Interferens og gitterformlen

Transkript

1 Interferens og gitterformlen Vi skal stuere fænomenet interferens og senere bruge enne vien til at sige noget om hva er sker, når man sener monokromatisk lys, altså lys me én bestemt bølgelænge, igennem et optisk gitter. Det vil føre os frem til en ulening af gitterformlen. 1. Interferens Man siger, at er forekommer interferens, hvis to eller flere bølger vekselvirker eller blanes, altså møes på samme ste til samme tispunkt. I ethvert punkt P kan resultatet af interferensen beregnes ve Superpositionsprincippet: Usvinget af en resulterene bølge i P fås ve at lægge usvingene af hver af e oprinelige bølger i punktet P sammen, unerforstået til samme tispunkt. Man taler om konstruktiv interferens i et punkt P til et tispunkt t, hvis usvingene af bølgerne i P til tispunktet t har samme fortegn og forstærker hinanen, hvilket resulterer i en bølge me et større usving. På tilsvarene vis taler man om estruktiv interferens i P til tispunktet t, såfremt bølgerne i P til tispunktet t har forskellige fortegn, så man opnår en bølge me et minre usving. Situationerne kan illustreres skematisk på neenståene figur, hvor også superpositionsprincippet er illustreret. Figur 1 Konstruktiv interferens Destruktiv interferens y 1 y y 2 y 2 = y 1 +y 2 = y 1 +y 2 =0 Ofte siger vi, at bølgerne er i fase eller i mofase i e to situationer me henholsvis konstruktiv og estruktiv interferens. Figur 1 viser 1-imensionale bølger. Der fines også 2-imensionale bølger. Et got eksempel er ringbølger, som man kan iagttage ve at kaste en sten u i vanet i en rolig sø. Bølgen er her en flae, og en kan afbiles i en

2 2 Erik Vestergaar treimensional figur, som vist på figur 2. Ofte vælger man og at afbile en ringbølge i en toimensional figur, som et er gjort i figur 3. Figuren viser en række koncentriske cirkler, som skal symbolisere e steer, hvor bølgen er i top. To såanne cirkler er integnet på en treimensionale figur til illustration. Det er oplagt, at afstanene mellem e koncentriske ringe er lig me bølgelængen λ. Figur 2 λ Figur 3

3 Erik Vestergaar 3 Det spænene er naturligvis at unersøge hva er sker, når to ringbølger møer hinanen, altså interfererer. På et treimensionalt øjebliksbillee kan et se u som vist på figur 4 heruner. For overblikkets skyl er et imilerti ofte hensigtsmæssigt at ty til en toimensionale figur 5. Af hensyn til e viere forklaringer har jeg på figur 5 me røe stiplee cirkler angivet e steer, hvor bølgen er i bun. Figur 4 Figur 5 R Q P C 1 C 2

4 4 Erik Vestergaar I ethvert punkt i planen kan man fine usvinget for en resulterene bølge ve brug af superpositionsprincippet, vs. man lægger usvingene af e to oprinelige bølger sammen me fortegn. På figur 5 er er konstruktiv interferens i punktet P, a begge bølger er i top her. På samme måe er er konstruktiv interferens i punktet Q, hvor begge bølger er i bun. Her giver et samlet et stort negativt usving. I punktet R erimo er er estruktiv interferens, a en bun i bølgen fra venstre bølge møer en top i bølgen fra højre. Det betyer et reuceret usving i R, faktisk et usving på 0. På figur 5 observerer vi, at forskellen i afstanene fra punktet P til bølgecentrene C 1 og 1 1 C 2, er 4λ 2λ= 2λ. For punktet Q er forskellen i afstan 2 λ 3 λ= λ, mens en for punktet R er 3 4λ= λ. Dette leer os på sporet af et kriterium for, hvornår e 2 2 to bølger forstærker eller svækker hinanen: Hvis en ene bølge har tilbagelagt en afstan, som er et helt antal bølgelænger længere en en anen bølge, så vil bølgerne være i fase i punktet. Det betyer, at bølgerne vil have samme usving i punktet, og erme vil bølgerne forstærke hinanen. Hvis en ene bølge erimo har tilbagelagt en afstan, som er et ulige antal halve bølgelænger længere en en anen bølge, så vil bølgerne være i mofase i punktet, og bølgerne vil svække hinanen. Vi kan formulere ette i neenståene boks, hvor forusætningerne også er anført. Figur 6 P 1 2 C 1 C 2 Konstruktiv og estruktiv interferens Antag givet to bølger, som har samme bølgelænge og fart, og som er sent af ste i takt fra to punkter C 1 og C 2, Da gæler: 1. Bølgerne vil forstærke hinanen i et punkt P, såfremt vejlængeforskellen = er et helt antal bølgelænger: 0 λ, ± 1 λ, ± 2 λ, ± 3 λ, Bølgerne vil svække hinanen i et punkt P, såfremt vejlængeforskellen = er et ulige antal halve bølgelænger: ± λ, ± λ, ± λ, 2 1 Disse egenskaber gæler uafhængigt af tispunktet

5 Erik Vestergaar Optisk gitter Vi skal betragte en situation, som er mere kompliceret en en, hvor er blot er tale om interferens mellem to ringbølger. Et optisk gitter eller blot gitter er en glasplae, hvori er er skåret en masse riser me meget lille afstan. Riserne fungerer som spalter, når lys rammer em. Hvis man sener en tyn laserstråle beståene af lys me kun én bølgelænge λ vinkelret in mo et optisk gitter, vil man kunne observere en række punkter på en væg anbragt et stykke bagve og parallel me gitteret. Dette er illustreret på figur 7. Uover en øverste el af figuren, som viser situationen makroskopisk, er er zoomet in på et lille områe, hvor strålen rammer gitteret. Det er nemlig nøvenigt at stuere lysets bølgenatur for at kunne forstå, hva er sker. Derfor skal vi ne på et mikroskopiske niveau. Figur 7 Makro En tyn lysstråle fra en laser rammer et optisk gitter væg P laser gitter oren Mikro Cirkelformee bølger interfererer efter passage af gitter stråle fra laser

6 6 Erik Vestergaar Vores første erkenelse er altså, at lysets partikelnatur ikke kan forklare fænomenet ertil ligger lyspletterne på skærmen alt for spret. På mikroskopisk niveau kan vi stuere lyset som bølger. Strålen kan beskrives som en plan bølge, som rammer gitteret. Ifølge Huygens Princip vil er i spalterne annes cirkulære elementarbølger, og e vil interferere på en anen sie af gitteret. Det er oplagt, at e steer, hvor er er en lysplet, interfererer ringbølgerne konstruktivt. I tilfælet me to ringbølger, fant vi på sie 4 frem til, at hvis bølgerne fra e to centre er i fase altså svinger i takt i et punkt P, så er er konstruktiv interferens i ette punkt. Og om bølgerne svinger i fase i et givet punkt P kan afgøres ve at sammenligne afstanene fra P til hvert af e to centre. Situationen er naturligvis mere kompliceret i tilfælet me et gitter, men et er e samme argumenter, som vi vil fremføre. Derfor er et hensigtsmæssigt at kigge på en lit anen figur, hvor er er tegnet linjer fra punktet P til hver eneste af e spalter, som lyset rammer. Sålees er en øverste el af figur 8 i stil me figur 6 på sie 4. Figur 8 Makro Linjerne fra e spalter, som rammes af strålen, og som har retning mo punktet P langt borte, er næsten parallelle P linjer fra spalter til P stråle gitter Mikro Stort set parallelle linjer a stor afstan til P mo P A B C n mo P mo P mo P A stråle fra laser n B n C

7 Erik Vestergaar 7 Hvis punktet P ligger meget langt fra e spalter, som rammes af lyset, sammenlignet me e inbyres afstane mellem spalterne, så er linjerne stort set parallelle. Dette vil i praksis så got som alti være tilfælet, ena ennu mere overbevisene en et er muligt at vise på figur 8. Tilbage til mikro-niveau: På figur 8 kan vi erfor me uhyre go tilnærmelse regne linjerne mo P som værene parallelle. Ifølge sie 4 vil ringbølgerne fra e to øverste spalter A og B forstærke hinanen, hvis forskellen på længerne af AP og BP er et helt antal bølgelænger. Forskellen i længe er (stort set) lig me længen af BC. Så kravet for konstruktiv interferens er altså at BC = n λ for et eller anet helt tal n. Når bølgerne fra e to øverste spalter er i fase, så vil ringbølgerne fra alle e omtalte spalter automatisk også (stort set) være i fase (Overvej hvorfor!). Vi har erme funet et kriterium for, om er er konstruktiv interferens i et punkt P eller ej. Tilbage til makro-niveauet i figur 7: På skærmen er er en række lyspletter. Den plet som ligger lige u for en ingåene stråle kales 0. orenspletten. De to punkter, som ligger nærmest 0. orenspletten, og som ligger symmetrisk omkring enne, kales spletter. Herefter kommer to symmetrisk beliggene spletter, etc. En linje fra gitteret u til en n. orens plet betegnes en n. orensstråle. Vinklen som en n. orensstråle anner me 0. orensstrålen betegnes me θ n. Trekanten i en neerste el af figur 8 giver nu en betingelse for hvilke retninger er kan forekomme pletter. De er formuleret i en såkalte gitterformel. Afstanen mellem spalterne i gitteret kales for gitterkonstanten og betegnes me bogstavet. Gitterformlen Lys me bølgelængen λ senes vinkelret in imo et gitter me gitter konstanten. Den vinkel θ n, som n. orenstrålen anner me 0. orenstrålen kan bestemmes af sin( θ ) = n n λ Bevis: En regning i en retvinklee ABC i figur 8 giver umielbart gitterformlen: moståene katete sin( θ n ) = = hypotenusen n λ Eksempel 1 Lyset fra en He-Ne laser me bølgelængen 632,8 nm senes vinkelret in mo et gitter me 600 linjer pr. millimeter. a) Bestem vinklerne for 1. og sstrålerne. b) Hva er et højeste oren, er kan forekomme? c) Bag gitteret befiner er sig en skærm. Den er parallel me gitteret og befiner sig i afstanen 1,80 m fra enne. Hvor langt fra 0. orenspletten vil spletterne og spletterne befine sig?

8 8 Erik Vestergaar Løsning: Først skal oplysningen om antallet af linjer pr. mm omregnes til en væri for gitterkonstanten. De 600 linjer pr. mm er et samme som linjer pr. m. Derme 1 6 er gitterkonstanten 1 ( m ) = 1, m. a) Gitterformlen giver e to vinkler: 9 1 n λ ,8 10 m θ 1 = sin = sin 22,3 6 = 1, m 9 1 n λ ,8 10 m θ 2 = sin = sin 49, 4 6 = 1, m b) Sinus kan kun give værier mellem 1 og 1. For at en n. orensstråle skal eksistere er et erfor en betingelse at n λ 1 n λ. I vores tilfæle betyer et at 6 9 n λ= 1, m 632,8 10 m= 2,63. Derfor fines er ikke stråler me oren større en 2 i enne situation. c) Nu hvor vi kener vinklerne for strålerne, kan simpel trigonometri benyttes til at bestemme e ønskee afstane. Afstanen fra 0. orenspletten til n. orenspletten på skærmen betegnes me n og afstanen mellem gitteret og skærmen betegnes me bogstavet a. Vi kan nu regne i en orange trekant: moståene katete 1 tan( θ 1) = = 1 = a tan( θ 1) hosliggene katete a = a tan( θ ) = 1,8 m tan(22,3 ) = 0, 74 m 1 1 På lignene vis fines afstanen u til spletten: = a tan( θ ) = 1,8 m tan(49, 4 ) = 2,10 m 2 2 Figur 9 væg laser gitter 1 1 a 0. oren

9 Erik Vestergaar 9 Anvenelser af et optisk gitter Vi har ovenfor kigget på lys me en bestemt bølgelænge, er bliver sent igennem et gitter. Hvis man i steet sener en tyn stråle me hvit lys igennem gitteret, så vil man kunne iagttage, at er annes farvemønstre på skærmen. Forklaringen er, at hvit lys er en blaning af alle regnbuens farver, og hver farve har sin bølgelænge. Bryningsvinklen afhænger nemlig af bølgelængen, ifølge gitterformlen. Figur 10 (nm) Det synlige spektrum går fra ca nm. Det skal nævnes, at grænserne her er lit flyene, a man kan iskutere hva er kan ses. Nogle angiver et synlige spektrum helt fra 390 nm til 780 nm. Figur 11 skærm Lyskile Hvit lys gitter 0. oren Det er netop gitterets evne til at splitte lys op i ets forskellige bølgelænger, er gør et anveneligt til mange formål. For eksempel anvener man (høj-ispersions) optiske gitre inenfor astronomi til at stuere spektrene fra stjernerne. Emnet er spektroskopi.

10 10 Erik Vestergaar Opgaver Opgave 1 To ens højttalere me en inbyres afstan 6 m usener en sinustone me frekvensen 440 Hz. De er justeret, så e svinger i takt fra starten. En person i punktet P går langs en linje, er forløber parallelt me linjen gennem e to højttalere, og i afstanen 7,5 m fra enne. Hvor langt skal personen gå væk fra centerlinjen i C før enne møer a) et første ste me konstruktiv interferens? b) et anet punkt me konstruktiv interferens? c) et første punkt me estruktiv interferens? ) Hvilke problemer kan er være, hvis man afprøver teorierne inenfor i et rum? Hvoran kan man afhjælpe em? P 3,0 m? 7,5 m C 3,0 m Opgave 2 Et gitter har 400 linjer pr. mm, og er senes en tyn laserstråle me bølgelængen 570 nm vinkelret in mo gitteret. a) Bestem afbøjningsvinklerne for og. b) Hva er en maksimale oren, som kan forekomme? c) En skærm stilles op 2,15 m fra gitteret og parallelt erme. Bestem afstanen fra 0. orenspletten til såvel spletten som spletten på skærmen. Opgave 3 Lys fra en laserpen me en bølgelænge på 650 nm senes vinkelret in mo et gitter. Herve afbøjes sstrålen 7,47. Bestem gitterkonstanten. Hvor mange linjer pr. mm svarer et til?

11 Erik Vestergaar 11 Opgave 4 Hvis man har et optisk gitter me kent gitterkonstant, kan man bruge gitteret til at bestemme bølgelængen af lys. Man sener blot en tyn stråle af lyset vinkelret in mo gitteret og måler, hvor meget lyset afbøjes. I et konkret eksempel senes lyset fra en laserpen vinkelret in mo et gitter me 300 linjer pr. mm, hvilket resulterer i at 2. orensstrålen afbøjes 19,34. Bestem bølgelængen af laserlyset. Opgave 5 Man er interesseret at fine bølgelængerne for et lys, som usenes fra et ulaningsrør me kviksølvsgas. En tyn stråle senes igennem et gitter me 600 linjer pr. mm. Man registrerer en stærk grøn slinje, som er blevet afbøjet 19,13. a) Bestem gitterkonstanten. b) Bestem bølgelængen af en pågælene linje i spektret fra Hg-røret. Opgave 6 En laserpen me bølgelængen 405 nm sener en tyn lilla laserstråle vinkelret in mo et gitter, hvorve er annes nogle lyspletter på en skærm anbragt parallelt me og i afstanen 1,35 m fra gitteret. spletten måles til at ligge 52,8 cm fra 0. orenspletten. Bestem gitterkonstanten.