Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011

Transkript

1 Diskriminantformlen Frank Nasser 12. april 2011 c Dette okument må kun anvenes til unervisning i klasser som aonnerer på MatBog.k. Se yerligere etingelser for rug her. Bemærk: Dette er en arkiveret ugave af okumentet som muligvis ikke er en nyeste tilgængelige.

2 Inhol 1 Introuktion 1 2 Diskriminantformlen 1

3 c MatBog.k Resumé I ette okument eviser vi en såkalte iskriminantformel for løsningerne til en anengrasligning. 1 Introuktion Diskriminantformlen er en lige u af lanevejen -metoe til at løse anengrasligninger me. Den er og mest af teoretisk interesse, fori et i praksis kan være svært at huske formlen rigtigt, og fori er fines anre metoer er som er meget hurtigere til at løse konkrete anengrasligninger. Beviset kan virke temmeligt langt, men et er faktisk ret nemt at huske, fori et are hanler om at løse en generel anengrasligning på samme måe som man kan løse konkrete anengrasligninger ve først at omskrive em til simple ligninger. Den eneste forskel er at vi arejer me tre tal, a, og c som vi ikke kener, men som vi alligevel forestiller os at vi kener. Forusætninger Du ør have prøvet at ruge iskriminantformlen i praksis inen u læser ette okument. Desuen er et en forel hvis u alleree har træning i at løse anengrasligninger ve at omskrive em til simple ligninger, fori hele ieen i eviset ygger på enne metoe 1. Desuen er et vigtigt at u er fortrolig me at regne me røker, også når er ingår ukente størrelser. 2 Diskriminantformlen Vi starter me at efinere en størrelse som et hele hanler om: 1 Du kan læse eksempler på løsning af anengrasligninger ve hjælp af egge e nævnte metoer her sie 1

4 c MatBog.k Definition 1 Til en anengrasligning af formen: ax 2 + x + c = 0 hvor a, og c er reelle tal, a 0, og x er en ukent reel størrelse, knytter vi en hjælpestørrelse ve navn iskriminanten. Den er efineret ve: = 2 4ac Herefter er vi klar til at formulere iskriminantsformlen som en sætning: Sætning 1 En anengrasligning af formen: ax 2 + x + c = 0 hvor a, og c er reelle tal, a 0 og x er en ukent reel størrelse har følgene løsninger: Hvis = 2 4ac er negativ er er ingen løsninger. Hvis = 2 4ac er lig nul har en præcis en løsning givet ve: x = Hvis = 2 4ac er positiv har en præcis to løsninger givet ve: x = ± sie 2

5 c MatBog.k Bevis. Vi starter me anengrasligningen: ax 2 + x + c = 0 1) I første omgang omskriver vi en ve at iviere me a på egge sier. Bemærk at a a 0 er ette tillat, og en nye ligning har præcis e samme løsninger som en oprinelige.) x 2 + a x + c a = 0 2) Herefter laver vi færiggørelse af kvaratet. De to le: x 2 + a x er et samme som: ) 2 Sistnævnte kan nemlig omskrives ve hjælp af første kvaratsætning til: ) 2 = x = x 2 + a x Derme kan vi skrive vores ligning som: En hurtig omskrivning af ette giver: = ) 2 ) 2 x + ) 2 + c a = 0 3) ) 2 c a Me lit røkregning kan højresien omskrives til: 4) sie 3

6 c MatBog.k ) 2 c a = 2 4a c 2 a = 2 4ac 4a 2 Derme har vi omskrevet vores anengrasligning til: = 2 4ac 5) 4a 2 Så langt, så got. Det eneste vi mangler er at isolere x. Allerførst lægger vi og mærke til at vi alleree nu kan sige noget om antallet af løsninger. Størrelsen på højre sie af lighestegnet er simpelt hen: 4a 2 og eftersom 4a 2 alti vil være positivt, har vi nu følgene situationer: Hvis er negativ: I ette tilfæle står er et negativt tal på højre sie af ligning 5). Eftersom en potensopløftning i anen potens alrig kan give et negativt tal, er er i ette tilfæle ingen løsninger. Hvis = 0: I ette tilfæle står er nul på højresien af ligning 5). Altså: = 0 Det eneste tal som kan give nul ve opløftning i anen potens er nul selv, så ligningen er et samme som: x + = 0 sie 4

7 c MatBog.k vs. x = Hvis er positiv: I ette tilfæle giver ligning 5) to muligheer, nemlig at: eller: x + = 4a 2 x + = 4a 2 Me lit mere røkregning kan isse to muligheer skrives som: x + = ± Man skal lige overveje at ette også er korrekt hvis a er negativ!) Dvs. x = ± 4a = ± 2 sie 5