DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner

Transkript

1 DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R cosh x = ex + e x Begge er efineree og ifferentiable overalt me sinh x = cosh x, x cosh x = sinh x x Hyperbolsk iiotformel: cosh x sinh x =. Bevis: (cosh x) (sinh x) = ex + e x ex e x = e x + + e x e x + e x 4 4 =. tanh, coth tanh, coth Tangens hyperbolsk efineres sålees for alle x R tanh x = sinh x cosh x

2 Vi har åbenbart e x e x tanh x = ex e x + e x = ex e x + = + e x Derfor gæler tanh x! for x! og tanh x! for x!. Cotangens hyperbolsk efineres sålees for x Rn f0g For graferne se Maple. coth x = cosh x sinh x Omvent funktion. Omvent funktion generelt Omvent funktion generelt Funktionen f kales enentyig (-), hvis for alle x, x : x 6= x =) f (x ) 6= f (x ) La f være enentyig. Den omvente funktion f til f er givet ve f (a) = b () f (b) = a vs. f omgør, hva f gør. La f være enentyig. Vi har for alle x: f f (x) = x og f f (x) = x. Hvis f er ifferentiabel i x 0 me f 0 (x 0 ) 6= 0, så er f y 0 = f (x 0 ) me 0 f (y0 ) = f 0 (x 0 ) ifferentiabel i Maple: arcsin, arccos og arctan, men se også neenfor.. arcsin I arcsin I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til. La os kale en Sin. Vi har altså sin x for x Sin (x) = ikke efineret for x / Sin er voksene, og erfor enentyig. Den omvente funktion kales arcussinus og betegnes me arcsin.

3 arcsin omgør, hva Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b i Definitionsmængen for arcsin er værimængen for Sin, altså [, ]. arcsin = a sin = og. arcsin 0 = 0 a sin (0) = 0 og 0. arcsin = 6 a sin 6 = og 6. arcsin sin 3 = arcsin ( ) =.3 arcsin II arcsin II sin (arcsin x) = x for alle x [, ]. arcsin (sin x) = x for alle x. arcsin er ifferentiabel i ethvert x ], [ me x arcsin x = p x Bevis. La x 0 og la f = sin i en generelle sætning om ifferentiabilitet. f 0 (x 0 ) = cos x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = sin x 0, så gæler.4 arccos I arccos I f 0 (y0 ) = = q (sin x 0 ) f 0 (x 0 ) = = cos x 0 q = q (sin x 0 ) y 0 Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0]. La os kale en Cos. Vi har altså cos x for x [0] Cos (x) = ikke efineret for x / [0] Cos er aftagene, og erfor enentyig. Den omvente funktion kales arcuscosinus og betegnes me arccos. 3

4 arccos omgør, hva Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b [0] Definitionsmængen for arccos er værimængen for Cos, altså [, ]. arccos = 0 a cos 0 = og 0 [0]. arccos 0 = a cos = 0 og [0]. arccos = 3 a cos 3 = og 3 [0]. arccos cos 3 = arccos (0) =.5 arccos II arccos II cos (arccos x) = x for alle x [, ]. arccos (cos x) = x for alle x [0]. arccos er ifferentiabel i ethvert x ], [ me x arccos x = p x Bevis. La x 0 ]0[ og la f = cos i en generelle sætning om ifferentiabilitet. f 0 (x 0 ) = sin x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = cos x 0, så gæler.6 arctan I f 0 (y0 ) = = q (cos x 0 ) f 0 (x 0 ) = = sin x 0 q = q (sin x 0 ) y 0 arctan I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til. La os kale en Tan. Vi har altså tan x for x Tan (x) = ikke efineret for x / Tan er voksene, og erfor enentyig. Den omvente funktion kales arcustangens og betegnes me arctan. arctan omgør, hva Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b h 4

5 Definitionsmængen for arctan er værimængen for Tan, altså R. arctan = 4 a tan 4 = og 4. arctan 0 = 0 a tan 0 = 0 og 0. arctan p 3 = 3 a tan p 3 = 3 og 3. arctan tan 3 4 = arctan ( ) = 4.7 arctan II arctan II tan (arctan x) = x for alle x R. arctan (tan x) = x for alle x. arctan er ifferentiabel i ethvert x R me x arctan x = + x Bevis. La x 0 og la f = tan i en generelle sætning om ifferentiabilitet. f 0 (x 0 ) = + tan x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = tan x 0, så gæler Maple. f 0 (y0 ) = f 0 (x 0 ) = + tan x 0 = + y 0 3 Integration 3. Stamfunktion Stamfunktion La f og F være efineree på intervallet I. Hvis F er ifferentiabel i I og F 0 = f, så kales F en stamfunktion for f i I. Sætning. Hvis f er kontinuert i intervallet I, så har f en stamfunktion F i I. Samtlige stamfunktioner for f er givet ve F + c, hvor c er en arbitrær konstant. Beviset forusætter, at et bestemte integral alleree er inført: La a a I være vilkårligt valgt. Så er funktionen F (x) = R x a f (t) t en stamfunktion til f. Dvs. for alle x I gæler x f (t) t = f (x) x a 5

6 Me utrykket et ubestemte integral R f (x) x betegner vi en eller anen stamfunktion til f. Maple. 3. Regneregler Regneregler Linearitet ( f (x) + g (x)) x = k f (x) x = k f (x) x + g (x) x f (x) x hvor k er en konstant Partiel (elvis) integration. Hvis F 0 = f gæler f (x) g (x) x = F (x) g (x) F (x) g 0 (x) x Integration ve substitution: f (g (x)) g 0 (x) x = f (t) t t=g(x) Man ser også skrevet en siste sålees f (g (x)) g (x) Maple. 3.3 Omvent substitution Omvent substitution Ovenfor utrykte vi nye variable t ve en gamle t = g (x). Det er ofte en go ié at gå en omvente vej. Her læses formlen blot fra højre mo venstre: f (g (x)) g 0 (x) x = f (t) t t=g(x) La os a bytte om på højre og venstre og samtiigt ombytte navnene: f (x) x = f (g (t)) g 0 (t) t g(t)=x Eller iet vi forusætter, at g har en omvent funktion: f (x) x = f (g (t)) g 0 (t) t t=g (x) Det vi gør ovenfor er altså at utrykke en gamle ve en nye: x = g (t). Maple. 6

7 3.4 Dekomposition I Dekomposition I Ethvert polynomium kan inenfor C skrives som et proukt af førstegrasfaktorer: p (z) = A (z z ) (z z ) (z z n ) Ethvert polynomium me reelle koefficienter kan skrives som et proukt af reelle første- og anengrasfaktorer: p (x) = A (x x ) (x x ) (x x r ) x + a x + b x + a s x + b s En stambrøk er en brøk af formen (x α) p eller kx + ` (x + ax + b) q hvor p, q N og, α, k, `, a, b R, og hvor x + ax + b ikke har reelle røer. Enhver ægte bruen rational funktion kan skrives som en sum af stambrøker. Detaljer følger! 3.5 Dekomposition II Dekomposition II La P(x) være en ægte bruen rational funktion me fælles faktorer i Q(x) tæller og nævner forkortet bort. α) p så ineholer stam- Hvis nævneren Q (x) ineholer faktoren (x brøksopløsningen leene x α + (x α) p (x α) p Hvis nævneren Q (x) ineholer faktoren stambrøksopløsningen leene x + ax + b q så ineholer k x + ` x + ax + b + k x + ` (x + ax + b) k q x + `q (x + ax + b) q Et bevis gives i kurset Kompleks Funktionsteori 04. Maple: convert(..., parfrac). (Partial fraction expansion). 7

8 3.6 Det bestemte integral, Definition Det bestemte integral, Definition La f være en funktion efineret på intervallet [a, b]. La a = x 0, x,..., x n = b være en ineling af [a, b]. Vælg i hvert elinterval [x i, x i ] et tal t i. Summen R = n f (t i ) (x i x i ) i= kales en Riemann-sum svarene til en givne ineling og e valgte punkter t i. f kales integrabel på [a, b], hvis er fines et tal A, så er til ethvert ε > 0, eksisterer et tal δ > 0, så er for enhver ineling og ethvert valg punkter t i me max in (x i x i ) < δ gæler A ε < R < A + ε A kales a integralet og betegnes me R b a f (x) x. Riemann-integralet er opkalt efter en tyske matematiker Bernhar Riemann, Det bestemte integral, Sætninger Det bestemte integral, Sætninger Sætning 3.4. Hvis f er kontinuert på I = [a, b], så er f integrabel på I og funktionen x F (x) = f (t) t er en stamfunktion til f. Dvs. for alle x I gæler a x f (t) t = f (x) x a Er omvent G en stamfunktion til en kontinuert funktion f på intervallet I = [a, b], så gæler b a f (x) x = G (b) G (a) 8