Sampling og aliasing. Datalogisk Institut Københavns Universitet. Kapitel 4 c Jens D. Andersen

Transkript

1 Sampling og aliasing (Kapitel 4) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/32

2 Sampling og aliasing Konvertering af signaler mellem analog (kontinuerttids-) og digital (diskrettids-) domænerne. Hovedformål: at forstå samplingsætningen, som siger, at hvis samplinghastigheden er højeste frekvens, der forekommer i spektret for det analoge signal, så kan det oprindelige analoge signal rekonstrueres eksakt (uden informationstab) ud fra det samplede signal. Her: vi ser bort fra kvantisering på grund af endelig ordlængde. Praktisk eksempel: musik-cd. p.2/32

3 ( ' ) Sampling er et kontinuerttidssignal ( analogt ). kontinuert variabel. MATLAB er interpolerende (numerisk), er en Mathematica symbolsk. Matematisk repræsenteres diskrettidssignaler som en indexeret talfølge: Vibruger om kontinuerttidssignaler og Diskrettidssignaler fås ved 1. sampling: om diskrettidssignaler. 2. beregning: "! #%$ & Kapitel 4 c Jens D. Andersen p.3/32

4 Sampling af sinussignaler Sampling af er den normaliserede radianfrekvens : hvor (normaliserede vinkelfrekvens), som er dimensionsløs ligesom index i. Når samples, mistes tidsinformationen: uendelig mange kontinuerttidssignaler kan afbildes over i det samme diskrettidssignal ved sampling: rad/sek og rad/sek og radian. De to samplede talfølger er ens. % giver giver radian, og p.4/32

5 Sampling af 100 Hz sinusoide, ms, p.5/32

6 Samplingsætningen (Shannon): Et kontinuerttidssignal med ingen frekvenser højere end kan rekonstrueres eksakt fra dets samples, hvis samples tages med Udtaler sig om: 1. mulighed for rekonstruktion (gendannelse) 2. mindste samplingrate (kaldet Nyquist-frekvensen). Musik-CD: 44,1 khz khz p.6/32

7 Aliasing Hvad sker der, hvis der samples for sjældent? er et heltal., hvor Nu tager vi en anden sinusoide med frekvensen (alias=dæknavn) er alias af har samme sampleværdier (kan ikke skelnes). og d.v.s. p.7/32

8 Foldning Aliasing kan også komme fra cosinussignalets negative frekvenskomponent, så frekvenserne heltal), kan give aliasede signaler: ( med sampleperioden fås: Ved sampling af p.8/32

9 Foldning i frekvensdomænet Foldning af en sinusoide samplet ved pr. sekund: samples x-aksen viser den sande frekvens og y-aksen den tilsyneladende frekvens. p.9/32

10 Spektrum-syn på sampling Signal: Matlab-filer til spektralplot. Oversampling: 100 Hz sinusoide samplet med samples pr. sek. Normaliseret frekvens p.10/32

11 Aliasing på grund af undersampling : s.p.s,, f.eks. Hz, p.11/32

12 Samme sampling-rate og frekvens p.12/32

13 Foldning p.g.a. undersampling s.p.s., p.13/32

14 Stroboskopisk demonstration Vi belyser en roterende hvid skive med en sort plet med et stroboskop (blinkende lys). Skiven roterer med 750 omdrejninger pr. minut. Ved passende valg af blinkfrekvensen ser det ud som om skiven drejer i modsat retning af dens faktiske rotation. Samme effekt kan ses i Western-film, hvor vognhjulet pludselig begynder at rotere baglæns selv om vognen kører fremad. p.14/32

15 Stroboskopisk demonstration 9 blink pr. omdrejning: Pletten flytter sig blink pr. min. grader mellem blinkene. p.15/32

16 grader p.16/32 Aliasing 806 blink pr. minut:

17 Analyse af stroboskop-eksperiment Plettens position udtrykkes som en roterende fasor: motorens rotationsfrekvens. For ingen aliasing, for aliasing. p.17/32

18 Analyse af stroboskop-eksperiment For hvilke Ønsket rotation af pletten: Følgende ligning giver : vil pletten bevæge sig 25 grader mod uret?, for findes for heltal). For ( o.s.v. p.18/32

19 Spektrumfortolkning af stroboskopdemo Den roterende skives (analoge) spektrallinie grader/min. Frekvensen af stroboskoplyset blink/min. p.19/32

20 Et diskrettidssignals spektrum 1. Gentag hver spektrallinie i det analoge spektrum ved at forskyde det med alle heltals multipla af samplingfrekvensen. 2. Reskalér frekvensaksen ved division med. Herved normaliseres det digitale spektrums frekvenser med samplingfrekvensen, så f.eks. den digitale frekvens. svarer til p.20/32

21 Konvertering diskret kontinuert signal Ideel D C konverter: Interpolér en glat kontinuerttidsfunktion ud fra output-sampleværdierne. F.eks. ud fra til p.21/32

22 Aliasfrekvenser p.g.a. sampling Ideel C-til-D omsætter: er For Aliascosinusser: Både samme samples som giver og, nemlig Denne flertydighed skyldes C-til-D samplingen, så D-til-C. omsætteren kan kun rekonstruere et output, som kun er det rigtige, hvis p.22/32

23 D C interpolation D C: interpolation med impulser:. er omsætterens impulsform: Kapitel 4 c Jens D. Andersen p.23/32

24 Nulte-ordens interpolation Interpolatorens impuls har form som en firkant: p.24/32

25 Lineær interpolation Interpolatorens impuls har form som en trekant: p.25/32

26 Parabolsk interpolation Interpolatoren benytter 4 parabolske (2. ordens polynomier) segmenter: for p.26/32

27 Oversampling Oversampling forbedrer interpolationen. Med firkantimpulser: p.27/32

28 Oversampling Oversampling forbedrer interpolationen. Med trekantimpulser: p.28/32

29 Oversampling Oversampling forbedrer interpolationen. Med parabolske impulser: p.29/32

30 Ideel interpolation Ved ideel båndbrgrænset interpolation benyttes sinc -funktionen: p.30/32

31 Samplingsætningen Et kontinuerttidssignal, som ikke har frekvenser højere end, kan gendannes eksakt ud fra dets samples, dersom samples tages med en hyppighed, som er større end : p.31/32

32 Båndbegrænsede signaler Signaler bestående af sinusoider, hvis frekvenser er begrænsede til et bånd af frekvenser kaldes båndbegrænsede signaler (engelsk: band limited signals). Sådanne signaler kan repræsenteres som Ved sampling får vi:, hvor hver enkelt og signal har formen. hvor og Til slut omsættes signalet til et kontinuert signal ved interpolation med.. p.32/32