Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012

Transkript

1 Additionsformlerne Frank Villa 19. august Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Additionsformlerne 3 3 Grader eller radianer? 6 4 De irriterende undtagelser Hvis α β er større end Hvis β er større end α Hvis α eller β er negative eller større end

3 Resumé I dette dokument beviser vi de trigonometriske additionsformler ved hjælp af todimensionelle vektorer. 1 Introduktion Additionsformlerne for de trigonometriske funktioner er meget nyttige når man arbejder med harmoniske svingningsfunktioner 1. Beviset som vi laver her bygger på lidt teori om todimensionelle vektorer. Det kan godt laves uden at nævne nogen vektorer, men det bliver meget mere besværligt. Derfor kan dette dokument også bruges som et eksempel på hvorfor vektorerbegrebet er anvendeligt. Forudsætninger Det er en forudsætning af du har styr på vektorer i planen inden du læser dette dokument 2. Især får vi brug for følgende to sætninger: Sætning 1. Hvis u og v er to todimensionelle vektorer, og α er vinklen mellem dem, så er: u v cos(α) = u v 1 Se et eksempel på anvendelse af additionsformlerne i forbindelse med harmoniske svingninger her 2 Læs om todimensionelle vektorer her side 1

4 Sætning 2. 2 Hvis u og v er to todimensionelle vektorer, og α er vinklen mellem dem, så er: det( u, v) sin(α) = ± u v Hvis α går fra u til v i positiv omløbsretning, er fortegnet +. Ellers er fortegnet. side 2

5 2 Additionsformlerne De trigonometriske additionsformler handler, som navnet antyder, om hvad der sker når man tager cosinus eller sinus til en sum eller en differens af to vinkler. Sætning 3. Hvis α og β er to vinkler, så gælder at: cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) (1) sin(α β) = sin(α) cos(β) sin(β) cos(α) (2) cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) (3) sin(α + β) = sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) (4) Bevis (Bevis for første halvdel). Vi beviser de to første påstande først. Givet de to vinkler α og β, definerer vi to snedige vektorer: og v = u = ( cos(α) sin(α) ( cos(β) sin(β) Disse to vektorer er enhedsvektorer som danner vinkler på henholdsvis α og β med x-aksen. Vi tillader nu os at antage hele tre ting som vi absolut ikke er sikre på. Nemlig at: 1. Begge vinklerne er mellem 0 og 360 (eller: mellem 0 og 2π hvis man måler vinkler i radianer). 2. α er større end β 3. Differensen α β er mindre end 180 (eller: mindre end π hvis man måler vinkler i radianer). ) ) 1. Under disse antagelser kan vi nemlig tegne situationen. Se figur side 3

6 1 α - β α β Figur 1: Ideen bag beviset for sætning 3 Eftersom α β er vinklen mellem u og v, kan vi ifølge sætning 1 udregne: cos(α β) = = u v u v = = u v u v 1 1 ( ) ( ) cos(β) cos(α) sin(β) sin(α) = cos(β) cos(α) + sin(β) sin(α) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) Og eftersom vinklen går i positiv omløbsretning fra u til v, kan vi side 4

7 ifølge sætning 2 udregne: det ( u, v) det( u, v) sin(α β) = = = det( u, v) u v 1 1 cos(β) cos(α) = sin(β) sin(α) = cos(β) sin(α) cos(α) sin(β) = sin(α) cos(β) sin(β) cos(α) Nu vil vi snyde lidt når vi skal bevise den sidste halvdel. Vi vil nemlig gå ud fra at vi har bevist første halvdel i alle situationer altså uden de tre antagelser om hvor store α og β er. Hvis du synes at dette lyder kriminelt, så bør du bladre frem til det sidste afsnit nu, for at tjekke at de andre tilfælde også er i orden. Bevis (Bevis for den sidste halvdel). Heldigvis er de to sidste egenskaber meget lette at bevise når man har de to første. Ideen går ganske enkelt ud på at skrive summen: som en differens: α + β α ( β) og derefter bruge de to første egenskaber på de to vinkler α og β. Det giver: cos(α + β) = cos(α ( β)) = cos(α) cos( β) + sin(α) sin( β) og sin(α + β) = sin(α ( β)) = sin(α) cos( β) sin( β) cos(α) side 5

8 Men eftersom cosinus er en lige funktion, kan vi omskrive: cos( β) = cos(β) Og eftersom sinus er en ulige funktion, kan vi omskrive: sin( β) = sin(β) Dermed har vi de to sidste additionsformler. 3 Grader eller radianer? Et spørgsmål som altid trænger sig på når man nævner de trigonometriske funktioner er hvorvidt vinklerne skal være angivet i grader eller i radianer. Resultaterne i dette dokument er dog et behageligt enkelttilfælde hvor spørgsmålet er helt irrelevant. Det viser sig, hvis man nærlæser beviset, at alle argumenter er ordret de samme, uanset om vinkelmålet er radianer eller grader. (Så længe man bruger det samme vinkelmål hele vejen igennem, selvfølgelig.) Dermed er additionsformlerne korrekte uanset om de indgående vinkler er angivet i radianer eller grader. 4 De irriterende undtagelser I beviset tillod vi os at antage hele tre ting som slet ikke behøver at være rigtige, nemlig at α var større end β, at deres differens α β var under 180, og at de begge var mellem 0 og 180. Når vi gør sådan noget, så er det fordi at den spændende del af beviset allerede forekommer i dette specialtilfælde, og den eneste forskel i de andre tilfælde er en smule ekstra besvær. Men vi må hellere få samvittigheden i orden og forklare hvordan man klarer sig uden om besværet i de andre tilfælde. Vi regner med alle vinkler i grader i dette afsnit. Hvis du bedre kan lide radianer, så erstat 180 med π, og (lidt senere) 360 med 2π overalt i dette afsnit. side 6

9 4.1 Hvis α β er større end 180 Den første undtagelse hvor ovenstående bevis ikke virker helt er hvis differensen mellem de to vinkler er større end 180. I så fald ser tegningen lidt anderledes ud (se figur 2). (Vi antager stadig at begge vinkler er mindre end 360 og at α > β). 1 α - β α β Figur 2: Første undtagelse: Hvis α β > 180. I dette tilfælde er vinklen mellem u og v desværre ikke α β, men derimod 360 (α β) Heldigvis er cos(x) = cos(360 x) for alle vinkler, x. Så vi kan starte den første af udregningerne i beviset med at omskrive: cos(α β) = cos(360 (α β)) = u v u v og dermed kører den første udregning i beviset lige som før. side 7

10 Desuden er sin(x) = sin(360 x) for alle vinkler, x. Så vi kan starte den anden store udregning i beviset med omskrivningen: sin(α β) = sin(360 (α β)) Og eftersom vinklen mellem u og v i dette tilfælde går i negativ omløbsretning fra u til v, får vi et fortegn mere fra sætning 2: ( ) sin(α β) = sin(360 det( u, v) (α β)) = u v og herefter fortsætter omskrivningen på samme måde som før. 4.2 Hvis β er større end α Den anden undtagelse hvor beviset ikke virker er hvis β er større end α. Men det betyder bare at de to vinkler og de to vektorer bytter roller (se figur 3.) Hvis vi holder fast i antagelsen om at både α og β er mellem 0 og 360 (men ikke andet!) så kan vi bruge de resultater som vi allerede har, bare med α og β byttet ud. Derfor får vi denne gang at: cos(β α) = cos(β) cos(α) + sin(β) sin(α) sin(β α) = sin(β) cos(α) sin(α) cos(β) Men cosinus er en lige funktion, så: cos(β α) = cos( (β α)) = cos(α β) Hvis vi samtidigt bytter rundt på rækkefølgen af faktorerne i den første ligning, kan den skrives: cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) Hvilket er den første additionsformel. side 8

11 1 β-α β α Figur 3: Anden undtagelse: Hvis α < β. Sinus er en ulige funktion, så: sin(β α) = sin( (β α)) = sin(α β) Derfor kan den anden ligning omskrives til: sin(α β) = sin(β) cos(α) sin(α) cos(β) Og hvis vi skifter fortegn på begge sider, så dukker den anden additionsformel op igen: sin(α β) = sin(β) cos(α) + sin(α) cos(β) = sin(α) cos(β) sin(β) cos(α) 4.3 Hvis α eller β er negative eller større end 360 Til sidst klarer vi situationen hvor α eller β (eller dem begge) enten er negative eller større end 360. side 9

12 Dette er heldigvis det nemmeste, for i så fald kan vi bare lægge et helt antal gange 360 til dem, sådan at de havner mellem 0 og 360. For at gøre det en lille smule overskueligt, så antager vi at det kun er α der er problemer med. Men du kan nemt justere argumentet så det også virker hvis der er problemer med β. Lad os sige at n er et helt tal (eventuelt negativt) sådan at: α + n 360 [0 ; 360 ] Nu bruger vi de resultater som allerede er bevist på de vinkler som er mellem 0 og 360. Det giver at: og cos(α + n 360 β) = cos(α + n 360 ) cos(β) + sin(α + n 360 ) sin(β) sin(α + n 360 (β)) = sin(α + n 360 ) cos(β) sin(β) cos(α + n 360 ) Men hverken cosinus eller sinus ændrer værdi af at man lægger et helt antal gange 360 til vinklen. Så vi kan simpelt hen fjerne dette, og dermed har vi faktisk de to additionsformler: cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) sin(α β) = sin(α) cos(β) sin(β) cos(α) side 10