Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Transkript

1 Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt [email protected]

2 Session 1. Sekvenser Diskrete systemer

3 Amplitude (V) Amplitude (V) Amplitude Kontinuerte vs. diskrete tidssignaler 2 Tidskontinuert signal (Analog) 2 Sampling 2 Tidsdiskret signal (Digitalt) Tid (s) Tid (s) samples (n) Analogt system A/D komverter DSP (Digital signal processer)

4 Digitale signaler hvor? og meget mere

5 Fysiologiske signaler EEG Kardiologiskesignaler

6 Typiske Digitale systemer ADC DSP DAC Analogt signal Analog til Digital konvertering Digital signal processor Digital til analog konvertering Analogt signal Eksempel EKG baseret plustæller ADC Filter DSP Puls tæller Display Puls: 61

7 Hvorfor digitalt? Fordele: Robust Præcist Uhurtig og billig udvikling Kan håndtere stor kompleksitet Fleksibelt Hukommelse Ulemper: Begrænset båndbrede Begrænsninger i realtid

8 x(t) d2 Definition og notation: Signal Signal er enhver tids varierende eller rum varierede kvantitet Tids variable: x(t) Dimension: x(d1,d2) 2 Function af dimension x(d1,d2) t d1

9 x[n] Matematisk definition og notation: Tidsdiskret signal Funktion af en diskret tids variabel Signalet repræsenteres som en sekvens af nummer x[n], - < n < Hvor n er et heltal F.eks. x[]=1, x[1]=1, x[2]= T n N.B. Ved et Digitalt signal er amplituden også diskret

10 Analog til digital konvertering

11 Analog til digital konvertering

12 Diskret tids sampling Diskrete værdier (Kvantificering) Kvantificerings fejl

13 Relation mellem tid og samples Sample periode: T (sekunder) Digitalt Analogt x[n]=x(nt), - < n < Hvor T er samplings perioden (ofte i sekunder) Alternativ opgivelse Sample hastighed: Fs=1/T (samples per sekund)

14 Se Matlab demo Eksempel på sampling

15 Signal typer Single/multi kanals signaler ECG ( 4 leads) ECG ( 4 leads) s1[ n] S[ n] s2[ n] s [ ] 3 n Samples (n) Reelle / komplekse signaler Samples (n) x[ n] Acos( n ) x[ n] cos( n ) jsin( n ) Deterministiske/ stokastiske signaler

16 Basis signaler: Unit sample og Unit step [ n], 1, n n u[ n] 1,, n n

17 x[n] Basis signaler: Exponential (real) Eksponentielle signaler A=1 og =1.1 A=1 og =.9 x[ n] n A Stigende hvis α>1 Faldende hvis α< n

18 Basis signaler: Sinus x[ n] Acos( n ) ω : vinkel hastighed (rad/sample) Φ: fase j n ) x[ n] e cos( n ) jsin( n ( )

19 Vinkel hastighed og frekvens Normaliseret frekvens Frekvens i Hz/sample hastigheden Vinkel hastighed fra frekvens f F F s 2f Eksempel: En sinus på 1 Hz i et diskret signal sample med 5 Sample/per sekund F f F s x[ n] sin(1.26 n)

20 Periodiske signaler Et signal er periodisk med N hvis x[n]=x[n+n], hvor N er et heltal Et sinus signal er periodisk hvis Acos( n ) Acos( n N ) Hvor N 2k Hvor både N og k er heltal

21 Diskrete sinus signaler For sinus signaler gælder at Acos( n ) Acos(( 2 ) n ) Højeste vinkelhastighed opnås ved ω =π eller ω =-π og det interessante frekvens interval er -π ω π Se Matlab Demo

22 The Sample Theorem Nyquist kriteriet: Sample hastigheden skal være minimum dobbelt så høj som frekvensen af den hurtigste frekvens i signalet. Fs 2F Max Hvis så kan signalet rekonstrueres og aliasing undgås

23 Aliasing F=25 Hz, Fs=1 Hz F=4 Hz, Fs=1 Hz tid (s) tid (s) F=75 Hz, Fs=1 Hz tid (s)

24 Session 1. Sekvenser Diskrete systemer

25 Tidsdiskrete systemer Defination: Transformation eller operation af et tidsdiskrete input x[n] til et tidsdiskrete output y[n] y[ n] T x n Eksempler: Filtrer Operatorer Multiplications system y[ n] a xn

26 x(n-2) x(n) Det ideelle delay system Delay y[n]=x[n-n ] 1 5 Signal hvor n er delay et er repræsenteret ved et heltal n Delayed signal n

27 Kurs Moving average system y[ n] M 1 1 M 2 1 M 2 km x 1 n k 75 7 Google aktiekurs Kurs MA Dage

28 Grafik repræsentation af tidsdiskrete systemer Addering af 2 signaler s.56

29 Grafik repræsentation af tidsdiskrete systemer Multiplikation med en konstant Multiplikation mellem signaler

30 Grafik repræsentation af tidsdiskrete Forsinkelse (Delay) systemer Tavle ex a side 57

31 x[n] y[y] Systemkarakteristika Hukommelesesløst (Statisk): Y[n] er kun afhængig af x[n] 8 Akkumulator y[ n] a xn 6 4 Hukommeles system (Dynamisk): Akkumulator y [ n] n k x n n n s.59

32 y[n] y[n] Lineært system 2 Lineæret system 25 Ikke Lineære systmer x[n] x[n] 2 log(x[n]) x[n] x[n] 2 s.62

33 Lineært system Additiv egenskab: X 1 [n] T x n] x [ n] Tx [ n] Tx [ ] 1[ n + T{ } X 2 [n] X 1 [n] T{ } + X 2 [n] T{ }

34 Lineært system Skalerings egenskab T a x n] atx [ n] a y[ ] 1[ 1 n X 1 [n] x T{ } a X 1 [n] T{ } x a

35 Lineært system Defineret ud fra superposition T a x n] b x [ n] atx [ n] btx [ ] 1[ n

36 Eksemple y[n]=x[n]^2 Test: Additiv egenskab x 1 [1]=2 og x 2 [1]=6 T T 2 x [ n] x [ n] (2 6) x [ n] Tx [ n] Tavle ex a side 63

37 Tidsinvariante systemer Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid (Koefficienterne er uafhængig af tid) Det vil sige hvis x 2 [n]=x 1 [n-k] så er y 2 [n]=y 1 [n-k] Det samme i går, i dag, i morgen og om 1 år Ikke tidsinvariant system 2 år 45 år 7 år s.59 Tavle ex a side 6

38 Kausalitet Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid. y[n 1 ] er kun afhængig af x[n] hvor nn 1 Kausalt system (Bagudrettet difference) y[ n] x[ n] x[ n 1] Ikke Kausalt system (Forudrettet difference) y[ n] x[ n] x[ n 1] s.65

39 Stabilitet Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset y [ n], for all n Givet x [ n], for all n Bounded input Bounded output (BIBO) s.66

40 Session 1. Sekvenser diskrete systemer