Energitæthed i et elektrostatisk felt

Transkript

1 Elektromagnetisme 6 ie af 5 Elektrostatisk energi Energitæthe i et ektrostatisk ft I utryk (5.0) er en ektrostatiske energi E af en laningsforing utrykt ve ennes laningstæthe ρ, σ og tilhørene ektrostatiske potential ϕ. I et flg. vil ette utryk omskrives, såan at E i steet utrykkes ve e fter E, D, som en pågælene laningstæthe giver anlening til. Betragt et lineært iektrikum me rumfang, yre overflae og ineholene et antal leere me samlet overflae. Iet et antages, at al overflaaning sier på overflaen af leerne, fås for ' nˆ ' iektrikumet ifølge utryk (4.6): ρ (inl) = D, σ' = 0, (6.) ˆn og for leerne ifølge utryk (5.3): ρ = 0, σ = D nˆ. (6.) e insættse i utryk (5.0) fås sålees: E ˆ = ϕ D + ϕ D n A (--7) = ( ) ˆ ϕ D ϕ D + D n A ϕ Div. sætn. = ϕ D nˆ' A + E D ϕ D nˆ' A + ' = ϕ Dn ˆ ' A+. E D ' (6.3) Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /0/007

2 Elektromagnetisme 6 ie af 5 Elektrostatisk energi Divergenssætningen gæler for vilkårligt rumfang me tilhørene omsluttene flae + ', så utryk (6.3) gæler sålees også, svom flyttes meget langt væk fra e betragtee laninger. Da D-ftet er proportionalt me E-ftet, som ifølge Coulombs lov aftager me over kvaratet på afstanen r til e laninger, er skaber ftet: D, r ϕ ifølge utryk (.8) aftager me over r: ϕ, r Arealet af vokser me kvaratet på afstanen r: ' r, aftager overflaeintegralet i utryk (6.3) alt i alt me over r og går erme mo nul, hvis flyttes uenigt langt væk. Den ektrostatiske energi af laningsforingen er sålees givet ve E = E D 3, (6.4) hvor E og D er fterne skabt af en pågælene laningsforing. Bemærk, at vi nu utrykker energien som værene ineholt i fterne, hvilket skal vise sig nyttigt i beskrivsen af ektromagnetiske fter. Biraget fra overflaeintegralet er herme overflyttet til rumfangsintegralet, iet øges i takt me. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /0/007

3 Elektromagnetisme 6 ie 3 af 5 Elektrostatisk energi Energitæthe: På samme måe som at laningen Q ineholt i rumfanget er givet ve Q = ρ, (6.5) kan en ektrostatiske energi ifølge utryk (6.4) beskrives vha. en ektrostatisk energitæthe e = E D. (6.6) For lineære, isotrope iektrika haves sålees ε = = D. (6.7) ε e E Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /0/007

4 Elektromagnetisme 6 ie 4 af 5 Elektrostatisk energi Kapacitorer En kapacitor er en ektrisk komponent, er har kapacitet til at opbevare ektrostatisk energi i form af ophobet laning. Plaekapacitor: Kapacitorer kan have alle mulige +Q uformninger, men en plaekapacitor består af to E parallle metalplaer, er Q tilsammen er ektrisk neutrale. Der er en positiv potentialtilvækst, kalet spæningsforsklen U, fra en negativt til en positivt laee plae: U + =Δ ϕ = ϕ ϕ = E r > 0, (6.8) + og a E-ftet er proportionalt me laningen, er U et også: C Q = CU, C = F. (6.9) Proportionalitetskonstanten C er kapacitansen af en pågælene kapacitor, iet C angiver en opbevaree laning pr. spæningsforsk. ϕ + ϕ I plaekapacitoren sier al laningen på overflaen af leere, og en ektrostatiske energi er erme givet ve utryk (5.): N E = Qjϕ j ( Q 0 Q ): = + U j= Q E QU CU C = = =. (6.0) Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /0/007

5 Elektromagnetisme 6 ie 5 af 5 Elektrostatisk energi Kapacitansen af en ie plaekapacitor: I en ie plaekapacitor er plaernes areal A så stort i forhol til eres inbyres afstan, at man me go tilnærmse kan se bort fra raneffekter og behanle E-ftet som værene homogent mlem plaerne 3 : E r = Ez. (6.) ( ) ˆ e insættse i utryk (6.8) fås U + = E r = Ezˆ zzˆ = E z : ( ) ( ) 0 0 z U ε r A = E. (6.) Iet plaerne antages askilt af et lineært, isotropt iektrikum: Q ε ε C= = D na ˆ E na ˆ EA U E = = E : E A C = ε. (6.3) å kapacitansen af en ie plaekapacitor er altså omvent proportional me plaernes inbyres afstan og (ligefrem) proportional me såv plaernes areal som permittiviteten af et mlemliggene iektrikum 4. Hvis e to plaer forbines i et kresløb, vil er kunne gå en strøm, som kan uføre et arbeje og eks. få en pære til at lyse, svarene til at er er opbevaret ektrisk energi i kapacitoren. 3 Bemærk, at ette ft svarer til tyngeftet g = g ŷ. 4 Kapacitansen er som nævnt et utryk for en opbevaree laning pr. volts spæningsforsk. Ifølge utryk (6.) er ftet større ( terrænet stejlere ), jo minre er, og jo større ft, jo mere laning for en given spæningsforsk. Jo større A, jo mere laning. Givet U og er E fastlagt, jf. utryk (6.). Jo større ε, jo større skærmning, så jo mere laning skal er til at frembringe et pågælene ft. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /0/007