Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 SkÄrmbilld fra TI-Nspir 017 Karsn Juul
Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 1 Hvad r n diffrnialligning? 1a Indldning il diffrnialligningr 1 1b OplÄg 1 1c Sprogbrug 1 1d Mang låsningr 1 1 SkrivmÇdr 1 1f Hvad r n diffrnialligning? 1 Konrol af läsning il diffrnialligning a UndrsÅg om funkion r låsning il diffrnialligning GÅr rd for a funkion r låsning il diffrnialligning Eksmpl 1 b UndrsÅg om funkion r låsning il diffrnialligning GÅr rd for a funkion r låsning il diffrnialligning Eksmpl 3 Brug oplysningn i diffrnialligning 3a Bsm ligning for angn nçr diffrnialligning r giv 3 3b Eksmpl pç brug af oplysningn i diffrnialligningn 3 3c Bsm väkshasighd ud fra diffrnialligning Eksmpl 1 4 3d Bsm väkshasighd ud fra diffrnialligning Eksmpl 4 4 Bsmm läsning il diffrnialligning 4a Bsm låsningrn il n diffrnialligning 5 4b Opgav og bsvarls 5 4c D nkl låsningr 5 4d Bsm n låsning il n diffrnialligning nçr Én funkionsvärdi (É grafpunk) r giv 5 4 LÅs diffrnialligning nçr o grafpunkr r giv 6 4f MÇsk skal du slv inds a du skal lås diffrnialligningn 6 5 Opsill diffrnialligning 5a Opgav md bsvarls 6 6 Logisisk diffrnialligning 6a Eksponnil väks 7 6b Logisisk väks 7 6c Bsm forskrif for sårrlsn 8 6d Bsm Åvr gräns for sårrlsn 8 6 Bsm sårrlsn nçr väkshasighdn r sårs 8 6f Bsm idspunk hvor väkshasighdn r sårs 9 6g Tgn graf 9 7 Bvisr 7a HjÄlpsÄning 10 7b SÄning 10 Tidligr vrsionr af d häf har skif adrss il hp://ma1dk/diffrnialligningr_for_a_nivau_i_s_udgav_1pdf hp://ma1dk/diffrnialligningr_for_a_nivau_i_s_udgav_pdf hp://ma1dk/diffrnialligningr_for_a_nivau_i_s_udgav_3pdf Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4, Ä 017 Karsn Juul Nys vrsion af d häf kan downloads fra hp://ma1dk/norhm D må brugs i undrvisningn hvis lärrn sndr n -mail il kj@ma1dk som oplysr a d brugs og oplysr hold, nivau, lärr og skol 19/-017
1 Hvad r n diffrnialligning? 1a Indldning il diffrnialligningr 1b OplÅg En plans håjd y voksr sçdan a dr pç hvr idspunk gäldr a hçjds väkshasighd = hçjd D kan vi skriv md symbolr sçdan: y' = y Hr har vi opsill n diffrnialligning Vi kan ogsç urykk d vd a sig a i hvr punk pç grafn r Ligningn 1c Sprogbrug angnhäldning = y-koordina For funkionn y y r ksmpl pç n diffrnialligning D fls diffrnialligningr r mr indvikld f ( ) 4 gäldr a f ( ) 4, sç f () opfyldr binglsn y' = y for hvr D urykkr vi vd a sig a f () r n låsning il diffrnialligningn llr a f () ilfrdssillr diffrnialligningn 1d Mang läsningr Vi sr a funkionn f ( ) ogsç r n låsning Vi sr a diffrnialligningn har mang låsningr 1 SkrivmÇdr Symbol d Diffrnialligningn y kan ogsç skrivs sçdan: d llr sçdan: y y f ( ) f ( ) bydr d samm som y 1f Hvad r n diffrnialligning? En ligning r n diffrnialligning hvis dn ubkn r n funkion og funkionns diffrnialkvoin indgçr En funkion r låsning il n diffrnialligning hvis funkionn opfyldr diffrnialligningn for hvr i funkionns dfiniionsmängd Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 1 017 Karsn Juul
Konrol af läsning il diffrnialligning a UndrsÅg om funkion r låsning il diffrnialligning GÅr rd for a funkion r låsning il diffrnialligning Eksmpl 1 Opgav UndrsÅg om funkionn y y 1 Forskrifn forällr a i hvr grafpunk får man y-koordina vd a oplçf -koordina il andn og lägg -koordina il rsula f ( ) r n låsning il diffrnialligningn Vi indsär f () = + for y i y' y = 1 : ( + )' ( + ) = 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 Ligningn krävr for hvr grafpunk a når y-koordina gang räkks fra angnhäldning skal d giv samm al som når -koordina i andn gang räkks fra 1 Da d r san, gäldr: f r låsning il diffrnialligningn y y 1 b UndrsÅg om funkion r låsning il diffrnialligning GÅr rd for a funkion r låsning il diffrnialligning Eksmpl Opgav UndrsÅg om funkionn Vi indsär y 1 d f ( ) ln r n låsning il diffrnialligningn f ( ) y ln for y i 1 : d ( ln ) ( ln ) 1 1 ( ln 1) ln 1 1 ln 1 ( ln 1) 1 ln 1 ln 1 Forskrifn forällr a i hvr grafpunk får man y-koordina vd a indsä -koordina i forskrif og rgn ud Ligningn krävr for hvr grafpunk a angnhäldning skal vär d al man får når man indsär -koordina og y-koordina i hçjr sid og rgnr ud ln 1 ln 1 y Da d r san, gäldr: f r låsning il diffrnialligningn 1 d Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 017 Karsn Juul
3 Brug oplysningn i diffrnialligning 3a Bsm ligning for angn nçr diffrnialligning r giv Opgav En funkion f r låsning il diffrnialligningn Ligningn forällr a i hvr grafpunk får vi y d angnhäldningn når vi oplçfr -koordinan d il andn og räkkr y-koordinan fra rsula og grafn for f gçr gnnm punk P (3, 7) Bsm n ligning for angnn il grafn for f i punk P For n låsning il diffrnialligningn y d gäldr a i punk ( 1, y1) (3,7) r angnhäldningn a 3 7 = ( Vi har indsa 3 og 7 for og y i håjr sid af y ) d d Ligning for angn i P(3,7) : y a( 1) y y ( 3) 7 y 1 1 3b Eksmpl pç brug af oplysningn i diffrnialligningn Opgav En funkion f r dfinr for hvr al og r låsning il diffrnialligningn 1 y Ligningn forällr a i hvr grafpunk r angnhäldningn d d al vi d 1 får vd a udrgn hçjrsidn fr a hav indsa grafpunks koordinar GÅr rd for a f har minimum f r låsning il diffrnialligningn 1 y, sç d 1 i hvr punk (, y) pç grafn for f r angnhäldningn D al har samm forgn som 1, 1 y 1 for y 1 r alid posiiv da al i andn ikk kan vär ngaiv 1 0 For 1 har låsningn 1 1, og for 0 r 1 1 r 1 TangnhÄldningn r alsç ngaiv for f r afagnd i inrvall 1 Hraf fålgr a f har minimum for og posiiv for 1 1 og voksnd i inrvall 1 1, sç Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 3 017 Karsn Juul
3c Bsm väkshasighd ud fra diffrnialligning Eksmpl 1 Opgav Udviklingn i rs väg kan bskrivs vd diffrnialligningn Ligningn forällr a på hvr idspunk 0,08y 16,, 0 9 mllm 0 og 9 gäldr: NÅr väkshasighdn läggs sammn hvor r idn mçl i ugr, og y r rs väg mçl i gram md 0,08 gang vägn, så får man 16, Bsm väkshasighdn pç d idspunk hvor rs väg r 180 gram md ligningsrgl For rs väg y (gram) som funkion af idn (ugr) r 0,08y 16,, 0 9 Vi indsär 180 for y i diffrnialligningn: 0,08180 16, NÅr vi indsär n konsan for y, så skal vi bvar y i NÇr rs väg r 180 gram, r väkshasighdn 11, gram pr ug md solv For rs väg y (gram) som funkion af idn (ugr) r 0,08y 16,, 0 9 Vi indsär 180 for y i diffrnialligningn NÅr vi indsär n konsan for y, så skal vi bvar y i Nspir låsr ligningn 0,08180 16, mh og fçr 11, 16 NÇr rs väg r 180 gram, r väkshasighdn 11, gram pr ug 3d Bsm väkshasighd ud fra diffrnialligning Eksmpl Opgav En plans håjd r n funkion af idn dr opfyldr diffrnialligningn dh Ligningn forällr a vi får väkshasighdn dh 0,06 0, 93 h når vi udrgnr hçjr sid fr a hav indsa idspunk og hçjd på 's og h's pladsr hvor h r håjdn mçl i mm, og r idspunk mçl i dågn D oplyss a h ( 1) 3 Bsm väkshasighdn il idspunk 1 For plans håjd h (mm) som funkion af idn (dågn) r Vi indsär 1 for og 3 for h i diffrnialligningn: dh dh Til idspunk 1 r väkshasighdn 0,073 mm pr dågn dh 0,06 0, 93 h Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 4 017 Karsn Juul
4 Bsmm läsning il diffrnialligning 4a Bsm låsningrn il n diffrnialligning 4b Opgav Bsm forskrif for låsningrn il diffrnialligningn y y 1, 3 Nspir låsr ligningn y y 1, 3 mh funkionn y og fçr låsningrn y c 1, 3 I kommandon dsolv sår d for diffrnial quaion BmÅrkning I sd for c skrivr Nspir c1 llr c llr c3 osv 4c D nkl läsningr I bsvarlsn ovnfor fan vi a låsningrn il y y 1, 3 r y = c + 1,3 NÇr vi i y c 1, 3 rsar c md bsm al, fçr vi Én af låsningrn Hvis vi vd a y ( ) 5, dvs a punk (, 5) liggr pç grafn, sç kan vi bsmm c D kan vi går md modn fra ramm 4d, mn vi kan ogsç blo sä og 5 ind for og y i y c 1,3 og lås mh c : 5 51,3 c 1,3 hvoraf c 0, 500741 LÅsningn hvor y ( ) 5, r alsç y = 0,50 + 1,3 PÇ ilsvarnd mçd fçr vi: LÅsningn hvor y ( ) 3, r y = 0,3 + 1,3 4d Bsm n låsning il n diffrnialligning nçr Én funkionsvärdi (É grafpunk) r giv dh Opgav En funkion h r låsning il diffrnialligningn 0,5( h ) d og grafn for h gçr gnnm punk (, 1,6 ) Bsm n forskrif for h dh Nspir bsmmr forskrifn for dn låsning il 0,5( h ) hvor h( ) 1, 6 d h( ),67 1,84 4 og fçr Samm bogsav får h Samm bogsav I sd kunn vi hav sar md a find all lçsningr (s 4b) Drfr kunn vi hav bsm dn af lçsningrn hvor h()=1,6 (s 4c) MÇsk skal du slv isolr y og/llr Hr har dsolv ikk isolr y: Vi fçr solv il a går d: solv har ikk isolr i ulighdn dr angivr låsningns dfiniionsmängd Vi fçr solv il a går d: Diffrnialligningn sammr fra n opgav hvor og y r posiiv, sç låsningn r: Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 5 017 Karsn Juul
4 LÅs diffrnialligning nçr o grafpunkr r giv Opgav En funkion p r låsning il diffrnialligningn dp k p D oplyss a nçr 0 r p, og a nçr 1 r p 1, 5 Bsm n forskrif for p Nspir bsmmr n forskrif for dn låsning p il p( ) ( k) 1 Da p ( 1) 1, 5, r ( k ) k 1, 5 1 Nspir låsr ligningn ( k) k 1, 5 mh k og fçr k 1, 1 Dn såg forskrif r alsç p ( ) ( 1,1) 1, 1, dvs p ( ) 0,79 1,1 k BEMÑRK: I dsolv brugr vi kun d n af d o oplys grafpunkr NÅr vi har fund forskrifn, brugr vi d and punk il a bsmm k dp k p hvor p ( 0), og fçr Brug o forskllig punkr (0, ) og (1, 1,5) 4f MÇsk skal du slv inds a du skal lås diffrnialligningn Opgav Udviklingn i n väsks mpraur bskrivs vd diffrnialligningn dp k p Dr sår ikk a du skal lçs diffrnialligningn, mn du r nç il d da du skal brug forskrifn il a find k hvor p r mpraur i C Tidn mçls i minur Til idspunk = 0 r mpraurn C Efr 1 minu r mpraurn 1,5 C Bsm konsann k dp Nspir bsmmr n forskrif for dn låsning p il k p p( ) ( k) k hvor p ( 0), og fçr 1 Da p ( 1) 1, 5, r ( k ) k 1, 5 1 Nspir låsr ligningn ( k) k 1, 5 mh k og fçr k 1, 1 5 Opsill diffrnialligning 5a Opgav PÇ n skärm r sor kvadra md aral 500 Indn i d sor kvadra r lill kvadra md sidn s Dn hasighd hvormd d lill kvadras sid voksr pç idspunk, r proporional md forsklln pç d sor kvadras aral og d lill kvadras aral Proporionaliskonsann r 0,0079 Opsil n diffrnialligning dr har s() som låsning Jg har brug farvr il a pg på d dr r d samm Du skal ikk brug farvr il ksamn Til ksamn skal du kun skriv Én af d r ligningr Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 6 017 Karsn Juul
6 Logisisk diffrnialligning 6a Eksponnil väks Eksmpl: En populaion voksr of ksponnil, dvs sçdan a nçr anal individr y r sårr, sç kommr dr ilsvarnd flr ungr, SÇ r väkshasighdn y' proporional md anall y, dvs y' = ky Gnrl: En sårrls y kan Ändrs sçdan a (1) sårrlsns våkshasighd r proporional md särrlsn Md symbolr kan d skrivs sçdan: () y' = ky LÅsningrn il diffrnialligningn () r funkionrn (3) y( ) c k BEVIS for d sçr i 7b Dn råd graf visr udviklingn i anal r for n populaion dr opfyldr (1) y' = häldningskofficin = väkshasighd Ligningn () r ksmpl pç n diffrnialligning, dvs dn ubkn r n funkion, og funkionns diffrnialkvoin indgçr En funkionn r n låsning il diffrnialligningn hvis dn opfyldr ligningn for hvr i sin dfiniionsmängd 6b Logisisk väks Eksmpl: NÇr n populaion blivr sårr, vil väkshasighd of bliv mindr fordi dr r mindr plads Gnrl: Dn logisisk ligning (4) y' = k y (M y), k > 0, M > 0 har for 0 < y < M låsningrn M (5) y km 1 c Ligningn (4) urykkr a, c > 0 SÅrrlsns våkshasighd r proporional md särrlsn og md särrlsns afsand il M SkÄrmbilld fra TI-Nspir PÅ k's plads i dnn forskrif skal så d al dr sår på k's plads i diffrnialligningn Uans hvilk al vi skrivr på c's plads, så får vi n lçsning Dr r alså undlig mang lçsningr Dn råd graf visr udviklingn i anal r for n populaion dr opfyldr (4) y' = häldningskofficin = väkshasighd SkÄrmbilld fra TI-Nspir NÇr n sårrls y hvor 0 < y < M, voksr sçdan a y' = k y(m y), k > 0, M > 0, sç gäldr: (7) Dn Åvr gräns for sårrlsn r y = M (8) VÄkshasighd r sårs nçr sårrlsn r y = M Tall M kalds bärvnn PÇ figurn r M = 300 SkÄrmbilld fra TI-Nspir Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 7 017 Karsn Juul
6c Bsm forskrif for sårrlsn Opgav E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) Til idn = 0 r vägn 0 gram Bsm n forskrif for m md Nspir Nspir bsmmr forskrif for dn låsning m il diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) 601,47698 m(0) = 0 og fçr m( ) 1,47698 1 md forml m r låsning il diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) og m(0) = 0 M Dn logisisk ligning y' = k y(m y) har låsningrn y km 1 c Hr r k = 0,0015, M = 60 og km = 0,39 sç Da m(0) = 0, r 0 60 1 c 0,390 sç 60 1 c 0 60 m( ) 0,39 1 c dvs c = 1, sç 60 m( ) 0,39 11 hvor BmÅrkning 60 11 0,39 60 (1 1 0,39 0,39 ) 0,39 60 0,39 0,39 1 og 0,39 (0, 39) 1, 47698 6d Bsm Åvr gräns for sårrlsn Opgav E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) Bsm dn Åvr gräns for vägn E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) For n låsning il dn logisisk ligning y' = k y(m y) har y-värdin dn Åvr gräns M Hr r M = 60, sç dn Åvr gräns for vägn r 60 gram 6 Bsm sårrlsn nçr väkshasighdn r sårs Opgav E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) Bsm vägn pç d idspunk hvor väkshasighdn r sårs E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) For n låsning il dn logisisk ligning y' = k y(m y) r väkshasighdn sårs nçr y M Hr r M 60 130, sç väkshasighdn r sårs nçr vägn r 130 gram Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 8 017 Karsn Juul
6f Bsm idspunk hvor väkshasighdn r sårs Opgav E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) Til idn = 0 r vägn 0 gram Bsm d idspunk hvor väkshasighdn r sårs E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) og il = 0 r m =0 Nspir bsmmr forskrif for dn låsning m il 0,0015 m (60 m) hvor m(0) = 0 og fçr 601,47698 m( ) 1,47698 1 For n låsning il dn logisisk ligning y' = k y(m y) r väkshasighdn sårs nçr Hr r M 60 130 601,47698 Nspir låsr ligningn 130 mh og fçr = 6,37156 1,47698 1 VÄkshasighdn r sårs il idn 6,4 dågn y M 6g Tgn graf Opgav E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) Til idn = 0 r vägn 0 gram Tgn grafn for m E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) og il = 0 r m =0 Nspir bsmmr forskrif for dn låsning m il 0,0015 m (60 m) hvor m(0) = 0 og fçr 601,47698 m( ) 1,47698 1 Nspir gnr grafn ud fra dnn forskrif S figurn Dur ikk Dur ikk For dçrlig Manglfuld OK Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 9 017 Karsn Juul
k k 7a HjÅlpsÅning: k Bvis: For k ' r dn ydr funkion 7 Bvisr ( ), og dn indr r k ( ) Diffrnialkvoinn af dn ydr r, og diffrnialkvoinn af dn indr r k k Diffrnialkvoinn af r ydr diffrnir (ag i indr) gang indr diffrnir: k ' ( k) k k k Hrmd har vi bvis hjälpsäningn 7b SÅning LÅsningrn il diffrnialligningn (1) y k y r funkionrn PÅ k's plads i dnn forskrif skal så d al dr sår på k's plads i diffrnialligningn k () y( ) c Uans hvilk al vi skrivr på c's plads, så får vi n lçsning Dr r alså undlig mang lçsningr FÅrs dl af bvis: Vi bvisr a hvis n funkion r låsning il (1), sç r dn af ypn () Andn dl af bvis: Vi bvisr a all funkionr af ypn () r låsningr il (1) Bgrundlsn for a vi diffrnirr urykk i parnsn, 1 dl af bvis for säningn r a d visr sig a vi så får nog vi kan brug Hvis n funkion y() har gnskabn (1) (dvs r låsning il dnn ligning) r k y k k y y k rgl for a diffrnir produk Da y k k k k y y k da vi forudsa (1) 0 diffrnir givr 0, mç y y c Vi gangr bgg dnn lignings sidr md k k vär lig n konsan: og fçr y c da 1 dvs funkionn r af ypn () dl af bvis for säningn En vilkçrlig funkion k k c k c k Vnsr sid af ligningn givr ck funkionn k k k k c af ypn () indsär vi for y i ligningn y k y k k k 0, dvs ligningn passr, sç k c har gnskabn (1) (dvs r låsning il dnn ligning) og fçr B bvis10 bärvn7 D diffrnialligning1 E ksponnil väks7 F forskrif for låsning5, 6, 8 G graf9 L logisisk diffrnialligning 7 logisisk ligning 7 logisisk ligning, forml for låsning 7 logisisk ligning, lås md forml 8 logisisk väks 7 låsning1,, 5, 6, 8 O opsil 1, 6 P proporional 6, 7 proporionaliskonsan 6 T angn 3 ilfrdssill 1 V väkshasighd 4, 7 väkshasighd sårs 7, 8, 9 Ä Åvr gräns 7, 8 Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 10 017 Karsn Juul