitionen af κ n (t) er altså afhængig af den orientering af fladen som defineres ved normalvektorfeltet i (1.5). OPGAVE 1.16 Lad r(u,v) betegne en af parameterfremstillingerne i eksempel 1.3. Angiv en ny parameterfremstilling for den samme flade, men som har et normalvektorfelt N som er modsat-rettet det oprindelige normalvektorfelt. Beregningen af normalkrumningerne kan udføres direkte som følger: Sætning 1.17 Normal-krumningen κ n (t) af kurven γ(t) på fladen med parameterfemstillingen r kan beregnes direkte således: κ γ n(t) = κ n (t) = ( γ ) (t) γ (t) 2 N(Γ(t)), (1.11) Bevis. Vi kan antage, at kurven først buelængde-parametriseres, således at den omparametriserede kurve har parameterfrestillingen µ(s) = γ(t(s)). (Bemærk, at vi ikke behøver at finde den omparametrisering eksplicit for at kunne bruge den i beviset.) Så er κ γ n (t(s)) = κ µ n (s) = µ (s) N(Γ(t(s))), (1.12)
11 1.5. KRUMNINGEN AF KURVER PÅ FLADER I RUMMET 11 fordi µ (s) = 1, κ(s) = µ (s), og f(t(s)) = µ (s)/κ(s). Vi skal derfor blot udtrykke µ (s) ved γ (t): µ (s) = d ( ( )) d dt ds dt γ(t) ds = d dt = ( γ (t) γ (t) 1) dt ds ( γ (t) γ (t) 1 + γ (t) d dt γ (t) 1 = γ (t) γ (t) 2 + γ (t) ( ), ) γ (t) 1 (1.13) hvor ( ) betegner en eller anden funktion af t, som vi ikke behøver at udregne. Vi får nemlig af ovenstående at: κ γ n (t(s)) = µ (s) N(Γ(t(s))) = γ (t) γ (t) 2 (1.14) N(Γ(t)), og det var det, vi skulle vise. Vi vil selvfølgelig typisk benytte det simplere udtryk fra sætning 1.17, når vi i det følgende skal beregne et udtryk for normalkrumningen af en given kurve γ på en given flade med normalvektorfelt N. OPGAVE 1.18 Lad r(u,v) betegne parameterfremstillingen for en plan i rummet. Vis, at enhver kurve γ(t) i planen har κ n (t) = 0 for alle t. OPGAVE 1.19 Lad r(u,v) betegne parameterfremstillingen for en kugleflade i rummet med udadrettet normalvektorfelt og radius R. Vis, at enhver kurve γ(t) i på kuglefladen har konstant κ n (t) for alle t. Hvilken konstant er der tale om? OPGAVE 1.20 Lad r(u,v) betegne parameterfremstillingen for en cylinder i rummet med udadrettet normalvektorfelt og cirkulært tværsnit med radius R. Vis, at der findes kurver γ(t) på cylinderfladen, som har κ n (t) = 0 for alle t og beskriv disse kurver. Vis også, at der findes andre kurver på cylinderfladen som har κ n (t) = 1/R for alle t og beskriv disse kurver. Vi vil nedenfor indse følgende resultat, som ved første øjekast nok kan forekomme lidt overraskende, men som skal hjælpe os væsentligt med at definere krumningsbegreberne for flader ud fra normalkrumningsbegrebet for kurver på fladerne:
12 12 KAPITEL 1. REGULÆRE FLADER I RUMMET Sætning 1.21 Lad r(u,v) betegne en parameterfremstilling for en flade i rummet, og lad γ og η betegne to kurver på fladen, som begge går igennem et punkt p og som der har proportionale tangentvektorer. Vi kan antage, at p for begge kurver svarer til parameterværdien 0, så antagelserne om kurverne er altså: p = γ(0) = η(0) og γ (0) η (0). (1.15) Så har de to kurver præcis samme normalkrumning i punktet p: κ γ n (0) = κ η n (0), (1.16) Vi vil vise og bruge den sætning i næste kapitel. Se sætning 2.2 og sætning 2.7 nedenfor. Selvfølgelig vil vi også samtidig finde et udtryk for den fælles normalkrumning, et udtryk der altså kun indeholder oplysninger om parameterfremstilllingen r for fladen omkring punktet p samt den ekstra oplysning som derudover er nødvendig, nemlig kurvernes fælles tangentretninger, for at bestemme deres fælles normalkrumning i p. Indledningsvis vil vi først finde et udtryk for tangentvektoren (og dens længde) for én given kurve γ(t) på fladen med parameterfremstillingen r(u,v) med reference til opgave Vi har via kædereglen: γ(t) = r(γ 1 (t),γ 2 (t)), t [a,b γ (t) = Γ 1(t) r u(γ 1 (t),γ 2 (t)) + Γ 2(t) r v(γ 1 (t),γ 2 (t)) = Γ 1 r u + Γ 2 r v, og dermed: γ (t) 2 = (Γ 1 r u + Γ 2 r v) (Γ 1 r u + Γ 2 r v) = (Γ 1) 2 (r u r u) + (Γ 1 Γ 2) (r u r v) + (Γ 1 Γ 2) (r v r u) + (Γ 2) 2 (r v r v) = [ [ Γ 1 Γ r 2 u r u r u r v [ Γ r v r u r v r v 1 Γ. 2 (1.17) Den (2 2)-matrix, der optræder i ovenstående udtryk for γ (t) 2 vil vi nedenfor betegne F I og kalde den første fundamentalform-matrix for den givne parameterfremstilling: [ r F I (u,v) = u r u r u r v r v r u r v r v. (1.18) Vi kan altså allerede nu notere følgende udtryk for længden (i anden) af γ (t) som vi også skal gøre brug af nedenfor: γ (t) 2 = [ Γ 1 Γ 2 [ Γ F I (Γ(t)) 1 Γ 2. (1.19)
13 1.5. KRUMNINGEN AF KURVER PÅ FLADER I RUMMET 13 OPGAVE 1.22 Vis, at vores antagelse om regularitet, r u r v = 0 svarer præcis til, at Det(F I ) = 0. Og brug dette til at indse: Hvis urbilledet Γ(t) er en regulær kurve i U, så er γ(t) = r(γ(t)) også en regulær kurve på fladen med parameterfremstillingen r(u,v). Se opgave Da F I spiller en afgørende rolle for beregning af længder af (tangentvektorer til) kurver på flader må vi også forvente, at vi kan bruge den til beregning af vinkler mellem skærende kurver på en flade. Lad γ(t) og λ(w) betegne to kurver på fladen med parameterfremstilling r(u,v) og antag at de skærer hinanden i p = γ(0) = λ(0). Antag, at kurvernes urbilleder i U er henholdsvis Γ(t) = (Γ 1 (t),γ2(t)) og Λ(w) = (Λ 1 (w),λ 2 (w)) sådan at der ligeledes gælder i U at Γ(0) = Λ(0) = p og r(γ(0)) = r(λ(0)) = γ(0) = λ(0) = p. Så er: γ (0) λ (0) = [ Γ 1 Γ 2 [ r u r u r u r v r v r u r v r v [ Λ 1 Λ 2 = [ Γ 1 Γ 2 [ Λ F I 1 Λ 2, (1.20) hvor vi antager, at alle udtrykkene evalueres i de punkter p på fladen og p i U, der svarer til t = 0 og w = 0. OPGAVE 1.23 Benyt samme fremgangsmåde og opskrivning som i (1.17) til at indse ovenstående udtryk (1.20)for skalarproduktet mellem de to tangentvektorer til to skærende kurver på fladen. Hvordan udtrykkes herefter cos( (γ (0),λ (0))) ved hjælp af F I, Γ (0), og Λ (0)? Arealbestemmelsen af (områder på) fladen kan via [DG, definition ligeledes formuleres direkte ved F I (u,v), idet der gælder følgende omskrivning af integranden (Jacobi-funktionen) i areal-integralet: Sætning 1.24 Jacobi r (u,v) = r u(u,v) r v(u,v) = Det(F I (u,v)) (1.21) Bevis. Følgende gælder for alle vektorer a og b i rummet og derfor også for r u(u,v) og r v(u,v): ([ a a a b Det b a b b ) = (a a) (b b) (a b) 2 = a 2 b 2 cos 2 ( (a,b)) a 2 b 2 = a 2 b 2 (1 cos 2 ( (a,b))) = a 2 b 2 sin 2 ( (a,b)) = a b 2, (1.22)
14 14 KAPITEL 1. REGULÆRE FLADER I RUMMET så pengene passer! Med andre ord er matricen F I (u,v) en uundværlig hjælp til beregning af længder af kurver, vinkler mellem vektorer og arealer af områder på fladen med givne parameterfremstillinger r(u, v). Vi vil derfor allerede nu nævne nogle andre indledende observationer om F I som vil være til nytte i de næste afsnit: OPGAVE 1.25 Argumentér for, at F I (u,v) er positiv definit for alle (u,v), altså at der gælder: [ ξ η F I [ ξ η > 0 for alle (ξ, η) = (0, 0). (1.23) Vink: Da matricen F I er symmetrisk kan den diagonaliseres til en diagonalmatrix med egenværdierne λ 1 og λ 2 i diagonalen. De er begge positive fordi Det(F I ) > 0 og Spor(F I ) > 0. OPGAVE 1.26 Argumentér for, at følgende niveau-kurve E er en ellipse i (ξ,η)-planen: E = {(ξ,η) R 2 [ ξ η [ ξ F I η = 1}. (1.24) Bestem halvakserne a og b for ellipsen udtrykt ved de to egenværdier λ 1 og λ 2 for F I. Vink: Se opgave OPGAVE 1.27 Lad f (ξ,η) betegne et andengrads-polynomium i de variable ξ og η. Lad K c betegne følgende niveau-kurve for f i (ξ, η)-planen: K c = {(ξ,η) R 2 f (ξ,η) = c}. (1.25) Argumentér for, at hvis K c ikke har samme tangent som E (fra opgave 1.26), så er c ikke den største værdi, som f antager på E, og c er heller ikke den mindste værdi, som f antager på E. Konkludér heraf, at største- og mindste-værdien af f på E optræder i punkter hvor grad( f )(ξ,η) er proportional med gradienten grad(g)(ξ,η) af funktionen g(ξ,η), hvor: g(ξ,η) = [ ξ η [ ξ F I η. (1.26)
15 Kapitel 2 To fundamentale matrix-funktioner Vi definerer to (2 2)-matricer, som viser sig at være altafgørende for krumningsberegningerne den ene har vi allerede mødt ovenfor: Definition 2.1 Lad r(u,v), (u,v) U, være en regulær parameterfremstilling. Så definerer vi to (2 2)-matricer i ethvert punkt r(u,v) på fladen, dvs. for ethvert par af parameter-værdier (u,v): og F II (u,v) = [ r F I (u,v) = u r u r u r v r v r u r v r v = [ r uu N(u,v) r uv N(u,v) r vu N(u,v) r vv N(u,v) [ E(u,v) F(u,v) F(u, v) G(u, v) = [ L(u,v) M(u,v) M(u, v) N(u, v), (2.1), (2.2) hvor vi samtidig dermed har defineret 6 nye funktioner af to variable E(u,v), F(u,v), G(u,v), L(u,v), M(u,v), og N(u,v). Matrix-funktionen F I (u,v) kaldes som allerede nævnt første fundamentalformmatricen for r(u,v), og matrix-funktionen F II (u,v) kaldes anden fundamentalform-matricen for r(u,v). Bemærk, at F I (u,v) og F II (u,v) begge er symmetriske matricer det er de fordi der gælder: r u r v = r v r u og r uv = r vu. (Den sidste ligning gælder altid når blot r(u,v) er passende mange gange differentiabel.) I modsætning til F I er F[ II ikke nødvendigvis [ regulær. Vi skal nedenfor møde eksempler på flader med henholdsvis F II = og F 0 0 II =. 0 1 Vi kan nu komplettere sætning 1.21 med et konkret udtryk der direkte viser den fælles normalkrumning for kurver, der i et givet punkt har proportionale tangentvektorer:
16 16 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER Sætning 2.2 Lad r(u, v) betegne en parameterfremstilling for en flade i rummet, og lad γ(t) betegne en kurve på fladen. Antag at γ(t) har urbilledet Γ(t) i U således at γ(t) = r(γ(t)). Så er normalkrumningen κ(t) for kurven på fladen givet ved følgende udtryk, som udover fladens parameterfremstilling r(u,v) kun afhænger af tangentvektoren γ (t) repræsenteret ved tangentvektoren Γ (t) til kurvens urbillede i U: κ n (t) = = [ Γ 1 (t) Γ 2 (t) [ Γ F II (Γ(t)) 1 (t) Γ 2 (t) [ Γ 1 (t) Γ 2 (t) [ Γ F I (Γ(t)) 1 (t) Γ 2 (t) [ Γ 1 Γ 2 [ Γ 1 Γ 2 [ L M M N [ E F F G [ Γ 1 Γ 2 [ Γ 1 Γ 2. (2.3) Bevis. Vi benytter det simple udtryk for normalkrumningen, som vi fandt ovenfor i sætning 1.17: ( γ κ γ n(t) = κ n (t) = ) (t) γ (t) 2 N(Γ(t)), (2.4) og vil nu bruge matricen F II (u,v) til en omskrivning af højresiden i (2.4) igen via kædereglen. Vi har allerede fra (1.17): γ (t) = Γ 1 r u + Γ 2 r v. (2.5) En ekstra differentiation med hensyn til t giver derefter: γ (t) = Γ 1 Γ 1 r uu + Γ 1 Γ 2 r uv + Γ 2 Γ 1 r vu + Γ 2 Γ 2 r vv + ( 1 ) r u + ( 2 ) r v, (2.6) hvor ( i ) markerer udtryk, som vi ikke behøver at beregne, fordi de er faktorer på vektorerne r u og r v, der begge er ortogonale på normalvektoren N, således at de forsvinder når vi danner skalar-produkt med N: γ (t) N(t) = (Γ 1) 2 r uu N + Γ 1 Γ 2 r uv N + Γ 2 Γ 1 r vu N + (Γ 2) 2 r vv N = [ Γ 1 (t) Γ 2 (t) [ Γ F II (Γ(t)) 1 (t) Γ 2 (t), og da vi tidligere har beregnet i (1.17) og (1.19): γ (t) 2 = [ Γ 1 Γ 2 fås udtrykket (2.3) for normalkrumningen i sætningen. [ Γ F I (Γ(t)) 1 Γ 2 (2.7), (2.8)
17 17 OPGAVE 2.3 Lad r(u,v) betegne følgende parameterfremstilling for en cylinder-flade med cirkulært tværsnit og radius R: r(u,v) = (R cos(v),r sin(v),u), u R, v [ π,π. (2.9) Lad γ(t) betegne den kurve på cylinderen som har urbilledet med følgende parameterfremstilling i parameter-området U = R [ π,π: hvor a R er en fast værdi, således at Γ(t) = (a t,t), t [ π,π, (2.10) γ(t) = r(γ(t)) = r(γ 1 (t),γ 2 (t)) = (R cos(t),r sin(t),a t). (2.11) 1. Tegn kurven γ(t) på fladen r(u,v) (vælg konkrete værdier for R og a) og beskriv kurven. 2. Bestem matricerne F I (u,v) og F II (u,v) for alle parameterværdier u og v. 3. Bestem normalkrumningsfunktionen κ n (t) for γ(t) for alle værdier af t [ π,π. OPGAVE 2.4 Lad igen r(u,v) betegne cylinderen med radius R: r(u,v) = (R cos(v),r sin(v),u), u R, v [ π,π. (2.12) Lad nu γ θ (t) betegne den kurve på fladen, som har urbilledet: hvor θ betegner en vinkel i intervallet [ π,π. Γ θ (t) = (t cos(θ), t sin(θ)), t [ π,π, (2.13) 1. Tegn (et udvalg af) kurverne γ θ (t) på fladen r(u,v) (vælg en konkret værdi for R og nogle forskellige værdier for θ) og beskriv kurverne. 2. Bestem normalkrumningen κ θ n(0) for γ θ (t) i punktet γ θ (0) = r(0,0) = (R,0,0) for enhver værdi af θ [ π,π. 3. Bestem den største værdi som κ θ n(0) antager som funktion af θ. 4. Bestem den mindste værdi som κ θ n(0) antager som funktion af θ. 5. Bestem tangentvektorerne Γ θ (0) for de urbilleder, der svarer til de værdier af θ, som giver største, henholdsvis mindste, værdi af κ θ n(0). 6. Bestem tangentvektorerne γ θ (0) for de kurver på fladen, der svarer til de værdier af θ, som giver største, henholdsvis mindste, værdi af κ θ n(0).
18 18 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER OPGAVE 2.5 Lad nu r(u,v) betegne følgende parameterfremstilling for forskellige graf-flader for nogle andengradspolynomier: ( r(u,v) = u,v, 1 ( a u 2 + b v 2)), u R, v R, (2.14) 2 hvor a og b er faste reelle værdier. Lad γ θ (t) betegne den kurve på fladen, som har urbilledet: hvor θ igen betegner en vinkel i intervallet [ π,π. Γ θ (t) = (t cos(θ), t sin(θ)), t R, (2.15) 1. Tegn (et udvalg af) kurverne γ θ (t) på fladen r(u,v) (vælg konkrete værdier af a og b) og beskriv kurverne. 2. Bestem normalkrumningen κ θ n(0) for γ θ (t) i punktet γ θ (0) = r(0,0) = (0,0,0) for enhver værdi af θ [ π,π. 3. Bestem den største værdi som κ θ n(0) antager som funktion af θ (størsteværdien udtrykkes ved a og/eller b). 4. Bestem den mindste værdi som κ θ n(0) antager som funktion af θ (mindsteværdien udtrykkes ved ved a og/eller b). 5. Bestem tangentvektorerne Γ θ (0) for de urbilleder i U, der svarer til de værdier af θ, som giver største, henholdsvis mindste, værdi af κ θ n(0). 6. Bestem tangentvektorerne γ θ (0) for de kurver på fladen, der svarer til de værdier af θ, som giver største, henholdsvis mindste, værdi af κ θ n(0). 2.1 Principale krumninger og principale retninger Spørgsmålet om at bestemme maksimum og minimum for normalkrumningerne κ n for kurverne igennem et givet punkt på en given flade som i opgaverne 2.4 og 2.5 vil vi nu løse meget smartere på en anden måde, nemlig som et egenværdi-problem i lighed med de bestemmelser af maksima og minima for funktioner af to variable som er behandlet i de indledende matematikkurser. Som illustreret i opgaverne ovenfor er vi også interesserede i at bestemme de retninger (de tangentvektorer) der giver maksimale og minimale normalkrumninger. Det er naturligt at forvente, at de retninger må svare til de egenvektorer der optræder ved løsning af det nævnte egenværdiproblem. Det er præcis indholdet af sætning 2.7 nedenfor, som vi nu varmer op til:
19 2.1. PRINCIPALE KRUMNINGER OG PRINCIPALE RETNINGER Opvarmning til hovedsætning 2.7 Lad p = r(u 0,v 0 ) betegne et punkt på en flade med parameterfremstillingen r og lad F I (u 0,v 0 ) og F II (u 0,v 0 ) betegne de to tilhørede fundamentalform-matricer. Lad nu (ξ,η) betegne en vilkårlig vektor med fodpunktet p = (u 0,v 0 ) i parameter-området U for parameterfremstillingen r. Så kan vi betragte (ξ,η) som tangentvektor for en kurve Γ(t) i U som er urbilledet af en kurve γ(t) på den parametriserede flade med γ(t 0 ) = p altså (ξ,η) = (Γ 1 (0),Γ 2 (0)). Enhver kurve, hvis urbillede har en tangentvektor som er proportional med (ξ,η) har så samme normalkrumning i punktet p på fladen, nemlig: [ [ ξ ξ η F II (u 0,v 0 ) η κ n (t 0 ) = k(ξ,η) = [ [ ξ ξ η F I (u 0,v 0 ) η [ [ [ L M ξ ξ η M N η = [ [. [ E F ξ ξ η F G η (2.16) Funktionen k(ξ, η) kan altså udtrykkes som forholdet mellem to kvadratiske funktioner af ξ og η: k(ξ,η) = L ξ2 + 2 M ξ η + N η 2 E ξ F ξ η + G η 2, (2.17) hvor vi her bruger de korte betegnelser E,F,G og L,M,N for elementerne i de to symmetriske matricer F I og F II henholdsvis. Som nævnt og som det ses igen giver to proportionale tangentvektorer samme normalkrumning: k(q ξ,q η) = k(ξ,η) for alle q = 0. (2.18) Vi undersøger derfor værdierne af k(ξ,η) på den ellipse, der har ligningen: E : E ξ F ξ η + G η 2 = 1, (2.19) Det svarer altså til at finde k(ξ,η) for alle enhedsvektorer γ (t 0 ) (med fodpunkt p) for kurver på fladen, jvf. opgave Værdien af andengradspolynomiet L ξ M ξ η + N η 2 på den ellipse er dernæst størst henholdsvis mindst netop for de (ξ,η) hvor gradienterne af de to polynomier er proportionale (jvf. opgave1.27): grad(l ξ M ξ η + N η 2 ) = λ grad(e ξ F ξ η + G η 2 ), (2.20) som svarer til: 2 ξ L + 2 η M = λ (2 ξ E + 2 η F) 2 ξ M + 2 η N = λ (2 ξ F + 2 η G), (2.21)
20 20 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER eller på matrix-form: [ L λ E M λ F M λ F N λ G [ ξ η = [ 0 0 ([ L M M N [ E F λ F G ) [ ξ η = [ 0 0. (2.22) Det betyder præcis at de ekstreme værdier (maksimum og minimum) for k(ξ,η) opnås ved at bruge egenvektorer (ξ,η) hørende til egenværdiproblemet: [ ξ (F II λ F I ) η = [ 0 0. (2.23) De to egenværdier for dette egenværdiproblem kalder vi henholdsvis κ 1 og κ 2 og ordner dem således at κ 1 κ 2. Hvis vi antager, at κ 1 > κ 2 så findes der præcis to modsatrettede egenvektorer ±(ξ 1,η 1 ) hørende til κ 1 og ±(ξ 2,η 2 ) hørende til κ 2 således at alle 4 egenvektorer tilfredsstiller ligningen (2.19), dvs. således at alle disse 4 egenvektorer i U svarer til enhedsvektorer på fladen. Vi indsætter de 4 egenvektorer i (2.23) og får følgende for ±(ξ 1,η 1 ): [ ξ1 η 1 F II [ ξ1 η 1 og tilsvarende for ±(ξ 2,η 2 ): [ ξ2 η 2 F II [ ξ2 η 2 = κ 1 [ [ ξ1 ξ 1 η 1 F I η 1 = κ 2 [ [ ξ2 ξ 1 η 1 F I η 2 = κ 1, (2.24) = κ 2. (2.25) Vi har altså at k(ξ 1,η 1 ) = κ 1 og k(ξ 2,η 2 ) = κ 2 og konkluderer, at den maksimale værdi for k(ξ,η) netop er egenværdien κ 1 og den fås for vektorerne ±(ξ 1,η 1 ). Den minimale værdi for k(ξ,η) er tilsvarende egenværdien κ 2 og den værdi fås for vektorerne ±(ξ 2,η 2 ). Påstand: de to egenvektorer Γ 1 = (ξ 1,η 1 ) og Γ 2 = (ξ 2,η 2 ) i parameterområdet svarer til ortogonale enheds-tangentvektorer γ 1 og γ 2 på fladen med den givne parameterfremstilling når vi stadig antager at κ 1 = κ 2. Det kan vi indse ved at betragte skalarproduktet: κ 2 γ 1 γ 2 = [ [ ξ2 ξ 1 η 1 κ2 F I η 2 = [ [ ξ2 ξ 1 η 1 F II η 2, (2.26)
21 2.1. PRINCIPALE KRUMNINGER OG PRINCIPALE RETNINGER 21 og tilsvarende κ 1 γ 2 γ 1 = [ [ ξ1 ξ 2 η 2 κ1 F I η 1 = [ [ ξ1 ξ 2 η 2 F II η 1 Da F II er symmetrisk får vi ved subtraktion af ligning (2.27) fra ligning (2.26) at. (2.27) Det vil sige at γ 2 γ 1 = 0 når blot κ 1 κ 2 = 0: og γ 2 γ 1 = [ [ ξ1 ξ 2 η 2 F I η 1 γ 1 γ 2 = [ [ ξ2 ξ 1 η 1 F I η 2 (κ 1 κ 2 ) γ 2 γ 1 = 0. (2.28) = [ [ ξ1 ξ 2 η 2 F II η 1 = [ [ ξ2 ξ 1 η 1 F II η 2 = 0, (2.29) = 0. (2.30) Altså fås ortogonalitet mellem de to enhedsvektorer γ 1 og γ 2. Disse to vektorer udgør derfor en basis i tangentplanen til den givne flade i punktet p. Bemærk, at i ovenstående kunne vi lige så godt have valgt et andet par af egenvektorer blandt ±(ξ 1,η 1 ) og ±(ξ 2,η 2 ) således at tilsvarende valg af fortegn på γ 1 og γ 2, altså ±γ 1 og ±γ 2 også ville fremkomme som ortogonale enhedsvektorer i tangentplanen til fladen i p. Blandt de ialt 4 valgmuligheder for en basis i tangentplanen er netop to af dem orienterede sådan at deres krydsprodukt giver normalvektoren N til fladen i punktet p. Da matricen F I altid er regulær (faktisk positiv definit se opgave 1.25) overalt (på grund af antagelsen om, at den givne parameterfremstilling r(u,v) er regulær), så kan vi gange med den inverse matrix F I på begge sider af egenværdi-ligningen (2.23) og får den ækvivalente ligning: [ (F 1 ξ I F II λ E) η = [ 0 0. (2.31) Det vil sige, at med W = F 1 I F II får vi følgende ækvivalente egenværdi-problem for W på helt sædvanlig form: [ ξ (W λ E) η = [ 0 0. (2.32) Bemærk dog, at W ikke nødvendigvis er symmetrisk, men at den alligevel med garanti har de to egenværdier κ 1 og κ 2 som fundet ovenfor. Matricen W kan derfor diagonaliseres ved koordinatskift med egenvektorerne (ξ 1,η 1 ) og (ξ 2,η 2 ) til en diagonalmatrix med disse egenværdier i diagonalen.
22 22 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER Definition 2.6 Matricen W (u,v) = F 1 I (u,v) F II (u,v) kaldes Weingarten matricen for den givne parametriserede flade r(u, v), (u, v) U. Vi kan nu samle alle obeservationerne i følgende sætning: Sætning 2.7 Lad r(u, v), (u, v) U, være en parameterfremstilling for en regulær flade i rummet og lad W (u,v) betegne fladens Weingarten-matrix som en matrix-funktion af (u,v) U. Lad p = r(u 0,v 0 ) betegne et punkt på fladen svarende til punktet p = (u 0,v 0 ) i U. Matricen W (u 0,v 0 ) har to relle egenværdier κ 1 κ 2. Disse egenværdier kaldes de principale krumninger af fladen i punktet p. Hvis κ 1 > κ 2 findes der tilsvarende egenvektorer ±ê 1 = ±(ξ 1,η 1 ) hørende til egenværdien κ 1 og ±ê 2 = ±(ξ 2,η 2 ) hørende til egenværdien κ 2, som svarer til ortogonale enheds-vektorer e 1 og e 2 i tangentrummet til fladen i punktet p således: e 1 = ±(ξ 1 r u(u 0,v 0 ) + η 1 r v(u 0,v 0 )) e 2 = ±(ξ 1 r u(u 0,v 0 ) + η 2 r v(u 0,v 0 )) (2.33) med følgende egenskaber: e 1 e 1 = 1 e 2 e 2 = 1 e 1 e 2 = 0. (2.34) Hvis κ 1 = κ 2 er alle vektorer (med fodpunkt i p i U) egenvektorer for Weingarten matricen W (u 0,v 0 ) og blandt dem er det selvfølgelig igen muligt (og meget lettere) at bestemme to vektorer ê 1 = (ξ 1,η 1 ) og ê 2 = (ξ 2,η 2 ) som svarer til ortogonale enheds-vektorer e 1 og e 2 som ovenfor. De derved bestemte vektorer e 1 og e 2 kaldes principale retninger for fladen i punktet p. Bemærk, at hvis e 1 og e 2 er principale retninger, så er e 1 og e 2 også principale retninger. Hvis κ 1 = κ 2, så er alle retninger (alle enhedsvektorer) principale retninger og p kaldes i så fald et navlepunkt på fladen. De principale krumninger κ 1 og κ 2 er maksimum, henholdsvis minimum, for normalkrumningsfunktionen: [ [ [ [ ξ [ L M ξ ξ η F II (u 0,v 0 ) ξ η η M N η k(ξ,η) = [ = [ [, (2.35) [ ξ [ E F ξ ξ η F I (u 0,v 0 ) ξ η η F G η hvor (ξ,η) gennemløber alle vektorer i R 2 med fodpunkt i (u 0,v 0 ) U.
23 2.1. PRINCIPALE KRUMNINGER OG PRINCIPALE RETNINGER 23 Vi vil nu gennemgå et eksempel på bestemmelse af de ingredienser, som optræder i sætning 2.7: Eksempel 2.8 Lad r være følgende parameterfremstilling for en andengrads-flade i rummet, jvf. opgave 2.5: ( r(u,v) = u,v, 1 ( a u 2 + b v 2)), u R, v R, (2.36) 2 hvor a og b, a b, er faste reelle værdier. Vi ønsker at finde de principale krumninger og de principale retninger i punktet r(0,0) = (0,0,0) for fladen og beregner derfor følgende ingredienser til det formål: og heraf: Med de valg af fortegn får vi derefter: r u(u,v) = (1,0,a u) r v(u,v) = (0,1,b v) r u(0,0) = (1,0,0) r v(0,0) = (0,1,0) r uu(0,0) = (0,0,a) r uv(0,0) = (0,0,0) r vv(0,0) = (0,0,b) N(0,0) = (0,0,1) [ [ E F 1 0 F I (0,0) = = F G 0 1 [ [ L M a 0 F II (0,0) = = M N 0 b [ W (0,0) = F 1 a 0 I F II = 0 b κ 1 = a κ 2 = b ê 1 = (ξ 1,η 1 ) = ±(1,0) (vi vælger +(1,0)) ê 2 = (ξ 2,η 2 ) = ±(0,1) (vi vælger +(0,1)). e 1 = ξ 1 r u + η 1 r v = (1,0,0) e 2 = ξ 2 r u + η 2 r v = (0,1,0) (2.37) (2.38) (2.39) Eksempel 2.9 Lad r være samme parameterfremstilling som ovenfor i eksempel 2.8. Til sammenligning med resultaterne i det eksempel beregner vi her nogle af udtrykkene i et vilkårligt punkt r(u,v) på fladen:
24 24 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER r u(u,v) = (1,0,a u) r v(u,v) = (0,1,b v) r uu(u,v) = (0,0,a) r uv(u,v) = (0,0,0) r vv(u,v) = (0,0,b) 1 N(u,v) = ( a u, b v,1), 1 + a2 u 2 + b 2 v2 således at [ [ E F 1 + a2 u F I (u,v) = = 2 a b u v F G a b u v 1 + b 2 v 2 [ ( ) [ L M 1 a 0 F II (u,v) = = M N 1 + a2 u 2 + b 2 v 2 0 b ( ) [ W (u,v) = F 1 1 a(1 + b2 v I F II = 2 ) a b 2 u v 1 + a2 u 2 + b 2 v 2 b a 2 u v b(1 + a 2 u 2 ) a b κ 1 κ 2 = (1 + a 2 u 2 + b 2 v 2 ) 2 κ 1 + κ 2 = a + b + a2 b u 2 + b 2 a v 2 (1 + a 2 u 2 + b 2 v 2 ) 3/2. (2.40) (2.41) OPGAVE 2.10 Lad r(u, v) betegne følgende parameterfremstilling for cylinderfladen med cirkulært tværsnit med radius R, se opgave 1.20: r(u,v) = (R cos(v),r sin(v),u), u R, v [ π,π. (2.42) 1. Parameterfremstillingen giver et normalvektorfelt N via ligning (1.5). Er denne normalvektor udadrettet i forhold til cylinderfladen? 2. Bestem alle værdierne κ 1 (u,v), κ 2 (u,v), ê 1 (u,v), ê 2 (u,v), e 1 (u,v), og e 2 (u,v) for ethvert punkt (u,v) i parameterområdet således at e 1 (u,v) e 2 (u,v) = N(u,v). (Bemærk, at der er stadig to muligheder for valget af (fortegn for) de to vektorer e 1 (u,v), og e 2 (u,v).) 3. Sammenlign de fundne værdier af κ 1 (u,v) og κ 2 (u,v) med resultaterne i opgave OPGAVE 2.11 Lad r(u,v) betegne følgende parameterfremstilling for kuglefladen med radius R, se 1.19: r(u, v) = (cos(u) cos(v), cos(u) sin(v), sin(u)), u [ π/2, π/2, v [ π, π (2.43) 1. Parameterfremstillingen giver et normalvektorfelt N på fladen via ligning (1.5). Er denne normalvektor udadrettet i forhold til kuglefladen?
25 2.2. EULER S SÆTNING Bestem værdierne af κ 1 (u,v), κ 2 (u,v), og vælg ê 1 (u,v) og ê 2 (u,v) således at e 1 (u,v), og e 2 (u,v) således at e 1 (u,v) e 2 (u,v) = N(u,v). (Bemærk, at der her er uendelig mange muligheder for valget af vektorerne e 1 (u,v), og e 2 (u,v).) 3. Sammenlign de fundne værdier af κ 1 (u,v) og κ 2 (u,v) med resultaterne i opgave Eksempel 2.12 En graf-flade er givet ved en parameterfremstilling således (se også eksemplerne 2.8 og 2.9): r(u,v) = (u,v, f (u,v)), u R, v R, (2.44) Vi antager, at f er en funktion med f u(0,0) = 0 og f v(0,0) = 0, således at (0,0) er et stationært punkt for f. Så er r u(u,v) = (1,0, f u(u,v)) r v(u,v) = (0,1, f v(u,v)) r uu(u,v) = (0,0, f uu(u,v)) r uv(u,v) = (0,0, f uv(u,v)) r vv(u,v) = (0,0, f vv(u,v)) r u(0,0) r v(0,0) = ( f u(0,0), f v(0,0),1) = (0,0,1) N(0,0) = (0,0,1) [ 1 + ( f F I (0,0) = u (0,0)) 2 f u(0,0) f v(0,0) [ 1 0 f u(0,0) f v(0,0) 1 + ( f v(0,0)) 2 = 0 1 [ f F II (0,0) = uu(0,0) f uv(0, 0) f uv(0,0) f vv(0, 0) [ W (0,0) = F 1 f I (0,0)F II (0,0) = uu(0,0) f uv(0, 0) f uv(0,0) f vv(0,. 0) (2.45) 2.2 Euler s sætning En geometrisk informativ og yderst værdifuld præsentation af de principale krumninger og de principale retninger for en flade formuleres i Euler s sætning, som vi nu kan bevise: Sætning 2.13 Vælg en basis {e 1,e 2 } bestående af to principale retninger i tangentplanen til fladen i punktet p. Lad φ = φ(v) betegne vinklen mellem en vektor v og den første principale retning e 1 i punktet p på fladen, dvs. φ = (v,e 1 ). Så kan normalkrumningen af fladen i p i retningen givet ved v bestemmes således: κ n (v) = κ n (φ) = κ 1 cos 2 (φ) + κ 2 sin 2 (φ). (2.46)
26 26 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER Bevis. Vi kan uden tab af generalitet antage, at vektoren v i tangentplanen til fladen i punktet p er en enhedsvektor. Vi lader så følgende vektor betegne urbilledet af v med fodpunkt i p i U): v = (ξ,η) = cos(φ) ê 1 + sin(φ) ê 2 = cos(φ) (ξ 1,η 1 ) + sin(φ) (ξ 2,η 2 ), (2.47) hvor (ξ 1,η 1 ) og (ξ 2,η 2 ) stadig betegner de egenvektorer til W som svarer til de ortogonale enheds-tangentvektorer e 1 og e 2 til fladen i punktet p. Så svarer v til v og vinklen φ = (v,e 1 ) er som den skal være: v e 1 = ( cos(φ) [ [ [ ) ξ1 ξ 1 η 1 + sin(φ) ξ2 η 2 F I η 1 = cos(φ) 1 + sin(φ) 0 = cos(φ). (2.48) Den til v svarende normalkrumning fås således som funktion af φ: k(ξ,η) = ( cos(φ) [ ( [ [ ) ξ1 ξ 1 η 1 + sin(φ) ξ2 η 2 F II cos(φ) η 1 = κ 1 cos 2 (φ) κ 2 sin 2 (φ). [ ξ2 + sin(φ) η 2 ) (2.49) OPGAVE 2.14 Udfyld alle detaljerne i den udregning, der ligger bag ovenstående ligning (2.49). Vink: Brug (2.24) og (2.25) samt ortogonaliteten fra (2.29) og (2.30). 2.3 Gauss-krumningen og middelkrumningen Som vi har set ovenfor er de to principale krumninger nu veldefinerede funktioner κ 1 (u,v) og κ 2 (u,v) på enhver given flade de er funktioner af (u,v) U. Ud fra disse to funktioner vil vi nu definere to andre funktioner som tilsammen indeholder præcis samme information som de principale krumninger: Gauss krumningen K(u,v) og middelkrumningen H(u,v):
27 2.3. GAUSS-KRUMNINGEN OG MIDDELKRUMNINGEN 27 Definition 2.15 Lad r(u,v) betegne en parameterfremstilling for en flade og lad κ 1 (u,v) og κ 2 (u,v) være de tilhørende to principale krumningsfunktioner. Så defineres Gauss krumningen K(u,v) og middelkrumningen H(u,v) således: K(u,v) = κ 1 (u,v) κ 2 (u,v), (u,v) U H(u,v) = κ 1(u,v) + κ 2 (u,v) 2, (u,v) U. (2.50) Bemærk, at hvis vi havde valgt en parametrisering med modsatrettet normalvektorfelt i forhold til det felt N som er givet ved den givne parametrisering så ville H(u,v) skifte fortegn (fordi normalkrumningerne afhænger af retningen af N), mens K(u,v) ville være uændret! Som nævnt indeholder K og H tilsammen præcis samme information som κ 1 og κ 2 tilsammen: Sætning 2.16 Hvis vi kender K og H så fås κ 1 og κ 2 som rødderne i ligningen x H x + K = 0. (2.51) Bevis. x = 2 H ± 4 H 2 4 K 2 = 2 H ± κ κ κ 1 κ 2 4 κ 1 κ 2 2 = 2 H ± κ κ2 2 2 κ 1 κ 2 2 = 2 H ± (κ 1 κ 2 ) 2 2 = (κ 1 + κ 2 ) ± (κ 1 κ 2 ) { 2 κ1 =. κ 2 (2.52)
28 28 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER Sætning 2.17 middelkrumning: Der er følgende simple vej fra Weingarten-matricen W til Gauss-krumning og K = Det(W ) = Det(F 1 I F II ) = Det(F I ) 1 Det(F II ) H = ( ) 1 Spor(W ) = 2 ( ) 1 Spor(F 1 I F II ). 2 (2.53) Bevis. Det er et fundamentalt resultat i lineær algebra, at determinant og spor af en lineær afbildnings matrix er uafhængig af den benyttede basis. Det vil sige, at diagonalelementerne κ 1 og κ 2 i diagonaliseringen af W giver direkte Det(W ) = κ 1 κ 2 og Spor(W ) = κ 1 + κ 2 og dermed sætningen. Via de to sætninger 2.16 og 2.17 kan vi altså nu bestemme de principale krumninger ved først at finde K og H som henholdsvis determinant og halve spor af W uden egentlig at løse egenværdi-problemet Ved at benytte de individuelle elementfunktioner E, F, og G i F I og de enkelte elementfunktioner L, M, og N i F II har vi nu følgende direkte udtryk for Gauss-krumningen og middelkrumningen og dermed også de principale krumninger κ 1 og κ 2 via sætning 2.16 af en given flade i et vilkårligt punkt på fladen: Sætning 2.18 K(u,v) = L(u,v) N(u,v) M2 (u,v) E(u,v) G(u,v) F 2 (u,v) = L N M2 E G F 2, H(u,v) = L(u,v) G(u,v) 2 M(u,v) F(u,v) + N(u,v) E(u,v) 2 (E(u,v) G(u,v) F 2 (u,v)) = L G 2 M F + N E 2 (E G F 2. ) (2.54) OPGAVE 2.19 Vis, at (2.53) giver de eksplicitte formler i sætning 2.18 ud fra elementfunktionerne i F I og F II direkte fra definition 2.1.
29 2.3. GAUSS-KRUMNINGEN OG MIDDELKRUMNINGEN 29 OPGAVE 2.20 Find de to fundamentale matrix-funktioner F I (u,v) og F II (u,v) for hver enkelt af de regulære flader i eksempel 1.3, og beregn i hvert enkelt tilfælde de to funktioner K(u,v) og H(u,v). et Definition 2.21 Et punkt p = r(u 0,v 0 ) på en flade med parameterfremstilling r(u,v) kaldes Elliptisk punkt hvis K(u 0,v 0 ) > 0 Hyperbolsk punkt hvis K(u 0,v 0 ) < 0 Parabolsk punkt hvis K(u 0,v 0 ) = 0 og H(u 0,v 0 ) = 0 Planpunkt hvis K(u 0,v 0 ) = 0 og H(u 0,v 0 ) = 0 Navlepunkt hvis H 2 (u 0,v 0 ) = K(u 0,v 0 ). OPGAVE 2.22 Beskriv de enkelte betingelser for betegnelserne i definition 2.21 udelukkende ved brug af de principale krumninger κ 1 (u 0,v 0 ) og κ 2 (u 0,v 0 ). Bemærk, at ethvert planpunkt er et navlepunkt men ikke omvendt. OPGAVE 2.23 Bestem typen i henhold til definition 2.21 af ethvert punkt på enhver af fladerne i eksempel 1.3. Betegnelsen middel-krumning er allerede motiveret - i og med at H er middeltallet mellem κ 1 og κ 2. Derudover kan vi motivere betegnelsen endnu mere med følgende observation: Sætning 2.24 normalkrumningerne i punktet: Middelkrumningen H af en flade i et givet punkt er middelværdien af alle H = 1 2π κ n (φ)dφ 2π 0 = 1 π π 0 κ n (φ)dφ. (2.55)
30 30 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER Bevis. Vi ved, at og at 2π 0 2π 0 cos 2 (φ) + sin 2 (φ)dφ = 2π (2.56) cos 2 (φ)dφ = 2π 0 sin 2 (φ)dφ, (2.57) sådan at begge de sidste integraler må være π. Indsættes nu den værdi for integralerne i (2.55) (efter at integranden er udtrykt ved Eulers sætning 2.13) får vi: 1 2π κ n (φ)dφ = 1 2π κ 1 cos 2 (φ) + κ 2 sin 2 (φ)dφ 2π 0 2π 0 = 1 2π (κ 1 π + κ 2 π) = 1 2 (κ 1 + κ 2 ) = H. (2.58) Ved bestemmelse af middelkrumninger er det dog ikke nødvendigt at kende κ 1 og κ 2 : Sætning 2.25 Middelkrumningen H er den halve sum af normalkrumningerne i to vilkårlige ortogonale retninger. For enhver fast vinkel φ 0 gælder: H = 1 2 ( (κ n (φ 0 ) + κ n φ 0 + π )) 2. (2.59) Bevis. Vi ved, at ( cos 2 φ 0 + π ) = sin 2 (φ 0 ) ( 2 sin 2 φ 0 + π ) = cos 2 (φ 0 ) 2 (2.60) Indsættes nu i påstanden (2.59) får vi ved igen at bruge Eulers sætning 2.13: 1 ( (κ n (φ 0 ) + κ n φ 0 + π )) = 1 ( ( κ1 cos 2 (φ 0 ) + sin 2 (φ 0 ) ) ( + κ 2 cos 2 (φ 0 ) + sin 2 (φ 0 ) )) så pengene passer. = 1 2 (κ 1 + κ 2 ), (2.61)
31 2.4. OMDREJNINGSFLADER Omdrejningsflader Eksempel 2.26 Lad r(u,v) betegne følgende parameterfremstilling for en torus T a,b med indre radius a og ydre radius a + b, a > b > 0: r(u,v) = ((a + b cos(u)) cos(v), (a + b cos(u)) sin(v), b sin(u)), (2.62) hvor u [ π,π, v [ π,π. Torussen er et eksempel på en såkaldt omdrejningsflade se flere og mere generelle betragtninger om omdrejningsflader nedenfor og vi kan beregne krumningerne i ethvert punkt r(u,v) på T a,b således: r u(u,v) = ( b sin(u) cos(v), b sin(u) sin(v),b cos(v)) r v(u,v) = ( (a + b cos(u)) sin(v),(a + b cos(u)) cos(v),0) r uu(u,v) = ( b cos(u) cos(v), b cos(u) sin(v) b sin(u)) r uv(u,v) = (b sin(u) sin(v), b sin(u) cos(v),0) r vv(u,v) = ( (a + b cos(u)) cos(v), (a + b cos(u)) sin(v),0) N(u,v) = ( cos(u) cos(v), cos(u) sin(v), sin(u)), (2.63) sådan at vi derefter har: [ b 2 0 F I (u,v) = 0 (a + b cos(u)) 2 [ b 0 F II (u,v) = 0 (a + b cos(u)) cos(u) [ 1 W (u,v) = F 1 b 0 I (u,v) F II (u,v) = cos(u) K(u,v) = b (a + b cos(u)) H(u,v) = a + 2 b cos(u) 2 b (a + b cos(u)). 0 cos(u) a+b cos(u) (2.64) OPGAVE 2.27 I forlængelse af eksempel 2.26 betragter vi her den torus T 2,1, der har a = 2 og b = Plot den torus. 2. Bestem de elliptiske punkter på T 2,1 hvilke punkter svarer de til i parameterområdet U = [ π,π [ π,π? 3. Bestem de hyperbolske punkter på T 2,1 hvilke punkter svarer de til i parameterområdet U = [ π,π [ π,π?
32 32 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER 4. Bestem de parabolske punkter på T 2,1 hvilke punkter svarer de til i parameterområdet U = [ π,π [ π,π? 5. Findes der navlepunkter på T 2,1? OPGAVE 2.28 Igen i forlængelse af eksempel 2.26 med torussen T a,b : Lad (u 0,v 0 ) være et punkt i U, lad p = r(u 0,v 0 ), og lad γ(t) og λ(w) betegne følgende kurver igennem punktet p på T a,b : γ(t) = r(t + u 0,v 0 ), t + u 0 [ π,π λ(w) = r(u 0,w + v 0 ), w + v 0 [ π,π. (2.65) Så er γ(0) = λ(0) = p. 1. Vis, at de to (koordinat-)kurver γ(t) og λ(w) skærer hinanden ortogonalt i p. Vink: Det betyder, at [ [ FI = 0. (2.66) 1 2. Benyt sætning 2.25 til at eftervise formlen for H(u,v) i eksempel Vink: Det er ikke overraskende; de to vektorer (1, 0) og (0, 1) er i dette tilfælde ortogonale egenvektorer for W (u 0,v 0 ) for alle (u 0,v 0 ) U, således at summen af de tilhørende normalkrumninger direkte er κ 1 (u 0,v 0 + κ 2 (u 0,v 0. OPGAVE 2.29 Vi benytter igen T a,b fra eksempel 2.26 og vælger et punkt (u 0,v 0 ) U så p = r(u 0,v 0 ). Men nu lader vi γ(t) betegne følgende kurve igennem punktet p: γ(t) = r(u 0 + t, v 0 + t), (2.67) hvor vi antager, at u 0 + t [ π,π og v 0 + t [ π,π. Så er γ(0) = p. 1. Bestem en parameterfremstilling for en anden kurve λ(w), som skærer den givne kurve γ(t) ortogonalt i punktet p sådan at p = γ(0) = λ(0). 2. Bestem normalkrumningen af γ(t) i p. 3. Bestem normalkrumningen af λ(w) i p. 4. Vis, at summen af de to normalkrumninger netop er 2 H(u 0,v 0 ) hvor H er middelkrumningsfunktionen for T 2,1 som angivet i eksempel Alle torusser, kugleflader og cylinderflader er simple eksempler på omdrejningsflader:
33 2.4. OMDREJNINGSFLADER 33 Definition 2.30 En omdrejningsflade konstrueres således: Først vælges en profilkurve γ(t) som ligger helt i (x,z)-planen uden at skære z-aksen: γ(t) = (α(t), 0, β(t)), t [a,b, (2.68) hvor α(t) > 0 og β(t) betegner to differentiable funktioner af t. Den tilhørende omdrejningsflade fremkommer ved rotation af profilkurven om z-aksen og kan derfor parametriseres således: r(t,v) = (α(t) cos(v), α(t) sin(t), β(t)), t [a,b, v [ π,π. (2.69) OPGAVE 2.31 En graf-flade r(u,v) = (u,v, f (u,v)), (u,v) U, er typisk ikke en omdrejningsflade. Hvilke betingelser skal en graf-flade nødvendigvis opfylde for at være en omdrejningsflade? OPGAVE 2.32 Find en parameterfremstilling for profilkurven for en generel torus T a,b, for en kugleflade med radius R, og for en cylinderflade med cirkulært tværsnit med radius R. Sætning 2.33 En omdrejningsflade med parameterfremstillingen (2.69) har følgende krumningsfunktioner: K(t,v) = β (t) (β (t) α (t) α (t) β (t)) α(t) ( (α (t)) 2 + (β (t)) 2 ) 2 ( H(t,v) = 1 ( α (t)β (t) α (t)β (t) + β (t) α (t) 2 + β (t) 2) ) 2 (α (t) 2 + β (t) 2 ) 3/2 α(t) (α (t) 2 + β (t) 2 ) 3/2, (2.70) Bevis. Disse lidt komplicerede formler fås ved direkte beregning af F I (t,v) og F II (t,v) for omdrejningsfladen og dernæst benytte (2.18) direkte. Formlerne (2.70) simplificeres væsentligt hvis profilkurven er buelængde-parametriseret:
34 34 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER Følge-Sætning 2.34 Hvis profilkurven γ(s) = (α(s), 0, β(s)), s [c, d) er buelængdeparametriseret således at (α (s)) 2 + (β (s)) 2 = 1 for alle s, så kan Gauss-krumningen og middelkrumningen for omdrejningsfladen skrives meget simplere således: K(s,v) = α (s) α(s) H(s,v) = β (s) + α(s) (β (s) α (s) β (s) α (s)) 2 α(s). (2.71) Bevis. Fra (α (s)) 2 + (β (s)) 2 = 1 fås ved differentiation: 2 (α (s) α (s) + β (s) β (s)) = 0, (2.72) sådan at K(s,v) = β (s) (β (s) α (s) α (s) β (s)) α(s) ( (α (s)) 2 + (β (s)) 2 ) 2 = β (s) (β (s) α (s) α (s) β (s)) α(s) = β (s) β (s) α (s) α (s) β (s) β (s) α(s) = α (s) α (s) α (s) α (s) β (s) β (s) α(s) = (α (s)) 2 α (s) α (s) (β (s)) 2 α(s) = α (s) ((α (s)) 2 + (β (s)) 2) α(s) = α (s). α(s) Den simplificerede formel for H(s,v) fås tilsvarende fra (2.70) ved brug af (2.72). (2.73) 2.5 Omparametrisering Det følger af ovenstående direkte geometriske konstruktioner af H og K og κ 1 og κ 2 at de er uafhængige af den parametrisering, vi benytter til at beskrive en given flade. Hvis vi parametriserer den samme flade med en anden parametrisering, så vil krumningerne i et givet punkt på fladen have samme værdi uafhængig af parametriseringen pånær fortegnene af H, κ 1 og κ 2, som afhænger af retningen af N, som bemærket ovenfor.
35 2.5. OMPARAMETRISERING 35 Dermed er krumningerne ægte geometriske størrelser, der kun afhænger af fladens geometri. Det er helt afgørende, for det betyder, at vi selv kan vælge hvilken parametrisering og hvilket koordinatsystem vi vil bruge til at beregne krumningerne for fladen og dermed også til intuitivt at motivere at de to funktioner virkelig har noget med krumning at gøre! For mere direkte at indse, at krumningsfunktionerne er uafhængige af parametriseringen af den givne flade vil vi nu se på to forskellige parametriseringer af én og samme flade: r(u,v), hvor (u,v) U, og r(ũ,ṽ), hvor (ũ,ṽ) Ũ. Da vi antager, at r(u,v) og r(ũ,ṽ) rammer de samme punkter på fladen i rummet, så må der være en sammenhæng mellem parametrene, dvs. en afbildning fra Ũ ind i U som fortæller hvordan u afhænger af (ũ,ṽ) og hvordan v afhænger af (ũ,ṽ). Vi antager, at vi har givet eller fundet den afhængighed (ved at løse de tilsvarende ligninger) og kan derefter udtrykke sammenhængen således: r(ũ, ṽ) = r(u(ũ, ṽ), v(ũ, ṽ)). Vi kan nu beregne og sammenligne F I (ũ,ṽ) med F I (u,v), og tilsvarende F II (ũ,ṽ) med F II (u,v). For eksempel får vi ved at differentiere igennem med kædereglen: som giver: r ũ = u r u ũ + v r v ũ r ṽ = u r u ṽ + r v v ṽ ( ) u 2 Ẽ = r ũ r ũ = E + 2F ũ ( ) u ũ, ( ) v + G ũ (2.74) ( ) v 2. (2.75) ũ Tilsvarende udtryk findes for F, G, L, M, og Ñ. Ved at omskrive de fundne sammenhænge mellem udtrykkene til matrixform fås følgende (prøv det!): [ [ Ẽ F = J F G E F J, (2.76) F G hvor betyder transponering, og hvor J står for (Jacobi-)matricen med de partielle afledede af u og v som funktioner af ũ og ṽ: J = [ u ũ v ũ u ṽ v ṽ. (2.77) Præcis den samme sammenhæng (transformationsformel) gælder for den anden fundamentalformmatrix: [ [ L M = J M L M J. (2.78) Ñ M N
36 36 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRIX-FUNKTIONER Men det betyder, at vi har: F I = J F I J, F II = J F II J, (2.79) og dermed: F I 1 F II = J 1 ( F 1 I F II ) J. (2.80) OPGAVE 2.35 Hvordan indser vi (2.80) ud fra (2.79)? Eksempel 2.36 En regulær parametrisering af en flade er givet på formen: r(ũ, ṽ) = (ũ + ṽ,ũ ṽ, ũ ṽ), (ũ, ṽ) R 2. (2.81) En omparametrisering af fladen er dernæst givet ved: u = u(ũ, ṽ) = ũ + ṽ v = v(ũ, ṽ) = ũ ṽ, (2.82) således at: og dermed ũ ṽ = 1 4 ( u 2 v 2), (2.83) r(u,v) = (u, v, 1 4 ( u 2 v 2) ), (u,v) R 2. (2.84) De to forskellige parametriseringer af den samme flade i rummet er vist i figur 2.1. Jacobi-matricen for omparametriseringen er i dette eksempel J = [ u ũ v ũ u ṽ v ṽ = [ (2.85) Ved udregning af de fundamentalmatricerne får vi henholdsvis: [ 2 + ṽ 2 ũ ṽ F I (ũ,ṽ) = ũ ṽ 2 + ũ 2 [ F I (u,v) = 4 u2 1 4 u v 1 4 u v v2. (2.86) Ved dernæst at bruge (2.82) fås netop at ligningen fra (2.79) er opfyldt: F I = J F I J. (2.87)
37 Tilsvarende kan den anden ligning i (2.79) checkes i dette konkrete tilfælde: F II = J F II J. (2.88) Figur 2.1: Samme flade parametriseret på to forskellige måder, se eksempel 2.36 OPGAVE 2.37 Hvilken parametrisering er brugt i delfigur 2 fra venstre i figur 2.1? Er det r(u,v) eller r(ũ, ṽ)? Krumningerne er bevaret ved omparametrisering OPGAVE 2.38 Tag determinanten på begge sider af (2.80) og vis dermed, at Gauss-krumningen er uafhængig af parametriseringen, K(ũ,ṽ) = K(u,v). Og det var noget af det vi gerne ville vise! OPGAVE 2.39 Vis på tilsvarende måde, at H(ũ,ṽ) = H(u,v). Vink: Vis først, eller benyt, at Spor ( J 1 B J ) = Spor(B) for alle matricer B. Dermed har vi vist det ønskede, nemlig at de to funktioner K(u,v) og H(u,v) er invariante ved omparametrisering. 2.6 Lokal krumnings-analyse For en graf-flade-parametrisering er beregningerne af K(u, v) og H(u, v) særligt simple se eksempel 2.12 hvorfra vi umiddelbart kan aflæse:
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereKurver og flader i geometri, arkitektur og design 23. lektion
Kurver og flader i geometri, arkitektur og design 23. lektion Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark 9.5.2011 Normal- og hovedkrumninger i et fladepunkt Normalkrumningen k = k n
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereOPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mereMaj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her
Læs mereSymmetriske matricer. enote Skalarprodukt
enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereDanske besvarelser af udvalgte opgaver.
IMFUFA, INM Carsten Lunde Petersen Danske besvarelser af udvalgte opgaver. Introduction Forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. Opgave 7.9: Vis, at en ikke plan glat kurve α : I R 3 i rummet forløber
Læs mereGAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN
GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning
Læs mereFlade- og rum-integraler
enote 25 1 enote 25 Flade- og rum-integraler Flade og rumintegraler opstilles her på stort set samme måde som kurve- og planintegralerne i enote 22, som derved sammen med den grundlæggende generelle indførelse
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.
Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth
Læs mereMaj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016.
Mat -timersprøve den 7 maj 6 JE 6 Opgave restart; Givet funktionen f:=x-sqrt(*x-); Spørgsmål f := x/ x K Funktionen er defineret for x K R x R Dvs Dm f er intervallet [ ;N[ Spørgsmål Med udviklingspunktet
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereMinimalflader og flader med konstant middelkrumning
PROJEKTMATERIALE TIL FILMEN steen markvorsen Minimalflader og flader med konstant middelkrumning MATEMATISK FORSKNING 10 10 DANSKE MATEMATIKERE MATEMATISKE FORTÆLLINGER Film og tilhørende projektmateriale
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.
Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 13. maj 2017.
Mat. -timersprøve den. maj 7. JE.5.7 Opgave restart:with(plots): En funktion f af to reelle variable er for x, y s, givet ved f:=(x,y)-y/(x^+y^); f d x, y / y x Cy f(x,y); y x Cy Spørgsmål I x, y Kplanen
Læs mereSupplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej
Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereEksamen maj 2018, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots!
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mere