ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A

Transkript

1

2 ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A ht

3 MAT A ht Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen, Klaus Marthinus og Systime A/S Kopiering og anden gengivelse af dette værk eller dele deraf er kun tilladt efter reglerne i gældende lov om ophavsret, eller inden for rammerne af en aftale med COPY-DAN. Al anden udnyttelse forudsætter en skriftlig aftale med forlaget. Omslag: Lisbeth Neigaard Omslagsfoto/illustration: Lisbeth Neigaard og Anne Marie Kaad Sat med New Century Schoolbook og Interstate. e-bogudgave 009 ISBN Bogens website: mat.systime.dk Trykt udgave: Trykt hos Special-Trykkeriet Viborg a-s Printed in Denmark 009. udgave,. oplag ISBN-3: (ISBN-0: ) Skt. Pauls Gade 5 DK-8000 Århus C Tlf.: systime.dk

4 INDHOLD FORORD VEKTORER I RUMMET Indledning Det rumlige koordinatsystem Stedvektor Vektor i rummet Længden af en vektor Enhedsvektor Prikprodukt Vinklen mellem to vektorer Projektion Liniens parameterfremstilling Om parameteren Punkt på linie Vindskæve linier Planens parameterfremstilling En plan givet ved tre punkter Punkt i pland Liniens skæringspunkt med planen Krydsprodukt Rækkefølge Planens normale form Skæring mellem to planer Vinkel mellem to planer Skæringspunktet mellem en linie og en plan på normalform Vinklen mellem en linie og en plan Afstanden mellem et punkt og en plan Afstanden mellem et punkt og en linie Afstanden mellem to linier Kuglen Tangentplan til en kugle Skæringspunkterne mellemen linie og en kugle Skæring mellem plan og kugle Skæring mellem plan og cylinder Opgaver Projekt VEKTORFUNKTIONER Indledning Banekurve, parameterkurve Koordinatfunktioner Afbildning af banekurve Den rette linie Punkt på linie Afstand Vektorfunktionens y-funktion Cirklen Parameteren Ellipsen Superellipsen Banekurvens skæring med koordinatakserne Tangenter til banekurven Vandret tangent Lodret tangent Tangentvektorernes betydning Hastighed Fart Acceleration Arealet mellem bankurven og -aksen Sammensatte bevægelser Cykloiden Cardioiden Archimedes spiral Skruelinien Skæringspunktet mellem to banekurver Polære koordinater Funktionsudtryk i polære koordinater Overgangsformler Opgaver Projekt DIFFERENTIALREGNING Indledning Differentiation af reciprok funktion Funktionen f()=e, dens Afledte funktion og stamfunktion Differentiation af en omvendt funktion Definition af omvendt funktion: Differentialkvotienten til ln Implicit differentiation Asymptoter Skrå asymptoter Asymptoter for polynomiebrøker Polynomiers division med CAS Opgaver Projekt INTEGRALREGNING Indledning Substitution Partiel Integration Anvendelser af integralregning Omdrejningslegemer Rotation af en graf om -aksen Rotation af graf om y-aksen Omdrejningslegemer om andre symmetriakser end - og y-akse Kurvelængder Overfladearealer Tyngdepunkter Tyngdepunkter for plane figurer Opgaver Rotationslegemer Projekt KOMPLEKSE TAL Indledning En praktisk og historisk introduktion Descartes Det imaginære spøgelse Caspar Wessel Udvidelsen af talbegrebet en geometrisk og algebraisk betragtning Egenskaber ved den imaginære enhed Gauss talplan Det ultimative tallegeme Addition, subtraktion, multiplikation og division af komplekse tal Regneregler for komplekse tal Konjugerende tal

5 Division og multiplikation gøres lettere Multiplikationens resultat omregnes til vinkelform og resultatet analyseres Divisionens resultat omregnes til vinkelform og resultatet analyseres Opgaver første del Komplekse tal på trigonometrisk form Eulers form Taylorpolynomiet Den komplekse eksponentialfunktion og Eulers formel Komplekse tal på Eulers form Bevis for multiplikationssætning til polær form 37 Bevis for divisionssætning til polær form Bevis for potenssætning til polær form Bevis for rodsætningen Komplekse tal anvendt på svingninger Beregning på samme kredsløb med komplekse tal Energiovervejelser Opgaver anden del STATISTIK Indledning Ugrupperede observationssæt Hyppighed, frekvens Varians og spredning Grupperede observationssæt Middeltal Historgram Sumkurve Kvartilsæt Deskriptorer Boplot Kombinatorik Multiplikationsprincippet, både og Permutation Kombination Additionsprincippet enten eller Stokastisk variabel Forventningsværdien for en stokastisk variabel. 64 Varians og spredning for en stokastisk variabel.. 64 Endeligt sandsynlighedsfelt Hændelse To hændelser i et sandsynlighedsfelt Sandsynlighedsfordelinger Binomialfordelingen Hypotesetest for en binomialfordeling Signifikansniveau Fejl ved hypotesetest Normalfordelingen Normalfordelt stokastisk variabel Sandsynlighedspapir Opgaver Projekt DIFFERENTIALLIGNINGER Indledning Hvad er en differentialligning? Om differentialligninger generelt Ordinære og partielle differentialligninger , og n ordens differentialligninger Betingelser for konkrete løsninger af differentialligninger Linieelement Differentialligninger med adskilte variable Forskellige typer af differentialligninger Differentialligningen y =ky Vækstens afhængighed af populationens absolutte størrelse Differentialligningen y =ay+b Differentialligninger af typen y =k y(a y) eller Den logistiske ligning Differentialligninger af typen y =k g() En harmonisk fjederbevægelse Differentialligninger med flere variable Numeriske metoder til løsning af differentialligninger Runge Kutta Opgaver MAPLE Indledning Pakker i Maple Regning med Maple Ligningsløsning Ligninger med én ubekendt Symbolsk ligningsløsning Ligninger med ubekendte Differentiation Implicit differentiation Grafen for den implicitte funktion Maple tutorials Integration Ubestemt integral Bestemt integral Omdrejningslegemer Omdrejningslegeme om -aksen Grafisk præsentation af omdrejningslegeme Omdrejningslegeme om y-aksen Vektorfunktioner Evaluering af vektorfunktionen Vektorfunktionens banekurve Hastighedsvektor og accelerationsvektor Rumgeometri Summen og differensen af vektorer Prikprodukt Krydsprodukt Afbildning af en vektor i koordinatsystemet Afbildning af sumvektor Afbildning af vektorer og deres krydsproduktvektor Længden af en vektor Differentialligninger ordens differentialligninger ordens differentialligninger Kommandoer i Maple GRAFTEORI Indledning Dette kapitel Elforsyningsnet Grafteoriens grundbegreber Kendte tankeeksperimenter Firfarveproblemet Springertur Tennisfejerproblemet Billedliste Stikordsregister

6 FORORD MAT A ht udgør sammen med MAT B og MAT B en samlet lærebogssystem til at dække kravene i læreplanen for Matematik A ht. Bogens matematiske emner dækker både kernestoffaglige områder samt et udvalg af andre relevante emneområder for ht (Komplekse tal, Statistik og sandsynlighedsregning, Differentialligninger og Grafteori), der kan indgå som supplerende stof. Endelig er der et kapitel om CAS-værktøjet Maple, der anvendes på flere højere læreanstalter. Bogens særlige form og nedslag i vigtige emner er også en opfordring til at eleverne er mere selvstændige i deres studier end på B-niveau. Det kommer blandt andet til udtryk ved, at der er afsnit som indeholder særligt udfordrende matematiske problemstillinger. I eksempler og projekter er tekniske og naturvidenskabelige problemstillinger vægtet højt. Til bogen er knyttet en hjemmeside mat.systime.dk, der vil udvide og understøtte bogens emner. Her kan findes nye øvelser, opgaver, facitlister og supplerende materiale. Forfatterne vil gerne takke Anne Marie Kaad for et stort og tålmodigt grafisk arbejde. juni 008 Klaus Marthinus Bernt Hansen Michael Jensen Allan Bohnstedt

7 VEKTORER I RUMMET

8 . Vektorer i rummet INDLEDNING Vi har tidligere beskæftiget os med vektorer i planen. Her så vi, hvordan disse kunne anvendes i beskrivelsen af f.eks. kræfter. Vi skal nu se, hvordan vektorbegrebet kan anvendes i rumlige sammenhænge. Det viser sig nemlig at vektorer er bekvemme at anvende ved beskrivelsen af flader og linier i rummet. Flader kender vi fra f.eks. hustage. Den moderne arkitektur byder ofte på skæve vinkler som umiddelbart forekommer vanskelige at beskrive matematisk. Maskinrummet i et skib er præget af komplekse rørføringer. Her kan vektorregning anvendes, i projekteringsfasen til bl.a. at kontrollere om to rør evt. kolliderer. DETTE KAPITEL I dette kapitel skal vi arbejde med det rumlige koordinatsystem. Vi genbruger i vidt omfang begreberne fra vektorer i planen, blot med tilføjelse af den 3. dimension. Vi indfører et rumligt koordinatsystem, der ud over -og y-aksen, også indeholder en z-akse. Vi skal beregne afstande, længder og vinkel mellem vektorer, vinkel mellem plan og linie, samt plan og plan. Desuden kigger vi på hvordan parameterfremstillinger bruges til at beskrive linier og planer i rummet. Endvidere skal vi se, hvordan snitflader i kugler og cylindre kan beskrives.

9 . Vektorer i rummet 9 DET RUMLIGE KOORDINATSYSTEM Vi har hidtil arbejdet i det plane retvinklede koordinatsystem, med en - og en y-akse. Hvis vi tilføjer en z-akse, der står vinkelret på y-planen får vi et rumligt koordinatsystem. Se fig.. Bemærk at man også her definerer en positiv omløbsretning. Man bevæger sig mod uret fra -aksen til y-aksen og fra y-aksen til z-aksen. Det rumlige koordinatsystem definerer 3 planer: y-planen, yz-planen og z-planen. De tre akser skærer hinanden i koordinatsystemets nulpunkt, origo som betegnes O, hvor O = ( 000,, ). Fig. STEDVEKTOR I MAT B definerede vi en stedvektor til et punkt A= ( A, Ay, Az) i rummet som: A OA = Ay A z VEKTOR I RUMMET Når vi danner en vektor i rummet, foregår det på samme måde som i planen.

10 . Vektorer i rummet EKSEMPEL. Vektor AB begynder i A = ( 574) B = ( 0,, 8). Se fig..,, og slutter i Fig. Vi danner stedvektorer: Vektor: OA = og OB 0 = AB = OB OA = 7 = LÆNGDEN AF EN VEKTOR Har vi en vektor i planen, a =, kan længden beregnes som: y a = + y Formlen kan udvides til at gælde for en vektor i rummet. På fig. 3 ses en vektor, a. Det gælder om diagonalen, d, at: d = + y

11 . Vektorer i rummet Fig. 3 Vektorens længde bliver da: a = d + z = + y + z SÆTNING Længden af en vektor a = y er givet som: a = + y + z z EKSEMPEL. Længden af vektor 5 AB = 9 4 i eksempel beregnes: AB = 5 ( 9) 4, 05 ( ) + + = ENHEDSVEKTOR I MAT B definerede vi en enhedsvektor som en vektor divideret med dens egen længde. Denne definition overfører vi til rummet. Hvis vi har en vektor: a = y z e a beregnes koordinaterne til enhedsvektoren som:

12 . Vektorer i rummet + y + z y ea = + y + z z + y + z PRIKPRODUKT For vektorerne: a a = a a 3 b og b = b b 3 definerer vi prikproduktet som: a b ab = a b = a b + a b + a b a b VINKLEN MELLEM TO VEKTORER Når vi skal beregne vinklen mellem to vektorer a og b i rummet, er det i princippet det samme som ved vektorer i planen, idet: ab cosv = a b EKSEMPEL 3. Vi beregner vinklen, v, mellem vektorerne 5 a = og b 3 = 6. 7 ab v = a b = 53 + ( ) 6+ 7 cos cos = 80, ( )

13 . Vektorer i rummet 3 PROJEKTION Antag at vi har to vektorer a og b som vist på fig. 4. Vi opløser a i to komposanter: Den ene komposant a b er parallel medb. Den anden komposant står vinkelret på b. Vi vil interessere os for komposanten a b, der også kaldes vektor a s projektion på vektor b. Fig. 4 Fra fig. 4 fås: Endvidere er: Vi indsætter: a = a cosv b ab cosv = a b a a ab b = a b ab ab = b Vi skal nu omskrive projektionen til vektorform. Det gøres ved at gange a b med enhedsvektoren eb : ab b ab ab = ab eb = = b b b b SÆTNING Koordinaterne til en projektiona b, hvor en vektor a projiceres på en anden vektor b er givet ved: a b a = b b b

14 . Vektorer i rummet LINIENS PARAMETERFREMSTILLING På fig. 5 ses en ret linie m i rummet. Fig. 5 Punkterne P0 = ( 0, y0, z0)og P= (, y, z) ligger på linien. P 0 er et fast punkt. Punkt P er et vilkårligt punkt (det kan glide langs linien). Vektoren: r r = ry r er retningsvektor. Det betyder, at r er parallel med linien og peger i liniens retning. Punktet O er koordinatsystemets nulpunkt (origo): z O = ( 000,, ) Ved hjælp af vektordiagrammet kan vi nu opstille en ligning, der beskriver stedvektoren til punktet P: OP = OP0 + P0 P OP0 er stedvektor til P 0. Vektoren PP 0 dannes ved at gange retningsvektoren r med et vilkårligt tal t. Dette tal kaldes en parameter: PP= t r Nu har vi at: 0 OP = OP0 + t r Vi indfører vektorkoordinater og får liniens parameterfremstilling:

15 5. Vektorer i rummet SÆTNING 3 En ret linie i rummet, som har retningsvektorenr r r r y z = og som går gennem punktp y z = (,, ) 0 0 0, beskrives ved parameterfremstillingen: y z y z t r r r y z = t R Hvor t er en parameter. For at fastlægge liniens parameterfremstilling skal vi altså kende koordinaterne til et punkt på linien samt en retningsvektor. EKSEMPEL 4. Et punkt P 0 54 = ( ),, er beliggende på en linie, l. En retningsvektor for l er givet ved: r = 6 7. Liniens parameterfremstilling bliver: l: y z t = Der kan skrives som: y z t t t = EKSEMPEL 5. Vi kan danne en parameterfremstilling ud fra koordinaterne til to punkter på en linie. Punkterne A = (,, ) 59 og B = (,, ) 368 tilhører linien l. Vi vælger A som fast punkt og danner en retningsvektor ved hjælp af stedvektorerne til A og B:

16 . Vektorer i rummet r AB OB OA = = = = 5 Parameterfremstillingen for l bliver: l: y z t = Man kommer ofte ud for at skulle opstille en parameterfremstilling ud fra to punkter. Nedenfor ses parameterfremstillingen for en linie, der går gennem to punkter A og B: SÆTNING 4 En linie, som går gennem to punkter A og B, kan beskrives ved parameterfremstillingen: y z OA t OB OA A A y = + = ( ) A t B A B A B A z y y z z + OM PARAMETEREN Ved at variere parameteren t fra minus uendelig til plus uendelig beskrives alle punkter på linien. Hvis vi for linien l i eksempel 5, f vælger: t = 3 kan vi beregne de tilhørende koordinater til stedvektoren til et punkt på linien: y z = = + =

17 . Vektorer i rummet 7 PUNKT PÅ LINIE Ved hjælp af liniens parameterfremstilling kan man således undersøge, om et givet punkt ligger på en linie. EKSEMPEL 6. Vi vil finde ud af om et punkt Q= (, y, z) = ( 877,, ) er beliggende på en linie m. Stedvektoren til Q er givet som: 8 OQ = y = 7 z 7 Parameterfremstillingen for m: 5 m: y = 5 + t z 9 Vi kigger på -retningen i parameterfremstillingen: ( ) = + t 5 Vi sætter udtrykket lig med -værdien fra stedvektoren OQ og finder den tilhørende værdi for parameteren t: ( ) = + t 5 8 t = Denne værdi for t indsættes i liniens parameterfremstilling: 5 8 y = 5 + = 7 z 9 7 Den fundne stedvektor har samme koordinater som Q. Vi kan dermed fastslå, at punktet Q ligger på linien. Vi kunne også have gennemført undersøgelsen ved at have kigget på y eller z-retningen. VINDSKÆVE LINIER Hvis to linier i rummet ikke er parallelle og ikke har et skæringspunkt, siger man, at linierne er vindskæve. På fig. 6 ses to linier, der er vindskæve. På fig. 7, hvor vi kigger vinkelret på y-planen, ser det ud som om, linierne faktisk skærer hinanden.

18 . Vektorer i rummet Når vi skal finde ud af, om to linier er vindskæve, kan vi f.eks. beregne koordinaterne til det skæringspunkt, der tilsyneladende er i y-planen. Det gøres ved at opstille to ligninger med to ubekendte med udgangspunkt i liniernes parameterfremstillinger: EKSEMPEL 7. Linierne l og m er givet som: l: y z s = m: y z t = Vi sætter ligningerne for l og m lig hinanden og kigger på - og y- retningen for de to linier: = s + + = + + = + t s t s t Vi får at: s t = = 3 Fig. 6 Fig. 7

19 . Vektorer i rummet 9 Nu indsættes værdien for s i linie l og værdien for t i linie m: l: m: 3 5 y = = z y = = 3 z 8 Vi kan se, at z-koordinaterne i de fremkomne stedvektorer ikke er ens. Det betyder, at linierne ikke skærer hinanden. De er vindskæve! PLANENS PARAMETERFREMSTILLING Ved en plan forstår vi en plan flade i rummet. Hustage, gulve, vægge og lofter er eksempler på plane flader. I forhold til et evt. koordinatsystem, kan disse flader sagtens ligge skråt. Vi skal her se, hvordan man opstiller en parameterfremstilling for en plan flade i rummet. Vi skal kende et punkt på planen, samt to ikke ensrettede vektorer r og r, der er sammenfaldende med planen. Man siger, at vektorerne udspænder planen. Se fig. 8. Fig. 8

20 . Vektorer i rummet Af vektordiagrammet fremgår at: OP OP s r t r y z = + + = 0 y z s r r r t r y z y z r r SÆTNING 5 En plan udspændt at to ikke parallelle vektorer, r r r r r r r r y z y z = og = og som går gennem et punkt P y z = (,, ) beskrives ved parameterfremstillingen: y z y z s r r r y z = t r r r y z Hvor s og t er parametre. EKSEMPEL 8. En plan α er udspændt af vektorerne: r r = = og Planen indeholder endvidere punktet: P = ( ),, Planens parameterfremstilling bliver derfor: α : y z s = t 7 4

21 . Vektorer i rummet EN PLAN GIVET VED TRE PUNKTER Vi har set, at der skal to punkter til at definere en linie. En plan indeholder en ekstra dimension. Vi skal derfor bruge tre punkter til at beskrive planen. Punkterne må ikke være sammenfaldende eller ligge på linie. Ved hjælp af punktkoordinaterne beregnes koordinaterne til de vektorer, der udspænder planen. Stedvektoren til et af punkterne bruges som fast punkt, svarende til P 0 i eksemplet ovenfor. På fig. 9 ses en plan givet ved tre punkter: Fig. 9 A= ( A, Ay, Az), B= ( B, By, Bz) og C= ( C, Cy, Cz) Vi danner vektorerne: r = OB OA r = OC OA Vi har nu planens parameterfremstilling: y = OA + s r+ t r z A B y Ay s B = + z A B z y z A C Ay t C + A C z y z A Ay A z

22 . Vektorer i rummet EKSEMPEL 9. En plan indeholder punkterne: A = (,, ) 38, B = (,, ) 59 og C = (,, ) 4 7 Vi opstiller planens parameterfremstilling: y z s = ( ) + t y z ( ) = s t 3 7 EKSEMPEL 0. En tagflade på en sekskantet bygning er givet ved punkterne: A = (,, ) 404, B = (,, ) 3 6 og C = (.,, ) 5 6 Vi opstiller parameterfremstillingen for den plan der udgør tagfladen: y z s = ( ) + t y z , ( ) = s t 5, Fig. 0

23 3. Vektorer i rummet Bemærk: Når s = 0 og t = finder vi stedvektoren til punkt C: OC y z = = = 5 5 6,, Tilsvarende har vi, når s = og t = 0 : OB y z = = = , PUNKT I PLAN Vi vil undersøge, om et givet punkt er beliggende i en plan. Antag, at vi kender koordinaterne til et punkt: P y z = = (,, ) (,, ) 7 0 Vi vil undersøge, om det pågældende punkt er beliggende i en plan, α, som har parameterfremstillingen: α : y z s = t 9 6 Hvis punktet er beliggende i planen, skal der findes s og t, så der gælder: = s + t 9 6 Vi udskriver - og y-retningen. Herved dannes et ligningssystem, som løses med hensyn til s og t: = + = s t s t Her bliver: s t = =

24 . Vektorer i rummet Vi indsætter s og t iα : y z = ( ) + = Det ses, at P ligger iα, da den fundne stedvektor har samme koordinater som P. BEMÆRK: Vi kunne også have løst opgaven ved at danne et ligningssystem ud fra -z- eller y-z-retningerne. LINIENS SKÆRINGSPUNKT MED PLANEN Vi illustrerer med et eksempel på, hvordan man kan beregne skæringspunktet mellem en linie og en plan. EKSEMPEL. Antag at vi har en plan med parameterfremstillingen: y z s = t 5 og en linie med parameterfremstillingen: y z u = Vi vil beregne koordinaterne til skæringspunktet P mellem linien og planen. Vi sætter derfor de to parameterfremstillinger lig med hinanden: + = u + + s t 7 5 Vi opstiller en ligning for hver retning,, y og z, idet vi ganger parametrene ind i vektorerne:

25 5. Vektorer i rummet + = u u u s s s t t t + = + + = u s t u s t = + + u s t Vi har nu 3 ligninger med 3 ubekendte. Ved hjælp af CAS-værktøj får vi løsningerne: s u = = = 4,t og Det nemmeste er nu at indsætte den parameter, der tilhører linien. Her er det u: y z = = Vi kunne også have indsat s og t i planen: y z = = ( ) ( ) + + = ( ) Skæringspunktet: P=(, y, z)=(-5, -7, 8) KRYDSPRODUKT Vi beskriver krydsproduktet af to vektorer, a og b, som en ny vektor, c, der har en længde svarende til arealet af det parallelogram, der evt. udspændes af a og b. Endvidere gælder, at c står vinkelret på det udspændte areal. Se fig.. Vi skriver: c a b = Vektor c er lig med vektor a kryds vektor b. Arealet, T, af parallelogrammet, på fig., kan skrives som:

26 . Vektorer i rummet T = h a Fig. Her er højden: Arealet bliver nu: h= sin b v T = a b sinv Vi får derfor: c = a b a sin b v = a b sin v = a b Det viser sig (beviset springer vi over), at krydsproduktet kan beregnes ved hjælp af tre determinanter. a a3 a b a b= a b = a a b a3 3 3 a a b b3 b a b a b 3 3 = b ( a b3 a3 b) 3 a b a b b b EKSEMPEL. Vektorerne: 3 a = 8 og b 6 = 7 Vi danner krydsproduktet:

27 . Vektorer i rummet c= a b= 8 = = 7 ( 37 6) = Vi kan vise, at c står vinkelret på a og b : 3 54 a c = 8 9 = ( 9) + ( 45) = bc = 9 = ( 9) + 7 ( 45) = RÆKKEFØLGE Når vi krydser to vektorer, er rækkefølgen ikke ligegyldig. Det viser sig, at hvis: a b= c så er: b a= c Fig.

28 . Vektorer i rummet Man siger, at a, b og c danner en højreskrue. Prøv at lade din strakte pegefinger på højre hånd pege i den første vektors retning. Langefingeren strækkes i den anden vektors retning. En strakt tommelfinger, vinkelret på det plan, som de to øvrige fingre danner, vil så være den vektor, der udgør krydsproduktet. PLANENS LIGNING PÅ NORMALFORM Vi forestiller os en plan (en skrå flade i rummet). Se fig. 3. Fig. 3 I planen ligger et vilkårligt punkt: Desuden har vi et fast punkt: P= (, y, z) P0 = ( 0, y0, z0) n er en vektor der står vinkelret på planen. n kaldes derfor normalvektor til planen: Vi danner vektoren: a n = b c 0 PP 0 = y y0 z z 0 Da n og PP 0 står vinkelret på hinanden, får vi:

29 . Vektorer i rummet 9 n P0 P= 0 a 0 b y y0 = 0 c z z 0 a ( ) + b ( y y ) + c ( z z ) = a + b y+ c z a b y c z = Konstantleddene samles i én konstant: d= a 0 b y0 c z0 Vi får da planens ligning på normalform: a + b y+ c z+ d=0 PLANENS LIGNING PÅ NORMALFORM: a n = b c En plan med normalvektoren n som indeholder punktet P = (, y, z ) kan angives ved planens ligning på normalform: a + b y+ c z+ d =0 hvor og hvor d = a b y c z P = (, y, z) er et vilkårligt punkt i planen. EKSEMPEL 3. To vektorer: 3 r = 4 og r = 5 3 udspænder en plan,α. Planen indeholder punktet P 0 57 = (,, ). Vi opstiller en planligning på normalform. Først danner vi normalvektoren, n, ved krydsproduktet:

30 . Vektorer i rummet a 7 n = b = r r = 9 c 0 Vi beregner d: d= a b y c z d = ( 7) ( 0) = 8 Ligningen for α : y 0 z 8 = 0 SKÆRINGSLINIEN MELLEM TO PLANER På fig. 4 ses to ikke-parallelle planer, α og β. Planerne skærer hinanden i en skæringslinie, l. Fig. 4 Vi vil se, hvordan man ved hjælp af planernes normalligninger, kan danne en parameterfremstilling for skæringslinien. To planer, α og β, er givet ved ligningerne: α: β: a + b y+ c z+ d =0 a + b y+ c z+ d = 0 Skæringslinien udgøres af den punktmængde, der er fælles for de to planer. Vi erstatter variablen med parameteren t i begge ligninger:

31 . Vektorer i rummet 3 a t+ b y+ c z+ d = 0 a t+ b y+ c z+ d = 0 Vi vil nu udtrykke de to øvrige variable, y og z, ved hjælp af parameteren t. Det gøres ved at løse det lineære ligningssystem med hensyn til y og z. Vi bytter rundt: b y+ c z= a t d b y+ c z = a t d Ligningerne løses ved hjælp af determinantmetoden: y = a t d c a t d c b b c c ( a t d c a t d c = ) ( ) ( a c a c ) t+ c d c d = b c b c b c b c z = b a t d b a t d b c b c b ( a t d) b ( a t d) (b a b a ) t+ b d = = b c b c b c b c Nu kan vi skrive parameterfremstillingen for skæringslinien som: SÆTNING 6 Parameterfremstillingen for skæringslinien mellem to planer: α: a + b y+ c z+ d =0 β: a + b y+ c z+ d = 0 er givet ved udtrykket: t t ( a c a c ) t+ c d c d y = = ( a c a c ) c d c d t + b z c b c b c b c b c b c ( b a b a ) t+ b d ( b a b a ) b d b d t + b c b c b c b c b c b c

32 . Vektorer i rummet VINKLEN MELLEM TO PLANER Vinklen mellem to planer skal opfattes som den spidse vinkel. På fig. 5 ses den spidse vinkel v og den stumpe vinkel,80 0 v. Vinklen beregnes som vinklen mellem planernes normalvektorer. Fig. 5 EKSEMPEL 4. Planerne: α : + 4 y 3 z+ 5= 0 β : y 6 z+ 0= 0 har normalvektorerne: n α = 4 3 Vinklen beregnes: v = cos 3 n β = 7 6 n n n n ( 3) ( 3) ( 6) v = cos ( 3) ( 3) ( 6) α α β β = 0 39, 99 Hvis beregningerne resulterer i en stump vinkel, skal man huske at trække denne fra80 0.

33 . Vektorer i rummet 33 EKSEMPEL 5. Om normalvektorerne til to planer α og β gælder at: 3 n α = 5 og n β = Vinklen mellem normalvektorerne beregnes: v = cos n n α β n n = 04 α β 0 Vinklen mellem de to planer bliver da: v = 80 v= SKÆRINGSPUNKTET MELLEM EN LINIE OG EN PLAN PÅ NORMALFORM Hvis vi har en plan på normalform og en linie givet ved en parameterfremstilling, kan vi beregne skæringspunktet mellem planen og linien. Vi forudsætter, at linien ikke er parallel eller sammenfaldende med planen. Planen α er givet som: Linien l er givet som: α : a + b y+ c z+ d=0 l : r 0 r t 0 y = y0 + t ry = y0 + ry t z z 0 r z z 0 rz t = + r t 0 y= y + r t 0 y z= z + r t 0 z Vi indsætter udtrykkene for, y og z fra parameterfremstillingen i planligningen: a + b y+ c z+ d= 0 a ( + r t) + b ( y + r t) + c (z + r t) + d= 0 0 y 0 z 0

34 . Vektorer i rummet Denne ligning løses med hensyn til t. Den fundne værdi for t indsættes i parameterfremstillingen for linien, og koordinaterne til skæringspunktet beregnes. EKSEMPEL 6. En plan α har ligningen: 4 y+ 3 z = 0 En linie l har parameterfremstillingen: y = 8 + t 3 z 5 7 = t y= 8+ 3 t z= 5+ 7 t Koordinaterne til skæringspunktet P mellem α og l beregnes: Vi indsætter: ( t) 4 ( 8+ 3 t) + 3 ( 5+ 7 t) = 0 t= Den fundne værdi for t indsættes i parameterfremstillingen for l. Herved findes stedvektoren til P: At P ligger i planen α ses af at: OP = y = z OP = 4 9 P = ( 0, 4, 9) = 0

35 . Vektorer i rummet 35 CAS-EKSEMPEL. Med CAS-værktøjet kan vi lave en model. Parameterfremstillingen for linien er nu givet som en (vektor)funktion. Koordinaterne til P dannes ved at transponere stedvektoren til P. Transponere betyder at bytte rundt på rækker og søjler i en matri a := b := 4 c := 3 d := OP() t := t 3 7 t s := aopt () 0 + bopt () + copt () + d 0 solve, t P := OP() t T s P = ( ) VINKLEN MELLEM EN LINIE OG EN PLAN På fig. 6 ses en plan, α, der skæres af en linie, l. Vi vil beregne vinklen mellem planen og linien. Når man vil beskrive en vinkel mellem en plan og en linie, er det altid den spidse vinkel! Fig. 6 n er planens normalvektor. r er liniens retningsvektor. v beregnes som vinklen mellem normalvektoren og retningsvektoren: n r v = cos n r

36 . Vektorer i rummet Vinkel v, hvor 0 0 v 90 0, mellem linien og planen beregnes da som: v= v 90 0 Hvis vinklen mellem normalvektoren og retningsvektoren er stump, beregnes vinklen som: v= v 90 0 EKSEMPEL 7. En linie, l er givet ved parameterfremstillingen: l : y = 4 + t 5 z 0 9 Retningsvektoren: En plan, α har ligningen: r = 5 9 Normalvektoren: α : y 5 z + 9= 0. 3 n = 4 5 Vi beregner vinklen v mellem retningsvektoren og normalvektoren: n r 0 v = cos 04 8 n r =, Vi ser, at vinklen er stump. Derfor er den spidse vinkel mellem linien og planen: 0 v= v v = 04, 8 90 = 4, 8

37 . Vektorer i rummet 37 AFSTANDEN MELLEM ET PUNKT OG EN PLAN Fig. 7 På fig. 7 ses en planα. Uden for planen befinder sig et punkt: I planen har vi punktet: Desuden har vi normalvektoren: P= (, y, z) P0 = ( 0, y0, z0) a n = b c Vi vil opstille en ligning til beregning af den vinkelrette afstand, d, mellem punktet og planen. På fig. 8 kigger vi på kanten af den plan, der udspændes af vektorerne n og P 0 P. Det betyder, at vi ser vektorerne i sand størrelse: Fig. 8

38 . Vektorer i rummet Af figuren fås følgende sammenhænge: dist = P P cosv hvor: n P0 P cosv = n P0 P n P0 P n P0 P dist = P0 P = n P P n 0 0 Her er: a 0 n P0 P = b y y0 = a a + b y b y + c z c z = a + b y+ c z+ d c z z 0 Afstanden, dist (distancen), kan nu skrives som: SÆTNING 7 Afstanden, dist, mellem et punkt: og en plan med ligningen: er givet som: P = (, y, z) a + b y+ c z+ d =0 a + b y+ c z+ d dist = a + b + c EKSEMPEL 8. Afstanden, dist, mellem et punkt: og en plan α med ligningen: P = ( 3,, 5) y+ z+ = 0 beregnes: dist = ( ) = 85,

39 . Vektorer i rummet 39 AFSTANDEN MELLEM ET PUNKT OG EN LINIE På fig. 9 ses en linie, l i rummet og et punkt P= (, y, z) der ikke er sammenfaldende med linien. Fig. 9 Vektoren: r r = ry r z er retningsvektor for linien, og punktet P0 = ( 0, y0, z0)er et punkt på linien. Vi kan nu opstille en ligning til beregning af den vinkelrette afstand, dist mellem punktet og linien. Af figuren fås: dist = P0 P sin v Vi husker fra afsnittet om krydsproduktet at: r PO P sin v = r P P Vi indsætter: r PO P r P dist = P0 P = P O r P P r O O SÆTNING 8 Afstanden mellem et punkt: P = (, y, z)

40 . Vektorer i rummet og en linie med parameterfremstillingen: er givet ved: r 0 y = y + t r 0 y z z0 r r 0 ry y y0 r P P r O z z z0 dist = = r r + r + r z y z AFSTANDEN MELLEM TO LINIER Vi vil bestemme den korteste afstand mellem to linier i rummet. Det forudsættes, at linierne ikke er parallelle eller sammenfaldende. De skal være vindskæve. Se fig. 0. Fig. 0 Om linierne l og m gælder at: l: m: y = OP0 + t r l z y = OQ0 + s r m z Vi vil danne en plan, der indeholder linien l, således at linien m er parallel med planen. Det opnås ved at planens normalvektor findes som krydsproduktet mellem de to liniers retningsvektorer. Nu kan vi bruge teorien fra afstanden mellem punkt og plan, idet vi beregner afstanden fra planen til punktet Q 0 :

41 . Vektorer i rummet 4 SÆTNING 9 Afstanden dist mellem to linier l og m: l: l : y = OP 0 + t r l z m: y = OQ + s r 0 m z beregnes som: Hvor n= r r l m npq dist = 0 0 n Bemærk: Det er det samme udtryk der blev anvendt, ved udledningen af formlen til beregning af afstanden mellem et punkt og en plan. Da hed vektoren PP 0. Se side 38. EKSEMPEL 9. To linier: l: 0 y = 3 + t 5 z 4 0 hvor OP 0 = 3 4 m: 8 y = + s z 5 6 hvor OQ 0 = 5 Vi finder normalvektoren: 8 3 n = 5 = Vektoren:

42 . Vektorer i rummet 0 0 = PQ 0 3 = Afstanden mellem de to linier bliver nu: dist = n PQ 0 0 n = ( 38) = 604, PROJEKTION AF LINIE PÅ PLAN Vi har tidligere set, hvordan man kan projicere en vektor på en anden vektor. Her vises, hvordan man opstiller en parameterfremstilling for en linie projiceret på en plan. Se fig.. Fig. r er retningsvektor for linien l. n er normalvektor til planen α r n er projektionen af r på n er retningsvektor for projektionslinien, m. r m Det gælder at: rm = r rn r n rn = n n

43 . Vektorer i rummet 43 r n rm = r n n Projektionslinien går gennem skæringspunktet Ps = ( s, ys, zs) mellem linien og planen. Nu har vi: SÆTNING 0 Parameterfremstillingen, m, for projektionen af linien l på planen α er: s m: y = y t r s + m z zs hvor P = (, y, z ) er skæringspunktet mellem l ogα. s s s s r n r = r n m er retningsvektor for m. n n er normalvektor tilα. KUGLEN Fra plangeometrien har vi, at en cirkel med radius r og centrum C= (, y ) kan beskrives ved cirklens centrums-ligning: 0 0 ( 0 ) + ( 0 ) = y y r Fig.

44 . Vektorer i rummet Denne ligning kan umiddelbart udvides. På fig. ses en gennemskåret kugle med centrum C= ( 0, y0, z0) og radius r. Kuglens centrumsligning er da: SÆTNING Ved en kugle med centrum C = (, y, z ) og radius r, er den punktmængde der udgør kuglens overflade, beskrevet ved kuglens cen trumsligning: y y ( z z ) r ( ) + ( ) + = hvor P = (, y, z)er et vilkårligt punkt på kuglen. TANGENTPLAN TIL EN KUGLE En plan der rører en kugle i ét punkt kaldes en tangentplan til kuglen. Se fig. 3. Fig. 3 Vi kan sammenligne med tangenten til en cirkel. På fig. 4 ses et snit gennem kuglen og planen. C= ( 0, y0, z0) er cirklens centrum og P= ( p, yp, zp) er tangentplanens røringspunkt. Fig. 4

45 . Vektorer i rummet 45 Vi har normalvektoren : a n = b = y c z p p p 0 y0 z0 Med udgangspunkt i planens ligning på normalform, får vi hvor: a + b y+ c z+ d=0 d= a p b yp c zp SÆTNING En plan der tangerer en kugle med centrum C = (, y, z ) i punktet P = (, y, z ) har ligningen: p p p a + b y+ c z+ d =0 hvor: a= p b= y y p c = z z p d = a b y c z p p p EKSEMPEL 0. En kugle har ligningen: Kuglens centrum: ( ) + ( ) + ( ) = y 4 z 3 6 C= (, y, z ) = (,, ) Et punkt P= ( p, yp, zp) = ( 5, 9, 4, 44) er beliggende på kuglen idet: ( ) + ( ) + ( ) = , Vi vil opstille en ligning for tangentplanen til kuglen i punkt P. Normalvektoren:

46 . Vektorer i rummet a n = b = y c z p p p y0 = 9 4 = 5 z0 4, 44 3, 44 d= a p b yp c zp d = , 44 4, 44 = 66, 4 Tangentplanens ligning bliver: y+, 44 z 66, 4 = 0 SKÆRINGSPUNKTERNE MELLEM EN LINIE OG EN KUGLE Vi kan godt opstille en generel formel til beregning af skæringspunkterne mellem en kugle og en linie. Formlen er temmelig omfattende, så vi vil nøjes med at illustrere princippet med et eksempel: EKSEMPEL. En kugle med radius, r = 5, har centrum i punkt C = ( 8,, 3 ). Kuglen kan derfor beskrives ved ligningen: ( ) + ( ) + + = 8 y ( z 3) 5 En linie, l, har parameterfremstillingen: l: 7 y = + t 3 z 4 8 Vi udskriver de tre retninger fra l: = 7 t y= + 3 t z= 4+ 8 t Udtrykkene for, y og z indsættes i kuglens ligning: ( ) + ( + ) = t t ( 7 8 t 3) 5 Udtrykket kan omskrives til en andengradsligning og løses. Vi kan

47 . Vektorer i rummet 47 også bruge CAS som giver: t= 0, 697 t= 0, 47 Værdierne for t indsættes i parameterfremstillingen for l: 7 OP = + 0, , 303 OP = 3, 09, 576 P = ( 63, 03, 3,09,, 576) På samme måde beregnes koordinaterne til det andet skæringspunkt. Vi får: P = ( 7, 47, 0, 8, 7, 46) SKÆRING MELLEM PLAN OG KUGLE Når en kugle skæres af en plan fremkommer en cirkulær snitflade. På fig. 5 er planen udeladt. Vi viser blot snittet i en hul kugle. Koordinaterne, til centrum i snitfladen, beregnes som koordinaterne til skæringspunktet, P s, mellem planen og linien l. Linien l går gennem cirklens og kuglens centrum og har planens normalvektor som retningsvektor. Radius r s i den cirkulære snitflade beregnes ved hjælp af en Pythagoras. Se fig. 5: r = r CP s s Fig. 5

48 . Vektorer i rummet EKSEMPEL. En kugle med ligningen: ( ) + ( ) + = 3 y ( z 4) 4 skæres af en plan, α, med ligningen: 5 4 y+ 3 z+ = 0 Vi danner parameterfremstillingen til en linie, m, som går gennem kuglens centrum og som har planens normalvektor som retningsvektor: 3 5 m: y = + t 4 z 4 3 I planligningen indsættes udtrykkene for, y og z i parameterfremstillingen for m: 5 ( 3+ 5 t) 4 ( 4 t) + 3 ( 4+ 3 t) + = 0 t = 04. t indsættes i m og vi stedvektoren, OP s til kuglens centrum i den cirkulære snitflade: Snitfladens radius: , y = + ( 04, ) 4 = 368, z , r = r CP s rs = 4 (( 3 0, 9) + ( 368. ) + ( 4, 74) = 68, r s s SKÆRING MELLEM PLAN OG CYLINDER Når en cylinder skæres af en plan, der hverken er parallel med cylinderens frembringer eller grundflade, fremkommer en ellipseformet snitflade. Fra fig. 6 får vi:

49 . Vektorer i rummet 49 Fig. 6 r er retningsvektor for cylinderens centerlinie (akse). n er normalvektor til planen. a betegner længden af ellipsens halve storakse. b betegner længden af ellipsens halve lilleakse. Ellipsens centrum findes som skæringspunktet mellem planen og den linie, der udgør cylinderens centerlinie. Lilleaksens længde er lig med cylinderens diameter: b= D Storaksens længde beregnes. Se fig. 7: Fig. 7 D a = cosv D D r n a = = r n r n r n

50 . Vektorer i rummet Storaksen er sammenfaldende med projektionslinien for cylinderens centerlinie på planen. EKSEMPEL 3. En cylinder har diameteren: D =, 5 Cylinderens akse, l, er givet ved parameterfremstillingen: l: 9 y = 0 + t 3 z 4 Retningsvektoren: r = 3 Cylinderen skæres af en plan, α, med ligningen: y+ z= 0 Normalvektoren: n = Vi indsætter udtrykkene for, y og z fra l i planligningen: ( 9 t) ( 0+ 3 t) 4+ t= 0 t = Nu er stedvektoren til ellipsens centrum, OP s 9 8 OP s = = givet som:

51 . Vektorer i rummet 5 Vi skal beregne længden af ellipsens storakse: a = D r n r n 5, ( ) ( ) + a = 3 = 305, Vi illustrerer, hvordan stedvektorerne til storaksens toppunkter beregnes: Enhedsvektoren til projektionsliniens retningsvektor findes. Ved at gange denne med længden af den halve storakse fås en vektor med en længde, der svarer til den halve storakse. r n r r n n m = Nu bliver enhedsvektoren:. 66 rm = , 607 r m er = = m 0, 366 rm 0, 705 Vi ganger med længden af den halve storakse: 0, 607 0, 96 a= a e rm =, 55 0, 366 = 0, 558 0, 705, 076 Stedvektoren til det ene toppunkt: 8 0, 96 8, 96 OA = OPs + a = 3 + 0, 558 = 3, 558 3, 076, 94

52 . Vektorer i rummet Stedvektoren til det andet toppunkt: 8 0, 96 7, 074 OA = OPs a = 3 0, 558 =, 44 3, 076 4, 076 Stedvektorerne til lilleaksens toppunkter kan beregnes på samme måde. Man udnytter, at retningsvektoren for lilleaksen står vinkelret på retningsvektoren for storaksen.

53 . Vektorer i rummet 53 OPGAVER OPGAVE Punkterne: A = ( 57,, ) og B = ( 348,, ). Idet OA og OB betegner stedvektorerne til punkt A og B ønskes: a) Koordinaterne til OA. b) Koordinaterne til OB. c) Beregn koordinaterne til vektor AB og til vektor BA. d) Beregn længden af vektor AB, AB. OPGAVE Vektorerne: a = 3 5 b 4 = 6 a) Beregn koordinaterne til enhedsvektoren, e a. b) Beregn koordinaterne til enhedsvektoren, e b. c) Beregn vinklen mellem a og b. I vektor a er a z = 5. Den skal ændres, så a og b står vinkelret på hinanden. d) Beregn den nye værdi af a z. OPGAVE 3 Vektorerne: 4 a = 6 b 5 = 7 9 Beregn projektionerne a og b. b a

54 . Vektorer i rummet OPGAVE 4 Om vinkelspidserne i trekant ABC gælder: A = ( 59,, ), B = ( 468,, ) og C = ( 50,, ) a) Beregn trekantens sidelængder a, b og c. samt vinklerne A, B og C. b) Beregn projektionen AB AC og længden ABAC. OPGAVE 5 En ret linie, l, i rummet er givet ved parameterfremstillingen: l: y = 4 + t 5 z 8 4 a) Angiv koordinaterne til en retningsvektor, r for linien. b) Angiv koordinaterne til et punkt på linien. Stedvektoren til et punkt A på linien beregnes ved at sætte t =. Stedvektoren til et punkt B på linien beregnes ved at sætte t = 4. c) Beregn koordinaterne til vektoren AB. d) Beregn afstanden mellem A og B. OPGAVE 6 I alle punkter i y-planen er z = 0. I linien l fra opgave 5 er z= 8+ 4 t. a) Beregn den værdi af t, der gør at z = 0. b) Beregn koordinaterne til liniens skæringspunkt med y-planen. c) Beregn koordinaterne til liniens skæringspunkter med z- og yz-planen.

55 . Vektorer i rummet 55 OPGAVE 7 Punkterne: A = ( 59,, ), B = ( 468,, ) tilhører linien m. a) Opstil en parameterfremstilling for linien m. 0,, er et punkt på m. b) Undersøg, om punktet C = ( ) Et punkt D= ( 4, y, z ) ligger på linien. D D c) Beregn koordinaterne y D og z D. OPGAVE 8 Linierne l og m er givet som: l: m: 7 y = 4 + s 3 z 5 0 y = + t 6 z 0 a) Undersøg, om linierne er vindskæve. b) Beregn vinklen mellem l og m. OPGAVE 9 En linie, m, i rummet er parallel med yz-planen. Linien går gennem punktet P 0 = (, 4, ). Linien danner en vinkel med y-planen på a) Opstil en parameterfremstilling for linien.

56 . Vektorer i rummet OPGAVE 0 Fig. På fig. ses en antenne-mast. Masten er trebenet. De tre ben er afstivet med kryds-stivere. Koordinaterne til det ene bens endepunkter er givet som: P = (,, 0 ) og Q = ( 05,, 05,, 8) a) Opstil en parameterfremstilling for linien PQ. b) Beregn længden af benet PQ. Krydsafstivningen deler et ben i 6 lige store stykker, således der bliver 5 delepunkter. Se fig. Fig. c) Beregn længden af et disse stykker. d) Beregn koordinaterne til delepunkterne.

57 . Vektorer i rummet 57 OPGAVE ( ) = ( ) = Tre punkter A= 4,, 8, B 053,, ogc ( 67,, ) er beliggende i planenα. a) Angiv en parameterfremstilling for α. b) 3 Undersøg, om punktet Q = 0 er beliggende i planen. 70 OPGAVE Grundfladen i en ret pyramide, fig. 3, er et kvadrat med kantlængden s = 5 (meter) og højden h = 9 (meter). Pyramiden er placeret i et rumligt koordinatsystem med et hjørnepunkt i origo, således at en af grundfladens kanter er sammenfaldende med -aksen og hvor grundfladen er sammenfaldende med yplanen.. z y Fig. 3 a) Beregn koordinaterne til pyramidens spids. b) Opstil en parameterfremstilling for de planer, der udgør pyramidens skrå sider. OPGAVE 3 På fig. 4 ses et sommerhus. En terrasse er bygget ind i huset, således at man kan sidde i tørvejr. Loftet udgøres af en skrå trekant-formet flade mærket ABC hvor:

58 . Vektorer i rummet A = ( 00,, ), B = ( 03,, ) og C = ( 04,, 5, ) a) Opstil en parameterfremstilling for loftet. Punkt D= (, y, 0 ). B B b) Opstil en parameterfremstilling for væggen ABD. c) Opstil en parameterfremstilling for skæringslinien, AB, mellem loftet og væggen. B D A C Fig. 4 OPGAVE 4 Bygningsværket ved Kunstmuseet Arken i Ishøj ved København, omfatter bl.a. nogle trekantede sejl. Se fig. 5. Fig. 5

59 . Vektorer i rummet 59 Et lignende sejl er monteret på 3 stålrør, hvis centerlinier udgår fra samme punkt, P = ( 0, 0, 0 ). Rørenes øvrige endepunkter er givet som: Q = ( 307,, ), Q = ( 35,, ) og Q 3 = ( 5,, 36, ). a) Find en parameterfremstilling for hver af rørenes centerlinier. b) Find en parameterfremstilling for den plan der udgør sejlet. c) Beregn længden af de 3 stålrør. d) Beregn koordinaterne til tyngdepunktet i den trekant, der har Q, Q og Q 3 som vinkelspidser. OPGAVE 5 En linie, m, med parameterfremstillingen: m: 0 y = 3 + u 5 z 8 9 skærer en plan α med parameterfremstillingen: α : 3 y = 7 + s 4 + t 5 z Skæringspunktet betegnes P. a) Beregn koordinaterne til P. OPGAVE 6 To vektorer: a = 4 og b 6 = 0 0 0

60 . Vektorer i rummet a) Tegn stedvektorerne til a og b på et ternet papir eller i et tegneprogram. Beregn arealet af det parallelogram, vektorerne udspænder. b) Beregn krydsproduktet c= a b. c) Beregn længden af c. Sammenhold med arealet fra spørgsmål a). d) Vis, at a c =0 og at bc =0. Hvilken retning har c? OPGAVE 7 Om en plan, β, vides at normalvektoren: n = 3 4 Punktet P 0 = ( 57,, )er indeholdt i planen. a) Opstil en ligning på normalform for β. b) Q= (, 3, Q z ) er et punkt i planen β. Beregn z-koordinaten til Q. OPGAVE 8 En plan, α, har ligningen: + 4 y+ 3 z+ = 0 a) Beregn koordinaterne til følgende punkter: A= (, y, z) = ( 00,, A z ) B= (, y, z) = ( 0, B y, 0) C= (, y, z) = ( C, 00, ) b) Opstil en parameterfremstilling for planenα.

61 . Vektorer i rummet 6 OPGAVE 9 Ligningen for en plan på normalform er givet som: a) Vis at punkterne: d A= y z = (,, ), 00, a d B= (, y, z) = 0,, 0 b d C= (, y, z) = 00,, c er beliggende i planen. a + b y+ c z+ d=0 OPGAVE 0 En plan π har parameterfremstillingen: 0 5 y = 8 + s + t 4 z 3 0 a) Opstil en planligning på normalform for π. TIP: Normalvektoren findes ved at krydse de to vektorer der udspænder planen. OPGAVE En plan indeholder tre punkter: A = ( 4,, ), B = ( 37,, ) og C = ( 459,, ).. a) Opstil en ligning på normalform for planen. TIP: Normalvektoren n dannes ved at krydse vektorerne AB og AC.

62 . Vektorer i rummet OPGAVE Planen α er givet på normalform som: + 4 y+ 0 z 8 = 0 a) Undersøg om punktet Q = (, 7, 5) er beliggende i planen. b) Bestem koordinaterne til et punkt, i planen, som har z-værdien 9 TIP: Bestem f.eks. selv en y-værdi og løs planligningen med hensyn til. OPGAVE 3 To planer: α : 4 y+ 3 z = 0 β : + y+ 6 z+ 9= 0 a) Opstil en parameterfremstilling for skæringslinien mellem α og β. b) Bestem vinklen mellem de to planer. OPGAVE 4 Der er givet tre planer: α :7 + 5 y+ 3 z = 0 β : + y+ 4 z+ 9= 0 π : 3 y+ z 0= 0 a) Beregn koordinaterne til skæringspunktet mellem de tre planer. TIP: Opstil parameterfremstillingen for skæringslinien mellem α og β. Beregn derpå denne linies skæring med planen π. b) Beregn vinklen mellem skæringslinien for α og β og planen π.

63 . Vektorer i rummet 63 OPGAVE 5 En plan har ligningen: 0 9 y+ 8, 5 z 34 = 0 a) Vis, at punktet P =,, 3 er beliggende i planen. En linie, l, går gennem P. Linien har retningsvektoren: r = 3 7 b) Beregn vinklen mellem linien og planen. En anden linie, m, går gennem punkterne A= ( 4,, 9) og B= ( 0,, 6). c) Beregn afstanden mellem linierne l og m. d) Beregn afstanden mellem punkt A og planen. OPGAVE 6 Ved projekteringen af maskinrummet på et nyt tankskib har man mistanke om, at to rør, p og q, vil komme i vejen for hinanden. Begge rør har diameteren: D = 300 mm. Røret p begynder ved en ferskvandskøler med koordinaterne ( 690,, ) (m) og slutter ved en tank i koordinaterne (, 4, 3 )(m). Røret q begynder ved en olieforvarmer med koordinaterne ( 3, 4, 8, 5 ) (m) og slutter ved en motor i koordinaterne ( 589,, )(m). Koordinaterne angiver centerlinie-punkter. a) Kan mistanken bekræftes? Begrund svaret med beregninger.

64 . Vektorer i rummet OPGAVE 7 En linie, l, har parameterfremstillingen: En plan, α, har ligningen: 0 y = 8 + t 5 z y z+ = 0 Opstil en ligning for projektionen af l påα. OPGAVE 8 En kugle er givet ved: ( ) + ( y 8) + ( z 9) = 00 a) Angiv kuglens radius og koordinaterne til centrum. b) Beregn z-koordinaten til punktet Q= ( 85,, Q z ), som ligger på kuglen. OPGAVE 9 En kugle er placeret i et koordinatsystem, således at kuglens centrum har koordinaterne: C = ( 005,, ) Det oplyses endvidere, at kuglen tangeres af y-planen. a) Opstil kuglens centrumsligning. OPGAVE 30 En kugleformet gasbeholder, se fig. 6, har diameteren D = 36 m. Kuglens centrum har koordinaterne C = ( 999,, ). Centerlinien for et gasrør går gennem punkterne: P = ( 54,, ) og Q = ( 7,, ). a) Beregn centerliniens skæringspunkter med kuglen. b) Beregn afstanden mellem centerliniens skæringspunkter.

65 . Vektorer i rummet 65 Fig. 6 OPGAVE 3 En toiletbygning, se fig. 7, er udformet som en sekskantet pavillon. Sekskanten er omskrevet af en cirkel med radiusr = m. Det regulære prisme har højden h = 5, m. Taget er en regulær pyramide med højden h = 5, m. Fig. 7 Man ønsker at montere et kugleformet ovenlysvindue udformet som en kuglekalot i en af pyramidens sideflader. Kuglens centrum ligger 3 m over gulvet. Den vandrette afstand til en side i sekskanten er m. Det oplyses, at radius i kuglen er 30 cm. Kuglen er i øvrigt symmetrisk i forhold til skrå sidekanter i pyramiden. a) Placér toiletbygningen i et koordinatsystem. b) Opstil en ligning for den plan der indeholder kuglen. c) Bestem centrum og radius i den cirkel, der skal skæres i taget.

66 . Vektorer i rummet Opgave 3 Centerlinien for en cylinder har parameterfremstillingen: Cylinderen har diameteren: y = 3 + t 6 z 7 8 D = 5, En plan er givet ved 3 punkter: A = ( 79,,, ) B = ( 34og,, ) C = ( 0, 8, 3).. a) Opstil en ligning for planen. b) Beregn koordinaterne til skæringspunktet mellem planen og cylinderens centerlinie. c) Beregn længden af storaksen i den ellipse, der fremkommer ved cylinderens skæring med planen.

67 . Vektorer i rummet 67 PROJEKT Fig. På fig. ses et billede af Avedøre-værket ved København, der bl.a. producerer fjernvarme. Brændslet afbrændes i den pyramideformede kedelbygning som ses bagerst til venstre. Fig. På fig. ses en lignende kedelbygning. Bygningen er en pyramidestub med kvadratisk grundflade, hvis kantlængde AB = BC =40 m. Pyramidestubbens 4 sider danner samme vinkel med grundplanen.

68 . Vektorer i rummet Pyramidestubben er placeret i et 3-dimensionalt koordinatsystem med grundfladen i y-planen, hvor hjørnepunkterne A = ( 4000,, ) og C = ( 0400,, ). Forlængelsen af pyramidestubbens skrå kanter ender i en spids, P = (,, ) Pyramidestubbens øverste flade er skrå. På den kant, der er parallel med stykket AB, er punkt D= ( D, yd,38 ). På den modsatte kant er punkt E, y,4. = ( E E ) Punkterne A, B og D er beliggende i planenα. På pyramidestubben ses en kasseformet udbygning. En af skæringslinierne mellem denne og pyramidestubben udgøres af stykket FG. Punkterne F = ( 40, 8, 0) G= ( G, 8, 5) H = ( 40, 8, ) er beliggende i planen π. To udluftningsrør, som går gennem en udskæring i taget, har samme diameter, D=700 mm. OPGAVER a) Bestem koordinaterne til punkt B i grundfladen. b) Opstil en parameterfremstilling for den linie, der går gennem B og P. c) Bestem koordinaterne til punkt D. d) Opstil en ligning for planen α. e) Beregn vinklen mellem en af pyramidestubbens skrå sider og grundplanen, y. f) Opstil en ligning for planen π. g) Beregn vinklen mellem α og π. h) Opstil en parameterfremstilling for skæringslinien mellem α og π. i) Beregn arealet af den del af planen, der afgrænses af punkterne F, G og H. j) Beregn længden af storaksen til den ellipse, der udgør en udskæring til et af rørene i taget.

69 . Vektorer i rummet 69 KAPITELOVERSIGT STEDVEKTOR Punkt: A= ( A, Ay, Az) Stedvektor: A OA = Ay A z VEKTOR MELLEM TO PUNKTER Punkter: Vektor: A= ( A, Ay, Az)og B= ( B, By, Bz) B A B AB = OB OA = By Ay = B B A B z z y z A Ay A z LÆNGDEN AF EN VEKTOR Vektor: a a = ay a z Længde: a = a + a + a y z

70 ENHEDSVEKTOR Vektor: a y z = Enhedsvektor: e y z y y z z y z a = PRIKPRODUKT Vektorerne: a a a a = 3 og b b b b = 3 Prikproduktet: ab a a a b b b a = = b a b a b 3 3 VINKLEN MELLEM TO VEKTORER Vektorerne: a a a a = 3 og b b b b = 3

71 . Vektorer i rummet 7 Vinkel mellem vektorerne: ab cosv = a b v = cos ab a b PROJEKTION Vektorerne: Projektionen af a på b: a b a = a og b = b a 3 b 3 ab ab = b b LINIENS PARAMETERFREMSTILLING, PUNKT OG RETNINGSVEKTOR En linie, som går gennem punktet: og som har retningsvektoren: er givet ved parameterfremstillingen: P= ( 0, y0, z0) r r = ry r r 0 y = y0 + t ry z z 0 r hvor t Rer en parameter (variabel). z z

72 LINIENS PARAMETERFREMSTILLING, TO PUNKTER En linie, som går gennem punkterne: A A A A B B B B y z y z = = (,, ) (,, ) og kan beskrives ved parameterfremstillingen: y z A A A t B A B A y z y y = + B A z z hvor t R er en parameter (variabel). PUNKT PÅ LINIE Et punkt: Q Q Q Q y z = (,, ) er beliggende på en linie med parameterfremstillingen: y z y z t r r r y z = hvis: y z Q r r r r Q y z = y z Q Q VINDSKÆVE LINIER To ikke-parallelle linier er vindskæve, hvis de ikke har et fælles skæringspunkt.

73 73. Vektorer i rummet 73 PLANENS PARAMETERFREMSTILLING ET PUNKT OG TO VEKTORER En plan som indeholder et punkt: P y z = (,, ) Og som udspændes af to ikke parallelle vektorer: r r r r r r r r y z y z = og = beskrives ved parameterfremstillingen: y z y z s r r r y z = t r r r y z PLANENS PARAMETERFREMSTILLING TRE PUNKTER En plan, som udspændes af punkterne: A A A A B B B B y z y z = = (,, ) (,, ) og er givet ved parameterfremstillingen: y z A A A s B A B A B y z y y = + z z y y z z A t C A C A C A + PUNKT I PLANEN Et punkt: Q Q Q Q y z = (,, ) er beliggende i planen med parameterfremstillingen: y z y z s r r r y z = t r r r y z

74 hvis løsningen til ligningssystemet: Q Q y s r r t r r y y = y med hensyn til t og s, giver at: y z s r r r t r y z y z y z r r Q Q Q = KRYDSPRODUKT Vektorerne: a a a a b b b b y z y z = = og Krydsproduktet: c a b a a a b b b y z y z = = = a b a b a b a b a b a b y y z z z z y y = a b a b a b a b a b a b y z z y z z y y c står vinkelret på det plan der udspændes af a b og : a c b c = = 0 0 og AREAL, PARALLELOGRAM Et parallelogram udspændt af vektorerne: a a a b b b y y = = og

75 . Vektorer i rummet 75 har arealet: T = a b VINKEL sin v = a b a b PLANS LIGNING PÅ NORMALFORM En plan med normalvektoren: som indeholder punktet: har ligningen: a n = b c P0 = ( 0, y0, z0) a + b y+ c z+ d= 0 hvor d= a b y c z SKÆRINGSLINIEN MELLEM TO PLANER Parameterfremstillingen for skæringslinien mellem planerne: α: β: a + b y+ c z+ d =0 a + b y+ c z+ d = 0 er givet som: t t ( a c a c) t+ c d c d ( a c a c) c d c d y = = t + b z c b c b c b c b c b c ( b a b a) t+ b d ( b a b a) b d t + b c b c b c b c b c b c

76 VINKLEN MELLEM TO PLANER Vinklen mellem planerne α og β, med normalvektorerne nα og nβ beregnes som den mindste værdi af: n n v = cos α β n n eller v = 80 0 α β cos n n α β n n α β VINKLEN MELLEM EN LINIE OG EN PLAN Vinklen mellem en plan med normalvektoren n og en linie med retningsvektoren r er givet som den positive af: n r v = 90 0 cos n r Eller: v = cos n r n r 90 0 AFSTANDEN MELLEM ET PUNKT OG EN PLAN Afstanden mellem et punkt: og en plan med ligningen: P= (, y, z) a + b y+ c z+ d er givet som: dist = a + b y+ c z+ d a + b + c AFSTANDEN MELLEM ET PUNKT OG EN LINIE Afstanden mellem et punkt: P= ( p, yp, zp)

77 . Vektorer i rummet 77 og en linie med parameterfremstillingen: er givet som: r 0 y = y0 + t ry z z 0 r r p 0 ry yp y0 r P P r O z zp z0 dist = = r r + r + r z y z AFSTANDEN MELLEM TO LINIER Afstanden mellem to linier: l: y = OP0 + t r l og m: y = OQ0 + s r m z z er givet som: hvor: n PQ dist = 0 0 n n= r r l m PROJEKTION AF LINIE PÅ PLAN En projektionslinie, der går gennem skæringspunktet Ps = ( s, ys, zs) mellem en linie med retningsvektoren r og en plan med normalvektoren n, har parameterfremstillingen hvor: s y = ys + t r m z z s r n r r n n m =

78 KUGLENS CENTRUMSLIGNING For en kugle med centrum C= ( 0, y0, z0) og radius r, er centrumsligningen: ( 0 ) + ( 0 ) + 0 = y y ( z z ) r hvor P= (, y, z)er et vilkårligt punkt på kuglen. TANGENTPLAN TIL EN KUGLE Ligningen for en plan, der tangerer en kugle med centrum C= (, y, z ) punktet P= ( p, yp, zp), er: a + b y+ c z+ d= i hvor: og hvor: a n = b = y c z 0 y0 z0 p p p d= a p b yp c zp

79 VEKTORFUNKTIONER

80 . Vektorfunktioner INDLEDNING Vi har tidligere beskæftiget os både med vektorer og funktioner og set praktiske anvendelser inden for disse emneområder. Ved at kombinere vektorer og funktioner får vi et værktøj, der kan beskrive og analysere bevægelser i både planen og i rummet. Det kan være kurvebanen for en bestemt maskindel eller en robot-arms bevægelse i en industriel proces. Et punkt på et hjul, der ruller hen over et underlag, har en særlig kurvebane. Planeterne følger bestemte baner, der kan beskrives med vektorfunktioner. DETTE KAPITEL Vi skal se, hvordan en vektorfunktion defineres. Med udgangspunkt i stedvektoren til en partikels beliggenhed i et koordinatsystem ser vi, hvordan tangentvektorer, hastighed, fart og acceleration kan bestemmes.

81 . Vektorfunktioner 8 VEKTORFUNKTIONER I MAT B definerede vi en vektor som en regnestørrelse, kendetegnet ved en størrelse og en retning. Vi kunne angive vektoren ved dens vektorkoordinater som var statiske (uforanderlige). Vi kan imidlertid komme ud for at skulle beskrive en bevægelse ved hjælp af vektorer. Det betyder, at vektorerne bliver dynamiske. Vektorkoordinaterne forandrer sig med tiden og kan således beskrives ved hjælp af funktionsudtryk. Derfor anvendes t ofte som betegnelse for den variabel, der indgår i disse funktionsudtryk. t kaldes her en parameter. EKSEMPEL. En statisk vektor, hvor koordinaterne er konstante: 4 a =. En dynamisk vektor, hvor vektorkoordinaterne beskrives som funktioner: 5 t bt () =. 3 t b( 4) = = ( ) b( ) = = 6 3 ( ) osv. BANEKURVE, PARAMETERKURVE Et punkts beliggenhed i et koordinatsystem kan beskrives ved en stedvektor til punktet. Hvis stedvektorens koordinater er funktioner af en parameter, t, siger man, at punktet beskriver en banekurve eller en parameterkurve. Vi vil se eksempler på, hvordan et punkt beskriver en banekurve. Det kan være en partikel, der bevæger sig i en cirkulær bane,

82 . Vektorfunktioner det kan være et punkt på et hjul, der kører langs en vej osv. Banekurven er således graf for en vektorfunktion. KOORDINATFUNKTIONER Vi betegner stedvektoren til et punkt, P, ved vektorfunktionen: t OP ( t) = () yt () Her kaldes t () og yt () for banekurvens koordinatfunktioner. Ofte betegnes vektorfunktioner med rt eller st. ( ) ( ) EKSEMPEL. En vektorfunktion: t t rt ( ) = () + = yt () t + 6, t R Koordinatfunktionerne er: t () = t + yt () = t+ 6 AFBILDNING AF BANEKURVE Banekurven kan afbildes ved at beregne koordinater til støttepunkter for forskellige værdier af parameteren t. Vi beregner støttepunkter til banekurven fra eksempel : Tabel t t ()= t + 5 yt ()= t På fig. ses grafen for kurven. Stedvektorerne til de valgte værdier af t er ligeledes afbildet. t + rt ( ) = t + 6

83 . Vektorfunktioner 83 Fig. CAS-EKSEMPEL. Med CAS-værktøjet slipper vi for besværet med at regne støttepunkter. På fig. ses banekurven afbildet ved hjælp af et matematikprogram. rt () t + := t ():= rt () t + yt ():= rt () t t rt () rt () 0 Fig.

84 . Vektorfunktioner DEN RETTE LINIE På fig. 3 ses en ret linie, l, i et koordinatsystem. Linien går gennem punktet P0 = ( 0, y0)og det vilkårlige punkt P= (, y). Fig. 3 Vektoren: r r = ry er retningsvektor for l. Vi kan nu danne en stedvektor til punktet P og dermed beskrive linien: OP OP P P = OP = OP0 + r t = + r 0 OP t y r 0 y Vektor OP skrives som funktion af t: t () OP () t = = t yt () 0 + y r 0 r y

85 . Vektorfunktioner 85 Vi har da: SÆTNING En ret linie gennem et punkt P = (, y )med retningsvektoren: r r = r y har parameterfremstillingen: t () r t+ 0 OP() t = = yt () r t+ y y 0 EKSEMPEL 3. En ret linie, m, går gennem punkterne A = (,3) og B = ( 3, 7 ). Vi vil opstille en vektorfunktion for. Retningsvektoren: r= OB OA r = 3 = Ved at bruge koordinaterne fra punkt A (vi kunne også bruge punkt B) fås vektorfunktionen: t () t + m : OP() t = = yt () 4 t + 3. EKSEMPEL 4. En ret linie givet ved udtrykket y= a + bkan omskives til en vektorfunktion. Med udgangspunkt i hældningstallet kan vi danne en retningsvektor: = (, b). Nu har vi vektorfunktio- Vi finder et punkt på linien: P nen: r = a 0 0 t () t = t yt () 0 b + a = a t+ b

86 . Vektorfunktioner PUNKT PÅ LINIE Vi vil undersøge, om et givet punkt, Q hvor: = ( Q, Q y ) tilhører en linie, l, t () 0 + r t l: OP() t = = yt () y0 + ry t Vi sætter punktets -værdi lig med koordinatfunktionen for : Q = + r t Ligningen løses med hensyn til t Q : 0 Q t Q Q = r 0 Hvis Q ligger på linien, skal det gælde at: 0 + r t OP( tq ) = y + ry t Q Q = Q 0 Q y EKSEMPEL 5. Et punkt Q = ( 45),. En linie l er givet ved vektorfunktionen: t () t l: st () = yt () = t Vi undersøger, om Q tilhører l ved at sætte Q s -værdi (4) lig med koordinatfunktionen for : Vi indsætter: 4= + 3 t t = ( ) 3 s( ) = y( ) = = 4 5 Stedvektorens koordinater svarer til koordinaterne for Q. Vi kan derfor fastslå, at Q ligger på linien l.

87 . Vektorfunktioner 87 AFSTAND Vektorfunktionen: t () OP() t = yt () beskriver stedvektoren til punktet P som funktion af parameteren t. Længden af stedvektoren beskriver afstanden fra origo til P. Denne afstand er også en funktion af parameteren t idet: t () OP() t = = t () + yt () yt () Vi kan indføre en mere bekvem skrivemåde, idet vi lader d betegne afstanden: dt () = t () + yt () Hvis vi skal bestemme afstanden til et punkt, P0 0, y0 og banekurven for OP() t, udvides formlen til: = ( ) SÆTNING Forskriften for afstanden, dt (), mellem et punkt P = y 0 (, 0 0) og banekurven for t () OP() t = yt () er givet ved: ( ) + ( 0 0) dt () = t () yt () y Ved hjælp af differentialregningen kan vi nu fastlægge maksimumsog minimumsafstande. Da de differentierede udtryk kan være komplicerede, er det ofte nødvendigt at anvende CAS. EKSEMPEL 6. På fig. 4 ses banekurven for vektorfunktionen: t () t rt () = = [ yt (), 0 t 5] t +

88 . Vektorfunktioner samt punktet: P 0 = ( 5, ) Fig. 4 Vi vil fastlægge en forskrift, der beskriver afstanden, d, mellem rt () og P 0 : ( ) + + ( ) dt () = t 5 t ( ) + ( ) dt () = t 5 t På fig. 5 ses det grafiske billede af dt (). Fig. 5

89 . Vektorfunktioner 89 Vi kan se, at der er et minimumspunkt. Den tilhørende t-værdi findes ved at løse ligningen: Ved at anvende CAS får vi: d ( t) = 0 t =, 75 Den tilhørende afstand findes ved indsætning i dt (): d min d min = d(, 75) ( ) + ( ) = =, 75 5, 75,05 VEKTORFUNKTIONENS y-funktion Vi kan sommetider omskrive en vektorfunktion til en y-funktion. Det betyder, at vi finder sammenhængen mellem y og som ved en almindelig funktion, hvor y= f( ). EKSEMPEL 7. En vektorfunktion: t () t 4 st () = = yt () 3 t 8 Vi kigger på -retningen: = t 4 t isoleres: t = + Denne værdi for t indsættes i koordinatfunktionen for y: y = y=

90 . Vektorfunktioner CIRKLEN Fra plangeometrien har vi cirklens centrumsligning: ( 0 ) + ( 0 ) = y y r hvor et vilkårligt punkt på cirklen har koordinaterne, P= (, y). Cirklens centrum C= (, y ) 0 0 Fig. 6 Vi opstiller en vektorfunktion for cirklen. Fra fig. 6 får vi: r t OP = OC + CP = 0 cos( ) + y r sin( t) Vi skriver OP som vektorfunktion: t ( ) r OP() t = yt ( ) = 0 cos( t) + y0 r sin( t) Vi kan omskrive cirklens centrumsligning på en anden måde. Vi bruger grundrelationen (idiotformlen) fra enhedscirklen: cost 0 + sin t =

91 . Vektorfunktioner 9 Cirklens centrumsligning omskrives: ( 0 ) y y + 0 = r r ( ) Vi kombinerer med grundrelationen og får koordinatfunktionerne: ( 0 ) = cost r = r cost 0 t () = + r cost 0 Endvidere har vi: ( y y0 ) = sin t r y y = r sin t 0 yt () = y + r sint 0 Vi har: SÆTNING 3 En vektorfunktion OP() t, der beskriver banekurven for en cirkel med radius r og centrum i P = (, y )er givet som: t () OP() t = yt () = y + 0 r cos( t) 0 r sin( t) PARAMETEREN Banekurven afgrænses af det interval parameteren t gennemløber. Vi betragter det grafiske billede af banekurven for vektorfunktionen: ( ) t t yt ( ) = cos sin t På fig. 7 ses en afbildning i intervallet 0 t π. På fig. 8 er intervallet 0 t π.

92 . Vektorfunktioner Fig. 7 Fig. 8 ELLIPSEN På fig. 9 ses en ellipse i et koordinatsystem. Det stykke med den største afstand mellem to punkter på ellipsen kaldes storaksen, a. Stykket med den mindste afstand kaldes lilleaksen, b. Fig. 9

93 . Vektorfunktioner 93 Vi angiver her en ligning for en ellipse, hvis akser er sammenfaldende med akserne i koordinatsystemet: y + a = b + sin t =, opstiller vi ko- Med udgangspunkt i grundrelationen, cost ordinatfunktionerne for ellipsen: og: = cost a t () = a cost y = sin t b yt () = b sint Nu har vi den vektorfunktion, der beskriver banekurven for en ellipse, hvis akser er sammenfaldende med koordinatsystemets akser: ( ) t a t yt ( ) = cos b sin t På fig. 0 ses en ellipse, hvis akser ikke er sammenfaldende med koordinatsystemets akser. Fig. 0

94 . Vektorfunktioner Ellipsens forskydning er givet ved stedvektoren til aksernes skæringspunkt, C= (, y ) 0 0 : OC = 0 y Stedvektoren til et punkt på ellipsens banekurve er: OP = OC + CP OP ( t) = 0 a cost + y b sin t 0 0 SÆTNING 4 En vektorfunktion OP() t, der beskriver banekurven for en ellipse med storeaksen a, som er parallel med -aksen og lilleaksen b, som er parallel med y-aksen og hvor aksernes skæringspunkt er P = (, y )er givet som: t () OP() t = yt () = y + 0 a cost 0 b sint SUPERELLIPSEN En interessant variant af ellipsen er den såkaldte superellipse, som er opfundet af den danske forfatter og opfinder Piet Hein. ( ). På fig. ses et bord hvor bordpladen har form som en superellipse, der kan betragtes som en mellemting mellem et rektangel og en ellipse. Fig.

95 . Vektorfunktioner 95 En superellipse, hvor akserne er sammenfaldende med koordinatsystemets akser, beskrives ved ligningen: a n n y + = b Superellipsen er det grafiske billede af ligningen, når n >. Hvis vi vil danne en vektorfunktion, omskrives ligningen: a n + y b n = Ved at anvende grundrelationen og følge de samme principper som ved ellipsen, får vi: SÆTNING 5 Koordinatfunktionerne til en superellipse, med storeaksen a og lilleaksen b, som er sammenfaldende med koordinatsystemets akser, er givet som: og: n t () = a cos t n t () = a cost n yt () = b sin t n yt () = b sint På fig. ses afbildninger af banekurven for ligningen: n n y + = 4 for forskellige værdier af n. En almindelig ellipse fremkommer, når n =. Ellipsen bliver mere rektangulær når n >.

96 96. Vektorfunktioner Fig. CAS-EKSEMPEL. På fig. 3 ses afbildningen af en ellipse og to superellipser. Fortegn styres af funktionen signum sign idet: signum( ) = når < 0 signum( 0) = 0 signum( ) = når > 0 Når t gennemløber intervallet [ 0π ; ], skifter cosinus og sinus fortegn. Det forhold udnyttes til at skifte fortegn for koordinatfunktionerne: Fig _50_MatA_ht.indd 96 6/05/08 :38:46

97 . Vektorfunktioner 97 BANEKURVENS SKÆRING MED KOORDINATAKSERNE Når vi skal beregne banekurvens skæring med koordinatakserne, anvender vi koordinatfunktionerne. Vi ved, at -aksen har ligningen y = 0. Banekurvens skæring med - aksen findes derfor ved at løse ligningen: yt ()= 0 Stedvektoren til skæringspunktet beregnes ved at indsættes den fundne værdi for t i vektorfunktionen. Tilsvarende findes banekurvens skæring med y-aksen ved at løse ligningen: t ()= 0 idet y-aksen har ligningen = 0. Stedvektoren til skæringspunktet beregnes ved at indsættes den fundne værdi for t i vektorfunktionen. EKSEMPEL 8. En vektorfunktion er givet ved: t () t rt () = = yt () Banekurven er afbildet på fig t+ t Fig. 4

98 . Vektorfunktioner Skæring med -aksen: yt () = 0 t = 0 t = 05, Vi beregner stedvektoren til skæringspunktet med -aksen ved at indsætte t i rt (): Skæringspunktet: Skæring med y-aksen: 05, 3 05, + 075, r( 05, ) = 0 = 0 t P = ( 075,, 0) t ()= 0 3 t+ = 0 t= t= Vi beregner stedvektorerne til skæringspunkterne med y-aksen: r( ) r( ) Skæringspunkterne bliver: = = = = 3 P y = ( 0, ) P y = ( 03, ) TANGENTER TIL BANEKURVEN Vi har set, hvordan man ved hjælp af differentialregning kan finde tangenthældningen til et punkt på en kurve. En tangenthældning kan udtrykkes ved hjælp af et tal eller en tangentvektor. Tangentvektoren ved en vektorfunktion findes ved at differentiere koordinatfunktionerne.

99 . Vektorfunktioner 99 Derfor bliver tangentvektoren udtrykt som en ny vektorfunktion. Vi forudsætter, at koordinatfunktionerne er kontinuerte og differentiable i de betragtede intervaller. Vi kan bruge følgende skrivemåder: Vektorfunktion: Tangentvektor: t () rt () = yt () ( t) r ( t) = y ( t) eller: dr() t dt d() t = dt dy() t dt EKSEMPEL 9. Stedvektoren til et vilkårligt punkt på en cirkel er givet ved vektorfunktionen: t () cos( t) rt () = = yt () sin( t) Vi vil finde et udtryk for tangentvektoren og beregne koordinaterne til tangentvektoren, når t = π 4. Tangentvektoren til et vilkårligt punkt på cirklen findes ved at differentiere stedvektoren: ( t) sin( t) r ( t) = = y ( t) cos( t) Vi beregner koordinaterne til tangentvektoren når t = π 4 : π sin π 4 r = = 0, π 0, 707 cos 4

100 . Vektorfunktioner Stedvektoren til tangentpunktet findes som: π r π cos 4 = = 4 π 0, 707 0, 707 sin 4 Cirklen og tangentvektoren ses afbildet på fig. 5. () () Fig. 5 VANDRET TANGENT Stedvektoren til et punkt på en banekurve er givet ved vektorfunktionen: t () rt () = yt () Hvis der er et punkt på banekurven, hvor der er vandret tangent, vil det gælde, at tangentvektorens. koordinat er lig med 0. Banekurvens tangentvektor er givet som: ( t) r ( t) = y ( t)

101 . Vektorfunktioner 0 Koordinaterne til den vandrette tangentvektor findes ved at løse ligningen: y ( t) = 0 Den fundne værdi for t indsættes derpå i tangentvektor-funktionen. For at finde stedvektoren til det punkt, hvor der er vandret tangent, indsætter vi t i vektorfunktionen. LODRET TANGENT Ved en lodret vektor er.koordinaten lig med 0. Når vi skal finde koordinater og beliggenhed for lodret tangent, er proceduren er den samme som ved den vandrette tangent. Blot løser vi ligningen: ( t) = 0 EKSEMPEL 0. I cirklen i eksempel 8 er der to punkter med vandrette tangenter og to punkter med lodrette tangenter til banekurven. Vi vil beregne koordinaterne til tangentvektorerne i disse punkter. Endvidere beregnes punkternes koordinater. Se fig. 6. Tangentvektoren: ( t) sin( t) r ( t) = = y ( t) cos( t) Vandrette tangenter findes ved at løse ligningen: y ( t) = 0 cost = 0 π 3 t= t= π Koordinaterne til tangentvektorerne: π 3 π sin r ( t) = = sin r ( t) = = π 0 3 π 0 cos cos Vi beregner stedvektorerne:

102 . Vektorfunktioner π 3 π cos rt () = = π cos 0 = rt () 0 = 3 π sin sin Koordinater til punkter med vandret tangent: Lodret tangent: P v = ( 0, ) P v = ( 0, ) ( t) = 0 sin t = 0 t= 0 t= π Vi indsætter t og finder tangentvektorerne: samt stedvektorerne: sin r ( t) = 0 = r ( t) cos 0 0 sin π 0 = = cosπ cos c rt () = rt () 0 = sin 0 0 = osπ = sin π 0 Koordinater til punkter med lodret tangent: P l = (, 0) P l = ( 0, ) Fig. 6

103 . Vektorfunktioner 03 TANGENTVEKTORERNES BETYDNING Som tidligere omtalt kan vektorfunktioner bruges til at beskrive bevægelser. Parameteren t udtrykker således tiden. Antag nu, at cirklen i eksemplerne 8 og 9 beskriver en banekurve for en partikel. Hvis vi kun har banekurven til rådighed, vil vi ikke være i stand til at udtale os om bevægelsesretningen. Vektorfunktionen for banekurven kan nemlig fremstilles på to måder: cost rt () = cost eller rt () = sin t sin t I det ene tilfælde bevæger partiklen sig mod uret, i det andet med uret. Vi kan beregne stedvektoren til forskellige tidspunkter og derigennem få et indtryk af retningen. Vi kan også kigge på tangentvektorernes retning. I det følgende skal vi se, hvordan tangentvektorer kan anvendes til beskrivelse af hastighed og acceleration. HASTIGHED Vi lader vektorfunktionen: t () rt () = yt () beskrive stedvektoren til et vilkårligt punkt på en banekurve. Hvis vi differentierer stedvektoren, får vi et udtryk, der beskriver ændring i sted divideret med ændring i tid. Det svarer til hastighed. Vi har da hastighedsvektoren: ( t) vt () = r () t = y ( t) Hastighedsvektoren er tangentvektor til banekurven.

104 . Vektorfunktioner FART SÆTNING 6 Hastighedens størrelse,v() t udtrykkes som længden af hastighedsvektoren: vt () = vt () = () t + y () t Hastighedens størrelse kaldes også farten. ACCELERATION Ved at differentiere hastighedsvektoren får vi accelerationsvektoren: ( t) at () = v () t = y ( t) SÆTNING 7 Accelerationens størrelse findes som længden af accelerationsvektoren: at ( ) = at ( ) = ( t) + y ( t) Fra fysik ved vi, at den kraft, der påvirker et legeme, er proportional med legemets masse og dets acceleration. Det kan derfor være vigtigt ved design af maskiner og dynamiske konstruktioner at vide, hvor store accelerationer der kan optræde. Når vi skal fastlægge maksimal/minimal fart og acceleration, er fremgangsmåden den samme som ved maksimal/minimal afstand. Ved hjælp af differentialregningen findes funktionens ekstremumspunkter. Tilhørende værdier af t beregnes og indsættes. Hvis man vil beregne koordinaterne til de punkter, hvor ekstremerne forekommer, indsættes de fundne værdier af t i udtrykket for banekurven.

105 . Vektorfunktioner 05 EKSEMPEL. En sten kastes i en vinkel, v = 60 0 op i luften. Idet stenen forlader hånden, er hastigheden m/s og højden er m over vandret. Se fig. 7. Vi vil beregne, hvor højt stenen når op, og hvor langt den når ud samt farten, når stenen rammer jorden igen. Desuden efterviser vi, at banekurven er en parabel ved at opstille y-funktionen. Tyngdeaccelerationen g = 98, m s. For at gøre det mere overskueligt er enhederne udeladt. Vektorfunktionen, der beskriver banekurven, er givet ved udtrykket: 0 cos60 t rt () = 0 sin 60 t, t + 98 Hastighedsvektoren vt () findes ved at differentiere rt () : r ( t) 0 cos60 vt () = = y ( t) 0 sin 60 98, t Nu kan vi beregne den maksimale højde. I det øjeblik stenen vender for at bevæge sig nedad, er den lodrette hastighed lig med 0. Der er således vandret tangent: y ( t) = 0 0 sin 60 9, 8 t = 0 t = 06, Vi indsætter t i udtrykket for banekurven: 0 cos 60, 06 r( 06, ) = 0 sin 60, =,,, 750, Den maksimale højde er derfor 7,50 m. Stenen rammer jorden hvor banekurven skærer -aksen, svarende til at yt ()= 0 : sin t, t + = 0 Andengradsligningen har to løsninger: t= 08, t= 9,

106 . Vektorfunktioner Vi indsætter den positive værdi for t: 0 cos 60, 9 r( 06, ) = 0 sin 60, =,,, 0 Farten på nedslagstidspunktet: ( 9, ) v( 9, ) = 0 0 = ( cos 60 ) + ( sin 60 9, 8, 9) = 3, 53 y ( 9, ) Fig. 7 Vi finder vektorfunktionens y-funktion, ved at omskrive: 0 cos60 t rt () = 0 sin 60 t, t = cos60 t t = cos60 Vi indsætter i y: 0 y= 60 t t + 98 sin, 0 y = sin 60, cos60 98 cos

107 . Vektorfunktioner 07.grads-polynomiet reduceres og ordnes. y= 0, 36 +, 73 + Vi ser, at der er tale om funktionsforskriften for en parabel. AREALET MELLEM BANEKURVEN OG -AKSEN Vi skal se, hvordan man ved hjælp af integralregning kan fastlægge arealet mellem banekurven og -aksen for vektorfunktionen: t () rt () = yt () Et areal, T, afgrænset af -aksen, grafen for funktionen y= f( ), samt linierne y= og y= er givet som: T = f( ) d hvor <. Ved en vektorfunktion erstattes f( )med yt (). Både f( ) og yt () udtrykker den lodrette afstand mellem -aksen og et punkt på kurven. Da y er en funktion af t, skal vi omskrive d: Vi har nu: d ( t) = dt ( t) dt = d SÆTNING 8 Arealet T mellem -aksen og linierne ( t ) og ( t )samt banekurven for: t () rt () = yt () er givet som t T = y( t) ( t) dt hvor t)< t ( ). ( t

108 . Vektorfunktioner Bemærk, at integrationsgrænserne nu er parameterværdier. Det er forudsat, at t ( ) og y( t) er differentiable i det betragtede interval. EKSEMPEL. På fig. 8 ses banekurven for vektorfunktionen: t t () rt () = = yt () t Fig. 8 Vi vil beregne arealet, T, mellem -aksen og den del af grafen, der ligger over -aksen i intervallet 4: Da t ()= t er: t T = y() t () t dt t ( t) = t Vi beregner integrationsgrænserne ved hjælp af intervalendepunkterne: t ( ) = t = t = t =

109 . Vektorfunktioner 09 Værdien t = udelukkes fordi: ( ) r( ) = = ( ) som er stedvektoren til et punkt under -aksen. Vi udelukker t = t t ( ) = 4 t = 4 = t = ( ) 4 r( ) = = ( ) som også er stedvektor til et punkt under -aksen. Nu er arealet: T = t dt= dt= t SAMMENSATTE BEVÆGELSER I det følgende gives eksempler på, hvordan man kan opstille vektorfunktioner for sammensatte bevægelser. En sammensat bevægelse kan i stedet være banekurven for en ventil på et cykelhjul. Ud over at dreje rundt, bevæger ventilen sig fremad sammen med cyklen. I nogle forlystelsesparker findes karruseller med en stor drejeskive, hvor der er monteret mindre drejeskiver man kan sidde på. Den bevægelse man oplever, er således sammensat af to eller flere rotationer. Se fig. 9.

110 . Vektorfunktioner Fig. 9 Nogle af de mest karakteristiske banekurver har særlige navne. Vi vil her beskrive nogle af disse banekurver. CYKLOIDEN På fig. 0 ses et hjul symboliseret ved en cirkel. Vi vil opstille en vektorfunktion for den banekurve, der beskrives af et punkt, P, på hjulet, når hjulet ruller langs med -aksen. Bevægelsen begynder med at P = ( 00, ) Fig. 0

111 . Vektorfunktioner Når hjulet drejer en vinkel, t, tilbagelægges en strækning, der svarer til buelængden. Den vandrette koordinat til P bliver: Den lodrette: P = r t r sin t = r ( t sin t) P = r r y cos t = r ( cos t) Nu kan stedvektoren til punkt P angives ved vektorfunktionen: r ( t sin t) rt () = OPt () = r ( cos t) Banekurven for rt () kaldes en cykloide. Bemærk, at parameteren t optræder som en vinkel. Tilbagelagt vinkel og tid er ofte proportionale størrelser. Proportionalitetsfaktoren benævnes vinkelhastighed, omega (ω), således at: I eksemplerne ovenfor erω =. θ = ω t CAS-EKSEMPEL 3. På fig. ses afbildningen af en cykloide. Hjulet (cirklen) har rullet en omgang og lidt af anden omgang. Fig. 079_50_MatA_ht.indd 6/05/08 :39:05

112 . Vektorfunktioner CARDIOIDEN Vi forestiller os to ens tandhjul. Se fig.. Det ene er fastgjort. Det andet kører rundt om det faste tandhjul. På fig. 3 er tandhjulene symboliseret ved to ens cirkler med radius, r. Vi vil nu se, hvordan man kan beskrive banekurven for et punkt, P, på den roterende cirkel. Fig. Fig. 3

113 . Vektorfunktioner 3 Vi har vektoren: r cost CP = r sin t Når cirklen har roteret én omgang, har dens centrum roteret en halv omgang i forhold til O. Stedvektoren til C bliver derfor: t r cos OC = t r sin Nu har vi vektorfunktionen for den sammensatte bevægelse: t r cos r c OP() t = OC() t + CP() t = ost + t r sin t r sin Grafen for banekurven kaldes en cardiode på grund af den hjerteformede facon. Se fig. 4. Fig. 4

114 . Vektorfunktioner PROJEKTEKSEMPEL På fig. 5 ses et billede af en forlystelse, hvor man sidder i en kop, der kan dreje om sig selv. Tønden er monteret på en drejeskive, der også roterer. Denne drejeskive er monteret på en større drejeskive, således at der opstår en sammensat bevægelse når alle dele roterer. Fig. 5 En lignende forlystelse består af en stor drejeskive, hvor der er monteret en mindre drejeskive som er forskudt fra den store skives centrum. Se fig. 6. Den store skive: Vinkelhastigheden ω = s og afstanden OC = 6 m Den lille skive: Vinkelhastigheden ω = s og afstanden CP = 3 m Fig. 6

115 . Vektorfunktioner 5 Stedvektoren til punktet P er sammensat af vektorerne: OP = OC + CP Vektoren OC beskrives ved funktionen: Vektoren: r cos( t) OC() t = ω 6 cos( t) = r sin( ω t) 6 sin( t) r cos( t) CP() t = ω 3 cos( t) = r sin( ω t) 3 sin( t) Banekurven for punkt P beskrives ved vektorfunktionen: OP() t = OC() t + CP() t 6 cos( t) 3 cos( t) OP( t) = + 6 sin( t) 3 sin( t) Banekurven viser sig at være en cardioide. Hvad sker der, hvis vi firedobler vinkelhastighedenω? Se banekurven på fig. 7 hvor ω = 8 s Fig. 7

116 . Vektorfunktioner ARCHIMEDES SPIRAL Vi betragter en partikel P. Partiklens banekurve er i første omgang cirkulær, givet ved vektorfunktionen: cost OP() t = sin t Vi vil nu forlænge stedvektoren OP() t, proportionalt med t. Det betyder, at stedvektoren til P ganges med en skalar (et tal) t. Vektorfunktionen for banekurven er nu: cost OP() t = t sin t Banekurven, fig. 8, kaldes Archimedes spiral. Fig. 8 SKRUELINIEN Vi vil kigge på en rumlig banekurve, givet ved vektorfunktionen: t () cost rt () = yt () = sin t zt () t

117 . Vektorfunktioner 7 Tilsammen fremstiller og y koordinaterne én cirkel, når t gennemløber intervallet[ 0π ; ]. Da z samtidig bliver større, beskriver banekurven en skruelinie (en vinding i en spiral). Hvis vi lader t gennemløbe n omgange på enhedscirklen, får vi n vindinger på spiralen. På fig. 9 er vist 5,5 vindinger, svarende til at 0 t π. Fig. 9 Industrirobotter arbejder med sammensatte bevægelser, idet robotarmens bevægelse er en kombination af flere rotationer. Se fig. 30. Fig. 30

118 . Vektorfunktioner EKSEMPEL 3. På fig. 3 ses en løbekran. Krankrogen kan bevæges op og ned, samtidig med at den bevæges langs med tværbjælken. Foto: Danilift A/S Fig. 3 Krankrogens bane er illustreret på fig. 3. Det gælder, at hastigheden i vandret retning er m/s. I lodret retning er hastigheden -0,5 m/s (krogen er på vej ned). Til tiden t = 0 s befinder krogen sig i positionen P 0 = ( 06, ) m. Fig. 3 Fra vektordiagrammet, fig. 3, får vi: OP = OP0+ P0P v+ PvP 0 0 OP = 6 + t t + = t 05. t + 6 Den tilhørende stedvektor kan derfor beskrives ved funktionen: t OP() t = 05. t + 6

119 . Vektorfunktioner 9 SKÆRINGSPUNKTET MELLEM TO BANEKURVER Antag, at to partiker bevæger sig på hver sin banekurve. Måske skærer banekurverne hinanden, men det betyder ikke nødvendigvis, at partiklerne kolliderer. Det er jo ikke sikkert, at partiklerne er det samme sted på et givet tidspunkt! Det svarer til togbanen, der krydser landevejen. Det er heldigvis yderst sjældent, at man hører om en kollision mellem en bil og et tog. Når vi skal beregne koordinaterne til skæringspunktet mellem to banekurver, skal parametrene i vektorfunktionerne være forskellige. Princippet er, at man opstiller to ligninger med to ubekendte. En ligning med.koordinaterne og en ligning med.koordinaterne. Ligningssystemets løsning bruges derpå til at beregne skæringspunktet. EKSEMPEL 4. To partikler p og q følger hver sin banekurve. Se fig. 33. Banekurverne er beskrevet ved vektorfunktionerne: t ( ) t. pt ( ) = = yt ( ) 4 e t + t ( ) t. qt ( ) = = yt ( ) e t Fig. 33

120 . Vektorfunktioner Vi opstiller et ligningssystem: pt ( ) = qt ( ) t t 4 t t e = + e I dette og mange andre tilfælde er der tale om ikke-lineære ligningssystemer. Derfor anvendes erstatningsmetoden. Vi kigger på -retningen: t 4= t t = t Vi indsætter i y-retningen: t t e t+ t = e + = t, 303 t =, 303 Da vi anvender parameteren t, indsættes de fundne værdier i pt ( ) Der er to skæringspunkter, som har stedvektorerne: (, ) p(, ) = (, ) e =, , 739 (, 303) 4, 304 p(, 303) = (, 303) e = + 7, 94 hvilket stemmer fint overens med grafen på fig POLÆRE KOORDINATER Vi vil nu se, hvordan vektorfunktioner kan præsenteres i et polært koordinatsystem som en almindelig funktion af to variable. y-koordinaterne i det retvinklede koordinatsystem benævnes undertiden cartesiske koordinater. Et punkt eller en stedvektor kan også præsenteres ved hjælp af polære koordinater. Det polære koordinatsystem ser anderledes ud, end det vi kender. Origo er centrum i en cirkel og kaldes polpunktet eller blot polen. Den vandrette akse kaldes polaraksen. I et polært koordinatsystem angives en stedvektor ved hjælp af dens længde og dens vinkel i forhold til polar-aksen (-aksen).

121 . Vektorfunktioner På fig. 34 ses et punkt P afbildet i et polært koordinatsystem, hvor: P= (, r θ) = (, ) Fig. 34 Ovenfor er vinklen angivet i grader. Typisk vil en vinkel blive målt i radianer. FUNKTIONSUDTRYK I POLÆRE KOORDINATER Ved en funktionsforskrift i et retvinklet koordinatsystem angives y som funktion af. I det polære koordinatsystem er det radius, r, som funktion af vinklen, θ (det græske bogstav teta ). EKSEMPEL 5. Ligningen for en cirkel med radius r = 5, i polære koordinater, bliver således: r( θ) = 5 idet radius er 5 uanset vinklen. Ligningen for Archimedes spiral i polære koordinater er: ( ) = r θ k θ hvor k er en konstant. Udtrykt i ord er radius proportional med vinklen. Jo større vinkel desto større radius.

122 . Vektorfunktioner EKSEMPEL 6. På fig. 35 ses en version af Archimedes spiral med ligningen: ( ) = r θ θ Spiralen er afbildet i intervallet 0 θ 4π. Fig. 35 Bemærk, at forskrifterne i polære koordinater er mere simple end de tilsvarende vektorfunktioner i cartesiske koordinater.

123 . Vektorfunktioner 3 OVERGANGSFORMLER Vi kan omregne fra cartesisk til polær og omvendt. På fig. 36 ses et koordinatsystem, hvor vi lader -aksen være polarakse med pol i begyndelsespunktet. Fig. 36 Der gælder da følgende: = r cosθ y= r sinθ Endvidere har vi: + y = r tanθ = y

124 . Vektorfunktioner EKSEMPEL 7. Det grafiske billede af funktionen: r( θ) = 4 cos( 3 θ) kaldes en trebladet rose. Se fig. 37. Fig. 37 Vi vil omskrive r( θ) til en vektorfunktion i cartesiske koordinater: = r cosθ = 4 cos( 3 θ) cosθ y = r sinθ = 4 cos( 3 θ) sinθ Banekurven kan nu beskrives ved vektorfunktionen: ( ) θ cos( θ) cosθ r( θ) = y( θ ) = cos( 3 θ)sin θ Fig. 38 viser banekurven i et retvinklet (cartesisk) koordinatsystem.

125 . Vektorfunktioner 5 Fig. 38

126 . Vektorfunktioner OPGAVER Opgave En vektorfunktion er givet ved udtrykket: t () t rt () = = yt () 3+ t a) Angiv koordinaterne til rt () når t = 0, t = 5, t = 3. b) Undersøg om punktet P = ( 37, ) er et punkt på banekurven for rt (). c) Afbild banekurven for rt () i intervallet 3 t 3. Opgave En ret linie er givet ved vektorfunktionen: t rt () = 3+ t a) Vis, ved beregning, at linien skærer y-aksen når t =. b) Vis, ved beregning, at linien skærer -aksen når t = 5,. c) Opstil en ligning for linien af typen y= a + b. Opgave 3 En ret linie, l, går gennem punkterne A = ( 4, ) og B = (, ). a) Opstil en vektorfunktion for l. Opgave 4 En ret linie med hældningstallet a = 5, skærer -aksen i punktet P = ( 40, ). a) Opstil en vektorfunktion for linien.

127 . Vektorfunktioner 7 Opgave 5 En ret linie danner en vinkel på 56 0 med -aksen. Linien skærer y-aksen i punktet P y = ( 0, 3 ). a) Opstil en vektorfunktion for linien. Opgave 6 Nedenfor er angivet to forskellige vektorfunktioner: 3 t 4 6 s r () t =, r () s = 5+ 7 t s a) Forklar hvorfor de to funktioner beskriver den samme rette linie? b) Undersøg om punktet Q = ( 76, ) er et punkt på linien. Opgave 7 En banekurve er beskrevet ved vektorfunktionen: Et punkt P = ( 74, ). 3 t rt () = 5+ 7 t På fig. ses banekurven (den rette linie) og punktet P, afbildet i et koordinatsystem. Endvidere ses grafen for den funktion, dt (), der beskriver afstanden mellem rt () og P. Stykket a betegner den korteste afstand fra P til rt (). Stykket b betegner den korteste afstand mellem minimumspunktet for dt ()og - aksen.

128 . Vektorfunktioner dt () rt () a P b Fig. a) Forklar hvorfor stykkerne a og b er ens. b) Opstil en funktionsforskrift, dt (), for afstanden mellem banekurven og punktet P. c) Beregn den mindste afstand, a, mellem r () t og P. Opgave 8 Vektorfunktionen: t e rt () = t + hvor t a) Afbild banekurven for rt (), i intervallet t, i et koordinatsystem. b) Beregn koordinaterne til de punkter hvor t=, t= og t=. c) Beregn afstanden mellem punkterne hvor t= og t=. d) Opstil en funktionsforskrift, dt (), for afstanden mellem banekurven og punktet og origo, ( 00, ). e) Afbild grafen for dt ()i samme koordinatsystem som rt (). f) Beregn afstanden mellem rt () og origo når t =. g) Beregn den mindste afstand mellem banekurven for rt () og origo. Brug CAS!

129 . Vektorfunktioner 9 Opgave 9 En vektorfunktion er givet som: t () t rt () = = yt () 05, t a) Afbild banekurven i et koordinatsystem. b) Opstil vektorfunktionens y-funktion. c) Hvad kaldes banekurven? Opgave 0 En kurve er givet ved udtrykket: y= 0 a) Omskriv udtrykket til en vektorfunktion og afbild denne i et koordinatsystem. Opgave En cirkel er givet ved ligningen: + y =49 a) Omskriv ligningen til en vektorfunktion. b) Afbild cirklen i et koordinatsystem. Opgave En cirkel er givet ved ligningen: ( 4) + ( y+ ) = 5 a) Omskriv ligningen til en vektorfunktion. b) Afbild cirklen i et koordinatsystem.

130 . Vektorfunktioner Opgave 3 En cirkelbue er beskrevet ved vektorfunktionen: cost rt () =,hvor t 3+ sin( t) a) Afbild cirkelbuen i et koordinatsystem. b) Angiv buens radius. c) Angiv koordinaterne til buens centrum. d) Angiv koordinaterne til buens endepunkter. e) Angiv koordinaterne til det punkt hvor t =, 8 Et punkt på buen har koordinaterne ( y, ) = ( 0, 733, y) f) Beregn den tilhørende t-værdi. g) Beregn y-værdien. Opgave 4 En ellipse er beskrevet ved vektorfunktionen: 5 cost rt () =,hvor0 t π 3 sin t a) Afbild ellipsen i et koordinatsystem. b) Angiv ellipsens storakse og lilleakse. Ellipsen flyttes, således at skæringspunktet, mellem storaksen og lilleaksen, får koordinaterne: P = ( 4, ). c) Opstil en vektorfunktion for ellipsen. Opgave 5 En ellipse, E, har en storakse: a = og en lilleakse b = 8. Aksernes skæringspunkt Q = ( 49, ) a) Opstil en vektorfunktion for ellipsen. Et punkt P = ( 7, ) b) Bestem den mindste afstand mellem punktet P og ellipsen E.

131 . Vektorfunktioner 3 Opgave 6 En superellipse, hvor den halve storakse betegnes a, og den halve lilleakse betegnes b, er givet ved ligningen: a n n y + =, hvor n > b a) Vis hvordan ligningen kan omskrives til en vektorfunktion med koordinat-funktionerne: og n t () = a cos t n t () = a cost n yt () = b sin t n yt () = b sint b) Afbild en superellipse hvor a = 4, b = og n = 7,. Opgave 7 En banekurve er beskrevet ved vektorfunktionen: t () t t 3 rt () = = yt () t + a) Afbild banekurven. b) Beregn koordinaterne til banekurvens skæring med koordinatakserne. Opgave 8 En banekurve er beskrevet ved vektorfunktionen: cost rt () = t, t,hvor0 π 0 e a) Afbild banekurven. b) Beregn koordinaterne til banekurvens skæring med koordinatakserne i det anførte interval. c) Bestem de værdier for t, hvor der er lodret tangent. d) Bestem koordinaterne til de punkter, hvor der er lodret tangent. e) Beregn tangenthældningen i de punkter på kurven, hvor kurven skærer - og y-aksen. f) Bestem de værdier for t, hvor tangenthældningen er. Brug CAS! g) Bestem koordinaterne til de punkter, hvor tangenthældningen er.

132 . Vektorfunktioner Opgave 9 På fig. ses banekurven for vektorfunktionen: cost rt () = t sin t,hvor0 π e Fig. a) Beregn koordinaterne til banekurvens skæringspunkter med anden-aksen. b) Bestem vektorfunktionens differentialkvotient (tangentvektor), r ( t). c) Beregn koordinaterne til tangentvektoren, når t =, 75. d) Beregn koordinaterne til de punkter, hvor der er lodrette og vandrette tangenter. e) Vis at retningsvektoren rt () og tangentvektoren r ( t) står vinkelret på hinanden når t = π. f) Beregn arealet af det lukkede område som banekurven danner.

133 . Vektorfunktioner 33 Opgave 0 En partikels banekurve er givet ved vektorfunktionen: rt () = t 3 t 4 6 t+ 8 Parameteren t angiver tiden målt i sekunder. a) Afbild banekurven i et koordinatsystem. b) Afbild de punkter, der har følgende stedvektorer: r( 3), r(, 5), r( 0), r( ), r( 5, ). c) Vis at punktet P = ( 8, ) passeres to gange. Det vil sige, at der er to forskellige værdier for t hvor rt ( P ) = 8. d) Opstil en vektorfunktion, vt (), der beskriver partiklens hastighed. e) Opstil en funktionsforskrift for farten, vt (). f) Angiv koordinaterne til det punkt, P l, hvor hastighedsvektoren, vt () er lodret. g) Hvad er farten i dette punkt? h) Angiv koordinaterne til de punkter på banekurven, hvor farten er mindst. i) Opstil en vektorfunktion, at (), der beskriver partiklens acceleration. En del af banekurven for rt () danner en lukket sløjfe. j) Fastlæg det interval for t hvor sløjfen defineres. Opgave

134 . Vektorfunktioner Et post-fly skal nedkaste en sæk julepost. Flyets hastighed er konstant 70 [ m/ s] i vandret retning. Flyets højde er konstant 50 m. Til tidspunktet t = 0 er den vandrette koordinat lig 0 m. a) Opstil en vektorfunktion der beskriver flyets banekurve. Efter 0 s kastes sækken. Udover den vandrette bevægelse falder sækken mod jorden, påvirket af tyngdeaccelerationen, g = 9, 8. Der reg- m s nes ikke med luftmodstand. b) Opstil en vektorfunktion der beskriver sækkens banekurve. c) Angiv et gyldighedsinterval for parameteren. d) Hvornår rammer sækken jorden? e) Angiv koordinaterne til nedslagspunktet. f) Beregn den fart sækken rammer jorden med. g) Opstil en y-funktion for sækkens banekurve. Opgave En vektorfunktion: t () t + rt () = = yt () t + a) Afbild banekurven i et koordinatsystem. b) Beregn arealet mellem banekurven og -aksen, som er afgrænset af linierne = og =. c) Find vektorfunktionens y-funktion og beregn yd Længden af et stykke af en banekurve kan beregnes ved formlen: t L= ( t) + y ( t) dthvor t t > t d) Beregn længden af det stykke af banekurven, som er afgrænset af linierne = og =.

135 . Vektorfunktioner 35 Opgave 3 På fig. 3 ses banekurven for vektorfunktionen: t e rt () = t Fig. 3 a) Beregn koordinaterne til banekurvens skæringspunkter med -aksen. b) Beregn arealet af det lukkede område, der afgrænses af banekurven og -aksen. Brug CAS. Opgave 4 En cykloide er beskrevet ved vektorfunktionen: r ( t sin t) rt () = r ( cos t) a) Afbild cykloiden i et koordinatsystem når r =. b) Vis at tangenten til cykloiden danner vinklen t med andenaksen.

136 . Vektorfunktioner Opgave 5 Et hjul med radius r = 0,60 m triller henover et fast underlag. Hjulet triller én omgang på 0,3 sekunder. a) Bestem vinkelhastigheden, ω. Et punkt på hjulets periferi beskriver en cykloide af typen: r ( ω t sin( ω t) rt () = r ( cos( ω t)) b) Afbild cykloiden, der beskrives af ovennævnte punkt på hjulet. Opgave 6 Når man udformer et vejsving anvendes en del af en såkaldt klotoide som overgang mellem det lige stykke og den cirkelformede del af svinget. Herved øges kørekomfort og sikkerhed. Klotoiden har den egenskab, at dens krumning er proportional med den tilbagelagte strækning. Se fig. 4. Fig. 4

137 . Vektorfunktioner 37 Ved projektering af loops i rutschebaner indgår klotoiden ligeledes som overgang mellem et vandret stykke og selve den cirkelformede del af loopet. Se fig. 5 og 6. Cirkel Klotoide Fig. 5 Fig. 6 Den vektorfunktion, der beskriver banekurven, er kompliceret: t A cos(, s ) ds 05 rt () = 0 t A sin( 05, s ) ds 0 Størrelsen A som er en konstant, kaldes klotoide-parameteren. Integralerne lader sig kun beregne ved numerisk integration.

138 . Vektorfunktioner a) Opstil en vektorfunktion for hastigheden. b) Opstil et udtryk for farten. c) Opstil et udtryk for accelerationen. d) Undersøg påstanden: Størrelsen af accelerationen er proportional med parameteren t. e) Afbild en klotoide, hvor A = med anvendelse af CAS. Opgave 7 Banekurven for en skruelinie er givet ved vektorfunktionen: t () 5 cost rt () = yt () = 5 sin t zt () t Banekurven omskriver en cylinder med radius R = 5 og højden h. Der er 8 vindinger (omgange) på skruelinien. Stedvektoren til skrueliniens begyndelsespunkt er givet ved r( 0). a) Angiv intervallet for t, når der er 8 vindinger. b) Beregn koordinaterne til slutpunktet. c) Beregn højden h. d) Beregn længden af én vinding på skruelinien. Opgave 8 En del af Rigsdags-bygningen i Berlin, består af en glas-klædt kuppel. Se fig. 7. Inde i kuplen snor sig en gangbro, fra gulvet til kuplens top, langs med kuplens side. Fig. 8. I denne opgave antages kuplen at have facon som en halvkugle. Således udgør gulvet halvkuglens cirkulære snitflade. Centrum i denne snitflade danner origo i et tredimensionelt koordinatsystem. Halvkuglens diameter D = 38 m.

139 . Vektorfunktioner 39 Fig. 8 Fig. 7 En vektorfunktion, der beskriver banekurven for den yderste del af gangbroen ( kugleformet spiral ), er givet som: t () rt () = yt () = 8 zt () t cost 0 π t sin t, 0 t 9 π 0 π t 0 π a) Bestem r( 0). b) Hvor højt over gulvet befinder man sig når t = 6? c) Bestem værdien for t når man befinder sig i højden,5 m over gulvet. d) Bestem gangbroens hældning i højden,5 m.

140 . Vektorfunktioner Opgave 9 For enden af en fremføringsmekanisme sidder et hjul med radius r=0,3 m. Se fig. 9. Punktet P er et punkt på hjulets periferi. I udgangspunktet er koordinaterne til P = ( 03,, 0 ). Hjulet føres frem med en konstant hastighed v = 0, m/s parallelt med førsteaksen. Samtidig med at hjulet fremføres, drejer det rundt med en konstant vinkelhastighed: ω = s P O C Fig. 9 a) Opstil en vektorfunktion, OC() t, der beskriver fremføringen af hjulet. b) Opstil en vektorfunktion, CP() t, der beskriver hjulets rotation om dets centrum. c) Opstil en vektorfunktion for den sammensatte bevægelse. d) Afbild banekurven i intervallet 0 t 0π. Opgave 30 På fig. 0 ses to cirkler. Den store cirkel er stationær, med centrum C = ( 00, )og radius R = 6. Den lille cirkel triller på den indvendige side af den store cirkels periferi. I den lille cirkel er radius r =. Punktet P er beliggende på den lille cirkel i afstanden d = fra den lille cirkels centrum. I udgangspunktet er koordinaterne til P = ( 50, ).

141 . Vektorfunktioner 4 Fig. 0 a) Hvor mange omgange triller den lille cirkel for at nå en tur rundt i den store cirkel? b) Opstil en vektorfunktion der beskriver banekurven for P. c) Afbild banekurven i et koordinatsystem. d) Opstil en vektorfunktion der beskriver hastigheden. e) Afbild et udtryk for farten i et koordinatsystem. f) Opstil en vektorfunktion, der beskriver accelerationen. Opgave 3 Banekurven for den sammensatte harmoniske svingning: A sin( a t+ δ) rt () = B sin( b t) kaldes en Lissajous- eller Bowditch-kurve. Sandpenduler, se fig., aftegner tilnærmelsesvis Lissajouskurver i sandet. Logoet for det australske TV-selskab ABC, er baseret på en Lissajouskurve hvor: π A=, B=, a=, b= 3, δ =

142 . Vektorfunktioner a) Afbild en Lissajous-kurve med ovennævnte værdier for A, B, a, b ogδ. b) Beregn koordinaterne til de punkter, hvor der er vandrette og lodrette tangenter. c) Afbild en Lissajous-kurve hvor: π A=, B=, a= 9, b= 8, δ = Fig. Opgave 3 To partikler, p og q, følger hver sin banekurve. Banekurverne er beskrevet ved vektorfunktionerne: t ( ) t +. pt ( ) = = t yt ( ) 5, + t ( ) t. qt ( ) = = t yt ( ) 08,

143 . Vektorfunktioner 43 Her er t tiden i målt i sekunder. a) Afbild banekurverne for p og q i et koordinatsystem. b) Beregn koordinaterne til skæringspunkterne mellem banekurverne. c) Hvilke værdier antager t og t i skæringspunkterne? Antag at partiklerne skal støde sammen i ét af skæringspunkterne. d) Beskriv hvordan sammenhængen mellem starttidspunkterne for partiklerne skal være. Opgave 33 En variant af Archimedes spiral er givet ved den polære fremstilling: r( θ) = 5, θ a) Afbild spiralen i et polært koordinatsystem, i intervallet 0 θ 6 π b) Omskriv funktionsudtrykket r( θ) = 5, θ til en vektorfunktion i cartesiske koordinater. c) Angiv beliggenheden af vandrette og lodrette tangenter i intervallet 0 θ 6 π. Opgave 34 Banekurven for en flerbladet rose er givet ved den polære fremstilling: r( θ) = cos( n θ), hvor n er et helt tal større end. a) Omskriv funktionsudtrykket r( θ) = cos( n θ) til en vektorfunktion i cartesiske koordinater. b) Hvordan varierer antallet af blade på rosen når n varierer? Afbild en graf med CAS og lad n variere. c) Afbild en 5-bladet rose i et polært koordinatsystem. d) Beregn tangenthældningen til banekurven i de punkter hvor θ = 0, 7, 44, 6, 88 0.

144 . Vektorfunktioner Opgave 35 I naturen forekommer ofte former og faconer, der kan beskrives ved ret simple matematiske udtryk. Fig. Fig. 3 Fig. 4

145 . Vektorfunktioner 45 Hvirvler som genfindes i f.eks. sneglehuse, fig., skyformationer omkring et lavtryk, fig. 3 og en arm i en spiralgalakse, fig. 4, kan tilnærmelsesvis beskrives ved hjælp af den logaritmiske spiral, som i sin grundform er givet som: r( θ) = a e b På fig. 5 ses en logaritmisk spiral hvor a= og b= 0,. θ Fig. 5 a) Hvilken sammenhæng er der mellem r( θ) og r ( θ)? Undersøg evt. brøken r ( θ) og forklar! r ( θ) b) Omskriv det polære udtryk for den logaritmiske spiral, til en vektorfunktion i cartesiske koordinater. c) Afbild en logaritmisk spiral i et koordinatsystem hvor a= 3, b= 0,. d) Opstil et udtryk der angiver banekurvens skæringspunkter med første-aksen, (-aksen). e) Opstil et udtryk der angiver de værdier for parameteren t, hvor der er lodrette tangenter.

146 . Vektorfunktioner PROJEKT I en forlystelsespark findes en stor drejeskive, hvorpå er monteret nogle mindre drejeskiver, som er påmonteret kaffekopper man kan sidde i. Se fig.. Fig. Fig. Man ønsker en analyse af bevægelsen af en kopperne, symboliseret ved punkt P på figur. Den store drejeskivens vinkelhastighed ω = s og afstanden OC = 4m Den lille drejeskives vinkelhastighed ω = s og afstanden CP = m Til tidspunktet t = 0 er P = ( 60, ). Bevægelsen analyseres i intervallet 0 t π OPGAVER a) Opstil en vektorfunktion der beskriver banekurven for punkt P. Afbild banekurven. b) Beregn koordinaterne til punkt P når t = 3s c) Beregn de tidspunkter, t, hvor banekurven skærer koordinatsystemets akser. Angiv de tilhørende koordinater. d) Beregn de tidspunkter, t, hvor banekurven har lodrette tangenter. Angiv de tilhørende koordinater. e) Opstil og afbild et udtryk for farten. Bestem den maksimale fart, enten ved aflæsning eller beregning. Brug CAS! f) Opstil og afbild et udtryk for størrelsen af accelerationen. Bestem den maksimale accelerationen, enten ved aflæsning eller beregning. Brug CAS! FORMLER Her angives nogle formler til anvendelse i beregningerne ovenfor: ) sin( t) = sin( t) cos( t ) ) cos( t) = ( cost )

147 . Vektorfunktioner 47 KAPITELOVERSIGT VEKTORFUNKTION Stedvektoren til et punkt, P, på en banekurve betegnes ved vektorfunktionen: t OP ( t) = () yt () t () og yt () er banekurvens koordinatfunktioner. RET LINIE En ret linie gennem et punkt P0 = ( 0, y0)med retningsvektoren: har parameterfremstillingen: r r = ry t () r t+ 0 OP() t = = yt () ry t+ y0 En ret linie med hældningen a som skærer y-aksen i ( 0, b) kan beskrives ved vektorfunktionen: t () t = t yt () 0 b + a = a t+ b CIRKLEN En cirkel med centrum C= ( 0, y0 ) vektorfunktionen: med radius r beskrives ved r cos( t) OP() t = 0 + y r sin( t) 0

148 ELLIPSEN En ellipse med storeaksen a og lilleaksen b, hvor aksernes skæringspunkt P0 = ( 0, y0) beskrives ved vektorfunktionen: t ( ) a OP() t = yt ( ) = 0 cost + y0 b sin t SUPERELLIPSEN En superellipse, med storeaksen a og lilleaksen b, som er sammenfaldende med koordinatsystemets akser, har koordinatfunktionerne: n t () = a cos t n t () = a cost og: n yt () = b sin t n yt () = b sint hvor n >. AFSTAND Forskriften for afstanden dt () mellem et punkt P0 = ( 0, y0) og banekurven for t () OP() t = yt () er givet ved: ( 0 ) + ( 0) dt () = t () yt () y

149 . Vektorfunktioner 49 STED, HASTIGHED, FART, ACCELERATION Stedvektor: t () rt () = yt () Hastighedsvektor: Fart: Acceleration: ( t) vt () = y ( t) vt () = () t + y () t v ( t) ( t) at () = = v ( t) y ( t) AREAL Arealet T mellem -aksen og linierne ( t ogt ) ( ) samt banekurven for: er givet som hvor t ( t )< ( ). t () rt () = yt () t T = y() t () t dt t KURVELÆNGDE t () Længden, L, af et stykke af banekurven for rt () = er givet som: yt () t L= ( t) + y ( t) dt t hvor t > t

150 OVERGANGSFORMLER MELLEM POLÆRE OG CARTESISKE KOORDINATER Fra polær til cartesisk: Fra cartesisk til polær: = r cosθ y= r sinθ + y = r tanθ = y

151 3 DIFFERENTIALREGNING II

152 3. Differentialregning II INDLEDNING I MAT B lærte du grundlæggende om selve differentiationsbegrebet. Du lærte at finde den afledte funktion f ( ) i forskellige situationer. Metoden vi brugte kaldes for 3-trins-reglen, og den er så vigtig at vi lige gentager den korte version her: 3-TRINSREGLEN Trin : Betragt Δy = f( + Δ) f( ) Trin : Udregn differenskvotienten Δ y f ( + Δ) f ( ) = Δ Δ Δy Trin 3: Bestem differentialkvotienten lim Δ 0 Δ Metoden bruges ofte når vi skal bevise forskellige regler. Det skal du også se eksempler på i dette kapitel. Vi skal nu studere forskellige områder, hvor differentiation spiller en vigtig rolle. Vi begynder med differentiation af den reciprokke funktion og bruger med det samme 3-trinsreglen. DETTE KAPITEL I dette kapitel skal vi undersøge forskellige aspekter ved differentialregning. Vi begynder med et danne et overblik i forhold til differentialregning, som du har lært hidtil. Dernæst studerer vi forskellige egenskaber ved differentialregning. Vi undersøger begrebet implicit differentiation, der handler om at kunne differentiere ligninger og ikke funktioner. Dernæst undersøger vi omvendte funktioner og deres differentialkvotienter. To vigtige af slagsen, e og ln har vi særlig fokus på. Dernæst kigger vi på asymptoter, og i særdeleshed på differentialkvotienter hvis grænseværdier nærmer sig en konstant forskellig fra nul, såkaldte skrå asymptoter og vi skal se eksempler og metoder vedr. såkaldte polynomiums brøker.

153 3. Differentialregning II 53 DIFFERENTIATION AF RECIPROK FUNKTION Husk på, at den reciprokke funktion til f() er f( ). I dette afsnit skal vi bevise, at hvis f() er differentiabel i, og f() er forskellig fra nul i. Da er den reciprokke funktion differentiabel i. Der gives desuden en metode til, at bestemme differentialkvotienten for den reciprokke funktion. f( ) SÆTNING. Differentiation af f ( ) Lad f() være differentiabel i, og lad f() 0. Da er g( ) = differentiabel i, og f ( ) = f g ( ) ( ) (( f)). Bevis: Beviset følger ved 3-trins-reglen: * f( ) f( + Δ). Δy = g( + Δ) g( ) = = f( + Δ) f( ) f( + Δ) f( ) Ved * sættes på fælles brøkstreg ved at finde fælles nævner.. Δy Δ f( ) f( + Δ) f( + Δ) f( ) f( ) f( + Δ) = = Δ Δ f( + Δ) f( ) = f( + Δ) + f( ) Δ f( + Δ) f( ) 3. Δy lim Δ Δ 0 0 f( + Δ) f( ) = lim Δ Δ f( + Δ) f( ) f( + Δ) f( ) = lim lim Δ 0 Δ Δ 0 f ( + Δ ) f ( ) ** = f ( ) ( f( )) Som ønsket. Vi benytter ved **, at f() er differentiabel (og kontinuert). Hvorfor?

154 3. Differentialregning II EKSEMPEL Vi ved at f( )= + 3 er differentiabel og f ( ) =. Så siger sætning, at g ( )= er differentiabel og + 3 g ( ) = ( + 3) FUNKTIONEN f( )= e, DENS AFLEDTE FUNKTION OG STAMFUNKTION f( )= e har den forunderlige egenskab, at dens arealfunktion og dens hældningsfunktion er den samme, nemlig funktionen selv! Det har vi set i MAT B, og det ses, hvis du integrerer og differentierer funktionen (her med mathcad): Vi kan illustrere fænomenet grafisk: fig.

155 3. Differentialregning II 55 Her er det vist med punktet (,e), hvor hældningen er e, og arealet under kurven i intervallet, har grænseværdien e. Tallet e optræder altså på tre forskellige måder i dette eksempel. Vi kan skrive: e = ( e ) Der gælder også, at arealfunktionen er identisk med funktionen selv på nær en konstant: Ae ( )= e d= e + k. Vi kan udnytte denne viden til at bestemme differentialkvotienten for alle eksponentialfunktioner f( )= a, a > 0. Vi kan omforme f således: (ln ) ln a a f( ) = e = e () Herefter differentierer vi som en sammensat funktion: ln a ln a f ( ) = ( e ) = e (ln a ) = a lna Vi fremhæver reglen: SÆTNING f ( )= a, a > 0 f ( ) = a lna EKSEMPEL f( ) = 3 f ( ) = 3 ln( 3) Idet vi anvender sætning ved direkte indsættelse.

156 3. Differentialregning II DIFFERENTIATION AF EN OMVENDT FUNKTION y= fig. I dette afsnit skal vi bestemme hvordan man differentierer en omvendt funktion. Vi minder lige om definitionen af en omvendt funktion: DEFINITION AF OMVENDT FUNKTION: Lad f() være en funktion. Den omvendte funktion til f betegnes f -, og opfylder at f( f ( )) = f ( f( )) =. Nu skal vi i gang med differentiation af en omvendt funktion, og begynder med sætningen som vi vil bevise: SÆTNING 3. (differentiation af omvendt funktion) Antag at f() er en kontinuert og strengt monoton funktion, der er differentiabel med f () 0. Da er den omvendte funktion til f, betegnes f -, differentiabel i punktet y = f() og ( f y ) ( ) = = f f ( y) f ( )

157 3. Differentialregning II 57 Bevis Beviset føres ved hjælp af det vi har lært, om differentiation af en sammensat funktion. Vi starter med, at differentiere funktionen f ( f( )) =. Først differentierer vi venstresiden, ved hjælp af sætning 3: f ( ( f ( )) ) = ( f ) `( f ( )) ( f ( ) ) Herefter differentieres højresiden: ( ) = Herefter kan vi sætte de to differentierede udtryk lig med hinanden: ( f ) `( f( )) ( f( ) ) = ( ) = ( ) = og ved at isolere f ( f( )) f ( y) fås det ønskede f ' ( ) ( y ) = ( f( ) ) Den opmærksomme læser vil bemærke, at vi her ikke beviser, at den omvendte funktion er differentiabel. Beviset for dette ligger væsentlig uden for vores pensum. Næste afsnit fungerer som eksempel. DIFFERENTIALKVOTIENTEN TIL ln Funktionerne f( )= e og g ( ) = lner hinandens omvendte funktioner. De er begge monotone og differentiable. Vi kender f ( ) = e, og kan benytte sætning 3 til at finde differentialkvotienten til ln. Som omvendte funktioner af hinanden skrives de f således: Dermed er y = e og y=ln Da y= ln fås d y dy = e og = = dy d d y e dy dy d = e = ln

158 3. Differentialregning II fig. 3 Vi har altså fundet differentialkvotienten til y= ln SÆTNING 4 (ln ) = IMPLICIT DIFFERENTIATION, y ) = 0 Ikke alle kurver i planet tegnes af eksplicitte funktioner. Eksplicit betyder, at funktionsforskriften er givet entydigt som f f( )= eller g ( ) = cos( 3 ). I begge tilfælde findes funktionsværdierne direkte ved indsættelse af den variable -værdi. Ligningen y = y ()

159 3. Differentialregning II 59 tegner følgende kurve i planet: fig. 4 Her er y-værdierne givet indirekte eller implicit ved. Man kan lidt populært sige, at y-værdierne findes inden i en ligning. Vi er derfor nødt til at løse ligning () for at bestemme y-værdierne, med mindre vi lader et CAS-værktøj tegne kurven for os som i figuren. Det ses umiddelbart, at kurven går igennem punktet (,). Men spørgsmålet er f.eks., hvilken hældning kurven har i dette punkt? Der er ikke tale om funktion i egentlig forstand. Vi er derfor nødt til at differentiere på en anden måde. Metoden implicit differentiation går ud på at differentiere hele ligninger (som f ()) og derefter isolere y hvis muligt. Vi prøver med eksemplet og generaliserer bagefter: y = y. led. led 3. led () Vi tillader os at anvende reglerne fra almindelig differentiation uden at bevise, at det er tilladt. Normalt differentierer man flerleddede størrelser ved at differentiere hvert led for sig: 3 3 ( + y = y) 3 3 ( ) + ( y ) = ( y) (3)

160 3. Differentialregning II Her opstår næste problem. I samme ligning er der to variable, y og. Det første led ( 3 ) er let at differentiere på vanlig vis, fordi det kun afhænger af. Det andet led ( y 3 ) er en smule sværere, fordi y afhænger af. Derfor er der tale om et sammensat led, bestående af dels y 3 og dels y(). Vi bruger derfor kædereglen på. led: 3 ( y ) = y 3y (4) Det sidste 3. led ( y ) består ligeledes af to variable. Her bruger vi produktreglen: ( y) = y+ y = y+ y Vi samler herefter de tre led til den færdige løsning: 3 + y 3y = y+ y y 3 y = 3y Vi har altså fundet den afledte y som værende afhængig af både og y. Det skyldes, at der ikke er tale om en egentlig funktion. Ved indsættelse af punktet P=(,) fås: y y 3 = = 3 3y 3 = Tangenten har altså en hældning på -45 grader i punktet, hvilket stemmer overens med figuren. EKSEMPEL 3. Vi prøver metoden på en cirkel med centrum i (0,0) og med radius = 3. + y = 3 d dy dy d3 + = d dy d d + y dy = 0 d dy = d y Bemærk at leddet 3 forsvandt. Det betyder, at udtrykket er generelt for cirkler og kan benyttes til at finde tangenthældninger for vilkårlige cirkler med centrum i (0,0).

161 3. Differentialregning II 6 EKSEMPEL 4. Vi skal her se en let og generel metode til implicit differentiation. Metoden kan med fordel bruges i CAS-værktøjer, da den er udformet som en simpel formel. Metodens korrekthed vil vi ikke bevise her, men du kan selv teste resultatet. Formlen består af en brøk og lyder: dy d df (, y) = d df (, y) dy Idet ligningen generelt er udtrykt på følgende måde, hvor alle led er samlet på venstre side af lighedstegnet: f(, y)= 0 I tælleren opfattes y som konstant, i nævneren opfattes som konstant. Formlen tester vi på eksempel fra før vha. Mathcad: ( ) d + y 3 d ( ) d y + y 3 d y EKSEMPEL 5. Vi skal se et eksempel, hvor implicit differentiation anvendes på en praktisk situation. r v h fig. 5

162 3. Differentialregning II En kornsilo er udformet som en kegle. Den fyldes fra toppen med en pumpe, der fylder siloen med en fast volumenhastighed på 00 l/min. Vi antager, at den øverste kornoverflade fordeles jævnt som en cirkel. Hvordan holdes nu øje med, hvor meget siloen fyldes? En højdemåler er installeret som vist på figuren. Rumfanget af en kegle findes som en funktion af de to variable h og r: π V = h r 3 I dette tilfælde er alle variable afhængige af tiden: π Vt () = ht () r() t 3 Højden h og radius r er indbyrdes afhængige, idet Derfor kan vi skrive v r v tan = r= h tan h π v v V() t = ht () ht ()tan h () t tan π = Foretager vi implicit differentiation på denne ligning fås v V () t = πh () t h ()tan t Ved en vinkel på f 60 grader fås 03, = h () t () πh Ved en højde på f 3 meter fås, at højden vokser med cm /min. Bemærk, at vi ikke har inddraget tiden som parameter direkte. Hvis det skal gøres, skal vi betragte ligning som en differentialligning, hvilket du kan læse om i et senere kapitel.

163 3. Differentialregning II 63 ASYMPTOTER En asymptote er en ret linie, som grafen for en funktion nærmer sig mere og mere når -værdien bevæger sig i en bestemt retning. Vi skelner imellem vandrette, lodrette og skrå asymptoter. Først en generel definition: SÆTNING 5. Asymptoter En vandret asymptote er en ret linie l : y = k hvorom der gælder: v lim f ( ) = k eller lim f ( ) = k En lodret asymptote er en ret linie l k l : = hvorom der gælder: lim f ( ) =± eller lim f ( ) =± k k En skrå asymptote er en ret linie l : y = a+ b hvorom der gælder s lim ( f ( ) ( a+ b) )= 0 eller lim ( f ( ) ( a+ b) )= 0 Hvor f er en kontinuert funktion. Vi ser først et af de mest klassiske eksempler på både vandrette og lodrette asymptoter.

164 3. Differentialregning II EKSEMPEL 6. Funktionen f( )= har den velkendte røde graf i fig. 6 f fig. 6 Da lim =± og lim 0 ± = 0 har funktionen den lodrette asymptote =0 (y-aksen) og den vandrette y=0 (-aksen). På figuren er antydet to andre eksempler på funktioner med vandrette og lodrette asymptoter. Kan du eftervise, at det er korrekt? 3 EKSEMPEL 7. Vi undersøger funktionen f( )= for lodrette 3 asymptoter. Det ses umiddelbart, at 3, da nævneren i så fald ville være 0. Vi undersøger derfor følgende grænseværdier jf. sætning 4 3 lim f( ) = lim og lim f( ) lim f( ) 3 = Vi kan ændre begge grænseværdier til: 3 lim( ) + 3 = lim( 3) 3+ og 3 lim( ) 3 = lim( 3) 3

165 3. Differentialregning II 65 Nullet i tælleren er naturligvis ikke tilladt, men skal læses som grænseværdien. Vi kan derfor konkludere, at linien =3 er en lodret asymptote, hvor grafen for f nærmer sig linien på to måder afhængig af, om vi følger grafen fra højre eller fra venstre. SKRÅ ASYMPTOTER En skrå asymptote er en ret linie ls : y= a+ b, hvorom der gælder lim f( ) ( a+ b) ( ) = 0 eller lim ( f( ) ( a+ b) ) = 0 Udtrykket f( ) ( a+ b) er det helt centrale. Det er grafisk set udtryk for den lodrette afstand imellem funktionens graf og asymptoten. Det er illustreret i fig. 7. fig. 7 Denne afstand nærmer sig 0, når går mod uendelig (i andre tilfælde minus uendelig), og derfor er der tale om en skrå asymptote. Lidt mere forenklet kan man sige, at grafen og den rette linie nærmer sig hinanden mere og mere. Eller at funktionen selv bliver mere og mere lineær. Hvis vi kalder afstanden for d ( ) = f( ) ( a+ b), a 0 ses, at der er tale om en selvstændig funktion. Vi kan derfor udtrykke funktionen f på denne måde: f( ) = d( ) + a+ b ()

166 3. Differentialregning II Hvis vi altså for en funktion kan ændre det til (), hvor der gælder lim d ( ) = 0 eller lim d ( ) = 0, da vil linien l: y= a+ b være en skrå asymptote for funktionen f. Når funktion f er asymptotisk på denne måde, må dens egen hældningsfunktion f nærme sig samme hældning: lim f ( ) = a () EKSEMPEL 8. Vi skal se et eksempel på en brøk, hvor der ofte optræder skrå asymptoter: 4 + f( )= 3 Vi undersøger grænseværdien lim f ( ) : f lim ( ) lim ( ) f lim ( f = = ) ± ( ) ± Her har vi brugt L Hôpitals regel (se MAT B) og kan derfor skrive lim + + = lim = lim ± ± ( 3 ) ± 4 Vi dividerer i brøkens tæller og nævner med 4 : lim + = lim = ± 4 ± idet de to sidste led i tæller og nævner går mod 0. Funktionen har da en skrå asymptote med hældningen a=0,5, uanset om går imod plus eller minus uendelig, hvilket også fremgår af grafen:

167 3. Differentialregning II 67 fig. 8 Vi tester med Mathcad: f () := d f () Bemærk desuden, at funktionen også har en lodret asympote = 3, der findes for den -værdi hvor brøkens nævner er nul, og som derfor ikke er en del af funktionens definitionsmængde. ASYMPTOTER FOR POLYNOMIEBRØKER En polynomiums brøk defineres generelt som n n a n + an a0 f( ) = m m b + b b m m 0 Pn ( ) = P ( ) Hvor Pn ( )betegnes tællerpolynomiet og P ( )nævnerpolynomiet. m Metoden i eksempel 8 kan generaliseres for alle polynomiumsbrøker, hvor tællerpolynomiets potens er én større end nævnerpolynomiets, idet der generelt gælder: Hvis graden af tælleren er større end graden af nævneren, er der en skrå asymptote, og den kan findes ved polynomiers division. Vi gentager eksemplets metode generelt for funktioner defineret som polynomiumsbrøker: m

168 3. Differentialregning II Vi finder først elementet f ( ), idet m = n- n n a n + an a + a0 n n f( ) bn + bn b + b = n n a n + an a + a0 = n n b + b b + b n n n 0 an+ an a a n n n n b b b n + n n b = + n 0 n a0 an+ an a + n n bn + bn b + b n 0 n 0 0 = Resultatet undersøges for gående imod plus/minus uendelig: a0 an+ an a + n n lim a = ± bn + bn b + b bn 0 n n Vi finder altså at grænseværdien er lig med konstanten a b n, hvilket er n i overensstemmelse med reglen for den skrå asymptote og er dermed lig med den skrå asymptotes hældning. Vi konkluderer: n SÆTNING 6 En funktion f med en forskrift som en polynomiebrøk med følgende udseende n n 0 a + a a + a n n 0 f ( ) =, n n n n b + b b b a 0, b n n 0 an har en skrå asymptote med hældningen α = b n

169 3. Differentialregning II 69 POLYNOMIERS DIVISION MED CAS Med metoden polynomiers division kan man bestemme den skrå asymptote direkte for en polynomiebrøk. Metoden går ud på at gennemføre en egentlig division af brøken, således at funktionen omskrives til formen: f( ) = d( ) + a+ b Eller udtrykt med polynomiumsbrøkerne Pt ( ) rt ( ) f( ) = = + a + b P ( ) P ( ) n n Hvor r t( ) betegner en rest d(). P ( ) n a+b betegner den fundne skrå asymptote. Vi betragter et eksempel, hvor et CAS-værktøj (her Mathcad) kan udføre divisionen for os: EKSEMPEL 9. Vi ønsker at bestemme den skrå asymptote for funktionen f( )=. 3 + Mathcad anvender værktøjet convert,parfrac til at foretage divisionen med: p( ) := p() := 3 + p() p() convert, parfrac ( ) ( ), Det sidste led, restleddet, går imod nul. Derfor hedder den skrå asymptote l: y= 33

170 3. Differentialregning II OPGAVER Opgave Bestem differentialkvotienterne af følgende funktioner:. f( )=. f( )= f( )= f( )= 3 5. f( ) = e ln 6. f( ) = 7 ln Opgave Bestem tangentens ligning i punktet ( 4, f ( 4)) for funktionerne i opgave. Opgave 3 Givet en ligning y. Find dy d = og y > 0 ved at differentiere implicit med hensyn til.. Bestem ligningen for tangenten til ligningens graf i det punkt, hvor = 5. Opgave 4 Bestem y i hver af følgende ligninger ved brug af metoden implicit differentation.. + y= 4. y=. + y = 5. + y = y = y =

171 3. Differentialregning II 7 Opgave 5 Bestem y i hver af følgende ligninger ved brug af metoden implicit differentiation.. y + y=0. cos y= y =0 Bestem skæringspunkterne imellem ovenstående ligningers grafer. Bestem alle vinkler imellem tangenterne i skæringspunkterne. Opgave 6 To cirkler + y = 4 og ( ) + ( y+ ) = 7 skærer hinanden to steder. Bestem vinklen imellem deres respektive tangenter i disse punkter. Opgave 7 Bestem den mindste afstand fra punktet (0,) til funktionerne. f( )=. f( )= f( ) = ln( ) Opgave 8 En lille pyramide står på hovedet inden i en større pyramide med givne propertioner. Hvad er det størst mulige rumfang, den lille pyramide kan antage?

172 3. Differentialregning II Opgave 9 e 3. f( ) = + bestem f ( ) ln. h ( )= 4 bestem h ( ) 3. Grafen for f()=ln() går igennem punktet (,y) = (e,). Find ligningen til den tangent T ( ), der rører grafen i dette punkt. Opgave 0 Undersøg nedenstående funktion med hensyn til: Definitionsmængde, nulpunkter, fortegn, asymptoter, ekstrema, monotoniforhold, hulhed og værdimængde. Skitser endvidere funktionens graf. f( )= 8 Opgave. Vis, at den brudne funktion herunder har en skrå asymptote og find en regneforskrift for denne. + f( ) =, +. Bestem den lodrette asymptote. 3. Find funktionens skæringer med koordinatsystemets akser. 4. Beregn de lokale ekstrema. 5. Skitser grafen for funktionen. Opgave sin Grafen til funktionen f( ) = minder om en bølge. Bestem det stejleste punkt på bølgen. Bestem den korteste afstand imellem grafen for f og grafen for f.

173 3. Differentialregning II 73 Opgave 3 Ligningen 5y + = 0 tilfredsstilles af (,y) = (3,).. Skitser ligningens graf i intervallet 55 ;.. Bestem ligningen for tangenten til kurven i (3,). 3. Bestem ligningen for normalen i (3,). Opgave 4 Lav en funktionsundersøgelse af følgende funktioner inkl. en tilsvarende undersøgelse af deres afledte funktioner. 4. f( ) = ( )( 4 + 4) 3. f( )= e f( ) = cos( ) Opgave 5 Som foregående opgave for følgende funktioner:. f( ) = ln(cos ). f( ) = cos(ln ) Opgave 6 Funktionen f( ) = har to kurveforløb, fordi funktionen ikke er ln defineret for =. Bestem den mindste afstand imellem disse kurver. Opgave 7 Bestem definitionsmængde, værdimængde og differentialkvotient for følgende funktioner:. f( ) = ln(cos ). f( ) = sin(ln )

174 3. Differentialregning II Opgave 8 En ellipses højde vokser som funktion af bredden med funktionsforskriften f( )=. f() Bestem arealet af ellipsen for = 3. Med hvilken hastighed vokser ellipsens areal når =4?

175 3. Differentialregning II 75 PROJEKT SKATEBOARD. Om optimering og demonstration af matematiske færdigheder Et skateboard fremstilles typisk af 6 til 7 lag af finer af ahorntræ, som limes og presses til den endelige form. Boardet eller brættet formes først som en -dimensionel genstand, som presses til en 3-dimensionel form. I dag har skateboardindustrien udviklet mange varianter af skateboard med forskellig design afhængig af funktionen. Eksempler på andre boards er waves, flowboards og razor. I dette matematikprojekt skal du designe et nyt skateboard efter nedenstående kriterier. Formålet er at designe et skateboard, hvor der er foretaget en optimering af materialeforbrug i forhold til vægten af skateboardet. Du skal desuden bruge og demonstrere dine matematiske færdigheder efter anvisningen i tabellen. Opgaven tager udgangspunkt i en -dimensionel beskrivelse af et skateboards design. Du må dog gerne udvide beskrivelsen til 3D, men det ligger umiddelbart uden for denne opgaves rammer. Skateboardet (selve brættet eller decket ) skal opbygges udelukkende af cirkler efter nedenstående kriterier.

176 3. Differentialregning II KRITERIER. To cirkler som endestykker (ikke nødvendigvis med samme radius).. Længden ligger fast som angivet. 3. Alle kurver dannes af cirkler og udelukkende med bløde kurveovergange. KRAV TIL OPGAVEN Du/I skal beskrive formålet med netop dit/jeres projektopgave. Du/I skal beskrive de problemstillinger, som I har fokus på i netop jeres design. Du/I skal beskrive de kriterier og parametre, som ligger til grund for jeres optimeringsopgave. Du/I skal omhyggeligt beskrive det matematiske design (mindste krav: grafer og forskrifter, overgange imellem kurver, arealer, rumfang, målangivelser). I afleveringens form (aftal med jeres lærer) skal der indgå overvejelser om, hvordan resultater formidles til en bestemt målgruppe (producent, klasse.). Beskriv, hvordan brugen af CAS-værktøjer indgår som en del af processen og løsningen af opgaven. Fortæl til sidst om, hvad du/i har lært ved at løse denne opgave.

177 . Ligninger og uligheder 77 KAPITELOVERSIGT 3 IMPLICIT DIFFERENTIATION Implicit differentiation er en metode til at differentiere et udtryk, hvor den afhængige y-værdi ikke er udtrykt eksplicit af et funktionsudtryk. Metoden anvendes på ligninger af typen f(, y)= 0 : Hovedreglen er, at de almindelige differentiationsregler gælder, blot skal den variable y betragtes som en sammensat funktion. En hurtig metode til bestemmelse af y fås ved CASanvendelse af følgende udtryk: dy d df (, y) = d df (, y) dy FUNKTIONEN f( )= e har følgende differentialkvotient og stamfunktion: Altså funktionen selv. f ( ) = e f ( ) = e og F( ) = e FUNKTIONEN f( ) = ln Den omvendte funktion til e har følgende differentialkvotient: f( ) = ln f ( ) = = FUNKTIONEN f( )= a Har følgende differentialkvotient f a ( ) = f ( ) = a lna

178 ASYMPTOTER En vandret asymptote er en ret linie lv : y= k hvorom der gælder: lim f( ) = keller lim f( ) = k En lodret asymptote er en ret linie ll : = k hvorom der gælder: lim f( ) =± eller lim f( ) =± k k En skrå asymptote er en ret linie ls : y= a+ b hvorom der gælder lim f( ) ( a+ b) ( ) = 0 eller lim ( f( ) ( a+ b) ) = 0 Hvor f er en kontinuert funktion. POLYNOMIEBRØKER OG SKRÅ ASYMPTOTER En funktion f med en forskrift som en polynomiebrøk med følgende udseende n n a n + an a0 f( ) =,, n n bn + bn b a b n 0 n 0 0 an har en skrå asymptote med hældningen α = b n

179 4 INTEGRALREGNING II

180 4. Integralregning II INDLEDNING INTEGRATIONSMETODER GENERELT Drejebænk, omdrejnings legeme, integralregning Integration handler om at finde stamfunktioner til kontinuerte funktioner, hvor der gælder: F ( ) = f( ) Du kender allerede nogle almindelige regneregler for, hvordan vi bestemmer F ( )ved at integrere funktionen f (): F ( ) = fd ( ) Her skal vi udvide disse regneregler, således at vi får flere muligheder for at finde stamfunktioner. Tilsammen giver metoderne en større analytisk mulighed for at finde løsninger. Ofte er der brug for at anvende flere af regnereglerne på én gang. I de næste afsnit vil de to sidste metoder, partiel integration og integration ved substitution blive forklaret og eksemplificeret. Sum og differens af funktioner f ( ) ± g( ) d = f ( ) d ± g( ) d kf ( ) d k f ( ) d f g g d = F g = f t dt hvor t = g Integration ved substitution f gd = Fg Fg ( d Partiel integration = Multiplikation med konstant Tabel. Integrationsmetoder DETTE KAPITEL I dette kapitel skal vi udvide mulighederne for anvendelse af integralregning. Først skal vi se på flere analytiske metoder til at løse integraler. Dernæst følger en række nye anvendelsesområder i forhold til MAT B: rotationslegemer, tyngdepunkter til plane figurer, kurvelængder mm.

181 4. Integralregning II 8 SUBSTITUTION Her skal vi undersøge en metode til integration af sammensatte funktioner. Metoden kaldes integration ved substitution, fordi man midlertidigt erstatter (substituerer) den indre funktion. Betragt den sammensatte funktion: f( ) = ( + ) f ( ) d = ( + ) d = 4 d + d + 4d... osv. Den er forholdsvis let at integrere, hvis vi først bruger kvadratsætningen og dernæst integrerer de tre led, der opstår. Men hvad så med denne? f( ) = cos( ) f( ) d= cos( ) d...? Her kan vi ikke lige gange ud, eller gøre noget andet smart. Løsningen på dette problem får du i eksempel. Vi kigger først på det generelt: Givet den sammensatte funktion fås ved differentiation F( g( )) () ( F( g( )) ) = F ( g( )) g ( ) = f( g( )) g ( ) () Derfor må der omvendt gælde ved integration af (), da integration og differentation er hinandens omvendte f ( g ( )) g ( ) d= F ( g ( )) (3) Dette udtryk (3) kaldes integration ved substitution og er så vigtigt, at vi fremhæver det i en ramme: SÆTNING Hvis f og g er kontinuerte funktioner og g er differentiabel gælder ved sammensætning af f og g, at fg ( ( )) g ( d ) = Fg ( ( )) Metoden kaldes integration ved substitution.

182 4. Integralregning II I praksis er det en fordel at udskifte g() med en ny parameter f t, således at sætningen også kan skrives som: f( g( )) g ( ) d = f() t dt d f () t dt F() t d = = (4) Hvor altså t= g( ). Bemærk her, at vi har tilladt os at betragte dt d som en brøk. EKSEMPEL. Som lovet vil vi nu integrere f( ) = cos( ), altså finde løsningen på integralet cos( ) d. Vi sætter t= hvorved dt = ( ) = d= dt d og indsat i integralet fås cos( d ) = cos( t) dt Det nye integral kan vi løse på sædvanlig vis: cost dt = sin t+ k Da t = fås den endelige løsning: cos ( d ) = sin( ) + k EKSEMPEL. Vi prøver et lidt mere kompliceret integrale: t ( 3 3 d = dt tdt t dt = 3 ), = , = 3 8 t 3 k = ( 7) + 8 k idet t = 7 og dt = d 4 4 PARTIEL INTEGRATION Partiel integration benyttes ved produktet af funktioner og handler om at opdele et integral i to led, der indimellem gør det lettere at fuldføre integralet. Vi viser med det samme den generelle metode og forklarer den bagefter: SÆTNING. Partiel integration fgd ( ) ( ) = Fg ( ) ( ) Fg ( ) ( d ) ()

183 4. Integralregning II 83 Bevis: Metoden er let at bevise ved at differentiere på begge sider af lighedstegnet: ( f( gd ) ( ) ) = ( Fg ( ) ( ) Fg ( ) ( d ) ) f( ) g ( ) = ( Fg ( ) ( )) ( Fg ( ) ( d ) ) f( ) g( ) = ( F ( g ) ( ) + Fg ( ) ( ) ) Fg ( ) ( ) f( ) g( ) = f( ) g( ) Metoden anvendes ofte når et af de to led i funktionen forsvinder i processen: EKSEMPEL 3. Vi ønsker at bestemme den fuldstændige løsning til sin( ) d Her kan vi betragte de to led og sin som to selvstændige funktioner. Det er ikke altid uvæsentligt, om den ene eller den anden defineres som f henholdsvis g. Her kalder vi lettest f( ) = sin og g ( )=. Hvis vi anvender sætning fås: sin( ) d= sin( ) d= ( cos ) ( cos ) d = cos + sin + k EKSEMPEL 4. Vi ønsker at bestemme den generelle løsning af integralet cos sin d Vi bruger metoden partiel integration idet f( ) = cos og g ( ) = sin. Derved fås: cos sin d = sin sin sin cos d Vi bemærker, at det integral som vi skal løse opstår igen på højresiden, blot negativt. Derfor kan vi skrive:

184 4. Integralregning II cos sin d + sin cos d = sin sin sin cos d = sin sin sin cos d= 05, sin + k ANVENDELSER AF INTEGRALREGNING Integralregning har mange anvendelsesmuligheder. I disse afsnit skal du lære nogle af metoderne at kende. I figuren herunder er der samlet et overblik over de emner, vi skal igennem: y Andre rotationslegemer f Kurvelængder Rumfang af rotationslegemer om y-aksen Beliggenhed af tyngdepunkter Rumfang af rotationslegemer om -aksen Overfladeareal af rotationslegemer Fig.

185 4. Integralregning II 85 OMDREJNINGSLEGEMER Et omdrejningslegeme er et rumligt objekt, der fremkommer ved symmetrisk rotation om en ret linie. Du kender måske fænomenet fra en drejebænk. Her roterer et metalobjekt, der langsomt drejes til en ønsket form. Den færdige metalgenstand har den egenskab, at afstanden fra overfladen til dens kerne er ens, når du følger overfladen 360 grader rundt. Her skal vi i første omgang rotere grafen for en funktion omkring - og y-aksen. Derved fremkommer den samme type symmetriske form som ved drejebænken. Med hjælp fra integralregning kan vi finde formens rumfang og overfladearealer. Vi begynder med rotation om -aksen. ROTATION AF EN GRAF OM X-AKSEN I fig er der vist grafen for en kontinuert positiv funktion f i intervallet,. Vi betragter et lille delinterval d og det areal, som er imellem kurven og -aksen. Funktionsværdien midt i intervallet kalder vi for fi ( ), idet vi forestiller os hele arealet under kurven i intervallet, delt i mindre lige store stykker. d f f ( ) i Fig. Funktionsværdien fi ( ) forestiller vi os som radius i en cirkel, der opstår, når vi roterer 360 rundt om og vinkelret på -aksen. Medtager vi det lille interval d, dannes en skive eller en tynd cylinder. En cylinder kender vi rumfanget på: Δ = ( ) Δ V π f ( ) i i

186 4. Integralregning II Lægger du alle skiverne sammen fra til i alt n intervaller, opstår der en rumlig figur (vist til højre) med rumfanget: i= n V = V = π ( f ( ) ) Δ i= i i= n i= Ifølge kendte grænseværdibetragtninger fås i= n lim π f ( ) d π f( ) d Δ 0 i = Derfor kan vi konkludere ( i ) = ( ) i SÆTNING 3. Rotation af en graf om -aksen Når en kontinuert positiv funktion f defineret i intervallet < < drejes 360 om -aksen, opstår et rumligt objekt med rumfanget V f d π ( ) = ( ) EKSEMPEL 5. Vi ønsker at bestemme rumfanget af en sinusbølge roteret om -aksen: Fig. 3 En sinussvingning finder f sted i intervallet fra 0 til π. Derfor kan vi opstille et integral for rumfanget ved hjælp af sætning 3: π V = π ( sin ) d= 4, Når vi studerer to grafer for to funktioner hvor g> f, i et givet interval kan vi også rotere arealet imellem kurverne og linierne = og =. Se fig 4.

187 4. Integralregning II 87 f g Her opstår et rumligt objekt med hul igennem. Ved et simpelt logisk ræsonnement kan man slutte, at rumfanget må være differensen imellem rumfanget V af rotationslegemet af grafen for g henholdsvis f. V π g( ) d π f( ) d = ( ) ( ) = π ( g ( )) ( f( ) ) d Fig. 4 Vi kan da udtrykke generelt: SÆTNING 4 Rumfanget af arealet imellem to grafer roteret om -aksen. For to positive kontinuerte funktioner defineret i intervallet < < opstår der er rumligt objekt, når arealet imellem de funktioners grafer og linierne = og = roteres 360 grader om -aksen. Rumfanget bestemmes som V π ( g( )) f( ) d = ( ) EKSEMPEL 6. Vi ønsker at bestemme rumfanget af legemet der opstår, når vi roterer arealet imellem graferne for funktionerne f( )= e og g ( )= + beliggende imellem deres skæringspunkter og roteret omkring -aksen.

188 4. Integralregning II f g Fig. 5 Først må vi finde de to skæringspunkter, for at bestemme intervallet: g ( ) = f( ) = 0, 537 eller = -, 36 Vi anvender herefter sætning 4 med de to integrationsgrænser: V = π ( + ) ( e ) d=,, 36 0, 537 ROTATION AF GRAF OM Y-AKSEN f ( ) f i Fig. 6

189 4. Integralregning II 89 Her skal vi udlede formlen for rumfanget af det objekt, der opstår, når man roterer grafen til en positiv kontinuert funktion om y-aksen. Tankegangen er den samme som i afsnittet før. Her er der blot tale om en anden geometri. Betragt fig 6. Vi ønsker at rotere det orange areal, hvorved der opstår et objekt som vist til højre. Her er der tale om en slags tragt med hul igennem. Et lille delareal med en bredde på -aksen på Δ, og med en middelfunktionsværdi f( i ) roteres, og der opstår en cirkelring som vist på figuren. En cirkelring har det velkendte rumfang V = π rm h b, hvor r m er middelradius, h er højden og b bredden af ringen. Hvis vi oversætter det til vores situation fås Δ V = π f( ) Δ i i i På samme måde som før kan vi lægge alle arealerne sammen og betragte grænseværdien for d 0 i= n i= n V = V = π f( ) Δ og dermed i i= i= i= n V = lim π f ( ) d = Δ 0 i = π f ( ) d i i i i Vi kan opsummere: SÆTNING 5. Rumfang af graf roteret om y-aksen. Når en kontinuert positiv funktion f defineret i intervallet < < drejes 360 om y-aksen opstår et rumligt objekt med rumfanget V = π f( ) d y EKSEMPEL 7. Vi ønsker at finde rumfanget af rotationslegemet, der opstår når grafen til funktionen f( )= e roteres 360 om y- aksen i intervallet fra = til =.

190 4. Integralregning II Fig.7 Da vi kender intervallets grænser, kan vi umiddelbart anvende sætning 5: π ed = 46, 43 g f Fig. 8 Som vi så med rotation om -aksen, kan vi tilsvarende sige om to grafer roteret om y-aksen, se fig 8.

191 4. Integralregning II 9 SÆTNING 6. Rumfang af arealet imellem to grafer roteret om y-aksen. For to positive kontinuerte funktioner defineret i intervallet < < opstår der er rumligt objekt, når arealet imellem de funktioners grafer og linierne = og = roteres 360 grader om y-aksen. Rumfanget bestemmes således V = π g f d y ( ( ) ( )) EKSEMPEL 8. De to funktioner f( )= og g ( ) = lnhar på trods af deres forskellighed, to kurver, som følger hinanden på en ensartet måde. Spørgsmålet er, hvilket rumfang der dannes, når de sammen roteres om y-aksen. Vi anskueliggør det i intervallet < < 0 og anvender sætning 6 direkte: V = 0 y π ( ln ) d = 4, 38 0 Bemærk desuden for omdrejninger om både - og y-akse, at vi med simpel forholdsregning kan beregne rumfang for objekter, der er drejet mindre end 360. Regneregler for omdrejningslegemer om - og y-akse kan i et vist omfang udskiftes med hinanden (se fig. 9) f - f( ) f f( ) f( ) f( ) Fig. 9

192 4. Integralregning II Som bekendt er den omvendte funktion en spejling af funktionen i linien y=. Derved opstår der et areal imellem funktionen f og -akse, som er identisk med arealet imellem den omvendte funktion og y-aksen. Deraf sluttes let, at rotationen af f om -aksen giver et identisk objekt og dennes rumfang, hvor den omvendte funktion roteres om y- aksen. Man skal være opmærksom på, at det er arealet under kurven, der roteres. Derfor skal man bruge de rigtige intervaller. Med regnereglerne anvendt på figuren ovenover kan det skrives således: V ( f) = π ( f( ) ) d= Vy( f ) = π ( f ( f( )) f ( )) d+ π ( f( ) f( ) ) d hvor f( ) > f( ). f( ) f( ) 0 f( ) EKSEMPEL 9. Funktionerne f( ) = ln og f ( ) = e er hinandens omvendte funktioner. Vi tester metoden i intervallet 3: f ( ) := ln() 3 π f () d =.64 f( 3) ( ) π e f( 3) e f( ) f( ) d + π ( e f( 3) e f( ) ) =.64 0 Altså identiske volumener, men drejet på to forskellige måder. OMDREJNINGSLEGEMER OM ANDRE SYMMETRIAKSER END X- OG Y-AKSE Vi skal til sidst i dette kapitel generelt se en metode til at bestemme rumfang, der dannes ved rotation af kurver om andre symmetriakser end - og y-akse. Vi studerer et eksempel. Se fig. 0

193 4. Integralregning II 93 Fig. 0 Her ønsker vi at dreje funktionen f( )= om aksen eller den rette linie y= imellem de to kurvers skæringspunkter. Såfremt det lykkes, vil der fremkomme en oliven -lignende genstand som vist på figur 0. Metoden anvender de allerede kendte metoder, som du har lært tidligere om rotation af kurver om - og y-aksen. Ved at dreje koordinatsystemet kan vi beskrive de samme grafer med nye forskrifter - og derved bruge de kendte omdrejningsformler. Fig.

194 4. Integralregning II På figuren har vi drejet koordinatsystemet 45 grader. Spørgsmålet er nu, hvilke koordinater et vilkårligt punkt i det gamle røde koordinatsystem får i det nye? Ved at studere de retvinklede trekanter i fig. fås: blå = cosv+ ysin v y = sin v+ ycos v blå For en given funktion f kan vi erstatte y med dens funktionsforskrift: blå = cos v+ f( )sin v y = sin v+ f( )cos v blå Her har vi to parametre afhængig af den samme variabel. Der er tale om en parameterfremstilling i det nye koordinatsystem. Ved at vende tilbage til et almindeligt funktionsudtryk for denne parameterfremstilling, findes en ny funktionsforskrift i det nye koordinatsystem. For den konkrete funktion i vores opgave fås: blå = cosv+ sin v y = sin v+ cos v blå I kapitel har du lært, hvordan du konverterer en parameterfremstilling til et funktionsudtryk. Vi kan derefter anvende regnereglerne for rotationslegemer. I eksemplet her i intervallet 0. Gøres dette på ovenstående fås volumen ved direkte indsættelse i sætning, her vist som et Mathcad-dokument: f() 4 := + 8 sin π cos π 4 0 π f() d = 0.074

195 4. Integralregning II 95 KURVELÆNGDER Vi vil her udlede en regneregel til at bestemme længderne af kurver til differentiable funktioner. Betragt fig. tangent i punktet i( i, f( )) f f () a i b Fig. Vi ønsker at finde en kurvelængde for et lukket interval fra =a til =b. Som ofte betragter vi først et lille infinitesimalt stykke. På figuren kan du se, hvordan tangenten i et givet punkt på det lille stykke Δ tilnærmelsesvis har samme længde som kurven. Tangentens længde på dette stykke er hypotenusen i en retvinklet (grå) trekant og findes med Pythagoras som: ΔL = Δ + ( f ( ) Δ) = + ( f ( )) Δ t i i For hele intervallet vil vi få en tilnærmet værdi af hele kurvelængden ved at lægge alle de små tangentlængder sammen: n L= + ( f ( i)) Δ i= Her er der tale om en betragtning den velkendte grænseværdi: l = + f ( ) d f Vi kan derfor konkludere:

196 4. Integralregning II SÆTNING 7. Kurvelængde For en differentiabel funktion i intervallet, findes kurvelængden ved følgende integral: l = + f ( ) d f EKSEMPEL 0. Vi kunne f stille os selv spørgsmålet: Hvor lang er selve kurven for en enkelt sinussvingning?: Vi anvender sætning 7 og får: Fig. 3 l = + sin ( ) d= + cos d= 7, 64 f π 0 0 π OVERFLADEAREALER Ved omdrejningslegemer roteret om -aksen kan man beregne overfladearealet med følgende regneregel, som vi ikke vil udlede: SÆTNING 8. Overfladeareal af rotationslegeme For en kontinuert funktion f defineret i intervallet, findes overflade arealet af det legeme, der opstår, når området imellem grafen for f og -aksen roteres 360 grader om -aksen: O = π f ( ) + f ( ) d

197 4. Integralregning II 97 EKSEMPEL. Vi skal i dette Maple eksempel udregne overfladearealet af det legeme der fremkommer, når funktionen f() = ln() roteres om -aksen i intervallet fra til 5. Først tegnes grafen for funktionen ved hjælp af Maple: Fig. 4 Overfladen Of ( ( ))bestemmes som bekendt ved hjælp af formlen Of ( ( )) = π f ( ) + f ( ) d Først differentierer vi funktionen ln( ) a b diff (ln( ), ) = Det vil sige, at overfladearealet af den ønskede funktion er O(ln( )) = ln( ) sqrt( + ( π int ) ), = = π ln( ) + d Ved at holde cursoren over, højreklikke på det sidste udtryk og vælge Approimate fås resultatet til Bemærk, at overfladearealet kun beregnes for den drejede overflade. Skal endestykkerne med i beregningen, skal der lægges til cirkelarealer til med radius på henholdsvis f( ) og f( ).

198 4. Integralregning II TYNGDEPUNKTER TYNGDEPUNKTER FOR PLANE FIGURER Integralregning kan anvendes til at bestemme massemidtpunkter i plane figurer. Et massemidtpunkt er det sted i et plan, hvor planets masse kan betragtes som været koncentreret i ét punkt. Massemidtpunkter findes for planer, rumlige figurer og for flere objekter betragtes som ét system. Her skal vi udvikle en formel til at beregne massemidtpunktet for en tynd plade, som kan tegnes med to grafer for to funktioner. Det kaldes også for et arealtyngdepunkt. Fig. 5 Betragt fig 5 og 6. Her ønsker vi at bestemme massemidtpunktet for en vejrhane, der er sammensat af de kontinuerte funktioner f og g, hvor f > g i det betragtede interval. Vi placerer figuren i det koordinatsystem, hvor de to funktioner er beskrevet. Da vejrhanen er en plade med ens tykkelse, antager vi uden videre, at vi alene kan betragte figuren som et plan. Hvis vi havde en tredje dimension med, ville de følgende overvejelser være de samme.

199 4. Integralregning II 99 f g i Fig. 6 For at kunne anvende integralregning på situationen, har vi brug for begrebet moment fra fysikkens værktøjskasse. Et moment M er lig med produktet af et legemes masse med afstanden til det punkt eller den akse, som momentet betragtes ud fra. Vi kan generelt definere momentet som: M = Aog M = A y hvor m og y m er afstanden fra et legemes massemidtpunkt til henholdsvis - og y-akse, og A er legemets areal, som i dette tilfælde matematisk set svarer til vægten. Vi inddeler intervallet i n rektangler med samme bredde Δ. På forhånd har vi bestemt skæringspunktet imellem de to funktioner med -værdierne a og b. Derfor kan vi skrive Δ = b a n i er midtpunktet i det i te interval. For rektangel nummer i findes massepunktet let men tilnærmet som y m og arealet som f ( g i) + ( i) i, ( f( i) g( i) ) Δ Momentet M af det dette rektangulære stykke i forhold til y-aksen er dermed

200 4. Integralregning II ( f( i) g( i) ) i Δ Det samlede moment M for hele arealet (alle n rektangler) er da n My = ( f( i) g( i) ) i Δ i= Det svarer til en Riemann-sum med det tilhørende integral a ( f( ) g( ) ) d b som dermed bliver det samlede moment af hele arealet i forhold til y- aksen. Tilsvarende finder vi momentet i forhold til -aksen f( i) + g( i) M = ( f( i) g( i) ) Δ = ( f( i) g( i) ) Δ og med samme slutning som før findes det samlede moment i forhold til -aksen som Hele arealet findes som M = f ( ) g ( ) d y b ( ) a b A= ( f( ) g( ) ) d a Vi kan derfor slutte, at koordinaterne til massemidtpunktet m og y m kan findes efter følgende regel: SÆTNING 9. Massemidtpunkt for arealet imellem kurver For to kontinuerte funktioner f og g, hvor f > g i intervallet ab, findes massemidtpunktet som My M (, y ) = (, ) = m m A A a b ( f ( ) g ( ) d i i ) i ( f ( ) g ( ) d i i ) a, b b ( f( ) g( ) d i i ) ( f ( ) g ( ) d i i ) b a a

201 4. Integralregning II 0 Reglen gælder også, selvom graferne ikke skærer hinanden i det givne interval. EKSEMPEL. Vi ønsker at bestemme massemidtpunktet for den figur der ses i fig. 7. Fig. 7 De to funktioner er henholdsvis f( ) = cos og g ( ) = sin. Skæringspunktet findes på vanlig vis til at være π, 5π. Herefter anvendes sætning 9 og punktet bestemmes: 6 6 (, y ) m m = 5π 6 ( cos sin ) d π 6, 5π 6 ( cos sin ) d π 6 5π 6 π 6 (( cos ) ( sin ) ) π 6 5π 6 d π = ( 0, 5; ) ( cos sin ) d Bemærk, at figuren krydser -aksen uden betydning for udregningen. Man kan bruge sætning 9 til udregning af massemidtpunkter for en række kendte geometriske grundfigurer. Du kan i kapiteloversigten se et udvalg af disse.

202 4. Integralregning II OPGAVER Opgave Bestem nedenstående ubestemte integraler. Tydeliggør, hvilken metode du anvender.. ( ) d. (sin ) d 3 3. cos( ) d 4. ( ) 4 d 5. d ( ) 6. tan d Benyt evt. efter aftale med din lærer et CAS-værktøj til at eftervise resultatet med. Opgave Bestem nedenstående ubestemte integraler. Tydeliggør, hvilken metode du anvender d. cos sin( ) d + 3. e sin( ) d 4. e ( ) d 5. d 6. d 7. d Benyt evt. efter aftale med din lærer et CAS-værktøj til at eftervise resultatet med. Opgave 3 Bestem værdien af nedenstående bestemte integraler. Anvend og angiv analytiske metoder til løsningen.. ( ) d 3. + d 0

203 4. Integralregning II ln d 0, 04, 4. ln d 0, 04, d Opgave 4 Beregn følgende integraler med angivelse af metoden. Aftal med din lærer hvordan CAS indgår som en del af løsningen.. ( )( 3 ) d ( ) d 3 4 ( ) d 3 7 d , 5. tan d 0, 6. sin( )cos d π π 7. cos( π d ) Opgave 5 Beregn følgende integraler med angivelse af metoden. Aftal med din lærer hvordan CAS indgår som en del af løsningen.. 3 d. 7 d d

204 4. Integralregning II 0 4. d 0 5. cos( ) d π 6. cos( ) d π ROTATIONSLEGEMER Opgave 6 Grafen for funktionen f( )= 3 afgrænser et areal sammen med - 3 aksen og den rette linie =4. Bestem det rumfang, der dannes, når arealet roteres om -aksen. Opgave 7 Graferne for funktionerne f( )= 3 og dens egen omvendte funktion danner en lukket figur i. kvadrant. Bestem arealet af figuren drejet om y-aksen. Opgave 8 En torus uden hul i midten(!) har rumfanget 00 cm. Anvend integralregning til at bestemme radius i tværsnitsarealet.

205 4. Integralregning II 05 Opgave 9 En 8 meter bred vejbane følger en parabel symmetrisk om toppunktet med forskriften f( )= 0 3 (vejens centerlinie). Kurven er 400 meter lang. Bestem arealet af vejbanen. 5 meter lodret fra parablens toppunkt står en bænk på en rasteplads. Hvilke tangenter på parablen går igennem dette punkt? Opgave 0 En vask skal have et profil som vist i figuren. Kurven følger funktionsforskriften f( ) = ,. Hvor meget vand kan der være i vasken?. Vasken støbes ned i betoncylinder med de angivne mål. Hvor meget beton skal bruges til støbningen?

206 4. Integralregning II Opgave En tragt er dannet af kurven for funktionen f( )= roteret om y- aksen i intervallet a,3. Bestem tallet a, når rumfanget af tragten er 4. Opgave En termokop vist i som et tværsnit i figuren med et hulrum udformet som en kegle. Den buede kurve følger funktionen f( )= i intervallet 0< < 3. Bestem rumfanget af koppens materialer. Opgave 3 Bestem kurvelængderne af følgende funktioner i de angivne intervaller f( )= for 0, f( ) = cos( +π ) for π, 4π f( ) = 3tan( ) for, 7 f( )= + for 44, 4

207 4. Integralregning II 07 Opgave 4 Bestem overfladearealet af følgende funktioner, hvis områder imellem kurver og -akse er drejet 360 grader om -aksen i de angivne intervaller. 0. f( )= + for 04,. f( ) = sin( ) for,π Opgave 5 På side 96 er angivet regnereglen for bestemmelse af overfladearealet af en legeme roteret om -aksen: O= π f( ) + f ( ) d Udled denne formel, idet du kan lade dig inspirere af følgende tegning og de samme metodiske overvejelser, som ved udledningen af formlen for kurvelængder. Opgave 6 Der skal foretages en udgravning til en ny vej igennem et landskab. Der skal flyttes jord svarende til det viste længdeprofil på tegningen. Jorden skal flyttes fra udgravningen til et depot (B). Lastbilerne kan transportere 500 m 3 ad gangen og kører med en hastighed af 60 km/t. Der medregnes returkørsel. Hvor lang tid tager det at fjerne den ønskede jordmængde?

208 4. Integralregning II Opgave 7 g f Et æggebæger skal drejes i rustfrit stål med de angivne mål. Det indvendige hul er en cirkelbue angivet som g med en radius på,0 cm. Den ydre buede kurve er en funktion f med forskriften f( ) = ln( 5, ).. Bestem vægten af æggebægeret, når det oplyses at vægtfylden er 7,8 g/cm 3.. Når bægeret er drejet, skal det lakeres. Bestem overfladearealet, som skal lakeres. 3. Godstykkelsen er vigtig. Bestem den mindste godstykkelse imellem de to buede flader.

209 4. Integralregning II 09 PROJEKT VANDTÅRN I Holstebro står et 9 meter højt vandtårn opført i 963 og forsyner byen som en buffertank med rent vand. Tårnets indvendige rum kan betragtes som et symmetrisk omdrejningslegeme roteret om en ret akse. Det fremgår af fig. og at den øverste del er til egentlig vanddeponi. Du skal lave en matematisk analyse af vandtårnet overflade, længdeforhold, tyngedepunkter og rumfang efter en egen problemformulering. Du skal dog minimum svare på følgende spørgsmål, idet du ikke behøver at tage højde for de indvendige elementer, som eksempelvis søjler og mindre vægge. Du kan evt inddrage undersøgelser af betonvolumen, længder af kurver, vægt og specifikke overfaldearealer. Hvor meget vand kan præcist opbevares i tårnet (ca. 300 m 3 )? Hvad er overflade arealet af tårnet, udvendigt og indvendigt? Antag at vandtårnet er fyldt med vand. Bestem tyngdepunktet for hele tårnet.

210 4. Integralregning II TVÆRPROFIL AF VANDTÅRN

211 4. Integralregning II TVÆRPROFIL AF VANDTÅRN

212 KAPITELOVERSIGT 4 INTEGRATIONSMETODER f( ) ± g( ) d= f( ) d± g( ) d kf ( ) d k f ( ) d f g g d = F g = f t dt hvor t = g Integration ved substitution f gd = Fg Fg ( d Partiel integration Sum og differens af funktioner = Multiplikation med konstant RUMFANG AF GRAFER TIL KONTINUERTE FUNKTIONER ROTERET OM X-AKSEN Når en kontinuert positiv funktion f defineret i intervallet < < drejes 360 om -aksen, opstår et rumligt objekt med rumfanget V = π ( f( ) ) d RUMFANG AF AREALET IMELLEM TO GRAFER ROTERET OM X-AKSEN For to positive kontinuerte funktioner defineret i intervallet < < opstår der er rumligt objekt, når arealet imellem de funktioners grafer og linierne = og = roteres 360 grader om -aksen. Rumfanget bestemmes som V π ( g( )) f( ) d = ( ) Rumfang af grafer til kontinuerte funktioner roteret om y-aksen Når en kontinuert positiv funktion f defineret i intervallet < < drejes 360 om y-aksen, opstår et rumligt objekt med rumfanget V = π f( ) d y

213 4. Integralregning II 3 RUMFANG AF AREALET IMELLEM TO GRAFER ROTERET OM Y-AKSEN For to positive kontinuerte funktioner defineret i intervallet < < opstår der er rumligt objekt, når arealet imellem de funktioners grafer og linierne = og = roteres 360 grader om y-aksen. Rumfanget bestemmes således Vy = π ( g( ) f( )) d KURVELÆNGDER For en differentiabel funktion i intervallet ab, findes kurvelængden ved følgende integral: l = + f ( ) d f OVERFLADEAREAL AF RUMLIG FIGUR DANNET VED ROTATION AF GRAF OM X-AKSEN For en kontinuert funktion f defineret i intervallet, findes overflade arealet af det legeme, der opstår, når området imellem grafen for f og - aksen roteres 360 grader om -aksen: O= π f( ) + f ( ) d MASSEMIDTPUNKT FOR AREALET IMELLEM KURVER For to kontinuerte funktioner f og g hvor f > g i intervallet ab, findes massemidtpunktet som b b ( ) ( ) M δ ( f g ) d δ ( f( ) g( ) ) d y M a a ( m, ym) = (, ) =, b M M b δ ( f( ) g ( )) d δ ( f( ) g( ) ) d a a

214 TYNGDEPUNKTER FOR KENDTE GEOMETRISKE GRUNDFIGURER Cirkelafsnit Tyngdepunkt for et cirkelafsnit findes som k r = t A k = kordelængde, B længden af buestykket, A areal og r t er afstanden fra tyngdepunkt til cirklens centrum. Cirkeludsnit k r Tyngdepunkt for et cirkeludsnit findes som r = t, 3 b r = radius, k = kordelængde, b = længden af buestykket

215 5 KOMPLEKSE TAL

216 5. Komplekse tal INDLEDNING I menneskets søgen efter at kunne løse ligninger af enhver art, er de komplekse tal dukket op som en interessant fuldstændiggørelse af talmængden. Disse sammensatte tal har medvirket til elegante løsninger af matematiske problemstillinger, samt muliggjort enkle beskrivelser af fænomener inden for naturvidenskab og ingeniørkunst som eksempelvis: talteori polynomiers rødder. løsning af visse differentialligninger. fraktaler geometri kvantemekanik vekselstrømskredsløb + aero- og hydrodynamik DETTE KAPITEL Med udgangspunkt i den kendte matematik finder og definerer vi de komplekse tal. Forskellige notationsformer for de komplekse tal bliver gennemgået. Talmængden udvides fra den reelle tallinie til den komplekse talplan. Addition, subtraktion, multiplikation, division, potensopløftning og roduddragning vil blive gennemgået. Vi skal udføre beregninger på geometriske, elektrotekniske og rene matematiske opgaver.

217 5. Komplekse tal 7 EN PRAKTISK OG HISTORISK INTRODUKTION Vi ser på en kendt ligning: = 0; Fig. viser grafen af funktionen på venstre side af lighedstegnet. Fig. Løsningerne er så: = ± 4 4 ( ) = ± = ± 3 = ± 3 Vi tester ved at indsætte = + 3 og får så: ( + 3) ( + 3) = = 0 og ser at det stemmer. Vi tror på, at vi ved indsættelse af den anden rod vil få samme resultat, prøv selv! Der er rødder i ligningen hvilket ikke overrasker os.

218 5. Komplekse tal Vi ændrer nu fortegnet på sidste led i polynomiet og får: + = 0 Fig. Fig. viser grafen for funktionen på venstre side og antyder ikke eksistensen af rødder! Alligevel vil vi prøve at bruge samme løsningsformel som tidligere. Vi ser bort fra, at diskriminanten er negativ og finder os i, at der i rødderne dukker et tal op ( ) som vi normalt ikke accepterer. = ± 4 4 = ± 4 = ± 4( ) = ± = ± Test af første rod: ( + ) ( + ) + = = 0 det stemmer! Test af anden rod: ( ) ( ) + = = 0 det stemmer! Denne ligning har altså også to rødder, der ved indsættelse tilfredsstiller lighedstegnet. Vi ser stort på at tallet er utænkeligt og måske ikke tilladt, da man jo som bekendt ikke kan uddrage kvadratroden af et negativt tal. Hvilket vi heller ikke gjorde. Vi lod blot dette lille talspøgelse være, indtil det ved prøven forsvandt af sig selv igen.

219 5. Komplekse tal 9 DESCARTES Den franske filosof Rene Descartes ( ), der levede samtidig med den danske konge Christian IV ( ) og Tycho Brahes berømte elev og efterfølger Johannes Kepler (57-630), gjorde sig også gældende inden for matematikken. Descartes matematiske berømmelse skyldes, at han var den første, der blev kendt for at anvende aritmetik på geometri, og derfor står han som opfinderen af den analytiske geometri i året 636. Han gjorde også en interessant iagttagelse i forbindelse med komplekse tal. Descartes opfattede uden at bevise det, at ligningen: n =a har n rødder hvoraf nogle eksisterer i virkeligheden og andre kun i fantasien, eksempelvis: a+ b hvor a og b er virkelige tal. Descartes havde set noget uvirkeligt (fransk imaginaire af latin imaginarius).

220 5. Komplekse tal DET IMAGINÆRE SPØGELSE De gamle matematikere havde altså ikke let ved at få anbragt på rette plads. Selv om tallet dukkede op ved flere lejligheder, betragtedes det som et ikke eksisterende spøgelse, der ikke rigtig passede ind talsystemet. Der var i øvrigt heller ikke mere plads på den reelle talakse, idet de irrationale tal havde opfyldt de sidste ledige pladser. Det kunne også fremføres, at hvis eksisterede, ville man kunne opstille modstridende regnestykker som eksemplet herunder: a. = = b. = ( ) ( ) = ( ) = = CASPAR WESSEL Interessant nok blev det Caspar Wessel (745-88), en dansker fra Norge med juridisk embedseksamen fra Københavns Universitet, der som den første gav en logisk holdbar fremstilling af de komplekse tal. Hans mere kendte bror, digteren Johan Herman Wessel (74-785), skrev blandt andet følgende digt om sin lillebror Caspar: Han tegner kort og læser loven. Han er så flittig som jeg er doven. Caspar Wessel har ved sit arbejde ydet et væsentligt bidrag til, at Danmarkskortet kom til at ligne Danmark. Han kom igennem sit livs virke som landmåler i tæt kontakt med matematiske problemstillinger og skrev i 796 en afhandling på et halvt hundrede sider, der i 797 blev forelagt Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab. I 799 blev afhandlingen trykt i Videnskabernes Selskabs Skrifter med titlen: Om Direktionens analytiske Betegning, et Forsøg, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Opløsning. Af Caspar Wessel, Landmåler. Han giver i afhandlingen en sammenhængende geometrisk og algebraisk repræsentation af de komplekse tal. Han beviste, at de sædvanlige regneregler, som kendes fra de reelle tal, også gælder de komplekse tal. Det blev derved vist, at de komplekse tal var en naturlig udvidelse af talbegrebet.

221 5. Komplekse tal Afhandlingen burde have givet Caspar Wessel international berømmelse, men da dansk ej heller ved slutningen af det 8. århundrede var et verdenssprog, og de øvrige danske matematikere tilsyneladende ikke havde øje for betydningen af Wessels afhandling, gik det anderledes. Først omkring 00 år efter udgivelsen blev afhandlingen genopdaget. Men da havde franskmanden Argand (768-8) i 806 og tyskeren Carl Friedrich Gauss ( ) fået æren for en logisk korrekt fremstilling af de komplekse tal. Indsigtsfulde matematikere mener, at Caspar Wessels afhandling var mere fuldkommen end Argands og Gauss videnskabelige arbejder i forbindelse med de komplekse tal. De to talentfulde Wessel-brødre havde i øvrigt en berømt grandonkel. Peder Wessel der som ganske ung søhelt gjorde lynkarriere til viceadmiral under den store nordiske krig (700-70). Under sit adelsnavn Tordenskjold udsmykker han nu millioner af tændstikæsker. UDVIDELSEN AF TALBEGREBET EN GEOMETRISK OG ALGEBRAISK BETRAGTNING Den imaginære størrelse dukkede op igen og igen, og som vi allerede har set, viser den sin værdi ved løsning af. grads ligninger. Vi vil så undersøge i forhold til de tal vi kender i forvejen. Først skal vi have et navn til den imaginære enhed, hvilket er praktisk og hjælper os til at undgå at begå ulovligheder. Der er tradition for følgende benævnelser: Caspar Wessel: = ε (epsilon) Matematikere i almindelighed: = i Teknikere og ingeniører: = j

222 5. Komplekse tal Vi vil i resten af dette kapitel bruge betegnelsen j for den imaginære enhed. Dette af praktiske grunde for at undgå forveksling med betegnelsen for den elektrisk strømstyrke (I og i), som vi jo ofte møder i naturvidenskabelig sammenhæng. EGENSKABER VED DEN IMAGINÆRE ENHED j = j = j 3 = j j 4 = Vi ser, at j ved multiplikationer med sig selv svinger imellem det imaginære og det reelle. Dette viser det tydelige slægtskab til de reelle tal. j er et reelt tal; j 4 er også reel! Som tidligere nævnt er den kendte talakse fyldt helt op af de reelle tal. Vi bliver derfor tvunget til at indføre en imaginær akse, hvor den imaginære enhed kan være. Dette skal være i en sådan nærhed af de reelle tal, at j når den er i sit reelle lune har adgang til den reelle talakse. Vi forsøger at sætte de to akser sammen og ser, hvor galt det går: Fig. 3 Kan aksernes anbringelse i forhold til hinanden tilgodese de egenskaber ved j som vi allerede har konstateret? Det ser ud til, at anbringelsen af de to akser ortogonalt er ganske heldigt da der bliver et fælles nulpunkt.

223 5. Komplekse tal 3 Hvis vi med udgangspunkt i et reelt tal f. eks. tallet udfører gentagne multiplikationer med j, opdager vi, at hver multiplikation med j medfører en drejning af tallet på i koordinatsystemet. Multiplikation: ( ) = 3 j = ; j j = j = ; j j = j = j; j = j j = Vi prøver med division: 4 j j = = = j ; j = ; = j = j j j j = j ; j j j j = Vi ser så også, at hver division med j medfører en drejning af tallet på -90º i koordinatsystemet, hvilket ikke overrasker, da multiplikation og division er modsatte regningsarter. Fig. 4 Det ser altså ud til at give god mening med den reelle og den imaginære akse anbragt ortogonalt og med fælles nulpunkt. Det tillader tallet at være på den imaginære akse, når det er imaginært, på den reelle akse når det er reelt, og ved nulværdier i det fælles nulpunkt.

224 5. Komplekse tal GAUSS TALPLAN Disse to akser udspænder den komplekse talplan der ofte betegnes som Gauss talplan. Carl Friedrich Gauss ( ) Vi har indtil nu kun beskæftiget os med de specialtilfælde, hvor tallet enten har været imaginært eller reelt. De komplekse tal er sammensat af en reel og en imaginær del, hvor selvfølgelig den reelle del såvel som den imaginære del kan være 0, hvilket også ses i aksernes skæringspunkt. DEFINITION AF KOMPLEKSE TAL Et komplekst tal defineres som: Z = a+ b j hvor Z C a R b R Vi betegner a som den reelle del og b j som den imaginære del.

225 5. Komplekse tal 5 På fig. 5 ses et komplekse tal Z= 3+ j afbildet i Gauss talplan, bemærk at tallet består af 3 reelle enheder og imaginære enheder. Fig. 5. Gauss talplan At de komplekse tal er todimensionale er for matematikken, fysikken og ingeniørvidenskaberne i mange tilfælde fordelagtigt. Beregninger i planen kan foretages uden at skulle holde styr på koordinatsæt, som man f.eks. skal det ved regning med vektorer. DET ULTIMATIVE TALLEGEME Talsystemets udvikling er en særdeles spændende historie, der har strakt sig over hele vores kulturhistorie. Den gradvise udvidelse af talbegrebet har været en lang proces, hvis fremskridt har været drevet af ønsket om at kunne håndtere de praktiske problemer tilværelsen byder os, og løse de problemer matematikken selv afdækkede under sin udvikling Da vi som regel opfatter den verden vi lever i som tredimensional, kunne det være nyttigt med tredimensionale tal, nu da de komplekse tal (med sine dimensioner) har været så anvendelige til beregninger i planen. Mange har ønsket sig et talrum. Der har været gjort mange bestræbelser på at finde tal med 3 dimensioner. Allerede Caspar Wessel viste, hvorledes et liniestykke kunne beskrives på kompleks form i rummet ved at indføre yderligere en kompleks akse vinkelret på den komplekse plan, men han måtte opgive at finde en multiplikation. Andre efter ham kæmpede videre med problemet, men i 843 blev det indset, at det var umuligt.

226 5. Komplekse tal Den irske matematiker Sir William Rowan Hamilton ( ) fandt 6. oktober 843, at det var nødvendigt at gå op i 4 dimensioner (quaternioner) for at få en meningsfyldt multiplikation, som i øvrigt har det problem, at faktorernes orden ikke er ligegyldig. Matematikere har derfor i mange år ment, at de komplekse tal er det ultimative tallegeme C. Alle de andre tal er delmængder af de komplekse tal: N Z Q R C Fig. 6 ADDITION, SUBTRAKTION, MULTIPLIKATION OG DIVI- SION AF KOMPLEKSE TAL Vi vil nu se på, hvad de fire grundlæggende regnearter udretter på de komplekse tal. Z = + j og Z = j er opskrevet på sumform idet reel delen og imaginærdelen udgør en sum. Den kaldes også rektangulær form da reel- og imaginærdelen sammen med talakserne udgør et rektangel. Bemærk på fig. 7 placeringerne af tallene: Z, Z, Z + Z, Z Z, Z Z og Z Z Fig. 7

227 5. Komplekse tal 7 REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TAL Addition: Vi adderer de reelle og de imaginære dele hver for sig! Eksempel: Z+ Z = ( + j) + ( j ) = 3j Subtraktion: Vi subtraherer de reelle og de imaginære dele hver for sig! Eksempel: Z Z = ( + j) ( j ) = + j j+ = j Multiplikation: Vi multiplicerer som sædvanligt ved flerleddede størrelser! Eksempel: Z Z = ( + j) ( j ) = j + j j = j 3; obs! j = Division: Vi forlænger brøken med det konjugerende tal til nævnerenal Z j Eksempel: = Z + j Vi ved at: ( a+ b) ( a b) = a b og laver et lille trick! Ved at forlænge brøken med et tal ( j ) opnår vi, at nævneren bliver til differensen imellem to tals kvadrater og dermed reel. Og så bliver det let! Z Z j ( j ) j = = + j ( + j) j ( ) j j ( ) = + j j 3j + 3 = = j +

228 5. Komplekse tal KONJUGERENDE TAL To komplekse tal der har samme reelle dele og modsat imaginære dele siges at være konjugerende (se fig. 8). Fig. 8 DIVISION OG MULTIPLIKATION GØRES LETTERE Se på følgende 4 tal der er vist på fig. 9: Z, Z, Z Z og Z. Z Betragt tallene som liniestykker udgående fra origo til tallets sted i planen. Et sådant linjestykke kan defineres som en stedvektor ved længde og retning. Fig. 9

229 5. Komplekse tal 9 Z = + j og Z = j er opskrevet på sumform eller rektangulær form. Hvis Z og Z havde været vektorer, så havde vi med koordinater skrevet: Z = og Z = Vi er bekendt med opskrivning af vektorer ved deres længde og retning: Z = Z v = + tan = Z = Z v= 45 0 ( ) + tan = Når vi taler om komplekse tal på vinkelform eller polær form, bruges nogle andre termer end de kendte fra vektorregning. Z= a+ jbskrives på polær form som: Z v= a + b tan Z benævnes tallets modulus (svarende til en vektors længde). v kaldes tallets argument (svarende til en vektors retning). Vi beregner så modulus og argument for: Z, Z, Z Vi har allerede omregnet Z og Z til vinkelform. Z = + j Z θ = 45 Z = j Z θ = Z og Z Z b a Vi har også tidligere beregnet produkt og kvotient på rektangulær form. Z Z = j 3 og Z 3 = j + Z

230 5. Komplekse tal MULTIPLIKATIONENS RESULTAT OMREGNES TIL VIN- KELFORM OG RESULTATET ANALYSERES Z Z = j 3 Z Z θ = + ( 3) tan = Bemærk, hvordan resultaterne forholder sig til hinanden ved multiplikation: Modulus gange modulus: Z Z = 5 = 0 er netop produktets modulus Argument plus argument: = er netop produktets argument. Konklusion: Man kan multiplicere to komplekse tal ved at multiplicere deres modulus og addere deres argumenter! En antagelse, der bevises senere! DIVISIONENS RESULTAT OMREGNES TIL VINKELFORM OG RESULTATET ANALYSERES Z Z 3 Z 3 = j + = Z + θ tan 3 5 = Bemærk så, hvordan resultaterne forholder sig til hinanden ved division: 5 5 = = er netop brøkens mo- Modulus divideret med modulus: Z Z dulus Argument minus argument: = er netop brøkens argument Konklusion: Man dividerer to komplekse tal ved at dividere deres modulus og subtrahere deres argumenter! En antagelse, der bevises senere! Antagelsen er i harmoni med, at multiplikation og division er modsatte regnearter. 0

231 5. Komplekse tal 3 Vi oplevede ved disse gennemregninger at: Rektangulær form er fordelagtig ved addition og subtraktion Polær form gør multiplikation og division lettere. Det er derfor vigtigt at kunne omskrive fra rektangulær til polær form og omvendt. Hvilket er let for dem, der kender Pythagoras, sinus, cosinus og tangens. EKSEMPEL. Eksempel på omskrivninger Den ene vej: Z = j = Z θ = + tan = Fig. 0 Den anden vej: Z = = 8 ( cos( 45 0 )+ j sin ( 45 0 ))= j På fig. herunder visualiseres ovenstående omskrivninger Fig.

232 5. Komplekse tal OPGAVER Opgave 0 Der er givet to komplekse tal: Z = 30 og Z = j a. Omskriv Z til rektangulær form og Z til vinkelform. b Find: Z Z og Z+ Z. c. Beregn: Z Zog Z Z Opgave Et firkantet grundstykke ABCD med retlinede sider er orienteret i den komplekse plan med hjørnepunkterne defineret som komplekse tal således: A:0; B:5; C:0+5j; D 5j. Grundenheden for længde i denne plan er én meter. a. Tegn en skitse af grundstykket. b. Beregn længden af diagonalerne: AC og BD. c. Find længde og retningsegenskaberne hos siderne: AB; BC; CD; DA d. Beregn grundstykkets omkreds. e. Beregn grundstykkets areal (her må du nok hengive dig helt til de reelle tal). Opgave 3 Ruten for et orienteringsløb, hvis strækninger er opløst i retlinjede komposanter, kan beskrives med komplekse tal. Start er placeret i (0+0j) og der løbes fra Start til 7 poster (P -P 7 ). Hvis posterne skal nås i den påtænkte sekvens skal løberne løbe de komplekse strækninger i den herunder viste rækkefølge. Posternes positioner findes ved addition af de komplekse strækninger. Til P (300); Til P (00+00j) Til P 3 (00j-400); Til P 4 (300+00j); Til P 5 ( j); Til P 6 (00j-300); Til P 7 (00-400j).

233 5. Komplekse tal 33 a. Beregn de 7 posters komplekse talværdi. b. P 7 som er Målet er i nærheden af Start. Hvor stor er afstanden fra Mål til Start? c. Hvis Nord er i den reelle akses positive retning hvilken retning, skal du da gå i for at komme fra P 7 til P? d. Hvor langt er løbet planlagt til at være, når længdeenheden vi regner med er én meter? Opgave 4 Elforsyningsselskaberne får kun betaling for reelle energileverancer. El-motorer og visse lysinstallationer belaster nettet med en vis del reaktiv strøm (egentlig en strøm der over tid bidrager til en effekt, der reelt er nul). Ved at opskrive spændinger, strømme og belastninger på kompleks form, er det let at beregne, hvilken effekt der skal betales for, og hvor stor den strøm er, som sikringen skal kunne klare. Ohms lov giver: Strøm = spænding i = u (z er impedansen eller vekselstrømsmodstanden) modstand z En kombineret motor- og lysinstallation belastes ved ma. drift af en belastningsimpedans på: Z=5+0j ohm. Net-forsyningsspændingen regnes til 30 V. a. Beregn den komplekse strøm. b. Skitser spændingen og strømmen i den komplekse plan. c. Find den reelle strømkomposant. d. Find den strøm (den komplekse strøms modulus) som sikringen skal dimensioneres efter. e. Beregn effektforbruget ved ma drift. Når effekten der betales for er den reelle strøm gange spændingen. p= u i watt

234 5. Komplekse tal KOMPLEKSE TAL PÅ TRIGONOMETRISK FORM Vi ser på tallet Z. Her vist på henholdsvis rektangulær form og polær form. Ved trigonometriske betragtninger er det let at se, hvorledes vi kommer fra den ene form til den anden. Så med formler til den slags omregninger er det unødvendigt at belaste hukommelsen. Som matematikere har vi jo en roterende enhedscirkel i vores hoveder. Ved at betragte figur ses det at: Z cos( θ) = a og Z sin ( θ) = = ( ( )+ ( )) Vi har så trigonometrisk form som: Z Z cos θ jsin θ Fig. Den trigonometriske form er ikke kun nyttig ved omskrivninger, men er også interessant set i den store matematiske sammenhæng. Er man først blevet venner med de gamle kendinge Pythagoras, sinus, cosinus og tangens, så har de en tilbøjelighed til at dukke op og gøre sig bemærket de mest overraskende steder, hvilket vi vil se i det følgende. b

235 5. Komplekse tal 35 EULERS FORM Leonard Euler ( ) blev en af alle tiders største matematikere. Han fik sin master degree allerede 6 år gammel ved universitetet i Basel og var gennem hele sit liv overvældende produktiv. Han skrev en mængde vigtige matematiske arbejder, og udgav hundredvis af matematiske og videnskabelige afhandlinger. Man mener, at halvdelen af hans udgivelser er skrevet i de sidste 7 år af hans liv, hvor han i øvrigt var blind. Hans berømte ligning e jπ + = 0 forener fem af matematikkens vigtige tal: e, j, π, og 0. Grundtallet i den naturlige logaritme e, den imaginære enhed j, forholdet imellem cirklens omkreds og diameter π, den reelle enhed og alle tals nulelement 0. Endvidere vil det vise sig, at også vore gamle venner sinus og cosinus har skjult sig i denne ligning, som nogle mener er et af de smukkeste koncentrater af menneskelig abstrakt tænkning. Der er ingen tvivl om, at tankerne bag de syv tegns sammensætning er imponerende, og vil kunne henrykke enhver der er så lykkelig at nå til indsigt i denne fantastiske sammenhæng, som vi så skal se nærmere på. TAYLORPOLYNOMIET Den engelske matematiker Brook Taylor (685-73) fandt omkring 75 en metode til at tilnærme en funktion med et polynomium, som derfor kaldes et Taylorpolynomium. Formlen for et n te-grads Taylorpolynomium, der tilnærmer sig f() ser sådan ud: P ( ) f f ( f ) ( ) ( ) = + ( ) ( ) n 0 0 0!! ( n) f ( ) + + ( ) 0 n! 0 n

236 5. Komplekse tal Da e er sin egen differentialkvotient er det let at opskrive et Taylorpolynomium for e. Vi vælger 0 = 0 som udviklingspunkt og får så: e n n! Det ses, at leddene hurtigt får mindre og mindre betydning, da allerede 6! = 70 DEN KOMPLEKSE EKSPONENTIALFUNKTION OG EULERS FORMEL Vi prøver så at opstille en Taylorrække for den komplekse eksponentialfunktion. e j som reduceres. e j ( ) + + ( ) ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) j j + j ! 3! 4! 5! 6! n! j j j 5 6 j j 9 + osv! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! Leddene skifter imellem reel og imaginær. Vi samler dem så hver for sig. e j ! 4! 6! 8! j + + 3! 5! 7! 9! cos() + j sin() Og opdager at de to rækker der dukker op er Taylorpolynomierne for cos() og sin(). Euler indså dette og kunne så skrive sin berømte formel: n Eulers formel : e j = cos( ) + jsin( ) Nogle kalder Eulers formel for den mest bemærkelsesværdige formel i matematikken. Det er da også overraskende, at sinus og cosinus dukker op inde i den komplekse eksponentialfunktion.

237 5. Komplekse tal 37 KOMPLEKSE TAL PÅ EULERS FORM Lad os vende tilbage til den trigonometriske form, hvor vi skriver det komplekse tal således Z= Z cos( θ)+ jsin ( θ) ( ) jθ Nu da vi har set at e = cos( θ) + jsin( θ) kan vi skrive tallet som: Z= Z e jθ denne fremstilling kaldes Eulers form. Hvis vi så indplacerer enhedscirklen i den komplekse talplan sammen med Eulers formel, oplever vi genkendelsens glæde i ny sammenhæng! Fig. 3 Og ved brug af Eulers form kan sætningerne for multiplikation, division, potens, og roduddragning let bevises! BEVIS FOR MULTIPLIKATIONSSÆTNING TIL POLÆR FORM Vi definerer to komplekse tal Z og Z og præsenterer dem på polær, trigonometrisk og Eulers form. I de følgende beviser tages der hver gang udgangspunkt i Eulers form. ( ) = Z = Z a= Z cos a+ jsin a Z e ja ( ) = Z = Z b= Z cosb+ jsin b Z e jb Z Z = Z e ja Z e jb = Z Z e ja e jb = Z Z e ja ( + b) Konklusion: Man multiplicerer komplekse tal ved at multiplicerer modulus og addere argumenterne.

238 5. Komplekse tal BEVIS FOR DIVISIONSSÆTNING TIL POLÆR FORM Z Z = Z Z e e ja jb Z Z e jab ( ) Z Z = = a b Z Z Konklusion: Man dividerer komplekse tal ved at dividere modulus og subtrahere argumenterne. BEVIS FOR POTENSSÆTNING TIL POLÆR FORM ( ) = ( ) = = n ja Z Z e n Z n jan n e Z a n Konklusion: Man opløfter et kompleks tal til potens ved at opløfte modulus i potensen og multiplicere argumentet med potenseksponenten. BEVIS FOR RODSÆTNINGEN Z Z e ja ( + p ) = π Bemærk i erindring af Eulers formel, at sinus og cosinus er periodiske med π rad. n ja p Z Z n n = ( ) = Z e ( + π ) ( Z n e ja+ p π) n ( ) = + j a p π n = = a p π Z n n e Z + n n Konklusion: Man uddrager den n te rod af et kompleks tal ved at uddrage roden af modulus og dividere argumentet med rodeksponenten (giver n løsninger!). KOMPLEKSE TAL ANVENDT PÅ SVINGNINGER I konstruktionsfasen for mekaniske, elektromekaniske og elektriske apparater, er det ofte nødvendigt at kunne forudberegne størrelsen af de svingninger, der vil opstå i konstruktionen for at dimensionere systemets enkeltkomponenter og måske også minimere svingningernes amplitude. Tænk eksempelvis på en fuldautomatisk vaskemaskine under centrifugering.

239 5. Komplekse tal 39 Vekselstrømsteknologien har vist sig fordelagtig, idet energien over de lange strækninger kan sendes med høj spænding og lille strøm, hvorefter man på relativ enkel vis kan nedtransformere spændingen til slutbrugeren. På det europæiske vekselstrømsnet skifter spændingen polaritet 00 gange pr. sekund, hvilket svarer til en frekvens på 50 Hz. Vi vil regne lidt på en motor af en størrelse svarende til en almindelig støvsugermotor. Fig. 4 Fig. 4 viser det simple elektriske kredsløbsdiagram, der symboliserer elforsyningen med en tilsluttet motor. Fig. 5 På fig. 5 ser vi lidt nærmere på motoren, der i elektrisk henseende kan ækvivaleres med en spole L i serie med en modstand R. Fig. 6 på næste side viser så de forskellige vekselspændinger, der vil kunne beregnes i kredsløbet. Spændingen fra forsyningsnettet har den største amplitude (rød), dernæst henholdsvis spændingen over R (blå) og L (grøn). Spændingen (U) er angivet i volt og tiden (t) er vist i sekunder.

240 5. Komplekse tal Fig. 6 At overskue disse kurver vil være ret kompliceret. Der er behov for en mere enkel måde at betragte disse spændinger på. Vi vil derfor fremstille vekselspændingerne og strømmen som roterende vektorer, hvis indbyrdes vinkel er konstant. Fig. 7 Spændingsgeneratoren V sammen med spolen (L ) og modstanden (R ) gennemløbes af den samme strøm. Vi vælger derfor strømvektoren i g som udgangspunkt og lader spændingsvektorerne forholde sig til denne fællesvektor. Fig. 8

241 5. Komplekse tal 4 Bemærk: u R har samme retning (er i samme fase) som i g. u L er 90 0 ( π rad. ) forud for i g på grund af spolens selvinduktion. ϕ er faseforskydningsvinklen, den vinkel der er imellem strøm og spænding set fra generatoren. Hvis vi dividerer de tre spændingsvektorer med samme tal i g, vil deres indbyrdes forhold bevares. Vi får blot nogle vektorer der svarer til modstanden (R), reaktansen (X) og impedansen (Z). Fig. 9 Spolens reaktans (vekselstrømsmodstand) X og L (spolens selvinduktion) Vi beregner R = 39 Ω. L = ω L ; hvor ω= π f X = L f L = 3 π π = 9, 48Ω og kender Impedansen Z (vekselstrømsmodstanden) kan så beregnes som: Z = 9, = 43, 59Ω Fasevinkelen ϕ beregnes som: X = L = 9, 48 ϕ tan tan = 6, R Disse beregninger bliver væsentligt nemmere ved anvendelse af komplekse tal.

242 5. Komplekse tal BEREGNING PÅ SAMME KREDSLØB MED KOMPLEKSE TAL Fig. 0 Vi anbringer så vektordiagrammet i den komplekse talplan fig.. Det er nu let at beregne impedansen af kredsløbet: Fig. Z = R +j X L = 39 +j9,48 Modulus beregnes: Z = 9, = 43, 59Ω som er impedansen. Argument beregnes: ϕ = tan 9, 48 = 6, 54 som er fasevinkelen Støvsugermotorens strømforbrug kan så beregnes som: Effektforbruget: 30V 58. A 43, 59Ω = P= u i cos( ϕ ) P = ( ) = 30 5, 8 cos 6, W

243 5. Komplekse tal 43 Ved større kredsløb bliver vektordiagrammer let omfattende og uoverskuelige. Derfor er de komplekse tal en gave til videnskabsfolk og ingeniører, der så kan løse komplicerede opgaver uden at skulle belaste forestillingsevnen med andet end kendt algebra. Dog slipper ingen af os for at vurdere resultatets sandsynlighed efter endt beregning. ENERGIOVERVEJELSER Af hensyn til begrænsning af tabene i elforsyningsnettet vil det ikke være utænkeligt, at der kommer en politisk beslutning om at stramme kravene til faseforskydningsvinklen ϕ og dermed cosϕ. Eksempelvis at cos ϕ 095., I vort regneeksempel prøver vi at tage højde for det, ved at indsætte en kondensator i motorkredsløbet (Fig. ) til at formindske fasevinkelen, der uden kompensation er 6, 54 cos ϕ = 0, 895. Vi 0 vil så ved beregning finde ud af om den foreslåede C på μf er tilstrækkelig til at bringe cosϕ op på det mulige fremtidskrav. Fig. Det ses, at C er tilsluttet parallelt med serieforbindelsen af L og R. Serieforbindelsens impedans er: 39 +j9,48 Ω. Kondensatorens reaktans: = j = -j 65,3 Ω j π f C π Vi regner den samlede impedans som modstande i parallel: Z Z Z // Z = Z + Z

244 5. Komplekse tal De to vekselstrømsmodstande i dette regneeksempel udgøres af serieforbindelsens impedans (39 +j9,48 Ω) og kondensatorernes reaktans (-j 65,3 Ω). ( j j Z = , 48) ( 65, 3) total ( 39 + j9, 48)+ ( j65, 3) Z = 568 j0347 total ( 39 j46) omregnes til polær form , 46 Z total = 49 80, Z total = 63, , 99 = 46, 45 7, Vi finder en konklusion ved at beregne: cos ( 7, 53 )= 0, Det viser sig, at C på μf er tilstrækkelig, da kravet cos ϕ 095, hermed er overholdt. Uden komplekse tal havde denne beregning været meget vanskeligere på grund af vektordiagrammets kompleksitet. OPGAVER ANDEN DEL Opgave 5 Ifølge algebraens fundamentalsætning har ethvert polynomium af n te grad n rødder. Polynomiet 3 + 8= 0 har derfor 3 rødder. a. Find polynomiets rødder analytisk og dokumenter løsningen. Hint: Eulers form kan være fordelagtig. b. Find de fire rødder i ligningen: 4 = 6 3 c. Løs ligningen: Z = 7 j d. Løs ligningen: 3 + = 0 e. Løs ligningen: = 0

245 5. Komplekse tal 45 Opgave 6 Afbild følgende mængder af Z-værdier i den komplekse plan. a. Z = b. Z < c. < Z < Opgave 7 En serieforbindelse af en kondansator C, en modstand R og en spole L tilføres en spænding på 30 volt ved en frekvens på 00 Hz og har følgende komplekse modstandsværdier: XC = j350ω; XL = j980ω; R =00Ω a. Tegn serieforbindelsens diagram. b. Indtegn de komplekse modstandsværdier i den komplekse talplan. c. Find grafisk den omtrentlige impedans Z på polær form. d. Beregn den komplekse impedans Z på polær form. e. Beregn så strømmen igennem kredsløbet. f. Beregn herefter modulus af spændingen over hver enkelt komponent. g. Beregn spolens selvinduktion L. h. Beregn kondensatorens kapasitans C. Det kan oplyses at: X C = j π f C og X = j π L f L

246 5. Komplekse tal Opgave 8 Herunder på fig. 3 ses et RC seriekredsløb, der tilføres en spænding med en amplitude på V med varierende frekvens. Vi er interesserede i at undersøge outputspændingens amplitude og fasevinkel som funktion af frekvensen. Fig. 3 a. Opstil et udtryk for kredsløbets impedans som funktion af frekvensen. b. Opstil et lignende udtryk for strømmen igennem de to komponenter. c. Opstil så en funktionsforskrift for outputspændingen som er u C. d. Skitser grafen for udgangsspændingen i intervallet 30Hz f 30kHz e. Grafen for fasedrejningsvinkelen (vinkelen imellem indgangsspænding og udgangsspænding) skitseres i samme interval. Bemærk at: X C = j π f C

247 . Ligninger og uligheder 47 KAPITELOVERSIGT 5 DEFINITION Et komplekst tal defineres som: Z= a+ b j ; hvor Z C a R b R. a er den reelle del og b j den imaginære del. GAUSS TALPLAN Z vist på rektangulær form Z vist på polær form EULERS FORM = ( ( )+ ( )) jθ Når Z Z cos θ jsin θ og e = cos( θ) + jsin( θ) så er Z= Z e j θ KONJUGERENDE TAL Hvis Z= q+ vj så er det konjugerende tal Z= q vj

248 ADDITION De reelle og imaginære dele adderes hver for sig. Z + Z = ( a+ bj) + ( cj+ d) = a+ d+ ( b+ c) j SUBTRAKTION De reelle og imaginære dele subtraheres hver for sig. Z Z = ( a+ bj) ( cj+ d) = a d+ ( b c) j MULTIPLIKATION Alle led ganges med hinanden. Z Z = ( a+ bj) ( cj+ d) = acj + ad + bcj + bdj = ad + ( ac + bd) j bc Ved polær form multipliceres modulus, og argumenterne adderes. Z Z = Z ϕ Z θ = Z Z ( ϕ+ θ) DIVISION Der forlænges med det konjugerende tal til nævneren. Z Z a bj a bj d cj bc = + ( + ) ( ) + ad + ( bd ac) j = = d+ cj ( d+ cj) ( d cj) d + c Ved polær form divideres modulus, og argumenterne subtraheres. Z Z = Z Z ϕ Z = Z ( ϕ θ) θ POTENS OG ROD Modulus opløftes i potensen og argumentet multipliceres med eksponenten. ( ) = = n n n j n n ( ) = jϕ ϕ Z Z e Z e Z ϕ n

249 6 DESKRIPTIV STATISTIK OG SANDSYNLIGHEDSREGNING

250 6. S t a t i s t i k INDLEDNING Deskriptiv statistik betyder beskrivende statistik, som giver metoder til behandling af talmateriale. Dette materiale kan stamme fra trafiktælling, temperaturobservationer, data fra et fysikforsøg osv. Det talmateriale man ønsker at analysere kaldes et observationssæt, som består af et antal observationer. Sandsynlighedsregningen giver metoder til beregning af f.eks. gevinstchancer, samt etablering af grundlag for sandsynlighedsfordelinger. Sådanne anvendes dagligt i forbindelse med f.eks. kvalitetetskontrol samt forskellige former for prognoser. DETTE KAPITEL Vi skal se, hvordan vi kan trække nyttige informationer ud af et talmateriale, som kan stamme fra fysikforsøg, trafiktællinger osv. Desuden viser vi, hvordan kombinatorik kan anvendes til vurdering af f.eks. gevinstchancer i spil. Der er ligeledes en introduktion til sandsynlighedsregning. Baggrund for og anvendelse af binomialfordelingen og normalfordelingen gennemgås. Nogle af illustrationerne er blevet til, ved hjælp af programmet Autograph, der tilbyder et glimrende statistikmodul.

251 6. S t a t i s t i k 5 UGRUPPEREDE OBSERVATIONSSÆT Vi har et ugrupperet observationssæt, når talmaterialet ikke er inddelt i intervaller. EKSEMPEL. I tabel ses antal scorede mål i 6 superligakampe. Kamp nr Antal mål Tabel Vi vil beregne det gennemsnitlige antal mål i hver kamp. Dette antal kaldes observationssættets middelværdi og betegnes med det græske bogstav µ (my). Middelværdien beregnes som summen af samtlige mål divideret med antallet af kampe: 0 µ = = = 6 6,7 Det betyder, at der i gennemsnit er scoret,7 mål pr. kamp. Antallet af observationer benævnes med bogstavet n. Værdien af en observation benævnes i, hvor indeks i, angiver observationens nummer. Værdien af observation nr. 4 i tabel kan derfor skrives som: 4 = 5 Indeks i gennemløber intervallet:,..., n I tabel, gennemløber i således intervallet:,..., 6 Når vi skal angive en sum, bruger vi det græske bogstav Σ (sigma). Observationssættets sum kan da skrives som:

252 6. S t a t i s t i k sum = Formlen for middelværdien bliver: n i= n i i i µ = = n i n f i i ( ) HYPPIGHED, FREKVENS Ved hyppigheden, h( ) forstår vi det antal gange, den samme værdi forekommer i et observationssæt. I tabel ses hyppigheden af de enkelte observationer fra eksempel. Frekvensen er hyppigheden divideret med observationssættets størrelse: h( i) f ( i) = n F.eks. kan vi se, at der i 5 ud af 6 kampe er scoret 3 mål. Hyppigheden er 5 og frekvensen er 3,5%. Antal mål, Hyppighed, h( ) Frekvens, f ( ) 50 6 =, % 50 6 =, % =, % =, % 6 = 6, 5% 50 6 =, % 6 = 6, 5% Tabel

253 6. S t a t i s t i k 53 Middelværdien kan beregnes ved hjælp af hyppigheden, da: idet: n µ = i f ( i) i= = = 6 6, 7 VARIANS OG SPREDNING Ofte har man brug for at sammenligne to eller flere observationssæt. I eksempel, ser vi, at middelværdierne ikke nødvendigvis er tilstrækkeligt grundlag for en sammenligning. EKSEMPEL. Givet er observationssættene A og B: A Observation nr.: Værdi µ A = = 7 5 B Tabel 3 Tabel 4 Observation nr.: Værdi µ B = = 7 5

254 6. S t a t i s t i k Observationerne i A er alle ens, derfor er middelværdien lig med værdien af de enkelte observationer. Observationerne i B ligger derimod mere spredt, men har samme middelværdi. Vi indfører nu begreberne varians Var, og spredning σ (lille sigma): n Var = σ = ( µ ) f ( ) n i= σ = ( µ ) f ( ) i= i i i i Eller: Var = σ = σ = n i= n i= ( µ ) n ( µ ) i n i Variansen i observationssæt A er 0. Variansen i observationssæt B beregnes: Observation nr.: Værdi, ( i µ ) ( 7) =36 ( 7) =6 3 4 ( 4 7) = 9 4 ( 7) =5 5 3 ( 3 7) =36 n i µ i= ( ) = Variansen: Tabel 5 Var = σ = = 4, 4 5

255 6. S t a t i s t i k 55 Spredningen: σ = 4, 4 = 4, 94 Bemærk: Af og til bruges ordet standardafvigelsen om spredningen. GRUPPEREDE OBSERVATIONSSÆT Observationer af f.eks. vægt, tid, afstande osv. kan med fordel grupperes. Herved fremkommer et grupperet observationssæt, hvor det gælder at: Datamaterialet er ordnet i intervaller. Intervalhyppigheden er det antal observationer, som det enkelte interval indeholder. Intervalfrekvensen angiver den procentdel af observationerne som intervallet indeholder. m + Middelværdien beregnes af: µ = i i f ( i) i= n i + i Variansen beregnes af: Var = σ = µ f ( i) i= MIDDELTAL Bemærk: I en grupperet observation betegnes middelværdien ofte som et middeltal. Da vi ikke altid kender fordelingen i de enkelte intervaller, er middeltallet således et skøn over middelværdien. EKSEMPEL 3. Et hønseri har kontrolvejet n=00 æg. I tabel 6 ses resultaterne ordnet i intervaller (grupper). Intervalbredden er 5. Intervallets øvre værdi er med i intervallet. Intervallets nedre værdi er ikke med i intervallet. Hvis et æg vejer 60 gram ligger det således i intervallet og ikke

256 6. S t a t i s t i k Vægt i gram i Antal æg (intervalhyppighed) Intervalfrekvens, f ( i ) = intervalhyppighed n % 00% Frekvenstæthed= intervalfrekvens intervalbredde 00% % ]50;55] ,8 ]55;60] 6 3 6, ]60;65] ]65;70] 0 0 Tabel 6 Middelværdien beregnes: m + µ = i i f ( i) i= µ = 5, 5 0, , 5 0, 3+ 6, 5 0, , 5 0, = 59, 6 Bemærk at vi bruger interval-midtpunkter. Variansen: n i + i Var = σ = µ f ( i) i= ( ) + ( ) + ( ) 5, 5 59,6 0, 9 57, 5 59, 6 0, 3 6, 5 59, 6 0, , 5 59, 6 0, 0, 55 ( ) = HISTOGRAM For at få et bedre overblik, kan vi benytte et histogram (et søjlediagram), som er en grafisk fremstilling af datamaterialet. På histogrammets vandrette akse afsættes intervalendepunkterne. På den lodrette akse afsættes frekvensen. På fig. ses et histogram der viser intervalfrekvenserne for æggene i tabel 6.

257 6. S t a t i s t i k 57 Fig. SUMKURVE Ved hjælp af en sumkurve kan vi trække endnu flere informationer ud af et observationssæt. Sumkurven viser de kumulerede intervalfrekvenser. I tabel 7 ses hvordan kumulerede intervalfrekvenser beregnes, ved at summere de enkelte intervalfrekvenser: Vægt i gram i Antal æg (intervalhyppighed) Intervalfrekvens, f ( i ) = intervalhyppighed 00% n % Kumuleret frekvens % ]50;55] = 9 ]55;60] = 50 ]60;65] = 90 ]65;70] = 00 Tabel 7

258 6. S t a t i s t i k På fig. ses sumkurven for observationssættet i tabel 7. Fig. Sumkurven kaldes undertiden også fordelingskurve. KVARTILSÆT På sumkurven, fig., kan vi aflæse, at 5 % af observationssættet har en vægt der er mindre end 56 gram. Vi siger, at nedre kvartil er 56 gram. Medianen angiver, at halvdelen (50 %) af observationssættet har en værdi, der er mindre end 60 gram. 75 % af observationssættet har en vægt, der er mindre end 63, gram. Denne grænse kaldes øvre kvartil. Et kvartilsæt består af tre værdier: 5 % fraktilen som er et tal, der udtrykker at 5 % af observationerne er mindre end eller lig med tallet. Medianen som er et tal, der udtrykker at 5 % af observationerne er mindre end eller lig med tallet. 75 % fraktilen som er et tal, der udtrykker at 5 % af observationerne er mindre end eller lig med tallet.

259 6. S t a t i s t i k 59 DESKRIPTORER Kvartilsæt, middeltal, middelværdi, varians og spredning kaldes under et for deskriptorer. BOXPLOT Et boplot er en illustration af kvartilsættet, mindste værdi og største værdi i observationssættet. Selve boen dækker over de midterste 50 % af observationssættet, således at boens venstre side angiver 5 % kvartilen og højre angiver 75 % kvartilen. Boplot er især anvendelige når man skal sammenligne flere observationssæt. På fig. 3, ses et boplot for vægten af æggene i tabel 7. Fig. 3 CAS-EKSEMPEL I Ecel beregnes variansen med funktionen PVARIANS. Hvis man bruger VARIANS får man variansen i en stikprøve i stedet for den endelige population. Forskellen er, at man dividerer med n i VARIANS i stedet for n. Når n er stor, er forskellen i de to beregningsmetoder forsvindende.

260 6. S t a t i s t i k KOMBINATORIK Talbehandling omfatter også metoder til fastlæggelse af f.eks. gevinstchancer. Hvor stor er chancen for at vinde den store gevinst i lotto eller tips. Hvor mange nummerplade-kombinationer kan vi frembringe ved at kombinere tal og bogstaver på en bestemt måde osv. Vi viser nogle metoder ved hjælp af kombinatorik. Når vi kaster med en terning, ved vi at der er 6 mulige udfald:,, 3, 4, 5, 6. På hvor mange forskellige måder kan vi få 3 rigtige i tips? En række på en lottokupon består af 7 forskellige tal, tilfældig valgt mellem tallene fra til 36. Hvor mange forskellige rækker kan det give? Ved at udregne disse antal, kan vi få en idé om, hvor stor en chance vi har for at få gevinst. MULTIPLIKATIONSPRINCIPPET BÅDE OG En bestemt biltype kan fås i 3 forskellige motorvarianter: En,4 liters diesel, en liters diesel og en,6 liters benzinmotor. Hver variant kan fås i 5 forskellige farver. Vi har derfor 3 5 = 5 valgmuligheder. Det fandt vi ved blot at multiplicere. Vi kan også betragte det som et valg mellem både og muligheder. Når man udfylder en tipskupon skal man træffe 3 delvalg med hver 3 forskellige valgmuligheder,, X eller. Det betyder at der er 3 3 forskellige måder at udfylde sin tipskupon på. Vi siger, at vi foretager n delvalg hver med m forskellige muligheder. Det kan gøres på m m... m n forskellige måder. PERMUTATION Når vi skal ordne elementer, hvor rækkefølgen har betydning, benyttes: P( n, r) = n ( n ) ( n ).. ( n ( r )) = n! n r! ( ) Vi siger, at vi ordner r elementer ud af n elementer. En sådan ordning kaldes en permutation. n! betyder n fakultet. Eksempelvis er 3! = 3 og 5! = osv.

261 6. S t a t i s t i k 6 EKSEMPEL 4. På hvor mange forskellige måder kan vi ordne bogstaver ud 4 forskellige bogstaver, A, B, C og D? Ved første valg har vi 4 muligheder. Ved det næste valg er der 3 muligheder. I alt er der 4 3 = muligheder. Vi kan illustrere samtlige muligheder i en tabel: AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC Tabel 8 Ved hjælp af formlen ovenfor får vi: 4! P( 4, ) = 4! ( ) = EKSEMPEL 5. I en fodboldturnering med 6 hold skal der uddeles en. præmie, en. præmie og en 3. præmie. På hvor mange forskellige måder kan det gøres? Med andre ord: På hvor mange forskellige måder kan vi ordne 3 elementer af 6 elementer?. præmien kan uddeles på 6 forskellige måder.. præmien kan uddeles på 6 = 5 måder. 3. præmien kan uddeles på 6 = 4 forskellige måder. I alt bliver der = 3360 forskellige måder at uddele præmierne på. Vi kan også skrive: 6! P( 6, 3) = 6 ( 6 ) ( 6 ) = ! ( ) = KOMBINATION Hvis vi ikke skal tage hensyn til rækkefølgen som f.eks. i lotto, bliver formlen følgende: n! K( n, r) = r! n r! ( )

262 6. S t a t i s t i k Ordningen kaldes en kombination. Princippet illustreres bedst med at ordne ud af 4 mulige, hvor rækkefølgen er underordnet. Det er nøjagtig det samme princip som at ordne 7 ud af 36 som i lørdagslotto! AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC Tabel 9 Vi ser at der optræder dubletter. F.eks. er kombinationerne AB og BA ens, idet vi jo ikke tager hensyn til rækkefølgen. Første bogstav kan vælges på 4 forskellige måder, andet bogstav på 3 forskellige måder, der er altså: 4 3 = muligheder. Da der optræder dubletter, skal vi dividere med det antal måder, de udtagne elementer kan kombineres på, i dette tilfælde, så: 4 s = 3 = 6 nemlig AB, AC, AD, BC, BD og CD. EKSEMPEL 6. I lørdagslotto trækkes 7 tal ud talrækken fra til 36. Antallet af mulige udfald bliver derfor: 36! K( 36, 7) = 7! 36 7! ( ) = 36! = = ! 9! Bemærk nævneren. Det er det antal måder, vi kan ordne 7 elementer på! ADDITIONSPRINCIPPET ENTEN ELLER Additionsprincippet kaldes også enten eller princippet. Meget simpelt: I en slikbutik findes 3 forskellige slags lakrids i poser, samt 4 forskellige slags vingummi i poser. Hvis vi skal have en pose slik, har vi derfor 7 forskellige muligheder.

263 6. S t a t i s t i k 63 STOKASTISK VARIABEL Vi vil kigge på to forskellige eksperimenter, nemlig at slå plat eller krone, samt kast med en terning. Når vi slår plat eller krone, ved vi ikke hvad udfaldet bliver. Dog ved vi, at det enten bliver plat eller krone. Slår vi med en terning, ved vi heller ikke hvad udfaldet bliver. Vi kan dog helt sikkert fastslå, at det enten bliver en etter, en toer, en treer, en firer, en femmer eller en sekser. Antag nu at vi slår plat og krone mange gange. Vi forventer krone i halvdelen af udfaldene og plat i den anden halvdel. Frekvensen af krone og frekvensen af plat er derfor. Slår vi mange gange med en terning, forventer vi at få f.eks. en treer, 6 af gangene. Frekvensen for en treer er derfor 6. Frekvensen for et givet udfald kaldes også sandsynligheden for udfaldet. Altså er sandsynligheden for at få krone lig med. Sandsynligheden for at få en treer er lig med 6. Da summen af frekvenserne giver, er summen af sandsynlighederne lig med. Eksperimenter hvor udfaldet ikke kan forudsiges, men hvor vi ved, hvilke mulige udfald der er, kaldes stokastiske eksperimenter. I den forbindelse vil vi definere en stokastisk variabel X, som en funktion, der knytter et tal til hvert muligt udfald i et eksperiment. EKSEMPEL 7. Den stokastiske variabel X betegner det antal øjne en terning viser. Sandsynligheden for et givet udfald betegnes P. Således betyder P( X = 4) = at sandsynligheden for at den stokastiske variabel X=4 er lig med en 6. 6 Sagt mere jævnt: Sandsynligheden for at slå en 4 er er lig med 6. EKSEMPEL 8. Vi kan bruge additionsprincippet til at beregne sandsynligheden for at slå højst en toer med en symmetrisk terning. Det gøres ved at slå enten en etter eller en toer. For hvert udfald er sandsynligheden 6. Vi skriver derfor: P( X ) = + = 6 6 3

264 6. S t a t i s t i k FORVENTNINGSVÆRDIEN FOR EN STOK ASTISK VARIABEL Middelværdien for en stokastisk variabel, beregnes efter de samme principper som middelværdien i et observationssæt: n µ = i f ( i) i= Når der er tale om en stokastisk variabel erstatter vi f ( i ) med P( X = i ) og µ = E( ) efter det engelske Epected, (forventet). Vi husker, at P( X = i ) er en forventet frekvens. Vi har da den forventede middelværdi for den stokastiske variabel X: n E( X) = P( X = ) i= E( X) kaldes forventningsværdien. i i VARIANS OG SPREDNING FOR EN STOKASTISK VARIABEL Varians og spredning fås af udtrykkene: n Var = σ = ( E( X)) P( X = ) i= n i σ = ( i E( X)) f ( i ) i= i EKSEMPEL 9. Ved kast med en symmetrisk terning bliver forventningsværdien: n E( X) = i P( X = i) = = 3, 5 i= Her er den stokastiske variabel X: Det antal øjne terningen viser.

265 6. S t a t i s t i k 65 Variansen: n Var = σ = i ( 3, 5) i= 6 = ( 3, 5) + ( 3, 5) + ( 3 3, 5) + ( 4 3, 5) + ( 5 3, 5) + ( 6 3, 5) =, 97 Spredningen: σ ( X ) =, 97 =, Nu ændrer vi terningen, således at øjentallet ganges med og der lægges 5 til. Det betyder, at siderne får værdierne: 7, 9,, 3, 5, 7. Vi definerer den stokastiske variabel: Y : Det antal øjne terningen viser. Det gælder at: P( Y = yi ) = P( X = i) = 6 Efter samme princip, som med den almindelige terning beregner vi forventningsværdien: Spredningen: Bemærk sammenhængen: E( Y) = σ ( Y ) = 3, 46 σ ( Y), σ ( X ) = 3 46, 708 = som svarer til det tal vi gangede øjentallet med. Ligeledes kan vi observere, at det tilsyneladende gælder at: E( Y) = E( X) + 5 idet: E( Y) = 3, 5+ 5 =

266 6. S t a t i s t i k Vi vil nu betragte to stokastiske variable, X og Y hvor: Y = a X + b Forventningsværdien E( Y) beregnes: n E( Y) = y P( y = y ) = ( a + b) P( X = ) i i i= i= n n E( Y) = a P( X = ) + b P( X = ) i= i i i E( Y) = a i P( X = i) + b P( X = i) i= E( Y) = a E( X) + b Variansen Var( Y) beregnes: Spredningen: n n n i= Var( Y) = ( y E( Y)) P( Y = y ) i= n i Var( Y) = ( a i + b ( a E( X) + b)) P( X = i) i= n Var( Y) = ( a ( i E( X)) P( X = i) i= Var( Y) = a ( E( X)) P( X = ) i= Var( Y) = a Var( X) n i σ ( Y) = a Var( X) σ ( Y) = a σ ( X) i i i i Hvis det om to stokastiske variable X og Y gælder: så er forventningsværdien: og spredningen: Y = a X + b E( Y ) = a E( X ) + b σ( Y ) = a σ( X )

267 6. S t a t i s t i k 67 EKSEMPEL 0. En stokastisk variabel X har forventningsværdien E( X) = og spredningenσ ( X ) =, 5. En anden stokastisk variabel Y har forventningsværdien E( Y) = 7 og spredningenσ ( Y ) = 3. Sammenhængen mellem X og Y er da: σ ( Y) 3 a = = = σ ( X), 5 Nu har vi: E( Y) = a E( X) + b 7 = + b b = 5 Y = X + 5 Vi kan også udtrykke X ved hjælp af Y: X = Y 5 ENDELIGT SANDSYNLIGHEDSFELT Vi har set, at sandsynligheden for et udfald i et stokastisk eksperiment, svarer til den forventede frekvens for udfaldet. Vi vil her definere et udfaldsrum, som en endelig mængde, hvis elementer er samtlige mulige udfald: U = { u, u..., u n } Vi har set, at summen af sandsynlighederne for de enkelte udfald er : n P( u i ) = i= Vi beskriver derfor et endeligt sandsynlighedsfelt som en sandsynlighedsfunktion P, der har udfaldsrummet U som definitionsmængde. Hvis alle udfaldene i U har samme sandsynlighed, er der tale om et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

268 6. S t a t i s t i k HÆNDELSE En delmængde af et udfaldsrum kaldes en hændelse, H. At slå højst en firer med en terning, er en hændelse, idet de mulige udfald bliver: Hver med sandsynlighederne: u =, u =, u 3 = 3, u 4 = 4 P( u ) =, P( u) =, P( u3 ) =, P( u4 ) = Sandsynligheden for hændelsen, H at slå højst en firer er da summen af de enkelte sandsynligheder. Vi bruger additionsprincippet: 4 P( H) = P( u ) + P( u ) + P( u3 ) + P( u4 ) = = 6 3 Ved en hændelse H forstås en delmængde af et udfaldsrum U. Sandsynligheden for en hændelse er summen af sandsynlighederne for de enkelte udfald i hændelsen. I et symmetrisk sandsynlighedsfelt beregnes sandsynligheden for en hændelse: antal gunstige udfald P( H) = antal mulige udfald EKSEMPEL. I en skål med 0 lige store kugler, udført i samme materiale, hvor der er lige mange røde, grønne, gule og blå kugler, trækker vi én kugle. Vi vil beregne sandsynligheden for at trække en rød kugle. Da der er 5 røde kugler, er der 5 gunstige udfald. Antallet af mulige udfald er 0. Sandsynlighedsfeltet er symmetrisk. Sandsynligheden for at trække en rød kugle bliver da: antal gunstige 5 P( H) = = = antal mulige 0 4 Endvidere vil vi beregne sandsynligheden for at trække to røde kugler i træk: Vi kan bruge multiplikationsprincippet:

269 6. S t a t i s t i k 69 I første træk er antal gunstige P ( rød kugle) = = 5 = antal mulige 0 4 I andet træk er der 4 røde og i alt 9 kugler tilbage: antal gunstige P ( rød kugle) = = 4 antal mulige 9 Vi får da sandsynligheden for trække to røde kugler: 4 P( røde kugler ) = = =, % Vi kan også bruge kombinatorikken. Det antal måder, hvorpå vi kan trække ud af 0 bliver: K( 0!, ) = 0!( 0 )! = 90. Antallet af måder hvorpå vi kan trække røde ud 5 røde bliver: K( 5, ) = 5! = 0!( 5 )!. Vi har nu: antal gunstige 0 P( røde kugler ) = = = antal mulige 90 5, 6% TO HÆNDELSER I ET SANDSYNLIGHEDSFELT Vi kaster med en symmetrisk terning. Vi betegner den stokastiske variabel: Udfaldsrummet for X: Vi betragter hændelserne: X: Antallet af øjne, terningen viser U = {,, 3, 4, 5, 6} A = {,, 3,} B = {, 3, 4, 5} Bemærk at udfaldene og 3 er fælles for A og B. Det skriver vi sådan: Tegnet betyder fælles med. A B = {, 3}

270 6. S t a t i s t i k A B ( ) Det gælder at: 3 P( A) = + + = P( B) = = P( A B) = + = Vi vil nu beregne sandsynligheden for hændelsen A forenet med B, A B, der betegner sandsynligheden for alle udfald i A og B tilsammen: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P( A B) = + = Vi er nødt til at trække P( A B) fra, da sandsynlighederne for udfaldene og 3 ellers vil blive talt med gange. Vi vil nu betragte hændelsen, A frataget B, det betyder at alle udfald i B fjernes fra A. I praksis betyder det, at vi fjerner elementerne A B = {, 3 } Tilbage er derfor kun udfaldet i A: Det gælder da at: A\ B = { } P( A\ B) = P( A) P( A B) Til sidst vil vi kigge på hændelsen ikke A, hvor A = { 4, 5, 6} Da A og A tilsammen udgør hele udfaldsrummet U, får vi: Det gælder derfor at: P( A A) = P( A) = P( A)

271 6. S t a t i s t i k 7 Om to hændelser A og B i et endelig sandsynlighedsfelt gælder at: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P( A \ B) = P( A) P( A B) P( A) = P( A) SANDSYNLIGHEDSFORDELINGER Når man laver valgprognoser, forudsætter det et vist kendskab til, hvad vælgerne vil stemme. Derfor laver man stikprøver, ved at spørge et repræsentativt udsnit af vælgerskaren. Der vil selvfølgelig altid være en vis usikkerhed, så hvor hvor mange mennesker skal man spørge, for et få et nogenlunde bud på det endelige resultat? Virksomheder udfører kvalitetskontrol ved at udtage stikprøver, men hvor store skal stikprøverne være for at give en idé om fejlniveauet. For at kunne svare på disse og lignende spørgsmål er man nødt til at have kendskab til fordelingen af de størrelser man måler på. Vi skal i det følgende betragte to sandsynlighedesfordelinger, nemlig binomialfordelingen og normalfordelingen. Der findes andre sandsynlighedsfordelinger, men dem vil vi ikke komme ind på her. BINOMIALFORDELINGEN Ved kast med symmetrisk mønt er der to mulige udfald, plat eller krone, hver med 50 % sandsynlighed. En normal fødsel kan have to udfald, dreng eller pige. Sandsynligheden for at få en dreng er 5 %. (Baseret på levendefødte 005). Sandsynligheden for at få en pige er derfor -0,5=49 %. Vi kan også betragte en stokastisk variabel X: Antal 3 ere ved 5 kast med en terning. Fælles for disse hændelser er, at man kan tale om et gunstigt udfald G og tilsvarende et ikke gunstigt udfald G. Hvis sandsynligheden for et gunstigt udfald, betegnes p, så vil et ikke gunstigt udfald have sandsynligheden (-p). Vi vil nu se, hvordan sandsynlighederne fordeler sig ved gentagne eksperimenter, hver med uændret sandsynlighed.

272 6. Statistik På fig. 4 ses hvordan sandsynligheden for et givet antal gunstige udfald, kan beregnes ved at udføre et eksperiment gange. Vi ender med 4 grene, eller forløb. Fig. 4 Sandsynligheden for at få gunstige er p p= p Sandsynligheden for at få gunstig er p ( p) som kan fås på to måder: p ( p) Sandsynligheden for at få 0 gunstige er ( p) Antag nu at vi gennemfører et eksperiment 5 gange. Vi vil beregne sandsynligheden for at få gunstige, G. Det betyder, at der er 5 = 3 ikke gunstige, G. Antallet af forskellige måder, hvorpå vi kan ordne ud af 5 er givet som: 5! K( 5, ) =.!( 5 )! Ved hvert forløb er sandsynligheden p p 5 ( ). Da der er K( 5, ) måder, bliver den endelige sandsynlighed: PX ( = ) = K( 5, ) p ( p) 5 Vi lader nu n betegne antallet af eksperimenter. Antal gunstige betegnes r. Sandsynligheden for en gunstig, ved hvert eksperiment betegnes p. Vi har da: En stokastisk variabel siges at være binomialfordelt med antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p, hvis: r P ( = r) = Knr (, ) p ( p) n r Formlen kaldes binomialformlen.

273 6. S t a t i s t i k 73 EKSEMPEL. Vi vil beregne sandsynligheden for at få 0,,, 3, 4 eller 5 plat ved at slå plat og krone med en symmetrisk mønt. Vi definerer den stokastiske variabel: X: Antal plat ved 5 kast med en mønt. Antalsparameteren n = 5, sandsynlighedsparameteren p = 0, P( X = ) = K(, ), (, ) = 3, 5% 5 P( X = ) = K(, ), (, ) = 5, 65% 5 P( X = ) = K(, ), (, ) = 3, 5% 3 5 P( X = ) = K(, ), (, ) = 3, 5% 4 5 P( X = ) = K(, ), (, ) = 5, 65% 5 5 P( X = ) = K(, ), (, ) = 3, 5% Vi har beregnet sandsynligheden for samtlige mulige udfald og dermed fået en sandsynlighedsfordeling for den stokastiske variabel X. På fig. 5 ses en afbildning af fordelingen i et stolpediagram: Fig. 5 Vi ser at fordelingen er symmetrisk, da p = ( p). På fig. 6 ses en binomialfordeling med antalsparameteren n = 7 og sandsynlighedsparameteren p = 0, 5

274 74 6. S t a t i s t i k Fig. 6 CAS-EKSEMPEL. Med udgangspunkt i eksempel vil vi beregne kumulerede sandsynligheder: P( X ) = P( X = 0) + P( X = ) + P( X = ) P( X ) = 3, 5% + 5, 65% + 3, 5% = 50% P( X ) = P( X < ) = ( P( X = 0) + P( X = )) P( X ) = 00% ( 3, 5% + 5, 65%) = 8, 5% I ecel ser det således ud: Fig. 7 De kumulerede sandsynligheder beregnes ved samme formel, hvor der blot skal stå SAND i stedet for falsk. 49_308_MatA_ht.indd 74 6/05/08 3:34:3

275 6. S t a t i s t i k 75 HYPOTESETEST FOR EN BINOMIALFORDELING Ofte foretager man stikprøver for at undersøge om der sker ændringer i et evt. fejlniveau. Det kan også være en undersøgelse af, om vælgerne har skiftet mening i et bestemt anliggende. Stikprøver er billigere end en undersøgelse af hele populationen. Man skal blot sikre sig at stikprøven har en størrelse der gør, at man med en vis sikkerhed kan udtale sig om fejlniveauet i hele populationen. Det er klart, at jo større stikprøven er, desto større er sikkerheden for det undersøgte fejlniveau. Spørgsmålet bliver derfor: Hvor små stikprøver kan man nøjes med, for at få et indtryk af det samlede fejlniveau, og hvad er sandsynligheden for at estimatet på fejlniveauet bliver forkert. Man taler derfor om at teste hypoteser. Når vi tager en stikprøve, antager vi i det følgende, at udtagningen af stikprøven ikke ændrer ved sandsynligheden for en gunstig og dermed også sandsynligheden for en ikke gunstig. EKSEMPEL 3. I en given fremstillingsproces er der 5% afvigende enheder. Vi vil nu teste en hypotese, det betyder at undersøge en påstand. Påstanden lyder: Der er ikke flere afvigende enheder, end der hidtil har været. Vi foretager en stikprøve ved at udvælge 00 enheder (vi gentager et eksperiment 00 gange). Sandsynligheden for et gunstigt udfald (en afvigende enhed) er p = 5%. Vi vil nu undersøge, hvor mange afvigende enheder der skal være, for at forkaste hypotesen (påstanden). Vi formulerer derfor et krav: Der skal være 30, eller flere, afvigende enheder, for at forkaste hypotesen. Ved hjælp af binomialformlen beregner vi sandsynligheden for at få 30 mindst gunstige. Vi beregner den kumulerede sandsynlighed af 9 gunstige og trækker dette tal fra : P( X 30) = P( X 9) = 4, 954%

276 6. S t a t i s t i k Det betyder, at der er 4,954 % sandsynlighed for at forkaste hypotesen, selvom sandsynligheden for en afvigende enhed stadig er 5 %! SIGNIFIKANSNIVEAU Vi kan også kræve, at der højst må være 5 % sandsynlighed for at forkaste hypotesen på et forkert grundlag. Det betyder at der skal være 33 eller flere afvigende i stikprøven, før vi forkaster hypotesen. De 5 % kaldes hypotesens signifikansniveau. Vælger vi derimod et % -signifikansniveau betyder det, at der skal være 36 eller flere i stikprøven før vi forkaster hypotesen på et forkert grundlag. Valg af signifikansniveau er således en balancegang. Ved højt signifikansniveau er sandsynligheden for at forkaste en falsk hypotese høj. Sandsynligheden for at forkaste en sand hypotese er dog også høj. Ved lavt signifikansniveau er sandsynligheden lav for at forkaste en sand hypotese. Sandsynligheden for at undlade at forkaste en falsk hypotese er høj. FEJL VED HYPOTESETEST Valget af signifikansniveau (grænse) har indflydelse på sandsynligheden for at begå to typer fejl: Type : Type : Hypotesen forkastes selv om den er sand. Hypotesen accepteres selv om den er falsk. Man betegner sandsynligheden for at begå type -fejl med det græske bogstav α. Normalt sættesα = 5%. Hvis et resultat anføres som værende signifikant, er det underforstået, at signifikansniveauet er 5 % NORMALFORDELINGEN Hidtil har vi kigget på udfaldsrum, hvor den enkelte variabel betegnes ved en endelig talstørrelse: Vi kan godt slå en sekser eller en firer med en terning, men vi kan ikke slå f.eks. 3,456.

277 6. S t a t i s t i k 77 Sådanne variable kaldes diskrete, (adskilte). Binomialfordelingen er et eksempel på en diskret sandsynlighedsfordeling. Vi skal nu se et eksempel på en kontinuert fordeling. Kontinuert betyder sammenhængende. Kontinuerte fordelinger kan variere frit indenfor et interval. Vægten af en pakke havregryn, tiden vi bruger på ugentlige indkøb, højden blandt værnepligtige soldater osv. er eksempler på kontinuerte fordelinger. Vi kan illustrere en kontinuert fordeling ved en sammenhængende kurve, som ofte kan beskrives ved hjælp af et funktionsudtryk. En diskret fordeling illustreres ved et pinde- eller søjlediagram. EKSEMPEL 4. Et supermarked udtager et parti havregryn til kontrolvejning. Hver pakke er påtrykt en nettovægt på 750 gram. Resultaterne af vejningen bliver, at de fleste pakker svinger omkring middelværdien 750 gram. Nogle vejer noget mindre, andre noget mere. Få vejer langt mindre eller langt mere. Hvis vi vejer uendelig mange havregrynspakker, kan vi definere uendelig smalle intervaller i den grupperede observation og histogrammet vil ligne en sammenhængende glat kurve. På fig. 8 ses en illustration af frekvensfordelingen. Fig. 8 Tyskeren Friedrich Gauss indførte en standard normalfordeling med middelværdien 0 og spredningen. Denne fordeling er anvendelig i mange statistiske sammenhænge.

278 6. S t a t i s t i k X t ( ) Gauss viste, at en stokastisk variabel er standard-normalfordelt, hvis den følger frekvensfunktionen: t φ( t) = e, hvor t R π På fig. 9 ses det grafiske billede af φ( t ) ( fi af t ), som kaldes en Gausskurve. Fig. 9 Kurven for den kumulerede frekvens, se fig. 0, illustrerer arealet under Gauss-kurven og fremkommer derfor ved: t t Φ( t) = e dt π ( ) Fig. 0 Φ( t) kaldes fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen.

279 6. S t a t i s t i k 79 EKSEMPEL 5. Da summen af samtlige frekvenser (sandsynligheder) skal give, følger at: = π e d En stokastisk variabel X er standard-normalfordelt, hvis det gælder at: P( X t) = Φ( t) EKSEMPEL 6. Antag, at vi har en standard-normalfordelt stokastisk variabel, X. Vi vil beregne sandsynligheden: P( X 0, 3) Løsningen er den del af arealet, der ligger til venstre for linien X = 0, 3. Se fig.. P( X 0, 3) = Φ( 0, 3) = 6, 8% Fig. Φ er fundet ved hjælp af CAS eller tabelopslag.

280 6. S t a t i s t i k CAS-EKSEMPEL 3. Med matematikprogrammet, Mathcad, kan vi beregne Φ( t) på to måder: Φ ( ) := π e d Φ ( 0.3) = 0.68 eller ( ) 0.68 pnorm t, µ, σ = σ := µ := 0t := 0.3 Med Ecel: I Ecel kaldes funktionen NORMFORDELING: Fig. EKSEMPEL 7. Inden for plus/minus spredning fra middelværdien findes 68,3 % af arealet under Gauss-kurven, idet: P( X ) P( X ) = Φ( ) Φ( ) = 68, 3% Se fig. 3. Hvis vi kigger på arealerne, der ligger inden for plus/minus, 3 og 4 spredninger fra middelværdien fås: P( X ) P( X ) = Φ( ) Φ( ) = 95, 4% P( X 3) P( X 3) = Φ( 3) Φ( 3) = 99, 7% P( X 4) P( X 4) = Φ( 4) Φ( 4) = 99, 99% 00%

281 6. S t a t i s t i k 8 ( t) Fig. 3 EKSEMPEL 8. P( X > 0, 8) = P( X 0, 8) = Φ( 0, 8) =, % P( X 0, 8) = P( X 0, 8) = Φ( 0, 8) =, % da P( X = 0, 8) = 0 På fig. 4, ses den del af arealet under Gauss-kurven der er tale om. Fig. 4

282 6. S t a t i s t i k NORMALFORDELT STOKASTISK VARIABEL Vi har hidtil betragtet en standard-normalfordelt stokastisk variabel, X. Vi vil nu undersøge den stokastiske variabel: Y = a X + b Vi omskriver: X Y = b a Da X er standard-normalfordelt er Y a b også standardnormalfordelt. Vi siger derfor, at Y er normalfordelt. Eftersom µ ( X) =0 og σ ( X) =, er b = µ( Y) og a = σ ( Y), hvilket fremgår af: EKSEMPEL 9. En stokastisk variabel X, er standard-normalfordelt med middelværdien µ( X ) = 0 og spredningenσ ( X ) =. En anden stokastisk variabel Y har middelværdien µ( Y) og spredningenσ ( Y ). Jf. eksempel 0 får vi: σ ( Y) σ ( Y) a = = = σ ( Y) σ ( X) µ ( Y) = a µ ( X) + b µ ( Y) = a 0 + b b = µ ( Y) Vi vil derfor fastslå at: En stokastisk variabel y er normalfordelt med middelværdien µ( Y ) og spredningen σ( Y ), hvis den har fordelingsfunktionen: t µ ( Y ) P( Y t) = Φ σ( Y )

283 6. S t a t i s t i k 83 EKSEMPEL 0. En stokastisk variabel Y er normalfordelt, hvor µ( Y ) =0 og σ ( Y ) = 3 Vi vil beregne P( Y 9 ). Vi har at: 9 µ ( Y) 9 0 P( Y 9) = Φ = Φ = 36, 9% σ ( Y) 3 EKSEMPEL. En maskinfabrik fremstiller aksler. Man ved, at akseldiameteren er normalfordelt med middelværdien µ = 0mm. Spredningenσ = 0, 05mm. Hvor stor en del af akslerne har en diameter, der er mindre end 9,99 mm? Vi skal altså beregne: 9, 99 0 P( Y 9, 99) = Φ = 4, %. 0, 05 EKSEMPEL. Et talmateriale er normalfordelt således: I. 0% af materialet ligger under 0 II. 0% af materialet ligger over 5, det betyder at 80% ligger under. Vi vil beregne middelværdi og spredning. To ligninger med to ubekendte opstilles: 0 µ P( Y t ) = Φ = 0% σ 5 µ P( Y t) = Φ = 80% σ

284 84 6. S t a t i s t i k Nu skal vi regne baglæns. Vi kender værdierne af Φ, men ikke de tilhørende t-værdier. Det svarer til at løse ligningen: Φ = t π e t dt med hensyn til t. Det er ganske vanskeligt. Heldigvis kan vi bruge en tabel eller CAS. I Mathcad hedder funktionen qnorm(p; µ ;σ ). I Ecel bruger man funktionen NORMINV(P; µ ;σ ). Af fig. 5 fremgår at: 0 µ t = =, 8 σ 5 µ t = = 0, 84 σ Vi har nu to ligninger med to ubekendte, hvor løsningen bliver: µ = 3, 0 σ =, 36 Fig. 5 SANDSYNLIGHEDSPAPIR Hvordan finder vi ud af, om et observationssæt følger en normalfordeling? En mulighed er at afbilde observationssættets værdier på et stykke sandsynlighedspapir. Det er indrettet så snedigt, at talværdierne vil ligge på en ret linie, hvis der er tale om et normalfordelt observationssæt. Papiret kan konstrueres ved at inddele en vandret akse i intervallet fra -4 til 4, idet praktisk taget hele arealet under Gausskurven ligger indenfor plus/minus 4 spredninger fra middelværdien. Den lodrette akse begynder ved 0 og slutter ved. Akserne opfattes som sider i et rektangel diagonalen i rektanglet markeres. Se fig. 6. Derpå beregnes en række t-værdier for forskellige værdier af Φ, som vist i tabel 0: 49_308_MatA_ht.indd 84 6/05/08 3:35:05

285 6. S t a t i s t i k 85 Φ( t) 0 0,0... 0,95. t -4 -,33.,64. 4 Tabel 0 Fig. 6 På fig. 7 ses et endeligt sandsynlighedspapir, som man kan købe eller downloade fra Internettet.

286 6. S t a t i s t i k - Fig. 7 Vi kan bruge sandsynlighedspapiret i en vilkårlig normalfordeling, idet: t = µ t = µ + σ σ Nu har vi, idet F er fordelingsfunktion for en vilkårlig normalfordeling: F( t) = F( µ + σ ) = Φ( )

287 6. Statistik 87 Ved at afbilde værdierne fra et (normalfordelt) observationssæt på et sandsynlighedspapir kan vi direkte aflæse middelværdi og spredning. På fig. 8 ses et sandsynlighedspapir, med et eksempel på, hvordan man kan indrette den vandrette akse, til både standardnormalfordelingen og normalfordelingen. Fig. 8

288 6. S t a t i s t i k EKSEMPEL 3. Det hønseri, vi har omtalt tidligere, har gennemført en vejning af 000 æg. Resultaterne ses i tabel. Vægt i gram i Antal æg (intervalhyppighed) Intervalfrekvens, f ( i ) = intervalhyppighed 00% n Frekvenstæthed= intervalfrekvens intervalbredde 00% ]50;5] 0, 0, ]5;5] 0, 0,3 ]5;53] 3 0,3 0,6 ]53;54],,8 ]54;55] 3 3, 4,9 ]55;56] 3 3, 8, ]56;57] 8 8, 6,3 ]57;58] 77 7,7 4,0 ]58;59] 0,0 36,0 ]59;60] 75 7,5 53,5 ]60;6] 03 0,3 63,8 ]6;6] 80 8,0 8,8 ]6;63] 55 5,5 87,3 ]63;64] 5 5, 9,4 ]64;65] 47 4,7 97, ]65;66] 7,7 98,8 ]66;67] 4 0,4 99, ]67;68] 6 0,6 99,8 ]68;69] 0, 99,9 ]69;70] 0, 00 Tabel

289 6. S t a t i s t i k 89 Frekvenstætheden F som funktion af højre intervalendepunkt er markeret med cirkler på sandsynlighedspapiret. Se fig. 9. Fig. 9

290 6. S t a t i s t i k Vi ser, at punkterne tilnærmelsesvis ligger på en ret linie og vil derfor konkludere, at æggenes vægt nogenlunde er normalfordelt. Vi kan aflæse middelværdien: µ = 59, 9 Vi aflæser og beregner spredningen idet: µ + σ = 6, 6 σ = 6, 6 59, 9 =, 7 En kontrolberegning giver µ = 59, 84 ogσ =, 79. Vi kan indføre en stokastisk variabel: X: Vægten af et tilfældigt valgt æg. Ved hjælp af fig. 9 kan vi fastlægge sandsynligheden for, at et tilfældig valgt æg vejer mindre end 6,4 gram: P( X 6, 4) = 70% = 0, 7 Udover papiret kan vi anvende CAS, da vi nu kender middelværdi og spredning: Med Ecel fås: t µ t 59, 9 P( X t) = Φ = Φ σ, 7 6, 4 59, 9 P( X 6, 4) = Φ = 0, 7, 7 Vi har i en celle i regnearket anvendt funktionen: =NORMFORDELING(6,4;59,9;,7;SAND) Ved hjælp af sandsynlighedspapiret er det også muligt at aflæse 5 % og 75 % kvartilerne.

291 6. S t a t i s t i k 9 OPGAVER OPGAVE I tabel ses et glykæmisk indeks (GI) for ris- og kornprodukter. GI udtrykker hvor meget blodsukkeret stiger i forhold til en reference, som regel glukose, der så har indeksværdien 00. Boghvede 54 Majs 55 Byg 5 Ris, brune 55 Bulgur 48 Ris, hvide 58 Hirse 7 Ris, parboiled 48 Hvedekerner 4 Rugkerner 34 a) Beregn middelværdi og spredning på værdierne i tabel. OPGAVE a) Mål højden af dig selv og dine klassekammerater, evt. fra flere klasser. Gruppér værdierne i f.eks. 5 cm-intervaller. b) Tegn histogram og sumkurve. c) Aflæs kvartilsættet på sumkurven. d) Hvor stor en del af klassekammeraterne er højst 77 cm høje? e) Hvor stor en del af klassekammeraterne er mindst 80 cm høje? OPGAVE 3 a) Tegn histogram og sumkurve for højden af pigerne i klassen. b) Tegn histogram og sumkurve for højden af drengene i klassen. c) Sammenlign de to datasæt ved at tegne boplot for de to observationssæt i samme diagram.

292 6. S t a t i s t i k OPGAVE 4 På en burgerbar kan man vælge mellem en kyllinge-, fiske- eller bøfburger. Som tilbehør kan man vælge mellem 3 forskellige slags salater og 4 forskellige slags dressing. a) Hvor mange forskellige slags burgere kan man få? OPGAVE 5 På hvor mange forskellige måder kan man arrangere bogstaverne A, B, C, D, E og F? OPGAVE 6 Det danske nummerplade-system for personbiler er bygget op med to bogstaver efterfulgt af 5 cifre i intervallet til Bogstavskombinationerne BH, BU, CC, CD, DK, DU, EU, KZ, MU, PU, PY, SS, UD, UN og VC springes over. Bogstaverne F, G, I, Q, W, Æ, Ø og Å anvendes ikke. Bogstavet O bruges kun som første bogstav i en kombination. Derudover er der ca. 00 bogstavkombinationer der ikke anvendes. I denne opgave sættes tallet til 00. a) Hvor mange personbiler kan der registreres med dette system? OPGAVE 7 I onsdagslotto trækkes 6 tal ud af 48 mulige. Hvad er chancen for at få 6 rigtige? (Der tages ikke hensyn til rækkefølgen). Sammenlign med chancen for at få 7 rigtige ud af 36 mulige, som i lørdagslotto. OPGAVE 8 I en bordtennis-turnering med 4 deltagere skal der uddeles en. præmie, en. præmie, en 3. præmie samt en 4. præmie. a) Hvor mange kampe skal der spilles, når alle skal spille mod alle? b) På hvor mange måder kan de 4 præmier uddeles?

293 6. S t a t i s t i k 93 OPGAVE 9 a) På hvor mange forskellige måder kan man trække et billedkort af et spil med 5 kort? OPGAVE 0 a) På hvor mange forskellige måder kan man trække 4 ens billedkort af et spil med 5 kort? OPGAVE a) På hvor mange forskellige måder kan man trække 3 ens kort af et spil med 5 kort? OPGAVE a) Fastlæg antallet af trecifrede tal hvor de to første cifre en ens. OPGAVE 3 a) Hvor mange forskellige opstillinger kan der laves af 7 spillere til et håndboldhold på 7 spillere? b) Hvor mange forskellige opstillinger kan der laves af 7 spillere til et håndboldhold på 7 spillere?

294 6. S t a t i s t i k OPGAVE 4 Ved kast med en terning lader vi X betegne en stokastisk variabel, hvor: X: Det antal øjne terningen viser. a) Bestem sandsynlighederne: P( X = ), P( X 3 ), P( X < 3 ), P( X > ) OPGAVE 5 Ved kast med to terninger lader vi X betegne en stokastisk variabel, hvor: X: Summen af terningernes øjne. a) Lav en tabel der illustrerer udfaldsrummet for X. b) Opstil sandsynlighedsfordelingen for den stokastiske variabel. c) Beregn forventningsværdien E(X) og spredning for den stokastiske variabel. d) Bestem sandsynlighederne: P( X = ), P( X = 3 ), P( X > 9 ), P( X 7) OPGAVE 6 a) Tag to terninger og udfør det stokastiske eksperiment, der er anført i opgave 4, 0 gange - noter resultaterne. b) Opstil en tabel for frekvenserne i eksperimentet og sammenlign med sandsynlighedsfordelingen i opgave 4. c) Beregn middelværdi og spredning for eksperimentet. d) Gennemfør det samme eksperiment 00 gange og opstil en tabel for frekvenserne i eksperimentet og sammenlign med sandsynlighedsfordelingen i opgave 4. e) Beregn middelværdi og spredning for eksperimentet.

295 6. S t a t i s t i k 95 OPGAVE 7 a) Beregn sandsynligheden for mindst femmer ved 4 kast med en terning. b) At få mindst én dobbelt-femmer ved 4 kast med to terninger. OPGAVE 8 Jens og Ulla spiller med to terninger: Hvis summen er et ulige tal, så får Ulla får kr. af Jens. Hvis summen er, får Jens kroner af Ulla. Hvis summen er får Jens kroner af Ulla. I alle andre tilfælde sker der ingenting. a) Hvem har størst fordel af spillet? OPGAVE 9 Sammenhængen mellem to stokastiske variable X og Y er følgende: Endvidere gælder at: Y = 3 X + 5 E( X) =, 9 σ ( X ) =, 4 a) Beregn forventningsværdien E(Y) og spredningen σ ( Y ). OPGAVE 0 En stokastisk variabel X i et symmetrisk sandsynlighedsfelt, har udfaldsrummet a) Beregn P( X = 5) U = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Betragt følgende hændelse, H i udfaldsrummet, U: b) Beregn P( H ) H = {, 4, 6, 8}

296 6. S t a t i s t i k OPGAVE I en skål ligger 30 lige store kugler. Der er 0 grønne kugler, røde kugler og resten er blå kugler. Der trækkes 3 kugler. a) Beregn sandsynligheden for at alle tre kugler er blå. b) Beregn sandsynligheden for at trække grønne kugler og rød kugle. c) Beregn sandsynligheden at de udtrukne kugler alle har forskellig farve. d) Beregn sandsynligheden for at mindst to kugler er grønne. e) Beregn sandsynligheden for at højst en kugle er blå. OPGAVE Et stokastisk eksperiment består i kast med en terning. Den stokastiske variabel X : Det øjnene viser a) Hvad er sandsynligheden for hændelsen A: X er et primtal? b) Hvad er sandsynligheden for hændelsen B: X er mindre end eller lig med 4? c) Opskriv fællesmængden A B d) Beregn følgende sandsynligheder: P( A B) P( A) = P( A) OPGAVE 3 Et stokastisk eksperiment består i kast med to terninger. Den stokastiske variabel X angiver summen af øjnene. a) Opstil en tabel der viser samtlige mulige udfald for X. b) Hvad er sandsynligheden for hændelsen A: X 9. c) Hvad er sandsynligheden for hændelsen B: X > 6. d) Opskriv fællesmængden A B. e) Beregn følgende sandsynligheder: P( A B) P( A \ B) P( A) = P( A)

297 6. S t a t i s t i k 97 OPGAVE 4 Fra en bunke med 5 kort trækkes 5 kort. Hændelsen A: Alle 5 kort er sorte. Hændelsen B: Alle 5 kort er mindre end eller lig med 0 (det vil sige at billedkortene ikke er med). a) Beregn sandsynligheden P(A). b) Beregn sandsynligheden P(B). c) Beregn sandsynligheden for at de 5 kort er sorte og mindre end eller lig med 0. d) Beregn sandsynligheden for at de 5 kort er sorte og større end 0. e) Beregn sandsynligheden for at alle 5 kort er røde. OPGAVE 5 En binomialfordelt stokastisk variabel X har antalsparameteren n = 6 og sandsynlighedsparameteren p = 0, 3. a) Tegn et stolpediagram der viser sandsynlighedsfordelingen for X. b) Beregn E(X) og spredningen σ ( X ) (se evt. kapiteloversigt). c) Beregn P( X = 3 ), P( X 3 ), P( X < 3 ), P( X 3 ). OPGAVE 6 I Danmark er der i juli måned gennemsnitligt 3,8 sommerdage og 3 nedbørsdage. I en ferie på 7 dage i juli ønskes følgende: a) Et stolpediagram der viser antallet af sommerdage i ferien. b) Beregning sandsynligheden for mindst 3 sommerdage. c) Beregning af sandsynligheden for at det regner i hele ferien. OPGAVE 7 Bestem middelværdi og spredning for antallet af 3 ere ved 00 kast med en terning.

298 6. S t a t i s t i k OPGAVE 8 Hvis man vil lave en stikprøve af et parti varer og stikprøven er passende lille, kan man godt tillade sig at betragte fordelingen af antal gunstige som binomialfordelt. Der udtages nu 0 enheder af et parti på 6000 hvor der er 00 defekte. a) Beregn sandsynligheden for at der,, 5 eller 0 defekte i stikprøven. OPGAVE 9 En stokastisk variabel X er standardnormalfordelt. Beregn: a) P( X 0, 5) b) P( X, 6) c) P( X > ) d) P( X ) e) P( 0, 8 X 0, 4) OPGAVE 30 En stokastisk variabel X er standardnormalfordelt. a) Find tallet, således at: P( X ) = 0, 65 OPGAVE 3 I forbindelse med en løbende kvalitetskontrol af Cornflakes-pakker har man fundet ud af, at vægten af en pakke er normalfordelt med middelværdien µ = 750 gram og spredningen σ = 4 gram. a) Beregn sandsynligheden for at en pakke Cornflakes vejer mindre end 740 gram. b) Beregn sandsynligheden for at en pakke Cornflakes vejer mindre end 755 gram. c) Beregn sandsynligheden for at en pakke Cornflakes vejer mere end 745 gram.

299 6. Statistik 99 OPGAVE 3 Et talmateriale er normalfordelt således: I. 0 % af materialet ligger under 00 II. 0 % af materialet ligger over 05. a) Beregn middelværdi μ og spredningσ. OPGAVE 33 På fig. ses en ret linje på et stykke sandsynlighedspapir. - a) Bestem spredningen σ, når middelværdien µ=45. b) Fastlæg kvartilsættet. c) Bestem PX ( 3 ).

300 6. S t a t i s t i k PROJEKT I dette projekt ønskes en undersøgelse af, om en egenskab er normalfordelt. Man kan f.eks. undersøge om: Resistansen af nominelt ens, f.eks. 00 Ω s modstande er normalfordelt. Vægten af valnødder, mandariner eller lignende, er normalfordelt. Højden af drenge eller piger i en bestemt aldersgruppe er normalfordelt. Højden af værnepligtige er normalfordelt (brug evt. Danmarks Statistik).

301 6. S t a t i s t i k 30 OPGAVER a) Mål egenskaben (modstanden, vægten, højden) af ca. 00 objekter. b) Gruppér observationerne i et passende antal grupper, f.eks. /0 af observationssættet i hver gruppe. c) Beregn middelværdi og spredning i det grupperede observationssæt d) Tegn et histogram, en sumkurve, samt et boplot for observationssættet. e) Indtegn observationssættet på sandsynlighedspapir og vurdér om observationssættet er normalfordelt. Hvis det er normalfordelt, da aflæs middelværdi og spredning og sammenhold med beregningen i c). f) Angiv kvartilsættet enten ud fra sandsynlighedspapiret eller sumkurve i d).

302 K APITELOVERSIGT 6 MIDDELVÆRDI Ikke grupperet observationssæt: Grupperet observationssæt: n i i µ = = n m + µ = i i f ( i) i= i er værdien af den i te observation, n er antal observationer, f ( i ) er frekvensen. HYPPIGHED Hyppighed, h( i ) er det antal gange, den samme værdi forekommer i et observationssæt. FREKVENS h( i) f ( i) = n VARIANS Ikke grupperet observationssæt: Eller: Var = σ = n i= ( µ ) i n Grupperet observationssæt: n Var = σ = ( µ ) f ( ) i= i i n i + i Var = σ = µ f ( i) i=

303 6. S t a t i s t i k 303 SPREDNING, STANDARDAFVIGELSE σ = Var KVARTILSÆT 5 % fraktilen er et tal, der udtrykker, at 5 % af observationerne er mindre end eller lig med tallet. Medianen er et tal, der udtrykker, at 5 % af observationerne er mindre end eller lig med tallet. 75 % fraktilen er et tal, der udtrykker at 5 % af observationerne er mindre end eller lig med tallet. FAKULTET n! = 3.. ( n ) n PERMUTATION Antal måder, hvorpå man kan ordne et antal elementer, hvor der tages hensyn til rækkefølgen: n! P( n, r) = n ( n ) ( n ).. ( n ( r )) = n r! ( ) KOMBINATION Antal måder, hvorpå man kan ordne et antal elementer, hvor der ikke tages hensyn til rækkefølgen: n! K( n, r) = r! n r! ( )

304 STOKASTISK VARIABEL En stokastisk variabel X, er en funktion der knytter et tal til hvert muligt udfald i et eksperiment. SANDSYNLIGHED Sandsynligheden, P, for at en stokastisk variabel, X antager en bestemt værdi, i : P( X = ) i FORVENTNINGSVÆRDIEN FOR EN STOKASTISK VARIABEL n E( X) = P( X = ) i= i i VARIANS OG SPREDNING FOR EN STOKASTISK VARIABEL n Var = σ = ( E( X)) P( X = ) i= i σ = Var i TO SAMMENHÆNGENDE STOKASTISKE VARIABLE Y = a X + b FORVENTNINGSVÆRDI: Spredning: E( Y) = a E( X) + b σ ( Y) = a σ ( X)

305 6. S t a t i s t i k 305 UDFALDSRUM Her er { u, u..., u n } de mulige udfald. U = { u, u..., u n } ENDELIGT SANDSYNLIGHEDSFELT Et endeligt sandsynlighedsfelt er en sandsynlighedsfunktion P, der har udfaldsrummet U som definitionsmængde. n P( u i ) = i= HÆNDELSE En delmængde af et udfaldsrum kaldes en hændelse, H. SANDSYNLIGHEDEN FOR EN HÆNDELSE I ET SYMMETRISK SANDSYNLIGHEDSFELT: antal gunstige udfald P( H) = antal mulige udfald TO HÆNDELSER, A OG B, I ET ENDELIG SANDSYNLIGHEDSFELT P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P( A\ B) = P( A) P( A B) P( A) = P( A)

306 BINOMIALFORMLEN En stokastisk variabel, X, er binomialfordelt med antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p, hvis: Middelværdi for X: Spredning for X: P( X = r) = K( n, r) p ( p) n r µ = E( X) = n p σ ( X) = n p ( p) STANDARDNORMALFORDELING Frekvensfunktion: Fordelingsfunktion: Middelværdi: t φ( t) = e, hvor t R π t t Φ( t) = e dt π µ = 0 Spredning: σ =

307 6. S t a t i s t i k 307 SANDSYNLIGHED P( X a) = Φ( a) ( t) P( a b) = P( X b) P( X a) = Φ( b) Φ( a)

308 P( X > a) = P( X a) NORMALFORDELING En stokastisk variabel Y, som er normalfordelt med middelværdien µ( Y) og spredningenσ ( Y ), har fordelingsfunktionen: t µ ( Y) P( Y t) = Φ σ ( Y)

309 7 DIFFERENTIALLIGNINGER

310 7. Differentialligninger INDLEDNING IND model UD Differentialligninger er et vigtigt matematisk redskab, når det handler om at beskrive naturvidenskabelige og samfundsmæssige fænomener. Mange matematiske modeller bygger på differentialligninger. Differentialligninger er gode til at beskrive processer og strømme, hvor mængder af forskelligt indhold, flytter sig fra en position til en anden. Det kan f være en kemisk proces, hvor man ønsker at beskrive mængden af et givet stof til et bestemt tidspunkt. Eller det kan være transport af forurenende stoffer igennem en bestemt biotop, en skov, en sø osv. I kapitlet vil der være flere eksempler på sådanne modeller. DETTE KAPITEL I dette kapitel skal vi kigge på det vigtige matematiske emneområde differentialligninger, som kan benyttes til at skabe modeller af fænomener i verden. Der findes mange forskellige slags differentialligninger og systemer af differentialligninger. Kapitlet vil have fokus på såkaldte. og. ordens ordinære differentialligninger. Blandt disse findes nogle særlig vigtige ligninger som f logistiske ligninger. Kapitlet vil give en række praktiske og tekniske eksempler på anvendelse af teorien.

311 7. Differentialligninger 3 HVAD ER EN DIFFERENTIALLIGNING? Ordet differentialligning fortæller selv hvad det er! Det er en ligning, hvori der optræder et differentiale. Det kender du fra differentialregningen, og i denne sammenhæng betyder det en afledt funktion. En differentialligning er altså en ligning, hvori der indgår en afledt funktion. Vi ser straks et simpelt eksempel: EKSEMPEL. Vi undersøger ligningen f () = Det er en differentialligning, fordi f () indgår. Den ubekendte er ikke men f! Det er funktionens forskrift f() vi leder efter. Man kunne også med ord skrive: Hvilken funktion f har en afledt funktion, der ganget med, bliver lig med tallet? Måske du kan gætte løsningen? Funktionen f( ) = 05, er i hvert fald en løsning, fordi ( ) = = 0, 5 0, 5 Fra infinitesimalregningen ved vi imidlertid også at f f( ) = 05, + 5 er en løsning, fordi konstanten forsvinder ved differentiation. Vi kan derfor skrive den fuldstændige løsning som: f( ) = 05, + k hvor k er vilkårlig konstant tilhørende alle reelle tal. I dette eksempel var løsningen lig med en stamfunktion. Så simpelt er det ikke altid. EKSEMPEL. Her kan du se nogle eksempler på lidt mere komplicerede differentialligninger, som vi vil løse senere. Bemærk, at funktionen vi leder efter, selv kan optræde i ligningen: f ( ) = f( ) f ( ) = f( ) + 4 dy = y d f ( ) = 7 Og bemærk at vi kan skrive funktionsudtrykkene på forskellige måder.

312 7. Differentialligninger EKSEMPEL 3. Vi betragter ligningen f ( ) = 3 f( ), der også kan skrives som y = 3 y. Ligningen har løsningen f( )= e 3. Det kan vi vise ved at anbringe løsningen i ligningen. Da f ( ) = 6e 3 fås: 6e = 3 e 3 3 Og ligningen går op. Senere skal vi se, hvordan vi bestemmer den løsning. Når vi skal løse Differentialligninger indgår der altså (mindst) en afledt funktion. Både de afledte og selv funktionen kan optræde på forskellige kendte måder. Det ridser vi lige op her: Du kender skrivemåderne dy d og og og n som er det samme som y d f som er det samme som f () d dy som er det samme som y d d d f som er det samme som f () endelig er der d d f n eller f n ( ), hvilket betyder den n afledte funktion, hvor n er et helt positivt tal. Bemærk altså, at der også kan være brug for dobbeltafledte og sågar flerafledede funktioner. Efter disse indledende manøvrer kan vi nu definere Differentialligningen: En differentialligning er en ligning, der indeholder en eller flere n- afledede af en given funktion. Løsningen af ligningen er den funktion y = f( ) der opfylder betingelserne for ligningen. Dens graf kaldes for en integralkurve.

313 7. Differentialligninger 33 OM DIFFERENTIALLIGNINGER GENERELT Vi vil nu kort omtale nogle nøglebegreber, der karakteriserer differentialligninger generelt. Senere vil du få belyst disse nøglebegreber med eksempler. ORDINÆRE OG PARTIELLE DIFFERENTIALLIGNINGER Når funktionen er afhængig af én variabel, kaldes differentialligningen for en ordinær differentialligning. Når en differentialligning indeholder funktioner afhængige af mere en én variabel, kaldes differentialligningen for partiel. En ordinær differentialligning kan generelt skrives således: Dy (,, y,..., y n ) = 0 eller Df (,, f,..., f n ) = 0 D betyder at ligningen er en sammensætning af afledte funktioner af funktionen f. Nullet på højresiden fremkommer ved at alle led i ligningen er flyttet over på venstresiden. I dette kapitel vil vi næsten udelukkende interessere os for ordinære differentialligninger. Bagest i kapitlet er der et enkelt praktisk eksempel på en partiel differentialligning., OG n ORDENS DIFFERENTIALLIGNINGER Differentialligninger inddeles efter den højeste n-afledte funktion i ligningen. Det betyder at f ligningen f ( ) = f( ) + 4 fra eksempel kaldes for en. ordens differentialligning. Og fra samme eksempel kaldes f ( ) = 7 for en. ordens differentialligning, fordi n =. I dette kapitel beskæftiger vi os udelukkende med. og. ordens differentialligninger. BETINGELSER FOR KONKRETE LØSNINGER AF DIFFERENTIALLIGNINGER Vi skelner imellem generelle og konkrete eller specifikke løsninger til en differentialligning. F kan den generelle løsning til ligningen 3 f ( ) = +

314 7. Differentialligninger udtrykkes på formen f( ) = 05, k Hvilket her svarer til at finde stamfunktionen til f ( ). Når der er givet en begyndelsesbetingelse f at f ( 0) = 7 får vi den specifikke løsning 4 f( ) = 05, Når du senere skal se eksempler på, hvordan man kan anvende differentialligninger til at beskrive forskellige tekniske fænomener med, har vi brug for randværdier eller begyndelsesbetingelser. Hvis man f studerer vækstfunktioner (f tilvækst af biomasse) har man brug for at kende startbetingelserne (f hvor mange og hvor store fisk der er i et givet vandløb eller sø). Som nævnt i definitionen kaldes grafen til en specifik løsning for en integralkurve. Der er ofte brug for at studere flere mulige løsninger på én gang. Det kan ske ved at tegne såkaldte linieelementer. LINIEELEMENT Et linieelement er et kendt punkt på en graf og hældningen i samme punkt. Hvis vi har en givet -værdi 0, skrives linieelementet på denne måde: (, f( ); f ( )) Altså bestående af 3 tal, - og y- koordinaten samt hældningen af kurven i det pågældende punkt. Linieelementer bruges til at tydeliggøre mulige løsninger på en differentialligning. Hvis vi har flere linieelementer samlet i et koordinatsystem, vil mulige løsninger vise sig som en række små streger med centrum i punktet og med den angivne hældning. Tilsammen danner linieelementer i planet et slags billede af de mulige løsninger. Det kaldes også for et liniefelt. Se figur. EKSEMPEL 4. Vi betragter differentialligningen + y = Hvis denne ligning har en løsningskurve, der går gennem punktet (, ), fås ved almindelig ligningsløsning: + y = y =

315 7. Differentialligninger 35 Derved fås linieelementet (, ; ) vist som den røde streg i fig.. Den lille streg har altså hældningen - og centrum af stregen er punktet (, ). På samme måde kan der fastlægges andre linieelementer. Funktionen f( ) = 05, + + er en af mange eksakte løsninger til differentialligningen. Den er angivet som en blå graf i figuren og er den løsningskurve, som går igennem det ønskede punkt. Fig. : En integralkurve i et liniefelt Igennem et linieelement går der højst en integralkurve og dermed én løsning. DIFFERENTIALLIGNINGER MED ADSKILTE VARIABLE En. ordens differentialligning, der kan skrives på formen: dy = gy ( ) h ( ) eller f'( ) = gf ( ( )) h ( ) () d kaldes en separabel ligning, fordi de variable og y kan separeres (adskilles). g og h er et udtryk for at y og er variable i en visning.

316 7. Differentialligninger Eksempler på separable ligninger er: dy d = y, y dy d = 3 dy, y = sin d Vi skal her se det første eksempel på, hvordan man adskiller de variable. EKSEMPEL 5 dy d = y Vi begynder med at opfatte dy som en brøk, hvad det faktisk ikke d er! Det viser sig blot at løsningen bliver lettere at finde. Vi isolerer og y på hver sin side af lighedstegnet: = = Fig. () integreres herefter på begge sider af lighedstegnet y dy= d y + k = + k y =, k = k 3 k + k 3 Ved at integrere fandt vi altså den generelle løsning på differentialligningen. Eksemplet fører os frem til en sætning om separation af variable. SÆTNING. Separation af variable Hvis h og g er kontinuerte funktioner med kendte definitionsmængder og således at g(y) 0 da gælder y = f() er en løsning til dy = h ( ) gy ( ) d y = f() er en løsning til gy dy = ( ) h ( ) d +k, k R

317 7. Differentialligninger 37 Vi skal nu studere nogle vigtige typer af differentialligninger. EKSEMPEL 6. Når man anvender metoden separation af de variable, skal man være opmærksom på at løsningskurverne kan have begrænsninger i definitionsmængden. Det skal vi se et eksempel på. Vi ønsker at finde løsningen til følgende differentialligning, der skal gå igennem punktet (-,0) dy = e y d Vi løser først ligningen med den anviste metode: y dy = e d y e dy= d y e dy= d y e = 05, + k y= ln( 05, + k) Vi indsætter herefter det kendte punkt for at bestemme konstanten k: Og dermed løsningen e = 05, ( ) + k 0 k = y= ln( 05, ) Det vi skal være opmærksomme på er, at -værdierne her er begrænsede fordi den naturlige logaritme kun er defineret for positive værdier. Derfor skal der gælde: 05, > 0 > < Da løsningskurven skal gå igennem punktet (-,0) er det kun begrænsningen < der gælder, hvorfor vi kan skrive den eksakte løsning som y= ln( 05, ), < Denne opmærksomhed på definitionsmængder og værdimængder (!) er vigtig hver gang man løser en differentialligning.

318 7. Differentialligninger FORSKELLIGE TYPER AF DIFFERENTIALLIGNINGER Der findes mange forskellige slags differentialligninger. Vi viser fra starten en samlet oversigt over nogle af de vigtigste ordinære differentialligninger og deres generelle løsningsform. Man kan bevise de enkelte løsningsmetoder. Efter afsnittet vil vi se eksempler, både praktiske og principielle. Og vi skal se et bevis for en af metoderne. Differentialligningerne i dobbeltopslaget vil vi nu gennemgå detaljeret. DIFFERENTIALLIGNINGEN y =ky Ligningen kan udtrykkes således En afledt funktion er proportional med funktionen selv Som du kan se i tabellen er den generelle løsning til ligningen f( )= c e k Der er altså tale om eksponentiel vækst. Vi vil ikke bevise, at dette er den fuldstændige løsning, men i stedet kigge på et eksempel: EKSEMPEL 7. Vi vil bestemme en løsning f til ligningen dy = y, d der opfylder, at f (3) = 4 eller med andre ord, hvor integralkurven går gennem punktet P = (3,4) Den fuldstændige løsning til differentialligningen er y = f () = c e. Vi finder c ved at indsætte de kendte - og y-værdier fra punktet P(3,4) = c e c= 4e = 64,

319 7. Differentialligninger 39 og indsættes dette fås den søgte løsning: Løsningen ses på fig. 3. f( )= 64 e. f Fig. 3 Herefter vil vi kigge på et vigtigt eksempel på anvendelse af denne differentialligning hentet fra biologiens verden: VÆKSTENS AFHÆNGIGHED AF POPULATIONENS ABSOLUTTE STØRRELSE Vi begynder med den fundamentale og ofte benyttede antagelse: Væksthastigheden dn dt af en givet biologisk population er proportional med populationens størrelse N: dn dt eller udtrykt med konstanten isoleret = k N () N = N k () Den sidste måde () at skrive det på, betyder i biologisk og vækstmæssig forstand at væksthastigheden pr. individ (eller anden biologisk enhed) er konstant.

320 7. Differentialligninger TYPE af differentialligning Generel eller fuldstændig LØSNING y' ky eksponentiel vækst y ce k y = ayb a 0 y b a ce a logistisk ligning y ky( a y) k > 0, a > 0 y = logistisk funktion ( ) a y f ce ka hvor 0 < y < a (ma værdi) a ma væksthastighed. ordens differentialligning af typen y k g( ) d y = k g( ) y k G( ) d

321 7. Differentialligninger 3 Eksempel Integralkurver TYPE y y igennem punktet (,) y e e c c y ' y 3 igennem punktet (, 3) y 3 e e y y(4 y) m vandret asymptote y(0) 00 4 y ( ) e s-kurven y( ) 7cos( ) mange muligheder y ( ) 7cos( d ) 7cos( ) k

322 7. Differentialligninger Den derved fremkomne differentialligning har jf dobbeltopslaget den generelle løsning: Nt ()= Ne kt 0 (3) Altså eksponentiel vækst, hvor t er tiden N 0 er populationens størrelse til tiden 0 og k er den konstant, som afgør vækstens størrelse. I praksis vil det ofte være sådan at man enten ) kender konstanten k og populationens størrelse til tiden t=0. Eller ) Populationens størrelse til to kendte tidspunkter. Når det sidste gør sig gældende, findes funktionsforskriften for den eksakte vækstfunktion således: Nt () N NT ( ) = 0 N 0 t T (4) EKSEMPEL 8. I en myrekoloni kan der være op imod en million individer. Koloniens vækst afhænger af mange forhold, men i afgrænsede periode kan den ovenstående model anvendes til at simulere antallet af myrer i kolonien til et givet tidspunkt. Hvis vi f antager at der i en myrekoloni til tiden 0 befinder sig en individer og en måned efter individer fås ved hjælp af (4): 6, Nt () = 050, , t = 050,, 30 t Efter yderligere en måned vil modellen eksempelvis estimere at der vil være individer i kolonien.

323 7. Differentialligninger 33 Det vil naturligvis ikke forekomme i naturen, at populationer vokser i det uendelige. Der vil optræde en stagnation for al vækst på et eller andet tidspunkt. Det kan begrebet logistisk vækst tage højde for, hvilket du kan læse om i et senere afsnit. DIFFERENTIALLIGNINGEN y = ay+ b Ligningen kan udtrykkes således En funktions differentialkvotient er lineært afhængig af funktionen selv Ligningens fuldstændige løsning er b a + c ea () hvor a og b er reelle tal ( a 0 ) og c er en konstant, der afgør den specifikke løsning. Her skal vi se et bevis: Bevis: For ay+ b >0 og ay+ b <0 gælder dy ay b d ay b dy d + = + = ln( ay+ b) = + c ay+ b = e a a c + a b y a c e a c R c e ac = + =, hvor / a. b For ay+ b =0 gælder direkte at y = er en løsning. a EKSEMPEL 9. Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen dy = y+ 5. d Ved direkte anvendelse af den generelle løsningsmetode fås 5 y= f( ) = + c e, c R, R.

324 7. Differentialligninger EKSEMPEL 0. Vi vil bestemme en løsning f til ligningen dy = 4y, d der opfylder, at f () = eller med andre ord, hvor integralkurven går gennem punktet P = (,). Vi bestemmer først den generelle løsning ved at indsætte konstanterne a=4 og b=- i udtrykket b a + c e a + c e = 05, + c e Herefter bestemmer vi den konkrete løsning og dermed konstanten c ved at indsætte punktet i ligningen. Og dermed løsningen 4 y= 05, + c e 4 = 0, 5+ c e c =, y= 0, 5+, e Fig 4: Den specifikke integralkurve

325 7. Differentialligninger 35 EKSEMPEL. Vi vil her studere indholdet af kvælstof i en sø ved hjælp af differentialligninger. En sø har et volumen på l. Vandet i søen udskiftes af to vandløb A & B, og overskydende vand flyder bort i vandløb C. Vandløb A har en vandføring på 00 l/ s og et indhold af kvælstof på 4 mg / l og tilfører dermed søen 00 l/ s 4 mg/ l= 400 mg/ s kvælstof. Vandløb B har en vandføring på 00 l/ s og et indhold af kvælstof på mg / l, og tilfører dermed søen 00 l/ s mg/ l= 00 mg/ s kvælstof. Søen tilføres således i alt 400 mg + 00 mg = 600mg kvælstof pr. sekund. Nt () Fig. 5 Vandløb C har (da søen har fast volumen) en vandføring på 300 l/ s (A+B). Vi betegner den totale mængde af kvælstof i søen som N(t), og da indholdet varierer som funktion af tiden. Koncentrationen i søen må derfor være: Nt () Nt () Deraf kan vi slutte, at der i vandløb C må forsvinde mg/s kvælstof, da vandløb C kun aftager vand fra søen. Vi antager desuden, at kvælstoffet er fordelt jævnt i hele søen. Ændringen af kvælstofindhold i søen dn () t må da være differencen imellem tilførsel og dt bortførsel: dn() t Nt () = dt Dermed har vi opnået en differentialligning af typen y = b ay. Vi finder den generelle løsning jf () som t Nt ()= ce Hvis mængden af kvælstof til tiden t = 0 var 50 kg fås den specifikke løsning: t Nt ()= e

326 7. Differentialligninger DIFFERENTIALLIGNINGER AF TYPEN y = k y( a y) ELLER DEN LOGISTISKE LIGNING Logistisk vækst bygger som tidligere nævnt på følgende differentialligning: y = k y( a y) a, k> 0 () Ligningen anvendes ofte til at beskrive populationers væksthastigheder. Vi kan af ligningen () udtrykke følgende: Hvis y er lille, dvs. tæt ved 0, er k y ( a y) også tæt ved 0. Dermed er y ' tæt ved 0, hvilket betyder, at væksthastigheden er lille. Hvis y er tæt ved a, er a - y tæt ved 0, så er væksthastigheden igen lille. Man skal være opmærksom på, at ligningen kan optræde på forskellig måde: y = k y( k k y) eller y = k y k y I begge tilfælde er den identisk med (). I det følgende tager vi udgangspunkt i (). Ligningen () har den generelle løsning a y= f( ) = + c e ka Hvor a er den (næsten) maksimale funktionsværdi, og c er en konstant afhængig af den specifikke løsning. For = 0 gælder der a f ( 0) = c e ka 0 + a c = f ( 0) Løsningen for 0< f( 0) < ahar den såkaldte s-kurve som integralkurve. Se fig. 6.

327 7. Differentialligninger 37 Vækstkurven er grundlæggende karakteriseret ved i begyndelsen at vokse kraftigere og kraftigere (nærmest eksponentielt), og senere vil væksten aftage, og nærme sig et maksimalt niveau. Fig 6: Logistisk vækst Logistisk vækst har to karakteristiske vandrette asymptoter y = 0 og y = a, hvilket gælder fordi e ka kac 0for og e for og dermed f( ) a for og f( ) 0for. I punktet ( α, yα) er der maksimal vækst. Punktet med y-værdien y α findes som den halve maksimale funktionsværdi a. Vi skal nu kigge på et eksempel fra biologien, hvor logistisk vækst ofte anvendes som matematisk model. EKSEMPEL.

328 7. Differentialligninger En Skægagame er et australsk øgle, som bliver cm lang. Ved en konkret observation af et konkret individs vækst over tid, er der indsamlet følgende målinger af en han-skægagames vægtforøgelse i løbet af et års tid: uger Vægt/ g Tabel : vægtforøgelse af en Skægagame. Kilde: Lene Troest Kjeldsen 007 Vi formoder, at væksten kan beskrives ved hjælp af en logistisk funktion. Mange CAS-værktøjer er i stand med forskellige algoritmer at finde logistiske funktioner, som passer på givne logistiske datamængder. Man skal være opmærksom på, at algoritmerne giver forskellige resultater. Herunder ses løsningskurven for en logistisk model af ovenstående vækstdata foretaget af programmet Autograph. De røde punkter er de målte data, og den grønne kurve er programmets bud efter en række iterationer med funktionsforskriften f( ) = 7 + 6e 05, f Fig. 7 Bemærk, at programmets bedste bud ikke angiver den største værdi som asymptote. Et halvt år senere vejede den samme agame over 00 g, altså betydeligt over programmets estimat. Deraf kan vi udlade, at logistiske modeller ofte kun kan anvendes i afgrænsede intervaller.

329 7. Differentialligninger 39 DIFFERENTIALLIGNINGER AF TYPEN y = k g( ) Som angivet i dobbeltopslaget er den generelle på denne differentialligning med dobbelt afledede funktioner givet ved: y= k G( ) d+ k () Vi skal straks se et praktisk eksempel på denne differentialligning. Eksemplet demonstrerer samtidig, hvordan Mathcad kan løse differentialligninger af denne type. EN HARMONISK FJEDERBEVÆGELSE Vi vil nu studere en harmonisk bevægelse, hvor en genstand bevæger sig lodret op og ned påvirket af en fjederkraft og tyngdekraften. Vi ønsker at bestemme loddets position som funktion af tiden. Se fig 8. Fig 8: fjederbevægelse i tre positioner

330 7. Differentialligninger I situation () er objektet endnu ikke fastgjort til fjederen med længden L. I situation () er objektet med massen m fastgjort til fjederen, hvorved fjederen strækkes ud til en samlet længde L+d, der er den nye ligevægtstilstand. I situation (3) har summen af fjederkraften og tyngdekraften flyttet objektet ned til en position +d, der udtrykker afstanden fra ligevægtspositionen til tiden t. er altså afstanden fra ligevægtspositionen. Der er to kræfter på spil, tyngdekraften F g og fjederkraften F f. Ifølge Hookes lov vil en kraft der påvirker en fjeder være proportional med længden af fjederens længeudvidelse/ formindskelse (F=ks). Den samlede kraft, der påvirker genstanden til tidspunktet t er ifølge Newtons. lov lig med massen gange accelerationen (F=mg). Den samme kraft er også lig med summen af de to delkræfter på spil, tyngdekraften og fjederkraften: Og dermed m a= m g k( + d) m a+ k =0 Da bevægelsen antages at være harmonisk, kan accelerationen også bestemmes som den dobbeltafledte af stedfunktionen t (), hvorved vi kan udtrykke ligningen således: m + k =0 Eller m d + k = 0 dt Her er der tale om lineær differentialligning af anden orden. Løsningen af den ligning afhænger af startbetingelserne. Det skal vi se et konkret eksempel på. EKSEMPEL 3. Vi betragter et eksempel hvor genstanden har vægten kg ophængt i en fjeder med fjederkonstanten k= kn/m. For at studere situationen har vi også brug for begyndelsesbetingelser. Vi sætter (0) =0, hvilket svarer til at loddet begynder bevægelsen i det matematiske nulpunkt. Og vi antager at loddet til starttidspunktet har hastigheden m/s, hvilket svarer til at ( 0) =. Vi lader programmet Mathcad løse det for os. Bemærk kommandoen Odesolve, der er programmets standardværktøj til at løse differentialligninger:

331 7. Differentialligninger 33 y'' ( ) + y( ) 0 y0 ( ) 0 y' ( 0) y := Odesolve (, ) y ( ) Der er tale altså tale om en svingningsfunktion. Modellen er mest korrekt i bevægelsens første fase. Senere vil fjederens indre friktion få bevægelsen til at aftage. Friktion kan inddrages i ligningssystemet, hvilket vi dog ikke vil gøre her.

332 7. Differentialligninger DIFFERENTIALLIGNINGER MED FLERE VARIABLE TO POPULATIONER I KONKURRENCE eller LOTKA-VOLTERRA-MODELLEN Vi skal nu se på en situation, hvor to variable er indbyrdes afhængige. Det fænomen kan optræde i mange sammenhænge, i studier af populationer, i kemiske reaktionsprocesser, i økonomiske modeller. Et af de mest kendte er den indbyrdes konkurrence imellem rovdyr og byttedyr. Lotka-Volterra-ligningerne er kendte som fundamentale ligninger, når der er brug for at simulere to systemer, der indvirker på hinanden i et indbyrdes konkurrenceforhold. LOTKA-VOLTERRA-LIGNINGERNE d = k ay dt dy = by hy dt Hvor k, haogb, positive konstanter. Konstanterne k og h kan udtrykkes således: k er vækstraten af ved fraværet af y, h er vækstraten ved fraværet af. Fravær betyder her at, henholdsvis eller y ikke påvirker systemet. De to ikke-lineære differentialligninger udgør et dynamisk system, fordi de er indbyrdes afhængige. Man kan ikke løse den ene uden den anden. Og løsningen er afhængig af, at man kender startbetingelserne. Herunder kan du se en generel visning af de løsningskurver, ligningsystemet danner.

333 7. Differentialligninger 333 Fig. 9: Indbyrdes forhold imellem rovdyr og byttedyr øverst som funktion af tiden. Kurven øverst er graferne for de to løsningsfunktioner. Som det ses er de indbyrdes i et svingningslignende forhold, hvor de indbyrdes skiftes til at henholdsvis at danne maks og min. Når de to grafer krydses, svarer det til, at mængden af den givne variabel er ens. Kurven til nederst viser den indbyrdes relation imellem de to variable byttedyr og rovdyr. Når den ene falder i antal, stiger den anden. Bevægelsen er cyklisk. I de blå punkter ændrer en af dyrebestandene fortegn på væksten.

334 7. Differentialligninger EKSEMPEL 4. Som et simpelt eksempel på anvendelse af Lotka- Volterra betragter vi en konkurrencesituation imellem snegle og pindsvin i et lukket havesystem. Kravet om et lukket system er en betingelse, som sjældent honoreres i biologiske systemer, men her skal eksemplet først og fremmest demonstrere metoden til at løse den matematiske problemstilling. En anden usikkerhed er, at bestanden af begge dyr i praksis naturligvis er påvirket af mange andre parametre. Vi anvender Mathcad til at løse problemstillingen. Først opstiller vi selve ligningssystemet og angiver de startbetingelser, som gælder. Dernæst anvender vi Mathcads indbyggede løsningsmetode, der anvender Runge-Kutta-metoden: ( ) q := rkfied y start, 0, 0, 00, dydt i := t := q snegl := q pindsvin := q i i0, i i, i i, Derefter kan vi tegne løsningskurverne:

335 7. Differentialligninger 335 Endelig kan man bestemme konkrete funktionsværdier til bestemte tidspunkter. q (.5) =.53 q (.5) = , 00,

336 7. Differentialligninger NUMERISKE METODER TIL LØSNING AF DIFFERENTIALLIGNINGER Som tidligere nævnt kan ikke alle differentialligninger løses analytisk. Vi kan i stedet benytte en numerisk metode. En af de vigtigste hedder Runge-Kutta-metoden. Dens principper bygger på mere simple metoder som f Heuns og Eulers metoder. Her vil vi præsentere Runge- Kutta-metoden. RUNGE KUTTA Runge-Kutta metoden kan benyttes til at løse differentialligninger af typen dy = f(, y) () d Metoden bygger som andre numeriske metoder på, at der skal udføres en række trin, hvor man beregner tilnærmede funktionsværdier i en fortløbende proces. Bemærk at f ikke er løsningen som vi leder efter. Vi skelner imellem Runge-Kutta-metoden i.,., 3. og 4. orden. 4. ordens Runge-Kutta er den mest præcise. Vi vil ikke her udlede formlen, men præsentere den direkte: RUNGE KUTTA y = y + y = y + ( α + α + α + α ) () n y 0 er funktionsværdien i det kendte punkt P. y n+ er den første funktionsværdi efter skridtlængden. Se fig. 0. Funktionstilvæksten y findes som en tilnærmet lineær fremskrivning, hvor α = f(, y ) 0 0 α = f( + 05,, y + 05, α ) 0 0 α = f( + 05, y, + 05, α ) α = f( +, y + α ) (3)

337 7. Differentialligninger 337 På fig.0 er processen anskueliggjort grafisk. Fig 0 Når punktet P er fastlagt, gentages proceduren for at bestemme punktet P osv. Bemærk (som antydet på grafen) at punktet P ikke rammer kurven eksakt, men Runge-Kutta metoden betragtes alligevel som en forholdsvis præcis numerisk metode. Vi skal nu med et konkret eksempel se, hvordan Mathcad kan foretage udregningen for os: EKSEMPEL 5. Givet differentialligningen Vi undersøger intervallet [0,], hvilket i Math cad skrives således Først lader vi Mathcad finde den eksakte løsning, som vi kan sammenligne med den numeriske løsning.

338 7. Differentialligninger Herefter fastlægger vi skridtlængden h. Jo mindre des mere eksakt bliver løsningen. Her vælger vi at inddele intervallet i 0 dele: Med funktionen f (,y) finder vi linielementet. Og vi bestemmer den første nye -værdi X = X 0 + h.

339 7. Differentialligninger 339 Og Runge-Kutta-metoden af 4. orden: Processen gentages, og den grønne numeriske løsningskurve vil fortsætte.

340 7. Differentialligninger OPGAVER Opgave Bestem den fuldstændige løsning til følgende differentialligninger: a) d d f = cos b) f ( ) = 5 c) d d f = k d) d dt f()= t 6 t e) d d f = f) d d f = e g) d d f = 8 Opgave Bestem den fuldstændige løsning til følgende differentialligninger: a) d d f = 3sin b) f ( ) = c) d dt f () t = 6t + t Opgave 3 Bestem hvilken n te-ordens differentialligning der er tale om og afgør om der er tale om en lineær differentialligning. d dt f ()= t et y + yy + y = 0 y = 0 Opgave 4 Bestem en løsning til følgende ligninger og betingelser: y = 0, y( ) = 5 y =, y( ) = 9

341 7. Differentialligninger 34 y = 4 3, y( 4) = 3 y = 0, y( ) =, y ( ) = Opgave 5 En funktion f, hvis graf går igennem (0,), har 3 gange så store funktionsværdier som dens egen hældning. Bestem forskriften for f. Opgave 6 En funktionsforskrift er givet ved f( ) = sin( ). Bestem det linielement ( yy, ; ) Opgave 7 Bestem vha metoden separation af de variable den fuldstændige løsning til følgende differentialligning: dy d y = +,, y 0. Bestem den konkrete løsning, som i ét punkt har hældning tilfælles med funktionen g ( )=. Opgave 8 Her er grafisk vist en række linieelementer Hvilken type differentialligning passer på linielementerne? Angiv en mulig løsning for integralkurven igennem det angivne linielement?

342 7. Differentialligninger Opgave 9 Bestem løsningen for følgende differentialligninger, integralkurven skal gå igennem punktet P y = y, P= (, ) y = y, P= (, ) 4 y = y, P = ( 00, ) y + y= 8, P= (, 8) Opgave 0 Bestem den eksakte til følgende ligning og betingelse: y = y, y( ) = Opgave Bestem løsningen for følgende differentialligninger, integralkurven skal gå igennem punktet P. y = e, P= (, ) y = e y, P= (, ) y = ye, P= ( 34, ) cos y =, P = ( 3, ) y Opgave Bestem løsningen for følgende differentialligninger, integralkurven skal gå igennem punktet P. 4+ y = e, P= (, ) y = cos +, P= ( 0, 0)

343 7. Differentialligninger 343 Opgave 3 Græsset på en fodboldbane har en væksthastighed identisk med græssets højde. På et stadion har gartneren fået instruks om, at græsstråene i gennemsnit skal være imellem 4 og 6 cm lange. Hvor lang tid må der maksimalt gå, før græsset skal slås? Opgave 4 I en lukket sø er antallet af en bestemt fiskeart en funktion f af tiden t Vi antager at funktionen f er en logistisk vækst med begyndelsespunkt i år 0, og at det største antal gedder der kan overleve i søen er 000 individer. Biologer har målt, at der 3 år efter begyndelsesåret levede 600 gedder i søen på øen, mens tallet 4 efter år 4 var 650. Bestem forskriften for f.

344 7. Differentialligninger Opgave 5 Nt () En sø har et uændret volumen på0 0 6 l. To vandløb A & B løber til søen, og overskydende vand flyder bort i vandløb C. Der sker desuden en fordampning af vand fra søoverfladen på 4 l/ s. Vandløb A har en vandføring på 50 l/ s og et indhold af kvælstof på 3 mg / l. Vandløb B har en vandføring på 300 l/ s og et indhold af kvælstof på mg / l. Søen har til en start mg. Bestem indholdet af kvælstof i søen efter måneder. Opgave 6 Her er en serie målinger af plantevækst under styrede og ensartede vækstbetingelser.

345 7. Differentialligninger 345 dag Vægt i g Brug et CAS-værktøj til at undersøge om udviklingen kan være logistisk. Antag nu væksten er logistisk. Bestem plantens maksimale vægt. Lav din egen analyse af hvilke værdier, der er de mindst pålidelige.

346 KAPITELOVERSIGT 7 EN DIFFERENTIALIGNING En differentialligning er en ligning, hvori en eller flere afledede af en funktion y = f () indgår. Enhver funktion, der passer i ligningen, kaldes en løsning til ligningen, og dens graf kaldes en løsningskurve eller en integralkurve. Mængden af samtlige løsninger kaldes den fuldstændige løsning. SEPARATION AF VARIABLE Hvis h og g er kontinuerte funktioner i intervallerne henholdsvis I og J og således at g(y) 0, da gælder y = f () er en løsning til dy d = h ( ) gy ( ) y = f () er en løsning til gy dy = ( ) h ( ) d +k, k R RANDPROBLEM OG BEGYNDELSESVÆRDIER For at finde specifikke løsninger har vi brug for at kende begyndelsesbetingelser eller andre konkrete informationer, der giver mulighed for at bestemme konstanter i løsningerne. LINIEELEMENT Hvis det om en funktion f gælder, at f ( 0 ) = y 0 og f '( 0 ) = a, siger man, at f går gennem linjeelementet ( 0, y 0 ;a).

347 7. Differentialligninger 347 TYPER AF DIFFERENTIALLIGNINGER Type Fuldstændig løsning y' = ky f '( ) = k f( ) dy = ky d y= ce k y' = ay+ b f '( ) = a f( ) + b dy d = ay+ b y= b a + ce a y' = ky( m y) f '( ) = k f( )( m f( )) dy d = ky( m y) y = m + ce km y' = y( b ay) f '( ) = f( )( b a f( )) dy d = yb ( ay) b y = a + ce b RUNGE KUTTA Runge-Kutta-metoden kan benyttes til at løse differentialligninger af typen dy = f(, y) d Metoden bygger som andre numeriske metoder på, at der skal udføres en række trin, hvor man beregner tilnærmede funktionsværdier i en fortløbende proces med følgende ligning, der også kaldes Runge Kutta af fjerde orden. y = y + n+ y = y ( α α α3 α4) 6

348

349 8MAPLE

350 8. Maple INDLEDNING Velkommen til denne lille vejledning til brugen af Maple. Vejledningen giver en kort introduktion til brugen af Maple. Målet med kapitlet er, at læseren stifter bekendtskab med de mest almindelige funktioner i programmet og derefter føler sig rustet til og tryg ved den videre brug af programmets mange muligheder. DETTE KAPITEL I MAT B introduceredes Mathcad som CAS-værktøj (Computer Algebra System). I dette afsnit introduceres Maple, der er et tilsvarende program til matematisk beregning og visualisering.

351 8. Maple 35 INTRODUKTION TIL MAPLE Når Maple åbnes, ses følgende skærmbillede: Fig.. Maple 0 ved opstart. Startsiden består, som man kan se, af et arbejdsdokument med to hjælpevinduer foran arbejdsdokumentet. På Startup-vinduet kan man klikke sig frem til forskellig hjælp og tip omkring Maple. Vinduet giver ved opstarten et tilfældigt tip. Quick Help giver en hurtig vej til de mest almindelige operationer i Maple. Ved at højreklikke på linjerne i Quick Help føres man til et hjælpevindue med yderligere informationer om den pågældende operation. Quick Help fjernes fra skærmen ved at klikke i krydset i øverste hjørne og påkaldes på et hvilket som helst tidspunkt ved at trykke på F. I venstre side af vinduet ses forskellige paletter. En palet åbnes ved at klikke på trekanten ved palettens navn (se Figur ). Epressionpaletten (Figur 3) indeholder de mest almindelige matematiske operationer som de trigonometriske funktioner, bestemt/ubestemt integral og differentiation. Det er funktionerne i denne palet, vi skal benytte mest i dette kapitel. Vi vil dog ikke benytte paletterne direkte, men hellere benytte Maple notation. Hvis man er i tvivl om notationen for en kommando, kan man altid holde musens pil over symbolet, man skal bruge, og notationen vil fremkomme.

352 8. Maple Fig.. Paletter i Maple. Fig. 3. Epression-paletten. Men mere om dette senere. Først skal vi lære at benytte Maple til helt almindelige regneoperationer og tekstskrivning. Programmet starter i såkaldt matematiktilstand. Det vil sige, at man med det samme kan gå i gang med matematiske beregninger. Hvis man gerne vil starte med at skrive opgavetekst, kan man taste F5 og derved komme til teksttilstand (se øverste venstre hjørne i skærmbilledet). Man skifter tilbage til matematiktilstand ved endnu et tryk på F5.

353 8. Maple 353 PAKKER I MAPLE Maple har et bibliotek af såkaldte pakker, der kan tilføje ekstra muligheder til programmet. Hver pakke indeholder funktioner inden for et bestemt område, for eksempel grafer eller vektorer. Den pakke vi skal benytte mest her er plots, som gør det muligt at visualisere grafer og vektorer og meget andet. Pakken hentes ved at skrive with(plots); når man er i matematiktilstand. En oversigt over Maples pakker fås ved at taste?packages, inde; når man er i matematiktilstand. REGNING MED MAPLE Maple kan selvfølgelig benyttes som en helt almindelig regnemaskine: Regneoperationerne tastes som forventeligt ved: Gange tastes med * Divider tastes med / Potensopløftning med ^ Plus og minus med + og Beregningen af et udtryk sker efter et tryk på ENTER. Tastes CTRL = beregnes resultatet på samme linje, og der sættes automatisk et lighedstegn. (husk at = tastes ved SHIFT + 0 ) 3 C 3 7 = 9 8 Bemærk, at Maple omskriver til korrekt matematisk notation og forkorter brøker, hvis det er muligt.

354 8. Maple LIGNINGSLØSNING LIGNINGER MED ÉN UBEKENDT Når du skal løse ligninger med Maple, skal du benytte kommandoen solve. Maple kan både løse ligningssystemer og enkelte ligninger. Som eksempel kan vi betragte løsningen af andengradsligningen 3 C 3 K 8 = 0 : solve (3 C 3 K 8 = 0, ), K3 De to rødder til denne andengradsligning er altså = og = 3. SYMBOLSK LIGNINGSLØSNING Hvis man i eksempelvis kemi skal isolere temperaturen i idealgasligningen, gøres det ved solve (P $ V = n$r$t, {T }) 4 T = PV nr5 Tuborg-parenteserne omkring det vi skal isolere {T } gør, at resultatet leveres som en lighed T = LIGNINGER MED UBEKENDTE Løsning af to ligninger med to ubekendte klares også som forventet. Dog skal man huske at sætte { } parenteser om de to ligninger og om variablene, her og y. solve ({4 y K 5 = K3, C 5=4 y}, {, y} ) 4 y = 9 4, = 5 Dette kan naturligvis udvides til ligningssystemer med n ligninger med n ubekendte. Vi kan selvfølgelig løse væsentlig mere komplicerede ligningssystemer med Maple,

355 8. Maple 355 solve04e K y = 3, ey =5,{, y} 4 y = ln() ln(e), = ln(3) ln(e) 5 Hvor e er grundtallet for den naturlige logaritmefunktion ln. DIFFERENTIATION Maple bruger kommandoen diff (f(), ) til at differentiere funktionen f() med hensyn til variablen. Hvis vi eksempelvis skal differentiere funktionsforskriften for parablen f ( )=3 C K taster vi: diff (3 C K, ) = 6 C Man kan også differentiere ved at skrive udtrykket for funktionen op, og derefter højreklikke på funktionsudtrykket og vælge Differentiate i fanebladet, der kommer frem. Maple kender alle de almindelige funktionstyper og kan benyttes til at differentiere disse. Eksempelvis diff (tan ( ), ) = C tan( ) og diff (ln( ), ) = Maple kan også differentiere symbolsk. Som eksempel kan vi se på differentiation af et produkt af to funktioner u() og v(): diff (u( )$ v ( ), ) = 0 d d u( ) v ( ) C u( ) 0 d d v ( ) På denne måde kan man få hjælp til at huske regnereglerne for differentiation. Med d d u ( ) menes, at funktionen u() differentieres med hensyn til variablen. IMPLICIT DIFFERENTIATION Hvis vi skal differentiere en funktion, der er implicit given, skal vi benytte kommandoen implicitdiff. Lad os for eksempel betragte cirklen med centrum (, ) og radius 5, givet ved C:

356 8. Maple K C y K 4 y K 0 = 0. Først betegner vi cirklen med C, for at slippe for at skrive funktionsudtrykket for mange gange, C := K $ C y K 4 $yk0 = 0 K C y K 4 y K 0 = 0 Vi finder nu den partielle afledede af y som funktion af, dy, ved at benytte kommandoen, d implicitdiff(): dy dy = implicitdiff(c, y, ) d d = K K y K Man kan altså bestemme hældningen for tangenten i et punkt der ligger på cirklen ved, at indsætte koordinaterne direkte i udtrykket dy d = K K y K. GRAFEN FOR DEN IMPLICITTE FUNKTION Vi kan tegne den implicitte funktion ved at benytte kommandoen implicitplot. For at benytte den kommando skal vi dog lige kalde pakken plots først: with (plots) implicitplot(c, = 6 7, y= 4 7, title = Cirkel med radius 5 og centrum i (, ) ) Fig. 4

357 8. Maple 357 MAPLE TUTORIALS Maple har en række instruktionsappletter, der giver et indblik i forskellige matematiske discipliner. Instruktionerne findes under Tools > Tutors. Som eksempel, der belyser hældningen for en funktion, kan man vælge Tools > Tutors > Precalculus > slopes Appletten ser således ud: Fig. 5. Instruktionsapplet Animationen illustrerer, hvordan sekanterne i et punkt nærmer sig tangenten i punktet. Ved opstart er funktionen f( )= indtastet. Dette kan naturligvis ændres efter behag. Paletten viser et plot med funktionen og sekant-linjer til venstre og funktionen, det punkt der behandles, tabel med punkter og hældning på tangenten til højre. Nederst på appletten ses Maple kommandoen for grafen. Ved et tast på Animate ses en animation med sekantlinjer igennem punktet. Der er adskillige andre interessante tutorials som man opfordres til at undersøge på egen hånd. Der er eksempelvis tutorials, der viser asymptoter, regner kurvelængder ud samt nogle, der illustrerer regneregler for differentiation, integration og meget andet.

358 8. Maple INTEGRATION UBESTEMT INTEGRAL Hvis man skal beregne integralet af en funktion, kan man enten benytte Epressionpaletten eller benytte sig af Maple-notationen, som vi vil gøre her. Først definerer vi funktionen f() ved følgende kommando: f := / 3 $ sin( ) = /3 sin( ) Derefter kan vi beregne det ubestemte integral for f() ved at benytte, int( - ) int (f ( ), ) = 3 sin( ) K 3 cos( ) Som ved differentiation kan man integrere en funktion ved, at højreklikke på funktionsudtrykket og vælge Integrate i fanebladet der fremkommer. Hvis vi vil checke, om resultater er korrekt, kan vi benytte integrationsmetoden og differentiere vores resultat diff (%, ) = 3 sin( ) og se, at vi får funktionen vi startede med. Bemærk, at i Maple refererer % til det senest udregnede resultat. %% refererer til resultatet før osv. Maple kender alle de almindelige funktionstyper og kan benyttes til at integrere disse. Eksempelvis int (tan ( ), ) = Kln(cos( )) og int (ln( ), ) = ln( ) K BESTEMT INTEGRAL Hvis vi i stedet vil finde det bestemte integral fra 0 til π for vores funktion f(), altså,skrives int (f ( ), =0..p ) = 3 p Det vil sige, at arealet under funktionen f() i intervallet fra 0 til π er lig 3 π. Bemærk, at man med tilføjelsen = a..b beskriver, hvilket interval man vil integrere over her i intervallet fra 0 til π.

359 8. Maple 359 OMDREJNINGSLEGEMER OMDREJNINGSLEGEME OM X-AKSEN Hvis man skal bestemme volumen af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når funktionen drejes om -aksen i intervallet fra [a, b], benyttes som bekendt formlen V = a bpf ( ) d Skrevet med Maple-notation, beregnes dette ved V = int (p$ f ( ), =0..p ) V = K 9 4 p C 3 p4 (*) Resultater tilnærmes til 3.9 ved at holde musen over resultatet, højreklikke på musen, og vælge Approimate. Man kan her vælge, om man vil have 5, 0, 0, 50 eller 00 cifre i resultatet. GRAFISK PRÆSENTATION AF OMDREJNINGSLEGEME Hvis man vil tegne omdrejningslegemet, skal man først kalde Maplepakken Student[Calculus] og benytte den kommando der hedder VolumeOfRevolution. with (Student [Calculus]): VolumeOfRevolution(f ( ), =0..p, output = plot ) Fig. 6

360 8. Maple Prøv, når du har tegnet grafen, at klikke på grafen med musen, og mens museknappen holdes inde, at bevæge grafen rundt i koordinatsystemet. Derved kan man se det fremkomne legeme fra forskellige vinkler. Bemærk, at man ved at skrive output = plot får grafen for omdrejningen. Hvis man i stedet skriver output = value, fås legemets størrelse. Altså værdien fra ligning (*) VolumeOfRevolution( f (), =0..p, output = value ) = K 9 4 p C 3 p4 OMDREJNINGSLEGEME OM Y-AKSEN Grafen for omdrejningslegeme om y-aksen fås ved at tilføje ais = vertical til kommandoen VolumeOfrevolution, altså VolumeOfRevolution(f(), = 0..π, output = plot, ais = vertical) Fig. 7 Bemærk, at hvis man ikke skriver linjen ais = vertical, roterer Maple om -aksen som standard. Man kan tilsvarende taste output = value og derved få størrelsen af legemet, der er drejet om y-aksen. Tast?volumeofrevolution + ENTER for yderligere muligheder med hensyn til plot og evaluering af omdrejningslegemer.

361 8. Maple 36 VEKTORFUNKTIONER Hvis man arbejder med vektorfunktioner, kan Maple være en god hjælper på vejen. Vi skal nu se, hvordan vi evaluerer, tegner og differentierer vektorfunktioner. Som eksempel betragtes vektorfunktionen: cos( t) rt () =. 3 sin( t) EVALUERING AF VEKTORFUNKTIONEN Man kan starte med at definere sin kurve. Det gøres ved kommandoen r := t / [$ cos(t ), 3$sin(t )] t/[ cos(t ), 3 sin(t )] Herefter evaluerer vi vektorfunktionen til tiden, t = 0 og t = π, som sædvanligt: r(0) = [, 0] r(p ) = [K, 0 ] Vektorfunktionen har altså bevæget sig fra punktet (, 0) til punktet (-, 0) fra tiden t = 0 indtil t = π. VEKTORFUNKTIONENS BANEKURVE Hvis vi skal vise banekurven for vektorfunktionen skal vi benytte kommandoen plot: plot([3$cos(t), $sin(t), t = 0..p ], = K3..3, y=k4..4); Fig. 8

362 8. Maple Du kan taste?plot[parametric] + ENTER i matematiktilstand for flere muligheder med hensyn til grafens udseende, interval, overskrifter osv. HASTIGHEDSVEKTOR OG ACCELERATIONSVEKTOR Man kan let finde hastighedsvektoren, r`(t), ved differentiation diff ([3$cos(t ), $sin(t )],t ) = [K3 sin(t ), cos(t )] og accelerationsvektoren, r``(t), ved endnu en differentiation af vores vektorfunktion diff (%, t ) = [ K3 cos(t ), K sin(t )] Husk, at i Maple refererer % til det senest udregnede resultat, %% refererer til resultatet før osv. RUMGEOMETRI Hvis man skal regne med vektorer i Maple, skal man starte med at hente den pakke, der hedder LinearAlgebra. Det gøres ved at taste kommandoen with(student[linearalgebra]) og with(linearalgebra). Det kan ligeledes være smart at hente pakken plots, da man så kan tegne de vektorer, man arbejder med. with (Student [LinearAlgebra]) with ( LinearAlgebra) with (plots) For at gøre beregningerne lettere er det en god ide at starte med at navngive sine vektorer, f. a og b. Dette gøres ved kommandoen: a :=!,, O = og b :=!,, O = Herefter kan man regne med vektorerne og finde sum, differens, prikprodukt og krydsprodukt, samt tegne vektorer.

363 8. Maple 363 SUMMEN OG DIFFERENSEN AF VEKTORER Summe og differensen beregnes ved at benytte + og som ved de almindelige regneoperationer: a C b = og ak b = K PRIKPRODUKT Prikprodukt kan beregnes ved hjælp af kommandoen Dotproduct(a,b), eller ved at taste a.b (a punktum b) a.b = 6 eller DotProduct ( a, a ) = 9 KRYDSPRODUKT Krydsproduktet af de to vektorer findes ved kommandoen Crossproduct(a,b) eller ved at taste a & b, CrossProduct (a, b )= 0 3 K3 eller a & b = 0 3 K3. Vi skal nu se, hvordan man tegner vektorer ved hjælp at Maple. AFBILDNING AF EN VEKTOR I KOORDINATSYSTEMET Hvis vi skal indtegne vektor a i koordinatsystemet, skal vi benytte kommandoen arrow. Med [0, 0, 0] specificeres det, at vektorerne skal have start i Origo (0, 0, 0). arrow( [0, 0, 0 ], {a, b },aes = boed, width = 0.0)

364 8. Maple Fig. 9 hvor kommandoen width=0.0 bestemmer tykkelsen af vektoren og kan udelades. For yderligere info om mulighederne for afbildning af en vektor skriv?plots,arrow, mens cursoren er i matematiktilstand. AFBILDNING AF SUMVEKTOR Med kommandoen VectorSumPlot kan man let afbilde to vektorer samt sumvektoren af disse VectorSumPlot (a, b) Fig. 0 Overskriften på afbildningen bliver automatisk The Sum of vectors. Hvis man gerne vil ændre dette, skal man benytte kommandoen title =. For andre muligheder med hensyn til afbildning af en vektorsum skriv?vectorsumplot, mens cursoren er i matematiktilstand.

365 8. Maple 365 Hvis man skal plotte differensen mellem a og b, skrives blot VectorSumPlot(a, -b) AFBILDNING AF VEKTORER OG DERES KRYDSPRODUKTVEKTOR Hvis man skal afbilde to vektorer og deres krydsproduktvektorer, skal man benytte kommandoen CrossProductPlot(a, b). CrossProductPlot(a, b, title = To vektorer og deres krydsprodukt ) Fig. LÆNGDEN AF EN VEKTOR Hvis man skal beregne længden af en vektor, for eksempel krydsproduktet mellem a og b, og derved størrelsen af det parallelogram vektorerne udspænder, skal man benytte kommandoen Norm(a,). Norm (CrossProduct (a, b ), ) = 3 NB! -tallet til sidst i kommandoen skal skrives af hensyn til Maple og gør, at Maple udregner + y, altså den sædvanlige længde af vektoren a = Hvis man i stedet skriver Norm(a, 3) udregnes + y. y

366 8. Maple DIFFERENTIALLIGNINGER En differentialligning er en ligning, hvor den afledede funktion f ` indgår. Hvis f `` indgår, siges funktionen at være en. ordens differentialligning. I dette afsnit skal vi se på, hvordan man løser differentialligninger med Maple.. ORDENS DIFFERENTIALLIGNINGER Som et eksempel på løsning af en. ordens differentialligning, betragter vi ligningen I Maple skrives denne ligning ved at taste diff (y( ), )=3K $ y( ) = d y( )=3K y( ) d Når man skal løse en sådan ligning, skal man bruge kommandoen dsolve(-). dsolve (diff (y( ), )=3K $ y( )) y( )= 3 C e ( K ) _C Herved får man den fuldstændige løsning. Bemærk, at _C er en arbitrær konstant. Hvis man skal finde en partikulær løsning, for eksempel den løsningsfunktion, der går gennem punktet (0, ), skal man tilføje y(0) = til kommandoen: dsolve ({diff (y( ), )=3K $ y( ), y(0) = } ) y( )= 3 C e ( K ) Husk Tuborg-parenteserne { } omkring udtrykket. Maple kan igen være nyttig, hvis man ikke kan huske sine sætninger og regneregler. Den fuldstændige løsning til den logistiske ligning kan findes ved at taste dy d = y$(bkay) dsolve (diff (y( ), )=y( )$ (bk a $ y( ))) y( )= b a C e ( Kb ) _C b

367 8. Maple 367. ORDENS DIFFERENTIALLIGNINGER Hvis man skal løse. ordens differentialligninger at typen y``( )= C 3 er notationen diff (y( ),, )=0 C 3 = d d y( )= C 3 Ligningen løses også ved hjælp af kommandoen dsolve, (her findes den løsning, hvor f()= og f `()=) dsolve04diff (y(),, ) = 0, y( ) =,D(y )( ) =5 C 3 y( )= ln( C 3) ( C 3) K C C (K 4 ln( ) ) K ln( ) Bemærk, at man med y()=, D(y)()= viser, at vi skal finde den løsning der går gennem punktet (, ) og hvor f `()=.

368 8. Maple KOMMANDOER I MAPLE Kommando Beskrivelse % Refererer til senest udregnede udtryk * Gange - Minus + Plus / Dividere ^ Potensopløftning sqrt(a) Udregner kvadratroden af a a^(/n) n Udregner den n te rod af a. a?help Åbner hjælpefunktionen i Maple?emne Åbner hjælpefunktionen i Maple med opslag i emne. E.?vector a & b Beregner krydsproduktet mellem vektorerne a og b CrossProduct(a,b) Beregner krydsproduktet mellem vektorerne a og b Ctrl = Laver udregning på linjen lige efter udtrykket der skal beregnes (husk Shift når lighedstegnet laves) diff(f(),) Beregner differentialkvotienten af funktionen f() Diff(f(),) Beregner symbolsk den afledte til funktionen f() DotProduct(a,b) eller a.b Beregner prikproduktet af vektor a og b dsolve(y`=f(,y)) Løser differentialligningen y`=f(,y) ep(a) e a F Åbner hjælpefunktionen i Maple F5 Skifter mellem matematiktilstand og teksttilstand F7 Stavekontrol f:= ->f() Definerer funktionen f (). Der kan nu udregnes int(f(),), diff(f(),) osv. implicitdiff(f,y,) Bestemmer dy ved implicit differentiation d implicitplot(f,=a..b,y=c..d)) Tegner grafen for den implicit givne funktion F i intervallet [ a, b], y [ c, d] int(f(),) Beregner det ubestemte integral af funktionen f () int(f(),=a..b) Beregner det bestemte integral af funktionen f () fra a til b Int(f(),) Beregner det ubestemte integral af funktionen f () symbolsk plot(f(),) Plotter grafen for funktionen f () Pi π solve(f() = 0, ) Løser ligningen f () = 0 solve(f()=g(),) Løser ligningen f ()=g() i forhold til den ubekendte VolumeOfRevolution (-) Beregner omdrejningslegeme (husk, at kalde pakken Student[Calculus] )

369 9GRAFTEORI

370 9. Grafteori INDLEDNING Betegnelsen grafteori dækker over en særlig matematisk disciplin, som handler om punkter og om forbindelseslinier imellem disse punkter. Det er et stort emneområde med mange anvendelser. Kapitlet har til formål at præsentere de helt grundlæggende principper bag mange komplicerede teoretiske emner, som vi ikke vil komme ind på. Grafteori har ikke noget med almindelige funktioners grafer at gøre, men betegner alene sammenhænge imellem linier og punkter. Som vi senere skal se, er grafens form nemlig ikke særlig afgørende. Først et par generelle eksempler på hvor grafteori anvendes. Alene af disse tre eksempler kan du få en fornemmelse for hvor mange forskellige områder grafteori kan anvendes. Sidst i kapitlet skal du se nogle klassiske tankemæssige eksempler. DETTE KAPITEL Kapitlet vil kort eksemplificere nogle få helt grundlæggende anvendelsesområder, samt give et overblik over de helt basale matematiske begreber. Kapitlet har derfor karakter af en slags basisleksikon.

371 9. Grafteori 37 WWW World Wide Web internettet er et gigantisk eksempel på en graf, som er dannet af knudepunkter og forbindelseslinier. Fig.. WWW Internettet, som en stor sammenhængende graf. I det hele taget anvendes grafteori i mange programmeringssammenhænge, hvor man skal opstille algoritmer til at bestemme den korteste vej til bestemte informationer i en database. Med andre ord anvendes grafteori til programmering. CLUSTERS Fig.. Cluster netværk imellem virksomheder

372 9. Grafteori En Cluster er et netværk af virksomheder, leverandører og andre samarbejdspartnere, som både kan konkurrere og samarbejde med hinanden. Forskere anvender grafteori til at beskrive disse netværks opbygning og funktion. ELFORSYNINGSNET Fig. 3. Elforsyningsnet Et elforsyningsnet sikrer, at alle beboere i et område får den rigtige mængde strøm på bestemte tidspunkter. Et sådant net skal planlægges, så forsyningen optimeres af hensyn til brugerne og det samlede ressourceforbrug. Det anvender man grafteori til. Vi skal nu introducere grundbegreberne for grafteorien. GRAFTEORIENS GRUNDBEGREBER I dette afsnit præsenteres du for de grundlæggende begreber i grafteorien. Grafteorien indeholder mange varianter, regler og teorier, som vi ikke kommer ind på.

373 9. Grafteori 373 EN GRAF En graf er et system af punkter og linier. Fig. 4 Mængden af punkter kaldes for V, og mængden af linier ( kanter og buer ) kaldes for E (E for edges ). Grafen G er sammensætningen af disse punkter og linier og betegnesg = ( V, E). Ordet kanter bruges, når linien imellem punkterne er uden retningsangivelse. Ordet bue bruges, når der er en retning eller en orientering imellem punkterne. (tænk f på vejsystemer, hvor nogle gader er ensrettede, og andre har trafik i begge retninger). Vi kalder grafens orden N og er lig antallet af sider: N = V Grafens størrelse M er lig med antallet af hjørner M = E GRAFERS BENÆVNELSER Hvert punkt og hver linie i grafen har et unikt navn. I FIg. 5 er der 9 navngivne punkter og 0 navngivne kanter. Grafen kan præcist beskrives således: hvor G = ( V, E) V = { v, v, v, v, v, v, v, v, v } og E = { e, e, e, e, e, e, e, e, e, e }

374 9. Grafteori Fig. 5 INCIDENT Fig. 6 Et punkt kaldes incident med hver af de kanter, der fører til eller fra punktet. Antallet af incidenter kaldes for punktets grad eller valens. I eksemplet her er v i incident med e oge, og kaldes for et lige punkt. Punktet v j er incident med 5 kanter og har graden 5 og kaldes for et ulige punkt. SIMPLE GRAFER En graf kaldes for simpel ( En simpel graf ), hvis to forbundne punkter kun er forbundet med én kant. I Fig. 7 er grafen til venstre simpel, medens den ikke er det til højre.

375 9. Grafteori 375 Fig. 7 REGULÆRE GRAFER? Fig. 8 En regulær graf er en graf, hvor graden af et vilkårligt punkt er ens for alle punkter. I figuren er det antydet, at der mangler en graf i en logisk række. Kan du finde et eksempel på en graf der passer ind i det tomme felt? ISOMORFE GRAFER Der findes et utal af forskellige slags grafer. De kan være symmetriske, store og små, og mere eller mindre komplekse. Det er dog ikke udseendet af grafen, der karakteriserer den. Den diamantformede () viste graf kaldes for herchel-graf. Grafen til højre () er imidlertid den samme graf.

376 9. Grafteori () () Fig. 9 Sådanne grafer kaldes for isomorfe hvis deres kanter og punkter er ens. Fig. 0 En plan graf er en graf, hvis kanter eller buer ikke skærer hinanden. I fig 0 til venstre skal du forestille dig en rumlig cylinder med en række lodrette forbindelseslinier. Altså en graf i 3D. Den samme graf kan tegnes i et plan vist til højre. Der er tale om en plan graf, fordi kanterne ikke skærer hinanden. Fig. I fig. er det samme tydeliggjort ved hjælp af kube og hjørnepunkterne angivet med en farve.

377 9. Grafteori 377 NABOER Fig. To punkter f v og v kaldes naboer, hvis de er forbundet med én kant. To kanter eller buer kaldes naboer, hvis de forbinder de samme to punkter som i eksemplet e oge. EN LØKKE Fig. 3 En kant eller en bue kaldes en løkke, hvis den er incident med ét og kun ét punkt. Eller med lidt mere enkle ord, hvis kanten eller buen kun er forbundet med det samme punkt. ENDEPUNKTER OG ENDEKANTER Et punkt kaldes for et endepunkt, hvis der kun er én kant eller bue, der fører hen til punktet. v er her et endepunkt. En kant kaldes en endekant, hvis den er forbundet med et endepunkt. e er en endekant.

378 9. Grafteori Fig. 4 KÆDE Fig. 5 En kæde er en rækkefølge af kanter ( e, e, e 3... e n ), der følger en række punkter i et sammenhængende lineært forløb. I eksemplet er vist en kæde med 4 kanter og 5 punkter. VEJ Fig. 6 En vej er en følge af punkter, som følger hinanden i en kæde af orienterede kanter eller buer. Her er e, e, e en vej. 3 5

379 9. Grafteori 379 EULER-KÆDE Fig. 7 En Euler-kæde er en kæde, hvor alle punkter i grafen passeres netop én gang EULER-GRAF Fig. 8 En Euler-graf er en lukket Euler-kæde, hvor alle kanter i grafen er inkluderet. Det viste eksempel er måske den mest berømte Euler-graf, den såkaldte Köningsberg. Kan du se den lukkede kæde? Denne graf er vist på to måder, en ordnet og en mere rodet udgave. Men de er matematisk set ens!

380 9. Grafteori HAMILTON-GRAF Fig. 9 En Hamilton graf er lukket kæde, hvor alle grafens punkter gennemløbes præcist én gang. Hamilton-grafer adskiller sig således fra Euler-grafer ved at fokusere på punkterne i stedet for kanterne. TRÆ Fig. 0 Et træ er en sammenhængende graf, hvor kanterne ikke kan danne lukkede kurver. Prøv at tælle punkter og kanter i ovenstående graf. I et træ vil der altid være et punkt mere i forhold til antallet af kanter! KENDTE TANKEEKSPERIMENTER Til sidst i kapitlet skal vi se et par eksempler på klassiske problemstillinger, som grafteori kan hjælpe med at løse. Du vil kun blive præsenteret kort for problemstillingen.

381 9. Grafteori 38 FIRFARVEPROBLEMET Fig. Firfarveproblemet handler om at kunne farvelægge et vilkårligt landekort med fire farver, således at ingen lande, der støder op til hinanden har samme farve. Intuitivt kan du måske fornemme, at det er sandt. Men beviset er ikke let! Problemet blev første gang formuleret i 85 af englænderen Francis Guthrie, men først i 976 blev det endelig bevist, og da kun med hjælp fra en computer!

382 9. Grafteori Nogle korttyper kan også farvelægges ved eller 3 farver inden for samme regel. Vi skal blot lige se, hvordan kort generelt omdannes til et grafteoretisk problem. Fig. Hvert land repræsenterer altså en potentiel farve. I grafteorien omdannes landene til punkter og grænserne til kanter som vist i fig. 3 Fig. 3 Du kan læse mere om firfarveproblemet i Firfarveproblemet, Karsten Dam, Systime.

383 9. Grafteori 383 SPRINGERTUR Kendte klassiske grafteoriproblemer tager udgangspunkt i et skakbræt, hvoraf det mest kendte kaldes springertur. Problemet stiller spørgsmålet: Kan man foretage en vandring med springer på skakbræt, således at alle felterne gennemvandres én gang og kun én gang? Her kan du se én af løsningerne: Fig. 4 TENNISFEJERPROBLEMET Tennisfejerproblemet består at minimere vandringen, når en spiller skal feje striberne på den ene side af banen. Igen ved at danne en graf, som vi kan gennemføre en algoritmisk analyse på kan dette problem løses.

384 9. Grafteori Simple øvelser i grafteori A B C D E F G H I K J Beskriv disse grafers egenskaber Bestem antal punkter, kanter, valens, naboer, osv. Er de simple, plane, regulære, sammenhængende eller isomorfe med hinanden?

385 9. Grafteori 385 Hvilke af tre ovenstående grafer er plane, simple eller regulære? Er ovenstående to grafer Hamiltongrafer eller Eulergrafer, eller ingen af delene? Hvor mange farver skal der maksimalt bruges til at farve ovenstående kort efter princippet ikke to ens farver som nabolande

386

387 387 BILLEDLISTE s. 8: istock Photo, Vasko Miokovic s. : istock Photo, Pamela Moore s. 56: istoch Photo, Simon Smith s. 58: Venligst udlånt af M s. 58: Venligst udlånt af ARKEN Museum for Moderne Kunst s. 65: istock Photo, Thaddeus Robertson s. 67: Polfoto s. 80: istock Photo, Amos Struck s. 94: Polfoto s. 0: istock Photo s. : istock Photo, Feli Möckel s. 4: Michael Altschul/Polfoto s. 7: istock Photo s. 8: Venligst udlånt af Danilift A/S s. 33: istock Photo, Nancy Nehring s. 37: istock Photo, Steven van Soldt s. 39 tv: istock Photo, Thomas Pullicino s. 39 th: istock Photo s. 4: istock Photo, Henry Chaplin s. 44 øv: istock Photo s. 44 midt: Foci Image Library/Science Photo Library s. 44 ned: istock Photo, Maros Marcovic s. 46: istock Photo, Chan Chun Tak s. 75: Systime/Peter Kamp Knudsen s. 80 og 98: Klaus Marthinus s. 09: Klaus Marthinus s. 0, : Venligst udlånt af I. Krüger A/S s. 9,, 4, 35 og 38: Klaus Marthinus s. 50: istock Photo, Filipp Bezlutskiy s. 55: istock Photo, Mat Barton s. 9: istock Photo, Elena Elisseeva s. 93: istock Photo, Matthew Scherf s. 94: istock Photo, Marek Kolankiewicz s. 98: istock Photo, Douglas Freer s. 300 øv: istock Photo, Chiya Li s. 300 ned: istock Photo, Sasha Radosavljevic s. 30, 39, 37 og 330: Klaus Marthinus s. 333: Polfoto s. 343 øv: Klaus Marthinus s. 343 ned: Klaus Marthinus s. 344: Klaus Marthinus s. 35: Skærmdump af Allan Bohnstedt s. 35: Skærmdump af Allan Bohnstedt s. 357: Skærmdump af Allan Bohnstedt s : Klaus Marthinus

388

389 389 STIKORDSREGISTER A Acceleration 04 Accelerationsvektor 04 Afstand, punkt og banekurve 87 Afstand, punkt og linie 39 Afstand, punkt og plan 37 Afstand, to linier 40 Archimedes spiral 6 Areal mellem banekurve og -akse 07 Asymptoter 63 B Banekurve 8 Banekurve, afbildning 8 Binomialfordeling 7 Boplot 59 C Cardioiden Cykloiden 0 D Descartes 9 Deskriptorer 59 Det rumlige koordinatsystem 9 Det ultimative tallegeme 5 Differentialligning 3 Differentiation af e Differentiation af ln 57 Differentiation, Maple 355 E Ellipse 9 Endekant 377 Endepunkt 377 Enhedsvektor Euler graf 379 Euler kæde 379 Eulers form 35 Eulers formel 36 F Fart 04 Firfarveproblemet 38 Forventningsværdi 64 Frekvens 5 G Gauss talplan 4 Graf 373 Grupperede observationssæt 55 H Hamilton graf 380 Hastighedsvektor 03 Histogram 56 Hypotesetest 75 Hyppighed 5 Hændelse 68 I Imaginær enhed 0, Impedans 4 Implicit differentiation 58 Implicit differentiation, Maple 355 Incident 374 Integralkurve 3 Integration, Maple 358 Isomorfe grafer 375 K Kombinatorik 60 Konjugerende tal 8 Krydsprodukt 5 Kugle 43 Kurvelængde 95 Kvartilsæt 58 Kæde 378 L Linieelement 34 Linien, skæring med plan 4 Liniens parameterfremstilling 4 Lodret asymptote 63 Lodret tangent 0 Logistisk ligning 36 Logistisk vækst 36 Lotka-Volterra 33 Løkke 377 M Maple tutorials 357 Maple, differentialligninger 366 Maple, differentiation 355

390 Maple, implicit differentiation 355 Maple, integration 358 Maple, ligningsløsning 354 Maple, omdrejningslegemer 359 Maple, rumgeometri 36 Maple, symbolsk ligningsløsning 354 Maple, vektorfunktioner 36 Massemidtpunkt 00 N Naboer 377 Normalfordeling 76 Normalfordelt stokastisk variabel 83 Normalform 8 Numerisk løsning 336 O Omdrejningslegemer 85 Omvendt funktion 56 Omvendt funktion, differentiation 56 Ordinær differentialligning 33 Overfladeareal af omdrejningslegeme 96 Overgangsformler 3 P Parameterkurve 8 Partiel differentialligning 33 Partiel integration 8 Permutation 60 Plan, skæring imellem planer 30 Plan, skæring med linie 4 Planen, normalform 8 Planen, parameterfremstilling 9 Polynomiers division 69 Polynomiumsbrøker 67 Polære koordinater 0 Prikprodukt Projektion 3 Projektion af vektor på vektor 3 Projektion, linie på plan 4 Punkt i plan 3 Punkt på linie 7 Punkt på linie 86 R Reciprok funktion 53 Regneregler komplekse tal 7 Regulære grafer 375 Rotation om -aksen 85 Rotation om y-aksen 88 S Sammensatte bevægelser 0 Sandsynlighedsfordeling 7 Sandsynlighedspapir 84 Separation af variable 36 Signifikansniveau 76 Simple grafer 374 Skruelinie 6 Skrå asymptote 63, 65 Skæring mellem plan og cylinder 48 Skæring mellem plan og kugle 47 Skæring, kugle og linie 46 Skæringslinie imellem planer 30 Skæringspunkter imellem banekurver 9 Spredning 53 Stedvektor 9 Stokastisk variabel 63 Substitution 8 Sumkurve 56 Superellipsen 94 Svingninger 38 T Tangenter til banekurver 98 Tangentplan 44 Taylorpolynomiet 35 Tre-trinsreglen 5 Trigonometrisk form 34 Træ 380 Tyngdepunkter 98 U Ugrupperede observationssæt 5

391 9. G r a f t e o r i 39 V Vandret asymptote 63 Vandret tangent 00 Varians 53 Vej 378 Vektor, længde 0 Vektorer i rummet 9 Vektorfunktion 8 Vektorfunktion og y-funktion 90 Vektorfunktion, den rette linie 84 Vektorfunktion, ellipse 9 Vektorfunktion, skæring med koordinatakser 97 Vindskæve linier 7 Vinkel, linie og plan 35 Vinkelhastighed 4 Vinklen imellem vektorer Vinklen mellem planer 3 W Wessel, Caspar 0

392