Koblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005

Transkript

1 Koblee svingninger Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mas Sørensen juni 2005 Institut for Fysik og Astronomi Det Naturvienskabelige Fakultet Aarhus Universitet

2 Inhol Resumé 1 Det matematiske penul 2 Ulening af ligning Approksimation Snorkoblee penuler 4 Ulening af ligninger Approksimationer Grafisk repræsentation Fjeerkoblee penuler 8 Ulening af ligninger Approksimationer Grafisk repræsentation Stangkoblee penuler 12 Ulening af algoritme i

3 Resumé Vi unersøgte fire penulsystemer, hvoraf e tre var koblee. Tre af e fire systemer unersøgte vi ve brug af Euler-Lagrangeligningen, og en siste ve kraftbetragtninger. Euler-Lagranges ligning skrives som t q i E Lag q i = 0, i [1,...,n], hvor q i er e variable for stevektoren. På enne måe, kan man reucere en lagrangeske energi, E Lag := E kin E pot, a alle le, hvori q i og q i ikke ingår, har værien nul. Ve brug af enne teori, var vi i stan til at ulee nogle koblee ifferentialligninger af anen oren, er beskriver penulernes bevægelse i ti og rum. Me hensyn til et siste system, så blev er anvent kraftbetragtninger til at ulee en fremskrivningsalgoritme, er beskriver penulernes bevægelse. Det lit specielle ve enne algoritme er, at en giver en eksakt beskrivelse af systemet. 1

4 Det matematiske penul Vi starter me at introucere en velkente teori for bevægelsen at et ganske normalt matematisk penul af typen, er er skitseret neenfor: Figur 1: Matematisk penul, er svinger i papirets plan. Om penulet antager vi, at snoren er masseløs, alle former for friktion negligeres og tyngeaccelerationen er konstant, me værien g. Vi vil her introucere en lagrangeske formulering af mekanikken, er anvenes for to af e tre følgene koblee systemer. Ulening af ligning Af Figur 1 følger et, at a er vælges et kartesisk koorinatsystem me positiv retning opa, er penulets position og hastighe samt kvaratet på ets fart givet ve r = l sinθ, l cosθ = l sinθ, cosθ, v = l cosθ θ, sinθ θ = l θ cosθ,sinθ, v 2 = v 2 = l 2 θ2 cos 2 θ + sin 2 θ = l 2 θ2, hvor θ θ t. Penulets Lagrangeenergi er så givet ve E Lag := E kin E pot = 1 2 mv2 mgh = 1 2 ml2 θ2 + mgl cosθ. 1 Som et næste, skal vi nu bruge Euler-Lagranges ifferentialligning, t q i E Lag q i = 0, i = 1,...,n, 2 er er velegnet til beskrivelse af koblee penuler, iet er kun behøves energibetragtninger. Da θ kun ingår i anet le i 1, er E Lag θ = mgl sinθ = mgl sinθ. 2

5 Viere er t E Lag θ θ = 1 2 ml2 2 θ = ml 2 θ, = ml 2 θ, hvor θ θ t. Ifølge 2, kan penulets bevægelse uner e føromtalte forusætninger nu beskrives ve følgene ligning: ml 2 θ g mgl sinθ = 0 = θ + sinθ = 0. 3 l Man observerer, at 3 er en såkalt ikke-lineær ifferentialligning af anen oren. Approksimation Det er velkent, at for små usving, er sinθ θ en go approksimation. Dette giver anlening til en såkalt linearisering af systemet, hvorve visse af e kvalitative egenskaber ve løsningskurverne bevares. Laves enne approksimation, forenkles 3 til θ + g l θ = 0, er er en ganske alminelig lineær ifferentialligning af anen oren, me en generelle løsning θt = C 1 exp g/l t + C2 exp g/l t, hvor C 1,C 2 R er konstanter, er bestemmes u fra systemets startbetingelser. 3

6 Snorkoblee penuler Ve brug af en lagrangeske formulering af mekanikken, vil vi opstille nogle ifferentialligninger, er beskriver to koblee matematiske penuler me masserne m 1 og m 2, som er fastgjort i to masseløse, stive snore me længerne l 1 og l 2. De to vinkler, som snorene anner me loret, kaler vi θ 1 henholsvis θ 2. Tyngeaccelerationen antages at være konstant me værien g, og esuen negligeres enhver form for friktion. Figur 2: Snorkoblee penuler, er svinger i papirets plan. Ulening af ligninger Ve samme fremgangsmåe som for et enkeltmatematisk penul, vil vi nu beskrive systemet, vist på Figur 2. Det øverste penul beskrives naturligvis helt på samme måe som et enkeltmatematisk penul, så v1 2 = l2 θ Nu til et neerste penul: r 2 = l 1 sinθ 1 + l 2 sinθ 2, l 1 cosθ 1 l 2 cosθ 2, v 2 = l 1 cosθ 1 θ 1 + l 2 cosθ 2 θ 2,l 1 sinθ 1 θ 1 + l 2 sinθ 2 θ 2. Vi skal så have beregnet kvaratet på farten. Da v 2 = v 2, er v2 2 = l1 2 cos 2 θ 1 θ l 1 cosθ 1 θ 1 l 2 cosθ 2 θ 2 + l2 2 cos 2 θ 2 θ l1 2 sin 2 θ 1 θ l 1 sinθ 1 θ 1 l 2 sinθ 2 θ 2 + l2 2 sin 2 θ 2 θ 2 2 = l1 2 θ 1 2 cos 2 θ 1 + sin 2 θ 1 + l2 2 θ 2 2 cos 2 θ 2 + sin 2 θ 2 + 2l 1 l 2 θ1 θ2 sinθ1 sinθ 2 + cosθ 1 cosθ 2. 4

7 Ve brug af en trigonometriske subtraktionsformel og Iiotformlen, finer man, at Systemets samlee kinetiske energi er altså cosθ 1 θ 2 = sinθ 1 sinθ 2 + cosθ 1 cosθ 2, E kin = E kin,1 + E kin,2 v 2 2 = l2 1 θ l2 2 θ l 1l 2 θ1 θ2 cosθ 1 θ 2. = 1 2 m 1v m 2v 2 2 = 1 2 m 1l 2 1 θ m 2l 2 1 θ m 2l 2 2 θ m 2l 1 l 2 θ1 θ2 cosθ 1 θ 2 = 1 2 m 1 + m 2 l 2 1 θ m 2l 2 2 θ m 2 l 1 l 2 θ1 θ2 cosθ 1 θ 2. Den samlee potentielle energi er hurtigt bestemt: E pot = E pot,1 + E pot,2 = m 1 gh 1 + m 2 gh 2 = m 1 g l 1 cosθ 1 + m 2 g l 1 cosθ 1 l 2 cosθ 2 = m 1 + m 2 gl 1 cosθ 1 m 2 gl 2 cosθ 2. Lagrangeenergien er ifølge ovenståene beregninger givet ve E Lag = 1 2 m 1 + m 2 l 2 1 θ m 2l 2 2 θ m 2l 1 l 2 θ1 θ2 cosθ 1 θ 2 + m 1 + m 2 gl 1 cosθ 1 + m 2 gl 2 cosθ 2. 4 Igen skal vi nu have opstillet Euler-Lagranges ifferentialligning, men enne gang båe for θ 1 og θ 2. Vi starter me θ 1, så iet enne variabel ingår i treje og fjere le i 4, er E Lag θ 1 = m 2 l 1 l 2 θ1 θ2 sinθ 1 θ 2 m 1 + m 2 gl 1 sinθ 1. Yerligere har vi, at θ 1 ingår i første og treje le i 4, så E Lag θ 1 = 1 2 m 1 + m 2 l θ 1 + m 2 l 1 l 2 θ2 cosθ 1 θ 2 = m 1 + m 2 l 2 1 θ 1 + m 2 l 1 l 2 θ2 cosθ 1 θ 2. Da højresien af enne ligning er en sammensat funktion, har vi me f g = f g + g f, at t θ = m 1 + m 2 l1 θ m 2 l 1 l 2 θ2 cosθ 1 θ 2 m 2 l 1 l 2 θ2 sinθ 1 θ 2 θ1 θ 2 1 = m 1 + m 2 l1 θ m 2 l 1 l 2 θ2 cosθ 1 θ 2 m 2 l 1 l 2 θ1 θ2 sinθ 1 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ2 2 sinθ 1 θ 2. 5

8 Dette giver os, at t θ 1 E Lag θ 1 = m 1 + m 2 l 2 1 θ 1 + m 2 l 1 l 2 θ2 cosθ 1 θ 2 m 2 l 1 l 2 θ1 θ2 sinθ 1 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ2 2 sinθ 1 θ 2 m 2 l 1 l 2 θ1 θ2 sinθ 1 θ 2 m 1 + m 2 gl 1 sinθ 1 = m 1 + m 2 l 2 1 θ 1 + m 2 l 1 l 2 θ2 cosθ 1 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ2 2 sinθ 1 θ 2 + m 1 + m 2 gl 1 sinθ 1. Man bemærker, at l 1 er en fælles faktor i alle leene ovenfor, så Euler-Lagrangeligningen for θ 1 bliver herme m 1 + m 2 l 1 θ1 + m 2 l 2 θ2 cosθ 1 θ 2 + m 2 l 2 θ2 2 sinθ 1 θ 2 + m 1 + m 2 g sinθ 1 = 0. 5 Nu fortsætter vi me θ 2. Eftersom θ 2 ingår i treje og femte le i 4, er E Lag θ 2 = m 2 l 1 l 2 θ1 θ2 sinθ1 θ m 2 gl 2 sinθ2 = m 2 l 1 l 2 θ1 θ2 sinθ 1 θ 2 m 2 gl 2 sinθ 2. Yerligere har vi, at θ 2 ingår i anet og treje le i 4, hvorve og erme E Lag θ 2 = 1 2 m 2l θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ1 cosθ 1 θ 2 = m 2 l 2 2 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ1 cosθ 1 θ 2, t θ 2 Nu er vi snart ve vejs ene, for t θ 2 = m 2 l 2 2 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ1 cosθ 1 θ 2 m 2 l 1 l 2 θ1 sinθ 1 θ 2 θ1 θ 2 = m 2 l 2 2 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ1 cosθ 1 θ 2 m 2 l 1 l 2 θ2 1 sinθ 1 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ1 θ2 sinθ 1 θ 2. E Lag θ 2 = m 2 l 2 2 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ1 cosθ 1 θ 2 m 2 l 1 l 2 θ2 1 sinθ 1 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ1 θ2 sinθ 1 θ 2 m 2 l 1 l 2 θ1 θ2 sinθ 1 θ 2 m 2 gl 2 sinθ 2 = m 2 l 2 2 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ1 cosθ 1 θ 2 m 2 l 1 l 2 θ2 1 sinθ 1 θ 2 + m 2 gl 2 sinθ 2. Her ingår m 2 l 2 i hvert le, så en søgte ligning for θ 2 er altså l 2 θ2 + l 1 θ1 cosθ 1 θ 2 l 1 θ2 1 sinθ 1 θ 2 + g sinθ 2 =

9 Approksimationer Antag, at penulerne kun ufører ganske små usving, altså at θ 1, så er sinθ θ og cosθ 1 og erme sinθ 1 θ 2 0 og cosθ 1 θ 2 1 goe approksimationer, hvilket tillaer os at forenkle 5 og 6 til m 1 + m 2 l 1 θ1 + m 2 l 2 θ2 + m 1 + m 2 g sinθ 1 = 0, l 2 θ2 + l 1 θ1 + gθ 2 = 0. Grafisk repræsentation De to ligninger 5 og 6 er såkalte koblee ifferentialligninger, og for at kunne få noget brugbar information u af em, skal ette ligningssystem løses me hensyn til θ 1 og θ 2, hvorefter e fremkomne løsninger skal fremskrives numerisk efter følgene formler: θ 1,i+1 = θ 1,i + θ 1,i t, θ 2,i+1 = θ 2,i + θ 2,i t, θ 1,i+1 = θ 1,i + θ 1,i t, θ 2,i+1 = θ 2,i + θ 2,i t, hvor θ 1,i og θ 2,i beregnes u fra 5 og 6, me θ 1 = θ 1,i og θ 2 = θ 2,i. Da løsningen til ligningssystemet, beståene af 5 og 6, er et stort og temmelig kompliceret utryk, følger her nu blot et par grafer for penulernes usving som funktion af tien: 1,5 1 theta_1 / ra theta_2 / ra 0, t / s -0,5-1 -1,5 Figur 3: Numerisk løsning af 5 og 6, me startbetingelserne m 1 = 85,77 g, m 2 = 99,53 g, l 1 = 48,2 cm, l 2 = 44,0 cm, θ 1 0 = 0,97 ra og θ 2 0 = 0 ra. Den røe graf er for θ 1 t og en blå er for θ 2 t. Systemet på Figur 2 synes at svinge kaotisk, eller også er perioen i hvert tilfæle ganske stor. 7

10 Fjeerkoblee penuler Ve brug af en lagrangeske formulering af mekanikken, vil vi opstille nogle ifferentialligninger, er beskriver to koblee matematiske penuler me masserne m 1 og m 2, som er fastgjort i to masseløse, stive snore me fælles længe l. Mellem penulerne er er uspænt en fjeer me fjeerkonstant k og naturlig længe, er antages at være masseløs. De to vinkler, som snorene anner me loret, kaler vi θ 1 henholsvis θ 2. Tyngeaccelerationen antages at være konstant me værien g, og esuen negligeres enhver form for friktion. Figur 4: Fjeerkoblee penuler, er svinger i papirets plan. Ulening af ligninger Fjeerens potentielle energi er givet ve 1 2 k 2, hvor er ænringen i fjeerens længe. Ve brug af Pythagoras sætning, en trigonometriske ientitet øverst sie 5 og Iiotformlen, fås + l sinθ 2 l sinθ l cosθ1 l cosθ = [ = 2 + 2l sinθ 2 sinθ 1 + l 2 sin 2 θ 2 2sinθ 1 sinθ 2 + sin 2 θ 1 + l 2 cos 2 θ 1 2cosθ 1 cosθ 2 + cos 2 θ 2 ] 1/2 2 [ = l 2 sin 2 θ 1 + cos 2 θ 1 + sin 2 θ 2 + cos 2 θ 2 2 sinθ 1 sinθ 2 + cosθ 1 cosθ 2 + 2l sinθ 2 sinθ 1 + 2] 1/2 2 = 2l 2 1 cosθ 2 θ 1 + 2l sinθ 2 sinθ

11 For at lette notationen, efinerer vi i et følgene f : R 2 R + ve fθ 1,θ 2 := 2l 2 1 cosθ 2 θ 1 + 2l sinθ 2 sinθ = 2l 2 2l 2 cosθ 2 θ 1 + 2l sinθ 2 2l sinθ Systemets samlee potentielle energi er altså givet ve E pot = E pot,1 + E pot,2 + E pot,fjeer = m 1 gh 1 + m 2 gh k 2 = m 1 gl cosθ 1 m 2 gl cosθ k fθ 1,θ 2 2. Nu til en kinetiske energi: Da fjeeren som sagt er antaget at være masseløs, er E kin,fjeer = 0. Igen kan vi nu rage nytte af e inleene beregninger for et matematiske penul, for heraf ses nemlig irekte, at Dette giver så, at E kin = E kin,1 + E kin,2 + E kin,fjeer = 1 2 m 1l 2 θ m 2l 2 θ2 2. E Lag = 1 2 m 1l 2 θ m 2l 2 θ2 2 + m 1 gl cosθ 1 + m 2 gl cosθ k fθ1,θ For at fine en afleee af 7, me hensyn til θ 1, skal vi nu bruge reglen for ifferentiation af sammensatte funktioner, er nemt giver os følgene: [ 2 ] = [ fθ1,θ 2 ] 2 fθ1,θ 2 = f θ 1,θ 2, θ 1 θ 1 fθ1,θ 2 θ 1 Viere gæler er, at [ 2 ] = [ fθ1,θ 2 ] 2 fθ1,θ 2 = f θ 1,θ 2. θ 2 θ 2 fθ1,θ 2 θ 2 f θ 1 θ 1,θ 2 = 2l 2 sinθ 2 θ 1 2l cosθ 1 = 2l l sinθ 2 θ 1 cosθ 1. Da θ 1 ingår i treje og femte le i 7, giver ovenståene beregninger os, at E Lag = m 1 gl sinθ 1 1 θ 2 k fθ1,θ 2 2l l sinθ 2 θ 1 cosθ 1 1 fθ1,θ 2 = m 1 gl sinθ 1 + kl cosθ 1 l sinθ 2 θ 1 fθ 1,θ 2. fθ1,θ 2 Hva angår θ 1, så ingår enne kun i første le i 7, hvorve man nemt ser, at t E Lag θ 1 = 1 2 m 1l 2 2 θ 1 = m 1 l 2 θ1, θ 1 = m 1 l 2 θ1. 9

12 Dette betyer, at t θ 1 E Lag = m 1 l 2 θ1 + m 1 gl sinθ 1 kl cosθ 1 l sinθ 2 θ 1 fθ1,θ 2. θ 1 fθ1,θ 2 Iet l ingår i alle le i enne ligning, bliver Euler-Lagranges ligning for θ 1 erme m 1 l θ 1 + m 1 g sinθ 1 k cosθ 1 l sinθ 2 θ 1 fθ 1,θ 2 fθ1,θ 2 = 0. 8 Vi fortsætter så me θ 2 : Eftersom får man nemt af beregningerne for θ 1, at Da θ 2 ingår i fjere og femte le i 7, er E Lag θ 2 = m 2 gl sinθ k cosθ 2 θ 1 = cosθ 2 θ 1, θ 2 θ 1 f θ 2 θ 1,θ 2 = 2l l sinθ 2 θ 1 cosθ 2. fθ1,θ 2 2l l sinθ 2 θ 1 cosθ 2 fθ1,θ 2 = m 2 gl sinθ 2 + kl l sinθ 2 θ 1 cosθ 2 fθ 1,θ 2. fθ1,θ 2 Hva angår θ 2, så ingår enne kun i anet le i 7, hvilket giver følgene: Det vil sige, at t θ 2 t E Lag θ 2 = 1 2 m 2l 2 2 θ 2 = m 2 l 2 θ2, θ 2 = m 2 l 2 θ2. E Lag = m 2 l 2 θ2 + m 2 gl sinθ 2 kl l sinθ 2 θ 1 cosθ 2 fθ1,θ 2. θ 2 fθ1,θ 2 Ligesom i en tilsvarene ligning for θ 1, så ingår l også her i hvert le, så Euler-Lagrangeligningen for θ 2 bliver erfor m 2 l θ 2 + m 2 g sinθ 2 k l sinθ 2 θ 1 cosθ 2 fθ 1,θ 2 fθ1,θ 2 = 0. 9 Man ser, at enne ligning miner meget om 8, hvilket også virker ganske fornuftigt, en store symmetri taget i betragtning. 10

13 Approksimationer Antag, at penulerne kun ufører ganske små usving, altså at θ 1, så kan vi bruge samme approksimationer som for e snorkoblee penuler, hvilket tillaer os at forenkle 8 og 9 til m 1 l θ 1 + m 1 gθ 1 + klθ 1 θ 2 = 0, m 2 l θ 2 + m 2 gθ 2 klθ 1 θ 2 = 0. Altså er et betyeligt nemmere at beskrive systemet me isse ligninger, men man skal passe, at usvingene og erme usikkerheen ikke bliver for stor, hvilket nemt kan ske. Grafisk repræsentation De to ligninger 8 og 9 er såkalte koblee ifferentialligninger, og for at kunne få noget brugbar information u af em, skal ette ligningssystem løses me hensyn til θ 1 og θ 2, hvorefter e fremkomne løsninger skal fremskrives numerisk efter følgene formler: θ 1,i+1 = θ 1,i + θ 1,i t, θ 2,i+1 = θ 2,i + θ 2,i t, θ 1,i+1 = θ 1,i + θ 1,i t, θ 2,i+1 = θ 2,i + θ 2,i t, hvor θ 1,i og θ 2,i beregnes u fra 8 og 9, me θ 1 = θ 1,i og θ 2 = θ 2,i. Da løsningen til ligningssystemet, beståene af 8 og 9, er et stort og temmelig kompliceret utryk, følger her nu blot et par grafer for penulernes usving som funktion af tien: 0,2 theta_1 / ra theta_2 / ra 0,1 t ,1-0,2 Figur 5: Numerisk løsning af 8 og 9, me startbetingelserne m 1 = 240 g, m 2 = 319 g, l = 86,0 cm, θ 1 0 = 0,22 ra og θ 2 0 = 0,16 ra. Den røe graf er for θ 1 t og en blå er for θ 2 t. Tilsynelaene svinger penulerne på Figur 4 kaotisk. 11

14 Stangkoblee penuler Dette system vil vi beskrive anerlees en e tre anre; vi vil nemlig bruge kraftbetragtning til at fine en algoritme, hvorme man kan lave rekursiv fremskrivning af systems bevægelse. La j 1, j 2, k 2 og k 1 betegne snorlængerne, og la l k være længen af stangen. Loernes masser betegnes me m 1 henholsvis m 2, og snorkræfterne betegnes T 1, T 2, E 2 og E 1, er vil have retning fra penulet og mo ophængningspunktet; e to penulloers positioner kales M 1 og M 2. Antag, at er er tale om to matematiske penuler me stive og masseløse snore, er er ophængt i punkterne P 1 og P 2, og stangen er ophængt i O, me punktet S som sammenkoblingspunkt mellem stangen og snorene me længerne j 2 og k 2. Yerligere antages et, at tyngeaccelerationen er konstant me værien g, og at systemet er friktionsløst. Bemærk, at vektor x betegner vektorens x-koorinat, og altså ikke ens x-afleee. Figur 6: Stangkoblee penuler, er svinger i y,z-planen. Ulening af algoritme I punktet S er F = 0, så S s koorinater kan fines u fra snorkræfterne T 2 og E 2. Det centrale i ette er, at et er kræfternes numeriske størrelse, er afgører positionen af punktet S u fra ets tiligere position, altså rekursivt, ve S ny = O l k T 2 + E 2 = O l k T2 M 1 S + E 2 M 2 + S. 10 Da vi ikke kan få L A TEX til at lave hatten bre nok, har vi benyttet notationen vektor for en tværvektor. Viere har vi nu for M 1, at T 1,y + T 2,y = m 1 M1,y, 11 T 1,z + T 2,z = m 1 g + m 1 M1,z

15 Ve betragtning af passene ensvinklee trekanter og fortegnsovervejelser, ses et, at følgene forkortelser vil være smarte: Ve brug af 11 og 12, fås ernæst følgene: T 1 = T 2 = E 1 = E 2 = a 1 := T 1,z T 1,y = P 1 M 1 z P 1 M 1 y, b 1 := T 2,z T 2,y = S M 1 z S M 1 y, a 2 := E 1,z E 1,y = P 2 M 2 z P 2 M 2 y, b 2 := E 2,z E 2,y = S M 2 z S M 2 y. j 1 P 1 M 1 z m1gb 1 + m 1 M1,z b 1 m 1 M1,y b 1 a 1, 13 j 2 S M 1 z m1ga 1 + m 1 M1,z a 1 m 1 M1,y a 1 b 1, 14 k 1 P 2 M 2 z m2gb 2 + m 2 M2,z b 2 m 2 M2,y b 2 a 2, 15 k 2 S M 2 z m2ga 2 + m 2 M2,z a 2 m 2 M2,y a 2 b Nu til bestemmelsen af e nye snorlænger, hvis pars sum naturligvis er konstant: j 1,ny = P 1 M 1,ny, j 2,ny = j 1 + j 2 j 1,ny, k 1,ny = P 2 M 2,ny, k 2,ny = k 1 + k 2 k 1,ny. Dette var utrykkene for S s position og e fire snorspæninger, så for valgte startbetingelser, kan man nu gå i gang me selve fremskrivningsalgoritmen, er forløber som følger: Først finer vi e nye positioner af loerne: Vi fortsætter så me loernes nye hastigheer: M 1,ny = M 1 + Ṁ1 t, M 2,ny = M 2 + Ṁ2 t. v 1,ny = Ṁ1,ny = Ṁ1 + M 1 t, v 2,ny = Ṁ2,ny = Ṁ2 + M 2 t. 13

16 Nu skal vi have bestemt accelerationerne i næste fremskrivningstrin: a 1,ny = M 1,ny = T 1,ny + T 2,ny + m 1 g m 1 = T 1,nyP 1 M 1 + T 2,ny S M 1 + 0,0, m 1 g m 1, a 2,ny = M 2,ny = E 1,ny + E 2,ny + m 2 g m 2 = E 1,nyP 2 M 2 + E 2,ny S M 2 + 0,0, m 2 g m 2. Fin som et siste S ny u fra 10, og e fire snorkræfter u fra 13 16, ve brug af e netop funne snorlænger. Herme er et vist, hvoran man beskriver systemet til tien t senere. Det er klart, at en eksakt beskrivelse fås for t 0, a tilstanene så er nøjagtigt beskrevet til enhver ti, t 0. 14