Bachelorprojekt. Produktionsoptimering hos BoConcept - Ved brug af forecast og lineærprogrammering

Transkript

1 Bachelorprojekt HA (alm) 6. semester Aarhus Universitet, Handelshøjskolen, Forår 2011 Produktionsoptimering hos BoConcept - Ved brug af forecast og lineærprogrammering Navn og studienummer: Mikael Kloch Sørensen ms83888 Emil Bech Jepsen ej83895 Kasper Pedersen kp83914 Institut: Erhvervsøkonomisk Vejleder: Kim Allen Andersen Afleveret: 2. Maj 2011

2 Executive summary This paper has been created as a case study regarding the furniture manufacturer BoConcept. BoConcept is a Danish furniture manufacturer that produces a broad selection of furniture for more than 200 individually run franchise based BoConcept stores and 100 BoConcept studios. They sell their products in more than 50 countries worldwide. The fact that the economic crisis has hit the world and therefore also BoConcept, has made it difficult to loan money for new investments. Furthermore the average consumer is spending less money, and increasing one s savings. This has made it harder making money for companies all over the world. Because of these reasons, many companies are looking inwards and trying to trim their production and Supply Chain. This paper will look into the case considering the production plan at BoConcept. The problems regarding production planning is to find the right predictions for what they can sell and how to optimize the production to reach the highest margin on an investment. Trying to solve these problems this paper will, based on the case description, use known forecasting methods to forecast the demand for several BoConcept products. This has been done using four different methods of forecasting. They are: Moving Average Exponential Smoothing Holt s Method Winter s Model Using these methods the most feasible forecast has been found for each of the product groups described in the case. The three groups are: Sofas Tables Garden Furniture

3 The best solutions where found using Winter s model and these forecast results where used to make a production plan for BoConcept.!"#$%&'()*+,*-./$#'!"#$%&'()'#*+,** -"#$%&'()'#*+,** *"#$%&'()'#**,*.."#$%&'()'#**,*. /01& 2+"3++"+++ 4+"*++"+++ 4."4++"+++ *+4"5++"+++ 6&78)!5".++"+++!2"4++"+++ -.".++"+++ -4"-++"+++ 9&':);#<%';=(%') -"-++"+++!5".++"+++ ->"*++"+++.*"5++"+++ The production plans where made using Linear Programming to optimize the margin. Linear Programming is a mathematical method used to determining the optimum levels for an output. In this case the output is the margin witch BoConcept optimally can reach. The highest profit is reached within the situation constraints described in the case. Examples of these constraints are: production capacity, constraints in demand and constraints regarding labour. The product groups where split into smaller groups before optimizing the production. This was done to get a clearer picture of witch products where to be produced to reach the highest profit. Using the Excel function solver in the optimizing models the optimal profit is found for each of the four quarters forecasted.!"#$%$&'()*+,-$.!"#$%&'()'#*+,** -../0!*0 0"#$%&'()'#*+,**!10.!02/ *"#$&%'()'#**,*-!/!-.!*3 -"#$&%'()'#**,*-!!0/+--3 The results will be the maximum profit BoConcept will be able to reach for these three product groups. And this can be reached by producing the right amount of each product. This amount will be clearly dictated by the Linear Programming models in this paper. It can be concluded that it is important for any production company to be aware of their production and Supply Chain. And especially in a time of crisis it is important to slim down production to make the highest profit margin without taking any unnecessary risks.

4 Tabelliste Tabel 1. De samlede salgstal for BoConcept, som der i afhandlingen skal tages udgangspunkt i. S. 5 Tabel 2. Tidspunkterne for de fire kvartaler på baggrund af regnskaber fra BoConcept. S. 6 Tabel 3. Tabel 3. De procentuelle salgstal for sofaer set i forhold til BoConcept samlede salgstal. S. 7 Tabel 4. Fordelingerne af salget på undergrupper for sofaer. S. 7 Tabel 5. De procentuelle salgstal for borde set i forhold til BoConcept samlede salgstal. S. 8 Tabel 6. Fordelingerne af salget på undergrupper for borde. S. 9 Tabel 7. De procentuelle salgstal for havemøbler set i forhold til BoConcept samlede salgstal. S. 10 Tabel 8. Fordelingerne af salget på undergrupper for borde. S. 10 Tabel 9. Sammenligningsparametrene for de fire modeller for sofaer. S. 45 Tabel 10. Sammenligningsparametrene for de fire modeller for borde. Tabel 11. Sammenligningsparametrene for de fire modeller for havemøbler. Tabel 12. De forecastede salgstal for hver af de tre produktgrupper i fire perioder frem. Tabel 13. Grundsalgspriser og grundmaterialeomkostninger for sofaer. Tabel 14. Materialeomkostninger og salgspriser på ben og betræk for sofaer. Tabel 15. Forbrug af materialer til hver af de 13 sofatyper. Tabel 16. Grundsalgspriser og grundmaterialeomkostninger for produktgruppen borde. Tabel 17. Ekstraomkostninger tilknyttet produktgruppen borde. Tabel 18. Lønomkostninger for plader og ben for produktgruppen borde. Tabel 19. Grundsalgspriser for de 16 kombinationer af bord og materiale for havemøbler. Tabel 20. Grundmaterialeomkostninger for de 16 kombinationer af bord og materiale for havemøbler. Tabel 21. Materialeomkostninger og salgspriser tilknyttet grundpriser for havemøbler. Tabel 22. Lønomkostninger tilknyttet tilvalgene for havemøbler. Tabel 23. Det forecastede salg i der skal benyttes til den lineære programmering. Tabel 24. Andel udgjort i procent og antal af hver undergruppe af det samlede salg af sofaer. Tabel 25. Andel udgjort i procent og antal af hver undergruppe af det samlede salg af borde. S. 47 S. 48 S. 49 S. 58 S. 58 S. 59 S. 62 S. 63 S. 63 S. 66 S. 66 S. 66 S. 67 S. 75 S. 76 S. 77

5 Tabel 26. Andel udgjort i procent og antal af hver undergruppe af det samlede salg af borde. Tabel 27. Parametre til udregning af produktionsbegrænsning. Tabel 28. Timeforbrug tilknyttet produktgruppen borde. Tabel 29. Samtlige minimumsbegrænsninger for produktgruppen sofaer. Tabel 30. Samtlige minimumsbegrænsninger for produktgruppen borde. Tabel 31. Samtlige minimumsbegrænsninger for produktgruppen havemøbler. S. 86 Tabel 32. Det optimale dækningsbidrag for BoConcept i de fire perioder. Tabel 33. De realiserede kapaciteter for de fire kvartaler efter produktion er forskudt. S. 77 S. 80 S. 82 S. 85 S. 86 S. 93 S. 94 Figurliste Figur 1. Guide til valg af forecast metoder S. 15 Figur 2. Simple Moving Average for sofaer sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. S. 21 Figur 3. Simple Moving Average for borde sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. S. 23 Figur 4. Simple Moving Average for have møbler sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. S. 24 Figur 5. Exponentiel Smoothing for sofaer sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. S. 27 Figur 6. Exponentiel Smoothing for borde sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. S. 28 Figur 7. Exponentiel Smoothing for havemøbler sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. S. 29 Figur 8. MSE- værdier for benyttede Beta ved Holt s Metode for sofaer. S. 32 Figur 9. Holt s Metode for sofaer sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. S. 32 Figur 10. MSE- værdier for benyttede Beta ved Holt s Metode for borde. S. 33 Figur 11. Holt s Metode for borde sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. S. 34 Figur 12. MSE- værdier for benyttede Beta ved Holt s Metode for havemøbler. S. 34

6 Figur 13. Holt s Metode for havemøbler sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. S. 15 Figur 14. MSE- værdier for benyttede Beta og gamma ved Winters Model for sofaer. Figur 15. Winters Model for sofaer sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Figur 16. MSE- værdier for benyttede Beta og gamma ved Winters Model for borde. Figur 17. Winters Model for borde sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Figur 18. MSE- værdier for benyttede Beta og Gamma ved Winters Model for Havemøbler. Figur 19. Winter s Model for havemøbler sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Figur 20. Sammenligning af de fire modeller og de realiserede salgstal for sofaer. Figur 21. Sammenligning af fire modeller og de realiserede salgstal for borde. Figur 22. Sammenligning af de fire modeller og de realiserede salgstal for havemøbler. Figur 23. Sammenligning af de forecastede tal for produktgrupperne, med salgstal for 4 perioder tilbage. S. 39 S. 40 S. 41 S. 41 S. 42 S. 43 S. 45 S. 46 S. 47 S. 50

7 Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Problemformulering... 2 Afgrænsning... 2 Metode... 3 Casebeskrivelse... 4 Forecasting... 4 Produktgrupperne... 6 Sofa... 6 Borde... 8 Havemøbler... 9 Optimering Forecasting Introduktion til forecasting De fire love om forecasting Valg af forecastmetode Simple Moving Average Simple Moving Average i praksis Exponential Smoothing Exponential Smoothing i praksis Holt s Metode Holt s Metode i praksis Winters Model Winthers Model i praksis Sammenligning af resultater fra de fire modeller Konklusion på forecast Kritik af resultaterne fra modellerne Modelkritik Moving Average Exponentiel Smoothing Holt s Metode Winter s Model Produktionsplanlægning Introduktion til optimering Valg af optimeringsmodel Opstilling af model Lineær programmering Beslutningsvariable Beslutningsvariable for Sofa Dækningsbidrag for Sofa Beslutningsvariable for Borde Dækningsbidrag for borde Beslutningsvariable for havemøbler Dækningsbidrag for havemøbler Omregning af variable Objektfunktion... 71

8 Begrænsningerne Efterspørgselsbegrænsninger Produktionsbegrænsninger Lager Timebegrænsningen Minimumsbegrænsningerne Heltalsbegrænsninger De Non- negative begrænsninger Metodevalg Eksempel på Lineær programmering ved brug af Simplexmetoden Konklusion på den lineære programmering Problemstillinger tilknyttet den lineære programmering Konklusion Litteraturliste Bilagsoversigt

9 Indledning Det er velkendt, at der i flere år har været krise på verdensmarkedet, hvilket på ingen måde har gjort det lettere at drive en virksomhed. Forbrugerne sparer mere, og långiverne holder bedre fast på deres penge i frygt for tab. Nye investeringer og forhøjelse af priser har derfor ikke været let for virksomheder, som ønsker at øge profitten i dette trængte marked. Mange virksomheder har derfor valgt at kigge indad og se på, hvorledes deres interne processer fungerer, og optimere disse, for på den måde at øge omsætningen. Denne afhandling tager udgangspunkt i møbelproducenten BoConcept, der blev grundlagt i 1952 og i dag producerer og leverer møbler til mere end 240 individuelle BoConcept franchisebaserede BoConcept Brand Stores og 100 BoConcept Studios i 50 lande verden over. 1 BoConcept oplevede i starten af det nye årtusinde en stigning i omsætningen og dermed en forøgelse af årsresultatet. Finanskrisen er dog brudt ud, og salget er siden starten af 2008 først faldet og siden stagneret. Det har fået BoConcept, der i stor grad værner om deres infrastruktur og Supply Chain, til at kigge indad i et forsøg på at vende udviklingen ved at optimere deres produktion og dermed få det største afkast på deres investering. En optimering af produktionen vil ikke øge virksomhedens salgstal, men vil øge dækningsbidraget for BoConcept, således at produktionen optimeres og giver det største udbytte. Forecasts af salgstallene 2 vil i denne case blive brugt af BoConcept til at komme med en forudsigelse af, hvor stor en efterspørgsel, der vil være i fremtidige perioder. Det vil give virksomheden mulighed for at planlægge produktionen af deres møbler i fremtidige perioder og dermed være forberedt på den efterspørgsel, der måtte komme fra forbrugerne Kvartalsvise salgstal for BoConcept bliver gennemgået i casebeskrivelsen Side 1 af 99

10 Problemformulering Formålet med denne afhandling er at optimere dækningsbidraget for virksomheden BoConcept uden at det kræver nye investeringer fra virksomhedens side, samtidig med at virksomheden stadig imødekommer den efterspørgsel, der er hos forbrugerne. Afhandlingen vil ud fra sit formål behandle følgende underspørgsmål: Hvorledes kan forecastingmodeller, baseret på historiske data, hjælpe BoConcept til at forudsige den kvartalvise efterspørgsel og dermed imødekomme den givne efterspørgsel og bevare det højest mulige dækningsbidrag? Hvorledes kan BoConcept benytte sig af optimeringsværktøjer til at opnå det højest mulige dækningsbidrag på baggrund af de forecastede salgstal? Baggrunden for at gennemføre denne afhandling ligger i ønsket om at få et indblik i efterspørgslen for fremtidige perioder for BoConcept. Ønsket bunder i at BoConcept har begrænsede ressourcer, både hvad angår produktionsmaskiner og elementer til brug i produktionen. Derfor ønskes det at få udnyttet disse ressourcer bedst muligt og på den måde opnå det højeste afkast for virksomheden. Dette søges gjort, ved hjælp af en optimeringsmodel. Afgrænsning BoConcept producerer en lang række produktgrupper, men denne afhandling behandler kun tre af disse. Det drejer sig om sofaer, borde og havemøbler. Der vil i afhandlingen ikke blive behandlet overarbejde. Der vil blive arbejdet ud fra det perspektiv, at hele produktionen skal kunne gennemføres inden for normal arbejdstid, ligegyldig hvilken vare, der produceres. Når der i denne afhandling behandles optimering af interne parametre, er der tale om optimering af den egentlige produktion og ikke den øvrige Supply Chain. Side 2 af 99

11 Der er i denne afhandling set bort fra eventuelle lageromkostninger, som BoConcept måtte have. Dette indebærer, at en afsætning, lavere end produktionen i en periode, vil medføre en øget kapacitet i den efterfølgende periode. Det var ikke muligt at køre De to lineære programmeringsmodeller for perioderne 1. Kvartal 11/12 og 2. Kvartal 11/12 helt igennem. De er sat med et maksimum på Sub- problems og kørt derefter. Der antages i denne afhandling at der ikke eksisterer noget lager hos BoConcept inden perioden: 3. Kvartal 10/11 Det antages i denne afhandling at der ikke et sikkerhedslager hos BoConcept. Metode Afhandlingen er opdelt i tre dele. Der indledes med en kort casebeskrivelse, som vil være en introduktion til virksomheden og en opstilling af de præmisser, afhandlingen bliver udført på. Denne del indeholder også en definition af de tre produktgrupper, der bliver behandlet i afhandlingen samt undergrupper i produktionen. Efterfølgende vil der, på baggrund af definitionen af produktgrupperne, blive udarbejdet et forecast for hver af de tre grupper. Dette gøres ved hjælp af en række forecastmetoder, der udvælges ud fra en række parametre defineret ud fra typer af data og mængde af historiske data tilgængelig. Dernæst vil der, på baggrund af resultaterne af forecasts blive opstillet en produktionsplan for BoConcept med henblik på at optimere produktionen. Det vil blive udført ved hjælp af en matematisk optimeringsmodel, der bestemmes ud fra de data der er tilknyttet de tre produktgrupper. Målsætningen er, hvis data tillader det, at benytte lineær programmering til at foretage denne optimering. Det vil før opstillingen af den endelige model blive diskuteret, hvilken modeltype, der er optimal til optimering af produktionen i forhold til de tilgængelige data. Side 3 af 99

12 Casebeskrivelse Der bliver i denne afhandling arbejdet med en fiktiv case, som er udformet af opgaveskriverne for at illustrere de teoretiske metoder, tilknyttet problemstillinger i forbindelse med optimering. Der er taget udgangspunkt i de reelle salgstal fra års- og kvartalsregnskaber hos BoConcept 3. Det resterende talmateriale, som er benyttet i afhandlingen, vil være genereret, for på bedst mulig måde at kunne illustrere de metoder, der er benyttet. Når der er tale om talmateriale, som er genereret af opgaveskriverne, vil dette fremgå tydeligt. BoConcept blev som nævnt grundlagt i Aktuelt er det virksomhedens mission at gøre moderne designmøbler og accessoirers tilgængelige for den kundegruppe, der har interesse i den urbaniserede livsstil. 4 Målsætningen er at få en lønsom vækst i virksomheden. Dette søges gennem en strategisk positionering, der ligger i differentiering. Eller mere præcist; ved at fjerne brandet fra det prisfølsomme mellemmarked. Det stiller store krav til virksomhedens kompetencer og optimering af afsætningsmodeller, og god Supply Chain Management er vigtigt for at kunne markere sig positivt på markedet, som det er i dag. Forecasting Denne afhandlings første delmål er at få udarbejdet et forecast for, hvor stor efterspørgslen på BoConcepts produkter bliver i fremtidige perioder for hver af de tre produktgrupper. Disse forecasts vil blive lavet med afsæt i de kvartal- og årsregnskaber, der findes offentlig tilgængelige hos BoConcept. Det er dermed historisk data der vil ligge til grund for de forecasts der produceres. Benyttelsen af flere forskellige metoder til forecasting vil være at foretrække, idet dette, ved hjælp af sammenligning, vil give et bedre billede af, hvorvidt resultaterne af modellerne er plausible. Salgstallene fra kvartals- og årsregnskaber, der er taget udgangspunkt i, er de samlede salgstal for BoConcept, som ser ud som følger: 3 _- _delårsrapporter.aspx?id= Side 4 af 99

13 !" #$%"&%' ()*+,-./&0"123"1,0")3*0".0 4%5'0&1+%'6!""#$"% &'()*+,-+. &$/(0(#&$1 &%23""!'()*+,-+. &$2(0(#&$&"!"434" #'()*+,-+. &$&&0(#&$& &2!3"" %'()*+,-+. &$!(0(#"$%!"/3&"!""%$"/ &'()*+,-+. &$/(0(#&$1 &4%32"!'()*+,-+. &$2(0(#&$&"!&!35" #'()*+,-+. &$&&0(#&$&!"!3&" %'()*+,-+. &$!(0(#"$%!&/32"!""/$"4 &'()*+,-+. &$/(0(#&$1!"#3#"!'()*+,-+. &$2(0(#&$&"!/%3#" #'()*+,-+. &$&&0(#&$&!#535" %'()*+,-+. &$!(0(#"$%!/%3""!""4$"1 &'()*+,-+. &$/(0(#&$1!!!3#"!'()*+,-+. &$2(0(#&$&"!1#3/" #'()*+,-+. &$&&0(#&$&!2&32" %'()*+,-+. &$!(0(#"$%!453""!""1$"2 &'()*+,-+. &$/(0(#&$1!1%34"!'()*+,-+. &$2(0(#&$&" #&53&" #'()*+,-+. &$&&0(#&$&!443&" %'()*+,-+. &$!(0(#"$%!2!3&"!""2$"5 &'()*+,-+. &$/(0(#&$1!4/3!"!'()*+,-+. &$2(0(#&$&"!5134" #'()*+,-+. &$&&0(#&$&!&23/" %'()*+,-+. &$!(0(#"$%!!#3/"!""5$&" &'()*+,-+. &$/(0(#&$1!"234!'()*+,-+. &$2(0(#&$&"!/"3! #'()*+,-+. &$&&0(#&$&!&431 %'()*+,-+. &$!(0(#"$%!#%31!"&"$&& &'()*+,-+. &$/(0(#&$1!##3!!'()*+,-+. &$2(0(#&$&"!1"3# #'()*+,-+. &$&&0(#&$& %'()*+,-+. &$!(0(#"$% Tabel 1. De samlede salgstal for BoConcept, som der i afhandlingen skal tages udgangspunkt i 5 Det er, som det fremgår af Tabel 1, samlede salgstal tilbage fra den 1. maj 2003, som afhandlingen tager udgangspunkt i. Det er dermed de perioder illustreret i Tabel 1, der skal danne rammen for de tre forecasts for produktgrupperne; sofaer, borde og havemøbler tilknyttet BoConcept. Første periode, der udelukkende vil blive defineret af 6 forecasts, er 3. kvartal i regnskabsåret 2010/11. Det er for dette kvartal, og muligvis flere perioder frem, man ønsker at spå, hvor store salgstal, man kan regne med. For at give et forskelligartet udtryk af hvorledes forecastet data kan reagere, vil der i afhandlingen blive fokuseret på tre produktgrupper, der hver især opfylder forskellige karakteristika for data, der kan forecastes på. De tre produktgrupper er valgt af opgaveskriverne, og karakteristika knyttet til disse er ligeledes blevet tilknyttet af 5 _- _delårsrapporter.aspx?id= Dette jf. De forskellige forecastingmodellers resultater Side 5 af 99

14 opgaveskriverne. To af produktgrupperne, nemlig sofaer og havemøbler, er taget ud af BoConcepts sortiment, mens den sidste produktgruppe havemøbler ikke findes i det nuværende sortiment, men fiktivt er bragt ind i virksomheden. Dette er gjort med den hensigt, at illustrere på tydelig vis, hvorledes sæsonfølsom afsætning reagerer over en årrække. For at, kunne behandle produktgrupperne mere detaljeret i optimeringen, er det allerede på nuværende tidspunkt vigtigt at få opstillet en klar definition af hvad produktgrupperne indeholder i case. Produktgrupperne Som nævnt i afgrænsningen bliver der i denne afhandling behandlet tre produktgrupper. Idet der bliver taget udgangspunkt i de reelle salgstal fra års- og kvartalsrapporter fra BoConcept, vil forecastet for hver af de tre produktgrupper blive foretaget periodevist ud fra de perioder dikteret i netop års- og kvartalsrapporter. De forløber således:!"#$%#& '()*+,-.%!"#$%&'(&)!*+#,#-!*. /"#$%&'(&)!*0#,#-!*!1 -"#$%&'(&)!*!!,#-!*! 2"#$%&'(&)!*/#,#-1*2 Tabel 2. Tidspunkterne for de fire kvartaler på baggrund af regnskaber fra BoConcept. På baggrund af denne inddeling se nærmere på de tre produktgrupper og deres relation til de samlede salgstal for BoConcept for hvert af de fire kvartaler. Sofa BoConcept forhandler i øjeblikket 13 typer af sofaer og ligger i dets salgsmateriale meget vægt på mulighederne for at vælge ben, materiale og størrelse som forbruger. Der vil i denne afhandling blive forecastet på sofaer som et hele. Idet sofaer fylder en stor del af salgsmateriale, reklamer og øvrig information 7, er der valgt denne vurdering af det procentuelle salg, sofaerne udgør hos BoConcept: 7 BoConcept.dk Side 6 af 99

15 !"#$%#& '()*+,-.% /$012-%3#43*#5&2%3*#&6!"#$%&'(&)!*+#,#-!*. /01 2"#$%&'(&)!*3#,#-!*!0 /01 -"#$%&'(&)!*!!,#-!*! /01 /"#$%&'(&)!*2#,#-0*/ /01 Tabel 3. De procentuelle salgstal for sofaer set i forhold til BoConcept samlede salgstal 8. Tabel 3 viser, at salget af sofaer udgør 40 % af det samlede salg for BoConcept i samtlige 4 kvataler. Tabellen viser også, at der ikke er en stigning i det procentvise tal for sofaer. Således at der ikke er en trend at spore, hvis man ser isoleret på salget af sofaer. Ligeledes er den procentuelle del af salgstallene for sofaer konstant i alle fire perioder, hvilket illustrerer, at der ikke er nogen isoleret sæsonafvigelse tilknyttet denne produktgruppe. De tre produktgrupper er opdelt i undergrupper, der fra virksomhedens side anvendes for at holde styr på den procentvise afsætning indenfor hver af grupperne 9. Dette medvirker til, at man som beslutningstager i BoConcept kan forudsige salget nærmere, da man har nogle klare historiske data for, hvorledes fordelingen af salget inden for de enkelte produktgrupper ser ud. Denne produktgruppe er opdelt i fem undergrupper. Hver undergruppe har nogle fælles karakteristika, som det også fremgår i Table 4. De er opstillet således: Estimerede andele af det samlede salg af sofaer Andel Type Celano og Cesto 10% Store sofaer Carmo, Como g Milos 20% Små sofaer, bløde kanter Terni, Indiva, Lari og Nova 35% Ikke med meder Små sofaer, skarpe Mezzo, Lugo og Quattro 30% kanter Morini 5% Mellemstørrelse Tabel 4. Fordelingerne af salget på undergrupper for sofaer 8 Der er her tale om tal genereret af opgaveskrivere 9 Der er her tale om antagelser lavet udelukkende af opgaveskrivere. Side 7 af 99

16 Denne inddeling i undergrupper vil i opstillingen af optimeringsmodellen få indflydelse på begrænsningerne i efterspørgslen for undergrupperne, således at efterspørgslen vil være knyttet til en specifik undergruppe. Det er med til at givebeslutningstagerne hos BoConcept en bedre idé om, hvordan de skal benytte deres ressourcer, og sikrer også imod 10 en over- eller underproduktion af visse emner. Borde Når der i opgaven bliver refereret til produktgruppen borde, vil der være tale om spiseborde som forhandles hos BoConcept. Der forhandles, hos BoConcept, fire typer borde. Men i denne afhandling vil produktgruppen borde være begrænset til at omhandle tre overordnede typer af borde: Firkantede borde med udtræk, firkantede borde uden udtræk og runde borde. Det er altså disse tre overordnede typer af borde, med de forskellige muligheder for ændringer, der udgør denne produktgruppe. Den procentuelle del af det samlede salg, som denne produktgruppe udgør, er som følger:!"#$%#& '($)*+(,)+-./01% '$*2(0%3#43-#5&(%3-#&6!"#$%&'(&)!!*+#,#-!*.!/0 1"#$%&'(&) 1!*2#,#-!*!/!/0 -"#$%&'(&) -!*!!,#-!*!!/0 3"#$%&'(&) 3!*1#,#-/*3!/0!"#$%&'(&) +!*+#,#-!*.!!0 1"#$%&'(&) 4!*2#,#-!*!/!!0 -"#$%&'(&).!*!!,#-!*!!!0 3"#$%&'(&) 2!*1#,#-/*3!!0!"#$%&'(&) 5!*+#,#-!*.!10 1"#$%&'(&)!/!*2#,#-!*!/!10 -"#$%&'(&)!!!*!!,#-!*!!10 3"#$%&'(&)!1!*1#,#-/*3!10!"#$%&'(&)!-!*+#,#-!*.!-0 1"#$%&'(&)!3!*2#,#-!*!/!-0 -"#$%&'(&)!+!*!!,#-!*!!-0 3"#$%&'(&)!4!*1#,#-/*3!-0!"#$%&'(&)!.!*+#,#-!*.!30 1"#$%&'(&)!2!*2#,#-!*!/!30 -"#$%&'(&)!5!*!!,#-!*!!30 3"#$%&'(&) 1/!*1#,#-/*3!30!"#$%&'(&) 1!!*+#,#-!*.!+0 1"#$%&'(&) 11!*2#,#-!*!/!+0 -"#$%&'(&) 1-!*!!,#-!*!!+0 3"#$%&'(&) 13!*1#,#-/*3!+0!"#$%&'(&) 1+!*+#,#-!*.!40 1"#$%&'(&) 14!*2#,#-!*!/!40 -"#$%&'(&) 1.!*!!,#-!*!!40 3"#$%&'(&) 12!*1#,#-/*3!40!"#$%&'(&) 15!*+#,#-!*.!.0 1"#$%&'(&) -/!*2#,#-!*!/!.0 Tabel 5. De procentuelle salgstal for borde set i forhold til BoConcept samlede salgstal Dette skyldes en valg om at begrænse det samlede antal beslutningsvariable, af hensyn til opgavens omfang. Side 8 af 99

17 Tabel 5 viser, hvorledes den procentuelle del af det samlede salg ændrer sig henover en årrække for denne produktgruppe. Det kan ses, at som tiden går fra udgangspunktet i 1. Kvartal i 03/04 udgør bordene en stadig stigende del af det samlede salg 12. Det betyder, at der i denne produktgruppe er en isoleret trend, som tydeligt kommer til udtryk i tabellen. Der er for denne produktgruppe ingen forskel i den procentuelle del af salgstallene, kvartalerne imellem. Det betyder, at der tilknyttet denne produktgruppe ikke er en isoleret sæsonafvigelse, hvilket vil betyde, at salget af borde vil svinge i forhold til det samlede salg. På samme måde som ved sofaerne var en opdeling i undergrupper, er der en opdeling af produktgruppen borde. Da der i afhandlingen arbejdes med tre overordnede typer af borde, forekommer opdeling i undergrupper naturlig: Estimerede andele af det samlede salg af borde Andel Firkantede borde med udtræk 40% Firkantede Borde uden udtræk 30% Runde borde 30% Tabel 6. Fordelingerne af salget på undergrupper for borde Dermed arbejdes der i denne produktgruppe med tre undergrupper sammenlignet med de fem grupper tilknyttet sofaer. Inddelingen i undergrupper er igen foretaget for at få et mere retvisende billede på afsætningen af de forskellige underemner i produktgruppen. Der er også produktionsbegrænsninger og minimumsbegrænsninger tilknyttet de enkelte undergrupper i denne produktgruppe, og det er dermed med til at underbygge fordelene ved at benytte sig af disse. Havemøbler BoConcept producerer på nuværende tidspunkt ikke havemøbler, så denne produktgruppe er som nævnt fiktiv. Der bliver i denne afhandling arbejdet ud fra den antagelse, at havemøbler kun sælges i samlesæt. Et samlesæt består i denne opgave af et bord og fire stole Der er her tale om tal genereret af opgaveskrivere 12 Dette er af opgavetekniske grunde gjort af opgaveskrivere. 13 Baggrunden for dette og fordele og ulemper ved dette er uden relevans for det opgavetekniske udkom. Side 9 af 99

18 Der vil overordnet set tages udgangspunkt i fire typer af borde: Kvadratisk bord, aflangt bord, rundt bord og ovalt bord. Der vil i afhandlingen blive forecastet for netop samlesæt og ikke haveborde eller havestole, idet disse i denne opgave ikke er en del af sortimentet hos BoConcept. Havemøblernes andel af det samlede salg ser således ud: Procent af samlet Kvartal Tidspunkt salg 1. Kvartal 1/5-31/7 20% 2. Kvartal 1/8-31/10 8% 3. Kvartal 1/11-31/1 2% 4. Kvartal 1/2-30/4 15% Tabel 7. De procentuelle salgstal for havemøbler set i forhold til BoConcept samlede salgstal 14. Det kan ses i Tabel 7, at den procentuelle del af det samlede salg skifter kvartalerne imellem. Der er i 1. og 4. kvartal, som er forår og sommer, en større del af det samlede salg hos BoConcept, der bliver udgjort af produktgruppen havemøbler. Det kan yderligere ses i Tabel 7, at der ikke er en trend tilknyttet produktgruppen. Det betyder, at det i alle årene er den samme andel af salget, i den tilsvarende periode, der bliver udgjort af denne produktgruppe. Det er ligeledes for denne produktgruppe en opdeling i undergrupper. Den er også her meget naturlig. Der er fire overordnede typer af borde tilknyttet havemøbler, som produktgruppen tager udgangspunkt i, og de virker ydermere som undergrupper: Estimerede andele af det samlede salg af havemøbler Andel Rundt bord 30% Ovalt bord 12% Kvadratisk bord 38% Aflangt bord 20% Tabel 8. Fordelingerne af salget på undergrupper for borde Der er her tale om tal genereret af opgaveskrivere 15 Der er her tale om tal genereret af opgaveskrivere Side 10 af 99

19 Det er ud fra disse tre produktgrupper, at forecasts skal produceres. Der skal produceres flere typer af forecasts for at få det bedste billede på, hvilken model, der fungerer bedst for den type data, der benyttes i denne afhandling. Og når man har fundet frem til resultater af disse forecasts, er det disse som optimeringen af produktionen skal tage udgangspunkt i. Optimering Når der er blevet fremstillet forecasts for de tre produktgrupper, og disse er fundet brugbare, skal der udføres en optimering af produktionen af alle typer af produkter i de tre grupper. Der skal udføres en gennemgang af de tilgængelige data for at finde frem til det bedst anvendelige optimeringsværktøj. Der vil i opgaven blive foretrukket brug af lineær programmering hvis dette er muligt, men kun hvis data i opgaven tillader dette. Derfor skal de benyttede beslutningsvariable og begrænsningerne for denne model også behandles inden opstilling af en egentlig optimeringsmodel. Det skyldes, at der også er krav til begrænsningerne, hvis optimeringsmodellen, der benyttes, skal være en LP- model. Under opstillingen af modellen skal der tages højde for de forskellige underemner, som ligger i de tre produktgrupper, så man som beslutningstager kan optimere produktionen og opnå det højeste dækningsbidrag. De respektive underemner vil være udformet af opgaveskriverne og vil ikke være defineret ud fra BoConcepts tal. Der vil også figurere begrænsninger i efterspørgslen på de enkelte produkter, således at der ikke vil kunne blive produceret et minimalt antal produkter. Disse begrænsninger er ligeledes blevet udformet af opgaveskriverne og vil blive uddybet nærmere i afsnittet vedrørende opstilling af optimeringsmodellen. Hensigten med disse begrænsninger er at få gennemført en optimeringsplan, der vil medvirke til, at BoConcept får udnyttet deres produktionsressourcer bedst muligt og på den måde opnår det højeste dækningsbidrag og dermed det højeste overskud i organisationen ved hjælp af justering af interne faktorer. Side 11 af 99

20 Forecasting Introduktion til forecasting Forecasting har for beslutningstagere vist sig vigtigt i mange tilfælde. Det gælder i forbindelse med planlægningen af en produktion, i forbindelse med efterspørgsel, men også når det kommer til udregning af en virksomheds personaleomkostninger. Et forecast giver numeriske forudsigelser af alt lige fra import/eksport til efterspørgsel og lagre. Vigtigheden for beslutningstageren ligger i, at have konkrete forudsigelser at arbejde ud fra i planlægningen af fremtidige projekter. Virksomheder, der ikke kan reagere på pludselige ændrede forhold grundet mangelfuld indsigt i fremtiden, vil kunne miste stor konkurrencestyrke i forhold til deres konkurrenter. Forecasting spiller derfor en vigtig rolle i forhold til opbygningen af strategier for de fleste produktionsvirksomheder. Det er en fordel for virksomheder at benytte sig af flere forskellige metoder til forecasting, fordi metoderne derved kan sammenlignes, og den mest brugbare metode for en given produktgruppe blive identificeret. Resultatet bliver valget af den optimale metode til videre produktionsplanlægning. Forecastingmetoder er i praksis opdelt i to hovedgrupper. Den ene gruppe bygger på uformel menneskelig information, hvor beslutningstageren via interviews, fokusgrupper eller ekspertvurderinger finder frem til et forecast for produktionen. Den anden gruppe bygger primært på statistisk materiale og historiske data. Her taler man ofte om henholdsvis kvalitativ og kvantitativ forecasting. 16 Den kvalitative forecastingmetode bliver ofte foretrukket i tilfælde, hvor der ikke eksisterer historiske data, eller disse ikke er mulige at komme i besiddelse af. Hvis data er tilgængelig, vil den kvantitative metode i stedet være at foretrække, idet den i de fleste tilfælde vil give et bedre billede, hvis man har data at lave et forecast ud fra. Der skal dog ikke ses helt bort fra sund fornuft og udelukkende laves forecasting ud fra hårde tal og modeller. Det er af stor vigtighed, at kunne forstå og bearbejde de resultater, der fremkommer, når man benytter sig af forecasting. 16 Hanke s. 4 Side 12 af 99

21 De fire love om forecasting 17 Vigtigheden af brugen af forecasting er forsøgt forklaret, ikke mindst for produktionsvirksomheder, der bruger forecasting i vidt omfang. Men ved brugen af disse er det vigtigt at have for øje, hvornår brugen af forecasting er effektiv, og hvor begrænsningerne i forecasting ligger. Disse problemstillinger har Bozarth og Handfield 18 opstillet som fire love for forecasting. Det er love, der er overordnede og som gør sig gældende både for den kvalitative og kvantitative forecast. 1. Forecasting er næsten aldrig præcise (men er næsten altid brugbar) Selv under de bedste forhold og med det bedste talmateriale til rådighed vil forecasts næsten aldrig give et præcist svar på den fremtidige efterspørgsel, pris og udbud. Der er simpelthen for mange parametre, der spiller ind til, at et forecast kan fremkomme med et præcis svar på det der undersøges. Men det vil som oftest give et retvisende billede på det svar på, hvad der vil ske i fremtiden. En virksomhed bør derfor ikke benytte forecasting som en eksakt videnskab, men i stedet benytte det som et pejlemærke for fremtiden. Hvor præcist, et forecast vil være, fremkommer som en funktion af lovene 2 og Forecasting på kortere sigt har det med at være mere præcist Loven siger, at faktorer, der kan have effekt på forecastvariable, ikke vil ændres i samme grad for forecasts på kort sigt, som for på langt sigt. Salgspriser og omkostninger vil, eksempelvis for en møbelproducent, ofte være lette at forudse en måned eller to frem. Dette skyldes, at man med meget stor sandsynlighed kan sige, at den økonomiske situation i en så relativ kort tidsperiode ikke vil ændres mere end marginalt. Derimod vil priser og omkostninger om ti eller tyve år være væsentligt sværere at spå om, idet der kan ske mange ændringer, både politisk, økonomisk og teknologisk, på markedet i løbet af det forholdsvis lange tidsrum. 3. Forecasting for produktgrupper er typisk mere præcise end forecasting for enkeltprodukter 17 Bozarth s. 269 ff. 18 Bozarth. Side 13 af 99

22 Det har i langt de fleste tilfælde vist sig, at det er lettere at udarbejde et forecast for produktgrupper end enkeltprodukter. Fordi der i de fleste tilfælde vil være et langt større antal variable at tage hensyn til, når man ser på enkeltprodukter. Eksempelvis kan man undlade variablen, hvorvidt en sofa er med læderbetræk, ved at gennemføre et forecast på sofaer som gruppe, i stedet for at udarbejde et forecast på både en lædersofa og en sofa med stofbetræk. Hvad moden dikterer med hensyn til betræk på en sofa vil have stor betydning for efterspørgslen af lædersofaer, men hvis man i stedet ser på den overordnede efterspørgsel af sofaer, vil højere eller lavere efterspørgsel på lædersofaer blive afbalanceret af sofaer med andre typer af betræk. 4. Forecasts kan ikke erstatte udregnede værdier Forecasts skal kun benyttes, når der ikke findes et bedre alternativ til at fastslå værdien af en variabel. Dette betyder, at såfremt der er data til rådighed til at udregne størrelsen af den variabel, man søger, bør man benytte sig af denne mulighed frem for et forecast af variablen. Dette kan eksempelvis være gældende, hvis det allerede bestemmes en uge forinden, hvor mange sofaer, der skal produceres i en given uge. I et sådant tilfælde bør en virksomhed udregne, hvor meget råmateriale, der skal bruges til produktionen, ud fra de allerede bestemte produktionsstørrelser i stedet for at udforme en forecast for at finde sig frem til en produktionsstørrelse og bestemme bestillingsmængder af råmateriale ud fra denne. Et forecasting i dette tilfælde vil ikke kun være dyrere end alternativet, men også medvirke til, at man i nogle uger vil stå med for meget råmateriale på lageret og i andre stå med for lidt. Valg af forecastmetode Valget af forecastmetode kan få meget stor betydning for planlægningen af produktionen, idet et forkert valg kan resultere i, at man ender med forecasts, der ligger meget langt fra de egentlige tal, og man derfor ikke er ordenligt forberedt på størrelsen af efterspørgslen. Derfor er det selvsagt meget vigtigt, at man gør sig nogle tanker, inden man kaster sig ud i et forecast. Hanke og Reitsch 19 har opstillet tre elementer, som de anser for at være de vigtigste at have for øje i forbindelse med metodevalg: 19 Hanke s. 5 Side 14 af 99

23 1. Søger man at lave en specifik forecast for et produkt eller produktgruppe, eller leder man efter et større billede? Eller udtrykt anderledes; er der tale om en mikroøkonomisk eller makroøkonomisk forecast? 2. Er der tale om et forecast på lang sigt, eller er der tale om en kortsigtet forecast? 3. Sidst skal det overvejes om en kvalitativ eller kvantitativ tilgang vil være at foretrække når forecastet skal udarbejdes? Til netop det tredje punkt findes der modeller som kan bruges som en guide til valget. Figur 1. Guide til valg af forecast metoder 20 Med udgangspunkt i casen, der er beskrevet tidligere, skal der træffes valg ud fra de opstillede parametre, så der kan udføres et forecast for produktionen af de tre produktgrupper hos BoConcept. Det kan hurtigt konstateres, at der er tale om en efterspørgsel på produktgrupper 21 og ikke en makroøkonomisk faktor som eksempelvis arbejdsløshedskvoter eller BNP. Vi kan dermed slå fast, at det her drejer sig om et mikroøkonomisk forecast. 20 Kopi af figuren i Bozarth s Jf. Casebeskrivelsen hvor det udtrykkes at de arbejdets med produktgrupper. Side 15 af 99

24 Da der i casen er tale om kvartalsomsætninger, vil det være et forecast på kort sigt, hvilket betyder, at vi ikke skal spå flere år frem i tiden. Det betyder også, at de metoder, der vil blive benyttet, kun vil komme med forudsigelser for den kommende periode eller det næste år. Sidst skal det afgøres, om man vil tage sit udgangspunkt i kvalitativ eller kvantitativ forecast. Og her kan Figur 1 bruges i beslutningsprocessen. Figuren illustrerer at det vil være mest fordelagtigt at benytte et kvantitativ forecast, da historiske data er tilgængelig for produktgrupperne. Og dermed har man en lang række tal at lave sit forecast på baggrund af - og derudover sammenligne sine resultater med. Det understøtter valget af et kvalitativ forecast til denne specifikke case. Sagt med andre ord vil det oftest være anbefalelsesværdigt at benytte kvantitativ forecasting i de tilfælde, hvor man har dataene til at støtte op om det. Dermed kan det konkluderes, at der skal laves et mikroøkonomisk, kortsigtet, kvantitativ forecast, når vi skal forudsige de fremtidige salgstal for de tre produktgrupper i denne afhandling. Hvis man vender tilbage til Figur 1 skal man tage stilling til, om man skal benytte time series modeller eller causal modeller til sine forecasts. Og det afgøres, som det også fremgår i Figur 1, af hvorvidt den eksisterende data figurerer i kronologisk rækkefølge. Da der i dette tilfælde er tale om kronologiske data, vil time series modellerne være de mest brugbare modeller. Disse anses også for at være mere enkle at udføre end kausal modeller. 22 Efter at have konkluderet at der skal gøres brug af time series modeller, skal der ses på hvilke af disse modeller der skal benyttes. Der findes forskellige modeller, med forskellige grader af kompleksitet. Nogle er meget simple, mens andre tager højde for en lang række forskellige faktorer, såsom trend, vægten af nyere tal og sæsonsvingninger. Den simpleste af alle time series modellerne er en Naive Model. Denne tager udgangspunkt i at det bedste bud på en periodes forecast, er den realiserede størrelse i perioden forinden. Dette kan skrives som følger 23 : Ligning 1. y! t +1 = y t Det betyder, at modellen ikke tager hensyn til nogen form for udvikling, men i stedet ser produktionen som fuldkommen statisk. 22 Bozarth s Hanke 129 Side 16 af 99

25 De naive modeller kan med få udregninger opstilles, således at der både tages højde for eventuelle trends og sæsonafvigelser i produktionen. Det er i virkeligheden kun beslutningstageren, der sætter begrænsningerne for, hvor kompliceret modellerne skal være. Problemet med de naive modeller er, at de ikke tager højde for udviklingen i produktionen mere end en enkelt periode tilbage. På trods af, at den kan medregne trends og sæsonsvingninger, vil den være yderst følsom over for ændringer, idet den udelukkende tager udgangspunkt i den netop forgangne periode. For at afstedkomme netop dette problem findes der en type af averaging modeller, der arbejder med tidligere perioders data i forbindelse med forecasting af den næste periode. Den mest simple af disse metoder går under betegnelsen Simple Average 24. Denne metode er udviklet ved at finde gennemsnittet for alle relevante perioder og benytte dette gennemsnit som forecast for den næste periode. Den er udtrykt således 25 : Ligning 2. y^ t +1 = n! t =1 n y t Problemstillingen med Simple Averages modellen er, at den ikke er i stand til at vægte data. Det kommer til udtryk ved, at Simple Averages modellen ikke er i stand til at vægte nyere talmateriale, der ofte vil være mere retvisende, højere end det ældre, måske mindre relevante, data. Derfor er der udarbejdet nogle mere komplekse modeller til forecasting ved hjælp af gennemsnit. Disse modeller hører dog stadig under de mere simple forecastingmodeller. Modellerne tilhører kategorien Moving Average og bygger ligesom Simple Average på et gennemsnit af tidligere perioder. Forskellen er, at Moving Average benytter sig af data fra de nyeste perioder og derved ikke benytter data af ældre dato. Fordelen ved at vælge en sådan model er, at man selv kan vælge antallet af perioder, der har interesse, og denne type model er også bedre til at håndtere trends og sæsonafvigelser end Simple Average. 24 Hanke s Hanke 133 Side 17 af 99

26 Den er dog stadig ikke gearet synderligt godt til dette og virker bedst på stationære data. Det er en god model at vælge til at undersøge, om tallene i denne case kan beskrives som stationære, da den giver gode resultater uden den store talmanipulation, hvis der er tale om stationær data. 26 Moving Average er ligesom Simple Average ikke i stand til at vægte nyere data højere end ældre. Til dette vil man i stedet kunne benytte sig af modellen: Exponential Smoothing. Denne model tillægger nyere data højere vægt end ældre. Dette findes meget relevant, eftersom nyere observationer typisk vil være mere retvisende som indikator på en kommende periodes forecast. Dermed er det relevant for denne case at benytte Exponentiel Smoothing, da de nyeste tal for omsætningen hos de tre varegrupper med høj sandsynlighed vil være mere brugbare i forbindelse med at forudse næste periodes salgstal. 27 Exponential Smoothing modellen har dog stadig nogle mangler. Den tager hverken højde for trend eller sæsonudsving. Skal der tages højde for trend, kan man benytte sig af Exponential Smoothing ajusted for trend. Også kaldet: Holt s Metode. 28 Skal der ydermere tages højde for sæsonudsving, kan Exponential Smoothing ajusted for trend and seasonal variation benyttes. Denne metode kaldes: Winter s Model. 29 Da der med stor sandsynlighed i casen er tale om data med både trend og sæsonudsving, vil begge ovenstående metoder blive benyttet i forbindelse med udarbejdelsen af et forecast for hver af de tre produktgrupper i casen omkring BoConcept. Følgende metoder vil altså blive anvendt i forhold til casen senere i opgaven: Moving Averages Exponential Smoothing Holt s Metode Winter s Model 26 Metoden vil blive beskrevet nærmere i afsnittet Moving Averages 27 Metoden vil blive beskrevet nærmere i afsnittet Exponentiel Smoothing 28 Metoden vil blive beskrevet nærmere i afsnittet Holt s Metode 29 Metoden vil blive beskrevet nærmere i afsnittet Winter s Model Side 18 af 99

27 Simple Moving Average Simple Moving Average (SMA) er en metode, der tager udgangspunkt i gennemsnittet af tidligere observationer til at udvikle forecasts. Metoden er opbygget således, at det er beslutningstageren der opstiller modellen og selv beslutter, hvor mange af de ældre observationer, der skal benyttes i udarbejdelsen af forecastet. Modellen er generelt opstillet således: Ligning F t +1 = n " i=1 y t +1!i n Hvor: F t +1 = Er forecast for tidsperioden t+1 y t +1!i = Er den reelle efterspørgsel t+1- i n = Antallet af perioder brugt til at udarbejde forecastet. Det springende punkt i denne type modellering er valget af antal perioder, man anvender ved udformningen. Hvis man vælger at lave modellen på baggrund af en enkelt periode, vil den være en kopi af den førnævnte Naive model, illustreret som Ligning 1. Problemstillingen forbundet med anvendelsen af denne model er beskrevet ovenfor. Ellers forelægger der ikke klare regler for hvilket antal perioder, der er mest passende at vælge. Ofte vil det imidlertid være retvisende at benytte fire perioder til et forecast, hvis man arbejder med et kvartalsregnskab, og 12 perioder, hvis man omvendt arbejder med et månedsregnskab. I sidste ende skal valget af antal perioder træffes ud fra et velovervejet valg hos beslutningstageren. Valget vil have konsekvenser, som man skal være opmærksom på, inden valget bliver truffet: Jo større antal perioder man benytter i modellen, des større udjævning vil der forekomme. Det betyder, at modeller udarbejdet på baggrund af et stort antal perioder vil have meget svært ved at behandle udsving. 30 Bozarth 274 Side 19 af 99

28 Grundlæggende kan man udtrykke det således, at; des lavere antal perioder man benytter, des større betydning tillægges de nyeste observeringer. Omvendt tillægges de nyeste observeringer mindre betydning, hvis der er tale om flere perioder i forbindelse med modellens udarbejdelse. Det kan hermed konkluderes, at et stort antal perioder er at foretrække, hvis man arbejder med data, med brede, sjældne udsving i talmaterialet. Hvis man benytter et lavt antal observationer til udarbejdelsen giver de derimod beslutningstageren en bedre mulighed for hurtigt at reagere på ændringer, og dermed få rettet sit forecast til. Simple Moving Average i praksis Når man skal benytte Simple Moving Average i praksis, er det første, der skal tages stilling til, hvor mange perioder, der skal benyttes til forecasts af de tre produkttyper. Og som det fremgår i casebeskrivelsen, har vi i denne case at gøre med kvartalsregnskaber for BoConcept. Det medfører, at det vil være hensigtsmæssigt at bruge de fire forgående kvartaler til at udarbejde forecastet for en given salgsperiode. Det betyder, at modellen vil være relativ hurtig til at tilpasse sig ændringer, men man garderer sig samtidig imod, at tilfældige ændringer i enkeltperioder får for meget betydning, som man ville kunne risikere ved at benytte kun to foregående perioder. Således vil Simple Moving Average for den femte periode, der samtidig er den første, som er mulig at lave forecast for, se sådan ud 31 : F 5 = 4 " i=1 y 5!i 4 = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 4 = 59, , , ,04 4 = 74,17 Her kan det ses, at de fire første periode 32 er blevet brugt til at udarbejde et forecast. Den samme metode er gentaget for samtlige af de resterende 26 perioder 33. Der kan nu opstilles grafer for de tre produktgrupper således, at man kan få et billede af, hvor retvisende de udarbejdede forecasts er. 31 Jf. Ligning 3 32 Som bekendt er udgjort af kvartaler 33 Indsæt her reference til rigtigt bilag. Side 20 af 99

29 Figur 2. Simple Moving Average for sofaer sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. 34 Ud fra denne figuren ses det, at Simple Moving Average er tilpasset ganske udemærket til de reelle salgstal. Men for at få et mere præcist billede af, hvor godt denne model virker sammenlignet med de andre, er man nød til at se i bilaget. I denne case vil Mean Squared Error (MSE) blive brugt som primær måleenhed for metodens funktionalitet for de enkelte produktgrupper. MSE er, som navnet også antyder, den kvadrerede afvigelse delt med antal perioder brugt til udarbejdelse af det enkelte forecast. Det, som MSE er god til at vise, er, hvis nogle af observationerne har meget store afvigelser, da disse vil blive kvadreret, og dermed vil udgøre en endnu større del. Dette er praktisk, da det ofte er bedre at have en forecast- serie med flere forecasts med lav spredning end få forecasts med en stor spredning. Således ser formlen ud: Ligning MSE = n " t =1 (y t! ŷ t ) 2 n = n " t =1 (e t ) 2 n = e e e e n n Dermed har man så et parameter til at afgøre præcist, hvilken metode er bedst egnet. Der findes også andre parametre til at bestemme nøjagtigheden af de benyttede forecasts. Herunder er der blandt andet Mean Absolute Percentage Error (MAPE) og Mean Percentage Error (MPE). 34 Samme bilag som Hanke 120 Side 21 af 99

30 Nogle gange er det klogt at udregne afvigelserne på et forecast procentvist i stedet for i antal. Dette kan gøres ved at bruge MAPE. MAPE udregnes ved at tage den numeriske værdi af afvigelserne og dividere dem med salgstallet, og til sidst dividere resultatet med antallet af perioder. Denne metode er specielt anvendelig, hvis der skal tages højde for salgstallenes størrelse. For eksempel, hvis det er lave salgstal, vil MSE ligge lavt, og ved høje salgstal vil de ligge højere, men det gør ikke nødvendigvis at forecastet er mere præcist ved de lave afvigelser. Så alt i alt viser MAPE, hvor store afvigelserne er i forhold til salgstallene. Formlen for MAPE: n ˆ n y y e t t t e + e + e... + e t= 1 y t= 1 y y1+ y2 + y y MAPE = = = Ligning n n n t t n For at finde ud af, om forecastet er bias, det vil sige om det konsekvent laver et forecast, der ligger for lavt eller for højt, benytter man desuden en metode, som sætter fokus på dette nemlig: MPE. MPE udregnes på sin vis på samme måde som MAPE. Den eneste forskel er, at afvigelserne ikke skal være numeriske. For at forecastet ikke er bias, skal MPE helst ligge meget tæt på 0. Hvis MPE ligger langt under, så er forecastet konsekvent overestimeret, og hvis MPE ligger langt over, så er forecastet konsekvent underestimeret. Formlen for MPE: n ( ˆ n y ) ( ) ( t y e e e e t e t n ) t= 1 y t= 1 y y1+ y2 + y y MPE = = = Ligning n n n t t n Hvis man vender tilbage til Simple Moving Average - metoden, set i henhold til sofa, vil man kunne udregne disse værdier ved hjælp af henholdsvis ligning 4, 5 og 6: n MSE MAPE MPE 118,02 9,47% 1,38% MSE for sofaer er 118. Det er svært at sætte et præcist tal på, hvad der er godt resultat af MSE. Hovedreglen er, at MSE skal ligge så tæt på 0 som muligt. Men som det fremgår af grafen, er Simple Moving Average - metoden ikke velegnet til at indfange de små udsving, men følger 36 Hanke Hanke 120 Side 22 af 99

31 trenden udmærket. Hvis man i stedet ser nærmere på de øvrige parametre; MAPE og MPE, så ligger MAPE forholdsvis højt. Det afspejles også i grafen, at MAPE konsekvent ligger lidt ved siden af salgstallene. Mens MPE ligger relativt tæt på nul. Men da MPE er lidt positiv, undervurdere modellen salgstallene en anelse. Figur 3. Simple Moving Average for borde sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Hvis man ser på figuren for borde og brugen af Simple Moving Average, er det de samme tendenser, som går igen. En tydelig forskel er dog, at forcastet i næsten samtlige tilfælde ligger lavere end de realiserede salgstal, hvilket også afspejles i MPE. MSE ligger meget lavere end ved sofaer, men det skyldes også, at salgstallene er lavere, og på den måde er afvigelserne også lavere. Så MSE som sammenligningsgrundlag produktgrupperne imellem er ikke brugbar, som det er også er forklaret ovenfor. Men en sådan sammenligning vil heller ikke have sin berettigelse i en afhandling hvor samtlige af de tre behandlede produktgrupper skal undergå et forecast. MAPE er med til at illustrere en meget vigtigt pointe, netop i forhold til MSE. Selvom MSE er lavere, end tilfældet var ved sofaerne, viser MAPE, der ligger højere, at denne forecast er mere upræcis MSE MAPE MPE 18,95 10,69% 6,07% Side 23 af 99

32 Figur 4. Simple Moving Average for havemøbler sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Denne figur er et rigtig godt eksempel på, at Simple Moving Average slet ikke kan gøre nytte. Allerede på grafen ses det tydeligt, at de forecastede tal ikke er i nærheden af de realiserede salgstal. Salgstallene, der bliver forsøgt forecastet, svinger alt for meget. Så et gennemsnit af disse giver ingen mening i forhold til en videre produktionsplan af forecastet. Dette er også tydeligt afspejlet ved de tre undersøgelsesparametre, der benyttes. MSE ligger på 251, men det er uden betydning, da det udelukkende er et sammenligningsparameter, metoderne imellem. Men MAPE, der ligger på hele 131,5 procent, giver en god indikation af, at metoden er misvisende i dette tilfælde. Forecastet rammer så meget fra salgstallene, at det fremgår som et ubrugeligt resultat. MPE ligger på minus 96,3 %, og på den måde fremgår det, at modellen er overvurderet med knap 100 procent. Men man kan knap nok snakke om en overvurdering, da modellen reelt set er ikke er brugbar 38. MSE MAPE MPE 251,07 131,49% - 96,31% Tallene forecastet, ved hjælp af de fire metoder, vil blive opsamlet og behandlet i sammenligningsafsnittet senere i opgaven. 38 Tallene forecastet, ved hjælp af de fire metoder, vil blive opsamlet og behandlet i sammenligningsafsnittet senere i opgaven. Side 24 af 99

33 For at få et andet syn på salgstallene, og dermed få fremstillet et andet forecast af de fremtidige tal, vil der blive benyttet en anden forecastmetode på tallene. Exponential Smoothing Exponential Smoothing er som tidligere nævnt en videreudvikling af Simple Moving Average. Det er her, at beslutningstageren får muligheden for at vægte data, således at nyere data, og tidligere perioders forecasts, har indflydelse på næste periodes forecast. Formlen for Exponential Smoothing ser således ud: Ligning ŷ t +1 =!y t + (1 "!)ŷ t Hvor: ŷ t +1 = Forecast for periode t + 1, altså den nye periode ŷ t = Forecast for periode t, altså den nuværende periode y t = Aktuel værdi for periodet, salgstal! = Udjævningskonstant til at vægte D t og F t, (0! "! 1) Forskellen mellem Simple Moving Average og Exponential Smoothing ligger, som nævnt i begrænsningerne i metoden Simple Moving Average, der ikke er i stand til at medregne nogen form for vægtning. Vægtningen i Exponential Smoothing er imellem den forudgående periodes forecast og realiserede salgstal. For et foretage denne vægtning benytter man udjævningskonstanten:!. Alpha er vægtet således:!(1 "!)t. Det indebærer at Alpha falder, når t stiger. Men for at vise hvorledes! benyttes, er det nødvendigt at illustrere, hvorledes formlen er opbygget. Det første trin i udarbejdelsen af modellen er at fastsætte: : ŷ2 = y 1, hvor ŷt er de glattede/smoothed observation, og y t er de aktuelle salgstal. 39 Hanke 140 Side 25 af 99

34 Der er ingen ŷ1, da denne skulle være udregnet på baggrund af perioden før, og man så i stedet tager sit udgangspunkt i den næste periode. Dermed kommer man frem til en formel for formuleringen af alle t- værdier: For enhver periode t, er den udjævnede værdi ŷt fundet ved denne formel 40 : ŷ t =!y t "1 + (1"!)ŷ t "1 hvor (0! "! 1) og t! 3 Eksempel for periode 4: ŷ 4 =!y 3 + (1 "!)ŷ 3 Den generelle formel viser, at forecastet for den fremtidige periode ŷt!1 i sin enkelhed blot er et vægtet gennemsnit med!, som bestemmer, hvor meget de tidligere perioders salgstal og forecast hver især skal vægtes. Ud fra denne konklusion kan det udtrykkes at ved salgstal der er meget ensartede, bliver et højt Alpha niveau benyttet. Data, som varierer meget, bliver tildelt et lavt Alpha- niveau. Det skal forstås således, at i tilfælde med høj varians i de opsamlede data, vil forecastet for perioden umiddelbart inden have høj vægting. Hvorimod der i tilfælde, hvor man har opsamlet data med lav varians, bliver en højere vægting af de realiserede salgstal for tidligere perioder. Det skal også understreges, at der er andre måder til at fastsætte ŷ2, da y 1 ikke altid giver det bedste udgangspunkt. Man kan for eksempel benytte gennemsnittet af en række af salgstallene eller et fastsat mål for denne. Det bør især anvendes, hvis Alpha ligger på et meget lavt niveau, da dette kan være en særdeles influerende faktor, fordi udjævningen vil ske langsommere. Men denne diskussion er et kapitel for sig og vil derfor ikke blive behandlet nærmere. Det har heller ikke relevans for casen i denne afhandling. Ligning 4, 5 og 6 vil senere også danne grundlag for konklusionerne om metoden. 40 Jf. ligning 7 Side 26 af 99

35 Exponential Smoothing i praksis Det essentielle i udarbejdelsen af et forecast ved hjælp af Exponential Smoothing er udregningen af den optimale Alpha- værdi!. Udregningen foregår ved hjælp af en minimeringsproces i programmet solver, der minimerer MSE på baggrund af Alpha- værdier 41. Ved hjælp af dette vil man finde frem til den Alpha- værdi, der resulterer i færrest afvigelser. Antallet af benyttede observationer er modsat Simple Moving Average uden betydning her, idet den udelukkende udregner den optimale MSE ud fra Alpha. Derfor kan man i Exponential Smoothing udarbejde et forecast allerede for anden periode. Hvor man i Simple Moving Average var nødt til at lave den første forecast for periode fem. Formlen til at forecaste periode tre i Exponentiel Smoothing for sofaer ser således ud 42 : ŷ 3 =!y 2 + (1 "!)ŷ 2 = 0,5329 * 82,64 + (1" 0,5329) * 59,2 # 71,69 Formlen viser, at det realiserede salgstal, samt forecastet for periode to, er blevet brugt til udregningen af forecastet for periode tre. På samme måde udregnes de resterende 28 forecasts. Det ses samtidig, at den optimale Alpha- værdi, fundet ved hjælp af solver, er 0,5329. En samlet opstilling af forecasts, udarbejdet for sofaer ved hjælp af Exponentiel Smoothing sammenlignet med de realiserede salgstal, er illustreret nedenfor i figur 5. Figur 5. Exponentiel Smoothing for sofaer sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. 41 De matematiske udregninger bag Excel- funktionen vil ikke blive gennemgået i afhandlingen. 42 Jf. Ligning 7 Side 27 af 99

36 Det ses, som ved Simple Moving Average, at forecastet umiddelbart følger de realiserede salgstal ganske fint. Men det er meget svært at sammenligne brugbarheden af denne metode med de resterende med udgangspunkt i en graf. Derfor benytter man de tre parametre MSE, MAPE og MPE. De benyttes på samme måde som forklaret i afsnittet om SMA i ligning 4, 5 og 6. MSE MAPE MPE 137,55 10,06% 2,24 Tallene er udregnet på baggrund af data i bilag 2A vil blive sammenlignet med resultaterne fra de øvrige forecastmodeller i sammenligningsafsnittet. Man kan imidlertid allerede se, at MAPE ligger på 10,06 % - og dermed afviger 10,06% i gennemsnit fra de realiserede salgstal. Figur 6. Exponentiel Smoothing for borde sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. På samme måde som udførelsen blev gennemført med salgstal og forecast for sofaer udformes også grafen for forecast for borde. Her er det ligeledes de tre parametre der bliver udregnet. MSE MAPE MPE 17,44 10,08% 4,53% Tilfældet med den meget lave MSE er, som det også var i SMA for borde, ikke værd at sammenligne med MSE for de andre produktgrupper. Men det vil i stedet være i sammenligningsafsnittet at dette har relevans. Side 28 af 99

37 Figur 7. Exponentiel Smoothing for havemøbler sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Som det også var tilfældet for SMA for havemøbler, kan man se på denne graf, at metoden har meget begrænset brugbarhed. Forecastet for perioderne ligger på en lige linje, idet metoden ikke formår at behandle de udsving, der er i salgstallene for havemøbler. MAPE ligger betydeligt højere, end tilfældet var for sofaer og borde. Det hænger igen sammen med den ringe brugbarhed. MPE er meget negativ, hvilket betyder, at modellen er meget overvurderet. Men som tilfældet også var med SMA, skal man gøre sig tanker om, hvorvidt man overhovedet kan snakke om over- eller undervurdering. Som reglerne for forecasting også tilskriver, skal beslutningstageren også bruge sund fornuft, og man kan se, at Exponential Smoothing ikke er brugbar i forbindelse med et forecast for havemøbler eller andre produkter og produktgrupper, der har store udviklinger i trend eller store sæsonudsving. Derfor vil man forsøge sig med metoder, der tager højde for netop dette. MSE MAPE MPE 256,78 158,15% - 133,77% Der bliver, som nævnt tidligere samlet yderligere op på talmaterialet i sammenligningsafsnittet nedenfor. Side 29 af 99

38 Holt s Metode Der kan, som tidligere beskrevet, anvendes forecastmetoder, der tager højde for trend, hvis de data, man benytter sig af, viser tegn på dette. En metode, der tager højde for dette, er Holt s Metode. Metoden benytett er en Exponential Smoothing model, og i den indgår der to parametre. Ligesom den oprindelige eksponentielle smoothingmodel indgår der en Alpha- værdi, som en smoothing konstant. Udover denne værdi indgår der i Holt s Metode også en Beta- værdi. Denne værdi bruges som estimat for den trend, der måtte være i de anvendte data. Dette betyder, at modellen smoother trenden med værdien af Beta for at mindske afvigelsen. Modellen er udformet af tre forskellige ligninger: Ligning At = αyt + (1 α)( At 1+ Tt 1) Ligning Tt = β( At At 1) + (1 β) Tt 1 Ligning yˆt + p = A t + pt t Hvor: At = Ny smoothed værdi α = Dataens smoothing konstant (0 α 1) yt = Ny observation eller faktisk værdi af serier i periode t β = Smoothing konstant for trend estimatet (0 β 1) Tt = Trend estimat P = Antal perioder der skal forecastes ud i fremtiden y ˆt+ p = Forecast for p perioder Ligning 8 justerer den nye smoothede værdi for væksten i trenden for den forhenværende periode ved at ligge denne til den smoothede værdi for samme periode. Den forhenværende smoothede værdi justeres direkte på linje med trenden, hvilket medfører en elimination af fejl i smoothingen. 43 Hanke Hanke Hanke 151 Side 30 af 99

39 Ligning 9 er identisk med ligning 7 bortset fra, at denne smoother på trend og ikke på de egentlige data. Den opdaterer trenden og udtrykkes som differencen mellem de to seneste smoothede værdier. Hvis der eksisterer vækst i de anvendte data, vil de nyeste data vægte højere end de ældre. Der kan dog stadig forekomme tilfældigheder. Tilfældighederne kan elimineres ved at smoothe væksten med β i den nyeste periode. Dette tillægges således det forhenværende estimat af væksten, ganget med 1- β. Dermed kan det ses, at ligning 9 er en smoothed ligning for at implementere trend. Ligning 10 er medtaget for at forudsige p perioder forud. Dette gøres ved at lægge den oprindelige smoothede værdi sammen med trendestimatet ganget med p. Dette bliver også gjort med henblik på at eliminere tilfældighederne. Holt s Metode i praksis Det nye i forbindelse med forecasting med Holt s Metode, set i forhold til Exponentiel Smoothing, er benyttelsen af en Beta- værdi. Udregningen af Beta- værdien er dermed et springende punkt for en succesfuld udførelse af metoden. I denne afhandling er metoden Trial and Error blevet benyttet til udregning af en optimal Beta- værdi. Benyttelse af Solver er ikke længere en mulighed, som det ellers var tilfældet i Exponentiel Smoothing ved udregningen af Alpha. Denne problemstilling udspringer af, at solver ikke kan fungere på flere parametre i disse modeller. I stedet er der blevet benyttet Beta- værdierne , og ud fra disse er Solver blevet brugt til at udregne de optimale Alpha- værdier, der dermed giver den laveste afvigelse (MSE). Dermed kan man ved hjælp af ligningerne 8, 9 og 10 lave et forecast for de tre produktgrupper. Eksemplet for Holt s Metode brugt på data for sofaer ser således ud 46 : A 2 =!y 2 + (1 "!)(A 2"1 + T 2"1 ) = 0,5079 * 82,64 + (1 " 0,5079)(59,20 + 0) T 2 = #(A 2 " A 2"1 ) + (1" #)T 2"1 = 0,1(71,10 " 59,20) + (1 " 0,1)0 ŷ 2+1 = ŷ 3 = A 2 + pt 2 = 71,10 + 1*1,19 = 83,41 46 Jf. Ligning 8, 9 og 10 Side 31 af 99

40 Dermed giver forecastet for periode tre en efterspørgsel på 83,41 ved de optimale Alpha- og Beta- værdier. De er blevet udvalgt på baggrund af udregninger vist i bilag 3A. MSE- værdien for de forskellige Beta- værdier, er givet således: Figur 8. MSE- værdier for benyttet Beta ved Holt s Metode for sofaer. Det har vist sig at ud fra udregningerne i bilag 3A, at Beta- værdien 0,1 giver den laveste MSE- værdi i forbindelse med forecasting med Holt s Metode for sofaer. Det er derfor denne Beta- værdi der vil være ønskelig at benytte til forecasting for sofaer. Det er derfor denne værdi der er illustreret i eksemplet nedenfor, og det vil ligeledes være denne værdi der er benyttet i de andre perioder. Som det også er illustreret i Graf 16: Figur 9. Holt s Metode for sofaer sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Side 32 af 99

41 Her ses forecastet for sofaer ved Beta- værdien 0,1. Det er svært, som det også var tilfældet ved de andre metoder, at se præcist, hvor godt Holt s Metoden passer som forecastmetode for sofaer. Derfor skal ligningerne 4, 5 og 6 benyttes til at udregne parametre til sammenligning af metoderne. MSE MAPE MPE 140,27 10,19% - 0,24% Hermed har man brugbare parametre fra denne forecastmetode, til sammenligning med de tre andre metoder. Det samme skal findes for de to resterende produktgrupper. Først skal der, på samme måde som tilfældet var ved sofaer, findes den Beta- værdi, som giver den laveste MSE sammen med den solvede Alpha- værdi. Figur 10. MSE- værdier for benyttet Beta ved Holt s Metode for borde. Således kan det ud fra figur 10 ses, at det også i tilfældet med borde er Beta lig 0,1 der giver den laveste MSE. Og derfor egner sig bedst til forecast. Ud fra dette kan der opstilles en graf, som giver et billede af brugbarheden af Holt s Metode til at lave et forecast for fremtidige salgstal. Side 33 af 99

42 Figur 11. Holt s Metode for borde sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Og igen tilknyttes de tre parametre MSE, MAPE og MPE: MSE MAPE MPE 16,62 9,74% 1,55% På samme måde skal den mest brugbare Beta- værdi findes for den sidste produktgruppe; havemøbler. Metoden hertil er den sammen som ved de øvrige. Figur 12. MSE- værdier for benyttet Beta ved Holt s Metode for havemøbler. I dette tilfælde er det, modsat de to foregående, Beta- værdien på 0,9, der giver den laveste MSE for produktgruppen. Dermed kan grafen for Holt s Metode bruges til at udarbejde et Side 34 af 99

43 forecast for produktgruppen havemøbler. Og det vil blive gjort netop på bagrund af Beta- værdien 0,9: Figur 13. Holt s Metode for havemøbler sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Det fremgår heraf, som det også var tilfældet med de to foregående metoder, at brugbarheden ved havemøbler er minimal. Det er også oplagt, idet ingen af de hidtil brugte metoder tager hensyn til sæsonudsving for en produktgruppe. Det er derfor ikke nogen overraskelse, at MAPE og MPE ligger væsentligt højere end for de andre produktgrupper: MSE MAPE MPE 256,09 155,56% - 129,93% Således giver det mening at gennemføre endnu et forecast. Og denne gang en metode, der skal tage højde for de sæsonudsving, som det ikke har været mulig at behandle med de andre metoder. Derfor vil Winthers Model blive udarbejdet for at forsøge at få et bedre billede af, hvorledes salgstallene bliver for de tre produktgrupper i fremtidige kvartaler. Det er især det sidste forecast for produktgruppen havemøbler, der må tænkes at kunne blive bedre af denne type forecastingmodel med sæsonudsving. Side 35 af 99

44 Winters Model Den sidste forecastingmodel, der vil blive gennemgået i denne afhandling, er Winters Model. Denne model anvendes i tilfælde, hvor der er tegn på sæsonsvingninger inden for kalenderåret i de anvendte data. Derfor er den fundet brugbar i denne afhandling, idet der er tydelige tegn på netop dette i mindst en af de tre produktgruppe. Winters Model er en 3- parametermodel og en videreudvikling af Holt s Metode. Hvor der i Holt s Metode indgår en Alpha og en Beta- værdi, indgår der i Winters Model desuden en Gamma- værdi. Denne værdi benyttes som et estimat for de sæsonudsving, der måtte forekomme i de anvendte data. Fremkomsten af værdien for Gamma vil blive gennemgået i det praktiske afsnit for Winters Model. Den teoretiske opbygning af et forecast, der er udarbejdet på baggrund af Winter s Model, er opbygget på samme måde som Holt s Metode nemlig med en række ligninger, som forecastet tager udgangspunkt i. I Winters model benyttes fire ligninger. Disse er som følger: Ligning : Ligning : Ligning : Ligning : A t =! y t S t " L + (1"!)(A t "1 + T t "1 ) T t = #(A t " A t "1 ) + (1" #)T t "1 S t = $ y t A t + (1 " $ )S t " L ŷ t + p = (A t + pt )S t " L + p Hvor: At = Ny smoothed værdi α = Smoothing konstant (0 < α < 1) yt = Ny observation eller faktisk værdi af serier i periode t 47 Hanke Hanke Hanke Hanke 155 Side 36 af 99

45 β = Smoothing konstant for trend estimate (0 < β < 0) Tt = Trend estimat γ = Smoothing constant for sæsonestimat (0 < γ < 1) St = Sæson estimat p = Antal perioder der skal laves et forecast for ind i fremtiden L = Længden af sæsonsvingninger ÿt+p = Forecast for p perioder Ligning 11 opdaterer den smoothede serie. Der ses kun en lille forskel i forhold til ligning 1 i Holt s metode. Forskellen er, at yt bliver divideret med St- L. Dette gøres for at fjerne den sæsonafhængighed, der måtte eksistere i observationen yt. Ligning 12 og 13 smoother henholdsvis trend og sæson. Formålet med, at yt bliver divideret med At i ligning 13, er, at det ønskes at udtrykke værdien som et indeks frem for en absolut værdi, således at denne kan blive averaged med sæsonindekset, der er smoothed til periode t- 1. Ligning 14 er stort set magen til ligning 13 i Holt s metode. Forskellen er, at estimatet for den fremtidige periode t+p bliver ganget med St- L+p. Sæsonindekset er det senest muligt anvendelige og bliver derfor brugt til at justere forecastet for sæsonsvingninger. For at fjerne unødvendige afvigelser har vi valgt at fjerne ŷ1, ŷ 2, ŷ 3, ŷ 4, da disse i modellen er sat til y 1. Disse fire værdier vil være grundlaget til en uforholdsmæssig stor procentdel af MSE- værdierne og bliver aldrig forecastet på. Dermed har de ingen relevans for modellen og er således udeladt. De er desuden blevet fjernet for at eliminere et fejlled, der vil kunne medføre valg af en forkert løsningsmodel. Winthers Model i praksis I denne er det dét tredje parameter, der er den afgørende forskel, set i forhold til Holt s Metode. Det er som vist oven for Gamma, der er det nye i forhold til tidligere. Og den benyttes for at tage højde for sæsonudsving i de fire produktgrupper. Og som det er udtrykt tidligere, er der især i forbindelse med havemøbler set klare tegn på, at netop sæsonudsving er tilstede. Men også i forhold til de andre produktgrupper kan denne mere avancerede model vise sig brugbar. Side 37 af 99

46 Derfor vil modellen blive brugt på alle tre produktgrupper for at finde den bedste metode for samtlige produktgrupper. Fremgangsmåden ved udarbejdelsen af denne model er i store træk ligestillet med udarbejdelsen af Holt s Metode. Solver er igen ikke brugbar, idet der er tale om tre parametre, så i stedet bruges igen Trial & Error. Men denne gang både ved fastsættelse af Beta og Gamma- værdier. Værdierne 0.2,0.4,0.6 og 0.8 er blevet brugt for både Beta og Gamma. De er blevet testet i de mulige kombinationer, og ved hver af de mulige kombinationer er den optimale Alpha- værdi fundet ved hjælp af solver. Dette er ligesom med de forrige perioder udført for at finde frem til den laveste MSE- værdi, som dermed vil give den bedst mulige forecast. Dermed kan man ved hjælp af ligningerne 11, 12, 13 og 14 udarbejde et forecast for de tre produktgrupper. Eksemplet for Winter s Model brugt på data for sofaer kommer til at se ud som vist nedenfor Eksemplet er lavet ud fra den bedste kombination af Beta og Gamma for sofaer, nemlig Beta: 0,2 og Gamma: 0,6 51. A 2 =! y 2 + (1"!)(A 2"1 + T 2"1 ) = 0, ,64 + (1" 0,6617)(59,20 + 0) = 74, 71 S 2"1 1 T 2 = #(A 2 " A 2"1 ) + (1" #)T 2"1 = 0,2(74,71 " 59,20) + (1 " 0,2)0 = 3,1 S 2 = $ y 2 + (1" $ )S 2"1 = 0,6 82,64 + (1" 0,6)1.0 = 1,06 A 2 74,71 ŷ 4 +1 = ŷ 5 = (A 4 + pt t )S 4 " 4 +1 = (80, 31+ 1* 3,11)1,0 = 83, 43 Ved hjælp af de fire ovenstående ligninger finder man ud af, at forecastet for periode 5 bliver 83,43, når man benytter de optimale Beta og Gamma- værdier. De optimale værdier er fundet på baggrund af udregningerne i bilag 4A. Det kan også illustreres grafisk ved hvilken kombination af parametrene, man findes den laveste MSE- værdi: 51 Jf. Ligning 11, 12, 13 og 14 Side 38 af 99

47 Figur 14. MSE- værdier for benyttede Beta og Gamma ved Winters Model for sofaer. I Figur 14 ses det også, at det netop er ved Beta- værdien 0.2 og Gamma- værdien 0.8. Ud fra denne information kan man konkludere, at der er en stor procentvis forskel på de forskellige MSE- værdier. Den laveste MSE på ligger meget lavere end den højeste, der ligger på over 100. Dermed kan man konkludere, at det har stor betydning, hvilken værdi, man vælger for henholdsvis Beta og Gamma i Trial & Error prøvningen. Alpha- værdien, der er fundet ved solver, ligger på 0, Da værdien er fundet ved hjælp af solver, ligger der ikke store udregninger til grund for tallet. Dermed kan man nu grafisk illustrere, hvorledes metoden bruges til at udarbejde et forecast for salgstallene sammenlignet med de realiserede salgstal: Side 39 af 99

48 Figur 15. Winters Model for sofaer sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Det er her, som det var tilfældet ved de andre metoder, svært at se præcist, hvor godt modellen fungerer i forhold til den givne produktgruppe. Man får dog et billede af, at metoden fungerer nogenlunde, idet linjerne i grafen følges pænt ad. Men for at få et billede af den præcise funktionalitet skal MSE, MAPE og MPE igen udregnes for denne parameterkombination: MSE MAPE MPE 66,02 6,48% - 1,16% Ud fra dette har man et sammenligningsparameter med de øvrige forecastmetoder i form af MSE. Og man kan også benytte MAPE til at få et indtryk af, hvor præcis metoden i dette tilfælde er, sammenlignet med de andre produktgrupper. MPE viser, om der på forecastet er en generel over- eller undervurdering. På samme måde som ovenfor skal der også findes en optimal kombination af Alpha, Beta og Gamma for produktgruppen: borde. Det gøres også her ved hjælp af Trial & Error og solver : Side 40 af 99

49 Figur 16. MSE- værdier for benyttede Beta og Gamma ved Winters Model for borde. Ud fra denne graf, der er lavet på baggrund af udregningerne i bilag 4B, ses det at når kombinationen er: Beta lig 0.2 og Gamma lig 0.8 at man finder den MSE- værdi der lavest og dermed den bedste kombination til forecast. Ved denne kombination af Beta og Gamma er Alpha- værdien 0, udregnet ved hjælp af solver. Dermed kan man opstille grafen for denne kombination og få et visuelt billede på, hvorledes metoden fungerer for denne produkttype: Figur 17. Winters Model for borde sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. Side 41 af 99

50 Men igen er man nødsaget til at inddrage udregningerne af de tre sammenligningsparametre for at få et helt præcise billede af brugbarheden af metoden, set i forhold til de tre øvrige forecastmetoder. MSE MAPE MPE 6,84 6,00% - 0,16% Disse tal vil blive behandlet nærmere og sammenlignet med resultaterne for de øvrige metoder i afsnittet nedenfor. Til sidst skal der ses på den sidste produktgruppe, der tidligere har vist klare tegn på sæsonudsving og af den grund ikke har fungeret sammen med de øvrige forecastmetoder. Det er derfor spændende at se, hvorledes denne metode fungerer sammen med produktgruppen havemøbler, da denne metode har til formål at tage højde for disse sæsonudsving. Figur 18. MSE- værdier for benyttede Beta og Gamma ved Winters Model for havemøbler. Som det ses på denne graf giver det de samme MSE- værdier ved flere forskellige Beta- værdier. Så hver gang Beta er 0,8, er det den optimale løsning. Dette er tilfældet, da hver gang, Side 42 af 99

51 der er blevet solvet for den laveste MSE- værdi, så er Alpha sat til nul. Når Alpha er nul, så vil A t altid blive det samme, som også kan ses i formlen nedenfor 52 : A 2 =! y 2 + (1"!)(A 2"1 + T 2"1 ) = 0 16,53 + (1+ 0)(29,6 + 0) = 0 + 1(29,6) = 29,6 S 2"1 1 Og når A t altid er det samme, så vil trenden blive elimineret. Dette sker, da man som i ligning 12 kan se, så bliver disse to trukket fra hinanden A t! A t!1. Denne vil give nul, og trenden for periode 1 er 0, så alt i alt så giver det nul hver gang, som også kan ses i formlen nedenfor 53 : T 2 =!(A 2 " A 2"1 ) + (1"!)T 2"1 = 0,2(29,6 " 29,6) + (1" 0,2)0 = = 0 Så ved en Alpha- værdi på nul, vil den laveste MSE- værdi dikteres ud fra Gamma- værdier. Når det i sidste ende udelukkende er Gamma- værdien, der dikterer MSE- værdien, kunne man have valgt enhver af de fire gange, hvor Gamma er lig 0.8, at lave den mest brugbare graf ud fra. Det betyder, at det eneste, der bliver taget højde for ved havemøbler, er sæsonafvigelserne, og dermed er trenden uden betydning for forecasting med Winters Model for havemøbler. Enhver graf for de fire tilfælde ser altså således ud: Figur 19. Winter s Model for havemøbler sammenlignet med de realiserede salgstal i perioderne. 52 Jf. Ligning Jf. Ligning 12 Side 43 af 99

52 Som det også har været tilfældet for de andre forecastmetoder og produktgrupper, vil det være hensigtsmæssigt at benytte de tre sammenligningsparametre for at undersøge, hvor brugbar metoden er for netop denne produktgruppe. MSE MAPE MPE 22,39 15,62% - 2,92% Det ses tydeligt her, som det også gjorde sig gældende ved den grafiske illustration, at denne metode fungerer betydeligt bedre til forecasting af produktgrupper med sæsonudsving, end det var tilfældet ved de andre. Der er her en MAPE og MSE, der er tydelig brugbar, hvor vi var på randen af at forkaste de andre metoder til brug som forecastingmetode for havemøbler. De fire metoder er nu blevet brugt på de tre produktgrupper. Det betyder, at metoderne nu kan sammenlignes. Formålet med en sådan sammenligning er at finde frem til, hvilken metode, der er mest brugbar indenfor de respektive produktgrupper, for efterfølgende at kunne lave en produktionsplanlægning ud fra den mest brugbare af metoderne i hvert tilfælde. Sammenligning af resultater fra de fire modeller For at få et overblik over resultaterne fra de fire modeller, skal disse sammenlignes for at finde frem til de mest brugbare til udformningen af en optimeringsmodel, der skal ligge til grund for BoConcepts produktionsplan. Det vil blive gjort ved at sammenligne MSE- værdierne, som det også er blevet beskrevet tidligere i opgaven. Men der vil også blive kommenteret på abnormiteter i MAPE- og MPE- værdierne. De illustrative grafer vil også medvirke til at give et helt klart billede af, hvilken af de fire modeller, der fungerer bedst for de tre produktgrupper. Dermed vil man med sikkerhed kunne fastslå, hvilke fremtidige salgstal, der vil være bedst at arbejde ud fra senere i denne afhandling. Og dermed kan det besluttes, hvilke overordnede salgstal optimeringsmodellen for produktionsplanlægning, virksomheden skal arbejde ud fra. Side 44 af 99

53 Figur 20. Sammenligning af de fire modeller og de realiserede salgstal for sofaer. Graf 19 illustrerer de fire forskellige forecastingmetode sat samme for sofaer. Ved første øjekast ser der ikke ud til at være stor forskel på udfaldet, men hvis man kigger godt efter, bliver det klart, hvorfor Winters Model giver den laveste MSE. Moving Average og Exponential Smoothing tager ikke højde for de udsving, der måtte komme, men følger snarere en trendlinje. Holt s Metode forsøger at følge med de forskellige udsving, men den halter i samtlige tilfælde efter de realiserede salgstal, således at udsvingene på grafen ligger en periode efter, hvad de gør i de realiserede salgstal. På den måde kommer resultaterne til at ligge langt fra, og dermed er brugbarheden til at overse. Den model, som ligger tættest på de realiserede salgstal, og ligeledes har den laveste MSE, er dermed Winter s Modellen. Den formår at opfange de fleste udsving og kommer på den måde tættere på de realiserede salgstal end de øvrige modeller. Sofa Modeller MSE MAPE MPE Moving Average 118,02 9,47% 1,38% Exponential Smoothing 137,55 10,06% 2,24% Holts Metode 140,27 10,19% - 0,24% Winters model 66,02 6,48% 6,48% Tabel 9. Sammenligningsparametrene for de fire modeller for sofaer Side 45 af 99

54 Som det også kan ses ud fra Tabel 9, er det klart Winter s Model der har den laveste MSE og MAPE. Dog overvurderer Winter s Model salgstallene en smule og ligger med en klart mere afvigende MPE set i forhold til de øvrige modeller. En anden ting, der er værd at lægge mærke til, er, at Moving Average, som er den simpleste model, har den laveste MSE af de resterende tre modeller. Det beviser tesen om, at det ikke altid er de mest komplicerede modeller, der er de mest brugbare. Figur 21. Sammenligning af de fire modeller og de realiserede salgstal for borde. Stort set det samme, som det var tilfældet med sofaer, gør sig gældende med borde. De fire forskellige metoder opfører sig på samme måde. Moving Average og Exponential Smoothing forsøger på bedst mulig måde at følge med, men undervurderer konstant salgstallene, specielt i de perioder, hvor salgstallene stiger. Man kan sige, at de halter en periode bagefter set i forhold til de realiserede salgstal. Dette er ikke overraskende i forbindelse med Moving Average. Dennes forecast tager udgangspunkt i foregående perioders salgstal. Så i tilfælde som dette, hvor udgangspunktet er konstant, vil Moving Average altid undervurdere salgstallene. Holt s Metode følger rigtig godt med de første perioder, hvor der stort set kun er vækst, men når salgstallene svinger mere, kan modellen ikke følge med. Som det også var med sofaer, så passer Winters model bedst, da den er bedst til at opfange udsvingene og samtidig følger godt med i opsvinget. Side 46 af 99

55 Borde Modeller MSE MAPE MPE Moving Average 18,95 10,69% 6,07% Exponential smoothing 17,44 10,08% 4,53% Holts Metode 16,62 9,74% 1,55% Winters model 6,84 6,00% - 0,16% Tabel 10. Sammenligningsparametrene for de fire modeller for borde. At Winters Model er den mest passende for borde, bliver også tydeliggjort i tabel 10. Winters Model har den laveste MSE og MAPE. Ligesom den har den laveste afvigelse fra 0 med hensyn til MPE. Her er det altså tydeligt, at den mest avancerede model giver det bedste resultat for produktgruppen. Billedet er tydeligt, da Holts Metode har lavere MSE end Exponential Smoothing, og Exponential Smoothing har lavere MSE end Moving Average. Figur 22. Sammenligning af de fire modeller og de realiserede salgstal for havemøbler. Når de fire metoder skal sammenlignes med hensyn til havemøbler, er der næsten kun en metode, der er værd at nævne. Moving average, Exponential smoothing og Holts Metode er ikke anvendelige med hensyn til havemøblers salgstal. Modellerne forsøger ikke at indfange udsvingene, men ligger alle tre stort set med en lige linje omkring gennemsnittet. Det betyder ligeledes, at resultaterne illustreret i tabellen nedenfor er ubrugelige. Især MPE ligger ganske tilfældigt. Den eneste model, der kan bruges i forhold til disse salgstal, er Winters Model. Som det fremgår af grafen følger forecastet godt med og følger alle udsvingene. Det er imidlertid også Side 47 af 99

56 tydeligt, at den ikke rammer præcist i udsvingene. Den enten over- eller undervurderer salgstallene. Det gør sig særligt gældende i de kvartaler, hvor salget er stort. Havemøbler Modeller MSE MAPE MPE Moving Average 251,07 131,49% - 96,31% Exponential smoothing 256,78 158,15% 158,15% Holts Metode 256,09 155,56% - 129,93% Winters model 22,39 15,62% - 2,92% Tabel 11. Sammenligningsparametrene for de fire modeller for havemøbler Som det fremgår af tabellen ovenfor, så er Moving Average, Exponential Smoothing og Holts Metode meget upræcise og Winters Model er i runde tal ti gange mere præcis, end de andre tre, med hensyn til MSE og MAPE. Ved de tre første metoder bliver salgstallene enten meget over- eller undervurderet. Det kan dog diskuteres, om der kan være tale om en overvurdering eller en undervurdering, men at modellerne alt i alt overhovedet ikke passer til salgstallene er der ingen tvivl om. MPE for Winters Model ligger på respektable - 2,92. Konklusion på forecast Det er nu tydeligt, at den mest omfattende model, nemlig Winter s Model, er den model, som giver den laveste MSE- værdi for samtlige tre produktgrupper. Det betyder, at den dyreste model i samtlige tilfælde giver det mest præcise resultat. Tesen fremsat i starten af forecast afsnittet har arbejdet ud fra, tanken om at det ikke altid er den mest omfattende model der giver det bedste resultat. I denne afhandling har det dog vist sig at være tilfældet. Der er også tale om en meget lille stikprøve. Som nævnt i præsentationen af modellen giver Winter s Model som den eneste af modellerne et forecast, der går fire perioder frem. Det medfører, at man i udformningen af LP- modellen i denne afhandling kan arbejde fire perioder frem i planlægningen af produktionen for BoConcept. Det er altså nu muligt at opstille salgstallene for de tre produktgrupper, som der efterfølgende kan udformes en produktionsplanlægning ud fra: Side 48 af 99

57 !"#$%&'(&)#*+,** -"#$%&'(&)#*+,** *"#$%&'(&)#**,*.."#$%&'(&)#**,*.!"#$%&'($)$*+&,-'(&, /01&2' 3+"4++"+++ 5+"*++"+++ 5."5++"+++ *+5"6++"+++ 70'82!6".++"+++!3"5++"+++ -.".++"+++ -5"-++"+++ 9&%2:;<)2' -"-++"+++!6".++"+++ -="*++"+++.*"6++"+++ Tabel 12. De forecastede salgstal for hver af de tre produktgrupper i fire perioder frem. Hermed kan se at den første periode, der skal planlægges for er det 3. Kvartal i 10/11, som der således vil blive taget udgangspunkt i, i den følgende LP- model. Det skyldes at det er den førstkommende perioder, hvor der ikke allerede forelægger et kvartalsregnskab. Som en opsamling på hele afsnittet kan det bemærkes, at Winter s Model, som har evnen til at opfange sæsonudsving, helt tydeligt skulle have den laveste MSE, når det kommer til havemøbler, hvor der var tydelige tegn på sæsonudsving, men det er mere overraskende, at den også giver de bedste tal i de tilfælde, hvor der ikke umiddelbart er tegn på sæsonudsving. Det underbygger, at det altid er en fordel at benytte mere end en forecastmetode, når man skal bygge sin produktion op ud fra disse. Både da man kan få et bedre syn på udviklingen, men også fordi man kan få en bedre forståelse af fejlmarginen ved at se på forskellene i de forecastede værdier fra de respektive modeller. Kritik af resultaterne fra modellerne I dette afsnit vil det blive diskuteret, hvorvidt de i afhandlingen producerede forecasts kan bruges, og hvorvidt de fortæller noget om fremtiden. Som det fremgår af graferne nedenfor, ligger de tre forecasts utrolig tæt på de fire forrige perioders salgstal. De ligger så tæt op ad hinanden, at de næsten er identiske. Det ligner derfor, at man lige så godt kunne have benyttet sig af Naive Model i forbindelse med udarbejdelsen af de tre forecasts. Side 49 af 99

58 De Sidste fire Perioder med salgstal, og de fire forecast perioder Sofa Borde Havemøbler ,00 60,00 Salgstal Salgstal 40,00 20,00 Salgstal 40,00 20, Perioder 0, Perioder 0, Perioder Figur 23. Sammenligning af de forecastede tal for produktgrupperne med salgstal for fire perioder tilbage. Det skal i første omgang siges, at disse forecastingmodeller ikke kan bruges til at opfange økonomiske kriser og lignende. Så ud fra den betragtning og den måde, hvorpå vi har genereret vores salgstal, så vil det være meget usandsynligt, at de forecastede salgstal vil opføre sig helt på samme måde og lave de store udsving igen, som tilfældet er med de sidste fire perioder. Her er det specielt med hensyn til borde og sofaer. For som det ses ud fra graferne i sammenligningsafsnittet, for disse to produktgrupper, så tager den et stort hop ned og derefter op igen. Der sker det, at forecastingmetoden reagerer som hvis der var tale om sæsonudsving, hvor der i virkeligheden nærmere er tale om en økonomisk nedgang der rammer BoConcept. Det skal selvfølgelig ses i lyset af, at det var Winters metode, der havde den laveste MSE, og at denne tager højde for sæsonudsving. Hvis man kigger lidt nærmere på de andre metoders forecasts, så ligger de også langt fra Winter s Model. Men her kan der som sagt også kun ses en periode frem, hvilket gør det svært at vurdere, om de ville have reageret på samme måde - selvom det er meget usandsynligt. Så diskussionen om, hvorvidt de forecastede salgstal er retvisende, vil for sofaer og borde være noget usikker, da disse i virkeligheden formentlig ikke vil opføre sig helt på samme måde. Derimod er det noget mere sikkert, at salgstallene for havemøbler rammer noget tættere på. Det essentielle er, at man som beslutningstager benytter sig af sund fornuft og altid stiller sig kritisk over for de resultater, der fremkommer fra disse typer af modeller. Der vil i denne afhandling ikke blive forkastet resultater med henblik på uklarhed angående sikkerheden. Dette skyldes, at der er tale om en teoretisk opgave, der ikke har som hovedformål at finde frem til de nøjagtige salgstal, men i stedet at illustrere de benyttede modeller bedst muligt. Side 50 af 99

59 Modelkritik Som det er nævnt flere gange er det er yderste vigtighed at forholde sig kritisk. Ikke alene til modellerne som teoretisk virkemiddel, men også til de data, der bliver benyttet til udformningen af modellerne. Således, at man altid holder sig de fire regler for forecasting for øje og husker, at forecasting ikke er en eksakt videnskab. Men skal også være meget opmærksom på begrænsningerne i de modeller, man benytter: Moving Average 54 Moving Average er i virkeligheden en videreudvikling af Naive Forecast. Det faktum, at der bliver benyttet flere perioder, altså en højere n- værdi, gør, at man opnår en blødere forecast, der ikke reagerer så kraftigt på pludselige ændringer i data. I dette tilfælde salgstallene. Metoden er billig for virksomheder at benytte, men der er en grund til, at beslutningstagerne ofte holder sig fra denne. Den helt klare begrænsning ved denne metode er netop kravet til, at de data, der behandles, skal være meget stationære Metoden tager ikke højde for ændringer i markedet; hverken udviklinger i trends eller ændringer grundet sæsonafvigelser. Den grundlægende konklusion for denne metode er, at: man skal benytte metoden, hvis der i en organisation ikke er ressourcer til at foretage mere komplicerede forecasts. Men man skal altid være opmærksom på de begrænsninger, som metoden er forbundet med. Muligheden, der ligger for en beslutningstager for at afhjælpe denne problemstilling, er i valget af n- værdien. Men man skal holde sig for øje, at det ikke er muligt at eliminere denne. Begrænsningen i form af manglende fleksibilitet vil altid eksistere. Exponentiel Smoothing Exponentiel Smoothing har, modsat Moving Average, evnen til at vægte tidligere forecasts og observationer i forecastet for næste periode. Men der er også nogle klare problemer knyttet til denne metode. Brugen af smoothing konstanten Alpha, som det er tilfældet i nærværende afhandling, indebærer, at opbygningen bliver afhængig af en enkelt konstant, der er fremkommet ved hjælp af solver, hvilket i bund og grund er en avanceret Trial & Error proces. Ydermere er det en problemstilling for Exponential Smoothing - modeller med en variabel at de ikke er i stand til at tilpasse sig fremadrettet. 54 Jarret s. 27 Side 51 af 99

60 De vil derfor altid ligge en periode bagefter de realiserede salgstal i tilfælde, hvor der på de benyttede data er trends eller sæsonudsving. Holt s Metode Holt s Metode har flere af de samme problemer som Exponentiel Smoothing. Konstanterne, der benyttes i opstillingen af denne metode, altså Alpha og Beta, er også fundet ved hjælp af Trial & Error. Beta er i denne afhandling fundet ved hjælp af simpel Trial & Error, hvor Alpha, som det også var tilfældet i Exponentiel Smoothing, er fundet ved hjælp af solver på baggrund af de testede Beta- værdier. Holts Metode er meget brugbar, når man ser eksempler på trends. Eksemplet i denne afhandling vil være for produktgruppen borde, hvor der er en blød opadgående stigning på de benyttede data. Her kan modellen godt indfange de ændringer, der sker, men når det kommer til kraftige ændringer fra den ene periode til den anden, kan modellen ikke reagere hurtigt nok til at udsvingene fanges. Det er de sæsonudsving, der tidligere er blevet nævnt, som denne model ikke kan fange, men det kommer ikke som en overraskelse, idet modellen netop ikke er gearet til at behandle disse udsving. Winter s Model Denne model har en række af de samme problemstillinger som Exponentiel Smoothing med et eller to parametre. Der er her hele tre parametre, som bliver besluttet ved hjælp af Trial & Error. Igen er Alpha besluttet ved hjælp af Solver, og Beta og Gamma er fundet gennem simpel Trial & Error. Det kan, hvis man i praksis skal udføre dette, blive en meget dyr proces. Det er ikke muligt inden for rimelighedens grænser at lave præcise udregninger for de tre parametre, hvilket også giver en usikkerhed. En anden problemstilling, der gør sig gældende, er, at Winter s Model i de forecastede perioder laver nogle forholdsvis store udsving ved en række kombinationer af salgstal, hvor der ikke er tydelige sæsonudsving,. Selvfølgelig kan det ikke siges, om dette er korrekt, men det ligger meget ved siden af de andre tre modeller. Side 52 af 99

61 Produktionsplanlægning Introduktion til optimering Der er nu i opgaven udarbejdet et optimalt forecast for de tre produkttyper. 55 Ud fra disse tal skal der nu udarbejdes en optimal produktionsplan for BoConcept. Dette skal gøres for at virksomheden kan opnå det optimale udbytte inden for de givne rammer i produktionen. Rammerne vil i dette tilfælde både bestå af begrænset efterspørgsel af visse produkttyper, begrænset mulighed for anskaffelse og begrænset mulighed for produktion af visse materialer. For at finde frem til den optimale produktionsplan for BoConcept vil det kræve en model der kan optimere denne. Denne model vil kunne vise den optimale sammensætning af hvilke produkter der skal produceres i de fire perioder. Valg af optimeringsmodel Valget af optimeringsmodel er umiddelbart oplagt, idet lineær programmering er et værktøj der er brugbart i mange tilfælde. Det essentielle for brugen af den lineære programmering er den data man benytter i processen. Kravet til det talmateriale man benytter er; at alle tallene skal være lineære. Med dette menes der, at tallene ligger på lige linje, og dermed ikke indeholde formler med opløftede tal. Eksempel: 56 Et eksempel på en situation hvor der er tale om et optimeringsproblem, men ikke et lineært er: Hvis en beslutningstager hos BoConcept ville måle den samlede produktivitet for en fabrik ved at gange produktionstallene for de tre produktgrupper: x 1 x 2 x 3. Der er som sagt, her tale om en brugbar objektfunktion til et optimeringsproblem. Det er bare ikke lineær programmering. De begrænsninger der benyttes i optimeringen skal ligeledes overholde nogle retningslinjer hvis der skal være tale om lineær programmering. Eksempelvis eksempel må der ikke forekomme opløftede tal i begrænsningerne, hvis de skal leve op til en lineær problemstilling: 55 Ud fra de fire metoder der er blevet benyttet 56 Aspnes s. 7 Side 53 af 99

62 x x 2! 312 En ligning som denne vil derfor ikke være brugbar som begrænsning, når der er tale om en lineær programmering grundet det opløftede x 1. Før man vælger metode, skal man derfor være meget sikker på sit talmateriale, da opløftede tal ikke er brugbare i lineær programmering. I denne afhandling er talmaterialet netop lineært, og dette vil være illustreret i bilagene 57. Opstilling af model Grundet de lineære data, er Lineær programmering det oplagte valg at benytte sig af ved netop denne type problem 58. Der er netop her tale om en matematisk optimeringsmetode, hvilket er hvad der vil være at foretrække når man skal optimere en virksomheds dækningsbidrag. Man har muligheden for at undersøge hvilke af begrænsningerne i efterspørgslen der vil være relevante for BoConcept at tage højde for, i forhold til at optimere produktionen og dermed optimere dækningsbidraget for virksomheden. Lineær programmering giver et billede på hvad der ifølge Eppen også er kendt som En begrænset optimeringsmodel 59. Der bliver i samme ombæring også udtrykt en klar læresætning vedrørende disse modeller: A Constrainedoptimization model represents the problem of allocatingscarce ressources in such a way as to optimize an objective of interest 60. Der findes flere typer af beslutningsmodeller der behandler begrænset data, men Lineær programmering har vist sig at virke på mange typer af problemer. Med den overbevisning i baghovedet vil den også blive benyttet på de tal, og de begrænsning der figurerer i denne afhandling, på baggrund af afsnittet ovenfor. Når metoden til benyttelse af optimering er valgt, kan man som beslutningstager se nærmere på hvorledes modellen skal stilles op. Der er som bekendt et utal af måder hvorpå modellen kan udarbejdes, men der findes nogle grundsten i den lineære programmering der altid skal ligge til grund for udarbejdelsen. Alle lineære programmeringsmodeller skal indeholde en objektfunktion og en mængde begrænsninger. I udarbejdelsen af modellen er det vigtigt at disse to elementer er på plads. 57 Bilag 5 58 Der vil i konklusionen på afsnittet blive samlet op på den reelle brugbarhed af metoden. 59 Moore s Moore s. 76 ll. 13 Side 54 af 99

63 Objektfunktionen vil blive udarbejdet på baggrund af en række beslutningsvariable som knytter sig til de enkelte elementer som modellen kommer til at bestå af. Det vil være en kombination af disse variable der vil udgøre det optimale produktmix, som samtidig vil være den optimale produktionsplan. De variable der benyttes i modellen er samtidig de variable beslutningstageren har muligheden for at ændre på. Det kan udtrykkes således at, den samlede mængde af beslutningsvariablene, og den korrekte kombination af disse, er svaret på optimeringsproblemet. Det er kombinationen af disse der skal give en maksimering eller minimering på problemet. I dette tilfælde vil der være tale om en maksimering af et dækningsbidrag for BoConcept, da man selvfølgelig ønsker det højest mulige resultat. Beslutningsvariablene der benyttes til objektfunktionen skal overholde en række begrænsninger for at kunne bruges i modellen. Det leder til den anden af de to grundsten i enhver lineær programmeringsmodel, nemlig; begrænsningerne. Her kan der være tale om en lang række forskellige begrænsninger alt efter hvilken type programmeringsmodel der er tale om. I optimering af produktion kan der være tale om begrænsninger i efterspørgsel, begrænsninger i materiale eller personale. Det er så op til beslutningstageren at få udformet de rette begrænsninger, i forhold til virksomhedens muligheder og grænser for disse. Således får man brugt de korrekte beslutningsvariable til udformningen af objektfunktionen. Den praktiske udførelse og dermed opstillingen af begrænsningerne, udvælgelsen af beslutningsvariable og udformning af objektfunktion vil blive gennemgået nedenfor i de respektive afsnit. Overordnet set vil der være tale om en køreplan man som beslutningstager kan benytte sig af til formuleringen af en lineær programmeringsmodel: 1. Identificering af beslutningsvariable 2. Udformning af objektfunktion 3. Udformning af begrænsninger Disse tre skridt i formuleringen af problemet vil blive gennemgået individuelt i afsnittene nedenfor. Side 55 af 99

64 Lineær programmering Beslutningsvariable Gennemgående er beslutningsvariablene alle de produkter man har udvalgt, og som man ønsker at optimere kombinationen af. Eller udtrykt anderledes; det er de variable beslutningsageren selv har mulighed for at ændre på. Her i opgaven er det alle de typer af forskellige sofaer, borde og havemøbler der kan produceres hos BoConcept. Således at hver beslutningsvariabel i modellen enten er en del af produktgruppen, sofa, borde eller havemøbler. Der vil i dette afsnit blive gennemgået, hvilke beslutningsvariable der er benyttet til opstillingen af modellen, og hvilket dækningsbidrag de hver i sær er tillagt, og dertil hvordan disse dækningsbidrag er udregnet. Som hovedregel snakker man om formlen: Ligning :! c j x j j Hvor x j er alle de forskellige beslutningsvariable, og c j er det tillagte dækningsbidrag. Så først vil de forskellige x j blive bestemt og herefter hvilket c j der til denne er tilknyttet ved hjælp af en udregning. Således har man til sidst en fuld mængde der efterfølgende kan benyttes til opstillingen af en brugbar objektfunktion. Beslutningsvariable for Sofa Der er 13 forskellige sofaer: Cesto, Morini, Mezzo, Terni, Lugo, Indiva, Lari, Celano, Carmo, Como, Milos, Nova, Quattro 62. I dette afsnit vil der blive gennemgået hvilke kombinationer de forskellige sofaer kan have, og dermed hvilke typer af sofaer BoConcept producerer. Det er så disse muligheder, der udgør de beslutningsvariable der er i produktgruppen sofa. Overordnet set kan alle sofaerne enten blive betrukket med stof eller læder. Derudover er der 7 slags ben der kan sættes på sofaerne. Tre typer meder, tre typer metalben og en type træklods: 61 Aspnes s De er yderligere opdelt i 5 undergrupper jf. Casebeskrivelsen, men dette er uden relevans for de enkelte beslutningsvariable. Side 56 af 99

65 1 metalben 1 2 metalben 2 3 metalben 3 4 mede 1 5 mede 2 6 mede 3 7 træklods 1 Ud fra dette er der: 13 forskellige typer af sofaer, 2 forskellige slags betræk og 7 forskellige kombinationer af ben, så giver det alt i alt beslutningsvariable i produktgruppen sofaer. Dog kan alle de syv typer af ben ikke kombineres med alle de 13 sofatyper. Der er 4 sofaer, som grundet deres udformning ikke produceres med meder 64. Disse fire er: Terni, Indiva, Lari og Nova. Det betyder at disse fire ikke kan blive kombineret med ben af typerne 4,5 eller 6, hvilket medfører at både læder og stofudgaven af disse fire sofaer ikke er brugbare med de ovennævnte typer af ben. Så her forsvinder der beslutningsvariable for sofaer, så der alt i alt er = 158 beslutningsvariable for sofaer. Dækningsbidrag for Sofa Først og fremmest har alle sofaerne hver deres grundsalgspris og grundmaterialeomkostninger, altså hvad den koster uden ben og betræk 66. Disse salgspriser og materialeomkostninger ses alle sammen i Tabel 13 nedenfor: 63 13*2*7= Dette er en beslutning taget af opgaveskrivere, og tager ikke udgangspunkt i virkeligheden. 65 Fire typer sofaer* to typer af betræk* tre typer af ben = 24 typer af sofaer = 24 beslutningsvariable. 66 Materialeomkostningerne er frit genereret af opgaveskrivere, og salgspriserene derefter ganget op med 1,25 da man ønsker en dækningsprocent på 20% af salgstallet. Side 57 af 99

66 Model Salgspris Materialeomkostninger Cesto kr ,00 kr ,00 Morini kr ,00 kr ,00 Mezzo kr ,00 kr 9.600,00 Terni kr ,00 kr ,00 Lugo kr ,00 kr 9.120,00 Indiva kr ,00 kr ,00 Lari kr ,00 kr ,00 Celano kr ,00 kr ,00 Carmo kr ,00 kr 9.120,00 Como kr ,00 kr 9.120,00 Milos kr ,00 Kr ,00 Nova kr ,00 kr ,00 Quattro kr ,00 kr 9.600,00 Tabel 13. Grundsalgspriser og grundmaterialeomkostninger for sofaer Oven i de grundpriser der er på de 13 typer af sofaer skal der tillægges en pris til hver af de færdige beslutningsvariable, der er bestemt af stoftypen, størrelsen på sofaen, antallet af ben og typen af ben. Så ud fra hvor meget stof der bliver brugt, og hvor mange ben der skal benyttes bliver en yderligere værdi lagt til salgsprisen. Som det ses nedenfor i tabel 14 er det forskellige takster til de forskellige ben/meder. Der er også forskellige priser på betrækket. Her er det lidt dyrere at betrække den producerede sofa med læder, men det er også muligt for BoConcept at tage en højere pris for det: Type Materialeomkostninger Pris tillagt slagspris Metalben 1 kr 120,00 kr 150,00 Metalben 2 kr 168,00 kr 225,00 Metalben 3 kr 210,00 kr 345,00 Mede 1 kr 220,00 kr 360,00 Mede 2 kr 320,00 kr 525,00 Mede 3 kr 420,00 kr 750,00 Træklods 1 kr 102,00 kr 120,00 Stof kr 130,00 kr 150,00 Læder kr 165,00 kr 200,00 Tabel14. Materialeomkostninger og salgspriser på ben og betræk for sofaer Side 58 af 99

67 De forskellige sofaer har forskellige kombinationer af hvor mange ben/meder der skal benyttes og de har forskellige krav til hvor meget betræk, stof henholdsvis læder, der skal benyttes til at betrække dem. Dette betyder at salgspriserne og materialeomkostningerne vil blive tilpasset hver enkelt af de 158 sofaer BoConcept producerer. Derudover er det også forskelligt hvor mange arbejdstimer der bruges på den enkelte sofa. Alle arbejdstimer koster 230 kr. 67 og derfor vil antallet af timer brugt på en sofa blive ganget op med arbejdslønnen så man for de 13 typer af sofaer opnår, at få tilknyttet en unik personaleomkostning. Model Antal Ben Antal Meder Antal betræk Timeforbrug Cesto Morini Mezzo Terni 5 7,5 5 Lugo Indiva 5 7,5 5 Lari Celano Carmo Como Milos Nova Quattro Tabel 15. Forbrug af materialer til hver af de 13 sofatyper. For at få et bedre overblik over dette er der udarbejdet en formel for dækningsbidraget, hvor alle disse forskellige variable er indeholdt: Ligning : DBKLM,, = ( Ak + Ck * El + Dk * Fm) ( Bk + Gk * H + Ck * Il + Dk * J m) Hvor: A k : Salgspris for sofa k før ben/meder og betræk B k : Materiale omkostninger for sofa k før ben/meder og betræk 67 Tallet her er besluttet af opgaveskrivere 68 Egen tilvirkning Side 59 af 99

68 C k :Antal Ben/meder for sofa k D k :Antal stk. betræk for sofa k E l : Pris tillagt salgspris for ben/mede l F m : Pris tillagt salgspris for betræk m G k : Timeforbrug for sofa k H : Pris pr. arbejdstime I l :Materialeomkostninger for ben/mede l J m : Materialeomkostninger for betræk m k : Type sofa l : Type ben m : Type betræk Eks. For at vise hvorledes ligningen fungerer vil der blive gennemgået et eksempel: Cesto sofa med læder betræk og ben type 2. DB = ( A + C * E + D * F ) ( B + G * H + C * I + D * J ) 69 Cesto, Ben2, Læder Cesto Cesto Ben2 Cesto Læder Cesto Cesto Cesto Ben2 Cesto Læder DB Cesto+ Ben 2 + Læder = ( * *200) ( * * *165) = Denne formel er brugt på alle 158 forskellige beslutningsvariable. På denne måde er det! c j x j j muligt at udfylde formlen, for sofaer. Dermed fremkommer 158 brugbare beslutningsvariable, samt deres DB, for denne produktgruppe. Beslutningsvariable for Borde Som det gjorde sig gældende for sofaerne, er det også her de forskellige kombinationer af borde der udgør beslutningsvariablene for denne produktgruppe. Det skal derfor undersøges hvor mange kombinationer der eksisterer for denne produktgruppe. Der er i denne produktgruppe, som det også er udtryk i casebeskrivelsen 3 forskellige overordnede typer af 69 Jf. Ligning Jf. Ligning 16 Side 60 af 99

69 borde: Firkantede Spiseborde med udtræk, firkantede spiseborde uden udtræk og runde spiseborde. Disse kan sammen sættes med otte forskellige typer af ben: Tynde metalben Tynde træben Tykke metalben Tykke træben Metalmeder Træmeder Centerben metal Centerben træ Disse otte typer ben kan hver især monteres på hver af de tre typer af borde, så det giver en række kombinationer. Udover det, skal der også vælges hvilken bordplade man ønsker at sætte på bordet. Der kan påsættes en af følgende 4 typer af bordplade på bordet: Sten Naturtræ Hvidt behandlet træ Sort behandlet træ Dette giver i alt 3*8*4=96 forskellige muligheder for sammensætning af produkter fra gruppen borde Dog er det ikke alle disse kombinationer af ben, plade og bordtype der kan lade sig gøre. Det er ikke muligt at lave centerben i metal, og det er ligeledes hellers ikke muligt at lave meder i træ 71. Dette skyldes en begrænsning i muligheden for montering af disse typer af ben 72. Derudover er det heller ikke muligt at lave et bord med stenbordplade og tynde metal- og træben. Dette skydes at det ikke er sikkerhedsmæssigt ansvarligt at montere den tunge stenplade på de tynde ben, der ikke besidder samme bæreevne som de andre typer af ben. 73 Sidst er det heller ikke muligt at lave et rundt bord med meder. Det skyldes at de runde borde 71 Dette er en fri antagelse fra opgaveskriveres side 72 Denne begrænsning er frit genereret af opgaveskrivere. 73 Denne begrænsning i bæreevne er besluttet af opgaveskrivere Side 61 af 99

70 ikke efterlader nok benplads hvis de får meder monteret. 74 Dette gør at der forsvinder en række beslutningsvariable. Først fjernes de to typer af ben, hvilket medvirker at der forsvinder 3*2*4=24 beslutningsvariable som ikke skal medtages i den endelige objektfunktion. Grundet det faktum at man ikke kan lave borde med stenplade og tynde ben forsvinder der 3*2*1=6 beslutningsvariable. Og slutteligt kan der ikke kan være meder på runde borde og dermed forsvinder der 1*1*4=4 beslutningsvariable. Så efter at disse beslutningsvariable er fjernet, ender det med: 96- (24+6+4) = 62 beslutningsvariable for borde. Dækningsbidrag for borde Ligesom det var tilfældet for sofaer er de forskellige slags borde tildelt en individuel salgspris, og nogle materialeomkostninger. Disse tal udgør grundlaget for det endelige dækningsbidrag 75. Model Salgspris Materialeomkostninger Firkantede spiseborde med udtræk kr 4.750,00 kr 3.000,00 Firkantede spiseborde uden udtræk kr 3.250,00 kr 2.300,00 Runde spiseborde kr 2.500,00 kr 2.000,00 Tabel 16. Grundsalgspriser og grundmaterialeomkostninger for produktgruppen borde Udregningen af samlede materialeomkostninger og salgspriser er en smule anderledes for borde end det var tilfældet for sofaer. Der er igen en gruppe ekstraomkostninger tilknyttet grundprisen, alt efter hvilket slutprodukt der produceres. Men det er ikke afhængigt af størrelsen på bordet hvor mange ben der skal tilknyttes bordet, idet alle borde enten vil benytte fire ben, to meder eller en centerblok. Dermed er prisen, når det kommer til ben i dette tilfælde altid prisen for fire hvis der er tale om tynde eller tykke ben, prisen på to meder eller prisen på et enkelt centerben. 74 Denne begrænsning er frit genereret af opgaveskrivere. 75 Disse tal er genereret af opgaveskrivere, og søger den samme ratio imellem materialeomkostninger og salgspriser som ved sofaer Side 62 af 99

71 Type Materialeomkostninger Pris tillagt slagspris Sten bordplade kr 1.640,00 kr 2.500,00 Naturtræ bordplade kr 1.200,00 kr 1.800,00 Hvidt behandlet træ bordplade kr 800,00 kr 1.000,00 Sort behandlet træ bordplade kr 800,00 kr 1.000,00 Tynde ben metal kr 280,00 kr 350,00 Tynde ben træ kr 322,00 kr 437,50 Tykke ben metal kr 350,00 kr 455,00 Tykke ben træ kr 402,50 kr 568,75 Metalmeder kr 476,00 kr 665,00 Centerben træ kr 595,70 kr 962,50 Tabel 17. Ekstraomkostninger tilknyttet produktgruppen borde Udover materialeomkostninger er der også tilknyttet et forskelligt antal arbejdstimer til hver af de mulige kombinationer. Prisen pr. arbejdstime er 230 kr. ligesom arbejdstimeprisen var ved produktionen af sofaer. Her er timerne igen bestemt ud fra hvilke valg man træffer. Dermed er det timeantallet for pladen adderet med timeforbruget for ben, der udgør det samlede timeforbrug for produktionen af et bord. Antallet af timer tilknyttet til de forskellige elementer ser således ud: Type Time antal Sten bordplade 2,5 Naturtræ 1,5 Behandlet træ 1 Tynde ben 1 Tykke ben 1 Meder 1,5 Centerben 2 Tabel 18. Lønomkostninger for plader og ben for produktgruppen borde Præcis som ved sofaer, så er der udarbejdet en formel for dækningsbidraget: Ligning JKL,, ( j k l) ( j k l k* l* ) : DB = A + C + D B + E + F + G I + H I 76 Egen tilvirkning Side 63 af 99

72 Hvor: A j : Salgspris for bord j før ben/meder/centerblok og bordplade B j : Materialeomkostninger for bord j før ben/meder/centerblok og bordplade C k : Pris tillagt salgspris for ben/meder/centerblok k D l : Pris tillagt salgspris for bordplade l E k : Materialeomkostninger for ben/meder/centerblok k F l : Materialeomkostninger for bordplade l G k :Timeforbrug for ben k H l : Timeforbrug for bordplade l I : Pris pr. arbejdstime j: Type Bord k: Type ben l: Type bordplade Eks: Ligesom ved sofaer vil der blive gennemgået et eksempel på hvordan formlen fungerer: Firkantet spisebord med udtræk(fsmu), med naturtræ bordplade(ntb) og tynde metalben(tymb). DBFSMU, NtB, TyMb = ( AFSMU + CTyMb + DNtB) ( BFSMU + ETyMb + FNtB + GTyMb * I + H NtB * I ) 77 DB FSMU, NtB, TyMb = ( ) ( * ,5*230) = Dermed er dækningsbidraget for bordet, brugt som eksempel, udregnet til Beslutningsvariable for havemøbler Måden hvorpå havemøblerne bliver sammensat, er lidt anderledes end ved borde og sofaer. Den primære forskel ligger i at der ikke er tale om et havebord alene eller en havestol. Der sælges kun havemøbler hos BoConcept i samlesæt. Det betyder at de valg man som forbruger 77 Jf. Ligning Jf. Ligning 17 Side 64 af 99

73 kan foretage både ligger i ændringer af bordet og ændringer af stole. Der er i denne produktgruppe fire grundlæggende typer af borde at vælge imellem til sin sæt. Det er: Rundt bord Ovalt bord Kvadratisk bord Aflangt bord Som tilvalg til de fire typer af borde kan man foretage valget om hvorvidt man ønsker at have et hul til en parasol udformet i bordet eller ej. Det er et simpelt tilvalg eller fravalg hos forbrugeren: Ja til parasolhul i bordet Nej til parasolhul i bordet Efterfølgende skal der tages stilling til hvilket materiale man ønsker at havemøblerne skal produceres i. Der er her fire muligheder. Der kan vælges imellem: Fyr Lærke Teak Aluminium Når materialet er valgt til bordpladen, skal der nu vælges hvilken type stol man ønsker at knytte til sit sæt. Når man vælger stol til sættet er der den begrænsning, at alle fire 79 tilhørende stole er af samme type. Dermed vil der altid være fire ensartede stole tilknyttet et bord i denne kombination. Typerne af stole er som følger: Alm. stole U. Armlæn Alm. stole M. Armlæn Justerbare stole U. Armlæn Justerbare stole M. Armlæn Dette gør at der i alt kan laves 4*2*4*4=128 kombinationer af havemøbelsæt, hvilket medfører 128 beslutningsvariable tilknyttet denne produktgruppe. Indenfor havemøbler er der ingen antagelser der gør at der allerede nu er nogle beslutningsvariable der skal fjernes og dermed ikke indgå i objektfunktionen. Dækningsbidrag for havemøbler Når man har fået lavet en oversigt, over de beslutningsvariable der eksisterer i denne produktgruppe, er det nu tid til at udregne dækningsbidraget for samtlige Antallet af stole ligger også fast. Dette er besluttet af opgaveskrivere. Side 65 af 99

74 beslutningsvariable i gruppen. Det kan udtrykkes at man har fundet x j og man skal så ved hjælp af nogle udregninger finde frem til c j. Ud fra dette får man en sammensat beslutningsvariabel der er brugbar i objektfunktionen. Udregningen af dækningsbidraget for havmøbler ser en smule anderledes ud end det var tilfældet i de to ovenstående produktgrupper. Som det ses i tabel 19 er der her tale om grundpriser for alle kombinationer af bordtype og materiale. På samme måde er der tale om forskellige grundmaterialeomkostninger for hver af disse kombinationer. Disse er illustreret i tabel20. Dermed er der tale om hele 16 forskellige grund- og omkostningspriser, der skal adderes med en værdi bestemt af stoletype og valget om hvorvidt man ønsker parasolhul. Bord/Materiale Fyr Lærke Teak Alu. Rundt 3.600,00 kr 4.200,00 kr 6.000,00 kr 3.000,00 kr Ovalt 5.400,00 kr 6.300,00 kr 9.000,00 kr 4.500,00 kr Kvadratisk 4.680,00 kr 5.460,00 kr 7.800,00 kr 3.900,00 kr Aflangt 6.480,00 kr 7.560,00 kr ,00 kr 5.400,00 kr Tabel 19. Grundsalgspriser for de 16 kombinationer af bord og materiale for havemøbler Bord/Materiale Fyr Lærke Teak Alu. Rundt 2.760,00 kr 3.000,00 kr 4.320,00 kr 2.400,00 kr Ovalt 4.140,00 kr 4.500,00 kr 6.480,00 kr 3.600,00 kr Kvadratisk 3.588,00 kr 3.900,00 kr 5.616,00 kr 3.120,00 kr Aflangt 4.968,00 kr 5.400,00 kr 7.776,00 kr 4.320,00 kr Tabel 20. Grundmaterialeomkostninger for de 16 kombinationer af bord og materiale for havemøbler Der vil blive tillagt 250 kr. til salgsprisen hvis man vælger at få monteret et parasolhul. Det koster dog ikke noget i materialeomkostninger, så derfor vil dette valg ikke være illustreret i en tabel. Valget af hvilke stole der tilknyttes havemøbelsættet er det sidste parameter, udover lønomkostninger, der skal tages med i beregningerne af dækningsbidraget for disse beslutningsvariable. Merprisen, set i forhold til grundpriserne er vist i tabel 21, og det samme er de meromkostninger der er tilknyttet materialeomkostningerne i produktionen hos BoConcept. Type Materialeomkostninger Pris tillagt slagspris Alm. Med armlæn kr 920,00 kr 1.300,00 Alm. uden armlæn kr 800,00 kr 1.000,00 Justerbare stole med armlæn kr 1.640,00 kr 2.300,00 Justerbare stole uden armlæn kr 1.440,00 kr 1.800,00 Tabel 21. Materialeomkostninger og salgspriser tilknyttet grundpriser for havemøbler Side 66 af 99

75 Når man har fundet frem til de samlede materialeomkostninger og salgspriser tilknyttet de forskellige muligheder for havemøbler skal der nu tilknyttes en omkostning til lønninger. Timeforbruget for hvert tilvalg ganges med lønomkostningerne pr. time. Derved findes de samlede lønomkostninger der bruges. Type Time antal Fyr 2 Lærke 2 Teak 3 Aluminium 1 Parasolhul 0,5 Med armlæn 1 Uden armlæn 0,5 Tabel 22. Lønomkostninger tilknyttet tilvalgene for havemøbler Nu findes der så priser for alle de parametre der har indflydelse på det dækningsbidrag der i sidste ende knytter sig til den enkelte beslutningsvariable. der kan nu opstilles en formel for udregning af dækningsbidraget, der gælder for alle beslutningsvariable i denne produktgruppe. Formel: DB Ligning i, j, k, l= ( Ai, j+ Ck + Hl) ( Bi, j+ Dk + E j* M + Fk * M + Gl* M ) : Hvor: A i, j : Salgspris for bordform i og materiale j B i, j : Materialeomkostninger for bordform i og materiale j C k : Pris tillagt salgspris for stol k D k : Materialeomkostninger for stol k E j : Timeforbrug for materiale type j F k : Timeforbrug for stol type k G l : Timeforbrug på parasolhul l H l : Pris tillagt salgspris for parasolhul l 80 Egen tilvirkning Side 67 af 99

76 M : Pris pr. arbejdstime i : Type bord j : Type materiale k : Type stol l : Type parasolhul Eks. Rundt bord(rd) i teak(t), med parasolhul(mph) og justerbarestole med armlæn.(jma) DBRD, T, MPH, JMA = ( ARD, T + CJMA + HMPH ) ( BRD, T + DJMA + ET * H + FJMA * H + GMPH * H ) 81 DB RD, T, MPH, JMA = ( ) ( * * ,5*230) = her kan man så se at dækningsbidraget for netop dette sæt bliver Omregning af variable For at få et bedre billede af hvor meget man forventer at sælge, allerede inden opstillingen af modellen omregnes salgstallene til et forventet salg i styk. Det gør at man kommer til at arbejde med størrelser der er mere håndgribelige i forhold til det produkt man afsætter. Dermed skal der findes en måde hvorpå man får omregnet de forventede salgstal i kroner til en forventet afsætning i styk. Her skal man have fat i de rette parametre for at kunne omregne værdierne. Først skal der benyttes de undergrupper der blev opstillet i casebeskrivelsen. Derudfra kan der for den enkelte undergruppe udregnes en gennemsnitlig salgspris, og dermed et antal for afsætningen i den enkelte undergruppe. For sofaerne blev der defineret fem undergrupper, hvor de 13 sofaer er uddelt i. Ud fra dette kan der så udregnes en gennemsnitlig salgspris for en sofa i hver af undergrupperne. Dette vil blive illustreret med et eksempel på hvorledes dette foregår for en af undergrupperne af sofaerne. 81 Jf. Ligning Jf. Ligning 18 Side 68 af 99

77 Eks. Hvad er den forventede afsætning i styk af sofaer i undergruppen Celano og Cesto i 3. Kvartal 10/11: Før man kan omregne afsætningen til antal styk skal man have fundet en gennemsnitlig stykpris for de emner der skal omregnes, således at man har et udgangspunkt for udregningerne. Forventet gennemsnitlig salgspris for en sofa i undergruppe Celano og Cesto : Første skridt er at finde frem til grundpriserne på de enkelte sofaer undergruppen 83 : Grundpris Celano: Grundpris Cesto: Dernæst skal der findes frem til sandsynlighederne på for de mulige valg af ben 84 : 25 % vælger meder 5 % vælger træklods 70 % vælger metalben 85 Efter dette findes salgspriserne på de enkelte tilvalg af ben 86 : 1: 150 2: 225 3: 345 4: 360 5: 525 6: 750 7: 120 Når dette er på plads kan man finde frem til det sidste valg, der er valget imellem stof og læder. Som det ses i bilag5 benytter begge disse typer af sofaer enten 8 ben eller fire meder, og det ses samme sted at det benyttes 12 stykker læder eller stof til at dække en sofa af typen Cesto eller Celano. den procentvise fordeling af stof og læder er 87 : 83 Disse tal er genereret af opgaveskrivere og findes i Bilag5 84 Disse tal er genereret af opgaveskrivere og findes i Bilag5 85 det skal her huskes at der findes andre tal for de sofaer der ikke kan have meder. Her har 90% metaleben og 10% træklodser. 86 Disse tal er genereret af opgaveskrivere og findes i Bilag5 87 Disse tal er genereret af opgaveskrivere og findes i Bilag5 Side 69 af 99

78 Læder 35% Stof 65% Og med en stykpris på læder 200 og en styk pris på stof på , vil man kommer frem til en merpris på læder, set i forhold til grundpris på 200*12= 2400kr. Og tilsvarende en merpris på for stof i forhold til grundprisen på: 150*12= 1800kr. Når disse parametre er fundet kan man nu ved hjælp af en simpel udregning nu opstilling et regnestykke for den gennemsnitlige salgspris for en Cesto sofa og det samme for en Celano sofa: Cesto: (Grundpris+(((((pris på bentype1+pris på bentype2+pris på bentype3)/3)*0.7)+((((pris på bentype6+ pris på bentype5+pris på bentype6)/2 89 )/3)*0,25)+((pris på bentype7)*0,05))*antal ben)+((benyttede stykker læder*pris på læder*0,35)+(benyttede stykker stof*pris på stof*0,65)) = ((((( )/3)*0,7)+(((( )/2)/3)*0,25)+((120*0,05))*8)+((12* 200*0,35)+(12*150*0,65) = Celano: (Grundpris+(((((pris på bentype1+pris på bentype2+pris på bentype3)/3)*0.7)+((((pris på bentype6+ pris på bentype5+pris på bentype6)/2 90 )/3)*0,25)+((pris på bentype7)*0,05))*antal ben)+((benyttede stykker læder*pris på læder*0,35)+(benyttede stykker stof*pris på stof*0,65)) = ((((( )/3)*0,7)+(((( )/2)/3)*0,25)+((120*0,05))*8)+((12* 200*0,35)+(12*150*0,65) = Får at finde frem til et gennemsnit af begge sofatyper opstilles nu: (Gennemsnitpris Cesto + Gennemsnitpris Celano)/antal sofaer i gruppen = 88 Disse tal er genereret af opgaveskrivere og findes i Bilag5 89 der bliver her divideret med to idet, der kun skal bruges 0,5*meder set i forhold til ben, grundet deres udformning. 90 der bliver her divideret med to idet, der kun skal bruges 0,5*meder set i forhold til ben, grundet deres udformning. Side 70 af 99

79 ( )/2 = Der er nu udregnet en gennemsnitspris for sofagruppen med de store sofaer. Derefter vender man tilbage til gruppens procentvise andel af den samlede efterspørgsel. Her ses det at denne undergruppe udgør 10% 91 af det samlede salg for sofaer i samtlige grupper. Og de 10 % skal i denne periode findes ud fra den forventede afsætning i kroner for sofaer i perioden. Altså: (samlet afsætning af sofaer i perioden* andel undergruppen udgør) = ( *0,10) = og sidst skal der så udregnes hvor mange sofaer for gruppen der forventes at kunne afsættes i perioden: (afsætning i gruppen målt i kroner/ gennemsnitlig salgspris for sofa i gruppen) = ( /29147) = idet der ikke kan produceres andet end hele sofaer, vil der altid blive rundet ned, i dette tilfælde til en afsætning på 276 sofaer fra gruppen Celano og Cesto i 3. Kvartal 10/11. På samme måde skal der omregnes fra salg i kroner til afsætning i styk for samtlige undergrupper i de tre produktgrupper. I sidste ende vil man have hele afsætningen delt ud i styk, og man kan dermed lettere få opstillet den lineære programmeringsmodel. Objektfunktion Når de beslutningsvariable der skal benyttes til optimeringen er opstillet, er det tid for beslutningstageren, til at opstille en objektfunktion. Objektfunktionen er netop funktionen for det samlede mål med et optimeringsproblem. I dette tilfælde er det målet med de lineære programmeringsproblem. Der vil være om, enten en minimering eller en optimering af beslutningsvariablene. I objektfunktionen er det essentielt at der er tale om en linearitet. Altså, skal man sikre sig at der er tale om en komplet lineær objektfunktion. Hvis dette ikke er overholdt, er der ikke tale om lineær programmering. 91 Jf. Tabel 4 i Casebeskrivelsen 92 jf. Afsnittet Konklusion på forecasting Side 71 af 99

80 Så objektfunktionen for en LP- model er altså en lineær opstilling af de definererede beslutningsvariable, med henblik på at minimere eller maksimere disse. Når man opstiller en objektfunktion vil den opstillet ud fra dette: Ligning : MaxZ = x 1 + x 2 + x x n Ligning : MinZ = x 1 + x 2 + x x n Dermed vil man altid have at gøre med en optimering eller en minimering. Men de værdier der bliver optimeret eller minimeret vil altid være udgjort af de beslutningsvariable der blev defineret i afsnittet ovenfor. Dermed vil enhver x- værdi i objektfunktionen være udgjort af:! c j x j j 95 Hvor x j er variablen i den lineære programmering og c j er koefficienten for objektfunktionen. På den måde kommer Objektfunktionen i sidste ende til at se således ud: Ligning : Ligning : MaxZ = c 1 x 1 + c 2 x c n x n MinZ = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Dermed har man en funktionel objektfunktion man kan opbygge en LP- model ud fra. Men når man postiller en objektfunktion er det hensigtsmæssigt først at se nærmere på de antagelser der gør sig gældende for produktionen. Allerede inden man opstiller objektfunktionen vil man kunne være udsat for at nogle beslutningsvariable er begrænset væk fra objektfunktionen idet de ikke er mulige valg for beslutningstageren da de ikke er mulige i praksis. Det er de beslutningsvariable, som blev fjernet blev beskrevet allerede i afsnittet ovenfor, og dermed blev forkastet til brug i modellen. Inden Objektfunktionen rent praktisk bliver opstillet her i afhandlingen skal der afklaret nogle af de spørgsmål der knytter sig til den enkelte objektfunktion. 93 Aspnes 94 Aspnes 95 Samme som ligning Aspnes 97 Aspnes Side 72 af 99

81 Først skal det fastslås om der er tale om en minimering eller optimering, når man opstiller objektfunktionen. Og da der i denne afhandling er tal om en optimering hvor man ønsker at få det størst mulige afkast af sin produktion, kan det fastslås at det er en maksimering man arbejder i retning her. Altså vil objektfunktionen få dette udgangspunkt: MaxZ = Dernæst skal c j som er koefficienten for beslutningsvariablene fastsættes. Man skal her finde ud af hvad der er der skal optimeres i denne afhandling. Om som det flere gange i løbet af denne afhandling, er det dækningsbidraget man forsøger at maksimere. Dermed er c j her netop dækningsbidraget. Og det er så dette dækningsbidrag der skal kobles på de tilsvarende beslutningsvariable. Dermed kan man nu, for denne case opstille en objektfunktion, som kan danne rammen om den lineære programmeringsmodel. Den vil starte som følger: MaxZ = c 1 x 1 + c 2 x 2 = MaxZ = Ces1S Cesto2S A4n Dette vil så være udgangspunktet for modellen, og sammen med en række begrænsninger skal denne objektfunktion i sidste ende give det bedst mulige resultat for BoConcept, og dermed det højest mulige dækningsbidrag, omstændighederne taget i betragtning. Begrænsningerne Når der skal opstilles en LP- model, er det som nævnt tidligere meget vigtigt at få opstillet en række begrænsninger. Begrænsningerne er overordnet medvirkende til at begrænse minimeringen eller maksimeringen af objektfunktionen. Uden begrænsninger ville objektfunktionen ramme 0 hvis der var tale om en minimering, og på samme måde ville objektfunktionen være uendelig hvis der er tale om en maksimering. Det begrænsningerne gør er, at begrænse den værdi beslutningsvariablerne kan have, og dermed begrænse den samlede værdi som objektfunktionen kan have. Hvis man skal se på begrænsningernes matematiske opstilling skal man igen tage fat i objektfunktionen, da det er denne begrænsningerne vedrører: 98 Den fulde Objektfunktion er af pladsmæssige årsager ikke skrevet ind i selve opgaven, men er at finde i bilag6 Side 73 af 99

82 MaxZ = x 1 + x 2 + x x n MinZ = x 1 + x 2 + x x n 99 Det ses tydeligt, hvad der blev forklaret tidligere i dette afsnit, nemlig at uden begrænsninger vil minimumsfunktionen gå imod nul og maksimumsfunktionen vil gå imod uendelig. Der findes mange forskellige typer af begrænsninger, og de kan fungere i mange retninger i forhold til objektfunktionen. Det simpleste vil være at ligge en overordnet begrænsning på den samlede værdi af x- værdierne, således at man finder et maksimum for den samlede værdi. Det vil helt nøgternt blive opstillet således: x 1 + x x n! y Hvor y er den samlede maksimumsværdi for samtlige x- værdier. Man skal igen her huske at en begrænsning til benyttelse i lineær programmering skal overholde de regler der gælder for denne type optimeringsmodel. Man skal sikre sig at begrænsningen er lineær. Altså vil en begrænsning med opløftede tal, som denne: x 2 + 3x 2! z ikke kunne bruges som begrænsning for en lineær programmering. Når man har disse ting på plads kan man som beslutningstager nu benytte sig af de begrænsninger der knytter til sig til objektfunktionen 100 for BoConcept. For at skabe et overblik over de begrænsninger tilknyttet objektfunktionen, er begrænsningerne delt op i seks hovedgrupper foruden de antagelser der var med til at fjerne et antal beslutningsvariable fra objektfunktionen. Begrænsningerne vil enten være: 1. Efterspørgselsbegrænsninger 2. Produktionsbegrænsninger 3. Timebegrænsninger 4. Minimumsbegrænsninger 5. Heltalsbegrænsninger 6. De non- negative begrænsninger 99 Samme som Ligning 19 & findes i bilag 6 Side 74 af 99

83 Begrænsningerne vil på forskellige måder præge objektfunktionen, således at man opnår det højest mulige dækningsbidrag for BoConcept inden for de rammer efterspørgslen, kapaciteten og tiden giver virksomheden. Efterspørgselsbegrænsninger Ved denne begrænsning skal der tages udgangspunkt i de tal der er fundet ved hjælp af forecastmodellerne tidligere i denne afhandling. Model 3. Kvartal 10/11 4. Kvartal 10/11 1. Kvartal 11/12 2. Kvartal 11/12 Sofaer Borde Havemøbler Tabel 23. De forecastede salg der skal benyttes til den lineære programmering. Disse tal ligger nogle naturlige begrænsninger for hvor meget kunderne efterspørger af de forskellige produktgrupper. Dermed kan der ligges begrænsninger på objektfunktionen, således at der ikke kan afsættes mere af de enkelte produktgrupper i de respektive perioder. Det betyder dog ikke at der ikke kan produceres mere end disse efterspørgsler i hver enkelt periode. Denne type begrænsning er ikke med til at begrænse produktionen, men kun efterspørgslen. Således kan der i perioder med lav efterspørgsel på en produktgruppe, foregå en overproduktion, for at kunne opfylde efterspørgslen i senere perioder. Dermed vil det være begrænsningerne af type 2 og 3, der kommer til at begrænse hvor meget produktionen i en periode maksimalt kan være. Dette vil blive forklaret nærmere om senere i afhandlingen 101. Med hensyn til dette er det en klar fordel at forecastet resulterede i brugen af Winters Model var at foretrække for alle produktgrupper. Det betyder at der findes forecasts fire perioder frem, hvilket kan hjælpe beslutningstageren til at overproducere i nogle perioder for at afhjælpe efterspørgslen senere. Og efterspørgslen der overproduceres til, i tidligere perioder er kun kendt grundet en 4- perioders forecast, som Winters Model producerer. Hver af de tre produktgrupper er yderligere opdelt i denne afhandling, da man tidligere har erfaringer med at efterspørgslen på forskellige emner er meget forskellig. 101 Dette vil blive uddybet i afsnittet: Lager Side 75 af 99

84 Produktgruppen sofa, der består af 13 typer af sofaer, er dermed delt op i 5 undergrupperinger, hvor der figurerer en anslået procentsats af det samlede antal sofaer hver undergruppe udgør. Det ser således ud:!"#$%&%'(($ )%*+$",-./-$/,$%0(1%&0$ %, :4-56.%, %, ; ;4-56.%, ;!"#$%&'&('!")*& +,-./0 1, /4!$56&7'!&6&'&('89#&).,- +,01 ++3/ +..: +::1 ;"5%97'<%=9>$7'?$59'&('@&>$ 14- +:21 +00/ +/+2.,.0 8"AA&7'?B(&7'CB$**5& 1,- +3+,.,.+.,31.:40 8&59% : <'$#* 788< :=33 >3?= Tabel 24. Andel udgjort i procent og antal af hver undergruppe af det samlede salg af sofaer 102 Ud fra tabellen ses det at der er stor forskel på, hvilken efterspørgsel der kan forventes på de forskellige undergrupperinger inden for produktgruppen sofa. Det kan tydeligt ses at der ikke er overensstemmelse i tabellen imellem den procentsats de enkelte undergrupper udgør i procent af det samlede salg, og den styksats der er sat af den samlede efterspørgsel i styk. Dette er jf. udregningerne i afsnittet omregning af variable, der beskriver hvorledes de forecastede tal bliver omregnet fra salg i kroner, til salg i styk. Det er netop procenttallene for undergrupperingerne, som efterspørgselsbegrænsningerne vil tage udgangspunkt i. Disse procenttal, forventes ikke at ændre sig kvartalerne imellem, hverken i form af trends eller sæsonudsving. Dermed ses efterspørgslen i antal, for de fire kvartaler, at være samme procentdel af den samlede efterspørgsel hele forecastet igennem. Disse tal er hvad der udgør efterspørgselsbegrænsningerne for sofaer i de fire kvartaler under opstilling af LP- modellen 103. På samme måde er de to andre benyttede produktgrupper delt op i nogle undergrupperinger, der har nogle klare forventninger tilknyttet til sig, når det kommer til andele af salget. Produktgruppen borde består af tre overordnede typer af borde nemlig; firkantede borde uden udtræk, firkantede borde med udtræk og runde borde. Disse tre typer udgør også en natulig opdeling i undergrupper. I dette tilfælde er der igen en forventet procentdel af det samlede salg tilknyttet til hver af disse tre undergrupper: 102 Disse procentsatser er genereret af opgaveskrivere og tager ikke udgangspunkt i virkelige tal 103 Nøjagtig hvilke beslutningsvariable der udgør de forskellige undergrupper ses i bilag 5 Side 76 af 99

85 !"#$%&%'(($ )%*+$",-./-$/,$%0(1%&0$ %, :4-56.%, %, ; ;4-56.%, ;!"#$%&'$%(&'$)#*+,-. /001 /112 /211 /344!"#$%&5%$&'$)#*+ 1-. /-22 //60 /,4, /77, 8'($%&9"#$% 1-. /,1/ /477 /304 1,01 :&;<) 788< ==88 >;?: >?73?;=3 Tabel25. Andel udgjort i procent og antal af hver undergruppe af det samlede salg af borde 104 Det er igen disse forudsigelser for de enkelte undergrupper der kommer til at udgøre de begrænsninger i efterspørgslen der har indflydelse på produktgruppen borde 105. Der jævnføres igen til afsnittet omregning af variable, med hensyn til uoverensstemmelserne imellem procentsats og styksats. Den sidste produktgruppe Havemøbler er ligeledes opdelt i undergrupper, der hver især udgør en hvis procentdel af den samlede efterspørgsel for produktgruppen. Havemøbler har, som det også var tilfældet for borde, en naturlig opdeling i form af de fire overordnede typer af borde inkluderet i havemøbel sættene. Der er tale om: Rundt bord, kvadratisk bord, Ovalt bord og Aflangt bord. Der findes hos BoConcept også en ide om hvor stor en procentdel af den samlede efterspørgsel disse fire undergrupper vil udgøre. Og det er ud fra denne forventning efterspørgselsbegrænsningerne for produktgruppen er lavet:!"#$%&%'(($ )%*+$",-./-$/,$%0(1%&0$ %, :4-56.%, %, ; ;4-56.%, ;!"#$%&'()$ *+, -./ 0// %&'()$ 0-, 1+ 72* 1*8 *.. 945$)5%:;<&'()$ *8, * =>65#?%&'()$ -+, / :&56% 788< =>3?:8? >8@ Tabel26. Andel udgjort i procent og antal af hver undergruppe af det samlede salg af borde 106 Alle efterspørgselsbegrænsningerne for de tre produktgrupper er nu defineret, og det er hvad BoConcept kan forvente at afsætte i løbet af hver periode. De reelle begrænsninger for hvad virksomheden kan producere følger nedenfor i form af produktions- og timebegrænsninger. Der jævnføres igen til afsnittet omregning af variable, med hensyn til uoverensstemmelserne imellem procentsats og styksats. 104 Disse procenttal er genereret af opgaveskrivere og tager ikke udgangspunkt i virkelige tal 105 Nøjagtig hvilke beslutningsvariable der udgør de forskellige undergrupper ses i bilag Disse procenttal er genereret af opgaveskrivere og tager ikke udgangspunkt i virkelige tal Side 77 af 99

86 Produktionsbegrænsninger Produktionsbegrænsningerne for BoConcept ligger i de materialer, der bliver benyttet i produktionen. Dermed er de produktionsbegrænsninger der bliver omtalt nedenfor en sammenfatning af to elementer. Det ene er færdige produkter virksomheden får eksternt, og således er pålagt en begrænsning i form af hvor meget de kan modtage. Den anden er elementer virksomheden selv producerer, der derfor er pålagt begrænsninger i form af hvor meget maskinenerne i virksomheden kan producere i løbet af en periode. Da det ikke vil have nogen betydning for modellen hvilken type de tilhører, vil disse to begrænsningstyper fremover blive behandlet som et og derfor udelukkende omtalt som produktionsbegrænsninger. Der er i alt tolv produktionsbegrænsninger tilknyttet LP- modellen for produktionen hos BoConcept. De vil være knyttet til enten en eller flere af produktgrupperne, og vil derfor begrænse et stort antal beslutningsvariabler. Metalben, Meder og Træklodser til sofaer Disse tre begrænsninger knytter sig, som overskriften også antyder til produktgruppen sofaer. Det betyder at disse tre begrænsninger vedrører og begrænser de beslutningsvariabler der er knyttet til sofaer. Der er tale om begrænsninger, i form af et begrænset antal elementer til rådighed for BoConcept i de fire perioder der tidligere er blevet forecastet for. Der er i hver af de fire perioder en begrænsning for hvor mange metalben, meder, og træklodser der er til rådighed. Det betyder at de tre typer af ben; 1, 2 og 3 falder under den samme begrænsning, nemlig metalben, idet de besidder denne karakteristika. Der er på samme måde en begrænsning for hvor mange meder der totalt kan anskaffes i hver periode. Det er typerne; 4, 5 og 6 der er begrænset af denne begrænsning, da det er de typer af ben der tilsammen udgør mederne. Begrænsningen træklodser har udelukkende betydning for den 7. Bentype, som er den eneste type af træklods tilgængelig hos BoConcept 107. Der er i forvejen ikke den store efterspørgsel på træklodser set i forhold til det samlede salg, men der er dog stadig en begrænsning på hvor mange træklodser der er til rådighed i en periode. 107 De specifikke tal benyttet i modellen er genereret af opgaveskrivere og findes i bilag 7 forklaring af udregninger følger i afsnittet nedenfor Side 78 af 99

87 Stenplader og behandlede træplader for borde Som det forklares ovenfor i afsnittet beslutningsvariable, findes der to typer af plader, som er unikke for borde og er underlagt begrænsninger i tilgængeligheden. Der er tale om stenplader og behandlede træplader. Der vil være et begrænset antal af disse plader tilgængelig for BoConcept i hver af de fire perioder der er blevet forecastet og som derfor vil blive optimeret. Stenplader dækker alene over den ene type stenplade, der er en del af sortimentet hos BoConcept. Begrænsningen for behandlede træplader er en samlet begrænsning for de to typer af plader Hvidt behandlet træ og Sort behandlet træ. Dermed er der en samlet begrænsning for hvor meget behandlet træ der er tilgængelig i produktionen hos BoConcept. 108 Træben og metalben for borde Der findes for borde seks typer af ben, og disse er underlagt nogle fællesbegrænsninger. Det betyder at det samlede antal metalben er underlagt en begrænsning. Det er det samlede antal af Tykke Metalben, Tynde Metalben og Metalmeder. Det samme er tilfældet for de tre resterende typer af ben. Det drejer sig om: Tynde træben, Tykke træben og Træ centerben. Det betyder altså at der samlet er to begrænsninger for benene på borde. 109 Aluminium og teak for havemøbler Her er der tale om to typer af plader til havemøblerne. Der er en begrænsning for hvor mange aluminiumsplader der kan skaffes til havemøbler. Det samme er tilfældet for plader i teak. Disse to begrænsninger er ikke sammensatte begrænsninger, men knytter sig hver især til netop en type af plade. 110 Træplader for borde og havemøbler Begrænsningen for træplader for borde og havemøbler dækker over flere typer af træplader. Ydermere dækker denne begrænsning over flere produktgrupper og lægger dermed en begrænsning på både borde og havemøbler. 108 Forklaringen bag udregningen af begrænsningerne følger nedenfor. 109 Eksempel på udregningerne af disse begrænsninger følger nedenfor 110 jf. Fodnote ovenfor. Side 79 af 99

88 Naturtræ er pladen for borde der kommer ind under denne begrænsning, og rådigheden af denne spiller sammen med de to plade typer Lærke og fyr fra produktgruppen Havemøbler. Der er så tale om en begrænsning der har indflydelse på en lang række beslutningsvariable, og dermed kan få stor indflydelse på produktionen hos BoConcept. Denne begrænsning medvirker også et samspil imellem to af produktgrupperne, der betyder at den lineære programmering skal inddrage samtlige produktgrupper. Dermed bliver det en meget stor model der skal indeholde samtlige beslutningsvariable forklaret ovenfor. Denne fællesbegrænsning har derfor stor indflydelse på modellen der skal opstilles for produktionen. 111 For at få et indblik i hvorledes produktionsbegrænsningerne for BoConcepts produktion er blevet til, vil der blive illustreret hvilke parametre der ligger til grund for begrænsningerne. Produktionsbegrænsningerne er blevet genereret med henblik på at størrelserne på disse kan få konsekvenser for den endelige optimale løsning. Det er derfor en gennemsnitlig udregning af efterspørgslerne i alle perioder ganget sammen med mængdeforbrug og procentvise forekomster for de enkelte enheder. Sofatyper Gennemsnitlig efterspørgsel Gennemsnitligt antal ben Metalben Celano og Cesto 319,5 8 70% Carmo, Como og Milos 1229, % Terni, Indiva, Lari og Nova 1726,25 5,5 90% Mezzo, Lugo, Quattro 2092,5 4 70% Morini % Tabel 27. Parametre til udregning af produktionsbegrænsning I tabel 27 ses den gennemsnitlige efterspørgsel for de fire perioder fordelt på de 5 undergrupper for sofaer. Derudover ses det hvor mange ben der i gennemsnit bliver brugt på en enkelt sofa i de forskellige undergrupper og slutteligt hvor mange procent af sofaerne der efterspørges i de enkelte grupper der er med metalben. Oplysningerne i tabel 27 er inddraget for at illustrere en udregning af en produktionsbegrænsning. Nedenfor ses et eksempel på en sådan produktionsbegrænsning: 111 jf. Fodnote ovenfor Side 80 af 99

89 Metalben (Sofaer): (319,5*8*0,70)+(1229,25*4*0,70)+(1726,25*5,5*0,90)+(2092,5*4*0,70)+(222*6*0,70) = metalben i hver af de fire perioder. Det kan dog forekomme at størrelsen på kapaciteten ændres til en større i en senere liggende periode. Dette sker hvis der er kapacitet der ikke er brugt op i en af de forrige perioder. Denne vil i et sådant tilfælde blive tillagt den oprindelige kapacitet. 112 Lager For at kunne udnytte samtlige kapaciteter til fulde gøres der i denne afhandling brug af muligheden for at overproducere i forhold til efterspørgslen i nogle perioder, for så at kunne sælge dette i andre perioder hvor efterspørgslen er større. Rent praktisk er der taget udgangspunkt i at BoConcept i hver af de fire perioder har samme kapacitet til rådighed. Denne kapacitet kan i de senere liggende perioder være tillagt en ikke- benyttet kapacitet fra en tidligere periode. 113 I den lineære programmerings model vil det således fremgå som om kapaciteterne for produktion og timeforbrug i nogle perioder er højere end i andre. Dette er dog ikke tilfældet. Al produktion eller timeforbrug der i nogle perioder vil overgå den oprindelige kapacitet vil være produceret i en tidligere liggende periode, hvor denne produktion vil være en overproduktion set i forhold til periodens efterspørgsel. I disse tilfælde vil denne overproduktion være foretaget for at kunne imødekomme efterspørgslen i en af de senere perioder. Hvordan dette rent praktisk gøres vil kunne ses i produktionsplanen som er beskrevet senere i afhandlingen. Man kunne også have benyttet sig af en anden metode til disse udregninger. Her skulle man for hver beslutningsvariabel have haft et primo lager, en produktion og et ultimo lager for hver af perioderne opstillet i en og samme model. Dette vil umiddelbart have gjort problemet for stort for et problemløsningsprogram at løse Kan ses illustreret i bilag Kan ses i bilag? 114 Inden for rammerne af denne opgave Side 81 af 99

90 Timebegrænsningen Som tidligere nævnt i afhandlingen er der tilknyttet samtlige beslutningsvariable et timeforbrug. Hos BoConcept er der et samlet timeforbrug der maksimalt kan bruges til produktionen af alle tre produkttyper. Det antages fra opgaveskrivernes side at det er de samme ansatte der bruges som arbejdskraft til alle produkttyperne og derfor er det en fælles begrænsning der ligger for den maksimale kapacitet af løntimer for disse. Denne begrænsning vil derfor indeholde samtlige beslutningsvariable, samt de respektive værdier for timeforbrug. Overordnet vil denne begrænsning se ud som følger: 115 Ligning : x1+ x2 + x3+ x xn y Hvor: y : Samlet kapacitet for løntimer xn : Timeforbrug for n produkt Måden hvorpå den samlede kapacitet for løntimerne er blevet genereret er ligesom ved produktionsbegrænsningerne, ved at tage de gennemsnitlige efterspørgsler over de fire perioder. Disse er blevet ganget sammen med det gennemsnitlige forbrug af løntimer på produkterne. Sofaernes del af den samlede kapacitet er således udregnet på samme vis som produktionsbegrænsningerne. For borde og havemøbler er der ikke noget direkte timeforbrug tillagt undergrupperne. Derfor er disse udregninger blevet lavet 2- dimensionelle for at få et mere retvisende billede. For borde ser det ud som følger: Gennemsnitligt Behandlet Sten Naturtræ Timeforbrug træ Borde med udtræk 3,875 2,75 2,25 Borde uden udtræk 3,875 2,75 2,25 Runde borde 3, ,7 2,2 Tabel 28. Timeforbrug tilknyttet produktgruppen borde 115 Den opstillede begrænsning kan ses i bilag Aspnes Side 82 af 99

91 Tallene ovenfor i tabellen ganges efterfølgende med de gennemsnitlige efterspørgsler. Samme fremgangsmåde benyttes for havemøbler. Slutteligt sammenlægges de genererede kapaciteter for de tre produktgrupper. Denne kapacitet vil være den oprindelige kapacitet. I de senere perioder kan det forekomme at kapaciteterne er større på samme vis som ved produktionsbegrænsninger. Hvis der er overskydende kapacitet tillægges denne, i næste periode, til den oprindelige værdi. 117 Minimumsbegrænsningerne Der er tilknyttet nogle minimumsbegrænsninger til hver af de tre produktgrupper. Det kommer sig af, at man ved hjælp af historisk data, har lavet nogle udregninger for et minimumsalg af de forskellige emner 118. Der er for hver produktgruppe en lang række minimumsbegrænsninger, der ved hjælp af den procentuelle fordeling af undergrupperne kan udregnes til en minimumsproduktion af et emne i styk. Der kan både være tale om procentuelle minimumsbegrænsninger inden for undergrupperne, såvel som der kan være tale om en minimumsproduktion af enkelte typer af elementer til produktion. Eksempel Der er som nævnt en lang række forskellige typer af minimumsbegrænsninger, og der vil her blive behandlet to, for at vise hvorledes udregningen er foregået 119 : - Salget af Cesto udgør min. 35 % af efterspørgslen på "Cesto/Celano". - Salget af sofaer med bentype 3 udgør min. 25 % af den samlede efterspørgsel på sofaer. Der er her tale om to meget forskelligartede minimumsbegrænsninger for sofaer. Den første er en begrænsning der knytter sig til en specifik undergruppe, og bedyrer at en enkelt af sofatyperne i denne undergruppe, nemlig Cesto skal udgøre minimum 35 procent af salget i den respektive undergruppe Cesto Og Celano. For at finde frem til en minimumsproduktion i styk benytter man igen fordelingen af salget i undergrupperne 120 og de tilhørende udregninger De samlede udregninger kan ses i bilag Disse minimumsbegrænsninger er genereret af opgaveskrivere 119 De øvrige minimumsbegrænsninger findes i bilag 7 Side 83 af 99

92 Dermed finder man frem til at Cesto skal udgøre minimum 35 procent af de 276 forventede solgte sofaer i undergruppen i 3. Kvartal 10/11. 0,35*276= 96,6 Da der igen ikke er nogen ide i at producere 0,6 sofaer, vil der blive rundet ned til et minimum på producerede Cesto- sofaer i 3. Kvartal 10/11. Det andet eksempel på minimumsbegrænsninger knytter sig, modsat den første til det samlede salg af sofaer. Der er her tale om at salget af sofaer med den tredje type ben skal udgøre minimum 25 procent af det samlede salg af sofaer i hvert kvartal. Dermed ganger man sandsynligheden for dette med det samlede salg af sofaer i hvert kvartal. Således kommer salget af sofaer med den 3. type af ben i 3. Kvartal 10/11 til at blive som følger: 0,25*4834= Således vil mindst 1208 af de sofaer der bliver produceret i 3. Kvartal 10/11 være med den 3. type af ben. På samme måde er samtlige minimumsbegrænsninger udregnet for de tre produktgrupper, og kan ses nedenfor 124 : 120 jf. Casebeskrivelsen 121 jf. omregning af variable 122 regneteknisk er der benyttet (Rundned())- metoden i Excel til at finde heltal 123 samme nedrunding er brugt her 124 jf. Bilag 7 Side 84 af 99

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abel 29. Samtlige minimumsbegrænsninger for produktgruppen sofaer Udregningen af minimumsbegrænsningerne tilknyttet de to andre produktgrupper er udregnet på samme måde som i eksemplet ovenfor, og der vil derfor ikke blive gennemgået et eksempel for udregningen af disse. I stedet vil tabellerne hvor minimum af samtlige elementer blive opstillet nedenfor. Først kommer minimum for produktgruppen borde 125 : 125 De specifikke minimumsbegrænsninger tilknyttet denne produktgruppe findes i bilag 7 Side 85 af 99

94 !"#"$%$&&'()*!"#$%&'(&)#*+,** -"#$%&'(&)#*+,** *"#$%&'(&)#**,*.."#$%&'(&)#**,*. /0'12#321#41('56 *78+.*88.!9!.998 /0'12#412:#41('56 *!.+ *-;8 *;8. *8;. <4:12#=0'12 *>;+ *8.! >> * 7.> A&(4'('5 77+ *+7- **8> *!87 B%C1(#=2D&:1)2(#('5 *>;+ *8.! *798.!*;?0'(#=2D&:1)2(#('5 *!.+ *-;8 *;8. *8;. EF:12#=2:#&G#32(&)!!+!>-!7; ->! EF662#=2:#&G#32(&) >> * 7.> H212'#&G#32(&) ;.8 ;8! >!! 9-* EF:12#=2:#&G#('5 **88 *!*. *-.- *>>9 EF662#=2:#&G#('5 *!.+ *-;8 *;8. *8;. I2:(2'=2:#&G#('5!!+!>-!7; ->! Tabel 30. Samtlige minimumsbegrænsninger for produktgruppen borde Bagefter følger minimumsproduktionen for den sidste af de overordnede produktgrupper, behandlet i denne afhandling, Havemøbler 126 :!"#"$%$&&'()*!"#$%&'(&)#*+,** -"#$%&'(&)#*+,** *"#$%&'(&)#**,*.."#$%&'(&)#**,*. /0123#45'23 *67 *!8* * :%&)3#45'23!!.9+!8- *68 $%&2'&(;<=3#45'23.+* *6.*.*.- >>+?@)&1A3#45' !!+ BC' *!- *+7* *-*6 66+ DE'=3 *67 *!8* * F3&= !!+?)0G;1;0G !!+ H32#I&'&<5)J0).+* *6.*.*.- >>+ K231#I&'&<5)J0)!!6.9+.!8-+ *68+?)G"#<(5)3#K"#?'G)E1.+* *6.*.*.- >>+?)G"#<(5)3#H"#?'G)E1 *.* >9. *.9-8>- L0<(3'4&'3#<(5)3#K"#?'G)E !!+ L0<(3'4&'3#<(5)3#H"#?'G)E1 *!- *+7* *-*6 66+ Tabel 31. Samtlige minimumsbegrænsninger for produktgruppen havemøbler. Heltalsbegrænsninger Det anses ikke for at være en mulighed at en produktion af et ikke fuldstændigt produkt kan forekomme. 126 De specifikke minimumsbegrænsninger tilknyttet denne produktgruppe findes i bilag 7 Side 86 af 99

95 Derfor er det vigtigt at der bliver taget højde for at alle beslutningsvariable kun kan have heltallige værdier og dette gøres ved hjælp af heltalsbegrænsninger. Samtlige beslutningsvariable sættes således = Heltallig. I stedet for at benytte sig af heltalsbegrænsninger kunne man have anvendt afrundede løsninger. Her vil man runde op eller ned til nærmeste heltal. Dette anses dog ikke for at være en brugbar løsning i BoConcepts tilfælde da der vil kunne forekomme afrundinger den forkerte vej, hvilket vil kunne medføre enten overproduktion eller underproduktion. Dette kunne have været en anvendelig løsning, såfremt man arbejdede med en virksomhed der producerede enormt mange relativt billige produkter. I et sådant tilfælde ville en over- eller underproduktion på en enkelt enhed ikke have samme konsekvenser som for BoConcept. De Non- negative begrænsninger Den sidste type af begrænsninger virker umiddelbart meget banal, men er essentiel for opstilling af en succesfuld lineær programmeringsmodel. Begrænsningen medfører ingen udregninger, men er en opstilling der sikrer at alle beslutningsvariable benyttet i objektfunktionen er non- negative, altså har værdien 0 eller højere. Rent teoretisk ser begrænsningen således ud: Ligning : Hvor: x, y,...,z! 0 x = beslutningsvariable 1 y = beslutningsvariable 2 z = beslutningsvariable n Med denne begrænsning indført har man nu sikret sig imod beslutningsvariable der bevæger sig under Når den sidste type af begrænsninger er stillet op, kan man nu opstilling en LP- model for produktionen af de tre produktgrupper hos BoConcept. 127 Aspnes 128 opstillingen af den non- negative begrænsning tilknyttet denne case vil være at opstille samtlige beslutningsvariable i ligningen ovenfor. Side 87 af 99

96 Det vil blive gjort på baggrund af den opstillede objektfunktion og de tilhørende begrænsninger, der er blevet forklaret ovenfor i dette afsnit. I det efterfølgende afsnit skal der findes en metode for udregningen af den optimerede produktion. Metodevalg Når alle forberedelserne til modellen er på plads, jf. de tre skridt ovenfor, skal selve modellen nu udføres. Modellen tager udgangspunkt i en matematisk behandling af objektfunktionen af de begrænsninger den har. Der findes mange metoder brugt til optimering af lineære programmeringsproblemer. Ingen metode har fået så meget opmærksomhed igennem tiden som Dantzig s Siplex metode eller Siplex algoritme. Michael J. Todd beskriver hvorledes Dantzig blev forbigået under uddelingen af Nobelprisen i økonomi i Denne diskussion var med at til underbygge relevansen af Dantzig s udregninger. Det er netop Simplexmetoden der anses for at være den vigtigste metode til udregning af lineær programmering. Metoden er derfor blevet valgt til udførelsen af optimeringen i denne afhandling. 130 Metoden, som Dantzig først begyndte at arbejde på i var i første omgang ikke den store succes ifølge ham selv: Luckily the particular geometry used in my thesis was the one associated with the columns of the matrix instead of its rows. This column geometry gave me the insight which led me to believe that the simplex method would be an efficient solution technique. I earlier had rejected the method when I viewed it in the row geometry because running around the outside edges seemed so unpromising. 132 Men ændringen i tilgangen til problemstillingen fik metoden til at blive den succes som i dag er meget anderkendt. 129 Todd (2001) s Det betyder i her at fravalg af bl.a. ellipsoid metoden og interior- point methods jf. Todd (2001) 131 Todd (2001) s Dantzig (1991) s. 19 Side 88 af 99

97 Derudover danner metoden grundlag for flertallet af lineære programmeringsmodeller brugt i dag. Men for at få det bedste overblik over hvorledes metoden udføres følger her et eksempel på den pivotering 133 der udføres når man laver en optimering ved hjælp af Simplexmetoden. Eksempel på Lineær programmering ved brug af Simplexmetoden Objektfunktion z = 4x x 2 + 6x 3 Begrænsninger: 2x 1 + 7x 2 + 3x 3! 35 2x 1 + 5x 2 + 2x 3! 20 x 1, x 2, x 3! 0 Lineær programmering ved brug af Simplex metoden, bliver udført ved hjælp af matriceregning. Først bliver objektfunktion omskrevet til en ligning værende lig med 0, så z indgår på den samme side af lighedstegnet som de andre variable. Derefter bliver der pålagt en Slack- variabel på hver af begrænsninger. Objektfunktion: z = 4x x 2 + 6x 3! "4x 1 " 11x 2 " 6x 3 + z = 0 Begrænsninger: 2x 1 + 7x 2 + 3x 3! 35 " 2x 1 + 7x 2 + 3x 3 + s 1! 35 2x 1 + 5x 2 + 2x 3! 20 " 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 + s 2! Her tages der udgangspunkt i de engelske udtryk: Pivot og Pivotpoint Side 89 af 99

98 Når dette er gjort, bliver de 3 ligninger indsat i en matrice, som vist nedenfor. x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 z " $ $ # $ !4!11! % ' ' &' Måden hvorpå man kan se at den optimale løsning ikke er fundet endnu, er ved at se på den nederste række. Først når der ikke indgår et negativt tal her, er den optimale løsning fundet. Fremgangsmåden ved Simplex metoden kaldes for pivotering. For at komme i gang med dette skal der først undersøges hvor der skal pivoteres. Man snakker her op at finde et pivotpoint. Dette gøres ved at finde det mest negative tal i den nederste række. Derefter udregnes en tilsvarende ratio for de to ovenstående tal. Det mest negative tal er - 11 i kolonne 2. Så der skal udregnes tilsvarende ratios for henholdsvis 7 og 5. row 1 : 35 / 7 = 5 row 2 20 / 5 = 4 Target for pivoteringen bliver 5 i kolonne 2 og række 2, da dette ligger lige under den anden. " $ $ $ # !4!11! % ' ' ' & 1 5 row 2! row 2 "7Row 2 + row 1! row 1 11row 2 + row 3! row 3 Det første man starter med er at gange pivot rækken med det der gør at målet giver 1. Derefter skal de andre tal i kolonnen give 0 når man først ganger det med målrækken og derefter addere med tallet i samme kolonne. Side 90 af 99

99 Ved at udregne disse i matricen ovenfor, for man denne nye matrice: " $ $ $ $ $ $ $ #! ! ! % ' ' ' ' ' ' ' & Da der stadigvæk er et negativt tal i den nederste række skal det hele gøres igen, med udgangspunkt i den negative kolonne. Hvis der havde været flere negative tal i den nederste række, så havde det været den med det mest negative tal som der skulle udregnes tilsvarende ratios for, som i starten. 7 * 5 1 = 35 4 * 5 2 = 10 Target bliver 2/5 i række 2 og kolonne 3. " $ $ $ $ $ $ $ # $! ! ! % ' ' ' ' ' ' ' &' 5 2 row 2! row 2 " 1 5 row 2 + row 1! row row 2 + row 3! row 3 Ved at udregne disse, for man følgende matrice: Side 91 af 99

100 " $ $ $ $ $ $ $ #! ! ! % ' ' ' ' ' ' ' & Da der ikke er flere negative tal i den nederste række, siger det at den optimale løsning er fundet. For at være med i den optimale løsning, må kolonnen kun indeholde et 1 tal, resten af tallene i kolonnen skal være 0. Dette er restriktionen, for at der er tale om en basic- variable. Da kolonne x1 og x2 og s2 ikke opfylder disse, bliver de sat til 0 i resultatet. Opgavens optimale løsningen er som følger: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 10, s 1 = 5,s 2 = 0, z = 60 Resultatet er 60, og 10 stk. x3 produceret. Udover resultatet kan det også ses at s1 = 5, hvilket siger os at der er 5 ubenyttede units i den første begrænsning. Dermed ser man også effekten af en såkaldt Slack- variable der samler de resterende units op. Der er her tale om et meget simpelt eksempel for at vise hvordan uregningerne foregår. Selve udførelsen af optimeringen vil i denne opgave i praksis ske ved hjælp af Excel- tilføjelsesprogrammet Premium Solver, der er en udvidet udgave af det mere gængse tilføjelsesprogram solver 134. Baggrunden for benyttelse af Premium Solver ligger i antallet af beslutningsvariable i optimeringen. Det er tilføjelsesprogrammet der udfører pivoteringerne, som dem illustreret i eksemplet. Det ville være for omfattende, set i forhold til afhandlingens omfang at illustrere hele udregningen i optimeringen, så dette er udført ved hjælp af Excel. Dermed kan Excel nu sættes i gang med at køre den opstillede lineære programmeringsmodel, så man i afhandlingen kan finde frem til det optimale produktions Mix i casen. 134 Solver kan maksimalt behandle 200 beslutningsvariable Side 92 af 99

101 Konklusion på den lineære programmering. Efter modellen er blevet opstillet ved hjælp af Objektfunktionen og de tilhørende begrænsninger er den blevet løst ved hjælp af Premium Solver 135. Der er, til løsningen i Premium Solver blevet benyttet udregninger efter Simplex metoden, som blev beskrevet i afsnittet ovenfor. Efter modellen succesfuldt er blevet gennemført for de fire perioder, der er blevet forecastet for, er der kommet resultater tilhørende hver af perioderne. Resultatet er det optimale dækningsbidrag BoConcept kan opnå inden for de begrænsninger der er tilknyttet optimeringsmodellen. Opstillingen af de fire Lineære programmeringsmodeller er at finde i bilag 9, hvor der i fire individuelle ark er løsninger på de fire optimeringsproblemer. I disse ark, vil det være muligt at aflæse det resultat, Excel er kommet frem til som det optimale dækningsbidrag for BoConcept. De fire resultater er at finde i cellen ML3 i deres respektive fane i Bilag 9 og de ser samlet således ud:!"#$%&" '()$*+,)-&./0$0123$&#+1!"#$%&'(&)#*+,** -../0!*0 0"#$%&'(&)#*+,**!10.!02/ *"#$%&'(&)#**,*-!/!-.!*3 -"#$%&'(&)#**,*-!!0/+--3 Tabel 32. Det optimale dækningsbidrag for BoConcept i de fire perioder 136. Det kan ses ud fra Tabel 32 at der er en stor forskel i det forventede optimale dækningsbidrag for de fire perioder. Dette resultat kan knyttes til de forecastede salgstal, der er fremstillet i Tabel 12. ved sammenligning af disse to tabeller 137 kan man se at det er for kvartal 1. 11/12 at der bliver spået at det største salgstal vil fremkomme, og det er også her at man kan producere således, at man opnår det højeste dækningsbidrag. Det stemmer fint overens, at den højeste afsætning også medfører det højeste dækningsbidrag. Det stemmer også fint overens at det er 3. Kvartal 10/11 der giver det laveste dækningsbidrag da det er denne periode der har den laveste afsætning ifølge de udførte forecasts. Ser man nærmere på de to resterende kartaler: 4. Kvartal 10/11 og 2. Kvartal 11/12 er det ikke helt det samme billede. 135 Hvordan Premium Solver er bygget op og fungerer er ikke beskrevet i denne afhandling, idet dette ikke vil have relevans for opgaven. 136 Jf. Bilag og 32 Side 93 af 99

102 Som forklaring på dette skal man have fat i afsnittet Lager, der beskriver hvorledes produktionen kan knyttes til en senere periode, hvis ikke hele kapaciteten bliver benyttet. Det er hvad der er forekommet for 4. Kvartal 10/11. Der er tale om en periode lige inden, med en lav efterspørgsel og dermed en lav produktion. Det betyder at dele af produktionen fra den foregående periode 3. Kvartal 10/11 er blevet afsat i 4. Kvartal. Det har givet mulighed for at producere mere idet der er blevet slækket på en begrænsning. Og det gør sig gældende at enhver slækkelse af en begrænsning vil kunne give et bedre resultat, men aldrig et værre 138. På den måde kan det forklares at 4. Kvartal 10/11 har et højere dækningsbidrag end 2. 11/12. Udførelsen af de fire lineære programmeringsmodeller giver ikke kun et optimalt dækningsbidrag for de fire kvartaler, men også et produktionsmix tilhørende hver af perioderne. Man kan altså ud fra resultaterne i bilag 9 se hvilken kombination af beslutningsvariable der skal bruges for at opnå det optimale dækningsbidrag. I bilag 10 er det udpenslet hvilken mængde af materialer der skal produceres/anskaffes i hver periode. Det er også med til at forklare forskellene i produktionsbegrænsningerne. De reelle produktionsbegrænsninger tilknyttet de fire kvartaler ser således ud:!"#$%&"'$%!"#$%&'(&)#*+,** -"#$%&'(&)#*+,** *"#$%&'(&)#**,*.."#$%&'(&)#**,*. /0(&)102#3456&0'7.+89:.+89:.+89:.+89: /0;0'#3456&0'7.*-9.*-9.*-9.*-9 <'=>)5;?0'#3456&0'7 *@+@ *@+@ *@+@ *@+@ 4(56#3456&0'7.8AAAB8.8AAAB8.8AAAB8.8AAAB8 C=;0'#3456&0'7 *-++* *-++* *-++* *-++* 4(02D)&;0'#3E5';07 A@*B@ A@. A@*B9 [email protected] E0F&2;)0;0#('=D)&;0'#3E5';07 8*!9BA -8.AB! 8*!9BA 9+88B- <'=D)&;0'#3E5';0,F&%0GH1)0'7 -A8:B. -A8:B. -A8:B. -A89B9 /0(&)102#3E5';07 ---:B@ ---9B@ ---:B@ ---:B9 <'=102#3E5';07 8@.:BA 8@.:BA 8@.:B@ 9-.ABA I)JGK2KJG#3L&%0GH1)0'7 9@!B9 9@!B9 9@!B9.9- <0&>#3L&%0GH1)0'7 :9AB* :9AB* :9AB* :9AB. Tabel 33. De realiserede kapaciteter for de fire kvartaler efter produktion er forskudt. Tabel 33 viser de egentlige produktioner/anskaffelser der skal foretages i de enkelte perioder. I bilag 9 er produktionsstørrelserne på materialer ikke identiske med ovenstående. Dette er grundet at disse størrelser i bilag 9 kan overgå de oprindelige maksimale kapaciteter. 138 Moore s. 329 Side 94 af 99

103 Da dette ikke er muligt, vil det således være tilfældet at en overproduktion i en tidligere periode må have fundet sted. I tabel 33 ses det som tidligere nævnt præcist i hvilken periode produktionen/anskaffelsen sker, men ikke i hvilken periode materialerne bliver brugt. Udregningerne for Tabel 33 kan ses i bilag 10. Grundet lageret beskrevet i afsnittet Lager, er det muligt at producere hele kapaciteten i en periode på trods af at den ikke bliver afsat. Dermed har man mere af dette element i den efterfølgende periode, som det også er beskrevet ovenfor. Således er det muligt at afsætningen i nogle perioder er højere end de oprindelige kapacitetsbegrænsninger tillader det. Det kræver dog at det der produceres kan afsættes i en senere periode jf. forecastingmodellerne. Ellers vil denne overproduktion ikke være tilfældet. De forskellige produkter der produceres i den optimale produktion sammensættes ud af de materialer der er vist i tabel 33. Da disse sammensætninger af materialerne kan forekomme i tidligere perioder i forhold til hvornår de endelige produkter forventes afsat er det vigtigt at det er de først forventet afsatte produkter der samles først. Det vil sige at alt hvad der forventes afsat i kvartal 3. 10/11 naturligvis sammensættes her. Er der kapacitet til at sammensætte mere i denne periode, skal der først og fremmest sammensættes endelige produkter der forventes afsat i kvartal 4. 10/11 og så fremdeles. Som nævnt giver de lineære optimeringsmodeller i bilag 9 ikke blot et dækningsbidrag, de bidrager også med et fuldt produktionsmix. Disse kombinationer af produkter er i sidste ende de der giver det højeste dækningsbidrag. Det er i optimeringsmodellerne her langt fra alle beslutningsvariable der bliver tildelt en værdi. Det er dermed heller ikke alle de mulige produkter der skal produceres i den optimale kombination. Der er en lang række produkter der skal produceres, og det ville være meget omfangsrigt at vise alle produktionsplanerne i opgaven 139. Men det er vigtigt at holde fokus på at der i en sådan optimeringsmodel er tale om opnåelse af et optimalt dækningsbidrag inden for rammerne, men ikke altid en realistisk produktionsplan. At BoConcept skulle vælge at producere en så smal produktserie set i forhold til deres sortiment er ikke plausibelt. Det er som nævnt flere gange i opgaven vigtigt at man bruger sin sunde fornuft i arbejdet med modellering. Så der er her mere tale om overordnet masterplan. Det er ikke en realistisk mulighed at man har så mange produkter der ikke produceres. 139 Produktionsplanerne for de fire kvartaler er at finde i bilag 10. Side 95 af 99

104 Der er i denne afhandling ikke forecastet direkte på de enkelte produkter, men på produktgrupper, så man får ikke den helt præcise afsætning for hver beslutningsvariable. Hvis man ønskede at få en helt præcis produktionsplan, skulle man have foretaget forecasts på samtlige 348 beslutningsvariable benyttet i LP- modellen. Og med de ressourcer der er brugt på forecasts af de tre produktgrupper er det et yderst omfattende projekt at lave forecasts for samtlige beslutningsvariable. Når man tager denne viden med i betragtningen kan man mere se på programmeringsmodellen som et benchmark for hvad det er muligt at opnå af dækningsbidrag for produktionen i BoConcept. Det er ikke muligt at nå dette mål, idet man aldrig vil producere en så lille del af sortimentet i en virksomhed. Og især når der er tale om en virksomhed som BoConcept, hvor valget hos forbrugeren er i højsæde, er situationen utænkelig. Problemstillinger tilknyttet den lineære programmering Der findes både problemstillinger der er generelt gældende for lineær programmering og problemstillinger specifikt i forbindelse med programmeringsmodellerne tilknyttet denne afhandling. At tallene i denne afhandling har lagt sig således at det er muligt at benytte lineær programmering til optimering, er mere i kraft af at arbejdet er tilknyttet en case end det er sædvane. Oftest vil der være tale om Non- lineære optimeringer når man arbejder med optimering i den virkelige verden 140. I mange tilfælde er prisen på en vare en funktion af salget, eller en anden variable. Der er grundet casen fuld linearitet i tallene i denne afhandling, hvilket også har været godt for funktionaliteten af modellen. Men det er vigtigt at holde sig for øje at det ikke er helt realistisk hvis man skulle se på en sådan problemstilling med rigtige tal. Talmateriale i den virkelige verden er aldrig helt som de burde være. Et problem der er opstået i forbindelse med benyttelsen af Excel- tilføjelsesprogrammet Premium Solver er i forbindelse med Heltalsprogrammering. 140 Moore s. 324 Side 96 af 99

105 Det viser sig at det ikke er muligt at få udskrevet en sensitivitetsrapport i programmet når man udfører netop modeller hvor alle beslutningsvariable skal være Integer. Det betyder at der er visse elementer der ikke kan undersøges efter opgavens udførelse. Dermed har det ikke været muligt at undersøge hvor meget programmeringsmodellerne ville reagere på små ændringer i begrænsningerne. Det havde, med hjælp fra sensitivitetsrapporter også været muligt at se om der var flere mulige løsninger, eller om der var tale om en unik løsning. En anden problemstilling der opstået i forbindelse med brugen af Premium Solver er selve kørslen af modellen. Det har ikke været muligt at køre modellen for de to sidste kvartaler helt smertefrit. Her er der opstået en række Sub- problems der har gjort at problemløseren ikke har været i stand til at færdiggøre løsningen. Denne problemstilling er blevet løst ved at indsætte et maksimalt antal Sub- problems inden modellen blev kørt. Det har gjort at der er fremkommet en gyldig løsning på optimeringen på trods af denne problemstilling. Side 97 af 99

106 Konklusion Ud fra historiske data taget fra BoConcepts kvartalsregnskaber i form af deres kvartalvise salgstal, er der i afhandlingen forsøgt at lave forecasts fremtidige efterspørgsler for de tre produktgrupper: Sofaer, borde og havemøbler. Da der i afhandling er tale om historisk data, er der valgt fire forskellige kvantitative forecastmetoder: Moving Average, Exponential Smoothing, Holt s Metode og Winter s Model, der hver især indeholder forskellige fordele og ulemper. Måde hvorpå der vælges hvilken model der er den optimale for de 3 produkt grupper, er ved at udregne MSE. Ved grundig gennemgang af modellerne ved forskellige værdier af α, β og γ er konklusionen blevet at Winter s Model er den mest retvisende af forecast- modellerne og har den laveste MSE. Dette gør sig gældende for alle tre produktgrupper, skønt dette langt fra er umiddelbart indlysende. Denne model er den mest komplicerede af de fire modeller. Den tager højde for både trend- og sæsonudsving. Derudover kommer den med forecasts fire perioder ud i fremtiden, hvor de resterende tre kun kommer med forecasts en periode frem. Af dette er der således blevet forecastet efterspørgsler for sofaer, borde og havemøbler for perioderne: 3. Kvartal 10/11, 4. Kvartal 10/11, 1. Kvartal 11/12 og 2. Kvartal 11/12. Forecasting kan i fremtiden bruges i produktion til lettere at planlægge produktionsplanen frem i tiden, som i sidste ende kan minimerer forbruget i opstillingen af setups. Det har således vist sig at Forecasts er en meget vigtig brik i optimeringen af en produktionsplan. Ikke bare i Casevirksomheden BoConcept, men i alle tilfælde hvor man ønsker at lave en produktionsplan for fremtidige perioder. Og især hvis man kan lave forecasts på basis af allerede eksisterende data, er forecasts meget brugbare idet de kan vægte og udnytte den historiske data. Man får i produktionen også et retvisende billede at arbejde ud fra, så man som producent kan være på forkant med sin efterspørgsel. Når forecasting er på plads hos BoConcept, har man benyttet de forecastede tal i optimeringsprocessen, men inden optimeringsmodellen blev presset ned over et datasæt, var det vigtigt at manipulere den tilgængelige data, så man som beslutningstager havde et mere brugbart datamateriale til modellen. Før den egentlige optimering er efterspørgslerne på salgstal blevet omregnet til efterspørgsel i stk. da dette er mere brugbart i en optimerings- model. Efterfølgende er der opsat beslutningsvariable, objektfunktion og begrænsninger, med tilhørende koefficienter. Disse er alle en del af problemløsningen. Da disse alle er accepttale i Side 98 af 99

107 forhold til de retningslinjer der gør sig gældende indenfor lineær programmering, er den type valgt som optimeringsmodel. Ydermere er det valgt at det er ved hjælp af den lineære programmerings metode Simplex, problemet vil blive forsøgt løst. Modellen er sluttelig blevet løst som heltalsprogrammering og der er fremkommet en optimal produktionsplan for BoConcept i de fire førnævnte kvartaler. Dermed har står BoConcept tilbage med et meget konkret bud på hvad de skal producere i de næste fire kvartaler for at opnå det højeste dækningsbidrag for deres virksomhed. Side 99 af 99

108 Litteraturliste Bøger: Bozarth C. C., Handfield R. B. (2008). Introduction to Operations and Supply Chain Management (2. Udg., international udg.) Pearson, Prentice Hall. Henvisses som: Bozarth. Hanke J. E., Reitsch A. G. (1992). Business Forecasting (4. Udg.). Allyn and Bacon. Henvisses som: Hanke. Jarret J. (1991). Business Forecasting Methods (2. udg.). Basil Blackwell. Henvisses som: Jarret. Johnson L. A., Montgomery D. C. (1974).Operations Research in Production Planning, Scheduling, and Inventory Control (1. udg.). John Wiley & Sons. Henvisses som: Johnson. Moore J. H., Weatherford L. R. (2001). Decision Modeling With Mocrosoft Excel (6. Udg., International udg.). Pearson, Prentice Hall. Henvisses som: Moore. Artikler: Aspnes J. (April 4, 2004). Notes on Linear Programming. Udgivet af James Aspnes som undervisningsmateriale på Yale University. Henvisses til som: Aspness. Lokaliseret d. 27/ på: df Todd M. J. (2001). The many facets of linear programming. Received: June 22, 2000 / Accepted: April 4, Published online October 2, 2001 Springer- Verlag Henvisses som: Todd. Lokaliseret d. 27/ på: pdf Ukendt forfatter. Solving LPs: The Simplex Algorithm of George Dantzig. Lokaliseret d. 27/ på:

109 Internetsider: Årsrapporter: Regnskabsåret 2010/2011 Delårsrapport, 1. halvår Delårsrapport, 1. kvartal Regnskabsåret 2009/2010 Årsrapport Delårsrapport, 3. kvartal Delårsrapport, 1. halvår Delårsrapport, 1. kvartal Regnskabsåret 2008/2009 Årsrapport Delårsrapport, 3. kvartal Delårsrapport, 1. halvår Delårsrapport, 1. kvartal Regnskabsåret 2007/2008 Årsrapport Delårsrapport, 3. kvartal Delårsrapport, 1. halvår Delårsrapport, 1. kvartal Regnskabsåret 2006/2007 Årsrapport Delårsrapport, 3. kvartal Delårsrapport, 1. halvår Delårsrapport, 1. kvartal

110 Regnskabsåret 2005/2006 Årsrapport Delårsrapport, 3. kvartal Delårsrapport, 1. halvår Delårsrapport, 1. kvartal Regnskabsåret 2004/2005 Årsrapport Delårsrapport, 3. kvartal Delårsrapport, 1. halvår Delårsrapport, 1. kvartal Regnskabsåret 2003/2004 Årsrapport Delårsrapport, 3. kvartal Delårsrapport, 1. halvår Delårsrapport, 1. kvartal

111 Bilagsoversigt Samtlige bilag findes vedlagt på Cd- rom 1- A Moving Averages Sofa 1- B Moving Averages Borde 1- C Moving Averages Havemøbler 2- A Exponential Smoothing Sofa 2- B Exponential Smoothing Borde 2- C Exponential Smoothing Havemøbler 3- A Holt s Method Sofa 3- B Holt s Method Borde 3- C Holt s Method Havemøbler 4- A Winter s Model Sofa 4- B Winter s Model Borde 4- C Winter s Model Havemøbler 5 Beslutningsvariable Beslutningsvariable Sofa Borde Havemøbler 6 Objektfunktionen 7 Begrænsninger Antagelser Begrænsninger på efterspørgsel Produktionsbegrænsninger Timebegrænsninger Minimumsbegrænsninger 8 Udregning af kapaciteter og minimumssalg Produktionsbegrænsninger Lønbegrænsninger

112 Minimumssalg Sofa Minimumssalg Borde Minimumssalg Havemøbler Lager Lønbudget 9 LP- modellerne 3. Kvartal 10/11 4. Kvartal 10/11 1. Kvartal 11/12 2. Kvartal 11/12 10 Produktionsplan Materialer Produkter 3. Kvartal 10/11 Produkter 4. Kvartal 10/11 Produkter 1. Kvartal 11/12 Produkter 2. Kvartal 11/12 11 Samlede forecestingsbilag